La La DistribuciDistribucióónn Normal Normal y su uso en y su uso en

la Inferencia Estadla Inferencia Estadíísticastica

Los conceptos básicos de ProbabilidadProbabilidad y de DistribucionesDistribuciones MuestralesMuestralessirven como introducción al método de Inferencia Estadística; esta se compone en dos áreas:

• EstimaciEstimacióónn• PruebasPruebas de de HipHipóótesistesis

La estimación busca evaluar los valores de los parámetros de la población (por ejemplo la media y la desviación estándar) basados en unamuestra.

Las pruebas de Hipótesis constituyen un proceso relacionado con aceptar o rechazar alguna afirmación acerca de los parámetros de la población.

Ejemplo.

Supóngase que un fabricante de lápices compra a un proveedor borradores para pegarlos a los lápices. El fabricante tiene que decidir si cada lote de borradores del proveedor es de calidad aceptable. Para ello necesita que contenga el 15% o menos de borradores defectuosos.

Desde luego, no puede inspeccionar cada borrador del lote. Debido a esto, obtiene una muestra de 20 borradores de cada lote y la inspecciona. Decide que si hay 3 o menos borradores defectuosos en la muestra, aceptará un lote; si hay más de 3 defectuoso rechazará el lote y lo de volverá al proveedor.

Sin embargo, si acepta un lote cuando éste contiene más del 15% de borradores defectuosos, ha cometido un error. Por otra parte si rechaza un lote cuando contiene menos del 15% de borradores defectuosos, también ha cometido un error.Con base en la evidencia proporcionada por la muestra, el fabricante ha tratado de responder a la pregunta ¿tiene el lote una proporción de lápices defectuoso tan grande que sea necesario rechazarlo?

Al responder a lo anterior, el fabricante de lápices ha tomado una decisión acerca de la proporción de defectos en la población general, ya que la proporción en la población es un parámetro de la población y las decisiones acerca de los parámetros de la población constituyen el proceso de pruebas de hipótesis, en realidad el fabricante ha realizado la tarea de probar una hipprobar una hipóótesistesis.

Si el fabricante está interesado en estimar la verdadera proporción de defectos con base a su información muestral, tendrá que intentar responder a la pregunta

Esta pregunta corresponde a lo que se llama EstimaciEstimacióónn.

Con base en la muestra ¿Qué afirmación puedo hacer acerca de la proporción de la población que es defectuosa ?

Al hacer mediciones de cualquier tipo y distribuir nuestros resultados bajo algún criterio, es muy común encontrar que los datos se agrupen de manera muy característica.

En muchos de estos casos veremos que dichas distribuciones siguen una forma muy particular en la que tenemos un mayor número de observaciones para cierto valor, disminuyendo la cantidad de observaciones a ambos lados de la observación más frecuente.

Un ejemplo es al dejar caer canicas por entre una serie clavos como lo muestra la figura, al final del experimento con muchas canicas tendremos que las canicas se han agrupado como se ve en la figura.

¿¿PorquPorquéé eses normal la normal la distribucidistribucióónn Normal?Normal?

Ejercicio interactivo: Máquina de Galton

A este tipo de distribución se le conoce como Distribución Gaussiana, ya que el matemático alemán Karl F. Gauss (1799-1830) fue quien la describió de manera analítica.

La forma de ésta función es parecida a la de una campana, por eso también se conoce como “campana de Gauss”.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sida

d

-3.09

0.999

0

Distribución Normal

Es tan común encontrar esta distribución en tan diversas ramas del conocimiento, que también se le da el nombre de DistribuciDistribucióón n NormalNormal. La aportación de Gauss se honraba en los billetes de los marcos alemanes (antes de los Euros) como uno de sus descubrimientos más trascendentales.

La distribución Gaussiana se aplica a una gran gama de observaciones en ramas como la biología, la geografía, la astronomía y por supuesto la economía.

Muchos ejemplos de la naturaleza se pueden aproximar con una distribución normal.

En general esto se puede pensar como resultado de la interacción de muchos (o un gran número) efectos aleatorios en la variable que se estudia.

Por ejemplo, si medimos el tamaño de las hojas de un árbol, veremos que tienden a distribuirse en forma gaussiana.

Ejercicio interactivo: Jugando con la distribución normal

Pero ¿a qué se debe esta aparentemente sorprendente resultado?

Estas distribuciones son el resultado del agregadoagregado de muchos procesos azarosos o fortuitos que podrían no ser observables individualmente.

Matemáticamente esta distribución obedece a lo que se conoce como el

Teorema del LTeorema del Líímite Centralmite Central.

Este teorema estipula que si tomamos muestras de una población que tenga cualquier tipo de distribución, pero una media y varianza finitas, entonces, la distribución de las medias tiende a la distribución normal. Entre mayor sea el número de muestras mejor será la aproximación a una distribución normal.

