LABORATORIO No. 3 DE FISICA II PENDULO FISICO Y DE TORSIÓN

CERON LEIDY (28035133); PORTILLA CRISTIAN (28035174); MONTENEGRO CRISTIAN (28035152); SANTANDER MARGARETH (28035107)

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL, FACULTAD DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL, UNIVERSIDAD DE NARIÑO.

CORREO ELECTRONICO: marguis_santanderm@hotmail.com

RESUMEN

Mediante el desarrollo de tres montajes se determinaron las características que poseen los péndulos: físico y de torsión, analizando sus constantes y periodos. Con la utilización del péndulo físico se determinó la gravedad experimental de la Universidad de Nariño, que correspondió a

962.98cm / s2, así, el porcentaje de error con relación al valor teórico fue 5.5%. Por otra parte, mediante el péndulo de torsión se estableció que el módulo de rigidez del alambre que sostenía al disco fue de 4.03 x 1011g /cm2 s2. Finalmente se determinó que el momento de inercia inicial del

segundo montaje del péndulo de torsión fue de 118,429 g . cm2 , y su error experimental correspondió al 6%.

INTRODUCCIÓN

El péndulo físico también llamado péndulo compuesto se forma de un cuerpo rígido, conformado por uno o varios objetos los cuales oscilan alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad.

Figura No.1 Péndulo físico

Este movimiento consta de un periodo formado por la ecuación:

Donde I es la inercia, la cual esta por el teorema de los ejes paralelos como:

ECUACIÓN No. 1

T=2π √ Img

ECUACIÓN No. 2

I=m K2

ECUACIÓN No. 3

K= L2+c2

12

Siendo K el radio de giro, L, la longitud de la varilla y c el acho de la varilla.

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la distribución de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento de rotación, este momento desempeña un papel análogo al de la masa inercial en caso del movimiento rectilíneo uniforme.

Por otra parte, el péndulo de torsión es un material elástico que reacciona contra la torsión (par torsor). En particular, cuando se le aplica una torsión, el material reacciona con un par torsor contrario.

Figura No.2 Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión está compuesto de un objeto, generalmente simétrico, colgado de una varilla, un hilo metálico o una fina cinta metálica. El principal inconveniente de este péndulo es precisamente el de estar colgado. Esto impidió su utilización en relojes de pulsera o de bolsillo.

Figura No.3 Péndulo de torsión

En los dos casos, si el volante se separa de la posición de equilibrio un ángulo , el dispositivo elástico ejerce un momento sobre el volante. El signo menos indica que cuando es positiva, el momento tiende a volver el volante hacia su posición de equilibrio. La constante k, no es la misma que la de la ecuación de la masa con un resorte. Esta vez la unidades de k son

. La ecuación del sistema es:

Como en los ejemplos anteriores la solución es:

Esta vez el oscilador es realmente armónico. Independientemente de que se emplee el hilo o la varilla de torsión o el muelle en espiral, el momento sigue siendo proporcional al ángulo, aún para grandes ángulos. La razón es que, incluso para grandes ángulos, la deformación del material elástico es muy pequeña

Posee un movimiento de oscilación (mediante torsión y des-torsión) tras haber dado un torque inicial. Si I es el momento de inercia de un cuerpo con respecto a su eje de oscilación, y si K es el coeficiente de torsión de la fibra oscilante (es necesario un torque para aplicar una torsión inicial de aproximadamente un ángulo de un radián), entonces el periodo de oscilación de este péndulo está dado por la ecuación:

MONTAJE No.1: PENDULO DE TORSION

ARREGLO EXPERIMENTAL

1. DESCRIPCION DEL MONTAJE PARA EL PENDULO FISICO

El péndulo compuesto utilizado en esta práctica consiste en una barra metálica uniforme, de forma plana agujerada, y de un sistema de suspensión con una abrazadera sobre la barra para que pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal. La abrazadera deslizante permite el apoyo adecuado de la barra, para que la misma pueda oscilar libremente. Antes de colocar la abrazadera se procederá a calcular la posición del centro de gravedad al punto de oscilación; posteriormente se hizo oscilar la barra con una pequeña amplitud y se determinó el periodo midiendo el tiempo de 20 oscilaciones.

