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PROYECTO FIN DE CARRERA
ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL SISTEMA CATENARIA –
PANTÓGRAFO – VEHÍCULO – PLATAFORMA
AUTOR: ABEL RAMOS CALVO
MADRID, 6 / 2009
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Pasado y futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Lineas ferroviarias importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Lineas de corriente continua a 3kv . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Lineas de corriente alterna a 15kv . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Lineas de corriente alterna a 25kv . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Dinámica de la interacción c-p-v-p 13
2.1. Formulación dinámica del problema de cables . . . . . . . . . 14
2.1.1. Formulación del elemento corotacional . . . . . . . . . 20
2.2. Formulación del contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Integración Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1. La familia β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2. El método α-Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3. Cárgas móviles en vigas 49
3.1. Denición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Solución Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Modelo Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Elementos del conjunto c-p-v-p 61
4.1. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.1. Catenaria exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2. Perl conductor aéreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
i
ÍNDICE GENERAL ii
4.2. Pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3. Vehículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. Modelo de tren de 3 grados de libertad . . . . . . . . . 71
4.3.2. Modelo de tren de 10 grados de libertad . . . . . . . . 71
4.4. Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.1. Puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5. Simulación de la interacción c-p 78
5.1. Catenaria Flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1. Dos Pantógrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto . . . . . . . . . . . . 88
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1. Efecto de la longitud de los soportes . . . . . . . . . . 96
5.3.2. Efecto de la velocidad de circulación . . . . . . . . . . 99
5.3.3. Efecto de la sección que sustenta el hilo de contacto . . 101
5.3.4. Efecto del peso del perl conductor . . . . . . . . . . . 106
5.3.5. Sistema de alimentación con dos pantógrafos . . . . . . 109
6. Simulación de la interacción v-p 110
6.1. Desplazamientos del rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Longitud de la plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.1. Inuencia en la fuerza de contacto Tren-Rail . . . . . . 117
6.2.2. Comparacion de desplazamientos en el nodo de contac-
to Tren-Rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.3. Valores Numéricos utilizados en Longitud de la Platafor-
ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3. Irregularidades en la vía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.1. Irregularidades periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3.2. Irregularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.3. Irregularidades aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4. Dinámica de puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.1. Caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7. Simulación de la interacción c-p-v-p 141
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema . . 146
ÍNDICE GENERAL iii
7.1.1. Irregularidades Aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.2. Irregularidades Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema . . . . 159
7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema . . . . 162
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema . . . . 165
7.4.1. Puente de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4.2. Viaducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8. Conclusiones y líneas futuras de investigación 177
8.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.2. Principales aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3. Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
1
2
Los medios de transporte han tenido siempre mucha relevancia en las
vidas de los seres humanos. La evolución de estos ha permitido el aumento
relaciones entre diferentes pueblos y culturas, aparte de promover la inno-
vación tecnológica y mover grandes cantidades de capital.
Uno de estos medios de transporte importante ha sido el ferrocarril. Des-
de su aparición en 1802, gracias al trabajo de el ingeniero inglés R. Chard
Trevithik y su compatriota Andrew Vuian, hasta la actualidad ha sufrido
gran cantidad de modicaciones.
Se han realizado estudios desde las primeras locomotoras a vapor hasta
los trenes eléctricos de nuestros días para poder introducir diferentes tipos
de mejoras en ellos, desde el incremento de la velocidad y mejoras en las
infraestructuras hasta la exigencia actual de confort de los pasajeros.
Hoy en día existe una gran red de vías de ferrocarril por todo el mun-
do, un claro ejemplo lo podemos encontrar observando la red ferroviaria que
recorre toda la Unión Europea, mostrada en la gura 1.1 .Gran parte de los
ferrocarril que operan en la actualidad son movidos con energía eléctrica, co-
municada al tren a través del pantógrafo (jo al tren) que se debe encontrar
en contacto con la catenaria en todo momento. Las tensiones de alimentación
más comunes van desde 600 V a 3 kV en corriente continua, o entre 15 y 25 kV
en corriente alterna. La mayor parte de las instalaciones funcionan con cor-
riente (continua o alterna) monofásica, aunque existen algunas instalaciones
trifásicas.
3
Figura 1.1: Red de ferrocarriles en Europa
1.1. Pasado y futuro 4
1.1. Pasado y futuro
Como recoge K.Knothe [Kno95], la idea de Winkler en 1867 [Win67] de
introducir el concepto de fundación elástica puede ser considerado el inicio del
trabajo cientíco en el campo de los modelos de raíles de trenes. El modelo
de Winkler fue adoptado rápidamente por los ingenieros ferroviarios, como
se puede ver en `Minutes of Proceedings ' [Sch82] del Instituto de Ingeniería
Civil en Londres.
La interacción entre los vehículos que forman el tren y el raíl contiene
bastantes problemas no resueltos, el más importante, quizá, es el deterioro
de los componentes debido al paso de los trenes. Puede llevar mucho tiempo y
necesita de cooperación e intercambio de información aproximar el problema
y nalmente resolverlo. La solución de problemas cientícos a veces necesita
diez, veinte, cincuenta o incluso cientos de años. Esto se puede demostrar
con un ejemplo, el problema de estabilidad de los vehículos que forman el
tren. En principio puede parecer que la estabilidad del tren no depende del
raíl ni de la estructura que lo sustenta, sin embargo, se demuestra que están
íntimamente relacionados.
El 28 y 29 de Marzo de 1954, SNCF realizó experimentos de alta veloci-
dad en la linea que une Burdeos y Hendaya. La máxima velocidad alcanzada
fue de 330km/h con una locomotora de seis ejes y de 331km/h con una de cu-
atro ejes. Más de 25 años después se realizó un informe ocial indicando que
hubo algunos incidentes. El experimento había producido una deformación
en las vias de forma que estas habían adquirido un carácter sinusoidal. Hubo
dos posibles causas que produjeran esta deformación. La primera fue que la
vía y el terreno fueron compactados justo antes del test. Estas operaciones
de mantenimiento hicieron que la resistencia de la vía a esfuerzos laterales
disminuyera drásticamente. La segunda causa fue que la locomotora era in-
estable, produciendo fuerzas elevadas en la dirección transversal. Se puede
asumir que el principio de una intensa investigación sobre problemas de es-
tabilidad a nales de los cincuenta, principios de los sesenta fue debido, en
parte, a esta experiencia. Al menos es cierto que los experimentos realizados
por SNCF entre 1960 y 1965 estuvieron marcados por la inestabilidad de la
locomotora.
1.1. Pasado y futuro 5
La mayor parte de los miembros de la comunidad cientíca del mundo
atribuían quizá la solución del problema de la estabilidad o de la velocidad
crítica a Matsudaira [Mat60] o a Wickens [Wic60]. Ambas investigaciones
pudieron ser inuidas por los experimentos de SNCF en 1954, cuyos resulta-
dos conocían de forma no ocial. Sin embargo, ninguno de estos autores era
consciente de que el problema de la estabilidad en vehículos de tren ya había
sido resuelto en 1936 por el físico francés Rocard [Roc35b] [Roc35a]. Rocard
tenía presente el hecho de que el problema del contacto mecánico tenía que
resolverse primero y alentó a Lèvi para que transformara el problema a uno
de contacto rueda-raíl. Hoy en día, se podría decir que Lèvi y Rocard habían
usado la teoría de simplicación de Kalker [Kal73]. Es un tanto sorprendente
que Lèvi no se diera cuenta de que el problema del contacto rueda-rail ya
había sido resuelto 10 años antes en paralelo por Carter [Car26] en Inglaterra
y por Fromm [Fro27] en Berlin.
Incluso no fue Rocard el primero que empezó a plantearse el problema
de la estabilidad. En 1887 un ingeniero alemán, Boedecker, escribió un libro,
con el título traducido al inglés 'The actions between Wheel and Rail and
their inuence on the running behavior and on the rolling resistance of railway
vehicles. Por lo que se sabe del autor, Boedecker fue el primero que se interesó
por la estabilidad de los vehículos de tren. Sus conclusiones se pueden resumir
en que un vehículo de dos ejes siempre es inestable. Aunque la formulación
era correcta, la solución sin embargo, fue incorrecta.
De este ejemplo se pueden extraer tres conclusiones:
Aunque se haya realizado la formulación de un problema de forma cor-
recta, a veces puede llevar cincuenta años o más su correcta resolución.
La cooperación internacional y el intercambio de información debería
ser usado como instrumento para reducir los tiempos. Si el problema de
la estabilidad del vehículo hubiera sido conocido por Carter, el hubiera
sido capaz de obtener las ecuaciones de la dinámica del vehículo usando
su solución de contacto rueda-raíl.
Quizá exista una solución física consistente para el problema del dete-
rioro de ciertos materiales bajo el efecto del paso de los vehículos del
tren, pero no la conocemos.
1.2. Lineas ferroviarias importantes 6
Concerniente al tema de la interacción del vehículo y el rail y la estructura
que lo sustenta, se pueden formular tres metas:
1. Proponer un modelo apropiado que simule el comportamiento dinámico
del vehículo y la plataforma.
2. Desarrollar, en la medida de lo posible, la relación existente entre el
comportamiento dinámico vehículo plataforma y la degradación a largo
plazo de ciertos componentes.
3. Identicar las áreas en las que el desarrollo sea más importante. Para
centrar en ellas la mayor parte de las lineas de investigación.
1.2. Lineas ferroviarias importantes
A continuacion se muestran las características de algunas lineas de ferro-
carril importantes, resumidas en la tabla 1.2.
Figura 1.2: Características de catenarias
1.2. Lineas ferroviarias importantes 7
1.2.1. Lineas de corriente continua a 3kv
LINEA MOSCU-SAN PETERSBURGO
`October Railway' se encarga de operar la linea de 3 kV de corriente con-
tinua a una velocidad de 200km/h entre Moscu y San Petersburgo. Esta es
una de las lineas más usadas en Rusia, fue actualizada para soportar veloci-
dades de 250km/h. Después de la remodelación de la linea, esta ha quedado
congurada de la siguiente forma. Un aislante en suspensión es el encarga-
do de unir el hilo de la catenaria con la ménsula, la cual consiste en barras
formando un cierto ángulo. Dos brazos permanentes guían los hilos de con-
tacto espaciándolos 40 mm. Las ménsulas son montadas sobre postes en los
tramos entre estaciones, los cuales soportan también hilos telefónicos y cables
de señales. Tensores de poleas compensan los cambios de longitud sufridos
en los cables debidos a las distintas temperaturas. Los aislantes utilizados
son adecuados también para lineas de corriente alterna de 25 kV. 'October
Railway' utiliza también estructuras de pórticos sobre postes para añadir
exibilidad a los vanos en las estaciones.
LINEA ROMA-FLORENCIA
Los 238 km de vía de alta velocidad que unen Roma con Florencia uti-
lizan 3 kV de corriente continua y admiten velocidades de hasta 250 km/h.
En la parte sur de la linea, el sistema de la catenaria consiste en dos hilos de
contacto y un cable sustentador. El hilo sustentador se encuentra tensado a
27.5 kN, mientras que los hilos de contacto están a 15 kN. Los cambios de
longitud debido a las temperaturas son compensados mediante tensores de
poleas. En la parte norte de la vía la catenaria se compone de dos hilos de
contacto de cobre, tensados a 15kN cada uno de ellos, y dos cables susten-
tadores tambien tensados a 15 kN. El equipo utilizado para tensar cables, lo
hace de forma independiente en cada uno de ellos. Tres vanos son utilizados
para realizar los cambios en las catenarias. La ménsula esta formada por
barras tubulares, que son los encargados de soportar el hilo de contacto. Los
portales encargados de sujetar las catenarias son sustentados en el suelo a
1.2. Lineas ferroviarias importantes 8
través de apoyos, de esta forma no transmiten momentos.
RED DE FERROCARRIL EN FRANCIA
El estado de Francia se encarga de operar una red de 5833km de ferrocarril
a una tensión de 1.5 kV de continua. Las catenarias están compuestas por un
hilo sustentador, un hilo auxiliar y dos hilos de contacto. Los vanos tienen
una longitud de 63 m. Para tensar los cables son utilizados sistemas de poleas.
1.2.2. Lineas de corriente alterna a 15kv
DISEÑOS DE CATENARIAS Re100, Re200 y Re330
El diseño Re100 es utilizado para velocidades de hasta 100 km/h, con-
siste en un hilo sustentador Bz 50 y un hilo de contacto de cobre, cada uno
tensado a 10 kN. La altura del sistema son 1.4m en apoyos simples y 1.8m
en vanos exibles. No son utilizados cables de acero para esta velocidad de
operación. El diseño Re200 fue concebido para admitir velocidades de hasta
200 km/h, con cables en tensión para jar los apoyos. Son utilizados ca-
bles sustentadores Bz 50, hilos de contacto de cobre AC-100 y péndolas Bz
10. El diseño R2300 permite velocidades de hasta 350km/h. Se utiliza como
cable sustentador Bz 120, tensado con 21kN y cables de contacto CuMg AC-
120, tensados a 27 kN, se reduce el grado de elasticidad no uniforme en un
8 %. Sistemas de tensado individuales compensan las variaciones de longitud
en el cable sustentador y en el hilo de contacto. Ménsulas de aluminio con
poco mantenimiento son utilizadas para soportar la catenaria. Se preeren
postes para los apoyos simples, sin embargo los portales son necesarios para
tramos curvos o de transiciones de velocidad. Simulaciones y test han valida-
do unas propiedades mecánicas superiores en las catenarias en estos sistemas.
El diseño Re330 fue utilizado por primera vez en la linea de alta velocidad
Berlin-Hanover.
LINEAS ESTÁNDAR EN AUSTRIA
1.2. Lineas ferroviarias importantes 9
Esta catenaria se compone de un hilo sustentador de cobre de 70 mm2
y un hilo de contacto de cobre AC-120. La linea paralela de alimentación
(ACSR 260/30) se apoya en aislantes colocados en la parte superior de los
postes. Estas lineas utilizan vanos exibles en las estaciones.
DISEÑOS DE LINEAS S20 y S25.
En Noruega existe una red de catenarias operadas con corriente alterna
15 kV y 16,7 Hz, con lineas S20, que admiten velocidades de hasta 200 km/h,
y S25, con velocidades de hasta 250 km/h. El sistema S25 fue utilizado en la
linea de alta velocidad que une Oslo con Gardermoen, en la que se alcanzan
velocidades de 250 km/h. Son utilizadas ménsulas de bajo mantenimiento,
además permiten ajustar la catenaria al trazado de la vía. Los postes son los
apoyos más utilizados en tramos abiertos. Tensores de polea son los encarga-
dos de tensar el hilo de contacto y el sustentador de forma individual. Cinco
vanos seguidos son el diseño estándar. Las estructuras en forma de pórticos
utilizadas en las estaciones son modulares, pudiendo variar su anchura en
función de los casos.
DISEÑO DE LINEAS BN 160 POR EL GRUPO BLS EN SUIZA
El grupo BLN fue el encargado de mejorar la infraestructura y el sumin-
istro de energía en la linea Bern-Neuenburg. Esto incluía el desarrollo de un
nuevo diseño de catenaria. Este nuevo diseño estaba formado por un cable
sustentador de cobre revestido de acero de 50mm2 tensionado a 6.75kN y un
hilo de contacto de cobre AC-107 tensado a 13.5 kN. Los tubos que forman
la ménsula son fabricados de acero inoxidable, aluminio o acero galvanizado.
La abrazadera de apoyo del cable sustentador y los brazos jos son montados
en tubos horizontales para facilitar el trabajo de ajuste. La disposición de
los aislantes hace que los trabajos de mantenimiento puedan ser llevados a
cabo en los postes, lineas paralelas e iluminación de la vía sin necesidad de
desconectar la linea principal. El los tramos abiertos de vía, el sistema de
apoyo utilizado son postes simples.
1.2. Lineas ferroviarias importantes 10
1.2.3. Lineas de corriente alterna a 25kv
LINEA DE ALTA VELOCIDAD MADRID-SEVILLA
La linea de alta velocidad que une Madrid con Sevilla fue acabada en
1992. Se tuvo que hacer una adaptación en las lineas existentes que obligó
a añadir un nuevo cable de contacto de corriente continua en las estaciones
de Madrid-Atocha y Sevilla-St.Justa. El nuevo sistema de corriente debía
combinar altas corrientes y velocidad, con dos pantógrafos simultáneos en la
catenaria. El diseño del nuevo sistema de hilos de contacto deriva del diseño
aportado por las lineas previas de 25 kV. La longitud máxima de vano de 65m
garantiza condiciones óptimas de movimiento. Dos cables de contacto, cada
uno tensados a 12 kN, un hilo sustentador y uno alimentador en paralelo pro-
porcionan la capacidad de corriente necesaria. El diseño está realizado con
un cable sustentador Bz 70 y un hilo de contacto de cobre AC-120 es similar
al diseño Re250. Los conductores de retorno de corriente son montados en los
postes, para mejorar dicha corriente. Las secciones neutrales son utilizadas
para separar las secciones alimentadas con subestaciones individuales a 25
kV de alterna, 50Hz. También son utilizadas para separar las secciones ali-
mentadas a 3kv de continua y 25 kV de alterna.
LINEAS FRANCESAS TGV
El estado de Francia opera una red de ferrocarriles con una alimentación
de una sola fase de corriente alterna a 25kV 50Hz. De experiencias anteriores,
han conseguido desarrollar lineas de muy alta velocidad. El 18/05/1990, un
tren viajo a 515 km/h en la linea Paris Tours. El diseño de la sujeción del
hilo de contacto le permite elevarse hasta 400 mm. Mientras que postes sim-
ples son utilizados en Alemania, Austria y Rusia, en Fracia es ampliamente
utilizado vigas de acero en forma de H como postes. El sistema tensor de
poleas compensar los cambios de longitud sufridos en el hilo de contacto y el
sustentador debido a los cambios de temperatura.
LINEA DE TOKAIDO EN JAPON
1.2. Lineas ferroviarias importantes 11
La linea de alta velocidad de Tokaido que es operada con un sistema de
alimentacion de corriente alterna a 25kV 50Hz, permite velocidades de 210
km/h. La catenaria compuesta, con un hilo sustentador adicional, asegura
uniforme elasticidad. El hilo sustentador de acero de sección 180mm2 es ten-
sado con 25 kN, el hilo sustentador adicional de cobre cadmio es con sección
150mm2 y el hilo de contacto con seccion 170mm2 son, cada uno, tensados
con 15kN. Un brazo permanente une el cable de contacto, mientras que otro
ja el cable sustentador. Ambos brazos estan unidos al brazo soporte. La
altura del cable de contacto son 5m. El cable sustentador puede ser movido
a lo largo de la parte superior del tubo, para amoldarse a la geometría de la
vía. Los elementos viscosos insertados entre el hilo de contacto y el hilo sus-
tentador auxiliar son diseñados para limitar las oscilaciones en el contacto.
Mientras que postes simples son muy utilizados en tramos abiertos, pórticos
son el medio más usados para sujetar la catenaria en estaciones. La longitud
de las secciones en tensión son 1500 m. Se utiliza un solapamiento de 5 vanos
para relizar la transición de una sección a otra.
LINEA TIPO Re200C QUE UNE HARBIN-DALIAN EN CHINA
Esta linea de tren une las ciudades de Harbin, Changchung, Shengyang y
Dalin, todas tienen mas de un millón de habitantes. Esta linea está altamente
utilizada, debido al transporte de siete millones de bienes y 25 trenes por día
en cada dirección, con una diferencia entre cada uno de ellos de entre 8 y
10 minutos. El diseño adoptado en la linea Re200C es una adaptación del
diseño Re200 y tiene en cuenta las condiciones climáticas locales. Estos es
especialmente importante debido al amplio rango de temperaturas, que van
desde −40oC hasta +80oC. Las lineas principales están equipadas con un hilo
de contacto CuAg AC-100, las lineas secundarias con un hilo de conctacto
Cu AC-100, en ambas el hilo sustentador es BzII50. La tensión introducida
en ambos hilos es de 10kN. Se garantizan largos periodos de vida de las mén-
sulas al estar hechas de aleaciones de aluminio. En paralelo con el equipo de
contacto se encuentra el cable de alimentacion y el de retorno. El cable de
retorno se encuentra próximo al de alimentación de apoyo, para conseguir
1.3. Objetivos del proyecto 12
una pareja inductiva de cables y de esta forma recudir la reactancia consid-
erablemente. Esto reduce la fuerza del campo magnético en la zona próxima
de cables. La máxima corriente admisible de 1270 A asegura una alta trans-
misión de potencia a la gran cantidad de trenes que circulan por estas lineas.