Por ejemplo, si nos tiramos un dado la probabilidad de que caigacualquier número es 1/6. Esto implica una distribución de posibilidades de la siguiente forma (x es el número o cara):

P

1 2 3 4 5 6 x

1/6

Esta es una DistribuciDistribucióón de Probabilidad Uniforme n de Probabilidad Uniforme que, como se ve, es la misma probabilidad para todos los valores que toma la variable

Ahora imaginemos que tiramos un dado 500 veces y tomamos el número total de puntos de cada tirada, entonces decimos que N = 1, y las sumas de cada tirada las distribuimos como en la figura.

Ahora lo hacemos con 4 dados (N = 4), y luego con 7 y con 10.

Al final tendremos las siguientes distribuciones:

Notemos que conforme vamos aumentando el número de muestras muestras la distribución se acerca más a una distribución normal.

Ejemplo interactivo: distribución muestral

Entre las propiedades agradables de la distribución normal, está el hecho de que

• La distribuciLa distribucióón normal de una suma o diferencia (que en n normal de una suma o diferencia (que en general es lo mismo) de distribuciones normales es tambigeneral es lo mismo) de distribuciones normales es tambiéén n normal.normal.

Si tenemos que:

Otro motivo por el cual as distribuciones normales son muy utilizadas es que tienen muchas propiedadespropiedades muy convenientes. Por eso, si las variables aleatorias que nos interesan tienen distribuciones desconocidas, podemos hacer inferencias inicialessuponiendo distribuciones normales.

y

Y la correlación entre x1 y x2 es ρ, entonces:

Debido a todo lo anterior esta distribución es muchas veces el modelo de partida de los análisis de los datos. Aunque cuando no podemos generalizar, muchas veces la podremos utilizar como una buena aproximación a la realidad.

Y también:

DistribuciDistribucióón Normal Estn Normal Estáándar o tipificada. Calificacindar o tipificada. Calificacióón Zn Z..

Una de las consecuencias del Teorema del Límite Central es que dada una población con media m y para n lo bastante grande, la distribución de la variable

es una distribución normal.

donde:

es la observación que estamos queriendo analizar

es el valor de la media de la muestra

s es el valor de la desviación estándar de la muestra

Si nos fijamos en la fórmula el valor de Z es la distancia de la la distancia de la observaciobservacióón a la media en unidades de desviacin a la media en unidades de desviacióón estn estáándarndar, es decir, a cuántas desviaciones estándar está alejada nuestra observación de la media.

ix xZ

s−

=

ix x

Veamos qué significa esto en una gráfica:

3210-1-2-3

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

Den

sida

d

Normal estándarMedia=0, Desv Est=1

Una desviación estándar

Dos desviaciones estándar

d) ¿Qué significa este resultado?

Actividad 1 Si nos dicen que una población tiene una media de 23 y una desviación estándar de 3.5, encontrar la calificación Z de

a)26.6, b) 16, c)19.5 d) 29:

a) lo que significa que 26.6 está a 1.03

desviaciones estándar a la derechaa la derecha de la media (porque es positivo).

03.1

5.3236.26

=−

=Z

b) lo que significa que la observación está

a 2 desviaciones estándar a la izquierdaa la izquierda de la media (porque es negativo).

16 - 23Z = = -23.5

c) ¿Qué significa este resultado?19.5 - 23Z = = -13.5

72.15.32329

=−

=Z

Si cambiamos todos los valores observados a calificaciones Z, entonces podemos crear una distribución normal genérica llamada distribución normal estándar o tipificada en donde

•• la media, que estla media, que estáá en el centro de la curva, nos queda en el valor en el centro de la curva, nos queda en el valor 00

•• la desviacila desviacióón estn estáándar es ahora igual a 1 y ndar es ahora igual a 1 y

•• el el áárea bajo la curva tambirea bajo la curva tambiéén es igual a la unidadn es igual a la unidad lo que equivale al total de los casos de la población estudiada, es decir,

De este modo, la porción de área bajo la curva, limitada por dos ordenadas o perpendiculares levantadas en puntos del eje X, expresan el porcentaje de casos que quedan comprendidos entre las calificaciones Z correspondientes a los puntos sobre los que se trazan las ordenadas. Veámoslo en el siguiente diagrama.

El El áárea total rea total == 1 corresponde al 100% de los casos, y porciones del 1 corresponde al 100% de los casos, y porciones del áárea son proporcionales a porcentajes parciales de la muestra.rea son proporcionales a porcentajes parciales de la muestra.

La Regla del 68 – 95 - 99.7%

Todas las curvas o distribuciones de densidad normal satisfacen la siguiente propiedad a la cual comúnmente se le refiere como la Regla Empírica.

