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LA TRANSFORMADA RÁPIDA HE FOÜRIER
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE
INGENIERO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE ELECTRO
-NICA DE LA ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL .
P. MARCELO RODAS POSSO
Quito, Enero de 1977.
-• II
CERTIFICO, QUE EL PRÉSEME TRABA-
JO HA SIDO REALIZADO INTEGRAMENTE
POR .EL SEÑOR MARCELO RODAS POSSO,
ING. GUALBERTQ HIDALGO
Director de Tesis
- III -
AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi agradecimiento
al Ing* Gualherto Hidalgo, Dire_c
tor de Tesis, quien con sus corise;
jos, 'sugerencias y críticas ha he
t-ho posi"ble la realización dé e_s
te trahajo*
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene por objeto realizar un ana
lisis matemático de la Transformada de Fourier, para
luego realizar un programa principal para obtener la
Transformada Rápida de Fourier.
La Tesis consta de 4 capítulos; en el primer capítu
lo se realiza un estudio sobre 1-a .Transformada diseré
ta Generalizada, en el segundo capítulo se hace un e
tudio de las Transformadas continua y discreta de
Fourier, así como tam"bién un análisis de la matriz de
transformación o matriz de Pourier, en el tercer ca-
pítulo se hace un estudio del algoritmo rápido para\l cálculo de la Transformada discreta de Eourier, así
como el estudio de los Espectros de Potencia y Pase,
FinalmenteP en el cuarto capítulo se presentan los re-
sultados obtenidos al procesar las distintas curvas,
mediante el programa que obtiene la Transfórmela Rápi-
da de Fourier,
Hay que anotar, que todos los programas
presentados han sido escritos en FORTRAN IY y corridos
en la computadora IBM 370-125, propiedad de la Escuela
Politécnica Nacional*
ÍNDICE •
Página
CAPITULO I
LA TRANSFORMADA DISCRETA GENERALIZADA
1.1 La Transformada discreta generalizada co-
mo una caso de transformación de vectores 1
CAPITULO II
ESTUDIO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
2.1 Transformadas continua y discreta de Eourier 6
2. 2 Matrices de Pourier ........ ...... 0 ...... 12
2.2.1 Características do las matrices de Eourier 12
2.2.2 Obtención de las matrices de Eourier .... 15
Programa para la obtención de los valores
de <K> ............ . .......... ..... « , . , . 18
CAPITULO III
RÁPIDA DE
3.1 Factorización de las matrices de Eourier. - 21
3*2 Algoritmo para el cálculo de la Transfor-
mada de Eourier ..... . . „ ....... . ........ „ 24-
Programa para la obtención de la Transfor
mada Rápida de Pourier ........ . ......... 34
3.3 Espectros de Potencia y Fase de la Trans-
formada de Fourier . , .......... . ..... .... 39
3.3.1 Espectro de Potencia ...,c ..... « ......... 39
Página
3,3.2 Espectro de Fase ,.....«.,..... 46
Programa para obtener los Espectros de P_o
tencia y Fase de la Transformada de Eourier 47
. ----- Programa para ordenar los.-Espectros. 51
Programa para realizar los gráficos de la.
curva original, Espectros de Potencia y Fase 54
3.4 La Transformada de5 Fourier multidirnensional 61
OAPITULO...I_y
APLIAGION PRACTICA
Resultados y gráficos_del procesamiento de
las curvas #1, #2, #3 y #4. 65
Programa para seleccionar los valores más
altos de la Transformada Directa de Fourier 93
Resultados y gráficos de las curvas recons-
tituidas a partir de un determinado número
de coeficientes *, 0 -..,»• , ' 96
- 1 -CAPITULO I
LA_ TRANSFORMADA DISGRETA^G-ENBRALIZADA
1,1 LA TRANSFORMADA DISCRETA GENERALIZADA COMO UN CASO
DE TRANSFORMACIÓN DE VECTORES.
Sea una señal analógica cualquiera f(t)p la cual
de"be ser muestreada con alguna finalidad, siendo N el
número de muestras en un intervalo de tiempo,
Si se considera que la señal f (t) es de la siguiente
forma:
fig. (1.1)
y si se conoce que la Transformada de Fourier de la se-
ñal f(t) es F(co)p se puede realizar un gráfico hipoté-
tico de lo que sería la transformada 3? (co) : .
-Ñ/2
fie (3 ?"}J- J-tS • \ • ¿~ J
Como se puede observar, las muestras tomadas de la se-
ñal f(t), no son sino una serie ordenada de valores,
los cuales en el dominio de frecuencia se han transfor-
- 2 -
mado en otra serie ordenada de valores, razón por la
cual se puede estudiar 1-a Transformada Discreta G-ene
ralizada como un caso de transformación de vectores.
Esta transformación de vectores, es una transformación
-lineal ya que cumple con las siguientes propiedades:
a) La transformada de la suma de vectores, es igual a
la suma de las transformadas de los vectores.
b) La transformada del 'producto de un escalar por un
vector, es igual al escalar por la transformada deli
vector.
Se puede asumir que el número de dimensiones del
vector transformado es igual al número de dimensiones
del vector muestra, de tal manera que si tenemos 1T
muestrasT éstas se transformarán en 1T valores transfor
mados; raaón por la cual ésta transformación se la
puede estudiar como una transformación de bases en el
espacio 3\ dimensional, al cual representaremos por B^o
Sea: X,, , X¿ P X^ ,..,.., Xw = X, una bas'e del espacio 33 N.
y XI,, , XÜ2, , XT,, . . . . . ,XTM = XT, la base X transformada»
Como se mencionó anteriormente, ambas bases pertenecen
al espacio N dimensional, de tal manera que encontran
do la relación o relaciones existentes entre las dos
bases, se habrá llegado a la definición de la Transfor
mada discreta Generalizada.