LINEA QUE UNE KUALA LUMPUR CON EL AEROPUERTO DE
MALASIA A 25KV
Para unir el nuevo aeropuerto con la zona sur de Kuala Lumpur se realizó
esta nueva linea en 2001. Estos 25km de linea son transitados por nueve
trenes a la hora, a una velocidad de 160km/h. La linea ha sido equipada con
la catenaria diseñada por Siemens SICAT S 1.0. Tanto el hilo sustentador
como el de contacto están tensados con 24 kN, y se encuentran sujetados por
las ménsulas en vigas de acero en forma de H. La longitud del vano es de 65
m.
1.3. Objetivos del proyecto
Desarrollo de una herramienta mediante la cual se pueda simular la
interacción del conjunto catenaria - pantógrafo - vehículo - plataforma.
Vericación del método de cálculo.
Implementación de modelos de vehículo y plataforma.
Implementación de nuevos modelos de catenaria.
Implementación de posibles mejoras para la disminución de los tiempos
de cálculo.
Estudio de la inuencia de diferentes tipos de plataforma en la respuesta
dinámica del sistema.
Capítulo 2
DINÁMICA DE LA
INTERACCIÓN CATENARIA -
PANTÓGRAFO - VEHÍCULO -
PLATAFORMA
13
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 14
Este capítulo está basado en la tesis Análisis dinámico y optimización
de catenarias para alta velocidad ' de J.Jimenez [Jim09] y se incluye en este
proyecto para explicar los fundamentos del método de cálculo dinámico uti-
lizado en las simulaciones.
2.1. Formulación dinámica del problema de ca-
bles
En el cálculo estructural las ecuaciones de equilibrio, comportamiento
y compatibilidad sirven para obtener las ecuaciones de campo que rigen el
comportamiento del medio continuo. A partir de las primeras se genera un
sistema de ecuaciones diferenciales que relaciona las variables de campo con
funciones conocidas que recogen el efecto de los distintos parámetros del
problema. Por tanto, la formulación de los elementos nitos tanto para és-
ta como para cualquier otra aplicación en mecánica estructural es válida
independientemente de si está basada en campos de desplazamientos o de
tensiones. En esta sección se seguirá una formulación de elementos basada
en desplazamientos.
La formulación de elementos nitos se resume en las líneas siguientes.
Considerando los desplazamientos como variables dependientes, se dene un
campo admisible tal que los desplazamientos asociados a cualquier elemento
puedan obtenerse mediante la interpolación de dichas variables en los gra-
dos de libertad nodales. Según el principio de energía potencial estacionaria
y habiendo denido de forma apropiada una función que permita obtener
una solución al campo de desplazamientos mediante el método de Rayleigh-
Ritz (la expresión de la energía potencial Πp) entonces puede establecerse la
condición dΠp = 0 que aplicada sobre los grados de libertad nodales resulta
en un sistema de ecuaciones algebraicas.
La expresión 2.1 de la energía potencial en un cuerpo elástico lineal es el
punto de partida,
Πp =
∫Ω
(1
2εtEε− εtEε0 + εtσ0
)dΩ−
∫Ω
dtΦ dΩ−∫
Γ
dtΞ dΓ−UtP (2.1)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 15
para la cual d = [u v w]t representa el campo de desplazamientos, el
vector ε = [εx εy εz γxy γyz γzx]t el campo de deformaciones, E el tensor de
propiedades del material, ε0 y σ0 la deformación y tensión inicial respecti-
vamente, Φ = [Φx Φy Φz]t las fuerzas sobre el volumen Ω de la estructura,
Ξ = [Ξx Ξy Ξz]t las esfuerzos sobre las supercies Γ, U los grados de libertad
nodales de la estructura y nalmente P las cargas externas en los nodos de
la estructura.
Según esto, los desplazamientos d internos de cada elemento se obtendrán
mediante interpolación de los grados de libertad nodales u de éstos,
d = Nu (2.2)
dondeN son las llamadas funciones de forma. Su denición está relaciona-
da con la calidad de la solución aproximada. Con la relación 2.2 y el operador
matricial ∂ es posible obtener la deformación ε mediante diferenciación del
desplazamiento y expresarla como
ε = ∂d
B = ∂N
⇒ ε = Bu (2.3)
teniendo en cuenta que el operador diferenciacion ∂ será una matriz de 6
por 3 para problemas tridimensionales y de 3 por 2 para los bidimensionales.
Sustituyendo las relaciones 2.2 y 2.3 en 2.1, se obtiene
Πp =1
2
nel
Ae=1
utekeue −
nel
Ae=1
utefe − utP (2.4)
donde los símbolos A indican el ensamblado de la estructura global
mediante la suma de los nel elementos que la conforman, habiendo denido
la matriz de rigidez elemental como 2.5,
k =
∫Ωe
BtEB dΩ (2.5)
y el vector de cargas elementales como 2.6
f =
∫Ωe
BtEε0 dΩ−∫
Ωe
Btσ0 dΩ +
∫Ωe
NtΦ dΩ +
∫Γe
NtΞ dΓ (2.6)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 16
nombrando en 2.5 y 2.6 con Ωe el volumen del elemento y con Γe la
supercie del mismo.
Para completar la formulación por elementos nitos ha de determinarse
nalmente el sistmea de ecuaciones algebraicas a resolver, lo cual es inmedia-
to ya que todos los grados de libertad u de cada nodo se encuentran en vector
global U de la estructura discretizada. Por tanto, superponiendo convenien-
temente las contribuciones de los grados de libertad locales en la formulación
global de la estructura, la ecuación 2.4 dará lugar a la expresión 2.7 sin más
que expandir las matrices de rigidez y vectores de cargas y desplazamientos
elementales a la estructura completa, quedando
Πp =1
2utKu− utf (2.7)
donde,
K =
nel
Ae=1
ke y f = P +
nel
Ae=1
fe (2.8)
Finalmente la función Πp queda en función de los grados de libertad u.
Considerando estacionaria la energía potencial respecto a pequeños desplaza-
mientos ugdl, mediante reglas básicas de diferenciación matricial y aplicando
la expresión 2.9 como una ecuación de equilibrio en los nodos,
∂Πp
∂u= 0 (2.9)
se obtiene el sistema matricial de ecuaciones algebraicas 2.10
Ku = f (2.10)
para el cual la matriz de rigidez K es simétrica y sus coecientes Kij =∂2Πp
∂ui∂uj.
Tal como señalan Cook et al. en [CMP89], si la frecuencia de excitación de
una estructura es menor que un tercio de la frecuencia natural de vibración
más baja de una estructura cualquiera, el problema se asume cuasiestático
considerando despreciables los efectos de inerciales. Por tanto, la ecuación
2.10 se puede utilizar correctamente cuando las cargas F, y por tanto los
desplazamientos U, varían ligeramente con el tiempo. De esta forma, el vector
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 17
de cargas F puede ser de cargas aplicadas en el cuerpo o en la supercie,
considerando las fuerzas de aceleración constante mediante la integral que
contiene Φ en la ecuación 2.6.
Se ha de tener en cuenta que los efectos de la inercia cobran importancia
a medida que aumentan las frecuencias de excitación o se deja a la estruc-
tura vibrar libremente. Las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica
de un medio se derivarán de forma que el trabajo de las fuerzas externas sea
absorbido por el trabajo de las fuerzas internas, de inercia y viscosas para
cualquier movimiento cinemáticamente posible por pequeño que éste sea. Es
decir, cualquier movimiento que satisfaga tanto las condiciones de compati-
bilidad como las condiciones de contorno esenciales. Así, la matriz de masa
m para un elemento y M para la estructura completa, recogerán la inercia
en la formulación mediante una representación discreta de la distribución de
masa de la estructura entendida como un medio continuo y, análogamente,
los efectos del amortiguamiento viscoso se incorporarán también por medio
de las matrices c para un elemento y C. Para la obtención de éstas, en primer
lugar ha de plantearse el balance de trabajo 2.11 para un elemento,
∫Ωe
δdtΦ dΩ +
∫Γe
δdtΞ dΓ +n∑
i=1
δdtipi =
∫Ωe
(δεtσ + δdtρd + δdtκdd
)dΩ
(2.11)
donde, recuérdese, δd y δε representan respectivamente pequeños de-
splazamientos arbitrarios y sus correspondientes deformaciones, Φ fuerzas
volumétricas sobre el dominio Ωe, Ξ tensiones superciales sobre Γe, pi car-
gas concentradas que pueden ser aplicadas sobre los n puntos del elemento,
dti los desplazamientos de dichos puntos, ρ la densidad del material y κd el
parámetro de amortiguamiento material viscoso.
Empleando nuevamente las funciones de forma N, dependientes única-
mente del espacio, y los grados de libertad nodales en función del tiempo, se
obtienen las expresiones 2.12 para el campo de desplazamientos d y sus dos
primeras derivadas temporales d y d.
d = Nu d = Nu d = Nu (2.12)
Las ecuaciones 2.12 representan la separación local de variables. Com-
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 18
binándolas con la ecuación de balance energético 2.11 se obtiene la siguiente
expresión 2.13:
δut
[∫Ωe
Btσ dΩ +
∫Ωe
ρNtN dΩ u +
∫Ωe
κdNtN dΩ u −∫
Ωe
NtΦ dΩ−∫
Γe
NtΞ dΓ−n∑
i=1
pi
]= 0
(2.13)
en donde se asume que la localización de las cargas concentradas pi co-
incide con la de los nodos del elemento. Como los grados de libertad δu son
arbitrarios, la ecuación 2.13 puede reescribirse matricialmente como 2.14,
mu + cu + qe = fe (2.14)
donde las matrices de masa y amortiguamiento se denen como 2.15 y
2.16 respectivamente,
m =
∫Ωe
ρNtN dΩ (2.15)
c =
∫Ωe
κdNtN dΩ (2.16)
y los vectores de fuerzas (incluyendo en este término los momentos) in-
ternas y externas se expresan según 2.17 y 2.18
qe =
∫Ωe
Btσ dΩ (2.17)
fe =
∫Ωe
NtΦ dΩ +
∫Γe
NtΞ dΓ +n∑
i=1
pi (2.18)
La expresión 2.14 representa un sistema ecuaciones diferenciales ordinar-
ias de segundo orden acopladas en el tiempo. Recibe el nombre de semidis-
cretización porque aunque los desplazamientos u son funciones discretizadas
espacialmente, conservan la continuidad en el tiempo. El cálculo dinámico de
esta ecuación constituye una disciplina en sí misma, existiendo gran canti-
dad de métodos que abarcan desde la reducción modal hasta la integración
numérica mediante la discretización temporal de 2.14.
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 19
La construcción de las matrices M y C junto con el del vector q que
denen el comportamiento estructural se obtienen mediante el ensamblado de
las componentes elementalesm, c y qe aunque, en el caso del vector de fuerzas
internas hay que tener presente que su obtención suele estar íntimamente
relacionado con el método de cálculo dinámico empleado. De esta forma,
cuando las ecuaciones 2.15 y 2.16 se evalúan con las mismas funciones de
forma N que las empleadas en la interpolación 2.12 de los desplazamientos,
éstas reciben el nombre de matrices de masa y amortiguamiento consistentes,
siendo ambas simétricas. A nivel de elementos estas matrices suelen estar
llenas, sin embargo a nivel de la estructura global generalmente presentan
similar escasez de densidad que la matriz de rigidez. Por otra parte, el hecho
de que la densidad ρ y el coeciente de amortiguamiento κd sean distintos de
cero determinan que sus respectivas matrices asociadas m y c sean denidas
positivas, lo que se traduce por ejemplo en el caso de la matriz de masas en
que la energía cinética 12utmu sea positiva para cualquier valor de u.
El vector de fuerzas internas 2.17 representa las cargas sobre los nodos.
Estas cargas son provocadas por la deformación del material y su denición
depende del tipo de cálculo dinámico. Considerando un material elástico
lineal, aunque las ecuaciones 2.14 y 2.17 son útiles para comtemplar compor-
tamientos no lineales del material (deniendo por ejemplo σ mediante una
función no lineal de la deformación), la ecuación 2.17 que dene las fuerzas
internas considerando σ = EBu puede reescribirse como 2.19
qe = ku (2.19)
considerando para ésta la denición usual 2.5 de la matriz de rigidez k.
Asumiendo un comportamiento lineal del material la ecuación 2.14 se expresa
como
mu + cu + ku = f (2.20)
ecuación que puede interpretarse como un equilibrio de las cargas externas
frente a la suma de las fuerzas inerciales, viscosas y elásticas. Por tanto,
expandiendo la ecuación 2.20 a la estructura ensamblada se obtiene 2.21
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 20
Mu + Cu + Ku = f (2.21)
donde f equivale al vector de cargas del problema estático, ecuación 2.10,
aunque para el caso dinámico será función del tiempo. No obstante esto no
deja de ser una conjetura que en el caso de los cables, cuyo comportamiento
no lineal es evidente debido a su geometría y es además acentuado por la
presencia del contacto con el pantógrafo y el pandeo de las péndolas en la
interacción catenaria-pantógrafo, no es asumible. Por tanto, volviendo a la
ecuación 2.14, la expresión general para cualquier comportamiento, lineal o
no lineal, del material puede generalizarse para una estructura ensamblada
según se expresa en la ecuación 2.22
Mu + Cu + q = f (2.22)
La resolución de este tipo de sistemas mediante integración directa en el
tiempo suele requerir métodos numéricos que generalmente precisan el cálculo
de la llamada matriz de rigidez tangente, Kt. En mecánica computacional,
esta matriz describe la rigidez en la respuesta de un sistema a pequeños
cambios en su conguración. Idealmente representa el plano tangente a una
supercie energética en un punto, lo que implica el cálculo de la matriz
jacobiana del vector de fuerzas internas q respecto al de desplazamientos u
como 2.23.
Kt =∂q
∂u(2.23)
2.1.1. Formulación del elemento corotacional
El objeto de esta sección es detallar la formulación corotacional del el-
emento viga bidimensional empleado de forma que sea posible resolver la
dinámica de la interacción catenaria-pantógrafo y vehículo-plataforma según
indica la expresión 2.22. Siguiendo el enfoque descrito por M.Criseld en
[Cri91] para casos planos, a continuación se establecen las relaciones entre
las expresiones locales y globales del vector de fuerzas internas y la matriz de
rigidez tangente relacionadas en la expresión 2.23. La idea es descomponer
el movimiento del elemento en una parte rígida y otra deformable haciendo
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 21
referencia a un sistema de coordenadas locales (xl, zl) solidarias al elemento
y, por tanto, a sus movimientos de rotación y traslación, ver gura 2.1.
'2
'12
1
2lµ
1lµ
1w
1u
2w
2u
0¯
lz
1µ ® ¯
2µ
u¹ lx
z
x
Figura 2.1: Deformación del elemento corrotacional
Las coordenadas de los nodos 1 y 2 en el sistema de coordenadas global
(x, z) son (x1, z1) y (x2, z2), siendo el vector de desplazamientos globales:
pg = (u1 w1 θ1 u2 w2 θ2)t (2.24)
El vector de desplazamientos locales se dene según la gura 2.1:
pl = (ul θl1 θl2)t (2.25)
calculando las componentes de pl como sigue:
ul = ln − lo (2.26)
θl1 = θ1 − α (2.27)
θl2 = θ2 − α (2.28)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 22
denotando lo y ln en la ecuación 2.26 las longitudes inicial y actual del
elemento,
lo = ((x2 − x1)2 + (z2 − z1)
2)1/2 (2.29)
ln = ((x2 + u2 − x1 − u1)2 + (z2 + w2 − z1 − w1)
2)1/2 (2.30)
y α la rotación de sólido rígido, calculándose como:
sin α = cos βo sin β − sin βo cos β (2.31)
cos α = cos βo cos β − sin βo cos β (2.32)
con:
co = cos βo =1
lo(x2 − x1) (2.33)
so = sin βo =1
lo(z2 − z1) (2.34)
c = cos β =1
ln(x2 + u2 − x1 − u1) (2.35)
s = sin β =1
ln(z2 + w2 − z1 − w1) (2.36)
siendo α, tal que |α| < π:
α =
sin−1 (sin α) si sin α ≥ 0 y cos α ≥ 0
cos−1 (cos α) si sin α ≥ 0 y cos α < 0
sin−1 (sin α) si sin α < 0 y cos α ≥ 0
− cos−1 (cos α) si sin α < 0 y cos α < 0
(2.37)
Para aplicar el principio de los trabajos virtuales es preciso obtener los
desplazamientos locales virtuales derivando las ecuaciones 2.26, 2.27 y 2.28:
δul = cos β (δu2 − δu1) + sin β (δw2 − δw1)
(− cos β − sin β 0 cos β sin β 0) δpg = rtδpg
(2.38)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 23
δθl1 = δθ1δα = δθ1δβ con (α = β − β0) (2.39)
δθl2 = δθ2 − δα = δθ2 − δβ (2.40)
De esta forma, derivando la ecuación 2.36 es posible obtener δβ
δβ =1
cl2n((δw2 − δw1)ln − (z2 + w2 − z1 − w1)δln) (2.41)
tomando δln = δul de la ecuación 2.38 y simplicando:
δβ =1
cln((δw2 − δw1)− sc(δu2 − δu1)− s2(δw2 − δw1))
δβ =1
ln(s − c 0 − s c 0)δpg = ztδpg (2.42)
Aplicando 2.42 en 2.39 y 2.40:
δθl =
((0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
)− 1
ln
(zt
zt
))pg = Atδpg (2.43)
quedando nalmente la relación de desplazamientos locales y globales
como sigue:
δpl =
δul
δθl1
δθl2
=
−c −s 0 c s 0
−s/ln c/ln 1 s/ln −c/ln 0
−s/ln c/ln 0 s/ln −c/ln 1
δpg (2.44)
δpl =
(rt
At
)δpg = Bδpg (2.45)
La relación entre los vectores de esfuerzos internos local ql y global qg se
obtiene igualando los trabajos virtuales, W , en ambos sistemas de referencia
como se muestra en la ecuación 2.46. Dependiendo el vector de esfuerzos
internos local de esta relación, qtl = (N, M1, M2), de la denición propia del
elemento.
Wint = δptgvqg = Nδuv + M1δθl1v + M2δθl2v = δpt
lvql = δptgvB
tql (2.46)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 24
Así, para cualquier vector de desplazamientos virtuales δpg, el vector de
fuerzas internas δqg queda como sigue:
qg = Btql (2.47)
Siendo preciso conocer las tensiones δql resultantes de las ecuaciones 2.48
y 2.49 para el cálculo de δqg.
N =EAul
lo(2.48)
(M1
M2
)=
2EI
lo
(2 1
1 2
)(θl1
θl2
)(2.49)
Sin embargo, la ecuación 2.48 asume que la deformación axil del elemento
es igual al cociente de la deformación relativa entre sus extremos y la longitud
del elemento recto. Tal aproximación no permite considerar cualquier otro
tipo de deformación sobre un elemento inicialmente recto, por ejemplo la
resultante de su exión (ver gura 2.1).