68%de las observaciones caen dentro de 1 desviaci1 desviacióónn estestáándarndar de la de la

mediamedia, o sea, entre μ - σ y μ + σ .

95%de las observaciones caen dentro de 2 desviaciones2 desviaciones estestáándarndar de la de la

mediamedia, o sea, entre μ - 2σ y μ + 2σ .

99.7%de las observaciones caen dentro de 3 desviaciones3 desviaciones estestáándarndar de la de la

mediamedia, o sea, entre μ - 3σ y μ + 3σ .

Podemos ver que casicasi todastodas las observaciones caen dentro de 3 3 desviacionesdesviaciones estestáándarndar de la media y mmááss del 95%del 95% caerían a 22 desviacionesdesviaciones estestáándarndar de la media

Valores o calificaciones z

-3 -2 -1 0 1 2 3

2.15% 13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.15%

El área correspondiente a una distancia de 1 desviación estándar de la media (a ambos lados) es de aproximadamente 68%

Porcentajes del Área total o porcentajes de la población oprobabilidad

De acuerdo a lo especificado anteriormente entonces entre 0 y 1 se encuentra el 34.13% de los casos, es decir que el área bajo la curva es 0.3413, o lo que significa que el 68.26% de la población está alejada de la media a lo más una desviación estándar. O que solamente el 4.30% de los casos están más allá de dos desviaciones estándar de la media.

Existen tablas que nos ayudan a obtener los porcentajes de casos entre diferentes calificaciones Z y la media.

Sin embargo se debe tener mucho cuidado de ver cuál es el área bajo la curva que nos dan, porque se tabula de forma diferente en los libros,

algunos la dan a partir de 0 y otros a partir de -∞.

Ejemplos:

1.Si queremos encontrar el área bajo la curva comprendida entre las calificaciones estándar de los incisos a) y d) anteriores, buscamos en la tabla los valores que corresponden:

R e g la e m p ír ica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

para Z = 1.03 el área bajo la curva es 0.8485

para Z = 1.72 el área bajo la curva es 0.9564

lo que nos da un área de 0.9564-0.8485 = 0.1079

Esto quiere decir que el 10.79% está entre los valores 26.6 y 29 (recordar que el área total =1 equivale al 100% de los casos).

z

Que porcentaje de datos podríamos esperar con valores mayores a 29?

para Z = 1.72 el área bajo la curva es 0.9564

lo que nos da 1 – 0.9564 = 0.0436 o sea 4.36%

10.79%

z

95.64%

2. Encontrar el área bajo la curva entre las calificaciones Z = -2 y Z = -1Como en unas tablas no nos dan el área del lado izquierdo podemos usar los valores del lado derecho y el área es la misma porque la curva es simétrica.

Para Z = 2 el área bajo la curva es 0.9772para Z = 1 el área bajo la curva es 0.8413lo que nos da un área entre medio de ellas de 0.9772-0.8413 = 0.1359

z

CCáálculo de Probabilidadeslculo de Probabilidades

Antes de pasar a usar los conceptos anteriores tenemos que definir qué es la probabilidad. Podemos pensar en este concepto de dos maneras:

1. Si conocemos todos los resultados posibles de un experimento u observación, y queremos saber el porcentaje de que ocurra un cierto tipo de resultado, entonces llamamos probabilidad a:

( ) Número de resultados de un cierto tipo nP ANúmero de resultados totales N⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

Actividad No. 1:

Al tirar dos dados queremos ver la probabilidad de que salga el número 4 al sumar los puntos.

En este caso el número total de resultados es 36, por lo tanto N=36

El número de resultados que cumplen el criterio es 1+3, 2+2, 3+1, n=3

Es la probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea = 4

3 1( )36 12

nP AN

= = =

Si embargo, algunas de estas sumas se repiten, por lo que podemos hacer una tabla como la siguiente

Valoresde la suma(x)

Número decasos

ProbabilidadP(x)

2 1 1/36

3 2 2/36

4 3 3/36

5 4 4/36

6 5 5/36

7 6 6/36

8 5 5/36

9 4 4/36

10 3 3/36

11 2 2/36

12 1 1/26

Total 36 1.0

Si ahora hacemos un histograma con los valores de las sumas y sus probabilidades, tendremos lo siguiente

Esto es lo que llamaríamos a una distribucidistribucióón de probabilidadn de probabilidad para la suma de dos dados. La cual, por cierto, en este caso se aproxima a una distribución normal.

2. La otra manera de pensar en el concepto de probabilidad es por medio de la idea de frecuencia.

Si realizamos un experimento muchas veces (tantas como sea posible) entonces

La diferencia con la forma anterior es que ahora no conocemos todos los posibles casos, sino que los “medimos” con base en una serie de experimentos. Como puede pensarse, en esta situación tendremos una “aproximación” a la probabilidad buscada, la cual es mejor mientras mayor sea el número de experimentos.