Cambiando la abrazadera de lugar, este procedimiento se repetía de igual forma al anterior 5 veces. La abrazadera se situaba cada vez más

próxima al centro de gravedad, pero sin alcanzarlo. Como consecuencia, tendremos una tabla de valores de la distancia y su periodo asociado.

ECUACIÓN No. 6

T=2π √ IK

ECUACIÓN No. 4

ECUACIÓN No. 5

2. DESCRIPCION DEL MONTAJE PARA EL PENDULO DE TORSION.

a. PENDULO DE TORSION CON BARRA.

El péndulo de torsión utilizado en esta práctica consiste en una barra uniforme, ubicada centralmente sobre un alambre tensionado de tal manera para evitar ondulaciones, sobre la barra se ubicara primeramente una masa a la cual además de tomar su ubicación (medida del alambre a la mitad de la masa) se la someterá a ondular y determinar los tiempos para 10 oscilaciones y así determinar el periodo. Este procedimiento se repite con una masa adicional a la masa inicial.

b. PENDULO DE TORSION CON UN DISCO SUSPENDIDO

El péndulo de torsión con un disco suspendido se basa en una masa circular colgante sobre un alambre alineado a lo máximo posible para evitar alteraciones al momento de oscilar. En esta practica se realizaron oscilaciones con la misma masa, pero a diferentes longitudes (del disco al punto de suspensión) tomando tiempos para determinar así el periodo.

Instrumentos de medida necesarios para el buen desarrollo de las prácticas:

Cronómetro: Instrumento de medida de tiempo, en la práctica nos sirve para la determinación de los tiempos de las oscilaciones y poder obtener así un promedio final y posteriormente el periodo.

Cinta métrica: instrumento de medida de longitudes, en la práctica sirve para determinar las distancias que existen desde el centro de masa de la regla a trabajar al punto de suspensión de la misma (péndulo físico); la distancia del alambre a las masas (péndulo de torsión con barra) y las distancias de la masa suspendida al punto de suspensión (péndulo de torsión con masa suspendida)

Soporte: instrumento que durante el desarrollo de las prácticas sirvió de columna para mantener la estabilidad de los instrumentos sometidos a análisis (regla, disco y barra) y obtener los resultados precisos y exactos sin gran margen de error.

DATOS Y RESULTADOS

PENDULO FISICO1. Pese la regla y determine sus dimensiones. Calcule y localice aproximadamente el radio

de giro K.

Para obtener el radio de giro, se tuvo en cuenta la geometría de la lámina rectangular que fue utilizada.

Por medio de la ecuación:

k 2=L2+C2

12= L2

12 De donde k 2= L2

12

Entonces asi obtenemos que:

K2=¿¿ L2

12=

59.22

12= 292 cm2

2. Busque el centro de masa de la regla.El centro de masa fue el centro de la regla que correspondió a 29.6 cm.

Tabla Nº.1 Longitud, tiempo y periodo para el péndulo físico

Suceso Distancia(cm) t1(S) t2(S) t3(S) Tp (S) T (tp/n) T2 L2 L*T2

1 25 12,06 12,09 12,09 12,08 1,208 1,459 625 36,482

2 20 11,63 11,64 11,68 11,65 1,165 1,357 400 27,145

3 15 11,54 11,50 11,53 11,52 1,152 1,328 225 19,918

4 10 12,24 12,26 12,24 12,25 1,225 1,500 100 14,998

5 5 15,5 15,58 15,48 15,52 1,552 2,409 25 12,044

6 -5 15,78 15,76 15,75 15,76 1,576 2,485 25 -12,424

7 -10 12,36 12,34 12,36 12,35 1,235 1,526 100 -15,260

8 -15 11,59 11,60 11,63 11,61 1,161 1,347 225 -20,207

9 -20 11,70 11,73 11,76 11,73 1,173 1,376 400 -27,519

10 -25 12,13 12,12 12,16 12,14 1,214 1,473 625 -36,825

3. Realice un grafico que interpole los datos de las ultimas columnas de la tabla Nº , colocando y= l T2 en el eje de las coordenadas y x = l2 en el eje de las abscisas.