Este efecto puede ser tenido en cuenta incluyendo los términos de segundo
orden en la deformación de Green relativa al sistema corotacional para un
elemento inicialmente recto, quedando la deformación local como sigue:
εxl =dul
dxl
+1
2
(dul
dxl
)2
+1
2θ2
l (2.50)
Deniendo el cambio de base isoparamétrico 2.51, con ξ ∈ [−1 1], el
desplazamiento local ul(ξ) puede expresarse como:
xl =1
2(1 + ξ)lo (2.51)
ul(ξ) =1
2(1 + ξ)ul (2.52)
Diferenciando la ecuación 2.52 se obtiene la deformación local
εxl =dul
dxl
=dul
dξ
dξ
dxl
=ul
lo(2.53)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 25
Además, deniendo el desplazamiento transversal local wl, ver gura 2.1,
mediante un polinomio cúbico de ξ según muestra 2.54, es posible determinar
el giro 2.55 nuevamente mediante diferenciación.
wl(ξ) =lo8
((ξ2 − 1)(ξ − 1)
(ξ2 − 1)(ξ + 1)
)t(θl1
θl2
)(2.54)
θl(ξ) =dwl
dxl
=dwl
dξ
dξ
dxl
=lo
4
(3ξ2 − 2ξ − 1
3ξ2 + 2ξ − 1
)t
θl = stθl (2.55)
Con la ayuda de las ecuaciones 2.53 y 2.55 es posible expresar 2.50 como
2.56:
εxl(ξ) =ul
xl
+1
2
(ul
xl
)2
+1
2θt
lsstθl (2.56)
Asumiendo deformación constante, el último término de 2.56 puede ser
modicado por su valor medio, quedando:
εxl(ξ) =ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
2loθt
l
∫sstdxlθl (2.57)
Realizando el cambio de variable 2.51 e integrando en 2.57, se obtiene:
εxl(ξ) =ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
2loθt
l ·∫ 1
−1
1
42
((3ξ2 − 2ξ − 1)2 (3ξ2 − 1)2 − 4ξ2
(3ξ2 − 1)2 − 4ξ2 (3ξ2 − 2ξ − 1)2
)lo2
dξθl
=ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
60θt
l
(4 −1
−1 4
)θl (2.58)
Derivando 2.58 para su inclusión en el trabajo virtual, con la ayuda de
2.38 y 2.43, la variación de la deformación queda:
δεxl(ξ) =δul
l2o+
ulδul
xl
+1
602θt
l
(4 −1
−1 4
)δθl
=1
lo
(1 +
ul
lo
)rtδpg +
1
30θt
l
(4 −1
−1 4
)Atδpg (2.59)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 26
con lo que nalmente, incluyendo los términos de segundo orden en la
deformación de Green, la ecuación 2.45 queda modicada como:
δpl =
loδεxl
δθl1
δθl2
= Bδpg (2.60)
explicitando B según reeja la 2.61
B =
(1 + ul
lo
)rtδpg + lo
30θt
l
(4 −1
−1 4
)At
At
(2.61)
Derivando 2.60 y deniendo la matriz de rigidez tangente kgt como δqg =
kgtδpg, se llega a la ecuación 2.62:
δqg = Btδpl + NδB1 + M1δB2 + M2δB3 = kgt1δpg + kgtσδpg (2.62)
donde B2, por ejemplo, corresponde a la segunda la de B (ver 2.44
y 2.45). Asumiendo un comportamiento lineal del material y derivando las
ecuaciones 2.48 y 2.49 se obtiene: δN
δM1
δM2
=EA
lo
1 0 0
0 4r2 2r2
0 2r2 4r2
δpl = Clδpl (2.63)
donde r es el radio de giro de la sección. Así, empleando la ecuación 2.63
se obtiene el término de la matriz de rigidez tangente estándar kgt1 de la
ecuación 2.62:
kgt1 = BtClB (2.64)
A su vez, la matriz de rigidez geométrica se obtiene de los tres últimos tér-
minos de 2.62. De forma que derivando la primera columna de B se obtienen
los siguientes términos:
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 27
δB1 =
(1 +
ul
lo
)δrt +
δul
lort+
lo30
δθtl
(4 −1
−1 4
)At +
lo30
θtl
(4 −1
−1 4
)(δB2
δB3
) (2.65)
con ayuda de las ecuaciones 2.38 y 2.42 y observando que δβ = δα (ver
gura 2.1) y que δB2 = δB3
r = δβz =1
lnzztδpg (2.66)
δB2 =1
lnδz+
1
l2nzδul =
1
l2n(rzt + zrt)δpg (2.67)
con 2.67,
lo30
θtl
(4 −1
−1 4
)(δB2 δB3)
t =lo30
(4θl1 − θl2 − θl1 + 4θl2)(δB2 δB3)t
=lo10
(θl1 + θl2)1
l2n(rzt + zrt)δpg (2.68)
y por otra parte, con 2.43:
lo30
δθtl
(4 −1
−1 4
)At =
lo30
δptA
(4 −1
−1 4
)At
=lo30Bt
0 0 0
0 4 −1
0 −1 4
Bδpg (2.69)
Sustituyendo en 2.62 y simplicando, la expresión resultante de la matriz
de rigidez tangente es:
kgtσ =Nlo30
Bt
0 0 0
0 4 −1
0 −1 4
B+N(1 + ul/lo)
lnzzt + N
rrt
lo+
1
l2n(M1 + M2 +
1
10Nlo(θl1 + θl2))(rz
t + zrt)
(2.70)
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 28
Es necesario completar la formulación dinámica del elemento con las ma-
trices de masa y amortiguamiento m y c. Considerando m como una repre-
sentación discreta de la distribución continua de masa, se dene consistente
en caso de emplear en la ecuación 2.15 las mismas funciones de forma que
para la generación de la matriz de rigidez. Sin embargo, uno de las más for-
mulaciones más simples es la de la matriz de masas concentrada, obtenida
mediante la concentración de masas mi en los i nodos del elemento de forma
que∑
mi sea la masa total del elemento. La ecuación 2.71, denida según
las expresiones que derivando de la expresión 2.15 son sugeridas por Cook et
al. en [CMP89], representa la matriz de masa utilizada. Esta matriz de orden
6, en relación a los 6 grados de libertad del elemento recogidos en al ecuación
2.24, denota con A el área de la sección transversal del elemento, con ρ su
densidad y con l la longitud del mismo.
m =ρAl
6·
2 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
+
ρAl
420·
0 0 0 0 0 0
0 156 22l 0 54 −13l
0 22l 4l2 0 13l −3l2
0 0 0 0 0 0
0 54 13l 0 156 −22l
0 −13l −3l2 0 −22l 4l2
(2.71)
Por otra parte la matriz de amortiguamiento tangente requerida en los
métodos de integración directa en el tiempo utilizados, ct, se ha implemen-
tado según el amortiguamiento equivalente de Rayleigh. Esta formulación es
ampliamente conocida en dinámica estructural. Es empleada especialmente
como medio más efectivo para cubrir las limitaciones en el conocimiento del
amortiguamiento real, concretamente por las dicultades para conocer teóri-
ca y experimentalemente el coeciente de amortiguamiento viscoso κd de la
2.1. Formulación dinámica del problema de cables 29
ecuación 2.16. La ecuación 2.72 expresa su denición en función de la matriz
de masas m, la matriz de rigidez tangente kgt y las constantes de propor-
cionalidad predenidas α y β. Estos coecientes ponderan la inuencia de
ambas matrices en el amortiguamiento, teniendo presente la mayor relevan-
cia de la matriz de masas en el efecto sobre las bajas frecuencias y de la
matriz de rigidez en las altas.
ct = α ·m + β · kgt (2.72)
Sin embargo, dado que la norma europea EN:50318 especica que el amor-
tiguamiento ha de ser nulo, los coecientes de proporcionalidad α y β se han
hecho cero, quedando:
ct = αm + βkgt = 0 (2.73)
Finalmente es preciso mencionar las consideraciones adoptadas para la
implementación de una barra corotacional, ya que realmente no se ha segui-
do una formulación ad hoc para este tipo de elementos sino que se han in-
troducido ciertas modicaciones sobre el elemento tipo viga descrito en esta
sección 2.1.1. Concretamente, habiendo derivado el vector de fuerzas inter-
nas qg y la matriz de rigidez tangente kgt según se explica en esta sección,
para los elementos barra se harán nulos los coecientes relativos a los giros,
resultando esta simplicación aceptable en función los resultados obtenidos.
Además, la matriz de masa se ha denido también únicamente para los gra-
dos de libertad concernientes a este tipo de elementos, [u1 w1 u2 w2], según la
expresión 2.74 de matriz de masa consistente denida en [CMP89].
m =ρAl
4·
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0
0 1 0 2
(2.74)
2.2. Formulación del contacto 30
2.2. Formulación del contacto
El problema del contacto tiene gran importancia puesto que la trans-
misión de fuerzas en los sistemas mecánicos tiene lugar gracias al contacto
entre dos cuerpos. En numerosas aplicaciones el conocimiento de los esfuerzos
producidos en la región de contacto es de suma importancia, pero desafor-
tunadamente, en especial cuando el efecto de la fricción no es despreciable,
esta cuestión entraña gran complejidad en el contexto de la mecánica. Las
dicultades inherentes a este fenómeno responden a una serie de factores
como son la no disponibilidad de soluciones analíticas salvo en geometrías
muy particulares, el tratamiento de unas condiciones de contorno que no se
conocen a priori, como la región de contacto y las fuerzas en la misma, o la
condición altamente no lineal que conlleva la existencia o no del contacto.
No obstante, en las últimas décadas se han producido grandes avances
en el tratamiento y resolución de este tipo de problemas empleando técnicas
de elementos nitos, destacando las revisiones de Oden y Martins en [OM85]
o de Zhong y Mackerle en [ZM92]. En general, estas técnicas han evolu-
cionado en tres aspectos fundamentalmente: adaptaciones de formulaciones
convencionales empleando métodos incrementales e iterativos, formulación de
ecuaciones variacionales y la aplicación directa de principios de la mecánica y
su resolución mediante optimización restringida. El método de penalización,
o penalty del inglés, goza actualmente de mucha popularidad, al menos como
primera aproximación a un problema al igual ocurre con los métodos mixtos
o de ensayo y error. Conceptualmente este método está basado en la intro-
ducción articiosa de una rigidez, generalmente alta y en ocasiones no lineal,
en la región de contacto, abundando sobre ello el trabajo [PO92] de Peric
y Owen, el [Cur84] de Curnier o el [WS90] de Wriggers et al. Sin embargo,
este tipo de métodos puede presentar inconvenientes como son la complicada
elección del penalty o la aparición de oscilaciones numéricas que dicultan
la convergencia de los algoritmos. Es por esto que también se emplean otros
métodos como el Lagrangiano [CB86], o el Lagrangiano aumentado [HC93],
ambos basados en técnicas de optimización restringida, que pretenden re-
solver algunos de los problemas de los que adolece el método del penalty.
Sin embargo, considerando las ventajas del método de penalización y que la
2.2. Formulación del contacto 31
norma EN:50318 dene un valor de penalización para el elemento de con-
tacto entre la catenaria y el pantógrafo1, su elección ya no constituirá un
inconveniente y será éste el método empleado y descrito en esta sección 2.2.
Los algoritmos matemáticos que abordan el problema del contacto son
generalizables a un número indeterminado n de cuerpos. Sin embargo, para
simplicar el proceso, este epígrafe se limitará al caso en que dos cuerpos
interaccionan. La terminología seguida es la misma que recoge Ted Belytschko
en el capítulo Contact-Impact de [BLM00] en el que se trata en profundidad
el método del penalty.
ab
c¡
a¡b¡
bn
an
Figura 2.2: Problema de contacto generalizado
En la gura 2.2 se muestra el esquema que se empleará para analizar el
problema del contacto. Para los cuerpos en contacto a y b, cuyos dominios
se denotan por Ωa y Ωb, na y nb representan los vectores normales a sus
respectivas supercies Γa y Γb. Asimismo, Γc hace referencia a la supercie
de contacto común a ambos cuerpos: Γc = Γa ∩ Γb. Desde el punto de vista
matemático, la formulación del contacto es independiente del cuerpo de ref-
erencia tomado, no obstante se designará un cuerpo maestro o master y otro
esclavo o slave, reriendo por comodidad toda la formulación subsiguiente
al cuerpo maestro a, tomando el cuerpo b como esclavo. En general, la su-
percie de contacto será una función temporal y su determinación es una
de las dicultades mayores que presenta el análisis matemático del proble-
ma de contacto. Aunque las supercies Γa y Γb que denen el contacto no
1La norma EN:50318 ja una rigidez de 50000 N/m para el elemento de contacto, de
forma que para la simulación de dicho fenómeno la formulación desarrollada tomará el
valor predeterminado.
2.2. Formulación del contacto 32
siempre sean numéricamente coincidentes, se hará referencia a la supercie
de contacto Γc como una entidad única y solidaria al cuerpo maestro.
Habiendo denido las supercies de contacto, los desplazamientos en los
puntos de las mismas puede descomponerse como
ua = uaN · ea
N + uaT · ea
T , ub = ubN · eb
N + ubT · eb
T (2.75)
siendo uN el módulo del desplazamiento en la dirección normal a la super-
cie de contacto y uT el módulo del desplazamiento en la dirección tangencial
a la supercie de contacto de los cuerpos referidos por el superíndice a o b, lo
cual reeja con mayor claridad la gura 2.3. Para obtener el desplazamiento
u de los cuerpos a y b, se deben sumar vectorialmente los desplazamientos
normal y tangencial multiplicados por los vectores unitarios, eT y eN , para
cada una de estas direcciones.
bu
au
Tbu
Tau
nbun
au
b
a
c¡
Figura 2.3: Sistemas de referencia locales
Además de los principios generales de la mecánica (conservación de masas,
momentos y energías), los cuerpos de la gura 2.3 han de satisfacer una
condición adicional de impenetrabilidad en virtud del contacto entre las su-
percies de los mismos. Es decir, dado que teóricamente ningún subdominio
puede pertenecer simultáneamente a ambos cuerpos, se ha de cumplir que
Ωa ∩Ωb = ∅. En general esta condición de impenetrabilidad es altamente no
lineal y no puede ser expresada como una ecuación algebraica o diferencial
en términos del desplazamiento. Por otra parte, tampoco la predicción de la
2.2. Formulación del contacto 33
región de contacto es trivial cuando existe arbitrariedad en los movimientos,
lo cual incrementa notablemente la complejidad del problema. Sin embargo,
es posible expresar la condición de impenetrabilidad de forma incremental
para cada etapa del proceso aplicándola a aquellas partes de los cuerpos que
estén en contacto, Γc, aplicando que
γN = (ua + ub) · na ≡ uaN − ub
N ≤ 0 enΓc (2.76)
Suponiendo que los cuerpos a y b están inicialmente en contacto con tasa
de interpenetración nula, γN = 0, la ecuación 2.76 condiciona a éstos a per-
manecer juntos o separarse, en modo alguno solaparse. Esto es, en caso de
permanencia del contacto los cuerpos se desplazarán de forma solidaria sat-
isfaciendo la igualdad cinemática. Pero en caso de pérdida de contacto el
desplazamiento del cuerpo b será mayor que el de a, produciéndose como re-
sultado la pérdida de contacto prescrita. Cuando la expresión anterior se hace
cumplir para todos los puntos de la región de contacto y de manera continua
en el tiempo, entonces la condición de impenetrabilidad se cumple de man-
era exacta. Sin embargo, cuando esta expresión sólo se evalúa en instantes
discretos de tiempo, como sucede en la gran mayoría de métodos numéricos,
entonces no puede decirse que la condición de impenetrabilidad se cumpla de
manera estricta ya que el paso de tiempo empleado en la resolución puede
enmascarar interpenetraciones de puntos cercanos entre sí en los distintos
instantes considerados. Conviene advertir que la expresión 2.76 puede in-
troducir discontinuidades en la evolución temporal de los desplazamientos,
ya que antes del contacto los desplazamientos en la región de contacto de
ambos sólidos serán distintas, igualándose a partir de la aparición del con-
tacto. Este fenómeno introduce complicaciones a la hora de proceder a la
integración de las ecuaciones que rijan el movimiento de los cuerpos involu-
crados en el contacto. Igualmente es importante resaltar que la condición de
impenetrabilidad sólo es recomendable para puntos que estén en contacto o
en disposición de estarlo próximamente, dado el carácter no integrable de
la tasa de interpenetración en caso contrario. Por último, considerando la
hipótesis de ausencia de fricción, no hay restricción alguna que regule los
desplazamientos tangenciales en Γc.
Además de las condiciones cinemáticas enunciadas en el anterior epígrafe,
2.2. Formulación del contacto 34
otras dinámicas han de satisfacerse en la región de contacto. Concretamente,
la suma de los esfuerzos existentes en la región de contacto ha de ser nula,
ecuación 2.77.
ta + tb = 0 (2.77)
Descomponiendo los esfuerzos en la supercie de contacto Γc de manera
análoga a la efectuada para desplazamientos en la ecuación 2.75, se obtiene
2.78:
ta = taN · eaN + taT · ea
T , tb = tbN · ebN + tbT · eb
T (2.78)
Por tanto, con las ecuaciones 2.77, 2.78 y adoptando la hipótesis de ausen-
cia de adhesión (por la que las tensiones normales en la región de contacto
sólo podrían ser de compresión), se aplica la condición de equilibrio sobre
las componentes normal y tangencial obteniendo las ecuaciones 2.79 y 2.80
respectivamente.
taN + tbN = 0 enΓc (2.79)
taT + tbT = 0 enΓc (2.80)
Las condiciones cinemáticas y dinámicas anteriormente enunciadas (2.76,
2.79 y 2.80) pueden ser combinadas en una única ecuación, la condición
unitaria de contacto 2.81.
tN · γn = 0 (2.81)
Ésta expresa que las fuerzas de contacto no realizan trabajo ya que: cuan-
do tN > 0 la tasa de interpenetración es nula; y cuando ésta toma valores
distintos de cero, tN = 0 por no existir contacto.
En principio no es posible la interferencia entre las supercies de dos
cuerpos en contacto. Sin embargo, esta condición puede ser demasiado br-
usca para ser implementada en métodos numéricos de cálculo, debido a las
discontinuidades inducidas en la evolución temporal de los desplazamientos
y a las dicultades de integración que presenta γN . Por este motivo es común
2.2. Formulación del contacto 35
relajar la condición permitiendo un cierto solapamiento entre las supercies
en contacto, ver gura 2.4.
0>)Px(Ng
bePb
ae
a
Figura 2.4: Penetración
Deniendo la interpenetración como la mínima distancia entre el punto
P ∈ Γa y la supercie del cuerpo b, Γb, la distancia lPb que separa el punto P
de cualquier otro punto situado en b viene dada por la siguiente expresión:
lPb =∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)
∥∥ =√
(xb − xP )2 + (yb − yP )2 + (zb − zP )2
(2.82)
donde ea y eb hacen referencia al sistema local de coordenadas situado en
la supercie de los cuerpos a y b respectivamente. La interpenetración será
por tanto, según reeja la ecuación 2.83, la mínima distancia entre P y la
supercie de b cuando P esté dentro del cuerpo b. Si P estuviera fuera del
cuerpo b no existiría interpenetración ya que no se daría contacto.
gN(e, t) =
∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)
∥∥ si[xb(eb, t)− xP (ea, t)
]· na ≤ 0
0 en otro caso(2.83)
Es importante observar que el punto de mínima distancia es la proyección
ortogonal desde el punto P a la supercie del cuerpo b. No obstante, la con-
jetura es válida cuando la geometría de los sólidos en contacto es suave, pues
en caso de producirse interferencia con algún cuerpo de contorno anguloso la
2.2. Formulación del contacto 36
máxima interpenetración ya no coincidirá con la proyección ortogonal desde
el punto P a la supercie de b, ver por ejemplo la gura 2.5.
ae
b
P be
a
Figura 2.5: Penetración en arista
Habiendo relajado la condición de impenetrabilidad de forma que se ad-
mita un cierto grado de solapamiento entre los sólidos involucrados en el
contacto para evitar restricciones demasiado bruscas en los métodos numéri-
cos, es preciso asociar una fuerza normal que dependa de la interpenetración
de los cuerpos, gN , de forma que cuanto mayor sea la interpenetración la
fuerza asociada a ésta aumente también. Según este tipo de penalización
y de acuerdo con la deducción hecha por Belytschko en [BLM00] para el
método del penalty, las fuerzas normales en la supercie de contacto pueden
expresarse como 2.84:
taN + p = 0 , tbN − p = 0 (2.84)
Entre las diversas posibilidades de denición de la fuerza de penalización
p introducida por la interferencia entre cuerpos, la más general es la siguiente
p = (εN1gN + εN2γN) ·H(gN + γN) (2.85)
siendo H la función escalón de Heaviside
H(gN , γN) =
1 si gN ≥ 0 ó γN ≥ 0
0 en otro caso(2.86)
Las ecuaciones que describen la dinámica de un sistema discreto en el
que se haya implementado el método del penalty pueden expresarse según
2.2. Formulación del contacto 37
la forma deducida por Belytschko en [BLM00] como una expansión de la
ecuación 2.22 de la sección 2.1:
Mu +Cu + q− qc = f (2.87)
En esta expresión, M hace referencia a la matriz de masas del sistema
discreto; q a las fuerzas internas del sistema; f a las fuerzas externas que
actúan sobre el sistema y; nalmente, qc introduce el efecto de las fuerzas
de contacto o penalty. De manera general, este último término puede ser
expresado del siguiente modo
qc = εN1H(gN)GtGx+ εN2H(γN)GtGx (2.88)
Sin embargo, por la condición de impenetrabilidad 2.76, la penalización
2.88 puede reducir su dependencia únicamente a la interpenetración gN según
qc = εNH(gN)GtGx (2.89)
En el caso particular del contacto dinámico catenaria-pantógrafo, la inter-
penetración entre ambas supercies considerado un contacto nodo-nodo será
por lo tanto equivalente al de un resorte de constante β intercalado entre el
nodo de la catenaria, xc, y el de interacción con el pantógrafo, xp, según el
vector G que dene el contacto como se expresa en 2.90:
gn = Gx =(
1 −1)( xp
xc
)= xp − xc (2.90)
Esta implementación presenta dos importantes ventajas: por un lado re-
sulta muy simple algorítmicamente, dado que se reduce a insertar un resorte
de rigidez εN entre los sólidos que puedan estar en contacto y; por otro la-
do, el segundo aspecto favorable radica en la no introducción de variables
adicionales. No obstante, dado que el contacto en la interacción catenaria-
pantógrafo se lleva a cabo sobre elementos con no linealidad geométrica, los
del hilo de contacto de la propia catenaria, dicho fenómeno es susceptible de
expresarse según la formulación corotacional, descrita por Criseld en [Cri91].