Una de las relaciones existentes entre las "bases X" y
XT es que son linealmente independientes, o sea que
la combinación lineal entre X y XT de"be ser igual a
cero» lo cual puede ser expresado como: c(Y + /3 XT" =0,
relación que se cumple solo para o¿ = /3 = O.
Cualquier vector del espacio F dimensional BN puede ser
expresado en forma única como una combinación lineal
de los vectores de la "base X; como los vectores de la
"base XT también pertenecen al espacio Bu , cada vectori
de la "base XT puede ser expresado mediante la "base X" .
De tal manera que se tiene que:
vrn _-A..1,, — t f
XÍCa -
• <i a * • • * ^* U TlTX.
expresión qus escrita en forma matricial toma la forma:
XT¿
n__
=
w/M va, t t . t t 4 t t . t t t "C|n
4 - 4 - 4-
* •
t t t71 J
X,•*>- í,
*
a
y_ ^_
(1.1)
- 4 -
La ecuación (l.l) en forma simplificada:
[XT] =
siendo ésta ecuación la que determina la Transformada
f 1discreta generalizada; donde T e s una matris de transL J ~~
formación, por intermedio de la cual se puede conseguir
la transformación de los vectores de la "base X en los
vectores de la "base XT«
r iLa matriz T representa las coordenadas de los vectoL J —
res XT en la base X, por lo que se le denomina matriz
de transformación de la base X por la base XT.
De igual manera que se obtuvo los vectores de la base
XT expresados en función de la base "X, ahora se obti_e
nen los vectores de la base Y como una combinación II
neal de los vectores de la base SE. Entonces se tiene;
A-L-j bíz A-í-
-f-^
íz --i, . e • *
4- i vm¿a. AJ-4
expresando en forma matricial se tiene:
Vx.;
A
4 - 1 4-1"u °ít
4 - 1 4- tCÍI ^tl
» •e •
t¿ t '
* * • *
4- I«TIT
XT,
TT1AJ.71
(1.3)
- 5 -
Si se tiene la ecuación (1.3) en forma simplificada
se tiene que:
[ X]-[T'|XT] (1.4)dondell'les la matriz de transformación de la base XT
por la "base X* ~
Si se reemplaza (1.2) en (1,4) y viceversa, se llegar T i r T i
a demostrar aue: T 1 T = T T' = IM , matriz unitariaL JL J L JL J
r "i r -1-1 ( I" T"de orden N; T ] = T ,' donde I es la matriz inversa
r 1 L L Jde T ; matriz con la cual se puede recuperar la se-
ñal original, ya que generalmente el análisis de una
señal solo tiene un interés transitorio.
Se tiene entonces que la Transformada discreta genera
lizada queda definida mediante las relaciones (1.2)
y (l»4)í relaciones en las cuales las matrices T y
r ,j-1 ,T^ son de gran importancia para la obtención de los
vectores transformados XTP así como también para la
recuperación de los vectores originales X? siendo éstas
materia de un estudio aparte, el cual se realizará en
el siguiente capítulo.
- 6 -
CAPITULO II
ESTUDIO DE LA TRAK_SEORMADA. DISCRETA DE FOÜRIER
2.1 TRANSFORMADAS CONTINUA Y DISCRETA DE FOURIER.
La transformada continua de Pourier, no es sino un
caso límite de las series de Eourier. Si tenemos una
función periódica f(t) de período T, es posible expr£
sarla como una serie trigonométrica de Pourier,median
te la siguiente fórmula:
f(t) « Y2 a0 •* a^coscüot 4 a^cos2cj0t f + b^ senc00t
+ b2sen2CJ0t + ,.....« (2.1)
la cual expresada como un sumatorio:
f (t) = V2 ac-j- \0t -f b .sen-ao)0t) (2*2)
donde:rr/2
a0 - 2/Tj f (t). dt
an = 2/TJ f (tKcos(ncOot)dt
IDTL = 2/TJ f (t) .sen(no)0t)dt.
Para llegar a la definición de la transformada continua
de Fourier, es necesario que se obtenga lo que se cono
ce con el nombre de la Serie compleja de Fourier, para
lo cual se expresa las funciones trigonométricas seno
y coseno en términos exponenciales y se reemplaza en
la ecuación (2.2):. „. /• - j-nu)ot
f(t) = V2 a
si se hace que:
- 7 -
Co = Y2 ao
Cn - V2(a-a - jb-n)
C-n=
se llega a la definición de la Serie compleja de Fourier:
f ( t ) «£Cn.e3 n c 0 o t ( 2 . 4 )
donde: ""cn = V? f f (t)e~3navfc dt (2.5;*¿T/1
Si se reemplaza ( 2 , 5 ) en ( 2 , 4 ) se tiene que:
f ( t ) = f [VI ffWe-^* dxl e3n"ot ( 2 X 6 )¿ — i L . JT/ J
•Yl=r-ao " f¿
Se ha utilizado la variable x a fin de evitar cualquier
confusión con la variable jt.
Si se reemplza en ( 2 * 6 ) en valor de T = 2TT/cJ0 :Tf_
f ( t ) -frV2TÍ f . f (x)e" 3 l L C j o X dxl eáncJot . o)0 (2 .7 )flés4L ¿T/* J
Ahora, si T — oorOJotiene que ser pequeña, o sea cJ0 j
entonces la frecuencia de cualquier armónica - 0)0 de~be
ahora corresponder a la frecuencia general variable,
la que describe el espectro continuo .
