1Nmero 3Ao 1 2009DIGITAL para el da a da en la escuelaLa enseanza de la geometra en la escuelaComovanaexplicaralgunosdelosautoresy entrevistados,haceyaalgunasdcadasquela geometrafueperdiendociertolugarenlaen-seanzadelamatemticaenlaescuela.Esta prdidaestraducidamuchasvecesenunapre-ocupacin compartida por docentes, superviso-res, capacitadores, por la ausencia de contenidos geomtricos en las clases. Asimismo, existe cier-to desconocimiento acerca de cul debera ser el objetodelaenseanzadelageometra,cules sus propsitos y de qu modo introducirla en el aula.Talesas,quehemosdecididodedicaresten-merode12(ntes)DIGITALparaeldaadaenla escuelacompletoalaenseanzadelageome-tra. Tanto para consultar con los especialistas so-bre su sentido, sus propsitos y objetivos, como tambin con el n de incluir algunas propuestas concretas para introducir los contenidos de geo-metra en las clases de matemtica, segn el ci-clooniveldelaenseanza.Esperamosquesu lectura signique un aporte y como siempre, son bienvenidassuscontribucionesescritossobre eltema,experienciasopropuestasconcretas- va e-mail, as como tambin sus comentarios.2Director editorial:Gustavo GotbeterSTAFFDiseo graco:Eliana TyszberowiczLas notas rmadas son de exclusiva responsabilidad de sus autores.Equipo editorial:Victoria RioGabriel CharraDaniela Levinas12(ntes) DIGITAL para el da a daVidt 2198 4 Piso J. - C.A.B.A. - ArgentinaTel. (011) 4824 - 0662 / (011) 6698 - 1966info12ntes.com // www.12ntes.comTal como venimos anticipando, tenemos el agrado de contarles que, ya comenzamos con las transmisiones deRadio12(ntes)atravsdeInternet. Yacontamos conprogramassobregestindeinstitucionesedu-cativas, educacin inicial e infancia, enseanza de las ciencias sociales en la escuela, bibliotecas y literatura infantil,investigacionesycoaching.Losmismosse-rn, salvo excepciones, en vivo. Un poco ms adelan-tecomenzaremosconprogramasrelacionadoscon la educacin ambiental, las discapacidades, etc. Radio 12(ntes) es un emprendimiento cuya nalidad esladeacercaratodoslosdocentesyprofesiona-lesrelacionadosconlaeducacin,programasde difusindeherramientasdetrabajo,dereexiny deintercambiorelacionadoscondistintosaspectos de la actividad educativa. La idea es cubrir todos los ciclos y niveles, todas las modalidades y todos los as-pectos. Queremos llegar gratuitamente a todos. Para eso necesitamos que lo difundan.Esfcilacceder:sepuedehacerdesdecualquier computadoraconectadaaInternet.Nohacefalta tener banda ancha. En breve les enviaremos la pro-gramacinyelmododeconectarseparaquenos escuchen.Los esperamos!Gustavo GotbeterCARTA DEL DIRECTORRadioA la direccin!Un programa para acompaar la tarea de los equipos de conduccin escolarLunes 18: 00 hsConducen: Gabriel Charra y Diego SchermukLaboratorio de educacinUna mirada sobre la investigacin educativa de hoy y su contribucin al campo pedaggicoMartes 18:00 hsConducen: Victoria Rio y Gustavo GotbeterCrear contextos educacinUn espacio para el aprendizaje de la escucha en contextos educativos.Mircoles 17:30 hsConducen: Eva Sarka Y Mercedes ProbstAgenda infanciaUn compromiso con la educacin de los niosMircoles 18:00 hsPrograma del Comit Argentino de la O.M.E.P.Puertolibro, un lugar de historiasDe aqu, de all, de ayer, de hoy, de siempre Jueves 18:00 hsConduce: Cecilia FernndezEnsear sociales en la escuelaUn aporte para ayudar a los chicos a conocer y comprender el mundo social.Viernes 18:00 hsConduce: Gustavo Gotbeterradio@12ntes.comEntrevista a Horacio Itzcovich y Claudia BroitmanGeometra en el primer cicloPor Silvia Altman, Claudia Comparatore y Liliana KurzrokUna secuencia de cuadrilteros para el segundo ciclo - Por Valeria Aranda y Anala FingerComunicacin de informacin espacial en el Nivel Inicial: un proyecto de produccin e SUMARIOinterpretacin de planos Por Mara Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de MorenoGeometra en le jardn de infantes?Por Cristina Tacchi, para OMEP ArgentinaReexiones contemporneas acerca de un antiguo problema de geometraPor Pierina Lanza y Federico MalobertiPara seguir leyendo030421311808123Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia BroitmanCul es el sentido de ensear geometra en la escuela primaria? Por qu sus contenidos han perdido espacio curricular en el ltimo tiempo? Qu objetivos persigue su enseanza? Para contestar estas y otras preguntas, 12(ntes) entrevist a Horacio Itzcovich y a Claudia Broitman, especialistas en el tema.* Horacio Itzcovich Es Profesor Universitario de Matemtica (UBA). Integra el equipo de matemtica de la Direccin de Currcula, GCBA. Coordina el equipo de matemtica PEF-Univ. San Andrs y el equipo de Matemtica del Proyecto Bicentenario-IIPE-UNESCO.* Claudia BroitmanEs Profesora de Enseanza Primaria y Licenciada en Ciencias de la Educacin (UBA). Integra el Equipo de Matemtica de la Direccin de Curriculum de la Ciudad de Bs. As. Coordina el rea de Matemtica de la Red Latinoamericana de Alfabetizacin- Argentina. Es Profesora de Didctica de Matemtica en la Carrera de CIencias de la Educacin de la UNLP y de Matemtica en el Nivel Inicial del Normal 1, GCBA4Geometra en el primer cicloINTRODUCCINCuandoplanifcamosenseargeometraenel1er.ciclo debemos tener en cuenta dos aspectos importantes. Qu es un problema geomtrico Cules son los objetivos que nos proponemos al en-sear geometraEltrabajocentralenlaclasedematemticaes resolver problemaspero, a qu nos referimos al decir problema? Jean Brun indica: Desdeunaperspectivapsicolgica,unproblemasedefne generalmente como una situacin inicial con una fnalidad a lograr, que demanda a un sujeto elaborar una serie de accio-nes u operaciones para lograrlo. Solo se habla de problema, dentrodeunasituacinsujeto/situacin,dondelasolucin no est disponible de entrada, pero es posible construirla. Estonosindicaquemuchasdelasejercitacionesqueve-mos en las aulas no tienen el carcter de problema. Cuan-dolosdiseoscurricularessereferenalaresolucinde problemas,describensituacionesenlasquelosalumnos ponenenjuegolosconocimientosqueyaposeen,los cuestionanylosmodifcan,generandonuevosconoci-mientos.Siunalumno,alleerunaactividad,puedere-solverlasindifcultades,elladejdeserproblemapara esealumno.Paraqueunaactividadseaconsideradaun problema,esnecesarioquegenereincertidumbreenel alumnoyquetengadistintasformasderesolucin.Para resolverla,elniodebeprobar,equivocarse,recomenzar a partir del error, construir modelos, proponer soluciones, defenderlas,discutirlas,comunicarlosprocedimientosy conclusiones. Para que una situacin sea considerada pro-blema,noesnecesarioquetengauncontextodelavida cotidiana, sino que debe plantear un desafo a resolver. Es importante tener en cuenta que si el desafo es de un gra-do de difcultad muy alto, puede suceder que los alumnos no se hagan cargo de ella por considerarla lejana.En sntesis, una situacin se transforma en problema cuan-do el alumno la reconoce como tal y decide hacerse cargo de ella. Bajoestaperspectiva,unproblemageomtricoesaquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los obje-tosgeomtricosensuresolucin,poneeninteraccinal alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fsico sino a un espacio conceptualizado representado por las f-Por Silvia Altman, Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok*guras dibujos. Estos dibujos no cumplen, en la resolucin delproblema,lafuncindepermitirllegaralarespuesta porsimpleconstatacinsensorial.Ladecisinautnoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus res-puestasseapoyaenlaspropiedadesdelasfgurasylos cuerpos.Susargumentacionesproducennuevosconoci-mientos sobre estos objetos geomtricos.Los diseos curriculares sugieren, para el primer ciclo, un trabajo alrededor de las caractersticas de las fguras y de los cuerpos geomtricos. El orden en que se presentan las fguras y los cuerpos no seconsiderafundamental.Sedestacalaimportanciadel desarrollo de un trabajo en torno a las relaciones entre los mismos,apartirdelaconstruccindecuerposcondife-rentes fguras, la determinacin de las huellas o sombras que cada cuerpo produce, entre otros.Lapropuestadeactividadesdeexploracinsepresenta como un buen punto de partida para el trabajo con las f-gurasgeomtricas,aunquesedestacalaimportanciade que los alumnos puedan ir evolucionando en sus conoci-mientos,basadospuramenteenloperceptivo,paraque comiencenaanalizarlaspropiedadesdelasfguras,sus relaciones y sus elementos. Para ello, es importante que la presentacindelasfgurassehagadediversasmaneras, endistintasposiciones,condiferentestamaos.Esusual que cuando se les presenta una fgura en una misma posi-cin en todo momento, los chicos no la reconozcan cuan-do la encuentran en una posicin diferente.Por otro lado, se sostiene que la geometra es un terreno frtilparaintroduciralosalumnosenlavalidacinyar-gumentacinacercadelaverdaddelasrespuestasque obtienen. En estos primeros aos, en algunos problemas, se puede aceptar que lo hagan a travs de estrategias ms empricas; esta aproximacin sentar las bases para el tra-bajoacercadelaargumentacinquetendrlugarenlos siguientes ciclos. Es fundamental tener en cuenta que en estos primeros aos los alumnos irn incorporando nuevo vocabularioquelespermitirdescribirmejorlasrelacio-nes que van estableciendo, este es un trabajo progresivo que lleva un proceso, es por ello que en muchas ocasiones nosencontraremoscondefnicionesprovisoriasquese irn puliendo a medida que avancen en la escolaridad. Es necesario destacar que no es all donde tenemos que po-ner el acento sino en las caractersticas que hay que iden-tifcar en cada una de las fguras, pues ser este trabajo el que haga necesario la incorporacin del nuevo vocabula-5rio con el objetivo de mejorar la comunicacin tanto oral como escrita.Podemosplanteardiferentespropuestasparaponeren juego estas concepciones.El objetivo de estas actividades es que, a partir de distintas consignas, los alumnos identifquen las fguras a travs de sus caractersticas particulares.Estas actividades son muy frtiles a la hora de determinar quesnecesarioparaidentifcarunafguraouncuerpo. Son actividades de comunicacin que tambin fomentan elusodeunlenguajeadecuadoparaqueelcompaero entienda de qu se est hablando.El intercambio entre los compaeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinin del otro. Si se centra la tarea en la explicacin del docente, los alumnosnopodrndescubrirlasrelacionesnecesarias, todo se limita a la repeticin de lo que el docente diga en su exposicin.Proponemosunasecuenciaparatrabajarsobrelasfgu-ras geomtricas en primer ciclo. Segn los conocimientos previos de los alumnos, las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo.LA SECUENCIA DIDCTICAActividad 1: Copiado de fguras en papel cuadriculadoProblema 1Copien en papel cuadriculado estas fguras. Tienen que ser exactamenteiguales,esosignifcaquesisuperponenlas dos fguras y las miran a trasluz tiene que verse la misma fgura.Cuando les pedimos a los alumnos que copien una fgura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una fgura y que no resultan evidentes. Esta misma actividad, con o sin papel cuadriculado, tiene otro niveldedifcultad.Ladecisindetrabajarsobrepapelcua-driculado en 1er. ciclo permite que queden implcitas ciertas cuestiones que sern trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo, ngulos rectos, paralelismo, etc.Problema 2Copien, en papel cuadriculado, esta fguraElcopiadodefgurasrequiere,adems,delaidentifcacin delnmerodelados,elreconocimientodelasposiciones relativas de los mismos y su longitud. El papel cuadriculado facilitalamedicindelaslongitudesporquelamismaseli-mita a contar el nmero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal. Una vez que los alumnos terminan la construccin, pueden superponer la copia con el original para verifcar si quedaron iguales. Es fundamental incentivar a los nios a que validen susprocesos.Apartirdelavalidacin,losalumnospueden hacer juicio respecto a su propia produccin; es el modo de incentivar alumnos autnomos y es la manera de promover la decisin autnoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta.Problema 3: En segundo y tercer grado se pueden agregar fguras ms complejas, para segundo grado puede incluirse, por ejem-plo, una diagonal al cuadrado. En tercero se puede presen-tar una fgura como la siguienteProblema 4: Completen estas guardas6Enestasactividades,losniostienenqueidentifcarlase-cuencia y tambinloscoloresa utilizar. Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente. Nuevamente, en estas activi-dades, la posibilidad de verifcacin a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autnomos.Problema 5a. Copien esta fgura.b. Indiquen cuntos tringulos forman esta fgura.c. Indiquen cuntos cuadrilteros forman esta fgura.Cuando los nios ya estn familiarizados con las actividades anterioresyteniendoencuentaqueesnecesarioquelos alumnosresuelvandiferentesproblemasvinculadosaun mismo contenido, podemos pedirles que copien fguras ms complejas como la anterior. En esta actividad, se les pide tam-bin que comiencen a identifcar cules son las fguras que la componen.Actividad 2: Reconocimiento de fguras y cuerpos Muchas veces observamos que los nios no pueden identif-car las diferencias entre las fguras y los cuerpos. Proponemos entonces esta secuencia de actividades.Problema 1:Junten diferentes cajas y potes vacos. Pnganle un nom-bre a cada una. Por ejemplo: Pinten con tempera cada una de las caras y apyenla en una hoja lisa.Observen las huellas que dejan las cajas.En la puesta en comn puede analizarse cmo son las ca-rasdelosdistintospotesycajasyhacerhincapienque las huellas son fguras que toman las caras de los cuerpos.Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas.Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversin de los contenidos aprendidos. Vuel-van a realizar una puesta en comn y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos.Actividad 3: Qu fgura?Elobjetivodeestaactividadesquelosalumnosidentif-quenfgurasdentrodeunacoleccin.Lacoleccindebe ser lo sufcientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacin de las similitudes y diferencias entre ellas, an sin conocer los nombres de cada una.Todaslasfgurasycuerposdibujadostienenqueserdel mismo color y del mismo tamao para que estos atributos no sirvan para identifcar cada uno dentro del conjunto.Problema 1Eldocenteleentregaacadaalumnounjuegodecartas, cada una tiene dibujada una fgura. Los alumnos se orga-nizanenparejas.Cadaalumnoelige,porturno,unacar-taqueapartadelresto.Elotroalumnodelaparejadebe formularpreguntasquepuedanrespondersesoloconS oconNO.Cuandounparticipanteconsideraquetiene informacin sufciente para identifcar de qu carta es, en su turno, la propone. Si es correcta, gana 10 puntos. Si no es correcta, cuenta al resto de los alumnos cules son los datosqueconsideraronyseproponeunintercambiode ideas acerca de cul fue el error del grupo.Despus de jugar varias veces, el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cules son las pregun-tas que resultaron ms tiles. Caja de zapatosLata degaseosa7En tercer grado se pueden complejizar las fguras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares, puntos mediosdeloslados,segmentosinterioresaunafgurao diagonales. Podran considerarse estas nuevas cartas.En la puesta en comn, es necesario analizar, a partir de las siguientes caractersticas, si se trata de una fgura: Tienesolodosdiagonalesysusladosnosontodos iguales No tiene diagonales Tiene tres vrtices y tres lados. Tiene distinta cantidad de vrtices que de lados. Tienen igual cantidad de diagonales que de vrtices.Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imgenes de diferentes cuerpos geomtricos. Problema 2:Enungradodecidieronjugaraljuegodedescubrirlaf-gura sin hablar. Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escrito.Descubran qu fgura haba elegido cada uno de estos chicos.a. Juan: Tiene 4 lados? Pedro: NoJuan: Tiene 3 lados?Pedro: NoJuan: Tiene 5 lados? Pedro: SJuan Los lados son iguales? Pedro: Nob. Lucas: Tiene 4 lados?Marcos: SLucas: Los lados son iguales? Marcos: NoLucas: Tiene algn lado curvo?Marcos: SEstetipodeactividadespermiterefexionarsobreloque se trabaj en el juego anterior. Apartirdeestetipodeactividadessepuedeidentifcar cules son las caractersticas que defne a cada una de las fguras.BIBLIOGRAFABroitman,C.;Itzcovich,H.(2003): Geometraenlosprimeros grados de la escuela primaria: problemas de su enseanza, pro-blemas para su enseanza en: Panizza (comp.) Ensear matem-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Anlisis y Propuestas. Paids.Broitman,C.,Itzcovich,H.(2002):Figurasycuerposgeomtri-cos. Propuestas para su enseanza. Bs. As. Novedades Educativas. Castro,A(2000):ActividadesdeExploracinconcuerpos geomtricos. Anlisis de una propuesta de trabajo para la sala de cinco en: Malajovich (comp): Recorridos didcticos en la educa-cin Inicial. Paids. Bs. As.DiseoCurricularparalaEducacinPrimaria-2008-Gobierno de la Provincia de Buenos Aires. DireccinGeneraldeEducacinBsica.Pcia.deBs.As.(2001): OrientacionesdidcticasparalaenseanzadelaGeometraen EGB. Documento N 3/01. MatemticaDGEB. Prov. Bs. As. Fregona, D. (1995): Fregona, D. (1995): Les fgures planes com-me milieudanslenseignementdelagomtrie:interactions, contrats et transpositions didactiques. Thse, Universit de Bor-deaux I Glvez,G. (1994): La Geometra, la psicognesis de las nociones espaciales y la enseanza de la geometra en la escuela elemen-tal. En Parra, C y Saiz (comp.), Didctica de Matemticas. Ed. Pai-ds. Bs. As. Itzcovich, H (2006) Iniciacin al estudio didctico de la Geome-tra, Editorial Libros del Zorzal. Parra, C; Sadovsky, P. y Saiz, I (1995): Enseanza de la Matem-tica.Geometra.SeleccinbibliogrfcaIII.PTFDProgramade transformacindelaFormacinDocente,MinisteriodeCultura y Educacin.Quaranta,M.EyRessiadeMoreno,B(2004) Elcopiadodef-guras como un problema geomtrico para los nios. En Ensear matemtica. Nmeros, formas, cantidades y juegos. Coleccin de 0 a 5. N 54. Edic. Novedades Educativas Saiz, I (1996): El aprendizaje de la geometra en la EGB , en Re-vista Novedades Educativas nro. 71* Silvia Altman Profesora de Matemtica y Astronoma (INSP Joaqun V. Gonzlez, 1986). Posgrado en Gestin Curricular: Formacin de Coordinadores de Ciclo y rea en Matemtica, FLACSO (1995). Capacitadora del Equipo Tcnico Regional de La Matanza, Provincia de Bs. As. Asesora en escuelas privadas de la CABA. Autora de diversos libros de texto.* Liliana E. Kurzrok Licenciada en Matemtica (UBA, 1989) Profesora de Matemtica (Formacin docente para profesionales, ORT, 2000). Capacitadora de Cepa. Asesora en escuelas privadas de la CABA. Autorade diversos libros de texto. Coordinadora editorial de Matemtica de Tinta Fresca.* Claudia R. ComparatoreLicenciada en Matemtica (UBA, 1983). Licenciada en Enseanza de las Ciencias (UNSAM, 2008), Capacitadora del Equipo Tcnico Regional de La Matanza, Provincia de Bs. As y de Cepa. Asesora en escuelas privadas de la CABA. Autora de diversos libros de texto.8Una secuencia de cuadrilteros para el segundo cicloCONOCIMIENTOS PREVIOSEs necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los ngulos de los tringulos, que hayan refexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccin de dichas fguras y que tengan manejo deloselementosdegeometra,yaqueelusoapropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dadesyconceptosdiferentes,comoporejemplo,lasno-ciones de paralelismo y perpendicularidad.1 consignaEn una hoja lisa constru un cuadrado.En el trabajo individual, los nios tendrn que decidir qu instrumentos de geometra son necesarios. En el momen-to de puesta en comn, ser importante analizar que para construiruncuadradolamedidadelosngulosestim-plcita.Asuvez,tambindebertenerseencuentaladi-ferenciadelasdistintasproduccionesenrelacinconla medida de los lados, estableciendo que slo es necesario conocerlalongituddeunodeellos.Apartirdeestare-fexin, puede proponerse la siguiente consigna:Quinformacinsernecesariaparaconstruiruncua-drado nico?Es conveniente escribir las conclusiones despus de haber compartido las distintas producciones individuales.2 consignaEscrib las instrucciones para construir la siguiente fgura. Despus del momento de produccin individual, se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas fgu-ras, haciendo hincapi en sus semejanzas y diferencias en relacin a los lados y ngulos.Por Valeria Aranda y Anala Finger*Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue: Cuadrado4 lados iguales.2 pares de lados paralelos.4 ngulos de 90Rectngulo2 pares de lados paralelos e iguales.4 ngulos de 903 consignaExiste un cuadriltero que no tenga ngulos rectos? Apartirdeesteproblemaselespediralosniosque procedanalaconstruccin,enhojaslisas,deuncuadri-lteroquecumplaconesacondicin.Laintencindela actividadesexplicitarlosdistintostiposdecuadrilteros, teniendoencuentaloslados(paresdeladosparaleloso no) y los ngulos que los conforman.Amedidaquesurjanlasdistintasproducciones(rombos, paralelogramos y trapecios), podrn explicitarse los nom-bres de dichas fguras, e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2.Cuadrado4 lados iguales.2 pares de lados paralelos.4 ngulos de 90Rectngulo2 pares de lados paralelos e iguales.4 ngulos de 90Rombo4 lados iguales.2 pares de lados paralelos.6 cm2 cm9Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales.Trapecio1 par de lados iguales no paralelos.1 par de lados paralelos.Tambin,sepuedenensayardistintasclasifcaciones, comoporejemplo,sisetomaencuentaslolarelacin entreloslados,puedeafrmarsequeelcuadrado,elrec-tnguloyelrombosonparalelogramos,yaquetodos cumplenconlacondicindetener2paresdeladospa-ralelos. Unavezelaboradalaclasifcacinanivelgrupal,puede proponersealosniosqueidentifquendequfgura(o fguras)setrata,teniendoencuentaciertascondiciones, por ejemplo:De qu cuadriltero se trata si?tiene 4 ngulos rectos.tiene un par de lados iguales no paralelos.tiene 4 lados iguales y dos pares de lados paralelos.tiene dos pares de lados paralelos e iguales.De manera de poder profundizar ms en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilteros, tam-bin se puede preguntar:Qudatossonnecesariosparaconstruirunparalelo-gramo que no sea rectngulo? Y para construir un trapecio?Esposibleuncuadrilteroquenotenganingnparde lados paralelos?4 consignaEsposibleuncuadrilterocuyasumadesusngulos interiores sea igual a 90?Losniospuedenensayarconstruccionesquelespermi-tanverifcarsitalfguraesposible,ono.Laideadeesta actividad, es que recuperen sus conocimientos en relacin a la suma de los ngulos interiores de un tringulo, ya que todo cuadriltero puede pensarse como dos tringulos.A su vez, en el desarrollo de la clase, pueden intentar pro-barseotrasopcionescomoporejemplo,siesposibleun cuadrilteroquetenga4ngulosobtusos.Deestafor-ma, se puede arribar a conclusiones generales, como por ejemplo, que no es posible construir un cuadriltero con 4 ngulos cualesquiera. Asuvez,enelcierredelapuestaencomn,serimpor-tante que se registre la siguiente conclusin:Silasumadelosngulosinterioresdeuntringuloes igual a 180, en el caso del cuadriltero, fgura que pue-de pensarse como dos tringulos, la suma de sus ngu-los interiores ser igual a 360.5 consignaA continuacin, se proponen una serie de problemas para quelosalumnosaverigenlamedidadelosngulosin-terioresdealgunoscuadrilterosapoyndoseenlacon-clusin anterior: la suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es igual a 360.En los problemas que siguen, los alumnos, no slo debe-rn apelar al conocimiento de la relacin entre los ngulos interioresdeuncuadriltero,sinoque,asuvez,debern recuperar sus ideas previas en relacin a la condicin que cumplenlosngulosadyacentesytambinaquellosque son complementarios. 