Si bien hasta este punto únicamente se ha profundizado en el denición del
2.2. Formulación del contacto 38
contacto en relación a la penetración entre cuerpos, el ensamblado y la in-
tegración temporal del sistema matricial denido por la ecuación 2.87 que
regirá el problema completo requiere, tal como se ha remarcado en la sección
2.1.1 y en virtud de la ecuación 2.23, la determinación de la matriz de rigidez
tangente.
Análogamente al elemento descrito en la sección 2.1.1, la formulación
corotacional del contacto dependerá en gran medida de las variaciones que
sufra el sistema de coordenadas local del elemento. Por consiguiente, tomando
como referencia el sistema de coordenadas local (xl, zl) representado en el
croquis de la gura 2.1, se denirán inicialmente los vectores iniciales que
conforman la base de dicho sistema. Así, las expresiones 2.91 denen el vector
unitario e1 tangente al elemento contacto y el e2 normal al mismo.
et1 = (cos β, sin β) , e1 = (− sin β, cos β) (2.91)
Tomando como referencia la propuesta de Hallquist et al. en [HGB85]
para un contacto nodo-segmento, la gura 2.6 recoge el esquema básico del
contacto entre el nodo esclavo S y el segmento maestro denido por los nodos
1 y 2.
1 S
2
¯Ng
1e2enl
n®l
z
x
1x 2xSx
Figura 2.6: Elemento de contacto
La interpenetración denotada por gN en dicha gura se denirá según la
ecuación 2.92, tomando un valor negativo en el caso que reeja el esquema
representado y positivo en caso de existir contacto.
gN = (xS − x1)t e2 = xt
S1e2 (2.92)
La formulación corotacional requiere denir la relación de las variables, en
2.2. Formulación del contacto 39
este caso especialmente gN , entre las coordenadas locales y globales, expre-
sando estás últimas de forma análoga a la vector de desplazamientos globales
2.24 en relación a la gura 2.1
ptg =
(dt
S , dt1 , dt
2
)(2.93)
donde, por ejemplo, dt1 = (u1 , w1) para la expresión 2.93. Así, denien-
do la variación del vector unitario en dirección normal al elemento maestro
mediante la ecuación 2.94
δe2 =
(− cos β
− sin β
)δβ = − 1
lne1e
t2δd21 =
1
lne1b
tδpg (2.94)
donde d21 = d2−d1 y bt = (0t , et2 , −et
2), de tal forma que la variación
de la penetración expresada en 2.92 puede denirse como 2.95
δgN = δdtS1e2 + xt
S1δe2 = atδpg (2.95)
donde a y α se denen según las ecuaciones 2.96 y 2.97 respectivamente.
at =(et
2 , −(1− α)et2 , −αet
2
)(2.96)
α =1
lnxt
s1e1 (2.97)
Sobre la gura 2.6 α puede interpretarse como la relación adimensional
sobre la longitud ln de la distancia entre el nodo 1 y la proyección tangencial
del nodo S sobre el vector unitario e1. Asumiendo que la fuerza de contacto tN
toma valor positivo cuando hay penetración del nodo esclavo en el segmento
maestro, el trabajo virtual se dene como:
V = Vb + Vc = Vb − tNδgN = qtδpg − qtcδpg (2.98)
donde los subíndices b y c se reeren a los elementos sin contacto y con él
respectivamente, obviando subíndices v en referencia al trabajo virtual para
no recargar la notación en exceso. Por tanto, asumiendo por simplicidad
en la ecuación 2.98 que no hay fuerzas externas aplicadas en la región de
contacto, el vector q representa los esfuerzos internos de los elementos sin
2.2. Formulación del contacto 40
contacto asociados a los nodos 1, 2 y S mientras que el qc, denido mediante
la expresión 2.99, recoge los esfuerzos internos asociados al propio contacto,
tal como previamente se ha apuntado en la ecuación 2.87.
qc = tNa (2.99)
Asimismo, la fuerza de contacto se dene según indica 2.100 para dar
lugar a una expresión análoga a la ecuación 2.89, dependiendo la fuerza de
contacto de la penetración gN , el parámetro positivo de penalización εN y la
función de Heaviside H denida por 2.86.
tN = H(gN)εNgN (2.100)
Habiendo denido el vector de esfuerzos internos, es preciso derivar su
variación según se expresa en 2.101 y, de este modo, su contribución sobre la
matriz de rigidez tangente del sistema,
δqc = Kgtcδpg = δtNa = εNaatδpg + Kgtcσpg = Kgtc1pg + Kgtcσpg (2.101)
Puede apreciarse que esta expresión es análoga a la de los esfuerzos in-
ternos para el elemento viga con formulación corotacional, ecuación 2.62,
representando la matriz Kgtcσ la tensión inicial del elemento del contacto,
detallada a continuación, y la Kgtc1 la contribución lineal debida a la penal-
ización εN . Nótese que los subíndices g indican, como en la sección 2.1.1, que
estas componentes están referidas al sistema global.
Respecto al cálculo de la matriz de tensión inicial, en primer lugar se
denen la variación del vector unitario en dirección tangencial al elemento
de contacto, ecuación 2.102,
δe1 =
(− sin β
cos β
)δβ =
1
lne2e
t2δd21 = − 1
lne2b
tδpg (2.102)
y la variación de la longitud de dicho elemento como se indica en 2.103
δln = et1δd21 =
(0 , et
1 , −et1
)δpg = −bt
1δpg (2.103)
2.2. Formulación del contacto 41
de tal forma que la variación de la relación α denida en 2.97 puede
expresarse como 2.104
δα =1
ln
(et
1δdS1 − αet1δd21
)+
1
lnxt
S1δe1 =1
lnctδpg − gN
1
l2nbtδpg (2.104)
con
ct =(et
1 , −(1− α)et1 , −αet
1
)(2.105)
Tomando las ecuaciones 2.94 y 2.104 se calcula la variación del vector a
denido en 2.96 mediante la ecuación 2.106,
δat =1
ln
[bct + cbt −
(gN
ln
)bbt
]δpg (2.106)
y, con ésta, puede expresarse nalmente la contribución Kgtcσ mediante
2.107
Kgtcσ(tN) = tNpg =tNln
[bct + cbt −
(gN
ln
)bbt
]δpg (2.107)
Por último, como puntualización y al margen de los motivos previamente
expuestos que justican la formulación empleada, es importante remarcar
que las fuerzas de contacto no se calculan de manera exacta al emplear
el método del penalty. Desde un punto de vista puramente matemático, el
parámetro εN ha de tender a innito para que la aproximación sea lo más
precisa posible, ya que el efecto de la penalización consiste en relajar la condi-
ción de impenetrabilidad. Cuanto mayor sea εN , más cercano a la realidad
será el comportamiento del sistema. Sin embargo, valores excesivamente el-
evados pueden originar serios problemas de condicionamiento de la matriz
de rigidez, lo cual afecta de forma signicativa a la convergencia del método
numérico empleado en la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales
obtenido. Esto constituye el principal inconveniente del método, ya que la
solución obtenida depende enormemente del valor de penalización elegido.
Para solventar este problema se han desarrollado numerosos algoritmos de
actualización del penalty, de forma que en cada paso de tiempo se emplee el
2.3. Integración Temporal 42
valor más apropiado logrando un compromiso entre exactitud de la solución
y facilidad de resolución numérica. En [Cha02] puede consultarse por ejem-
plo una propuesta de penalty adaptativo en función del valor que tome la
interpenetración gN .
taN = −p = −φ(gan)βa
n (2.108)
φ(gan) =
ga
n si gan ≤ −β
(gan)2
4β+ ga
n
2+ β
4si ‖ga
n‖ < β
0 en otro caso
(2.109)
2.3. Integración Temporal
En un modelo de elementos nitos de dinámica estructural, los modos de
baja frecuencia del sistema físico se representan por las ecuaciones diferen-
ciales que lo expresan matemáticamente. Sin embargo, su contenido de alta
frecuencia suele ser causa de la inuencia numérica debida a la discretización
de los elementos nitos. Este es el motivo por el que el sistema de ecua-
ciones se dene como sti (ver Hairer y Wanner en [HW91] ) por lo que
discretizar en el tiempo y denir un método de integración es un aspecto de
gran relevancia en la simulación dinámica de estructuras exibles.
La forma más tradicional de representar el sistema de ecuaciones de par-
tida que se encuentra en la bibliografía sobre algoritmos de integración tem-
poral es de primer orden y se rige por la expresión general 2.110:
y = f (y, t) (2.110)
siendo f , en general, una función no lineal de las variables (y(t),t). Sin
embargo, el sistema de ecuaciones diferenciales que rige la dinámica de un
sistema como el estudiado en este proyecto se expresa en forma matricial
compacta:
M · u = q (u, u, t) (2.111)
2.3. Integración Temporal 43
donde el vector q y la matriz M son en general funciones no lineales
de (u, u, t). Se puede comprobar fácilmente que el sistema 2.111 es un caso
particular del 2.110 redeniendo el vector incógnita mediante el cambio:
y =uu
tal que y =
u
M−1 · q (u, u, t)
= f (y, t)
Un método numérico de integración temporal permite calcular paso a paso
valores de la incógnita yn/n = 0, 1, . . . , N separados mediante intervalos
∆tn+1 = tn+1 − tn. El cálculo de y en cada instante se realiza a partir de su
valor en k instantes previos de tiempo. el número de pasos del integrador se
conoce como k. De esta forma, el valor de yn+k se calcula a partir de los k
valores anteriores de y con la expresión general [Lam91]:
k∑j=0
αjyn+j = ∆tφf (yn+k,yn+k−1,...,yn,tn+k;hn+k) (2.112)
donde subíndice f se utiliza en la función del segundo miembro para
enfatizar que φ depende con(yn+k, . . . ,yn, tn+k; ∆tn+k
)a través de la función
f (y, t).
Criterios de clascación de los métodos dados por la expresión general
2.112
Número de pasos: métodos de un paso y métodos multipaso.
En los de un paso, k = 1. Es decir, se calcula yn+1 haciendo uso exclusi-
vamente de información del paso anterior. En los multipaso se requiere
un número k > 1 de valores iniciales para comenzar, utilizando habit-
ualmente información de los valores anteriores. En cambio, suelen tener
una estructura más simple que los de un paso para una precisión simi-
lar. Entre los métodos de un paso destacan la familia Newmark, cuya
formulación original fue propuesta en [New59], y otros algoritmos desar-
rollados a partir de la formulación de Newmark como el Hilber-Hughes-
Taylor [HHT77] y el α-generalizado de Chung y Hulbert [CH93]. Tam-
bién existen otros métodos como los Runge-Kutta o los métodos lin-
eales, en los que la expresión 2.112 es lineal enyn+j, f
(yn+j, tn+j
);
j = 0, 1, . . . , k, pero no se profundizará en ellos.
2.3. Integración Temporal 44
Variable dependiente: métodos explícitos y métodos implícitos.
En un método explícito, la expresión 2.112 permite despejar yn+1 cono-
cidos los valoresyn+j ; j = 0, 1, . . . , k − 1; si esto no es posible, el
método es implícito. Se debe destacar que la estabilidad de un método
explicito sólo se garantiza si el paso de tiempo elegido es sucientemente
pequeño respecto a las frecuencias naturales del sistema. Sin embargo,
los métodos implícitos pueden ser incondicionalmente estables, lo que
signica que la solución numérica será estable cualquiera que sea el
contenido en frecuencias del sistema mecánico. Esta propiedad es muy
deseable en la simulación de sistemas sti, pero requiere una mayor
complejidad computacional.
Se ha de mencionar que tanto los métodos de un paso como los multipaso
pueden ser explícitos o implícitos, e incluso pueden construirse algoritmos
que combinen un método explícito con uno implícito (algoritmos predictor-
corrector). Según Hughes en [Hug87], puede decirse que un método de inte-
gración temporal para dinámica estructural debería combinar las siguientes
propiedades: estabilidad incondicional para sistemas lineales, no más de un
sistema de ecuaciones implícitas a resolver en cada paso, precisión de segun-
do orden, control de la disipación numérica en los modos de alta frecuencia
e inicialización autónoma.
En los siguientes epígrafes se presenta el algoritmo original de Newmark
[New59] y la extensión α-generalizado propuesta por Chung y Hulbert en
[CH93] así como las adaptaciones particulares desarrolladas para al cálculo
dinámico de la interacción catenaria-pantógrafo.
2.3.1. La familia β-Newmark
La familia β-Newmark, que se utiliza ampliamente en la dinámica estruc-
tural, está especialmente diseñada para la resolución de sistemas de segundo
orden, por lo que se aplica a las ecuaciones con el formato dado en 2.111.
Se denomina `familia' porque en su planteamiento más general aparecen dos
parámetros (γ y β) cuya variación genera todos los distintos métodos de la
familia.
2.3. Integración Temporal 45
La formulación clásica proporciona la posición y la velocidad en el instante
(n+1) a partir de la posición y velocidad en (n) y de la aceleración en (n+1).
Partiendo del desarrollo en serie de Taylor de desplazamientos y velocidades
respecto al paso de tiempo ∆t se obtienen las expresiones 2.113 y 2.114:
un+1 = un + ∆tun + ∆t2(
1
2− β
)un + ∆t2βun+1 (2.113)
un+1 = un + ∆t (1− γ) un + ∆tγun+1 (2.114)
siendo γ y β los parámetros numéricos que dan lugar a los distintos méto-
dos. Mediante la combinación de estos parámetros se demuestra que en régi-
men lineal los métodos de la familia en los que β ≥(
116
+ γ2+γ4
)y γ ≥ 1
2son
para todos los casos estables. También en régimen lineal, toda la familia de
métodos con γ = 12y β ∈
[0, 1
2
]son simplécticos aunque, en el no lineal, el
único miembro simpléctico de la familia es el método de diferencias centrales.
Los métodos más representativos obtenidos para distintos valores de γ y β
son presentados por Geradin y Rixen en [GR97] con el estudio de un sistema
`patrón'. Como conclusión general del análisis de estos métodos puede decirse
que todos salvo la regla trapezoidal y la Regla trapezoidal modicada tienen
un interés limitado, ya que son inestables o condicionalmente estables incluso
en el régimen lineal.
La regla trapezoidal se obtiene para γ = 12y β = 1
4, y hablando de la
familia de Newmark se le llama también método de aceleración media con-
stante, ya que las expresiones 2.113 se pueden interpretar como actualiza-
ciones en posición y velocidad suponiendo una aceleración media constante
entre tn y tn+1. En el régimen lineal, éste es además el método completa-
mente estable más preciso. Sin embargo, puede introducirse amortiguamiento
numérico en la formulación según:
γ =1
2+ α y β =
1
4
(γ +
1
2
)2
α ≥ 0 (2.115)
donde α es el parámetro de amortiguamiento numérico. Éste es el llamado
método de aceleración constante modicado o regla trapezoidal modicada.
Permite aumentar el amortiguamiento numérico en el sistema manteniendo
2.3. Integración Temporal 46
la condición de estabilidad en el algoritmo de integración, lo que en ciertos
casos puede ser muy útil aunque se produzca una pérdida de precisión.
La resolución numérica sigue un algoritmo predictor-corrector partiendo
de los valores un, un y un del instante tn, para cuya predicción inicial se
asume aceleración nula:
u0n+1 = 0 (2.116)
u0n+1 = un+1 + ∆t (1− γ) un (2.117)
u0n+1 = un + ∆tun + ∆t2
(1
2− β
)un (2.118)
llegando a cumplir la formulación de Newmark 2.113 mediante las correc-
ciones iterativas:
∆un+1 =1
β∆t2∆un+1 (2.119)
∆un+1 =γ
β∆t∆un+1 (2.120)
En el caso de la interacción dinámica catenaria-pantógrafo, la corrección
∆un+1 en cada paso de integración se calcula a través de la ecuación 2.121:
K∗t ∆un+1 = Rn+1 (2.121)
cuyos cálculos previos del residuo R y la matriz de rigidez tangente con-
sistente K∗t se expresan en 2.123:
R = Mun+1 + q− f (2.122)
K∗t = Kt +
γ
β∆tCt +
1
β∆t2M (2.123)
donde Kt es la matriz de rigidez tangente calculada para un problema
cuasi-estático, Ct es la matriz de amortiguamiento tangente y M la matriz
de masas.
2.3. Integración Temporal 47
2.3.2. El método α-Generalizado
El método de integración de la familia de Newmark conduce a inestabil-
idad numérica debido a las restricciones algebraicas al integrar ecuaciones
diferenciales algebraicas (DAE) de segundo orden e índice 2. Esto se mani-
esta a través de las oscilaciones crecientes en la respuesta de las aceleraciones.
Introduciendo una pequeña disipación en el algoritmo para las altas frecuen-
cias se logra controlar esta inestabilidad. Manteniendo de esta forma la esta-
bilidad de la integración de dinámica lineal con restricciones. Destaca en este
aspecto el método α-generalizado descrito por Chung y Hulbert en [CH93].
Éste incluye como casos particulares algunos de los algoritmos de integración
temporal más importantes en dinámica estructural, como la regla trapezoidal
o el algoritmo Hilber-Hughes-Taylor [HHT77] (HHT), constituyendo así un
marco general para investigaciones teóricas.
El método se fundamenta en las fórmulas de Newmark 2.113, aunque
para el cálculo del residuo este algoritmo promedia la diferente contribución
de dos instantes consecutivos según los parámetros numéricos αm y αf como
reeja 2.124:
R = (1− αm) (Mu)n+1 + αm (Mu)n +
+ (1− αf ) (q− f)n+1 + αf (q− f)n
(2.124)
En particular, el algoritmo HHT se obtiene para αm = 0 y αf ∈[0, 1
3
]. Sin
embargo, estos parámetros del método α-generalizado pueden ser calculados
en función del radio espectral ρu∞:
αm =2ρu∞ − 1
ρu∞ + 1y αf =
ρu∞ρu∞ + 1
(2.125)
Deniendo αfm = αf − αm, los parámetros de Newmark quedan como se
muestra en 2.126:
γ =1
2+ αfm y β =
1
4
(γ +
1
2
)2
(2.126)
Más tarde se demuestra que para valores de αfm > 0 el método presenta
una precisión de segundo orden. La solución numérica se obtiene mediante
2.3. Integración Temporal 48
un algoritmo predictor-corrector como el empleado en la familia Newmark,
quedando la matriz tangente modicada en cada paso corrector como reeja
la ecuación 2.127, análoga a la 2.123:
K∗t = (1− αf )Kt + (1− αf )
γ
βhCt + (1− αm)
1
βh2M (2.127)
Capítulo 3
CÁRGAS MÓVILES EN VIGAS
49
3.1. Denición del problema 50
Debido a la complejidad del modelado del efecto entre trenes y vía, al-
gunos de los primeros estudios realizados que afectan a la interacción dinámi-
ca entre el tren y la via consisten en un modelo simplicado en el que se simula
una masa o una fuerza moviéndose a velocidad constante a lo largo de una vi-
ga simplemente apoyada. El tema de cargas dinámicas en movimiento no solo
es interesante para el estudio del diseño de vías y puentes de tren, sino que
también tiene otras aplicaciones ingenieriles como por ejemplo las máquinas
modernas de alta velocidad utilizadas en los procesos de mecanizado. Katz et
al.[KS87] estudiaron la inestabilidad producida por una secuencia de cargas
móviles. Akin and Mod [AM90] presentaron un método numérico analítico
para estudiar la respuesta de una carga móvil sobre una viga con diferentes
condiciones de contorno. Los resultados remarcaron la importancia de uti-
lizar un modelo de masa móvil frente a uno de fuerza móvil en los casos de
utilizar una masa elevada y altas velocidades.