En otras palabras, si n— <^y como cOo=Aw — ° freali
zando el producto n.cOo que tiene que ser un valor fi
nito : Ta C0o= -n-Aco — a),(2.7.) se transforma en;
f(t) -f [V2írfTf(x)e-^z dx] e3üt . Aü (2,8),¿5¿ L -T/* -J
En el límite, O? — < ¿> , Aü - - ü f -a sumatória se trans-
forma en un integral sobre co , entonces la función f (t)
ahora es no-periódica y tiene la forma:0<J QO
í(t) = Y 2 í r f r f f ( x ) e ~ j í J X dx 1 e30* dü ( 2 . 9 )w' L J
- 8 -
De la ecuación (2,9) llegamos a la definición de la
Transformada continua de Pourier, para lo cual se de-•o
fine a P(CÜ) como: P(o)) = ff(x)e":1"x dx (2.10)U
—CQ
con lo cual la ecuación (2,9) llega a ser,
f ( t ) = V2ÍT rE(cu)e j O J t du (2.11)*/
Si en la ecuación (2,10) se restituye la variable t
por la variaole x :
j-(co) - Tf(t)e":iCOt dt (2.12)J-**,
Siendo las ecuaciones (2.11) y (2.12) las que definen
la transformda continua directa e inversa respectiva-
mente «'
Si se nace Gj ~ 2 . f y considerando además que
F(2íT.f) = (f), las ecuaciones (2.11) y (2.12) se
transforman en:CO
f(t) = f E(f)e;Í2ír-ft df (2.13)-¿¿
I-(f) =" rf(t)e-32ír-ft dt (2.14)¿fto
Quedando de ésta manera expresada la Transformada con
tinua de Fourier en términos de la frecuencia f.
Para llegar a la definición de la Transformada discr_e
ta de Fourier es necesario considerar una señal f (t)
de ancho de "banda, limitado y además asumir q_ue la
transformada de Fourier de f(t) es (co), y entonces se
puede realizar un gráfico hipotético de lo que represen
tarían tanto la función f(t) como su transformada F(co) .
- 9 -FCw)
fig. (2.1)
En virtud del teorema de rnuestreo, el cual expresa que
.si una -s.eñal f(t) ..no ti.ene ninguna componente de frecu
encia por encima decaen rad/seg , siendo On = ¿ í* , es
posible demostrar que la información, contenida en f (t)
se conserva íntegra en sus muestras tomadas a una fr e
cuencia igual o mayor que .dos veces la frecuencia máxi_
ma contenida en, f(t).
Como se puede notar, todas las fórmulas escritas an-
teriormente, tanto en los sumatorios como en los inte-
grales, tienen límites dé-^a «. f io que hace imposi-
ble la manipulación de dichas fórmulas con ayuda de las
computadoras digitales, ya que las .computadoras digita-
les no pueden trabajar con un número infinito de canti-
dades» La necesidad de reducir éstos problemas a lo que
prácticamente se puede realizar, ha conducido a lo que
se denomina: La Transformada discreta de Pourier; en la
cual un determinado número de muestras se transforma en
un número igual' de coeficientes en el dominio de la
transformada. Para una visualización gráfica de lo ex-
- 10 ~
puesto anteriormente, a continuación se representa
el par de transformadas por los siguientes gráficos:
¿M^"-l K - 0.-1.2. ,_ Kl — -\a llegar a la definición de la transformada discr_e
ta de Eourier, se de"be partir de las ecuaciones (2.13)
y (2.14), el las cuales por tomar solo valores discr^e
tos, las diferenciales dt y df se transforman enAt yA-f
respectivamente; al igual tK y fn representan ahora va
lores discretos,
lí representa el numero de muestras*
f ( - U ) = 7^ í1(fn)eD¿f r f l1*t fc A-f (2.15^)£ . , ' — ' v *— •-'-*-'/
"R f "T"n ) = 'í ' " f i ~fc *• i P» ™ * A-í- • (o T £.\ yj-jj.; - \c ^-^ ^ ¿ . j_tj j
Si se hace q_ue : t te - XAtt
fn = nAf
f ( t K ) - f (k) y
y se reemplaza en (-2.15) y (2.16) se tiene;
L 51(n)e^2íTnAf-KAtAf
Si el intervalo, muestreado es T, entones At ~
(2.17)
(2.18)
T/N y
- 11 -como el período es el inverso de la frecuencia, se tie_
ne que: Af. A"t = VN; reemplazando ésta relación en
(2.17) y (2.18) se tiene:
p(xi) -At
El caníbio adoptado para el rango de n de O a N-l en
vez de -N/2 a N/2/ si "bien no afecta a la expresión,
sin embargo es más cómodo para el proceso de computa-
ción.
o • -u i » -J21T/N tlas ecuaciones (2.19)Si se hace que W = e ü ' * v '
y (2.20) se transforman en:*j-i ,
=Af . EF(n).W~nK (2.21)(2.22)
• ' K = 0.1,2.3. ....... . . ...N-l
expresiones que escritas en forma matricial:
[f(k)j = [w~nK][p(n)] (2.23)
[l-(n)J = [w nK][f(k)J (2.24)
Los coeficientes Ai yAf se h.an suprimido por rasones de
claridad y además por representar valores constantes.
La matriz F(n) , representa una. matriz coliimna dei — ~i r~ ~\P del mismo modo [f (k)"l ; [\V"nKJ y [wnKJson matri-
ces cuadradas de NxN elementos ya que las variaciones
para n y para K son idénticas, de O a N-l. Las ecuacio
nes (2.23) y (2.24) definen a la Transformada discreta
de Fourier.
- 12 -j— —i
Las matrices W J se denominan matrices de Fourier o
matrices de transformación, las cuales por ser cuadra
das representan una gran ayuda desde el punto de vista
de la computación; además de que la factorización de
éstas matrices es la "base del algoritmo para la tran_s:
formada rápida de Fourier*
2.2 MATRICES DE EGÜR1ER.
Existe un procedimiento general, el cual contempla
la posibilidad de obtener las matrices de Eourier , asi
como su factorización, para cualquier número de mues-
tras, el cual fue realizado por Sande 1 .