1. En el siguiente rombo averigu, sin usar transportador, la medida de los ngulos c y d (hacer el sombrerito de ngulo)En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos tringulos iguales, a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los ngulos restantes. 2.Enlossiguientesrectngulos,averigu,sinmedir,la amplitud de cada uno de los ngulos interiores.a.104.Completlasiguientefgurademaneraqueseforme un trapecio.PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILTEROSQudatossonnecesariosparacopiarlasiguientefgura en una hoja lisa usando regla y escuadra?Seesperaquelosniosapelenalainformacinqueles brindaelconocimientodelasmedidasdelasdiagonales en la construccin de este cuadriltero. Asuvez,tambinconvieneestablecerqueentodoslos rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio, destacando que esta condicin es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales.Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra.A continuacin puede pensarse cmo construir otro rom-bo, a partir de los siguientes datos: La diagonal AC mide 6 cm y el ngulo que forma con uno de los lados es de 40.Qu pasos seguiras para construir un rombo, cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un ngulo de 40 con un lado de la fgura? Paralaresolucindeesteproblema,despusdelmo-mento individual de despliegue de estrategias propias, se puede proponer un segundo momento para compartir en pequeosgruposlasdistintasproducciones,yelegiruna para comunicar al grupo total. Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que ste reali-ce la fgura en el pizarrn. As podrn evaluar si los proce-b.c.3. En este rectngulo averigu la medida del ngulo S. 4. En el siguiente trapecio averigu la medida de A. CONSTRUCCIN DE CUADRILTEROS1.Construuncuadrilteroquetengaunngulorectoy unpardeladosparalelos.Quinstrumentonecesits para hacerlo? 2. Constru un paralelogramo que tenga un ngulo de 50, un lado de 4 cm y otro de 6 cm.3.Usandocomps,reglaytransportador,construun romboquetenga5cmdeladoyqueelnguloque forman dos lados mida 120.11dimientos elegidos son precisos y comunicables, y de esta maneradesestimarlaposibilidaddetanteoenlaresolu-cin de problemas y apelar a las propiedades estudiadas. Eneltranscursodelasproduccioneslosniosensayarn distintasestrategiashastaarribaraconclusionesqueles permitan construir la fgura; como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos tringulos iguales. Enton-ces,convienequelosngulosde40seanadyacentesal segmento AC. Y fnalmente, una vez construido uno de los tringulosqueconformanelrombo,podrnrefexionar sobre la conveniencia del uso del comps para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el tringulo.Despus de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccindelafguraanterior,convienequeseregistre tambinlasiguienteconclusin:ladiagonaldeuncua-driltero lo divide en dos tringulos.En los cuadrados, en los rectngulos y en los rombos, es-tos dos tringulos son iguales. A continuacin se les puede proponer a los nios activida-des como las siguientes: Dichasactividadestienencomoobjetivorepasarlasca-ractersticasdelosdistintoscuadrilterosapartirdesu construccinyademsproponeralosniossituaciones quefavorezcanlaargumentacin,comoherramientade validacin de sus producciones. 1.TracenunsegmentoAB.Construyanunrombo,supo-niendo que dicho segmento es su diagonal. Qu argu-mentos pueden dar para probar que dicha fgura es un rombo? Comparen las distintas producciones.2.ApartirdelsegmentoCDde7cmdelongitud,cons-truyan un rectngulo que tenga dicho segmento como sudiagonal.Qucondicionestuvieronqueteneren cuenta para construir bien la fgura? Cmo son las dia-gonales del rectngulo? Qu argumentos pueden dar para sostener que la fgura que construyeron es un rec-tngulo?3. Construyan un cuadriltero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud. Tracen sus diago-nales. De qu tipo de cuadriltero se trata? Cmo son las diagonales entre s? 4.Utilicenlossiguientessegmentos(unsegmentode3 cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilteros estudiados en esta etapa. Combnenlos de formaconvenienteparaconstruiruncuadrado,unrec-tngulo, un paralelogramo, un rombo y un trapecio. 5.Revisenelcuadrosobrelosdistintoscuadrilterosy agregueninformacinsobrelascaractersticasdelas diagonales en cada uno de ellos.CD* Valeria Aranda Es maestra de grado desde 1999. Trabaj en escuelas pblicas y privadas. Se encuentra fnalizando la Lic. en Ciencias de la Educacin, en la U.B.A.* Claudia ComparatoreEs maestra de 1 y 2 ciclo, desde 1999, en escuelaspblicas y privadas y Lic. en Ciencias de la educacin.* Anala FingerEs maestra de 1 y 2 ciclo, desde 1999, en escuelaspblicas y privadas y Lic. en Ciencias de la educacin.12Comunicacin de informacin espacial en el Nivel Inicial: un proyecto de produccin e interpretacin de planosElpropsitodenuestrotrabajoconsisteencompartiral-gunasrefexionesentornoaunproyectodesalasobre comunicacindeinformacinespacialdesarrolladocon alumnosdeterceraseccindeJardinesdelMunicipiode Hurlingham1ydeSanIsidro,ProvinciadeBuenosAires. La fnalidad didctica de esta secuencia apunta a que los alumnospuedanavanzarenlaconsideracinyexplicita-cin de algunas relaciones espaciales. El proyecto consiste en la produccin, por parte de los nios, de planos del pa-tiodelJardnparaintercambiarconniosdeotroJardn, de modo tal de poder comunicarse informacin acerca de cmoessupatio,qujuegosuotroselementostieney cmo estn dispuestos. Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de difcultades para muchos adultos (Glvez,1988;BerthelotySalin,1994).Laenseanzaasu-me como contenidos a trabajar, desde el Nivel Inicial, co-nocimientosespaciales,entreloscualesseincluyeeluso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacin y ubicacin espacial. Por otra parte, el recurso aestasherramientasconstituyeunaoportunidad-entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales, explicitarlas, convertirlas en objeto de anlisis.A continuacin, describiremos brevemente el proyecto. Lasinstitucionesseagruparondeadospararealizarun intercambio de planos una vez producidos. Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases. I. PRODUCCIN DE PLANOS DEL PATIOEn principio, se comunic el proyecto a todo el grupo: Ha-cerconoceraloschicosdeotrojardncmoesnuestro patio, qu cosas tiene y dnde est. Cada alumno realiz un primer dibujo. Para ello, los nios se ubicaron desde un extremo del patio. Algunas docentes decidieron dejar que los nios se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontarlasdiferenciasgeneradasenlasproducciones Por Mara Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno*debidas a los diferentes puntos de vista; otras, prefrieron no agregar esta complejidad a la que de por s ya plantea-ba la tarea.Estas decisiones fueron tomadas por los nios mismos sin indicacionesdeldocenteacercadecmohacerlo.Lasin-tervenciones docentes en el momento de la realizacin de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la fnalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos: que chicos de otro jardn conocieran cmo es el pa-tio, qu cosas tiene, dnde estn ubicadas.Considerarrelacionesespacialesparadarcuentadela ubicacin de los objetos en el patio, unos en relacin con otros, y buscar el modo de representar grfcamente esas relaciones,sonconocimientosqueseponenenjuego pararesponderalasituacincomomedioderesolucin. Estonoseraposiblesieldocenteindicarapreviamente cmo hacerlo.Enunsegundomomento,seorganizunadiscusincon toda la sala. Por supuesto, para planifcar esta instancia, la maestrapreviamentehabaanalizadolosdibujos,selec-cionandociertascaractersticasaproponerenladiscu-sin. De la multiplicidad de aspectos posibles, las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos, tomando dife-rentesdecisionesencadacaso:losobjetosincluidos(al-gunos haban incluido objetos que otros no; si se incluan los elementos que se movan como, por ejemplo, pjaros, nios, etc.); la forma de representar los objetos (algunos lo hacan desde una vista desde arriba, otros desde el frente, cmo resolvan las difcultades que plantea la representa-cinbidimensionaldeobjetostridimensionales,etc.);la ubicacin de los objetos unos en relacin con los otros; el tamao relativo de los objetos; etc. Enesteespaciodeintercambio,analizandosloalgunas producciones, se trataba de focalizar sobre qu tenan de parecido y qu tenan de diferente. Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba efcaz para conocer el patio del Jardn: si una persona que 1 En el marco del curso de capacitacin La enseanza de contenidos espaciales y geomtricos en el nivel inicial, Coordinacin Pedaggica e Institu-cional, Municipalidad de Hurlingham, 2004.13no lo conoca poda saber qu cosas tena y cmo estaban ubicadas. Esta es la fnalidad de la situacin para los nios (lograr comunicar cmo era su patio) y, en consecuencia, constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones. Al mismo tiempo, poda ob-servarsequehabadiversasmanerasposiblesdecumplir ese objetivo, que no exista el dibujo que lo hiciera mejor que otros. Estadiscusincolectivapermitetomaralgodedistancia con la propia produccin, objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracin: considerar la produccin de otros, a partir de la conduccin planifcada por la maestra, genera la construccin de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia. Enuntercermomento,entonces,cadanioprocedia realizarunsegundodibujo.Antesdeiniciarlo,serecor-daronlascuestionesanalizadasenlaclaseprecedente. Para hacerlo, algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccin; de este modo, se facilitaba un pocomslaidentifcacindeaspectosamejorarparala comunicacin. Una vez que estuvieron conformes con sus producciones,esdecir,cuandoconsideraronqueloschi-cos del otro Jardn podran saber cmo era el patio, las dos instituciones intercambiaron todas las producciones. El problema admite una diversidad de soluciones posibles. Los nios disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucin, poder interpretar la informacinqueelmediodevuelveenrelacinconsus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones ptimas. Por ejemplo, algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos. Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacin. Una produccin muy comn en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocadosenunadisposicinlineal.Parecierancentrarse solo en el problema de qu objetos representar. Otradifcultadconlaqueseenfrentaronmuchoschicos fueproductodenoanticiparlarelacinentreelespacio de la hoja y el tamao de los dibujos. Es decir, no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos. En consecuencia, muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos porque no me entraba ms en la hoja. Otros,dentrodelasdecisionesacercadequobjetosre-presentar, dibujaron chicos jugando, otros mariposas, p-jaros, fores.Tambinesfrecuenteencontrarproduccionesenlasque hayorganizacionesparcialesdealgunosobjetos.Logran ubicardosotresobjetosrelacionadosentres,perodes-cuidandolasrelacionesqueesos gruposdeobjetostie-nenentres,como islasenelespacio.Lasproducciones combinandiferentesvistasparalosdiferentesobjetos. As,mientraslascalesitasengeneralsonrepresentadas con una visin desde arriba, los toboganes y las trepado-ras aparecen ms frecuentemente desde una vista lateral. Algunos dibujos incluyen el contorno del patio, represen-tando el lmite, enmarcndolo.Ensntesis,nosencontramosentoncescondiferentesas-pectos que se ponen de manifesto en esta diversidad de producciones: Decisiones acerca de qu elementos incluir en la re-presentacin: todos los juegos o algunos? Se dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio? Los rboles? Las plantas? Los pjaros? El alambrado? Etc. Una vez establecido qu se incluye, es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidi incluir en la representacin. Cmo se los representa: desde qu punto de vista? Dibujados completamente o solo una parte? Qu tamaorelativotienenlosdiferenteselementos? Cmo controlar que entren todos en la hoja? Cmo dar cuenta de su ubicacin unos respecto de otros.Todasestassonprimerasaproximacionesqueabrenla puertaarefexionesposterioresrespectodecmotrans-mitirinformacinacercadelosobjetosdisponiblesysu ubicacin,refexionesquepermitirnhaceravanzarlos aspectosatenerencuentaparatransmitiresasinforma-ciones espaciales.Acontinuacin,transcribimosalgunoscomentariosque tuvieron lugar en los espacios de anlisis colectivo, poste-riores a los primeros dibujos:M2: Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieron.A31: A m no me entr todo.A2: Yo s, te falta la hamaca y las ruedas.A3: Yo lo hice chiquito para que entre.A1: Lo voy a hacer del otro lado. Seo, quiero el lpiz.M:Esperunpoquito.Vamosaverentretodossiaotrosles pas lo mismo y cmo podran hacer para que no les vuelva a pasar.A4:Amtampocomeentrtodo.(aA5)Vosnohicistetodo porque te falt la trepadora.A5: Porque sa es difcil, yo no la hago.A6aA5:Sinolahacs,novanasaberquetenemostrepa-dora.Vostensquehaceras,lasrayitasasydespuspara arriba el cao y as despus bajs y ya est.A1: Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita.2 Maestra3 Alumno o alumna14A7:Podshacerascomocuadraditosenronda,comolos asientos, que quedan as todos al lado del volante.M: Si dibujamos la calesita solamente, los chicos del otro jar-dn van a saber qu cosas tiene nuestro parque y cmo estn ubicadas?Varios A: No.A5: Ay! Cierto que hay un tobogn nuevo, el del elefante!(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogn nuevo).M: Bueno, qu tendran que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parque?Varios A: Hay que hacer los dibujos ms chiquitos.M: Escucharon todos? Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujosVemos aqu cmo se trata en este espacio de intercambio elproblemadetomardecisionesparaqueentrenenla hojatodoslosobjetosquesequierenrepresentar.Algu-nosyacomentanhaberseencontradoconestadifcultad en su produccin. Adems de advertir que se trataba de un problemacompartido,losdemsparticipanactivamen-tesugiriendosolucionesposibles.Enestemomento,los dibujosdeotrosseconviertenenobjetodeanlisis,una distancia que tambin les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva: hay cosas que los otros in-cluyeron, es necesario incluirlas?. Realizaron dibujos ms pequeos para que entraran en la hoja, cmo los ubicaron unos en relacin con otros; el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras, qu informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos? En sucesivosanlisissepuedellegararefexionaracercade que no es posible dibujar todo: los dibujos retienen algu-nas caractersticas del patio y dejan de lado otras. Esteltimoaspectoapareceenelanlisisdeesteotro Jardn:M:Mirandocualquieradeestosplanos,loschicosdelotro Jardn, van a saber cmo es nuestro patio, qu cosas tiene y dnde estn ubicadas?A1: No. Le faltan juegos.A2: Hay que dibujarlo todo, todo.M: S... dice que hay que dibujarlo todo, todo. Estn de acuerdo?Varios A: S.M: Qu sera todo, todo?A3: Todos los juegos, los rboles...A4: J... puso los chicos.A2: Pero no puso a todos.J: No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patio.M: Ac se plantea una discusin, ponemos o no a los chicos?A5: Pero, dnde los ponemos? Nosotros nos movemos en el patio.M:Dicenquenosesabedndedibujaraloschicosporque no estn en un lugar fjo, siempre el mismo como los juegos. Para saber qu cosas tiene nuestro patio y cmo estn ubica-das, se necesita dibujar a los chicos?A4: No, ya se sabe que si hay juegos es para los chicos...El siguiente intercambio pertenece a otro Jardn. La maes-traseleccionalgunasproduccionesypropusoasus alumnos compararlas:M: Todos los dibujos son iguales?As: No.M: Por qu?A1: Porque a ste le falta el tobogn, a ste la huerta, a ste le dibujaron la calesita en el medio y est a la derecha del to-bogn.A2: Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huerta.M: Dnde los hubieran dibujado?A1:Lahuertaestdelantedelacalesitaylatrepadoraest atrs.A3: Los rboles estn al lado de los juegos.A1: No, estn a la derecha y atrs.M: Escuchen F... dice que los rboles estn al lado de los jue-gos y J... dice que no, que estn a la derecha y atrs. Ustedes que opinan?A4: (Con dudas) Me parece que es lo mismo.A2: S, es lo mismo, lo que pasa es que J... lo dice mejor.M:Seentiendeigualsidecimosalladoquesidecimosala derecha?A1: Noooo, al lado tambin puede ser a la izquierda.(Algunos alumnos se quedan pensando)............M: Bueno, qu otras diferencias encontraron?A5: La trepadora tiene que estar atrs. Hay que dibujarla arri-ba (sealando la parte superior de la hoja) porque est atrs, ac se dibuja lo que est atrs.M: Dicen que las cosas que se ven atrs hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (seala arriba) estn de acuerdo?Varios alumnos asientenA1: Ac se dibuja lo que tens cerca (seala la parte inferior de la hoja).M: Dijeron varias cosas: que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir; que hay que cuidar que estn dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio; y que hay que fjarse enqulugardelahojalodibujanparaquesenotednde estn ubicados. Estn de acuerdo?Varios A: S.Entrelasnumerosascuestionesqueseplanteanenesta refexincolectiva,queremosdestacardos.Porunlado, laexplicitacindequelostrminosderechaoizquierda ayudan a precisar de qu lado se ubica un objeto respecto de otro. Por supuesto, no se ha planteado aqu el tema de su relatividad en funcin del punto de vista desde el cual se est indicando. En este caso, se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel, que corresponde a la orientacin del sujeto frente a ella. 15Por otro lado, tambin nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacin entre la ubicacin de los objetos en el espacio con la ubicacin en el espacio de la hoja de papel: qu tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja, qu en la parte superior. En realidad, esta orientacin de la hoja de papel corresponde a una conven-cin que evidentemente los pequeos han comenzado a comprender: en qu lugar de la hoja se representa lo que se ve ms cerca, en qu lugar lo que se ve ms lejos, etc.Estosintercambiosconstituyenocasionesparaexplicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacingrfca.Permitenunaprimerainstanciadevalida-cin de las producciones, es decir, permiten a los alumnos por s solos obtener informacin acerca de la validez o no de sus producciones. Esta informacin surge de la confron-tacin con las otras producciones y las discusiones que se generanapropsitodeesaconfrontacin:esapartirdel intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubic de manera clara. Es decir, no depende de la informacin externa apor-tada por el docente, sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anlisis colectivo. Es decir, el medio que devuelve informacin aqu, es un me-dio social: es la confrontacin con las interpretaciones de los otros lo que aportar informacin acerca de la propia.Este proceso de validacin incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de qu y cmo represen-tarelpatio,lasmodifca,lasprecisa,permitiendonuevas anticipacionesmsajustadasafuturo.Elaprendizajees entonces consecuencia de la interpretacin de los efectos de las acciones del sujeto, de sus decisiones, es decir, por adaptacin al medio, a un medio que es tambin social.Despusdeestosintercambiossellevadelanteunase-gunda produccin. Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos:Logrananticiparmejorcuntoespacionecesitarn para representar todo lo que quieren. Hay menos co-mentarios del tipo: No me alcanz la hoja... Aparece mayor cuidado para que no falten objetos, se detienen incluso ms tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada. Tambinhayunamayorconsideracindelaubica-cin de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacin de los objetos en el patio.II. INTERPRETACIN DE PLANOS DEL PATIOCon la sala organizada en pequeos grupos, de entre dos y cuatro participantes, se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidi que los observaran, que vieransieraposiblesaberqucosastenaelpatiodela otra escuela, cmo estaban ubicadas, si haba algo que no seentendaoquequisieransaberdelascosasdelpatio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaronloschicosdelotrojardn,etctera.Seentregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacin entre lasdiferentesrepresentacionespermitieraconstruirms preguntas.Durante este momento, las maestras iban recorriendo las mesas, recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acercadequsepodaverenlosdibujos,qududasles quedaban sobre ese patio, si se vean las mismas cosas en todoslosdibujos,ubicadasenelmismolugar,etc.Endi-cho espacio, se pusieron en comn algunas afrmaciones acerca de lo que se poda saber sobre qu tena el patio del otro Jardn, cmo eran esas cosas. Porejemplo,podaobservarsequehabahamacas,pero no quedaba claro cuntas eran porque en algunos dibujos aparecan dos, en otros tres, etc. En algunos dibujos, el to-bogn apareca a la izquierda de las hamacas, en otros a la derecha y era necesario saber si lo haban dibujado desde distintos lados o por qu suceda eso. Ciertas representa-ciones no quedaban claras: por ejemplo, en algunos dibu-joslacalesitaaparecacomouncrculoynoseentenda qu era. En otros casos, queran saber si el patio tena r-boles o plantas porque no aparecan en el dibujo. Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podan zanjarse apartirdelasproduccionesanalizadasporotrogrupito, otras permanecan como dudas para todos.Constasyotrasobservaciones,elgrupoelaboruna carta,concomentariosypreguntas,queledictaronala maestra,quienprimeroescribienelpizarrnyluego transcribi para enviar al Jardn emisor de los dibujos. Tras estetrabajo,lasinstitucionesintercambiaronlascartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardn receptor. III. REVISIN DE LOS PLANOS PRODUCIDOSEn este momento, nuevamente en pequeos grupos, cada salatrabajsobrelasobservacionesrecibidasdelgrupo receptor de los dibujos. Para ello, cada maestra entreg a cada nio su dibujo y ley a todo el grupo la carta. Se ana-lizaronlosaspectossealadosporelotroJardn,enpar-ticularacercadelasdudas:sirealmenteerancuestiones que no se entendan a partir de los dibujos o si los chicos no haban llegado a comprenderlos, si era necesario acla-rar o explicar algo, modifcarlo, cmo hacerlo, etc. A partir de este anlisis de las dudas que planteaban los recepto-res, dictaron a su maestra una carta en respuesta. Tambin 16produjeronnuevosdibujos,incorporandolosaspectos queeranecesarioaclararyseintercambiaronfnalmente las producciones. En algunos casos, fnalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines, dibujos en mano.ALGUNOS COMENTARIOSNosinteresarescatarenprincipiolosproblemasespacia-les que este proyecto permiti plantear a los alumnos: se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacin de cier-tosobjetosenunespaciodado.Enestecaso,el plano producidopermiteconocer,anticipar,cmoesunespa-ciodesconocido.Enestacomunicacin,todoslosnios juegan como emisores de dicha comunicacin, en la pro-duccin de las representaciones espaciales y, luego, como receptores,enlainterpretacindelasrepresentaciones producidas por el otro grupo. Elanlisistraseldibujoinicialofreceunaprimerainfor-macinalosalumnos(porpartedelosparesodeellos mismosapartirdelaobjetivacindesuproduccinque permiteestainstancia)quelespermitesabersisus pla-nos cumplen con la fnalidad que persiguen, si son claros, si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio, si estn bien ubicados unos en relacin con otros, etc. Luego, la carta que reciben en funcin de la interpretacin del otro Jardn, permite una nueva fuente de retroacciones paraajustarsusdecisionesentornoaqucosasincluiry cmo hacerlo, es decir cmo dibujar cada una, cmo ubi-carlas unas en relacin con las otras.Vemos,entonces,quejueganconplenosentidoproble-mas en la comunicacin de informacin espacial, donde la produccineinterpretacinde planosintervienecomo unrecursodesolucin.Enestetrabajo,losniosseen-frentan a la situacin, toman decisiones sobre qu incluir en sus dibujos y cmo hacerlo. Es importante recordar que las docentes no los indicaron cmo realizar el dibujo sino solamentelafnalidadquepersegua,ystafuncionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando. La interaccin con los pares y con el maestro, en las dife-rentesinstanciasdeanlisis(enpequeosgruposycon todalasala,tantoenelmomentodeproduccincomo eneldeinterpretacinoenelmomentoderevisinde las propias producciones) les devuelven a los nios infor-macin que les permite ajustar su aproximacin inicial a la tarea.Nospareceimportanteresaltarelinterjuegoentre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-leslosalumnosmismosobtieneninformacinacercade la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala.Desde la concepcin de enseanza de la matemtica des-de la cual fue pensado este proyecto, resulta central la par-ticipacindelosalumnosenespaciosdeproduccin,en elsentidode hacermatemtica:deresolverproblemas yrefexionarentornoaellos.Esteprocesosuponecomo componentesconstitutivosdelsentidodelosconoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar: entre los alumnos y los problemas,entrelosalumnosentres;entrelosalumnos con el docente. Con respecto a la enseanza de la geometra en particular, el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar unadelasfuncionesquehacumplidohistricamentela geometra:lamodelizacindelespacio.Porsupuesto,se trata de un objetivo que recin inicia una primera aproxi-macin en el Nivel Inicial, un objetivo del cual se ocupar la escuela primaria. Por supuesto, se trata de un objetivo del cual se ocupar la escuela primaria, un contenido que recin inicia una prime-ra aproximacin en el Nivel Inicial. La produccin de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-ten con y sobre el espacio real pero a travs de represen-tacionessobredichoespacio.Resuelvenproblemassobre elespacioatravsderepresentacionesdelmismo,discu-ten y analizan los grfcos que referen a dicho espacio. As,comovimos,sonnumerosaslasdecisionesquede-benenfrentar:quelementosyrelacionesretenerenla representacin?, cules dejarde lado?, cmo transmitir esa informacin relevada?, forman parte de los problemas vinculados a la modelizacin que, buscamos que queden, por un momento, a cargo de los alumnos y no del docen-te-enlaactividadderesolucinyenlosanlisisqueles proponemos.Estamos pensando en una situacin que resulte desafan-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-os de la sala de 5 aos. Esto es, que no puedan responder automticamentealoquesepide,sinoquetenganque tomardecisiones,elaborarsusrespuestas(susplanos). No esperamos que, frente a esta situacin, produjeran di-bujos ajustados.Enalgunoscasos,lasprimerasproduc-cionesnosresultabanincomprensiblessinomediabala explicacin de sus autores. El centro del trabajo no consis-ta en el resultado considerado como un absoluto, sino en losavancesenlasproduccionesyenlasconsideraciones sobrelasrepresentacionesgrfcasderelacionesespa-ciales producidas por los pequeos. No se trataba de que produjerandibujoscercanosalosqueproducirannios mayores,sinoqueprogresaranentomarencuentaqu incluiranensusrepresentaciones,cmoloharan,cmo loveraotro,etc.Losavancesalolargodelasdiferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccin.17Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemasquenohubieranpodidotenerlugarfuerade ellas:porejemplo,porqunoresultaclaroqueentrelas hamacas y el rbol hay un sube y baja; qu se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba; etc. Enestecaso,sejuegaadems,lapotencialidaddelassi-tuacionesdecomunicacincomocondicinparaquela precisin en la representacin guarde una fnalidad: que el receptor, que no conoce de antemano el patio del otro Jar-dn, pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar. La misma fnalidad, a travs de la confrontacin con los di-bujos de los pares primero y, luego, a travs de la interpre-tacinrealizadaporelgruporeceptor,permiteconstruir criterios para ajustar las primeras decisiones. Estamos pensando que la actividad matemtica desplega-da frente a problemas espaciales y geomtricos, tambin permitelapuestaenjuegodequehaceresmatemticos (anticipaciones,resoluciones,validaciones).Talesproce-sos, en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase, son los que darn lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos.REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS Berthelot, R. y Salin, M. H. (1993): Conditions didactiques de lapprentissage des plans et cartes dans lenseignement lmentaire. Bessot y Vrillon (coord): Espaces graphiques etgraphismesdespaces.Contributiondepsychologies et de didacticiens ltude de la construction des savoirs spatiaux. Grenoble: La Pense Sauvage. Berthelot, R. y Salin, M. H. (1995): Savoirs et connaissances dans lenseignement de la gometrie. Arsac, Gra, Grenier y Tiberghien(coord):Difrentstypesetleurarticulation. Grenoble. La Pense Sauvage.GlvezPrez,G.(1988):Elaprendizajedelaorientacin en el espacio urbano. Una proposicin para la enseanza de la geometra en la escuela primaria. Tesis. Centro de In-vestigacin del IPN, DIE, Mxico.Sadovsky,P.(2004): Teoradesituaciones,Captulo1en Condicionesdidcticasparaunespaciodearticulacin entreprcticasaritmticasyprcticasalgebraicas.Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorian. Saiz, I. (2003): La derecha ... de quin? Ubicacin espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB, en Panizza, M (comp.): Ensear matemtica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB. Anlisis y propuestas. Buenos Aires: Paids.Salin,M.H.yBerthelot,R.(1994):Phnomneslis linsertion de situations a-didactiques dans lenseignement lmentaire de la gomtrie. Artigue, Gras, Laborde y Ta-vignot (eds.): Vingt ans de didactique des mathmatiques * Mara Emilia Quaranta Lic. en Psicopedagoga. Es investigadora en el proyecto UBACyT: El sistema de numeracin: conceptualizaciones infantiles sobre la notacin numrica para nmeros naturales y decimales. Forma parte del Equipo de Matemtica de la Direccin de Currcula, Secretara de Educacin, GCBA y del Equipo Central de Matemtica de la Direccin de Capacitacin, Direccin General de Cultura y Educacin, Pcia de Bs As. Es docente de la ctedra de Psicologa del Aprendizaje, CEFIEC, UBA y docente a cargo del rea de matemtica en el marco del Proyecto de Capacitacin Docente de la Coordinacin Pedaggica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham, Pcia de Bs. As. Asesora y coordina el rea de Matemtica en las escuelas Northlands, Amapola y Jacarand.* Beatriz Ressia de Moreno Lic. en Psicopedagoga; Co coordinadora del Equipo Tcnico Central (ETC) en el rea de Matemtica de la Direccin de Capacitacin Docente, Direccin de Educacin Superior de la Pcia. de Bs. As. Integra el equipo de matemtica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacin de la Univ. de San Andrs. Es coordinadora del Proyecto Hacia una propuesta de alfabetizacin en Matemtica dependiente de la RAE, Red de Apoyo Escolar y Educacin Complementaria. Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales. Es autora de materiales curriculares y libros de texto.enFrance.HommageaGuyBrousseauetGerardVergn-aud. Grenoble. La Pense Sauvage. Salin, M: H: (1999): Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique. Lemoyne y Conne (coord.): Le cognitif end idactique des mathmatiques. Les Presses de lUniversit de Montreal.18Geometra en el jardn de infantes? CONVERSEMOS. PREGUNTA SIMPLE, RESPUESTA COMPLEJACentremos la mirada para contestarla. Y para esto, no pen-semosenlageometraqueaprendimosenlaprimariay menosenlasecundariayesosialgunavezlaentendi-mos. Para poder responder tenemos que, primero, situar-nosenelnivel,enlaespecifcidaddelNivelInicialypor supuesto, en las caractersticas de los nios de 4 y 5 aos Porqudecimosdeniosde4y5aos?Porquesinos remitimosalosDiseosCurricularesdelGobiernodela CiudaddeBuenosAiresde2000vemosquelamatem-tica,comodisciplina,aparecerecinenloslineamientos curriculares para estas edades.Estosdocumentosabordanlaenseanzadelamatem-tica desde un nuevo enfoque. No es nuestra intencin en esteartculodetenernosenculesfueronloscontenidos que se consideraba importante ensear antes ni cmo es queseabordabadichaenseanzaperoquienesyatie-nen bastantes aos (y digo bastantes) recordarn cuan-dosetrabajabaenlassalasysobretodoenlade cinco aos,laseriacin,laclasifcacin,laconservacindela cantidad, nociones que se encontraban en la base del n-mero. Todoestodesdeunenfoquepsicolgico(despus demuchotiempolasmaestrasdesalanosdimoscuenta de qu quera decir esto).Perovolvamosaltiempopresente:nuevoenfoque,de quin?(Siquierenaveriguar,losfrancesestuvieronalgo que ver)Pensarenlaenseanzadelamatemticaenestenivel, desdeunenfoquepedaggico,esvincularlaconunode sus pilares, el juego, por un lado, y la resolucin de situa-cionesquevalgalapenaresolver,esdecir,queplanteen un problema en serio a resolver, por otro.Paraverqusignifcavinculareljuegoconlaenseanza decontenidosquetenganqueverconelnmero(yde pasoaprenderunmontndejuegos)puedenconsultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) Juegos con reglas y n-merosenellibroEnsearenclavedejuego.Enlazando juegosycontenidos.Parapensarenqupropuestasse puedentrabajarparaenseargeometraatravsdepro-blemas y a travs del juego, pueden consultar a Gonzlez y Weinstein (2001), en Cmo ensear matemtica en el jar-dn. Nmero- Medida Espacio, texto al que recurriremos a continuacin.EL ESPACIO Y LA GEOMETRALaspersonasadultasperotambinlosnios,vanresol-viendodistintosproblemasvinculadosconelespacio, desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los niospequeos,hastaelhechodeestacionarelautoen los adultos.Pero,cundoestosproblemasespacialescotidianosse transforman en problemas geomtricos? Respuesta: cuan-do estos problemas se referen a espacios representados mediante fguras o dibujos.Expresanlasautora:cuandoconsideramoselespacio desdeunpuntodevistageomtricoestamoshaciendo referenciaalestudiodelasrelacionesespacialesydelas propiedades espaciales abstradas del mundo concreto de objetos fsicos (pag.92). El proponer la situacin de dibujar un recorrido para que unapersonaquenoconoceelJardnpuedatrasladarse de un lugar a otro, el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincn de dramatizaciones, el dibujar para comunicar a otros nios las pistas para la bsqueda Seccin a cargo del Comit Argentino de la Organizacin Mundial para la Educacin Preescolar (OMEP) Por Cristina Tacchi, para OMEP Argentina. Pensar en la enseanza de la matemtica en este nivel, desde un enfoque pedaggico, es vincularla con uno de sus pilares, el juego, por un lado, y la resolucin de situaciones que valga la pena resolver, es decir, que planteen un problema en serio a resolver, por otro.19deltesoro,sonalgunosejemplosdepropuestasendon-desehacenecesariorepresentarelespacioparaunfn determinado. Lasrepresentacionesgrfcasdesituacionesespaciales permitenlamodelizacindelarealidadyesunodelos medios que ayuda al nio a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentales (pag 116).Sehacenecesariotambinproponerunmomentode refexinsobrelaaccinparaquelosniospuedangra-dualmente pasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y, de ser posible, llegar a pequeas generalizaciones (pag 117).Al respecto, el Diseo Curricular (2000) expresa: se preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posicionesylosdesplazamientos,quetomenconciencia delosfenmenosvinculadosalpuntodevista,laelabo-racinyutilizacinderepresentacionesdelespacioen-torno . Los contenidos que propone son: Descripcin e interpretacin de la posicin de obje-tos y personas.Comunicacinyreproduccindetrayectosconsi- derandoelementosdelentornocomopuntosde referencia. Representacin grfca de recorridos y trayectos.Por ejemplo, el proponer dibujar (representacin plana) o sacarfotografasdealgunaescenapermitequelosnios exploren y discutan entre s y con el docente las distintas perspectivas,analicenlas deformacionesqueseprodu-cencuandosefocalizaunobjeto.Yluego,sisequisiera completar la escena, se podra discutir cmo se vera de-terminado objeto si variamos la posicin del observador. Y LAS FIGURAS GEOMTRICAS?Hacemuchotiempo(estoesperamos)elacentoestaba puesto en el reconocimiento de las formas y, por supuesto, su correcta o no denominacin.Se presentabandeauna(paranoconfundirsepero claro! tampoco se podan comparar entre s), se picaban, se rellenaban, se pintaban.Esta clase de propuestas no representaban ningn desafo a resolver ni un para qu comprensible.Hoypensamosqueelacentoestenelreconocimiento de atributos geomtricos, de cuerpos y fguras. Al respec-to,GonzlezWeinsteinproponenunaseriedepropues-tasconcuerposyfgurasgeomtricasqueimplican,por ejemplo, la copia (en presencia o ausencia del modelo) de confguraciones y el dictado de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una.Estaseriedeactividades,comoastambinelTangran, permite al nio conocer, explorar y jugar apropindose al mismo tiempo de las caractersticas de las fguras y cuer-pos geomtricos.ALGUNAS REFLEXIONES, ALGUNAS PREGUNTASEn el Nivel Inicial, a diferencia de los otros niveles, no exis-te (o por lo menos no debera existir), la hora de matem-ticay menos de geometra!Los contenidos pueden estar presentes en: Las actividades cotidianas, como por ejemplo, contar cuntos nios asistieron para saber cuntos pinceles se necesitan, el calendario, la fecha, etc.LaUnidadDidctica:Losnmerosparaordenarlos librosenlabiblioteca,losnmerosparacomprary vender, los dibujos para hacer planos. (Recordemos quelasdisciplinasayudanaenriquecerlamirada sobreelcontexto,nosedebenrealizar conexiones forzosas, descontextualizadas). Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didc-tica, en los que se presentan nuevos desafos respec-to de los contenidos propuestos. (Como salto cua-litativo?, como revisin?, como profundizacin de un contenido ya aprendido?) . Juegos en los cuales los contenidos estn presentes porque son inherentes al juego mismo (los nmeros en la guerra para saber cul es el ms grande, los n-meros para contar quin gan a los bolos).A la hora de disear las propuestas es necesario tomar de-cisiones, fundadas, respecto de las siguientes variables: La Consigna: presenta el problema, el juego, la situa-cinaresolverQuproblema?,qunecesitansa-El proponer la situacin de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardn pueda trasladarse de un lugar a otro, el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincn de dramatizaciones, el dibujar para comunicar a otros nios las pistas para la bsqueda del tesoro, son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fn determinado. 20ber los chicos para resolverlo?, qu ya saben y qu nuevo tiene que aprender?t $POUFOJEP B FOTFBS {$NP TF TFMFDDJPOB {2Vintervencionesdocentessonconvenientes?(Marco terico, bibliografa).t 0SHBOJ[BDJO HSVQBM {&O HSVQP UPUBM {&O QBSFKBTEnpequeosgrupos?Gruposhomogneosohe-terogneos?, por qu?Materiales:Losmismos?Quseagrega?Quse saca?t5JFNQP5FOFSFODVFOUBRVFMPTUJFNQPTQBSBBQSFO-der o para poner en prctica lo que los nios ya sa-ben son diferentes.Espacio: En la ronda? En las mesas? t $JFSSF {$NP IBDFSMP {2V QSFHVOUBS $PNFO-tabamosanteslaimportanciadededicarunosmo-mentos a la reexin sobre lo sucedido, los distintos modos de resolucin, los inconvenientes, los logros)Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafos o dominar contenidos que permitan jugar mejor, sera, a nuestro juicio, el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometra en el Nivel Inicial.t&WBMVBDJOTFIBDFOFDFTBSJPRVFFMEPDFOUFFWBMFy, dentro de lo posible haga, partcipar a los mismos niosparapoderproponerlasactividadessubsi-guientes (modicaciones en algunas de las variables didcticas).Para nalizar, sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor, sera, a nuestro juicio, el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometra en el Nivel Inicial.BIBLIOGRAFADiseoCurricularparalaEducacinInicial(2000)Paraniosde 4 y 5 aos. GCBAGonzlez,A.yWeinstein,E.(2001):Cmoensearmatemtica en el jardn. Nmero- Medida Espacio. Buenos Aires: Ediciones ColihueGarrido, R. (2008): Juegos con reglas y nmeros. En P. Sarl (co-ord.),R.Garrido,C.Rosemberg,I.RodrguezSenz:Ensearen clave de juego. Enlazando juegos y contenidos. Buenos Aires, Ed. NoveducCuartas Jornadas 12(ntes) Problemas actuales en la gestin de instituciones educativasAlgunos de los temas que se abordarn: Supervisin de la tarea docente Autoridad y Liderazgo en crisis? Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dicultades, abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes,alumnos y padres Como bajar de la supervisin y no morir en el intento Se puede hacer gestin del personal en las escuelas? Creatividad e Innovacin Adolescentes y escuela: entre el amor y el espanto Expositores conrmados: Nstor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charra Juan Jos Del Ro Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Marti Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Jos Svartzman Flavia Terigi Nilda VainsteinCundo?23, 24 y 25 de Octubre C.A.B.Awww.12ntes.cominfo@12ntes.comDnde?Teatro El CuboZelaya 3053Cunto cuesta?$280.