También se debe mencionar a otros autores que han sacado múltiples con-
clusiones del estudio de este caso. Por ejemplo M.Olsson en [Ols85] reduce el
modelo de un tren sobre un puente a un modelo masa muelle desplazándose
a velocidad constante sobre una viga, desarrolla la formulación teórica de su
modelo y realiza un estudio sobre las diferentes respuestas que se obtienen
modicando los diferentes parámetros del modelo masa muelle del tren y
también las diferencias que aparecen entre realizar una simulación con el
modelo masa muelle en lugar de una fuerza móvil equivalente. En la misma
linea podemos encontrar otros autores como G. Visweswara Rao[VR00], que,
como se puede comprobar en 'Linear Dynamics of an elastic beam under
moving loads', realiza también un estudio con el modelo de fuerzas móviles
sobre vigas simplemente apoyadas, pero en este caso centrándose en la re-
spuesta dinámica que se produce en la viga cuando se simula con una fuerza
móvil sobre ella.
3.1. Denición del problema
El problema de carga móvil con interés en este caso se ilustra en la gura
3.1. Como se recoge en `On the fundamental moving load problem ' [Ols91],
la ecuación del movimiento transversal del desplazamiento de la viga uz =
3.1. Denición del problema 51
v
F
Figura 3.1: Fuerza móvil sobre viga simplemente apoyada
uz(s, t) para 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ t ≤ L/v puede expresarse según la ecuación
3.1. Donde δ es la función delta de Dirac y el tiempo se inicia en cero cuando
la fuerza está al comienzo de la viga.
ρ · A · ∂2uz
∂t2+ E · Iy ·
∂4uz
∂x4= δ · (x− v · t) · P (3.1)
Las condiciones de contorno se muestran en las ecuaciones 3.2 a 3.5
uz = 0 (3.2)
∂2uz
∂x2(0, t) = 0 (3.3)
uz(L, t) = 0 (3.4)
∂2uz
∂x2(L, t) = 0 (3.5)
Las condiciones iniciales se muestran en las ecuaciones 3.6 y 3.7
uz(x, 0) = 0 (3.6)
∂uz
∂t(x, 0) = 0 (3.7)
3.2. Solución Analítica 52
Se han realizado varias simplicaciones en este problema en cuestión,
como por ejemplo, inicialmente la viga esta recta, el material de la viga
es lineal elástico, la viga sufre pequeñas deformaciones y son despreciables
los efectos de viscosidad. En referencia a la carga móvil se asume que la
contribución de los modos de vibración de más alta frecuencia es escasa, y
esto indica que la carga no se mueve a gran velocidad.
3.2. Solución Analítica
Este problema en particular es uno de los pocos problemas de cargas
móviles que puede ser resuelto analíticamente. Existen diferentes métodos
para obtener la solución, y la mayor parte hacen referencia a Frýba [Frý72].
La solución analítica se puede obtener mediante el método de separación
de variables
uz(x, t) =∑
Yn(t) · sen(n · π · x/L) (3.8)
Donde Yn(t) y sen(n · π · x/L) son los desplazamientos y las funciones
modales respectivamente, ver también referencias [Frý72] y [War76]. Susti-
tuyendo la ecuación 3.8 en la ecuación 3.1 se obtiene la ecuación 3.9.
Yn(t) + ω2n · Yn(t) = (2 · P/ρ · A · L) · sen(ωn · t) (3.9)
para n = 1, 2, 3...,∞ y 0 ≤ t ≤ L/v y donde
ω2n = n4 · π4 · E · I/ρ · A · L4 (3.10)
ωn = n · π · v/L (3.11)
Es interesante destacar que en la ecuación modal 3.9, para n = 1, el
movimiento de la carga móvil se representa a través de una onda con forma
senoidal. Con la condición inicial Yn(0) = Yn(0) = 0, que representan las
ecuaciones 3.6 y 3.7 se obtiene la solución de la ecuación 3.9 como se muestra
en 3.12 y 3.13
3.3. Modelo Elementos Finitos 53
Yn(t) = (2 ·P/ρ ·A ·L ·ω2n) · (1/(1−β)) · (sen(ωn · t)−βn · sen(ωn · t)), βn 6= 1
(3.12)
Yn(t) = (2 ·P/ρ ·A ·L ·ω2n) ·0.5 · (sen(ωn · t)−ωn · t ·cos(ωn · t)), βn = 1 (3.13)
Donde βn es un coeciente de frecuencias, denido en 3.14.
βn =ωn
ωn
(3.14)
Las ecuaciónes 3.12 y 3.13 pueden ser comparadas con la expresion dada,
por ejemplo, en la referencia [CP75]. La solución analitica de las ecuaciones
3.1 a 3.7 puede obtenerse introduciendo las ecuaciones 3.12 y 3.13 en la
ecuación 3.8. Dicha solución está representada por la ecuación 3.15 ,en la
cual uzs(L/2) = P · L3/48 · E · I es el desplazamiento estático del punto
medio del vano para una fuerza P colocada en él, y τ = L/v es el tiempo
que permanece en movimiento la carga. Además está denido el parámetro
adimensional α, cuyo valor está representado en la ecuación 3.17
uz(x,t)=uzs(L/2)· 96π4 ·
Ph1
n2·(n2−α2)·“sen(n·π·t/τ)−α
n·sen
“n2·π
α·t/τ
””·sen(n·π·x/L)
i,α 6=n. (3.15)
uz(x,t)=uzs(L/2)· 96π4 ·
Ph1
n2·(n2−α2)·“sen(n·π·t/τ)−α
n·sen
“n2·π
α·t/τ
””·sen(n·π·x/L)
i(3.16)
+uzs(L/2)· 96π4 ·
P[ 12·α4 ·(sen(α·π·t/τ)−α·π·t
τ·cos(α·π·t/τ))·sen(α·π·x/L)],α=n.
α=n·βn=π·v/ω1·L (3.17)
3.3. Modelo Elementos Finitos
Una vez obtenida la solución analítica del problema se pretende contrastar
el modelo de elementos nitos utilizado con la solución analítica del prob-
lema. Para ello se utiliza un modelo de viga de 21 nodos con las siguientes
características:
3.3. Modelo Elementos Finitos 54
Tabla 3.1: Valor de τ y v obtenidos para cada α
α τ(s) v(m/s)
0.25 1.78 5.61
0.5 0.889 11.25
0.75 0.593 16.86
L = 10m
E = 2.0 · 1011Pa
I = 1.0 · 10−5m4
ρ = 7800kg/m3
A = 0.05m2
F = 800N
Con estos parámetros se van a simular tres casos diferentes, cada con un
α distinto. Se ha de hacer mención a que el parámetro α es la velocidad de
desplazamiento adimensionalizada en función de la longitud de la viga, sien-
do α = π · v/ω1 · L.La tabla recoge los valores de τ y v obtenidos para cada valor de α en concre-
to. Las guras ( 3.2 - 3.4 ) muestran la comparación del desplazamiento del
punto medio del vano obtenido en la simulación frente a la solución analítica
vista en 3.2. Por último destacar que la solución obtenida en el caso en que
se reduzcan al mínimo los nodos en el modelo no se aleja de los resultados
obtenidos en solución analítica, como muestra la gura 3.5.
Aunque se observa visualmente la semejanza entre ambas grácas, la tabla
3.2 muestra los valores numéricos del error cometido en % en el caso de uti-
lizar un modelo de viga de 20 elementos. Las grácas que se pueden observar
de la gura 3.2 a 3.4 muestran el error cometido en %. Este es inferior al
|0.1 %| en todos los casos.
3.3. Modelo Elementos Finitos 55
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
t(s)
Uy/
Ust
FEMS.Analítica
(a) Comparación
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Err
or(%
)
t(s)
Error alfa 0.25
(b) Diferencia
Figura 3.2: Desplazamientos del punto medio del vano obtenidos en la simu-
lación frente a la solución analítica del problema para α=0.25
Tabla 3.2: Datos estadísticos del error cometido para cada valor de α
α 0.25 0.5 0.75
Min ( %) −0.082 −0.0827 −0.071
Max ( %) 0.043 0.0906 0.089
Rango( %) 0.1253 0.1734 0.1601
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
t(s)
Uy/
Ust
FEMS.Analítica
(a) Comparación
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t(s)
Err
or(%
)
Error alfa 0.5
(b) Diferencia
Figura 3.3: Desplazamientos del punto medio del vano obtenidos en la simu-
lación frente a la solución analítica del problema para α=0.25
3.3. Modelo Elementos Finitos 56
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
t(s)
Uy/
Ust
FEMS.Analítica
(a) Comparación
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t(s)
Err
or(%
)
Error alfa 0.75
(b) Diferencia
Figura 3.4: Desplazamientos del punto medio del vano obtenidos en la simu-
lación frente a la solución analítica del problema para α=0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
t(s)
Uy/
Ust
FEMS.Analítica
Figura 3.5: Comparación de los desplazamientos del punto medio del vano
obtenidos en la simulación reduciendo el número de nodos frente a la solución
analítica del problema para α=0.5
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' 57
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa'
Se pretende estudiar la diferencia entre la utilización de una fuerza o
una masa móvil en el modelo de carga móvil sobre vigas, debido a que la
normativa Española permite modelar los trenes como un conjunto de fuerzas
móviles, en lugar de un sistema de masas y muelles. Para ello se reproducirá
el efecto dinámico obtenido al simular una fuerza móvil que se desplaza a
velocidad constante sobre una viga simplemente apoyada, como se puede
observar en la gura 3.6 y se contrastará con un modelo de masa móvil
equivalente desplazándose a velocidad constante sobre la misma viga.
v
F
Figura 3.6: Fuerza móvil sobre viga biapoyada
Estos resultados ya fueron obtenidos por G. Visweswara Rao[VR00], por
lo que se utilizan en la simulación los mismos valores numéricos que se usaron
en `Linear Dynamics of an Elastic Beam Under Moving Loads '[VR00], para
poder contrastar los resultados obtenidos. A continuación se muestran los
valores numéricos utilizados:
L = 10m
E = 2.0 · 1011Pa
I = 1.0 · 10−5m4
ρ = 7850kg/m3
A = 0.01m2
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' 58
Los valores numéricos de la fuerza y de la masa son los siguientes:
F = 2310.25N
M = 235.5kg
En la gura 3.7 se muestra el desplazamiento máximo adimensinalizado
que se obtiene en el punto medio del vano para cada velocidad de la simu-
lación. Se puede observar que la deformación máxima obtenida es superior en
el caso de la resolución con la masa frente a utilizar la fuerza equivalente. Los
valores de desplazamiento vertical están adimensionalizados en función de la
echa estática de la viga en el caso de encontrarse cargada con una masa
puntual en el centro de esta, que se calcula según la fórmula Y st = P ·L3
48·E·I ,
obteniendo un valor de 2.406 · 10−2m.
0 20 40 60 80 100−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
v(m/s)
U/U
st
MasaFuerza
Figura 3.7: Comparación del modelo `fuerza' frente a `masa' del desplaza-
miento máximo vertical adimensionalizado en el punto x = L/2 para cada
velocidad
La tabla 3.3 muestra los valores numéricos que se extraen de la gura
3.7. Se ha de hacer mención a que los máximos obtenidos no se dan para las
mismas velocidades en el modelo de fuerza que en el modelo de masa móvil,
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' 59
Tabla 3.3: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento máximo
en el centro de vanoModelo Velocidad(m/s) Desp. Y
Fuerza 30 −1.611
Masa 38 −3.328
además de que el valor obtenido con el modelo de la masa móvil es 1.4 veces
mayor que el obtenido con el modelo de la fuerza móvil.
Para poder realizar la comparación con los resultados obtenidos por G.
Visweswara Rao[VR00] se registran también los valores de desplazamiento en
la posición del vano x = L/4. En la gura 3.8 se muestran estos resultados
de forma adimensionalizada.
0 20 40 60 80 100−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
v(m/s)
U/U
st
FuerzaMasa
Figura 3.8: Comparación del modelo `fuerza' frente a `masa' del desplaza-
miento máximo vertical adimensionalizado en el punto x = L/4 para cada
velocidad.
En este caso la tabla 3.4 muestra los valores numéricos que se extraen de
la gura3.8.
Como se puede observar de los casos presentados, la utilización de un
modelo de fuerza equivalente conlleva a una solución errónea en los desplaza-
3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' 60
Tabla 3.4: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento en la
posición x = L/4 del vanoModelo Velocidad(m/s) Desp. Y
Fuerza 30 −0.96
Masa 38 −2.01
Tabla 3.5: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento máximo
en el centro de vano obtenidos por G. Visweswara Rao[VR00]Modelo Vel G.V.(m/s) Vel FEM(m/s) Desp. Y G.V. Desp. Y FEM
x = L/2 Fuerza 31 30 −1.6 −1.611
Masa 39 38 −2.7 −3.328
x = L/4 Fuerza 31 30 −1.2 −0.96
Masa 39 38 −1.99 −2.01
mientos obtenidos en la viga. De las guras se extrae que el error cometido
es mayor, cuanto más cerca se encuentre la velocidad del ensayo a la veloci-
dad crítica. Velocidad para la cual el desplazamiento es máximo. Se ha de
señalar también (ver tabla 3.3) que la velocidad a la que se da el máximo
desplazamiento varía en función de utilizar un modelo de masa en lugar de
uno de fuerza móvil.
El paper de G. Visweswara Rao[VR00] recoge los valores adimensionaliza-
dos del desplazamiento en los puntos del vano x = L/2 y x = L/4. La tabla
3.5. recoge dichos resultados los cuales se pueden comparar con los obtenidos
en la simulación realizada en este proyecto.
Capítulo 4
ELEMENTOS DEL CONJUNTO
CATENARIA - PANTÓGRAFO -
VEHÍCULO - PLATAFORMA
61
4.1. Catenaria 62
4.1. Catenaria
Como se ha comentado con anterioridad, existen diversos sistemas que
permiten alimentar eléctricamente trenes, ya sea mediante corriente alterna
o corriente continua. El mas empleado hoy en día se denomina línea aérea
de contacto o más comúnmente catenaria. Toma el nombre de la curva que
aproximadamente forma uno de los cables que lo conforman. Por lo tanto, en
la tecnología ferroviaria bajo la denominación `catenaria' se engloba a todo
el conjunto de elementos que constituyen la línea de transporte y suministro
de energía eléctrica a los trenes (ver gura 4.1). La captación de energía se
realiza por medio de un elemento de frotación denominado pantógrafo.
Figura 4.1: Catenaria
4.1.1. Catenaria exible
Los elementos que componen una catenaria, gura 4.2 son:
Hilo de contacto. Es el elemento que se encuentra en contacto con el
pantógrafo. Debe tener una geometría tal que el rozamiento entre éste
y el pantógrafo sea lo mas uniforme posible de forma que la captación
de energía sea óptima.
4.1. Catenaria 63
Hilo sustentador. Es el elemento superior que desde un punto de vista
mecánico soporta el peso del hilo de contacto.
Péndolas. Son los elementos verticales que adecuadamente situados se
encargan de garantizar la geometría adecuada en el hilo de contacto
transmitiendo parte del peso de este al sustentador.
Falso sustentador. Es un elemento que no aparece en todos los tipos de
catenarias y que tiene como misión aumentar y uniformizar la rigidez
del conjunto mediante la aplicación de una tensión adicional. A la pén-
dola que va unida al falso sustentador se le denomina habitualmente
péndola en Y.
Grifas. Son los elementos que sirven para unir las péndolas al falso
sustentador e hilo de contacto.
Hilo Sustentador
Péndola en Y
Péndolas Grifa inferior
Grifa superior
Amarre del Falso sustentador
Hilo de Contacto
Falso sustentador
Brazo de Atirantado
Figura 4.2: Partes de una catenaria
El modelo de catenaria utilizado, mostrado en la gura 4.3, esta formado
por elementos corotacional y se obtiene a partir de un cálculo estático que
4.1. Catenaria 64
permite obtener las deformaciones y tensiones iniciales de la estructura.
130 140 150 160 170 180 190
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figura 4.3: Modelo de catenaria exible
4.1.2. Perl conductor aéreo
Un perl conductor aéreo o, también denominado catenaria rígida (gura
4.4), está formada por un perl de aluminio tratado en forma de mordaza
que aprisiona el hilo de contacto de cobre conformando un conjunto de gran
rigidez y elevada sección de paso de corriente.
Este tipo de catenaria tiene sus ventajas con respecto a la catenaria ex-
ible convencional, ya que es más fácil de montar, aumenta el periodo de
sustitución debido al desgaste, se disminuye las exigencias de altura en los
túneles, la sección equivalente de cobre es mayor y aumenta la facilidad de
refrigeración por convección. Sin embargo, también presenta sus inconve-
nientes, por ejemplo, la catenaria rígida permite velocidades de circulación
inferiores a la exible, la distancia entre soportes debe ser pequeña, por lo
que hay que aumentar considerablemente el número de éstos y la instalación
esta pensada principalmente para interiores (por ejemplo túneles de metro)
lo que diculta su instalación en zonas al aire libre.
4.1. Catenaria 65
Figura 4.4: Perl conductor aéreo
80 90 100 110 120 130 140
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.5: Modelo de catenaria rígida
4.2. Pantógrafo 66
4.2. Pantógrafo
El pantógrafo (gura 4.6) es el mecanismo situado en la parte superior
externa del vehículo y es el encargado de suministrar la corriente necesaria
para moverlo a partir de su contacto con la plataforma, de ahí la importancia
de que no existan despegues durante los desplazamientos del vehículo.
Figura 4.6: Pantógrafo
Los pantógrafos se modelan en general como un conjunto de masas,
muelles y amortiguadores con 2 o más grados de libertad. Dos masas son
sucientes si el pantógrafo es simétrico (gura 4.7) y tres si es asimétrico
(gura 4.8). Estos modelos simplicados del pantógrafo se utilizan porque el
pantógrafo es un sistema relativamente complejo, pero que se puede someter
a ensayos mediante los cuales se puede llegar a un modelo simple de fun-
cionamiento y que se aproxima de manera razonable a su comportamiento
real. De hecho un modelo de este tipo puede adaptarse bastante bien a la
realidad si se modica convenientemente.
Como se pude encontrar en `Pantograph/Catenary dynamics and control '
[PW97], la meta de los diseñadores en la actualidad y para el futuro es mejo-
rar el diseño del pantógrafo, ya que este sistema es de gran importancia para
4.2. Pantógrafo 67
conseguir una buena fuerza de contacto con la catenaria cuando el vehículo
se encuentra en marcha. Para el desarrollo de nuevos pantógrafos es esencial
comprender el correcto funcionamiento dinámico de estos. Los fundamentos
cinemáticos están basados en los siguientes grados de libertad:
1. La cabeza del pantógrafo se pude mover verticalmente en un rango de
unos 2m. Este movimiento está permitido gracias a un mecanismo en
forma de tijera que transforma el movimiento de rotación de los brazos
en el movimiento vertical de la cabeza del pantógrafo. Son posibles
movimientos de hasta 1 o 2 Hz.
2. Desplazamientos de media y alta frecuencia, hasta 10 Hz, se consiguen
gracias a suspensiones exibles en la base del pantógrafo.
3. Los desplazamientos de alta frecuencia se compensan gracias a la propia
tira de contacto, ya que es de un material elástico capaz de compensar
estos desplazamientos. Estas frecuencias son muy altas comparadas con
las arriba mencionadas, del orden de 10 a 50 Hz, pero son de baja
amplitud.
Para mejorar los pantógrafos, la combinación de todos estos movimientos
junto a su comportamiento dinámico especíco ha de ser tenida en cuen-
ta. Además los modelos matemáticos deben ser lo más eles posibles a la
realidad.