Grafica No.1: l T2 vs. = l2

Grafico No.2: Regresión lineal de LT2 vs L2

Las ecuaciones utilizadas para calcular la regresión lineal fueron:

Tipo de datos

Ecuación de la recta

Positivos 0.041 x +10.83Negativos -0.041 x -11.22

4. Realice un grafico de T contra l ¿que grafico resulta? Son simétricas las curvas?

Grafica No. 3: T Vs. l

El grafico que resulta es una rama asintótica que se abre en el primer cuadrante y puede analizarce que las dos curvas son simetricas.

5. Cual es el periodo del péndulo cuando l es igual a cero?

Cuando el punto de suspensión está en el centro de masa, en la ecuación del periodo se obtiene una indeterminación cuando la longitud se vuelve cero, por lo tanto se supone que el periodo tiende a infinito.

6. En el grafico Nº3 trace una recta paralela al eje de las abscisas, para un periodo mayor que el mínimo. Que representan los 4 puntos de intersección de esta recta con las dos curvas?

Los 4 puntos de intercección de la recta trazada que atraviesa a las dos curvas representa la longitud de un péndulo simple.

7. Determine a partir del grafico Nº2 los valores de g y K. y analice dimensionalmente la pendiente y el intercepto de dicha grafica.

La ecuación utilizada para el cálculo del periodo de un péndulo físico viene dado por:

T=2π √ Igl

donde l=longitud

g=gravedad

Elevando esto al cuadrado obtenemos:

T 2=4 π2

gmI

Si se sabe que I = k 2+l2 entonces:

T 2=4 π2

gl(k2+l2 )

l T2=4 π 2

gk2+ 4 π2

gl2

Esto se puede interpretar como una recta donde el eje “x” representa los valores de las diferentes longitudes que toma el péndulo. El eje “y” representa los valores del periodo cuadrado (LT2) y Por

esta razón, la pendiente m esta representada por el cociente de una constante 4 π2

g de aquí se

obtiene que la gravedad es igual a:

g= 4π 2

m

Pendiente = 0.041 Intercepto = 10.38 El valor de la aceleración de la gravedad seria:

g= 4 π2

0.041

g=962.98cm /s2

Sabiendo que b=4 π2

gk 2 de esta expresión se puede obtener el valor del radio de giro,

despejando K:

K2=b∗g

4 π2

K2=10.38∗962.98

4 π2

K2=253 cm2

Para encontrar el error de la gravedad obtenida si se sabe que la gravedad de pasto es

978.19cm

sg2 y la gravedad obtenida fue cm

sg2 , de aquí se obtiene:

%Error experimental=|g p−ge

gp|×100

%Error experimental=|978.19−962.98978.19 |×100

%Error experimental=1.55%

PENDULO DE TORSIÓN

DATOS Y RESULTADOSTabla No. 2 Longitud, tiempo y periodo para el péndulo de torsión

l(cm) t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) T(s) T2(s2)10 10,77 10,88 10,88 10,84 1,084 1,176

12 11,31 11,27 11,27 11,28 1,128 1,273

14 12,37 12,34 12,38 12,36 1,236 1,529

16 13,16 13,08 13,09 13,11 1,311 1,719

18 13,77 13,79 13,79 13,78 1,378 1,90020 14,55 14,46 14,44 14,48 1,448 2,09822 15,3 15,33 15,37 15,33 1,533 2,35124 15,73 15,77 15,77 15,76 1,576 2,48326 16,47 16,53 16,48 16,49 1,649 2,72028 16,99 16,99 16,98 16,99 1,699 2,88530 17,17 17,91 17,45 17,51 1,751 3,066

Diámetro del disco: 12cm Masa del disco: 870g Diámetro del alambre: 1mm Radio del alambre: 1mm

GRAFICA No.4 Dispersión de T Vs. L

GRAFICA No. 5: Dispersión de T2 vs L

GRAFICA No. 6: Linealización de T2 vs L

Obtenga la pendiente del grafico T2 vs L y relacione esta cantidad de acuerdo con la ecuación:

