laboratorio 3

Informe Experiencia N 5

Laboratorio Fsica I

Informe Experiencia N 3

TRATAMIENTO DE DATOS ESPECIALES

E

n cualquier proceso de medicin, se obtienen datos, los cuales nos informan que existen relaciones entre las diferentes magnitudes obtenidas. Para poder ver de manera ms clara estas relaciones, se acostumbra representarlas mediante grficas, ya sea en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogartmicas, segn sea el caso. Si se grfica mayor numero de puntos, tendremos la certeza de encontrar la verdadera forma de la grfica.

Los datos obtenidos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes de coordenadas con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogaritmicas segn sea el caso. De estas se buscan grficas (curvas o rectas), para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representan las leyes de un fenmeno.

De estas graficas obtenidas, lo mas sencillo de entender seria la relacin que existe en una grfica lineal, por lo que se trata de representar estas otras grficas, haciendo el ajuste de curvas correspondiente.

En el presente informe nos dedicaremos a obtener grficos de datos que nos han sido proporcionados en tablas, para obtener ecuaciones a partir de mtodos y de estos datos.

Objetivos

1. Obtener graficas que interrelacionen dos magnitudes mediante datos y/o resultados obtenidos

2. Construir ecuaciones experimentales a partir de las graficas y de los datos.

3. Interpretar su comportamiento de las ecuaciones.

4. Obtener mas resultados a partir de la ecuacin formada.

INFORMACIN TEORICO.-

Los datos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones graficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas, semilogaritmocas segn sea el caso. De estas se busca la grafica lineal (recta), para facilitar la construccin de las formulas experimentales que representa las leyes que gobiernan el fenmeno.

Se grafica en un papel milimetrado los valores de la tabla.

Se compara la distribucin de puntos obtenida con curvas conocidas.

Si se logra identificar la forma de la distribucin de los puntos el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante la tcnica de mnimos cuadrados. El modelo de ajuste que utilizaremos es lineal, esto significa que la ecuacin que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es:

Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El ajuste de la distribucin de puntos experimentales ahora se puede automatizar mediante programas de computo que facilitan el trabajo.

El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribucin de puntos no tiene una tendencia lineal, se pasa a un papel logartmico o semilogaritmico; en alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una lnea recta.

Para las relaciones de la forma, y = k xn diferente de 1, sus grficos en el papel logartmico o rectas con pendiente m = n que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda preferentemente usar papel logartmico 3x3; Cada ciclo esta asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con..., 10-1, 100, 101, 102... etc. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar el papel semilogaritmico.

En papel milimetrado tambin se pueden construir grficos lineales para ecuaciones de curva. Esto depender de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos.

Por ejemplo:

AbscisaX01234

OrdenadaY01,56,013,524,0

Grafico Parbola

AbscisaX2014916

OrdenadaY01,56,013,524,0

Grafico Recta

Mtodo de los mnimos Cuadrados

De la distribucin lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logartmico o semilogaritmico se calcula la pendiente m y la ordenada b. El mtodo de ajuste mas adecuado para una distribucin lnea es la tcnica de mnimos cuadrados.

Para aplicar esta tcnica se construye primero una tabla de la forma:

XiYiXiyiXi2

X1Y1X1y1X12

X2Y2X2y2X22

.

.

.

xp.

.

.

yp.

.

.

xpyp.

.

.

xp2

xiyixiyixi2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen:

Donde p es el numero de mediciones.

Luego la formula experimental es la ecuacin de la recta: y = mx + b

Una vez ajustada la distribucin lineal, se procede a hacer los clculos a fin de encontrar la formula experimental buscada.

En los casos de las distribuciones lineales en papeles logartmicos y semilogaritmico las formulas experimentales son:

Y = b x m

Se grafica en papel logartmico.

Y = b10mx

y = be2,303mx Se grafica en papel semilogaritmico

Donde se considera que 10 = e2,303Dado que en el ajuste lineal es por el mtodo de los mnimos cuadrados la tabla se convierte en logartmica y semilogaritmica, cuidando de colocar los valores con un mnimo cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

Logy = mlogx + log b, y logy = mx + log b

La ordenada en el origen b obtenida por la formula ser b , que corresponda a log b, por lo que b se calcula como antilogaritmo de b. As b = antilog b.

En caso de no ser necesario hacer ajustes, m se calcula con la pendiente de la distribucin lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongacin de la recta con el eje vertical.

1. La medida de la intensidad de corriente conducida por un hilo de micrn, y la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este.