En el pasado era normal utilizar pantógrafos con muy pocos grados de
libertad en concordancia con la cinemática del pantógrafo. Los pantógrafos
reales tienen elementos que no se comportan de una forma lineal, así pues, los
pantógrafos modelados con grados de libertad lineales solo son válidos para
ciertos puntos de operación. Con ciertos modelos no es posible tener en cuenta
la altura de la base del pantógrafo o simular el efecto de fuerzas laterales o
excitaciones horizontales. Sin embargo, estos modelos son sucientemente
buenos para obtener resultados razonables de la interacción dinámica entre
el pantógrafo y la catenaria.
4.2. Pantógrafo 68
C2 K2
K1 C1
M2
M1
F
Figura 4.7: Modelo de pantógrafo de 2 g.d.l.
C3 K3
K2 C2
K1 C1
M3
M2
M1
F
Figura 4.8: Modelo de pantógrafo de 3 g.d.l.
4.3. Vehículo 69
4.3. Vehículo
La resolución de problemas dinámicos de interacción entre catenaria y
pantógrafo, por un lado, y tren y vía, por otro, ha sido abordada por diversa
cantidad de autores y métodos. El vehículo (gura 4.9) está compuesto por
la caja, es la zona de transporte de pasajeros o mercancías, los bogies (gura
4.10) y las suspensiones que unen la caja con el bogie y este con las ruedas.
Figura 4.9: AVE s103
Aunque en la norma española permite modelar los vehículos como un
tren de cargas móviles, lo cual es admisible para cierto intervalo de veloci-
dades como se ha mostrado en el apartado de Cargas Móviles En Vigas3, los
modelos de vehículo más comúnmente utilizados están constituidos por un
conjunto de elementos masa - muelle,tipo MCK, como se muestra en la gura
4.11. Estos elementos se utilizan para formar la conguración del vehículo, el
número de ellos utilizado y la forma de colocarlos dependerá de la compleji-
dad que se le quiera dar en cada caso al modelo. De ahí que tengamos autores
con modelos de tren con únicamente tres grados de libertad como muestra
C.G.Koh [KOCF03] u otros que usan modelos de hasta doce, por ejemplo
Ping Lou y Qing-yuan Zeng [Lou05] [LyZ05]. Como se puede encontrar en el
4.3. Vehículo 70
Figura 4.10: Bogie
libro de Manuel Melis [May08], el sistema lineal de dos masas es sumamente
útil en la ingeniería ferroviaria y en la de carreteras, ya que este modelo ha
salido del conocido índice IRI, el Índice de Regularidad Internacional con el
que se mide la calidad de un pavimento a partir de su perl longitudinal.
Es un modelo como el mostrado en la gura 4.11, pero que tiene otra masa
superior conectada a la inferior a través de un resorte y un amortiguador.
Sin embargo, en este caso en cuestión, se puede obtener un mejor modelo del
tren utilizando uno de 3 o más grados de libertad.
Figura 4.11: Modelo Masa Muelle
4.3. Vehículo 71
4.3.1. Modelo de tren de 3 grados de libertad
Se van a desarrollar varios modelos de tren y la utilización de cada uno
de ellos dependerá del estudio en particular que se quiera realizar. En primer
lugar, se crea un modelo de tren de tres grados de libertad. Este modelo ha
sido creado utilizando tres sistemas independientes entre si del tipo masa
muelle. El modelo en cuestión se muestra en la gura 4.12. El eje montado
circulando sobre la vía se encuentra representado por la masa inferior, la
estructura del bogie es la masa intermedia y la masa superior representa la
caja de pasajeros y la locomotora.
C1 K1
K2 C2
K3 C3
M1
M2
M3
Figura 4.12: Modelo de tren MCK de 3 grados de libertad
4.3.2. Modelo de tren de 10 grados de libertad
En segundo lugar se crea un modelo de tren más complejo, para poder
obtener resultados más realistas. En este caso se utilizan dos tipos de ele-
mentos diferentes. Los elementos masa muelle que simularan las ruedas (1
en la gura 4.13) y la suspensión (2 y 3 en la gura 4.13) del modelo y los
elementos tipo 'viga' que servirán para simular el coche (c en la gura 4.13)
y los bogies (b en la gura 4.13). Aunque la esencia del modelo es la misma
que la del caso anterior, el aumento del número de los elementos utilizados
4.3. Vehículo 72
y su nueva disposición le conere un nuevo aspecto, pudiendo observarse en
4.13. En este caso, son diez los grados de libertad de los que consta el modelo.
Mc,Ic
2K3,2C3 2K3,2C3
K2,C2 K2,C2 K2,C2 K2,C2
K1,C1 K1,C1 K1,C1 K1,C1 K1,C1
Mb,Ib Mb,Ib
M1 M1 M1 M1
Figura 4.13: Modelo Tren MCK de 10 grados de libertad
4.4. Plataforma 73
4.4. Plataforma
Con el nombre de plataforma están recogidos todos aquellos elementos de
la vía y el suelo que son indispensables para el desplazamiento del vehículo.
Como se puede observar en la gura 4.14 una plataforma convencional está
formada por los siguientes elementos:
Carril
Placa de asiento
Traviesa
Balasto
CARRIL
PAD
TRAVIESA
BALASTO
Figura 4.14: Plataforma Ferrocarril
Las deformaciones verticales de la vía ferroviaria al paso del tren solían es-
tudiarse por medio de las denominadas hipótesis de Zimmermann-Timoshenko,
que consideran que el carril se encuentra sobre un apoyo elástico continuo.
Esta hipótesis permiten reducir el problema real a uno más sencillo que se
puede resolver analíticamente. Aunque es solo una aproximación, permiten,
aún en la actualidad, obtener órdenes de magnitud de los esfuerzos. El obje-
tivo era obtener:
4.4. Plataforma 74
El momento ector en el carril y su variación a lo largo de este, debido a
la carga de uno o varios ejes ferroviarios. Conocido el momento ector y
las tensiones que produce en el carril es inmediato calcular las tensiones
totales que actúan sobre el material del carril.
Las cargas transmitidas a las traviesas, al balasto y a la plataforma.
Sin embargo, la hipótesis fundamental del método de Zimmermann - Tim-
oshenko no es muy realista. Ya que según esta hipótesis, el descenso vertical
de la rueda al pasar el bogie es siempre el mismo puesto que no cambia el
coeciente de balasto del terreno ni la rigidez vertical de la vía, lo cual no es
cierto porque el descenso de la vía bajo una traviesa no es igual al descen-
so del carril entre dos traviesas. Por lo que este método no reeja bien la
realidad de la circulación del tren sobre la vía.
En la vía tradicional, el carril está apoyado en unos puntos determinados
que son las cabezas de las traviesas, y entre ellos está sin apoyos, como
se puede ver en la gura 4.14. El carril por lo tanto es una viga continua
montada sobre apoyos elásticos discretos equidistantes, y este hecho no puede
ser estudiado por la teoría anteriormente mencionada. La rueda al circular
por el carril tendrá un asiento determinado al pasar sobre la cabeza de la
traviesa. Al estar situada entre dos traviesas el descenso que experimentará
la rueda será el descenso de las traviesas que estén a ambos lados de la carga,
más el de la propia exión de la viga. La importancia de la rigidez del carril
en el reparto de cargas se aprecia mucho mejor en el método de Lorente de
Nó [dN80], recopilado de Unold [Uno25] y Dischinger [Dis25], que además es
el más adecuado y sencillo para el cálculo de los asientos de la vía bajo las
traviesas en que carga la rueda y sus traviesas adyacentes.
Este método permite analizar el descenso de la vía separando el efecto de
la rigidez E · I del carril del descenso debido a la rigidez vertical de todo lo
que hay bajo el carril ( Los pads de apoyo o elementos elásticos de la sujeción
y la infraestructura, balasto, subbalasto y plataforma ). La rigidez vertical
global de la vía está compuesta por las distintas rigideces mostradas en la
tabla 4.1.
El conjunto de carril, apoyos, balasto, subbalasto y capas de asiento es
lo que de este punto en adelante se denominará plataforma. La rigidez de la
4.4. Plataforma 75
Tabla 4.1: Rigidez vertical global de la vía kglobal
Rigidez carril 1 La rigidez a exión del carril,
que absorbe más de la mitad de la carga de la rueda
Rigidez de los apoyos 2 La rigidez vertical de los pads
de apoyo del patín sobre la traviesa
3 La rigidez vertical de la traviesa,
que suele considerarse innita
Rigidez de 4 La rigidez vertical de
elementos inferiores las capas de asiento, balasto y subbalasto
5 La rigidez vertical de
los elementos situados bajo las capas de asiento
misma se puede obtener mediante la fórmula 4.1.
1
kplataforma
=∑ 1
ki
(4.1)
para i = 2, 5
El modelo utilizado para la plataforma se muestra en la gura 4.15, el cual
consta de un raíl sobre fundación elástica. Este está formado por dos tipos
de elementos. Unos elementos tipo `viga' que son utilizados para simular el
raíl y unos elementos que constan de una rigidez K y una viscosidad C que
sirven para simular la fundación elástica sobre la que se asienta el raíl.
4.4.1. Puente
Un aspecto importante en dinámica ferroviaria es la inuencia que pueden
tener los puentes en la respuesta del sistema cuando el tren pasa sobre ellos,
por ello hay diversos estudios que hacen referencia a este tema. El modelo
más simple de puente utilizado es el de una viga simplemente apoyada en sus
extremos, con un área, masa, viscosidad y rigidez equivalente al puente que
se estudiará, como muestra la gura 4.16.
Aunque es sencillo modelar puentes cortos, puesto que solo hay que cam-
biar las características físicas dentro del modelo de viga simplemente apoya-
da, no ocurre lo mismo a la hora de modelar grandes viaductos, ya que las
4.4. Plataforma 76
Figura 4.15: Modelo de Plataforma
características constructivas de estos puentes son especiales para cada uno
de ellos. Por este motivo no es posible generalizar a la hora de estudiar este
tipo de puentes, asique se elegirán algunos viaductos concretos para realizar
las simulaciones, como el mostrado en la gura 4.17.
4.4. Plataforma 77
Figura 4.16: Modelo de puente corto
0 100 200 300 400 500 600 700−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
Figura 4.17: Modelo de viaducto
Capítulo 5
SIMULACIÓN DE LA
INTERACCIÓN CATENARIA -
PANTÓGRAFO
78
5.1. Catenaria Flexible 79
5.1. CATENARIA FLEXIBLE
Con el propósito de estudiar posteriormente el efecto que puede llegar a
tener el tren y la plataforma en la dinámica del conjunto, se realizan previa-
mente unas simulaciones sin la presencia de estos elementos. Se utilizan para
la simulación la catenaria del AVE (ver gura 5.1) cuyas características se
muestran en la tabla 5.1 y el pantógrafo DSA-380E cuyas características se
muestran en la tabla 5.2.
190 200 210 220 230 240 250 260
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figura 5.1: Modelo de vano de la catenaria del AVE
Se estudian cuatro casos a velocidad constante de 200, 250, 300 y 325
km/h respectivamente. Los resultados de las fuerzas de contacto obtenidos
se pueden observar en las guras 5.2 a 5.5 mientras que las tabla 5.3 muestra
los datos estadísticos más relevantes de la simulación.
Las guras 5.6 a 5.9 muestran grácamente la variación de los estadísti-
cos más importantes en las simulaciones realizadas. Como puede observarse,
el valor medio permanece relativamente constante, sin embargo los valores
máximos y mínimos se acentúan a medida que se aumenta la velocidad en la
simulación.
5.1. Catenaria Flexible 80
Tabla 5.1: Características catenaria AVEHilo de contacto Cu Ri 120 mm2
Número de hilos de contacto 1
Fuerza de tensado de cada hilo de contacto 1500kg
Sustentador 70 mm2
Fuerza de tensado del cable sustentador Bz 11 1500kg
Péndolas 16 mm2
Longitud de vano 65 m
Tabla 5.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de pantógrafo DSA-380E1 2 3
m (kg) 6.6 5.8 5.8
c (Ns/m) 70 70 70
k (N/m) 9.4 · 103 14.1 · 103 0.08
F (N/m) 0 0 157.3
0 1 2 3 4 5 680
100
120
140
160
180
200
220
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.2: Fuerza de contacto c-p velocidad 200km/h
5.1. Catenaria Flexible 81
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.3: Fuerza de contacto c-p velocidad 250km/h
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.4: Fuerza de contacto c-p velocidad 300km/h
5.1. Catenaria Flexible 82
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450
100
150
200
250
300
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.5: Fuerza de contacto c-p velocidad 325km/h
Tabla 5.3: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-pVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Min (N) 97.35 92.83 156.61 57.40
Max (N) 215.86 246.1 249.47 284.24
Media(N) 156.87 156.87 156.61 155.96
Desviación Típica(N) 23.64 25.6 31.83 41.42
5.1. Catenaria Flexible 83
200 220 240 260 280 300 320 34055
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Vel
min
Figura 5.6: Variación del valor mínimo
200 220 240 260 280 300 320 340210
220
230
240
250
260
270
280
290
Vel
max
Figura 5.7: Variación del valor máximo
5.1. Catenaria Flexible 84
200 220 240 260 280 300 320 340155.9
156
156.1
156.2
156.3
156.4
156.5
156.6
156.7
156.8
156.9
Vel
med
Figura 5.8: Variación del valor medio
200 220 240 260 280 300 320 34022
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
Vel
std
Figura 5.9: Variación de la desviación típica
5.1. Catenaria Flexible 85
5.1.1. Dos Pantógrafos
Se desea estudiar también el comportamiento del sistema cuando el ve-
hículo utiliza dos pantógrafos. Para ello se simulan los mismos casos que en la
sección 5.1 utilizando dos pantógrafos 5.2 separados una distancia equivalente
a cuatro coches de un vehículo que mide 14m.
Las tablas 5.4 y 5.5 muestran los datos estadísticos obtenidos de cada uno
de los dos pantógrafos respectivamente. Como se extrae de estos resultados,
cuando hay dos pantógrafos relativamente cerca en la misma catenaria am-
bos se ven afectados en su comportamiento dinámico con respecto a cuando
hay un único pantógrafo. Se debe remarcar que aunque el valor máximo no
varia sustancialmente, en ambos disminuye notablemente el valor mínimo
que pueden llegar a alcanzar, siendo este valor más pequeño en el pantógrafo
trasero que en el delantero.
Destacar por último que igual que ocurre en el caso de un único pantó-
grafo, los valores máximos y mínimos aumentan a medida que aumenta la
velocidad de desplazamiento, como puede observarse en las guras 5.5 a 5.13
Tabla 5.4: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p delanteroVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Min (N) 92.19 77.31 65.22 33.76
Max (N) 217.99 253.80 245.87 286.22
Media(N) 156.77 156.66 156.61 156.12
Desviación Típica(N) 23.12 27.32 33.76 42.71
Tabla 5.5: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p traseroVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Min (N) 92.69 39.66 46.76 22.44
Max (N) 223.55 245.88 257.29 294.28
Media(N) 157.52 157.61 156.61 156.56
Desviación Típica(N) 24.78 31.35 42.71 58.10
5.1. Catenaria Flexible 86
200 220 240 260 280 300 320 34020
30
40
50
60
70
80
90
100
Vel
min
DelanteroTrasero
Figura 5.10: Variación del valor mínimo
200 220 240 260 280 300 320 340210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
Vel
max
DelanteroTrasero
Figura 5.11: Variación del valor máximo
5.1. Catenaria Flexible 87
200 220 240 260 280 300 320 340156
156.2
156.4
156.6
156.8
157
157.2
157.4
157.6
157.8
158
Vel
med
DelanteroTrasero
Figura 5.12: Variación del valor medio
200 220 240 260 280 300 320 34020
25
30
35
40
45
50
55
60
Vel
std
DelanteroTrasero
Figura 5.13: Variación de la desviación típica
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 88
5.2. CATENARIA FLEXIBLE CON 2 HILOS
DE CONTACTO
En este apartado se estudia la dinámica de un modelo de catenaria difer-
ente desarrollado en este proyecto, la catenaria exible con dos hilos de con-
tacto. Las características de la catenaria CR 220 se muestran en la tabla 5.6,
y el modelo se muestra en la gura 5.14.
Tabla 5.6: Características catenaria CR 220Hilo de contacto Cu Ri 150 mm2
Número de hilos de contacto 2
Fuerza de tensado de cada hilo de contacto 2040kg
Sustentador Bz 11 184 mm2
Fuerza de tensado del cable sustentador 2450kg
Péndolas Cu 25 mm2
Longitud de vano 54 m
160 170 180 190 200 210
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figura 5.14: Modelo de vano de la catenaria CR 220
Se realizan 4 simulaciones a velocidades de 200, 250, 300 y 325km/h re-
spectivamente obteniendo como datos estadísticos más relevantes los mostra-
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 89
dos en la tabla 5.7. Además se muestra de una forma gráca la variación de
estos valores en las guras 5.15 a 5.18.
Tabla 5.7: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-pVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Min (N) 62.43 57.25 44.01 35.98
Max (N) 110.05 119.56 123.43 127.06
Media(N) 156.87 78.19 78.35 78.23
Desviación Típica(N) 8.16 13.55 16.61 19.31
200 220 240 260 280 300 320 34035
40
45
50
55
60
65
Vel
Fc(N
)
Figura 5.15: Variación del valor mínimo
Por último se pueden observar la respuesta dinámica del conjunto c-p en
las grácas 5.19 a 5.22.
Como se puede extraer de los resultados obtenidos, las características
dinámicas de este tipo de catenaria empeoran notablemente a medida que
aumenta la velocidad de circulación, ya que esta catenaria está diseñada para
una velocidad de circulación de 220km/h. Además se debe mencionar que la
variación de la fuerza de contacto es mínima en el cambio de vano debido
a que la rigidez en ese punto es elevada. Esto es debido principalmente a
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 90
200 220 240 260 280 300 320 340110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
Vel
Fc(N
)
Figura 5.16: Variación del valor máximo
que el modelo de catenaria utilizado presenta dos brazos atirantados en ese
mismo punto, por lo que la rigidez se ve aumentada al doble de las rigideces
individuales.
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 91
200 220 240 260 280 300 320 34078
78.05
78.1
78.15
78.2
78.25
78.3
78.35
78.4
78.45
Vel
Fc(N
)
Figura 5.17: Variación del valor medio
200 220 240 260 280 300 320 3408
10
12
14
16
18
20
Vel
Fc(N
)
Figura 5.18: Variación de la desviación tìpica
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 92
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 560
70
80
90
100
110
120
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.19: Fuerza de contacto c-p velocidad 200 km/h
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450
60
70
80
90
100
110
120
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.20: Fuerza de contacto c-p velocidad 250 km/h
5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 93
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.540
50
60
70
80
90
100
110
120
130
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.21: Fuerza de contacto c-p velocidad 300 km/h
0 0.5 1 1.5 2 2.5 330
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.22: Fuerza de contacto c-p velocidad 325 km/h
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 94
5.3. PERFIL CONDUCTORAÉREO O CATE-
NARIA RÍGIDA
Esta sección pretende llevar a cabo un estudio del comportamiento dinámi-
co de la catenaria rígida. Para ello se realizarán una serie de simulaciones
variando algunos parámetros fundamentales de este tipo de catenaria.
El modelo de catenaria rígida utilizado está formado por elementos tipo 'vi-
ga' con dos tipos de características. Unos reejan la sección encargada de
llevar el cable de contacto y los otros son los que se encargan de sujetar la
estructura al techo. La viga que lleva sujeto el cable, cuya sección se muestra
en la gura 5.23, tiene las características mostradas en la tabla 5.8.
Tabla 5.8: Características catenaria rígida clásicaPropiedad Valor
Ec (N/m2) 69 · 109
Ac (m2) 2.22 · 10−3
Ic (m4) 0.338 · 10−5
ρ (kg/m3) 2747.74
Los apoyos del perl conductor que lleva el cable presentan las caracterís-
ticas mostradas en la tabla 5.9.