A continuación se hace un estudio detallado para el
caso el que el número de muestras sea una potencia de
dos, el cual por ser de mayor simplicidad que el caso
general, es el que se utiliza en muchas aplicaciones.
-2.2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS MATRICES DE EOÜRIER.
a) Todos los elementos constitutivos de las matrices
son las raíces 1T-e simas de la unidad»
•1 = c
como W = g entonces Í/T = V/K
1?) Las raíces if-e simas de la unidad se distribuyen si
métricamente en una circunferencia de radio uno en el
plano complejo.
A manera de ilustración, a continuación se realiza al
- 13 -
gunos ejemplos so"bre la distribución de las raíces en
la circunferencia de radio=l, en el plano complejo.
Para N=2
Para N=4
Para N=
Para N=
e 16
- 14 -
Es conveniente enumerar las raíces a partir del eje
real y girando en sentido de-las agujas del reloj.
Es interesante notar que a partir de N/2, las raíces
se repiten con signo cambiado y si se hace el reempla
zo de W = e~^ ' t la distribución de las raíces que
da de la siguiente forma:
Para N=8
co
c) El orden de las matrices de Eourier es siempre igual
a una potencia de dos,
d) Todos los elementos se ordenan en la raatrizr de tal
manera que cada columna o fila resultante sea ortogo-
nal respecto de las demás .
r ie) La matria de Eourier o matriz de transformación TE
es una matriz H unitaria, o sea que el producto de la
r i r imatriz TE conjugada y transpuesta, por la matriz TE
I 1es igual a 1T IH ? razón ésta para que en las fórmulas
de transformación aparezca siempre el factor YN.
Por ejemplo si-se tiene un vector X de 8 muestras,
la transformada discreta de Eourier de ese vector es :
XT =L
TE (2,26)XT , representa el vector transformado
'"V,1.
-.15 -
TE » matriz de Fourier
[ -1X , representa el vector muestra.
2.2.2 OBTENCIÓN DE LAS MATRICES DE EOÜRIER.
Como ilustración de la manera de o"btener las ma
trices de Eourier, se realiza un ejemplo, en el cual
se escoge el número de muestras N=l6.
De acuerdo a la distribución de las raíces en la cir-
cunferencia de radio=l y para N=16 se tiene:
-LO
U)
Estas raíces deben ser dispuestas en forma de matriz
de tal manera que formen vectores mutuamente ortogona
les, lo cual se consigue mediante la utilización de la
- w<K>1 (2.2?)fórmula; T
en donde :
1= número de orden de la columna.
<K>= es el número decimal que se obtiene .a
partir del número de fila respectiva, de la siguiente
forma: Se escribe el número de orden de la fila en si_s
tema "binario, con un número de "bits igual al logarit-
mo en base 2 del número de muestras , luego se invierte
el orden de los bits y se obtiene el número decimal
i
i
L
- 16 -
equivalente al número "binario invertido, y este es el
valor de <K> ,
En la tabla # 1, se indica, el proceso s_e
guido para obtener los valores de <X> ? para N=16(
siendo el número de "bits n=logp 16. = 4.
NUMERODE PILA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
NUMERO BINARIOCON 4 BITS
o'o'oo o:)\-o'ooi ¿l!0
1 r
0010 ¿v '1
QO'll £ " ,
O[LOO i0101 S
QÍ10 -i
0111 V.
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
NUMERO BINARIOINVERTIDO -
0000
• 1000
0100
1100
- 0010
1010
0110
1110
0001
1001
0101
1101
0011
1011
0111 '
1111
VALOR DE <K>
0
8
4
12
2
10
6
14
1
9
5
13
3
11
7
15
ÍDabla # 1
- 17 -
Una vez obtenidos los valorea de <K> , se procede a ob
tener la matriz de Fourier Tí1 aplicando la fórmula
(2.27).
A continuación- se presenta el programa que pri
meramente o'b ti ene los valores de <K> ; luego obtiene
los exponeiites de W , los cuales se escriben en forma
r nde la matriz de. Pourier IF . Como lo.s .exponentes de
W se repiten cada N veces, es posible hacer una reduc
ción de estos valores, resultados que también se, pre
sentan.
En el programa, la variable NM representa el nú
mero de muestras; los valores de <K> se encuentran en
el arreglo KDECOR(I); los valores de los exponentes
de W escritos en forma de matriz se encuentran en el
arreglo MÍCP(I,J).
C PROGRAMA PAPA LA C1HTFNCION DE LOS VALORES OE <K>
OIWFNSTGN NnFC(?OOl . NCECOR(20O)
n I'-'FNS ICN vTF< 100 ilOOJ
INTEGFR
A "f
ao")
"
WR ITP(3,30 }
nt:_LAS._MATR..LCES._pe__FOUtt!l;R ' , / 1 H+ , 9X ,
5<5 (
N v A X = 3 O
10
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CAPITULO III
TRANSFORMADA RÁPIDA DE ffOURIER
3.1 ^AUTORIZACIÓN DE LAS MATRICES DE FOURIER.
La f actorización de las matrices de Fourier, es el
procedimiento por medio del cual la matriz TF se
transforma en un: producto de su"bmatrices o matrices-
factor, el .número de éstas matrices-f actor es n=log? N;
para la explicación de la f autorización, se realiza un
ejemplo analizando el caso en que K=8f para el cual n-3<
1 1 1 1
1 - 1 1 - 1
1 -i -1 i
1 1 1 11 -1 1 -11 -i -1 i
1 i -1 -i . 1 i -1
i w w2 w3 |-i -w -wi .v wa - w 3 l -i w -w
W
wi v/3 -w2 w ' -i -
(3.1)
W -Y/3 2-
-W -W. i «l W W W
Si se aplica la propiedad de partición de matrices [2]
se tiene que:
A 4 A.,
^A2 -¿
en donde:
[Tí1 (8)
- 22 -
1 1 1 1
1-1 1-1
1 -i -1 i
1 i -1 »i
i w w? w"
i _v/ w2 ~w1 w'-W*' W
ntonces la ecuación (3.1¡
r "iL J
"A, o."