I

(A)V(V)

0,5

1,0

2,0

4,02,18

4,36

8,72

17,44

2. La medida del tiempo de evacuacin de agua de un deposito a travs de una llave de cierto dimetro de salida. La siguiente tabla muestra datos para el experimento tomadas para cuatro llaves diferentes y todas medidas a igual altura de agua del mismo deposito.

H(cm)301041

D(cm)Tiempo de vaciado t(s)

1,573,043,026,713,5

2,041,223,715,07,2

3,018,410,56,83,7

5,06,83,92,21,5

3. Medida de la actividad del radn, donde el da cero se detect una desintegracin de 4,3x1018 ncleos.

T(das)012345678910

A(%)10084705949413427242017

PROCEDIMIENTO

Nos otorgan datos mediante tablas obtenidas de un proceso de medicin. Estos valores nos indican las relaciones que existen entre ambas magnitudes. Para ver la relacin entre las magnitudes primero debemos graficarlo en unas hojas especiales para este tipo de graficas, usando los ejes coordenados y las divisiones de estas hojas siendo milimetradas logartmicas y semilogartmicas. De estas graficas efectuadas, se buscan que tipo de graficas sean para hallar la formula experimental que relaciona a una magnitud con la otra y as nos permita tener un dato de una magnitud ingresando el dato de la otra.

Al identificar la grafica lineal mediante la unin de puntos, se hace el ajuste mediante la tcnica de mnimos cuadrados o tcnica de aproximacin de pares de puntos (para lneas rectas) que son para hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b que son constantes para el uso de la ecuacin de las graficas a determinar.

Dependiendo de que tipo sea la grafica que se haya hecho en papel milimetrado sea rectilnea o no rectilnea. De no ser rectilnea se pasa a un papel logartmico o semilogaritmico, donde en algunos de estos papeles la grafica saldr en forma rectilnea.

Examinando la grafica podemos determinar la ecuacin, dependiendo del tipo de grafica que se obtenga.

De ser una recta horizontal:y = Cte.

De ser una recta vertical

:x = Cte.

De ser una recta inclinada

:y = b + mxoy = b-mx

De ser una lnea no recta se usa en papel logartmico o semilogaritmico

De ser lnea recta en papel logartmico la ecuacin sera:

y = b xm

De ser lnea recta en papel semilogaritmico la ecuacin sera:

Y = b10mxComo hallar la pendiente m y la ordenada b

De los dos mtodos antes mencionados emplearemos mtodos de mnimos cuadrados que consiste en emplear los datos obtenidos de la relacin de dos magnitudes, de estos se usan los valores x e y, su producto de ambos y x elevado al cuadrado. De estos datos hallamos sus sumas, y con estas sumas y las formulas otorgadas procederemos a hallar la pendiente m y la ordenada b.

1.- Plantear y graficar en papel milimetrado los valores de las tablas:

V = V(I)

I V I.V I2

0,5 2.18 1.09 0.25

1,0 4.36 4.36 1,0

2,0 8,72 17,44 4

4,017,44 69,76 16

17,532,7 92,65 21,25

Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados se obtiene:

m = 4,36

b = 0

La ecuacin ser:V = 4,36 (I) + 0

t = t(d)

- t = t1(d)h = 30

d t1 d.t1 d2

1,5 73 109,5 2,25

2 41,2 82,4 4

3 18,4 55,2 9

5 6,8 34 25

11,5139,4 281,11 40,25Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados se obtiene:

m = -16,65

b = 2378,2

28,75

La ecuacin ser:t1 = 82,72(d)-16,65. t

- t = t2(d)h = 10

d t2 d.t2 d2

1,5 43 64,5 2,25

2 23,7 47,4 4

3 10,5 31,5 9

5 3,9 19,5 25

11,5 81,1 162,9 40.25


m = -9,775

b = 48,38


- t = t3(d)h = 4

d t3 d.t3 d2

1,5 26,7 40,05 2,25

2 15 30 4

3 6,8 20,4 9

5 2,2 11 25

11,5 50,7101,45 40,25Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados se obtiene:

m = -6,16

b = 30,4


- t = t4(d)h = 1

d t4 d.t4 d2

1,5 13,5 20,25 2,25

2 7,2 14,4 4

3 3,7 11,1 9

5 1,5 7,5 25

11,5 25,9 53,25 40,25


m = -2,95

b = 14,98


t = t(h)