Tabla 5.9: Características de los apoyos del perlPropiedad Valor
Ec (N/m2) 200 · 109
Ac (m2) 2.8 · 10−3
ρ (kg/m3) 7800
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 95
Figura 5.23: Sección del perl conductor aéreo clásico
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 96
Tabla 5.10: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las
simulaciones de catenaria rígida variando la longitud entre soportesDist. entre soportes 10 m 12 m 14 m
Min (N) 72.87 29.98 17.06
Max (N) 137.6 172.6 180.4
Media(N) 102.7 101.2 104.6
Desviación Típica(N) 13.91 29.2 39.02
5.3.1. Efecto de la longitud de los soportes
En este apartado se estudia el efecto que tiene la separación de los so-
portes del perl conducto aéreo. Para ello se realizan tres simulaciones con
un modelo c-p a una velocidad de 110km/h con longitudes entre soportes de
10, 12 y 14m.
La tabla 5.10 muestra los valores más relevantes que se pueden extraer de las
simulaciones. Efectivamente se comprueba que al aumentar la distancia entre
los soportes se produce una mayor variación en la fuerza de contacto obteni-
da, como se puede ver observando las guras 5.24 a 5.26,donde se aprecia
una mayor amplitud de las ondas a medida que aumenta la separación entre
los soportes. Esto es debido principalmente a que al aumentar la distancia
entre apoyos, la echa de cada vano es mayor y disminuye su rigidez a exión,
por tanto, se producen mayores vibraciones en la catenaria, haciendo que las
uctuaciones de la fuerza de contacto sean mayores.
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 97
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
140F
c(N)
t(s)
Figura 5.24: Fuerza de contacto en catenaria rígida con una distancia entre
soportes de 10m
0 0.5 1 1.520
40
60
80
100
120
140
160
180
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.25: Fuerza de contacto en catenaria rígida con una distancia entre
soportes de 12m
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 98
0 0.5 1 1.50
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fc(N
)
t(s)
Figura 5.26: Fuerza de contacto en catenaria rígida con una distancia entre
soportes de 14m
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 99
Tabla 5.11: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las
simulaciones de catenaria rígida variando la velocidad de circulaciónVelocidad 110km/h 140km/h 150km/h
Min (N) 72.87 67.51 66.72
Max (N) 137.6 144.5 142.3
Media(N) 102.7 103.2 102.7
Desviación Típica(N) 13.91 14.21 13.02
5.3.2. Efecto de la velocidad de circulación
Después de comprobar el efecto que tiene la variación de la distancia
entre soportes en la fuerza de contacto catenaria - pantógrafo, se pretende
estudiar el comportamiento del conjunto a diferentes velocidades. Para ello,
se realizan tres simulaciones a 110, 140 y 150 km/h.
Se puede observar en la tabla 5.11 que a medida que se aumenta la ve-
locidad de circulación, hay una mayor diferencia entre los valores máximos y
mínimos obtenidos en la fuerza de contacto (también se puede apreciar mejor
este efecto en las guras 5.27 a 5.29).
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
140
Fc(N
)
t(s)
Figura 5.27: Fuerza de contacto en catenaria rígida circulando a una velocidad
de 110km/h
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 100
0 0.5 1 1.560
70
80
90
100
110
120
130
140
150
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.28: Fuerza de contacto en catenaria rígida circulando a una velocidad
de 140km/h
0 0.5 1 1.560
70
80
90
100
110
120
130
140
150
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.29: Fuerza de contacto en catenaria rígida circulando a una velocidad
de 150km/h
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 101
5.3.3. Efecto de la sección que sustenta el hilo de con-
tacto
También se desea comprobar el efecto que tiene la sección que sustenta el
hilo de contacto del perl conductor aéreo. Para ello se repiten las 3 simula-
ciones a las mismas velocidades que en el caso anterior, pero esta vez con los
valores de la sección de la catenaria utilizada en 'Metro de Madrid. La sec-
ción de esta catenaria se puede observar en la gura 5.30 y sus características
se muestran en la tabla 5.12.
Tabla 5.12: Características catenaria rígida Metro de MadridPropiedad Valor
Ec (N/m2) 69 · 109
Ac (m2) 2.39 · 10−3
Ic (m4) 0.734 · 10−5
ρ (kg/m3) 2747.74
Figura 5.30: Sección del perl conductor aéreo utilizado en 'Metro de Madrid
Igual que en el caso anterior, la tabla 5.13 recoge los estadísticos más rele-
vantes de las tres simulaciones. Como se puede apreciar en ella, a medida que
aumenta la velocidad, las variaciones en la fuerza de contacto son mayores,
igual que ocurría con las características del primer perl de catenaria utiliza-
do. Sin embargo, se puede observar que en este caso los rangos de variación
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 102
Tabla 5.13: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las
simulaciones de catenaria rígida de 'Metro de Madrid variando la velocidad
de circulaciónVelocidad 110km/h 140km/h 150km/h
Min (N) 86.1 78.91 65.9
Max (N) 123.9 126.5 146.2
Media(N) 102.0 102.9 102.8
Desviación Típica(N) 8.29 9.11 12.27
de la fuerza de contacto son inferiores a los obtenidos con el otro tipo de
catenaria, ya que las desviaciones típicas son inferiores.
Como cláramente se puede observar en las grácas 5.31,5.32 y 5.33 mejo-
rar el momento de inercia de la sección que sustenta el cable en este tipo de
catenarias mejora las oscilaciones que se producen en el contacto catenaria -
pantógrafo. Estas tres grácas muestran la respuesta obtenida con el tipo de
catenaria utilizada en primer lugar frente a la catenaria usada en la red de
metro de Madrid. Esta catenaria aumenta la sección del perl para mejorar
las propiedades dinámicas del conjunto. De esta forma se puede aumentar
las velocidades de utilización de estos tipos de catenaria, ya que se mejo-
ra notablemente el contacto, y también permite ampliar las distancias de
separación entre los soportes, teniendo que utilizar menor cantidad de ellos.
Además, para reforzar las conclusiones con respecto a la rigidez de la
catenaria, es interesante observar la diferencia de desplazamientos verticales
obtenida en el nodo de contacto c-p entre las catenarias con rigideces distin-
tas. Como se observa en las guras 5.34 a 5.36, la tendencia es a aumentar
el desplazamiento vertical a medida que aumenta la velocidad de circulación,
pero se debe mencionar que los desplazamientos verticales del nodo de con-
tacto son muy superiores en el caso de la catenaria menos rígida.
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 103
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
140
t(s)
Fc(N
)
Cat 1Cat 2
Figura 5.31: Comparación de la fuerza de contacto obtenida con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 110km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
0 0.5 1 1.560
70
80
90
100
110
120
130
140
150
t(s)
Fc(N
)
Cat 1Cat 2
Figura 5.32: Comparación de la fuerza de contacto obtenida con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 140km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 104
0 0.5 1 1.560
70
80
90
100
110
120
130
140
150
t(s)
Fc(N
)
Cat 1Cat 2
Figura 5.33: Comparación de la fuerza de contacto obtenida con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 150km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
0 0.5 1 1.5 2−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2x 10
−3
t(s)
Uy(
m)
Cat 1Cat 2
Figura 5.34: Comparación de los desplazamientos obtenidos con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 110km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 105
0 0.5 1 1.5−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2x 10
−3
t(s)
Uy(
m)
Cat 1Cat 2
Figura 5.35: Comparación de los desplazamientos obtenidos con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 140km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
0 0.5 1 1.5−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2x 10
−3
t(s)
Uy(
m)
Cat 1Cat 2
Figura 5.36: Comparación de los desplazamientos obtenidos con dos tipos de
catenarias rígidas a una velocidad de 150km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 106
Tabla 5.14: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las
simulaciones de catenaria rígida de 'Metro de Madrid variando la densidad
de la secciónDensidad −20 % −10 % 0 % +10 % +20 %
Min (N) 81.71 77.24 78.37 73.79 74.55
Max (N) 124.5 133 130.1 136.7 129.8
Media(N) 102.7 102.7 102.7 102.9 102.7
Desviación Típica(N) 9.064 10.51 9.952 10.76 10.12
5.3.4. Efecto del peso del perl conductor
En este caso se estudia el efecto que tiene el peso de la sección que suje-
ta el hilo de contacto. Para ello se simulan cuatro casos a una velocidad de
110km/h en los cuales se multiplica la densidad (ρ) de la sección por los fac-
tores 0.8, 0.9, 1.1 y 1.2 respectivamente, para ver el efecto de la disminución
y del aumento de masa.
La tabla 5.14 recoge los estadísticos más importantes obtenidos en la
simulaciones. Como podemos observar en ella, la densidad es un aspecto
crítico, ya que bajas densidades permiten obtener unas variaciones en la
fuerza de contacto mucho menores. Sin embargo el peso de la catenaria no
se puede reducir todo lo que se quiera, ya que los materiales utilizados en
ella deben ser capaces de soportar los esfuerzos a los que será sometida al
paso del pantógrafo. Las guras 5.37 a 5.40 muestran la forma que toman las
curvas de fuerza de contacto c-p en este caso.
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 107
0 0.5 1 1.5 280
85
90
95
100
105
110
115
120
125
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.37: Comparación de la fuerza de contacto obtenida disminuyendo
la densidad un 20 %
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
140
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.38: Comparación de la fuerza de contacto obtenida disminuyendo
la densidad un 10 %
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 108
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
140
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.39: Comparación de la fuerza de contacto obtenida aumentando la
densidad un 10 %
0 0.5 1 1.5 270
80
90
100
110
120
130
t(s)
Fc(N
)
Figura 5.40: Comparación de la fuerza de contacto obtenida aumentando la
densidad un 20 %
5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 109
5.3.5. Sistema de alimentación con dos pantógrafos
Los vehículos que circulan con este tipo de catenarias suelen llevar dos
pantógrafos como sistema de alimentación. Se desea comprobar el efecto que
puede causar el introducir dos pantógrafos a la vez en la misma catenaria, y
como afecta a la fuerza de contacto de cada uno de los pantógrafos. Para ello
se utiliza una catenaria rígida con las características de `Metro de Madrid'
mencionadas anteriormente y dos pantógrafos separados 110m, el equivalente
a un vehículo con cinco coches, el primer pantógrafo colocado en la parte
delantera del primero y el segundo en la parte trasera del último.
Tabla 5.15: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las
simulaciones de catenaria rígida de `Metro de Madrid' con dos pantógrafosVelocidad P. Delantero P. Trasero
Min (N) 88.82 88.25
Max (N) 127.9 128.9
Media(N) 102.6 102.6
Desviación Típica(N) 7.089 9.139
La tabla 5.15 recoge los datos estadísticos más importantes de la fuerza
de contacto obtenida en ambos pantógrafos. Como se puede observar, la
introducción de un segundo pantógrafo al sistema no altera los resultados
obtenidos para un único pantógrafo. El primero sigue manteniendo el mismo
rango en los valores de la fuerza de contacto, y el segundo se encuentra dentro
de los mismos márgenes pero aumentando levemente la desviación típica de
estos. Como conclusión a la vista de los resultados se puede destacar que
este tipo de catenarias son muy convenientes para trabajar con vehículos que
incorporen dos pantógrafos simultáneos para la captación de energía, ya que
la incorporación de más pantógrafos al sistema no modica las características
de este.
Capítulo 6
SIMULACIÓN DE LA
INTERACCIÓN VEHÍCULO -
PLATAFORMA
110
6.1. Desplazamientos del rail 111
6.1. DESPLAZAMIENTOS DEL RAIL
Se desea vericar el modelo de plataforma mostrado en la sección 4.4.
Para ello se simular las características de la plataforma de la línea del AVE
de Madrid a Zaragoza y compararla con los asientos reales obtenidos. Estos
datos de desplazamientos se obtienen del Instituto Geotécnico Noruego (NGI)
que en Octubre de 2005 publicó un informe sobre las medidas y experimentos
llevados a cabo con un tren AVE en la vía del mismo. Este instituto daba
en su Informe, entre otros datos, el descenso de 2.4 mm medido en el carril
al paso de un eje cuya carga por rueda era de 123.91 kN moviéndose a 200
km/h.
Utilizando el modelo de plataforma mostrado en el apartado 4.4 con los
valores reales de la plataforma del AVE y el modelo de tren de tres grados de
libertad mostrado en el apartado 4.3 se obtienen los asientos mostrados en
la gura 6.1. Como se observa en esta, el desplazamiento máximo obtenido
ronda los valores reales aportados por el NGI. En la tabla 6.1 se recogen los
valores utilizados en la simulación realizada para obtener los asientos de la
plataforma del AVE.
6 7 8 9 10 11 12 13 14
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
x 10−3
Figura 6.1: Asientos de la plataforma del AVE a Zaragoza
Por otro lado se desea obtener los asientos de la plataforma pero utilizando
el modelo de tren de diez grados de libertad 4.3. Para ellos se realiza una
6.1. Desplazamientos del rail 112
Tabla 6.1: Valores numéricos utilizados en la plataforma del AVE a ZaragozaCarril Valor
E 2.1 · 1011 Pa
I 3.313 · 10−5 m4
A 2.8 · 10−3 m2
ρ 7800 kg/m3
Plataforma Valor
k 15.79 · 106 N/m
c 2.45 · 103 Ns/m
Longitud entre 0.6 m
traviesas
simulación con el tren desplazándose a una velocidad constante de 300km/h
sobre la plataforma. Los desplazamientos verticales que sufre el raíl sobre
la fundación elástica obtenidos se compararán con los resultados obtenidos
en Moving element method for train-track dynamics ' [KOCF03], donde se
resuelve este mismo problema.
La gura 6.2 muestra la superposición de ambas grácas, la obtenida en la
referencia [KOCF03] frente a la obtenida en la simulación realizada. Aunque
los resultados son muy semejantes, se ha de hacer mención especial a la
diferente profundidad de desplazamientos obtenida en la referencia[KOCF03]
entre el tren delantero y el trasero, ya que esta situación es normal de un
movimiento uniformemente acelerado.
Esto se puede demostrar de una forma sencilla. La gura 6.3 muestra las
fuerzas que actúan sobre un vehículo a velocidad constante despreciando el
efecto del aire. Con el vehículo no tiene ninguna aceleración angular, se debe
cumplir que:
∑MG = 0 (6.1)
De donde se obtiene:
Nd · d
2−Nt · d
2= 0 (6.2)
6.1. Desplazamientos del rail 113
Figura 6.2: Comparacion desplazamientos
Nd = Nt (6.3)
De esta forma se explica que la profundidad en el asiento obtenido en la
simulación sea la misma en el tren delantero que en el trasero.
Por otro lado, la gura 6.4 muestra las fuerzas que actúan sobre un vehículo
con aceleración constante. En este caso, igual que en el anterior, el vehículo
no tiene aceleración angular, por lo que se tiene que cumplir que:
∑MG = 0 (6.4)
Nd · d
2−Nt · d
2+ R · d
2= 0 (6.5)
Nt = Nd + R (6.6)
Nt = Nd · (1 + µ) (6.7)
Como indica la ecuación 6.7 la profundidad del asiento en el tren trasero
será mayor que en el delantero en el caso en que el vehículo se desplace con
6.1. Desplazamientos del rail 114
V=cte
2⁄
2⁄
2⁄
∙
Figura 6.3: Fuerzas que actúan sobre un vehículo a velocidad constante
Tabla 6.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren de 10 gdl.1 2 3
m (kg) 350 250 3500
c (Ns/m) 6.7 · 105 7.1 · 103 8.87 · 103
k (N/m) 8 · 109 1.26 · 106 1.41 · 105
mb (kg) 2 ·m2
Ib 350
mc (kg) 4 ·m3
Ic 5.7 · 105
aceleración constante.
Los valores utilizados en la plataforma (tabla6.3) y en el modelo de tren
de 10 grados de libertad (tabla 6.2) han sido tomados del modelo usado en
`Moving element method for train-track dynamics '[KOCF03].
6.1. Desplazamientos del rail 115
a
2⁄
2⁄
2⁄
∙
≤ ∙
∙
Figura 6.4: Fuerzas que actúan sobre un vehículo con aceleración constante
Tabla 6.3: Valores numéricos utilizados en la plataforma de la referencia
[KOCF03]Carril Valor
E 2.1 · 1011 Pa
I 3.06 · 10−5 m4
A 2.8 · 10−3 m2
ρ 7800 kg/m3
Plataforma Valor
k 1 · 56 N/m
c 2.45 · 103 Ns/m
Longitud entre 0.5m
traviesas
6.2. Longitud de la plataforma 116
6.2. LONGITUD DE LA PLATAFORMA
Debido a la gran cantidad de tiempo requerido para resolver modelos con
plataformas completos (tan largos como la longitud del numero de vanos que
haya en el problema), ya que se introduce una gran cantidad de grados de
libertad al problema , se pretende reducir la longitud de la plataforma para
disminuir los tiempos de cálculo.
El procedimiento utilizado es reducir la longitud de la plataforma a la lon-
gitud total del tren más una distancia por la que el tren se desplaza, como se
muestra en la gura 6.5. Una vez que la posición del tren llega sucientemente
cerca del extremo de la plataforma como para verse afectado por la inexis-
tencia de este, se actualiza la posición en `x' de la plataforma, desplazando
esta hasta una nueva posición más avanzada. Para que la actualización de la
posición de la plataforma no afecte a la respuesta dinámica del conjunto tren
- plataforma lo que se hace es mantener los desplazamientos de los nodos que
se ven afectados por el tren (Up), e inicializar en la posición de equilibrio los
nodos restantes (Un). La gura 6.6 muestra grácamente este procedimiento.
Matemáticamente este actualización es muy sencilla, ya que únicamente hay
que mantener el valor de desplazamientos en x,y,z de los nodos afectados por
la posición del tren e inicializar a la posición de equilibrio el resto de nodos
nuevos del problema.
Se pretende estudiar la inuencia de la longitud de la plataforma en la
respuesta dinámica del problema catenaria-pantógrafo-vehículo-plataforma,
para poderla minimizar al máximo.
Para ello se obtienen los resultados de 5 problemas de 5 vanos de distancia
de recorrido con diferentes longitudes de rail, que son 30, 40, 50, 60 y 70 m
respectivamente. Es utilizado el modelo de tren simple para realizar este
estudio.
Figura 6.5: Nueva longitud inicial de la plataforma
6.2. Longitud de la plataforma 117
Figura 6.6: Actualizacion de los desplazamientos de la plataforma
6.2.1. Inuencia en la fuerza de contacto Tren-Rail
Comparando los resultados, se obtiene que la fuerza de contacto es muy
parecida en los 5 casos, siendo tambien semejante a la obtenida con el modelo
del raíl completo.
El resultado de la fuerza de contacto en el modelo de 40m comparándola
con la obtenida en el modelo del raíl completo se contempla en la gura 6.7.
Se observa que a simple vista no se puede apreciar la diferencia. Para
hacerse una idea del error cometido, se escogen las grácas de los casos más
extremos,6.8 y 6.9, para mostrar la diferencia entre el valor de fuerza de
contacto obtenidos con los modelos de raíl corto y el valor obtenido con el
modelo de raíl completo.
A la vista de los resultados, se resuelve un problema más largo, de 10
vanos, con el modelo del raíl completo y el modelo de raíl de 40m, para com-
probar si sigue apareciendo las ondas de baja frecuencia en toda la gráca,
o solo al nal de esta. Los datos obtenidos están recogidos en la gura 6.10.
6.2. Longitud de la plataforma 118
Figura 6.7: FC tren raíl 40m
6.2.2. Comparacion de desplazamientos en el nodo de
contacto Tren-Rail
Se desea ver la inuencia que tiene el efecto de reducir la longitud de la
plataforma en el desplazamiento vertical de los nodos de contacto vehículo -
plataforma, para ello se muestran en las tablas 6.4 y 6.5 los parámetros más
relevantes que se extraen de la curva desplazamiento del nodo de contacto
6.11 obtenido resolviendo el modelo completo junto al desplazamiento que se
obtiene para cada uno de los diferentes casos. Se observa que la diferencia es
nula.
6.2.3. Valores Numéricos utilizados en Longitud de la
Plataforma
Los valores numéricos utilizados en el modelo de tren complejo dieren
de los utilizados para el modelo simplicado, según las siguientes relaciones:
6.2. Longitud de la plataforma 119
Figura 6.8: Error% Fc tren rail 30m
mb = 2 ·m2
Ib = 350kgm2
mc = 4 ·m3
Tabla 6.4: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto de con-
tacto vehículo - plataforma en el modelo de 30m de plataformaParametro Valor(m)
Minimo 5.53 · 10−3
Máximo 5.693 · 10−3
Media 5.61 · 10−3
Rango 1.626 · 10−4
6.2. Longitud de la plataforma 120
Figura 6.9: Error% Fc tren raíl 70m
Ic = 5.7 · 105kgm3
La tabla 6.6 muestra los valores numéricos utilizados en el modelo de tren
de 3 gdl.