0 A¿ I< -14(3.2)
If = matriz unitaria de orden 4--
Después de la primera partición se obtiene la ecuación
(3.2) , la q_ue escrita con todos sus elementos toma lar
forma de:
fe (8)
1. '1 1 1 0 0 0 0
1 -1| 1 -1 O O O O
1 -i'-l i O O O O
i i -i -i a o o oO O O 0 - 1 W Wz YA
0 o o o i -w wa-w3
O G O O 1 W3 -V/Z _ W
0 0 0 0 1 -w3 -wl-w
(3.3)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 - 1 0 0 0
0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
Si se realiza una nueva partición se tiene que
A3 A3
A0 -A^=
A3 0
0 A,
Iz I2
"^u.2. —laL j
- 23 --A5 Ar W1
A6 ~A6 W
_ ¿
A* 0
0 -A6
2.
Iz 1 i W
Li, -i.w*_
donde
A, =1 11 -1
: - • :1 W
1 -W
A, =
' ~
A6 =
1 -i
1 i
3"1 W
i -w3
de tal manera que (3.3.) ,se transforma en:
l.l"11 -1
:0 0
0 0_
o q
0 0
0 0
0 0
o o'
0 0
0 0
0 0
T/ÍHo o
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0 0 0 0
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1 O r O O ¡1 O Í O O
o l ío ojo i( o o
O 0,1 O/O 0,1 Oí I ' I
O O J O 1J O 0 / 0 1
1 0 0 0|-1 0 / 0 0
O J L J O O j O -1| O O
O 0/1 O 1 O 0(-1 O
O O [O I1 O OÍ 0-1
(3.4)r i
De ésta forma se tiene la matria ÍPí1 factorada en 3
matrices-factor, las cuales como se puede observar son
de gran redundancia, lo que hace que se reduzca en nú-
mero de multiplicaciones, lo que a su vez reduce con -
siderabíemente el tiempo de computación.
Las matrices-factor nos llevan directamente al algorit
mo para la obtención de la Transformada Rápida de Pou
rier.
- 24 -
3*2 ALGORITMO RÁPIDO PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMA
DA DISCRETA LE FOURIER.
La Transformada Rápida de Pourier, es un algoritmo
que hace posible la computación de la Transformada di_s
creta de Fourier de una secuencia de muestras, en un
tiempo menor que cualquier otro algoritmo disponible.
Este inéto.do fue descubierto por Cooley y Tukey en 1965,
y se basa en la obtención de las matrices-factor direc_
tamenté, es decir sin necesidad de la factorización;
ya que a base de éstas se realiza un diagrama de flujo
que nos lleva directamente a la computación,
El procedimiento para obtener las matrices-factor es el
siguiente :-
La primera matriz-factor está constituida por
1T/2 submatrices de la forma: 1 W
i -w<K>las que forman la diagonal principal de la primera ma-
tria-factor, siendo el resto de elementos iguales a O.
El valor de <K> es el de los bits invertidos obtenidos
para U = N/2.
Por ejemplo si iT-8, los valores de <K>para N/2 son:
0,2,1 y 3 ; de tal manera que la primera matriz-factor
queda conformada de la siguiente forma:
1 W°
1 -W°
1 W2
i -v/2i W
1 -W1
(3.5)
1 W*
1 -W"
i 12 matris-factor
La segunda matris-factor, se obtiene realizando el pr£
ducto Kronecker de las N/4 primeras submatrices de la
primera matriz-factor por la matriz unitaria I2 t obte
niéndose de éste .producto 1T/4 submatrices q.ue van a con
formar la diagonal principal de la segunda matriz-fac-
tort siendo el resto de-elementos iguales a cero.
Para el caso en que ÍT-Sj se realiza el producto Krone£
ker de las ISf/4f o /sea de las 2 primeras submatrices
de la primera matriz-factor por Iz , obteniéndose lo
siguiente:
""l O 1' 0^
0 1 0 1
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
o1 W
o1 -W
©
[— —
1 o;
0 1—
001723
2
1 W2
1 -W©
1 0
L° -1—
(3.6)
- 26 -
1 O W* O
0 1 0 W*
1 O -Wa O
0 1 0 -W2
Quedando la segunda rnatriz-f actor de la siguiente for
ma:
1 0 1 0 -
O 1 O 1 '
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
1 .0 W2 O
0 1 O W3
1 O -W1 O
0 1 0 -W3
22 matriz-factor
La tercera matriz-factor, se obtiene realizando el pro
ducto Kronecker (©) de las íí/8 primeras su"bmatrices de
la segunda matriz-factor por I2 : la cuarta sería: el
producto Kronecker de las 1T/16 primeras su"bmatrices de
la tercera matris-factor por I¿ , y así sucesivamente
de acuerdo al número de matrices-factor que se tenga
que encontrar.
Para el caso en que íí=8f la tercera ma™
tr'iz-factor se obtiene realizando el producto Kronecker
- 21 -
de las N/8 , o sea de 3.a primera submatriz de la se-
gunda matriz-factor por I2 ,obteniéndose lo siguiente:
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
i o ] o o o i ' o o o i
O 1J 1 0 0 0 - 1 0 0 0
0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
3e matriz-factor
Si se realiza el producto indicado de las tres matri-
ces-factor se tiene que:
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
(3,7)
1 1
1 -1
1 W*
i-vri w1 -W
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
1 O W * 0
o i o w3
1 0-W O
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 - 1 0 0 0
0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
1
i-w3 o i o-v7(3.8)
La obtención de las rnatrices-factorf es posible de rea
lizar a partir de la 12 matriz-factor obtenida en (3.5)
de la siguiente manera:
- 28 -
Este'procedimiento es válido solamente para la obten-
ción de. la tercera matriz-factor en adelante.