- t = t1(h)d = 1,5

h t1 h.t1 h2

30 73 2190 900

10 43 430 100

4 26,7 106,8 16

1 13,5 13,5 1

45156,2 2740,3 1017


m = 1,92

b = 17,4

La ecuacin ser:t1 = 17,4(h)1,92. t- t = t2(h)d = 2

h t2 h.t2 h2

30 41,2 1236 900

10 23,7 237 100

4 15 60 16

1 7,2 7,2 1

45 87,1 1540,2 1017


m = 1,09

b = 9,43


h t3 h.t3 h2

30 18,4 552 900

10 10,5 105 100

4 6,8 27,2 16

1 3,7 3,7 1

45 39,4 687,9 1017


m = 0,48

b = 4,46


h t4 h.t4 h2

30 6,8 204 900

10 3,9 39 100

4 2,2 8,8 16

1 1,5 1,5 1

45 14,4 253,3 1017


m = 0,18

b = 1,59

La ecuacin ser:t4 = 1,59(h)0,18. t A = A(t)

tA t.A t2

0100 0 0

184 84 1

270 140 4

359 177 9

449 196 16

541 205 25

634 204 36

727 189 49

824 192 64

920 180 81

1017 170 100

555251737 385


m = -8,072

b = 88,09

La ecuacin ser:A = 88,09(10)-8,072. t2.- Graficar las distribuciones no lineales:

a) Grafique t = t(h) en papel logartmico.

b) Grafique A = A(t) en papel semilogaritmico.

c) Grafique t = t(d) en papel logartmico.

d) Haga z = y grafique t = t(z) en papel milimetrado.

t = t(z)

z = 1/d2 z = 1/(1,5)2 = 0,44

z = 1/(2)2 = 0,25

z = 1/(3)2 = 0,12

z = 1/(4)2 = 0,04

- t = t1(z)h = 30

z t1 z.t1 z2

0,44 73 32,12 0,1936

0,25 41,2 10,3 0,0625

0,12 18,4 2,208 0,0144

0,04 6,8 0,272 0,0016

0,85 139,4 44,9 0,2721

Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados se obtuvo:

m = 167,01

b = -0,64

La ecuacin ser:t1 = 167,01(z) 0,64

- t = t2(z)h = 10

z t2 z.t3 z2

0,44 43 18,92 0,1936

0,25 23,7 5,925 0.0625

0,12 10,5 1,26 0.0144

0,04 3,9 0,156 0,0016

0,085 81,1 25,001 0,2721


m = 84,9

b = 2,23

La ecuacin ser:t2 = 84,9(z) + 2,23

- t = t3(z)h = 4

z t3 z.t3 z2

0,44 26,7 11,74 0,1936

0,25 15 3,75 0.0625

0,12 6,8 0,816 0.0144

0,04 2,2 0,088 0,0016

0,085 50,7 16,394 0,2721


m = 60,73

b = 0,35

La ecuacin ser:t3 = 60,73(z) + 0,35

- t = t4(z)h = 1

z t4 z.t4 z2

0,44 13,5 5,94 0,1936

0,25 7,2 1,8 0.0625

0,12 3,7 0,44 0.0144

0,04 1,5 0,06 0,0016

0,085 25,9 8,24 0,2721


m = 29,59

b = 0,11

La ecuacin ser:t4 = 29,59(z) + 011

3. - Encuentre los nuevos valores de yi obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida yi experimentales aplicado al caso t = t(h) .

Como:

d = 1,5

ht

3073

10 43

426,71 13,5

log(h)

log(t)

log(h).log(t)

(log(h))2

log30

log73

log30.log73

(log30)2

log10

log43

log10.log43

(log10)2log4

log26,7log4.log26,7

(log4)2log1

log13,5log1.log13,5

(log1)2

3,0792

6,0536 5,2447

3,5444


m = 0,49

b = 1,13

Pero: b = antilog(b) = 10b = 101,13 = 13,48

La ecuacin ser:t = 13,48(h)0,49. tEntonces los nuevos valores sern:

t1 = 13,48(300,49) = 73,38

t2 = 13,48(100,49) = 42,46

t3 = 13,48(40,49) = 26,9

t4 = 13,48(10,49) = 13,484.- Haga w = para las alturas y dimetros correspondientes a :

t = 73,0; 43,0; 26,7; 15,0; 10,5; 3,9; 1,5 s.