( ) Número de resultados de un cierto tipo nP ANúmero de resultados totales N⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

Actividad 1. Si se tiene una media de 156 y una desviación estándar de 15, encontrar las calificaciones Z para:

a) 144 b) 167 c) 173 d) 136

Encontrar el área bajo la curva entre las calificaciones Z de:

a) y b)b) y c)b) y d)

Nota: se puede consultar cualquier tabla de calificaciones Z en un libro de estadística pero hay que fijarse si se tabula la curva completa o sólo la mitad.

El concepto de calificación Z estudiado nos va a ayudar para calcular probabilidades de que ocurra un cierto caso referido a la media de la población, como veremos a continuación.

Actividad 2. Resolver los siguientes problemas

El promedio de estudiantes inscritos en jardines de niños es de 500 con una desviación estándar de 100. El número de alumnos tiene una distribución aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de alumnos inscritos en una escuela elegida al azar esté:

a) entre 450 y 500b) entre 400 y 640

μ = 500, σ = 100

a)

5.0100

5004501 −=

−=z 02 =z

P(450 < x < 500 ) = [φ(0.5)]- [φ(0)] = 0.6915-0.5 = 0.1915

Respuesta: la probabilidad es de 19.15%

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

-0.5

0.191

0

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.1915

b) entre 400 y 640μ = 500, σ = 100

b)

1100

5004001 −=

−=z 41

100500640

2 .z =−

=

P(400 < x < 640 ) = φ(1)- [1-φ(1.4)] = 0.8413-(1-.9192) = 0.8413-0.0808 = 0.7605

Respuesta: la probabilidad es de 76.05%

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

-1

0.761

0 1.4

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.7605

Se ha determinado que la vida útil de cierta marca de llantas radiales tienen una distribución normal con un promedio de 38,000 kilómetros y desviación estándar de 3,000 kilómetrosa)¿Cuál es la probabilidad de que una llanta elegida al azar tenga una

vida útil de cuando menoscuando menos 30,000 kilómetros?b)¿Cuál es la probabilidad de que dure 40,000 kilómetros o mo mááss?

μ = 38,000 , σ = 3000

a)

666.23000

38000300001 −=

−=z

P(x > 30,000 ) = φ(2.67) = 0.9962 Respuesta: la probabilidad es de 99.62%

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

-2.666

0.996

0

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.9962

b)

666.03000

38000400001 =

−=z

P(x > 40,000 ) = 1- φ(0.67) = 1-0.7486 = 0.2514

b)¿Cuál es la probabilidad de que dure 40,000 kilómetros o mo mááss?

Respuesta: la probabilidad es de 25.14%

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

XD

ensi

ty0.666

0.253

0

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.2514

Un distribuidor hace un pedido de 500 de las llantas especificadas en el problema anterior. Aproximadamente cuántas llantas durarán

a) entre 30,000 y 40,000 kilómetrosb) 38,000 kilómetros o más

74.86% de 500, 0.7486x500 = 374.3

a)

666.23000

38000300001 −=

−=z 666.0

30003800040000

2 =−

=z

P(30000 < x < 40000) = φ(0.67) –[1- φ(2.67)] = 0.7486 – (1 – 0.9962) = 0.7486

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

-2.666

0.743

0 0.666

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.7486

Actividad 3.El tiempo promedio que tarda un paciente en llevar a cabo un test

psicológico es de 12 min con una desviación estándar (o típica) de 2 min. Se considera que tiene una distribución normal.

a) Si se selecciona al azar un estudiante ¿ Cuál es la probabilidad de tarde 15 min o más?

8. 12, 2μ σ= = a) )15( xP ≤

5.123

21215

==−

=Z

)5.1(1)15( ϕ−=≤ xP

9332.01−= 0668.0= La probabilidad es del 6.68%

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

1.5

0.0668

0

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.0668

b) Si en una universidad hay 10000 estudiantes ¿Cuántos tardarán más de 11 min?

b) )11( xP ≤

5.021

21211

−=−=−

=Z

6915.0)11( =≤ xP

915,6000,106915.0 =×

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Den

sity

-0.5

0.691

0

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=1

Área = 0.6915

El número estimado de estudiantes que tardarán más de 11 min. en resolver el test es de 6,915

TAREA 3Supóngase que la duración promedio de las estancias de los pacientes en un hospital es de 10 días con una desviación estándar de 2 días. Considérese que la distribución de las duraciones está normalmente distribuida.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paciente que se reciba permanezca más de 11 días?

b) Si el día de hoy se admitieran 200 pacientes ¿Cuántos continuarán en el hospital después de 2 semanas?