Para obtener la 3° matris-factor, se realiza el pro-
ducto Kronecker de las K/8 submatrices de la primera
matriz-factor por I4 , la cuarta matriz-factor: obte-
niendo el producto kronecker de las N/16 submatrices
de la primera matriz-factor por I& y así sucesivameii
te.
Para el caso en q_ue N=8, la tercera matriz-factor
se obtiene realizando el producto Kronecker de la
12 submatriz de la 12 raatriz-f actor por I4 , y se ti_e
ne q_ue:
" 1 0 0 0 1 0 0 0 "0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0I
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 - 1 0 0 0
0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
O O O 1 O O O -1_
3- matriz-factor
Como se puede observar los resultados obtenidos en
(3.7) y (3.9) son idénticos,.
Se observa también que los resxiltados obtenidos en(3.4)
y (3.8) son los mismos, con la diferencia que los re-
1 1
1 -
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
- 29 -
Bultados obtenidos en (3 .8 ) , se realizan sin utilizar
el procedimiento de la f actorización.
La Transformada discreta de Fourier de un vector X de
8 muestras, definida en ( 2 . 2 6 ) como:
— ............. [XT] - Va [o?p(8)]rx] (3.10)Si en (3.10) se reemplaza en valor de lTF(8) obtenido
en (3*8), se obtiene que;
1 11 -1
i w2i
1 W
1-W
1 W
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
1 O W 2 0
0 1 0 wa
1 O -W2 O
O 1 0-W
0 0 0 1 0 0 0
O . 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 - 1 0 0 0
b i o o o - i o o
0 0 1 0 0 0 - 1 0
D O O 1 O O O -1
X ( 2 )
X ( 3 )
X ( 4 )
X(5 )
X ( 6 )
X ( 7 )
X(8)
(3.11)
Si en (3.11) se multiplican columnas por filas en vez
'de filas por columnas, el orden de los factores puede7
invertirse y se tiene que:
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 - 1 0 0 0
0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
1 0 1 0 1 '<£? 4 3
0, 1 0 1
10-10
0 1 0 - 1
1 0 W' 0
0 1 0 V/
1 0 -W* 0
0 1 0-V/
i i : •- ' " ^i -i
1 W1
1-W*
1 W
1-W
1 W3
1-W
~X!(1)~
X T ( 2 )
XI (3)
XI(4)
X T ( 5 )
X T ( 6 )
X T ( 7 )
_XT(8)_
-30'-
A partir de la ecuación (3.12),se puede obtener un dia
grama de flujo, a "base del cual se realiza una su"bruti
na para calcular la Transformada Rápida de Fourier Di-
recta.' -~\ i\¡ v U 0O'
y& _
(3.13)
Las flechas indican suma o resta,
Para recuperar las muestras, es necesario aplicar la
Transformada de Pourier Inversa, la que fue definida
en (1.4) como: X = fe(8)1 fxirl f donde fa?P(8)l es laL J l _ J [ j L_ J
matriz inversa de TP(8)| , la cual por ser una matriz
N-unitaria, se la obtiene sacando la transpuesta-conjú
gada de la matriz fe(S)j .
r iTF(a) =L J
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
— 1
-
1
i
-1
-i
1i
-1— "í
31 -
1
-i
-1
i
1-i
-1i
13
-W,
-W
-W
-1Jwa
W
w
13
w-w
w-1
3
-w7w
-w
1
-w.2w
-w3
-1
w7.-w3w
1w
w
w-1-w
1
3
1-w
-w3
(3.14)
Una vez obtenida la matriz TF(8) , se procede ahora
a su factorización, aplicando las propiedades de partí.
ción de matrices y se llega al siguiente resultado:
[0!F(8)] =
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
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0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
(3.15)
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1 0 - 1 0
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Si en X = pF(8)| X Í D , se reemplaza el valor de JO??(8)1*- —J *— — ' L J ' L - _ J
y en vez de multiplicar filas por columnas, se multi-
plican columnas por filas , se tiene q.ue:
Jxil[TF(8)"f - íxl . (3.16)
expresión que escrita con todos sus elementos toma la
forma de:
--i
XI (1)
X 0 ? ( 2 )
XT(3)
X T ( 4 )
X T ( 5 )
X T ( 6 )
XI (7 )
X T ( 8 )
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0 1 0 0 0 - 1 0 0
0 0 1 0 0 0 - 1 0
0 0 0 1 0 0 0 - 1
(3.17)
A partir de (3.17), se obtiene un diagrama de flujo, a
"base del cual se realiza una subrutina para calcular
la Transíorraada Rápida de Fourier Inversa*
x(
x(1)"2)
X(3)
x(
x(
x(
4)
5)
6)
X ( 7 )
X(8)
SfXT^(l)- ^X(l)
^X(2)
X(3)
X0?(8)
XI ,1(1)
X'I2(2)
•XT2(¡3)
-^XTÍ(H)VH-^X(4)
'XT1(5)4TOX(5)
XT1(6)4A¿V>X(6)
!aXT2(7)4 M'X(7)1 / \)
(3-18)
Las flechas indican suma o resta*
- 53 -
A continuación se presenta el programa que primero ob
tiene los valores de <K> , luego calcula el logaritmo
en "base 2 del número de muestras; entonces se llama a
la subrutina TRí\e obtiene la Transformada Rápida
de Fourier Directa; luego se llama a la subrutina TREI
qtie calcula la Transformada Rápida de Pourier Inversa,
El programa es ejecutado para N = 64- , pero como se
mencionó antes solo se necesitan los valores de <K>
para N/2,rasón por la cual aparecen los valores dei
<K> de O a 31.