- t = 73h = 30

d = 1,5w = 2,4

- t = 43h = 10

d = 1,5w = 1,4

- t = 26,7h = 4

d = 1,5w = 0,9

- t = 15h = 4

d = 2

w = 0,5

- t = 10,5h = 10

d = 3

w = 0,35

- t = 3,9h = 10

d = 5

w = 0,13

- t = 1,5h = 1

d = 5

w = 0,04

5.- Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribucin no es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuacin experimental correspondiente: t = t(h,d).

w t t.w w2

0,04 1,5 0,06 0,0016

0,13 3,9 0,507 0.0169

0,35 10,5 3,675 0.1225

0,5 15 7,5 0,25

0,9 26,7 24,03 0,81

1,4 43 60,2 1,96

2,4 73 175,2 5,76

5,72 173,6271,172 8,921


m = 30,45

b = -0,081

La ecuacin ser:w = 30,45(t) 0,081

CUESTIONARIO

1. Halle los tiempos de vaciado de agua s:

CASOSALTURA (h)

(cm)DIAMETRO (d)

(cm)TIEMPO (t)

(s)

01204.08.38

02401.0189.73

03253.512.24

04491.0210

Se conoce Tvac. = K

K (Cte.) se obtiene de la tabla 2:

t = 73 t = 41,2 t = 18,4t = 6,8

h = 30 h = 30

h = 30

h = 30

d = 1,5 d = 2,0

d = 3,0

d = 5,0

K = 30

Reemplazando:Tvac. = 30

2. Calcule el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de Radn.

De la tabla 2; cuya ecuacin es:A = 100,0921 e2,303 0,0779. tEntonces:

A = 100.10-0,1. t

log

log A 2 = -0,1t

Tomando A = 50 se tiene que:

log 50 2 = -01.t

2log 5 + log 2 2 = -0,1.t

2(0,7) + 0.3 2 = -0,1.t

t = 3, 87 dias

3. Compare los valores yia obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida yi experimentales aplicado al caso t=t(h)

Los valores de salida yi ( iniciales) son:73; 43; 26,7;13,5.

Los nuevos valores son: 73,3847; 42,4619; 26,9045; 13,4896.

Entre uno y otro valor hay un aumento y tambin una disminucin.

- Disminucin:43 ------------- 42,4619

13,5 ------------- 13,4896

- Aumento:

73 ------------- 73,3847

26,7 ------------- 26,9045

CONCLUSIONES

Podemos concluir que para realizar una grafica muy acertada se requiere de efectuar muchas mediciones con las menores fallas posibles, las cuales primero se colocaran en el papel milimetrado, semilogaritmico o logartmico hasta encontrar una lnea recta. Toda esta operacin no siempre ser suficiente para hallar las graficas y necesitaremos del ajuste del mtodo de mnimos cuadrados, que tambin para hacerlo ms acertado tendremos que hacer numerosas mediciones.

El trabajo realizado en las graficas nos proporciona una nocin estadstica de las variaciones que ocurren en un fenmeno fsico, si manipulamos las magnitudes independientes en l, y al hallar sus respectivas formulas experimentales podremos ver con ms exactitud como son estas variaciones y llevndolas a las graficas observaremos sus tendencias a disminuir o aumentar segn sea el caso. Debemos recordar tambin que las formulas aplicadas a las graficas promedian estas tendencias para un mejor estudio.

Para llevar estos fenmenos fsicos del mtodo experimental hacia las graficas debemos tener en cuenta que nuestras mediciones no siempre coincidan con las escalas designadas en los papeles ya mencionados para las graficas, ello es lo que hace cometer errores sistemticos al momento de colocar los puntos, pero para evitar eso buscaremos nosotros modificar las escalas con el propsito de ponerlas en funcin de nuestros datos. Finalmente estos pasos mejoraran no la forma de ver exactamente los fenmenos fsicos; sino observar con claridad y comprender el modo como se muestran cuando manejamos diversos datos que nos proporcionara una nocin de cmo se realiza en nuestro medio.

De todos los fenmenos que ocurren podemos agruparlos en tablas y hallar ciertas dependencias entre sus componentes y hacer que uno este en funcin de otro y mediante mtodos estadsticos (mnimos cuadrados, aproximacin de pares de puntos, etc.) podemos encontrar una tendencia dndole una formula que cumplir para cualquier dato de la misma naturaleza del experimento.

La finalidad de buscar graficas lineales es siempre facilitar la construccin de las formulas experimentales y a partir de estas generalizar.

EMBED Equation.3

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FISI - UNMSM

_1020455341.unknown

_1146586740.unknown

_1146591838.unknown

_1146591886.unknown

_1146590137.unknown

_1146514937.unknown

_1020454974.unknown

_1020455326.unknown

_1020282863.unknown

_1020454212.unknown

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