8/18/2019 LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

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ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 

LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de

potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de

las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.

Ecuación de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensional tiene la forma

Donde, los coeficientes a n ,a n-,!,a ",a ,a # ,- son constantes reales.

!a característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de las potencias

k  x coincide con el orden

k

de la diferenciación,

k 

k 

dx

 yd 

.

$%&'D' DE ('LUCIÓN

"onsideramos una ecuación diferencial de "auchy#Euler de segundo orden y suponemos una solución de la formam x y =

 dondem

ser$ determinada en procedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye

mxe y =

 en unaecuación lineal con coeficientes constantes.

"uando se sustituye

k 

 x   , cada término de una ecuación de "auchy%Euler se convierte en un polinomio en m

multiplicado por

k  x 

!a primera y segunda derivadas son, respectivamente&

' en consecuencia

(sí,

m x y =

  es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación au)iliar*homogénea asociada+

am*m-l+mc.# o am " *-a+mc.#/ *+ 

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)ay tres casos distintos por considerar, en función de si las raíces de esta ecuación cuadr$tica son reales y

distintas, reales repetidas *o iguales+ o compleas conugadas.

CA(' 0 ra1ces reales dis2in2as Sean m    y m -  las raíces reales de *l+, con m    m - . Entonces

1

1

m x y   =

 y

2

2

m x y   =

forman un conunto fundamental de soluciones. /or consiguiente, la solución general es&2121

mm xc xc y   +=

*"+

CA(' "0 ra1ces reales re3e2idas Si las raíces de *+ son repetidas *esto es, si m l   0 m - +, solo llegaremos a una

solución, que es

1

1

m x y   =

. "uando las raíces de la ecuación cuadr$tica am -   1 *b % a+m 1 c 0 2 son iguales, e

discriminante

( )acb   42 − de los coeficientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula cuadr$tica, la raí3 debe

ser

( )

a

abm

21

−−=

.

/odemos formar ahora una segunda solución. /rimero escribimos la ecuación de "auchy%Euler en la forma&

 

Entonces, la solución general es 

 x xc xc y   mm ln11 21   +=

Caso 40   Si la ecuación característica de *+ tiene las raíces compleas conugadas, entonces m   0   α 1 iβ y m- 0 α 

% iβ, donde α,β 4 2 entonces una solución es

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( )

( ) ( )( ) x senc xc x

 x x

 xc xc y

ii

mm

lnlncos 

cc 

21

21

2121

β β α 

β α β α 

+=

+=

+=−+

!uego la solución general es&

( ) ( )( ) x senc xc x y   lnlncos 21   β β α 

+=

.

CA$5I' A C'E6ICIEN&E( C'N(&AN&E(

)ay ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de

variables, en ecuaciones con coeficientes constantes.

"onsideramos la ecuación diferencial de "auchy 5 Euler caso homogéneo, de segundo orden, es decir.

0 yadx 

dy x a

dx 

 x d  x a 212

22

0  

*4+ 

 donde210   ,,   aaa

 son constantes reales y

00  ≠a

.

6erificamos que si hacemos

t e x  =

, la ecuación*4+  se convierte en una ecuación diferencial lineal con coeficientes

constantes.

En efecto &

Suponiendo

,0> x y tomando

t e x  

ó 2 . ln )/

Entonces&

;1

dt 

dy

 xdx

dt 

dt 

dy

dx

dy==

 y

;11222

2

2

2

dt 

dy

 x xdt 

 yd 

dx

 yd −=

Sustituyendo en *7+&

0212

22

0   =++   yadx

dy xa

dx

 xd  xa

 obtenemos&

0212

2

0  =++

−   ya

dt 

dya

dt 

dy

dt 

 yd a

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Es decir&

0)( 2012

2

0   =+−+   yadt 

dyaa

dt 

 yd a

  *7+ ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

8inalmente, resuelta esta ecuación *7+ , se deshace el cambio y por sustitución se obtiene la solución del problemadado.

El caso no homogéneo

)(212

22

0  x f  yadx

dy xa

dx

 xd  xa   =++

, requiere el uso de variación de par$metros.

8ARIACIÓN DE 9AR:$E&R'(

(ntes de emplear variación de par$metros para encontrar una solución particular

, p y 2211   yu yu y p   +=

,

recordemos que es necesario usar las fórmulas

En donde

 

!as funciones

'2

,1   uu

 se determinan integrando los resultados en consecuencia

2211  yu yu y p   +=

 y por ultimo

 pc   y y y   +=

.

9eferencias.

:ibliografía de cronograma día a día.

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