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- 39 -
3.3 ESPECTROS DE POTENCIA Y PASE DE LA TRANSFORMADA DE
POURIER.
3.3.1 ESPECTRO DE POTENCIA,
Dada una secuencia N periódica representada por
X(n) y representando por XT(n) los coeficientes del ve_c
tor transformado, la Transformada de Pourier viene dada
mediante la relación:
zT(n)
Si se define como: X (n) a la secuencia obtenida desL J —
placando ciclicamente hacia la izquierda en d lugares
la secuencia N periódica se tiene que :
'x(o)
=
,T
X(n) =
= X(0) ••- X(l) . . . . . . . X(N-l)
= X(d) . X(d-l) . . . . . . . X(d-N-l)
donde d. toma valores de: 0,1. 2, 3. ....... N-l
Se puede demostrar que [xw (n)| es igual al producto de
Ica(n) por X(n) f donde IU)(n)i es la matriz unitaL. J L. J L J —
ria cuyas columnas se han desplazado d lugares hacia
la derecha, entonces se tiene que:
(3.20)
- 40 -
Si se obtiene la Transformada discreta de Pourier de
T «>• si[X (n) se tiene que:
fxT(n)] = YNÍTF(n)irXcd)(n)] (3.21)*" -J L J L J
si se reemplaza ( 3 - 2 0 ) en (3.21), se tiene que:
. . . . „ .... . . . . fxTM1(n)] = yNrTF(njirAn)|fx(n)] ( 3 . 2 2 )^— — ' L .J L. _ J L _ J
De acuerdo a una de las propiedades de las matrices der _ i r i r i
Fourier que dice que: Tí1 TP VN = IN , de manera que•— — I \— -l L _ J _ _
si en (3,22) se multiplica al lado derecho .por I N , la
expresión no varía y se tiene que:
(3,23)
L
Si se hace que: ÍTP(n)1 fl ín)] [ TP(n)1 - ÍL di)"] (3.25)
donde la matriz D (n) se denomina; matriz de despla-
zamiento .
[xa?W>(n)l - VN [lJWJ(n)][ (n)] Vn[x(n)] (3.26)
pero como [xT(n)J - V'N fo(n)~j |~X(n)"| s (3.26) toma la
forma de ;
[xi( "( n )] = VN [D(dl(n )] [xi (n )] (3.27)
La matriz de desplazamiento p (n) , por ser el pro-
ducto de matrices unitarias y ortogonales representa
una transformación unitaria»
Desarrollando en detalle la ecuación (3.27) y elevando
al cuadrado ambos miembros, se llega a la determinación
del Espectro de Potencia, el cual es invariante con re_s
pecto al desplazamiento de sus muestras-
- 4-1 -
A continuación se realiza un ejemplo de la obtención
del Espectro de Potencia para el caso en que N = 8.
Para
r -,
[I(8)J =
—
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10
Si se evalúa el valor de 1/ (8) se tiene que
= [TF(8)][lw(8)][íDF(8)]
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Ahora si se realiza para d=2, se tiene que:
(xAs)] = Y 8 (pw(8)] (x(8)]
Siguiendo el mismo procedimiento con el que se evaluór~ ~i f~ "iD^(8) se evalúa ahora D2(8) y se obtiene que:L J ... L J
10
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
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0
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De los resultados obtenidos se puede notar que:
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o sea que:
[x'As)
La repetición del mismo proceso da:
(3.28)j
d - 0.1.2.3 N-l \a ecuación (3.28) expresada en forma matricial toma la
forma:
"X CO)"1
XTW)(1)
XTCJ>(2)
Xl"°(3)'
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XT(J)(5)
XTWI(6)
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X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
_X(7)_
(3.29)
A partir de (3.29) » se puede escribir el siguiente gru
po de ecuaciones; ~xrf*(o)
XTÍJ1(1)
XTU)(2)
XTW)(3)
XTCti)(4)
XT( J\5)
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(W)J X ( 5 )
( - W ) J X ( 6 )
(W) J X ( 7 )
(3.30)
- 45 -
Si se eleva al cuadrado el grupo de ecuaciones (3*30),
se tiene que ;
= [(I)' X(0)] = X(0)fl¿(0)
X(1)J =
!J1
= [(i)' X(2)J
xi!J1(3) = (-i) X(3)
[XT(J)(4)J = [(-W)'
[xT(JV5f = f (W) d2. L
X ( 3 )
= 1 X ( 4 )
= | X ( 5 )
= [ ( - W ) J X ( 6 J = X ( 6 )
= [ (W) J X(? f =
(3.31)
Puesto que la potencia es invariante con respecto a
cualquier desplazamiento de sus muestras, las ecuaciones
(3.31) definen el Espectro de Potencia, el cual de una
manera general puede ser expresado como:
X(n) (3 .32)P(n) =
n~0 1 9 ^ T\T-1J.J. —V/ «J. * £ - i _ ^ e « * * » * » * o . « J _ ' l _L
De la ecuación (3032) se puede observar que el Espectro
de Potencia es una función par y además q_ue representa
componentes individuales de frecuencia , a diferencia
de otros espectros.
- 46 -
. ESPECTRO DE FASE
El espectro de fase se define como:
) - arc.tg (3.33)H(k)
k = 0.1.2.3o ..*.*..- .tt-1
donde I(k) y R(k) son respectivamente las partes imag-L
naria y real de los coeficientes de la Transformada Do.
recta de Pourier.
A diferencia de la magnitud, el espe£
tro de fase es una función impar, además varía con el
desplazamiento de sus muestras.
