La curva catenaria

Sólido rígido

Estática. ElasticidadMomento de una fuerzaMedida del módulode elasticidadFlexión de una vigaPandeo de una barraMedida del módulode cizallamiento

Catenaria

Formulación discreta

Catenaria simétrica

Referencias

Procedimiento del punto medio

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.

La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta

Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

Tx=Tcos0= Tcosi= Tcosi+1 =TcosN+1

Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo i y el ángulo i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

tan1=tan0- tan2=tan1- tan3=tan2- ...............tani=tani-1- .............tanN-1=tanN-2- tanN=tanN-1-

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo N en función del ángulo inicial 0.

tanN=tan0-N

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que

tan0=- tanN

Por tanto,

tan0=N /2

Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo i en función del ángulo inicial 0.

tani=tan0- i=(N-2i)· /2

El ángulo i que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial 0 y el final N se calculan mediante la siguiente fórmula

Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cos j y d·sen j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)

Actividades

Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet

El número de bolitas, un número comprendido entre 3 y 20. El valor del parámetro , un número comprendido entre 0.5 y 2.0

que representa el cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo.

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.

Catenaria simétrica

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:

el peso, la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A

de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del

segmento s.

La condición de equilibrio se escribe

Tcos =T0

Tsen = gs

O bien,

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2

(1)

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

La ecuación de la catenaria es, finalmente

(2)

La longitud de la catenaria es

(3)

Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro es grande y difieren cuando es pequeño. El parámetro =mg/Tx es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

Ejemplo

En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria

1. Se resuelve la ecuación trascendente (3)

2. Se representa la catenaria

3. Se calcula el mínimo o la "flecha" h

Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación trascendente, cuya solución es =4.354, y a

continuación calculamos h=0.4

Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos =1.478, y h=0.27

Actividades

Se introduce

La "luz" a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición

Se pulsa el botón titulado Dibuja

Se calcula el parámetro γ, resolviendo la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio.

Se representa la catenaria simétrica Se calcula la "flecha" h, y se proporciona su valor