T=2πR2 √ 2 IL

μπ

La pendiente del grafico T2 vs L es 0,0977.Al elevar ambos lados de la ecuación anterior al cuadrado se tiene:

T 2=4 π2

r4

2 ILμπ

T2=( 8 πI

r 4μ )LEntonces: 0,0977¿( 8 πI

r 4μ ); a partir de esta, se encuentra el valor de μ:

μ= 8 πI

r 4(0.0977)

De donde el momento de inercia corresponde a: I= M R2

2

I=870 Kg∗(6.cm )2

2

I=15,660 g . cm2

Entonces el módulo de reigidez del alambre es :

μ= 8 π∗15,660 g . cm2

(0.001cm )4 0.0977 S2/cm= 4.03 x 1011g /cm2 s2

MONTAJE No.2: PENDULO DE TORSION

DATOS Y RESULTADOS

Tabla No.3 Longitud, tiempo y periodo para el péndulo de torsión

l(cm) t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) T(s) T2(s2)13 23.20 23.37 23.29 23.28 2.33 5.43

14.5 27.97 28.02 28.06 28.01 2.80 7.84

De acuerdo a la formula:

T 1=2π √ I1

K

Pero teniendo en cuenta los momentos de inercia de cada una de las masas se tiene:

T 2=2π √ I 1+ I2

K

Donde I 2=2 M2 R22.al elevar al cuadrado estas dos ecuaciones se obtiene:

T 22=4 π2( I 1+ I2

K ) y T 12=4 π2( I 1

K )Al dividir las dos ecuaciones de los periodos:

(T1

T2)

2

=( I1

I 1+ I 2)

Si se sabe que:I 2=2 M2 R2

Reemplazando en la ecuación y despejando se tiene:

T12

T22 =

I 1

I 1+ I 2

T 12 ( I 1+ I2 )=I1T2

2

T 12 I 1+T1

2 I 2=I 1T22

I 1T 22−T 1

2 I 1=T12 I 2

I 1=T1

2 I 2

T 22−T 1

2

Por consiguiente:

De acuerdo a la formula se obtuvo el valor del momento de inercia inicial I 1:

I 2=2×125g×14.5cm2=52,562.5g .c m2

I 1=¿¿

Se tomó como valor teórico del momento de inercia del péndulo de torsión como 111Kg .cm2, por tanto el error experimental fue:

%Error experimental=|111,000 g . cm2−118,429 g . cm2

111g . cm2 |×100

%Error experimental=6 %

CONCLUSIONES

Como se observa en la grafica 3 el periodo del péndulo físico cuando l=0 cm no esta definido, al parecer, tiende a infinito, es decir el péndulo se mostrará más rígido al movimiento a medida que T tienda a cero.

Se utilizó un método bastante preciso en el cálculo de la gravedad mediante el empleo del péndulo de torsión, ya que el error experimental fue bajo

Si la varilla fuera diseñada perfectamente y la densidad fuera la misma, osea, presentara una estructura homogénea, el periodo tendría el mismo periodo en cada uno de los centros de suspensión.

A través de esta serie de procedimientos se puede encontrar valores de los momentos de inercia de cuerpos, siempre y cuando hagan parte de un péndulo físico.

En el montaje No. 1 para el péndulo de torsión el momento de inercia del disco permanece constante debido a que el centro de rotación es el mismo.

Para el montaje No.2 del péndulo de tosión, el momento de inercia depende de factores como la varilla, las masas y el soporte, por tanto se encuentraron 2 momentos de inercia.

Los errores cometidos en la práctica son de tipo humano, sistemático y aleatorio.

Los datos calculados para el péndulo de torsión presentan un porcentaje de error bajo (6%), con lo cual se puede establecer que se utilizó un adecuado método experimental.

BIBLIOGRAFIA

1. Serway R. Física. Tomo I y II. 5° Edición. Páginas 365 a 367.

2. Gettys, E.; Keller, F.; Skove, M. Física Clásica y Moderna. Ed Mc Graw Hill.Páginas 354, 355 y 356.