A continuación se presentan 3 programas ;
Primero: Obtiene los espectros de potencia y fase, adj3
más escribe los valores de <IO para las 64 muestras,
los cuales dan la posición inicial en la que se enc'aen
tran los coeficientes de los espectros.
Segundo: Una ves obtenidos los espectros, es necesario
ordenarlos; de tal manera que el programa obtiene los
espectros y luego los ordena.
Tercero: Este programa obtiene los espectros, luego los
ordena y por último gráfica las muestras y los dos es-
pectros.
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131: LOS VALORAS OF. <K> EN COLUMNA PARA LAS 64 MUESTRAS
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3.4 'LA TRANSFORMADA DE FOURIER MULTIDIMENSIONAL.
La Transformada discreta de Fourier puede exten -
derse a cualquier número de dimensiones, siendo la de
mayor importancia la de 2 dimensiones, la cual es de
especial importancia para la computación del proceso
digital de señales de dos dimensiones tales como: foto
grafías y arreglos de información sísmica.
A continuación se presentan las definiciones de la Trans
formada de Fourier Tridimensional, a "base de las cuales
se obtienen las relaciones que definen la Transformada
de ]Pourier multidimensional.
Una secuencia periódica de dos dimensiones se define co_
ino :
x(mrn) = x(m + qM,n + rN)
en la cual se puede decir que la secuencia es periódica
en orden de filas-, con período M y en un orden de colum
ñas, con período N; q y r pueden tomar valores enteros
positivos o negativos,
De acuerdo a la definición de Transí
formada de Eourier, para una secuencia periódica x(n)
se tiene que :
= VN £x(k) W'nk (3.34)
(3.35)
k - 0.1.2.3 ....... N-l
Si se generaliza las expresiones (3. 34)y(3« 35) para una
- 62 -
secuencia periódica de dos dimensiones, se tiene que:
x(m,n) = VMN 2 £ X(k,l) W"mk W~nl (3.36)
X(k,l) =£ £ x(m,n) Wmk Wnl (3.37)
A partir de las ecuaciones (3*36) y (3.37) se llega a
la definición de la Transformada de Pourier multidimen
sional.
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- 63 -
CAPITULO IV
APLICACIÓN PRACTICA
En principio se pensó en aplicar la Transformada Rápi-
da de Pourier a una s.eñal de audio, pero la falta del
equipo necesario para este o"bjeto,, nos obligó a reali-•i.
zar otro tipo de aplicación.
Como aplicación0 se realisa la comprobación de las pro
piedades de los Espectros de Potencia y Ease; para es-
te objeto se utiliza el programa presentado en la pg.54,
el cual como resultado final gráfica la curva a proce-
sarse así como también los Espectrps de Potencia y 3Tase*
Se procesan 4 curvas, de las cuales las curvas #1 y #2
son de alta frecuencia y las curvas #3 y #4, son de ba
ja frecuencia.
Si se a.naliza los gráficos de los Espectros
de Potencia obtenidos para las 4 curvas, se puede com-
probar que son funciones par; se observa también que
los Espectros de Potencia para las curvas #1 y #2 pre-,
sentan componentes de alta frecuencia y para las curvas
#3 y #4> componentes de baja frecuencia.
En cuanto a los Espectros de Pase de las 4 curvas proc_e
sadas, se observa que son funciones impares.
A continuación se procesaron las mismas 4 curvas, pero
cambiando el orden de los datos, o sea produciendo un
- 64 -
desplazamiento de las mismas; analizando los gráficos
de los Espectros de Potencia, se observa que son idén-
ticos a los obtenidos con las muestras sin desplaza -
miento, con lo cual se comprueba que el Espectro de P£
tencia permanece invariante respecto al desplazamiento
de sus muestras; cosa que no ocurre con el Espectro, de
Fase, el cual si tiene variaciones con el desplazamien-
to de las muestras.
En la pag089, se presentan los resultados de procesar
la curva # 3 introduciendo un cambio: a partir de la
muestra #4-1 se suma un valor constante, con lo cual se
introducen componentes de alta frecuencia; a consecuen
cia de lo cual, en el Espectro de Potencia también apa
recen componentes de alta frecuencia. En el Espectro
de Pase también se "producen variacione-s.
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- 92;- .A continuación y como última parte de~la aplicación,se
trató de recuperar la curva original a partir de los
48, 32, 24 y 16 coeficientes más altos de la Transfor
mada Rápida de Fourier Directa; para lo cual se utili.
za la su"brutina SELECT. Como se puede apreciar en los
resultados, los valores obtenidos al aplicar la Tran_s
formada Rápida de Fourier Inversa, son siempre compl_e
jos, de tal manera que con la Transformada Rápida de
Pourier es posible recuperar la curva original a par-
tir de las partes reales de la Transformada Inversa.
Luego se hiao dibujar la curva original, con cada una
de las curvas reconstituidas con las partes reales de
la Transformada Inversa y con los 48, 32? 24 y 16 coe_
ficientes, a partir de los cuales se puede observar
que mientras menos sean los coeficientes con los cua-
les se trate de recuperar la curva original, la curva'
reconstituida menos se parece a la curva original,
A partir de la pagc 102, se presentan los resultados
obtenidos por el Ing. G-ualberto Hidalgo en su Tesis de
Grado, en la cual se procesó la misma curva, pero con
la ayuda de la Transformada de Hadamard; se trató de
recuperar la curva original a partir de los^48, 32 f
24 y 16 coeficientes más altos de la Transformada de
Hadamard Directa, De las curvas obtenidas, se puede
observar que prácticamente se obtiene el mismo resul
tado con las dos transformadas, con la ventaja de que
- 93 -
con la Transformada de Hadamard -se realizan menos op_e
raciones y además que se trabaja solo con números rea
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