-21Refexiones contemporneas acerca de un antiguo problema de geometraEl Menn es uno de los Dilogos de Platn que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental haconservadodesdelaantigedadclsica.Laprofundi-dad de los problemas que se plantean en l hace que siga siendo recordado y estudiado. En la trama del mismo par-ticipan tres personajes: Scrates, que en la mayora de los dilogos de Platn es la fgura central, Menn, un prncipe que es discpulo del sofsta Gorgias y su esclavo.Menn le plantea a Scrates la siguiente inquietud: Es po-sible ensear la virtud o est en la naturaleza de los hom-bres? A lo cual Scrates contesta:Elalma,pues,siendoinmortalyhabiendonacidomuchas veces, y visto efectivamente todas las cosas, tanto las de aqu como las del Hades, no hay nada que no haya aprendido; de modo que no hay de qu asombrarse si es posible que recuer-de, no slo la virtud, sino el resto de las cosas que, por cierto, antestambinconoca.Estando,pues,lanaturalezatoda emparentada consigo misma, y habiendo el alma aprendido todo, nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender-, encuentre l mismo todas las dems,siesvalerosoeinfatigableenlabsqueda.Pues,en efecto, el buscar y el aprender no son otra cosa, en suma, que una reminiscencia.Aqu es donde plantea Scrates la teora de la reminiscen-cia,esdecir,queaprendernoesotracosaquerecordar aquello que ya se sabe. Para demostrar esta teora propo-ne a un esclavo de Menn, alguien que no posea ningn conocimiento matemtico, un problema de geometra. Lo consigue haciendo solamente preguntas.Por Pierina Lanza, Federico Maloberti y Fabin Gmez*Elintersdeestefragmentodeldilogoradicaparano-sotrosenelhechodequepodemosencontrarenluna idea no convencional acerca de qu es aprender geome-tra, permitindonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensea en el texto y trasladando preguntas a nuestra prctica cotidiana como docentes de matemtica. Es interesante ver en l sin embargo aquello de lo cual nos advierteCharlotrespectodealgunasconcepcionesque subsistenimplcitamenteenlamentedemuchosdeno-sotros,queeslaideadeunamatemticaqueyaestall esperando a ser descubierta o recordada:Dice Charlot:Quesestudiarmatemticas?Mirespuestaglobalser queestudiarmatemticasesefectivamenteHACERLAS, enelsentidopropiodeltrmino,construirlas,fabricarlas, producirlas, ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual. Nosetratadehacerquelosalumnosreinventenlasma-temticasqueyaexistensinodecomprometerlosenun procesodeproduccinmatemticadondelaactividad queellosdesarrollentengaelmismosentidoqueelde los matemticos que forjaron los conceptos matemticos nuevos.EstaideaquesostienequeestudiarmatemticasesHA-CERmatemticasnoeslamspredominanteeneluni-verso escolar actual. La idea ms corriente es aquella que postula que las matemticas no tienen que ser producidas sinodescubiertas.Esdecirquelosentesmatemticosya existenenalgunaparte,enelcielodelasIdeas.Apartir En el presente artculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la enseanza de la Matemtica desde una perspectiva constructivista. Intentaremos revisar las siguientes cuestiones: Cul es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajes? Cul es una propuesta metodolgica que favorece el aprendizaje de la Matemtica? Qu tipo de problemas permiten el avance en la argumentacin matemtica hacia la formalizacin matemtica?El marco matemtico de discusin ser el geomtrico.22de all, el papel del matemtico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemticas existentes pero an desconocidas. Desde esta misma con-cepcin, las verdades matemticas slo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemticos, pero ellas son lo que son, dadas desde siempre, independientemente de lalabordelosmatemticos.Laenseanzaclsicadelas matemticas se basa en una epistemologa y una ontolo-ga platnica que las matemticas modernas an mantie-nen: las Ideas matemticas tienen una realidad propia.AdvertidosdelasoportunasobservacionesqueCharlot realiza,nosproponemosentoncesintroducirestepro-blema recorriendo los pasos que transitaron Scrates y el esclavo a lo largo del dilogo, convencidos de que una re-exin crtica del mismo aportar importantes elementos para pensar nuestra prctica.Por otra parte, tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didctica han realizado acerca de este clebre fragmento.El planteo del problema surge cuando Scrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomtri-cos el rea de un cuadrado:SC.(Alservidor.)Dimeentonces,muchacho,conoces que una supercie cuadrada es una gura as? (La dibuja.)SERVIDOR. Yo s.SC. Es, pues, el cuadrado, una supercie que tiene todas estas lneas iguales, que son cuatro? SERVIDOR. Perfectamente.SC. No tienen tambin iguales stas trazadas por el me-dio?Alcuadradoinicial(ABCD),Scratesagregalaslneas.EFy GH.SERVIDOR. S.SC. Y no podra una supercie como sta ser mayor o menor?Scrates seguramente seala, primero, el cuadrado mayor (ABCD)y,despus,algunodelosmenores(p.ej.:AHOE, HBFO, EOGD, etc.)SERVIDOR. Desde luego.SC. Si este lado fuera de dos pies y este otro tambin de dos, cuntos pies tendra el todo? (Losgriegosnodisponandeuntrminoparareferirsea pies cuadrados)Mralo as: si fuera por aqu de dos pies, y por all de uno solo,Scratescomparaunodelosladosdelcuadradomayor(p. ej.:BC)conotrodelaguramenor(p.ej.:elAEdelagura ABFE).No sera la supercie de una vez dos pies? (Es decir, dos pies cuadrados).SERVIDOR. S.SC.Peropuestoqueesdedospiestambinaqu,qu otra cosa que dos veces dos resulta?SERVIDOR. As es.SC. Luego resulta, ciertamente, dos veces dos pies?SERVIDOR. S.SC. Cunto es entonces dos veces dos pies? Cuntalo y dilo.SERVIDOR. Cuatro, Scrates.Aquadvierteelesclavoladicultaddelproblema,en tantoduplicarelladodelcuadradoimplicacuadruplicar surea.Desdeunpuntodevistaaritmtico,yasepuede observarqueparahallarelcuadradopedido,lamedida delladocorrespondientehadesertalquemultiplicado porsmismoddoscomoresultado.Sitrabajsemosen nuestros cursos con este problema quizs podramos pre-guntar:Existeunnmeroquecumplaconesascaracte-rsticas?Esdecirquelariquezadelproblemapermitemltiples posibilidadesdetrabajo.Porunlado,comomododein-dagarenlaspropiedadesdelcuadradoentantoobjeto geomtrico,perotambincomodisparadorparapensar enunmododeabordarlaproblemticadelosnmeros irracionales.EneltextoScratessecentraenelproblemadesdeun abordaje geomtrico:SC. Y podra haber otra supercie, el doble de sta, pero conunagurasimilar,esdecir,teniendotodaslaslneas iguales como sta?SERVIDOR. S.SC. Cuntos pies tendr? SERVIDOR. Ocho.SC.Entoncesdelalneadetrespiestampocoderivala supercie de ocho.SERVIDOR. Desde luego que no.SC.Peroentonces,decul?Tratadedecrnoslocon exactitud.Ysinoquiereshacerclculos,mustranoslaenel dibujo.SERVIDOR. Por Zeus!, Scrates, que yo no lo s. SC.Tedascuentaunavezms,Menn,enqupunto seencuentrayadelcaminodelareminiscencia?Porqueal principionosabaculeralalneadelasuperciedeocho pies,comotampocoahoralosabean;sinembargo,crea entonces saberlo y responda con la seguridad propia del que sabe, considerando que no haba problema. Ahora, en cam-bio, considera que est ya en el problema, y como no sabe la respuesta, tampoco cree saberla. MEN. Es verdad.AB CDE FGHO23Enestepuntopodramospensarenlaideadesituacin adidctica de Brousseau, aquel momento en el que el su-jetoqueaprendeadviertelaverdaderacomplejidaddel problema e intenta resolverlo ya en sus propios trminos. SC. Entonces est ahora en una mejor situacin con res-pecto del asunto que no saba?MEN. As me parece.SC. Al problematizarlo y entorpecerlo, como hace el pez torpedo, le hicimos algn dao?MEN. A m me parece que no.Justamente el propio Scrates advierte que es el obstcu-loaquelloquepermiteymotorizaelaprendizajeycomo l mismo sostiene, lejos de hacerle algn mal es condicin necesariaparaqueelaprendizajeseproduzca.Eseldo-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna. En eso se basalaconcepcindialcticadelamayuticasocrtica, que heredan todas las versiones del constructivismo. Losucesivodeldilogotransitaporuncaminoenelque Scrates realiza diferentes preguntas al esclavo que con-ducen a la solucin del problema. Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas. La mayora limitan al inter-locutordeScratesaconcederquelasafrmacionesque ste realiza son acertadas o a contar el nmero de fguras que dibuj, con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracin est siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacin de un resultado que se muestra como irrefutable. En palabras de Brousseau: Cuando la eleccin de las preguntas no est sometida aningncontratodidctico,puedensermuyabiertaso muycerradascomoeneldialogodeMennypodrana prioritomarcualquiercaminoretricoyobtenerla bue-na respuesta por medio de analogas, metforas, etc. Tam-binestecontratopodraserconsideradocomouncaso particular de contrato de imitacin o reproduccin formal enelsentidodequeelprofesorhacedeciralalumnoel saber que intenta transmitirle abstenindose de decirlo el mismo.Detodasformas,elpasoderdenesapreguntas introduce una gran diferencia.En nuestra opinin el rol que asume Scrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento. Por otro lado, es difcil establecer comparaciones entreundilogodeestascaractersticasyunasituacin trasladable al aula en el que la discusin entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinmica muy distinta.En un dilogo de dos a veces resulta difcil para quien con-duce la accin pedaggica ceder el lugar de portador del saber, aquello que Gastn Bachellard llam alma profeso-ral. Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se est dispuesto a ceder una posicin, cuando el maestro o la maestra estn decididos a que sus alumnos y alumnas les enseen.Jacques Ranciere en su libro El Maestro Ignorante dice:

Scrates,pormediodesuspreguntas,conducealescla-vodeMennareconocerlasverdadesmatemticasque estn en l. Hay all tal vez, el camino de un saber, pero de ningunamaneraeldelaemancipacin.Alcontrario,S-crates debe llevar al esclavo de la mano para que ste pue-da encontrar aquello que ya estaba en l. La demostracin de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia: nunca avanzar por su cuenta, y, por otra parte, nadie le pide que lo haga, sino para ilustrar la leccin del maestro. Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidadyasombro,quizsconvoquealaaperturayala refexinyalmismotiempotambinconvoquelaapari-cin de un sujeto autnomo, capaz de ser el dueo de su propiosaber.Esto,sinduda,posibilitaralaconstruccin deunsentidodelaexperienciaescolarquetrasciendala mera obligatoriedad del trnsito por las aulas. PROPUESTA METODOLGICA PARA LA CONSTRUCCIN DE COMPRENSINHoy en da, la matemtica se percibe, desde una perspec-tivadinmica,comocampodecreacincontinuacuyo principal impulsor es la resolucin de problemas. Se con-templacomounconocimientosometidoaunarevisin constantequedependedelcontextosocial,culturaly cientfco, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida. El conocimiento no slo es producto de la mente, sino tam-bin producto cultural, lo cual no relativiza la matemtica sino que provoca un cambio de signifcados.Estarelacinconelcontextoimpregnaalamatemtica comodisciplinadeunaseriedevalores.Desdeunapers-pectivaantropolgica,elconocimientomatemticose construyeporinteraccinsocial.Elqueaprende(elreso-lutor)debeponerenjuegounaseriedeconocimientos previos(estructurasconceptuales,estrategiasgenerales, procedimientos especfcos) para dar solucin a una si-tuacin nueva que lo interpela (problema). Por ello, la enseanza de la Matemtica tiene dos objetivos: la aplicacin al mundo cientfco y social; y el incremento del conocimiento formal matemtico, independiente de la experiencia. Para dotar de sentido la actividad matemtica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-mtico con sus usos sociales y cientfcos.En general, el conocimiento matemtico que se ensea en las aulas se presenta alejado del signifcado y de las condi-ciones de produccin y aplicacin de dicho conocimiento, y por ello es muy difcil que los alumnos puedan adquirir unadecuadosentidomatemtico,loquelosllevaadife-renciarlamatemtica delaescuela,ylamatemtica de 24la vida. Por eso los docentes deben redefnir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemtico a ense-ar en la escuela, que difere tanto del conocimiento ma-temticocotidianocomodelconocimientocientfco.La enseanza de la matemtica ganara en signifcatividad si incorporase elementos de la prctica cotidiana a sus acti-vidades tpicas, ms formales. (Lanza y Schey, 2006)Por ello, para ensear matemtica hoy se promueve un di-seo de enseanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista, que cuente con las capacidades de los alumnos en busca de un aprendizaje signifcativo. Este aprendizaje slo es posible a travs de las intervenciones inteligentes y estratgicas del docente, cuando ste disea secuencias de enseanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-tacurricularquecolaboreadiversifcaryenriquecerlas posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje.El constructivismo constituye una posicin epistemo-lgica, es decir, referente a cmo se origina, y tambin cmo se modifca el conocimiento:Elsujetocognoscenteconstruyesuspropiosconoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros. Esa construccin da origen a la organizacin psicolgi-ca, pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto. Sin embargo, los otros facilitan la construccin que cada sujeto tiene que realizar por s mismo. El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacin de los otros (en este caso, los compaeros de clase y, centralmente, el docente.)Elconstructivismoesunaposicininteraccionistaen la que el conocimiento es el resultado de la accin del sujetosobrelarealidad,yestdeterminadoporlas propiedades del sujeto y de la realidad. Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas. Frente al empirismo, sostiene que el conocimiento no esunacopiadelarealidadexterior,sinoquesupone una elaboracin por parte del sujeto.Frente al innatismo, propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identifcarse con un proceso de externalizacin de algo interno.Elconstructivismotambinpuedeapoyarseenuna teora psicolgica, que explique cmo se construye el conocimientoencadasujetoindividual.Laposicin constructivista se refere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto epistmico) y los sujetos individuales participandeesascaractersticasgenerales.Lateora psicolgicatienequetenerencuentalasdiferencias individuales, cosa que no resulta necesaria en una teo-ra epistemolgica.La consecuencia de un aprendizaje efcaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemtica (cono-cimiento cientfco) y la vida (conocimiento cotidiano). Por ello,loimportanteessituaralosalumnosensituaciones que realmente los obliguen a pensar matemticamente. (Lanza y Schey, 2006)Enfuncindeloanterior,paralograrunaprendizajesig-nifcativoenMatemticahayqueproponersituaciones queplanteenproblemas.Enfrentadosalproblema,las nociones matemticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucin, y por lo tanto se les otorga valor y sentido. Por ello, un conocimiento matem-tico slo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado;esdecir,cuandoesposibleemplearlocomo mediopararesolverunasituacinoproblema.(Lanzay Schey, 2006)PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARESLosproblemasmatemticosescolarestienencaractersti-cas muy distintas a los problemas cotidianos:1. El problema es reconocido y defnido por el propio su-jeto (por ejemplo, el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor, por ejemplo, como ocurre en los problemas escolares.2. El problema est socialmente contextualizado.3. Aunque la solucin del problema implica una actividad matemtica,lafnalidadnoesaprendermatemticaso construir conocimiento matemtico.4.Elproblematieneunafnalidadprctica;porejemplo, comprar el producto ms econmico o que ms convenga al comprador en funcin de razones que la mayora de las veces son de carcter extra matemtico. El comprador se juegasudinerorealmenteynosimblicamente,como ocurre en la escuela.5. Hay, por lo tanto, un nivel alto de implicacin e inters personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar, por ejemplo) y la fnalidad prctica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemtico.6. La defnicin del problema no es defnitiva de entrada. Sevaconstruyendoamedidaqueavanzalaactividad.El problemaylasolucinsegeneransimultneamente,de formaqueelsujetovatransformandoelproblemapara solucionarlo.7. Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas. Una solucin aproximada puede bastar a los fnes del sujeto.258. No hay un mtodo adecuado o cannico para obtener lasolucinsinomltiplesmtodosqueelsujetopuede inventar.9.Elsujetonoesconscientedeestarrealizandounaac-tividad matemtica. El conocimiento matemtico no est explcito.10. La solucin est condicionada o infuenciada por la ex-periencia personal. (Gmez-Granell, 1997)Encontrasteconestascaractersticas,losproblemases-colaresestnmsorientadosaaprenderunmtodode resolucinoaplicarunalgoritmoqueaencontraruna solucin. Fomentan la descontextualizacin y no la impli-cacinpersonal.Laintencindetrabajarconlosmismos esencontrarprocedimientosderesolucinmsefcaces generandoeldesarrollodenuevosesquemasdepensa-miento, que faciliten y enriquezcan la actuacin del sujeto sobre la realidad.Losalumnossecomportandemaneradiferentecuando resuelven problemas de la vida cotidiana. Crean y utilizan procedimientos,engeneralmuyalejadosdelosquese aprenden en la escuela. La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemticas implcitas en sus procedimientos cotidianos. En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema cotidiano de su contexto,paratomarconcienciaypoderponerenpala-braslasrelacionesyestructurasmatemticasquesirven para solucionarlo, pero que quedan ocultas en las situa-ciones de vida cotidiana. Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que signifca apropiarse de las nociones matemticas. (Lanza y Schey, 2006)Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matem-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela, en contex-tossocialesyatravsdeprcticasculturales.Peroenla vida prctica ese conocimiento parece ser rutinariamente efcaz y refexivamente intencional, sin conocer las condi-cionesdesupropiaproduccin.Poresodecimosquela adquisicindelconocimientomatemticoformalslose adquiereenlaescuela,dondelasmetas,loscontenidos, las actividades, la organizacin, etc., son muy diferentes a los de la vida cotidiana. (Lanza y Schey, 2006)Elprofesionaloelcientfcoutilizanunaformapeculiar depensarquedependedesurazonamientoparaadqui-rir informacin y utiliza la argumentacin como medio de descubrimiento para resolver los problemas. En cambio el niodependedesuactividadenelmundoexteriorpara resolver los problemas, utiliza una aproximacin emprica. (Lanza y Schey, 2006)Paraacercaralosalumnosalaformadeoperardelcien-tfco, los docentes deben organizar las actividades de los niosparaqueaprendanaquelloquevaloranlosmate-mticos,cediendoprogresivamentelaresponsabilidadal alumnoatravsdeunprocesodeparticipacinguiada. (Lanza y Schey, 2006)Adems, para lograr un aprendizaje signifcativo, el alum-no tiene que haber construido por s mismo dicho conoci-mientograciasalaayudaylaintervencinoportunadel docente. Asimismo, los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir qu le con-vienehacer,esdecir,culesdelosconocimientosdelos quedisponepuedeutilizarensusolucin. Y,sinodispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta, lo tienen que conducir a la investi-gacin de nuevos saberes, lo que le permitir revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas. (Lanza y Schey, 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno, es decir que sabe qu est haciendo y qu quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento, tiene que validarsusproducciones,esdecir,confrontarsuresolu-cin con las de sus compaeros, ponindola en discusin yverifcandosielprocedimientoesadecuadoyconve-niente.Elalumnoseaproximaalaconceptualizacinde un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir qu procedimientos asociados al mismo son vlidos y efcaces y cules no lo son. (Lanza y Schey, 2006)Desde esta perspectiva, aprender matemtica es construir el sentido de los conocimientos, y son los problemas y la refexinentornoastosloquepermitequelosconoci-mientosmatemticosseimpregnendesentidoalapare-cer como herramientas para poder resolverlos. Y juega un lugarfundamentallapregunta.Problematizarelconoci-miento signifca plantear buenas preguntas que permitan su revisin y discusin continua.Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometraElproblemaquesenospresentaeneldilogodePlatn nosremiteadoscuestionesquesonpropiasdelamate-mtica que se trabaja en los ltimos aos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media, la medida y el trabajo con las propiedades de las fguras. Ahora bien nosinteresaanalizaresteproblemacomounasituacin de aula y pensar cules pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo. Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula.Dadouncuadradodelado2,esposibleconstruirotro cuadrado que tenga el doble de la superfcie?Este problema tiene dos accesos posibles, uno asociado a trabajoaritmticoyotroestrictamentegeomtrico.Pen-semos el primero.Un cuadrado de lado 2 posee una superfcie que es de 4. Estoesfcilmentecalculablerecuperandolafrmulade la superfcie del cuadrado que marca que la superfcie del mismo es el cuadrado del valor del lado. Si queremos du-plicar el rea del cuadrado, bastar con duplicar ese valor ydeterminarquelasuperfciedelmismoserde8.Pero an no hemos terminado con el problema ya que lo nico 26quehemosafrmadoesculeslamedidadeunasuper-fcieequivalentealdobledeladelcuadradopresentado, perorestaelprobarqueexisteuncuadradoquecumpla con esas condiciones.Enestemomentoescuandolarefexinnumricavuel-veaapareceralbuscarlamedidadelladodelcuadrado cuya superfcie es 8. Para ello podemos volver a recuperar la frmula antes propuesta y averiguar cul es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8. La respuesta a este problema que en un principio parece trivial, nos lleva directamentealcampodelosnmerosreales,yaquela medida correspondiente a dicho lado sera 8. Es en este momento donde podramos afrmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de 8 y que su superfcie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2. Resulta in-teresante refexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse:Por un lado, es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el clculo que reali-zamosyaquedamosporhechoquelamedidadellado es8 y no -8. Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva. Parece una trivialidad, pero es impor-tantedestacarestoyaqueimplicarecuperarelcontexto de la situacin modelizada para una interpretacin de los resultadosobtenidosapartirdelaactividadmatemtica desarrollada.Porotrolado,debemosdestacarelsignifcadodelresul-tado obtenido al decir que el lado mide 8. En este aspec-to,seraunadiscusininteresanteparadesarrollarlade siesposible,conesainformacin,construirelcuadrado que tenga el doble de superfcie. Cmo es que podemos dibujarunladodeesamedida?Unadelasposiblesres-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manerarealizarunaaproximacinalvaloryconstruirel cuadrado correspondiente.Ahora bien, merece una refexin especial el hecho d