Tabla 6.5: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto de con-
tacto vehículo - plataforma en el modelo de 70m de plataformaParametro Valor(m)
Minimo 5.53 · 10−3
Máximo 5.693 · 10−3
Media 5.61 · 10−3
Rango 1.626 · 10−4
6.2. Longitud de la plataforma 121
Figura 6.10: Error% Fc tren raíl 40m 10vanos
Tabla 6.6: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren de 3 gdl.1 2 3
m (kg) 350 250 3500
c (Ns/m) 6.7 · 105 7.1 · 103 8.87 · 103
k (N/m) 8 · 109 1.26 · 106 1.41 · 105
6.2. Longitud de la plataforma 122
Figura 6.11: Desplazamientos del nodo de contacto vehículo - plataforma en
el modelo de 70m
6.3. Irregularidades en la vía 123
6.3. IRREGULARIDADES EN LA VÍA
Los defectos de los carriles de las vías de tren han evolucionado con el
tiempo, pudíendose clasicar en tres grandes grupos (ver `La vía del Ferro-
carril' [AV90]).
Defectos de fabricación.
Se clasican en dos categorías:
1. Defectos superciales, se originan en la colada o en el laminado.
Este tipo de defectos se elimina mediante un control supercial
automático en la recepción de los carriles.
2. Defectos de origen interno, se originan durante el anado del acero
y en la elaboración de los lingotes. Si el ritmo de fabricación es
demasiado rápido o la temperatura del acero líquido excesivamente
baja se pueden formar inclusiones no metálicas por decantación
insuciente en las lingoteras, produciendo posteriormente suras
en las piezas. Estas suras son peligrosas ya que no se detectan
a simple vista en la cabeza del carril hasta que esta se encuentra
completamente surada, y por tanto la rotura puede producirse
de repente. Por ello es indispensable un control no destructivo.
Defectos debidos a la utilización de los carriles.
1. Producidos por la circulación: Los principales deterioros debidos
a la circulación son las roturas frágiles producidas por los planos
de rueda y los desgarramientos que originan los patinajes. Basta
que accidentalmente un solo vehículo se encuentre en malas condi-
ciones para producir roturas en serie en el carril de una vía. En
cuanto a los patinajes, suelen ser frecuentes en zonas de arranque
de trenes pesados.
2. Debidos al medio ambiente: Los carriles están sometidos durante
mucho tiempo a la agresión del medio ambiente y son por tanto ob-
jeto de corrosión. En vías subterráneas situadas en zonas húmedas
6.3. Irregularidades en la vía 124
se puede producir corrosión en el conjunto del perl, más acentu-
ado en el contacto del patín con las traviesas y en las uniones del
alma con la cabeza o con el patín, por la presencia de tensiones
residuales.
Ondulaciones de desgaste.
En la supercie de algunos carriles se producen defectos periódicos
de longitud de onda constante, meses o años después de su puesta
en servicio. Se conoce este fenómeno como desgaste ondulatorio y se
presenta de varias formas:
1. Desgaste corto: En la supercie de rodadura aparece una suce-
sión de manchas brillantes, con longitud de onda de 6cm aproxi-
madamente. Estas manchas corresponden a los puntos altos de la
ondulación, que pueden llegar a una amplitud de 0.2-0.3 mm.
2. Desgaste medio: En el que la longitud de onda es de 10 a 40 cm.
Depende de las características de los bogies y se produce como
consecuencia de resonancias entre los movimientos vibratorios de
los ejes sobre la vía y la frecuencia vertical propia de esta.
3. Desgaste largo: Las longitudes de onda en este caso son mayores
de 40 cm y suelen producirse en vías con fuertes cargas por eje.
Existen diferentes formas de modelar la irregularidades de un carril. A
continuación se exponen las más comúnmente utilizadas por diferentes au-
tores (L.Frýba [Frý96]).
6.3. Irregularidades en la vía 125
6.3.1. Irregularidades periódicas
La irregularidades periódicas se pueden describir mediante curvas que
corresponden a series de Furier.
r(x) =1
2· a0 +
∑an · cos(n · x) + bn · sen(n · x) (6.8)
En la ecuación 6.8, a0, an y bn son los parámetros que representan la fre-
cuencia y amplitud de las oscilaciones. Un modelo de carril con irregularidad
periódica se puede observar en la gura 6.12.
50 55 60 65 70 75 80 85−0.275
−0.27
−0.265
−0.26
−0.255
−0.25
−0.245
−0.24
(m)
(m)
Figura 6.12: Irregularidad periódica
En este caso no se van a realizar simulaciones debido a la falta de datos
reales.
6.3. Irregularidades en la vía 126
6.3.2. Irregularidades aisladas
Existen diversas formas de representar las irregularidades aisladas, algu-
nas de ellas se muestran en las ecuaciones 6.9 a 6.12.
r(x) = A · e−k|x| (6.9)
r(x) = A · e12(−kx)2 (6.10)
r(x) =Akx
(1 + 4k2x2)1/2(6.11)
r(x) =
(A2
(1 + (kx)8)
)1/2
(6.12)
Algunos valores típicos de irregularidades aisladas en función de la clase
de vía en Francia son recogidos por L.Frýba [Frý96]. Cuanto mayor es la
clase de la vía, mejor son las características de esta. Los diferentes valores
que toman las constantes se muestran en la tabla 6.7.
Tabla 6.7: Valores típicos de los parámetros de irregularidades aisladasClase de vía 1 2 3 4 5 6
A (mm) 11.4 8.4 6.4 4.8 3.6 2.8
k (m−1) 0.43 0.43 0.46 0.49 0.66 0.82
Un ejemplo del modelo de carril con una irregularidad aislada se puede
observar en la gura 6.13.
6.3.2.1. Caso de estudio
Para comprobar el efecto que tiene las irregularidades aisladas sobre la
dinámica del vehículo - plataforma se realizan simulaciones a cuatro veloci-
dades de 200, 250, 300, 325km/h recorriendo una distancia de 325 m, usando
un carril con irregularidades aisladas cada 18 mdel tipo eq. 6.9, que simu-
lan el defecto que se producen entre las uniones de 2 carriles consecutivos.
Los datos numéricos utilizados para modelar la irregularidad aislada están
recogidos en la tabla 6.7.
6.3. Irregularidades en la vía 127
46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
−0.275
−0.27
−0.265
−0.26
−0.255
−0.25
−0.245
−0.24
(m)
(m)
Figura 6.13: Irregularidad aislada
Las tablas 6.8 a 6.11 recogen los datos estadísticos más importantes de
la fuerza de contacto v-p. En primera lugar se debe destacar que la media
permanece constante en todos los casos debido a que la simulación se realiza
a una velocidad constante, y por tanto la única aceleración que existe es la
debida a la masa del vehículo, que permanece constante. Por otro lado, como
puede observarse en las tablas, para una velocidad en concreto los valores
máximos y mínimos se acercan a medida que aumenta la calidad de la vía,
además los datos tienen una menor dispersión por lo que se mejoran las
condiciones de circulación (Los números altos indican calidades mejores de
vías). Además, para un tipo de vía en concreto, la distancia entre el máximo
y mínimo aumenta, y la dispersión entre los datos es mayor, lo que indica
que las condiciones de circulación del vehículo empeoran.
Las guras 6.14 y 6.15 muestran respectivamente las formas que toman
las curvas fuerza de contacto v-p a una velocidad de 300km/h en un carril
clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, la gran amplitud de la
fuerza de contacto se repite exactamente cada 0.22s, que es el tiempo que
tarda el vehículo en recorrer los 18 que separan las irregularidades aisladas
producidas en la unión de 2 carriles consecutivos.
6.3. Irregularidades en la vía 128
Tabla 6.8: Valores estadísticos de la Fc v − p a una velocidad de 200 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.940 1.941
Máximo (105N) 3.501 2.839 2.629 2.384 2.007
Mínimo (105N) 0.812 1.305 1.461 1.633 1.868
Desv. Típ. (105) 0.266 0.152 0.116 0.072 0.034
Tabla 6.9: Valores estadísticos de la Fc v − p a una velocidad de 250 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.940 1.941 1.941 1.941 1.940
Máximo (105N) 3.625 2.881 2.645 2.389 2.001
Mínimo (105N) 0.812 1.211 1.370 1.541 1.864
Desv. Típ. (105) 0.266 0.196 0.149 0.090 3.829
Tabla 6.10: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 300 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.942 1.941 1.941 1.941 1.941
Máximo (105N) 3.668 2.902 2.670 2.391 2.019
Mínimo (105N) 0.564 1.163 1.347 1.557 1.851
Desv. Típ. (105) 0.411 0.232 0.176 0.104 0.039
Tabla 6.11: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 325 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.942 1.941 1.941 1.941 1.941
Máximo (105N) 3.786 2.996 2.743 2.434 2.030
Mínimo (105N) 0.553 1.119 1.299 1.505 1.846
Desv. Típ. (105) 0.435 0.245 0.185 0.110 0.040
6.3. Irregularidades en la vía 129
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
5
t(s)
Fc(N
)
C 1Sin irreg
Figura 6.14: Fc v-p v300km/h carril clase 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4x 10
5
t(s)
Uy(m
)
C 6Sin irreg
Figura 6.15: Fc v-p v300km/h carril clase 6
6.3. Irregularidades en la vía 130
6.3.3. Irregularidades aleatorias
Asumiendo que las irregularidades aleatorias del carril son un proceso
estocástico, se pueden caracterizar a partir del espectro de la función de
densidad de potencia (ecuación 6.13), que corresponde a la transformada de
Fourier de la función correlación de la irregularidad de dicho carril.
Grr(Ωj) =AΩ2
2(Ω2j + Ω2
1)
Ω4j(Ω
2j + Ω2
2)(6.13)
Donde Ωj es la frecuencia en el recorrido del vehículo. Los valores A,Ω1,Ω2
son parámetros que varían en función de la calidad de la vía, y los valores
que toman para un cierto tipo de vía extraída del libro de L.Frýba [Frý96]
se pueden observar en la tabla 6.12.
Tabla 6.12: Valores típicos de los parámetros del espectro de densidad de
potenciaClase de vía 1 2 3 4 5 6
A 15.53 8.85 4.92 2.75 1.57 0.98
Ω1 23.3 23.3 23.3 23.3 23.3 23.3
Ω2 13.1 13.1 13.1 13.1 13.1 13.1
Como podemos encontrar en `Evaluación de la vulnerabilidad sísmica de
puentes ' de A. Carnicero [Car99] se puede obtener la señal inicial a partir de
espectro de potencia de dicha señal mediante la ecuación 6.14
I(x) =∑√
2 ·Grr(ωj) ·∆ωj · cos(ωjx + φj) (6.14)
Siendo φj un desfase aleatorio que afecta a cada una de las señales que
componen la curva irregularidad. Además se debe destacar en este caso en
particular que como el espectro de densidad de potencia se encuentra en
función de Ωj, que es la frecuencia circular dividido entre la velocidad de
circulación del vehículo (v), debemos realizar el cambio ω = Ω·v quedándonosla ecuación 6.15
I(x) =∑√
2 ·Grr(Ωj) ·∆ωj
v· cos(Ωjvx + φj) (6.15)
6.3. Irregularidades en la vía 131
Un modelo de carril clase 4 con irregularidad aleatória se puede observar
en la gura 6.16.
45 50 55 60 65 70 75 80 85
−0.262
−0.261
−0.26
−0.259
−0.258
−0.257
−0.256
−0.255
−0.254
−0.253
−0.252
(m)
(m)
Figura 6.16: Irregularidad aleatoria
6.3.3.1. Caso de estudio
Para comprobar el efecto que tiene la irregularidad aleatoria en la dinámi-
ca entre el vehículo y la plataforma se simulan a unas velocidades de 200, 250,
300 y 325 km/h las diferentes clases de esta vía mostradas en la tabla 6.12,
recorriendo una distancia de 325m. Se utiliza un modelo de tren de 10gdl
cuyas características se muestran en la tabla 7.1 y un pantógrafo con las car-
acterísticas mostradas en la tabla7.2. Los resultados obtenidos se recogen en
forma de valores estadísticos en las tablas 6.13 a 6.16. Como puede extraerse
de las tablas examinando los datos de fuerza de contacto entre el vehículo y
la plataforma el valor medio permanece prácticamente invariable para todos
los casos, como es lógico ya que la masa del vehículo permanece constante
en todo momento. Por otro lado se debe destacar que para una misma clase
de vía, los valores máximos y mínimos se distancian entre sí a medida que
aumenta la velocidad de circulación, además la fuerza de contacto tiene una
6.3. Irregularidades en la vía 132
mayor variación ya que la desviación típica de los datos va aumentando, es-
to implica que las aceleraciones verticales que sufre la caja del vehículo son
mayores, disminuyendo el confort de los pasajeros. Por último mencionar que
para una misma velocidad los valores de fuerza de contacto tienen una menor
variación a medida que las irregularidades de la vía son inferiores, es decir,
mejora la calidad de la vía ( la calidad de la vía es mejor cuanto mayor es el
número su clase ).
Tabla 6.13: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 200 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.941 1.940 1.941 1.940 1.941
Máximo (105N) 2.149 2.064 2.052 2.022 2.007
Mínimo (105N) 1.794 1.830 1.840 1.850 1.868
Desv. Típ. (105) 0.066 0.046 0.042 0.037 0.034
Tabla 6.14: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 250 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.941 1.940 1.941 1.941 1.940
Máximo (105N) 2.233 2.125 2.079 2.031 2.001
Mínimo (105N) 1.657 1.749 1.787 1.817 1.864
Desv. Típ. (105) 0.097 0.062 0.053 0.042 3.829
Tabla 6.15: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 300 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.941 1.941
Máximo (105N) 2.216 2.168 2.097 2.053 2.019
Mínimo (105N) 1.663 1.757 1.782 1.823 1.851
Desv. Típ. (105) 0.106 0.068 0.057 0.046 0.039
Las guras 6.17 y 6.18 muestran respectivamente las formas que toman
las curvas fuerza de contacto v-p a una velocidad de 300km/h en un carril
clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, la respuesta de la curva
6.3. Irregularidades en la vía 133
Tabla 6.16: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 325 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.
Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.940 1.941
Máximo (105N) 2.352 2.231 2.153 2.096 2.030
Mínimo (105N) 1.464 1.700 1.745 1.785 1.846
Desv. Típ. (105) 0.175 0.103 0.083 0.058 0.040
es de carácter aleatoria, debido a la irregularidad aleatoria introducida en el
carril.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3x 10
5
t(s)
Fc(N
)
C 1Sin irreg
Figura 6.17: Fc v-p v300km/h carril clase 1
6.3. Irregularidades en la vía 134
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.8
1.85
1.9
1.95
2
2.05
2.1x 10
5
t(s)
Uy(m
)
C 6Sin irreg
Figura 6.18: Fc v-p v300km/h carril clase 6
6.4. Dinámica de puentes 135
6.4. DINÁMICA DE PUENTES
Dentro del estudio de la interacción dinámica entre el vehículo y la platafor-
ma es importante hacer referencia a la interacción vehículo puente como caso
en particular. Este problema ha sido abordado por gran cantidad de autores
debido a la importancia que tienen los puentes en el sistema ferroviario. De
ahí que encontremos desde estudios más simples, como el realizado en 'Linear
Dynamics of an elastic beam under moving loads' [VR00] o por M.Olsson en
'Finite element, modal co-ordinate analysis of structures subjected to mov-
ing loads'[Ols85] hasta más complejos, como los realizados por Ping Lou y
Qing-yuan Zeng [LyZ05] [Lou05].
En `Formulation of equations of motion of nite element form for vehicle-
track-bridge interaction system with two types of vehicle model '[LyZ05], Ping
Lou y Qing-yuan Zeng presentan la formulacion de una plataforma unida a
un puente y dos modelos de tren distintos, el primero es un modelo de vagón
de tren simple, un sistema masa muelle con un solo grado de libertad, y el
segundo modelo es más complejo, es un sistema masa muelle de 6 grados de
libertad. Muestran la formulación teórica de ambos modelos moviéndose a lo
largo del puente y aplican sus resultados con ejemplos numéricos (utilizando
el modelo del tren sencillo) en los que se muestra el desplazamiento de los
modelos del tren, aceleración vertical del tren, desplazamientos, aceleración y
velocidad del punto medio del puente, entre otros. En todos ellos se compara
la solución obtenida por un método de análisis modal (utilizando los primeros
tres modos) con un método por elementos nitos (utilizando 10 elementos).
En `Vertical dynamic responses of a simply supported bridge subjected to a
moving train with two-wheelset vehicles using modal analysis method ' [Lou05]
se utiliza un modelo de vagon de tren de 2 grados de libertad, y se realiza
un estudio del efecto que tiene un conjunto de vagones de tren al pasar so-
bre un puente, simulado como una viga simplemente apoyada. Se muestran
resultados del desplazamiento vertical del punto medio del puente, compara-
ndo el resultado obtenido por un método de análisis modal, frente a un fem.
También se muestran los diferentes resultados obtenidos en desplazamientos,
velocidades y aceleraciones en función del numero de modos utilizados para el
calculo, demostrando cuando es importante, o no, utilizar un numero elevado
6.4. Dinámica de puentes 136
de modos.
6.4.1. Caso de estudio
Utilizando el modelo de plataforma-puente mostrado en la sección Modelo
de puente4.4.1 , se realiza el estudio de un conjunto de 5 coches de tren
moviendose a velocidad constante v = 300km/h sobre un puente. El modelo
de tren utilizado es el de 10 gdl4.3, con los valores numéricos que se especican
en la tabla 6.2.
En un primer lugar se va ha estudiar los desplazamientos que sufre el
punto medio del puente y comprobar como afecta la masa del vehículo a la
dinámica del éste. Los valores numéricos utilizados en el modelo del puente
que se muestran a continuación son los mismos utilizados por Ping Lou en
'Vertical dynamic responses of a simply supported bridge subjected to a
moving rain with two-wheelset vehicles using modal analysis method'[Lou05].
Ep = 2.943 · 1010Pa
Ip = 8.72m4
m = 3.6 · 104kg/m
La tabla 6.17 muestra los resultados estadísticos más importantes que se
pueden extraer de la simulación, mientras que la respuesta dinámica del punto
medio del puente queda recogida en la gura 6.19. Esta gráca nos indica el
lugar que ocupa el punto medio del vano mientras los 5 vehículos se desplazan
por encima del puente, pudiendo observar que las mayores oscilaciones en el
puente se producen cuando están pasando los vehículos intermedios.
Tabla 6.17: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto medio
del puente (v=300km/h)Parametro Valor (m)
Minimo −1.489 · 10−2
Máximo −1.438 · 10−2
Media −1.469 · 10−2
Rango 5.11 · 10−4
6.4. Dinámica de puentes 137
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0149
−0.0148
−0.0147
−0.0146
−0.0145
−0.0144
−0.0143
t(s)
Uy(
m)
Uy puente
Figura 6.19: Desplazamiento vertical del punto medio del puente a lo largo
del tiempo.
Para comprobar el efecto del vehículo utilizado, se aumentan las masas
y las rigideces del tren a los valores mostrados a continuación, y se repite la
simulación para poder observar el efecto que tiene sobre el puente.
mc = 5.8 · 104kg
k1 = 2 · 1.41 · 105
k2 = 2 · 1.26 · 106
k3 = 5 · 8 · 109
La gráca 6.20 muestra los desplazamientos del punto medio del puente
obtenidos con la nueva conguración de masas y rigideces, como podemos
observar, aumentan en término medio los desplazamientos del punto medio
del puente, como parece lógico, ya que la masa del tren ha sido aumenta-
da. Para destacar los valores numéricos la tabla 6.18 recoge los datos más
relevantes.
Si observamos ambas grácas juntas, como muestra la gura 6.21, se
debe resaltar que el aumento de masa no solo induce una mayor echa en el
puente, como es lógico ya que la fuerza que sufre el puente es mayor debido
a este aumento de masa, sino que también amplia las oscilaciones que en
6.4. Dinámica de puentes 138
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0165
−0.016
−0.0155
−0.015
−0.0145
−0.014
−0.0135
t(s)
Uy(
m)
Uy puente
Figura 6.20: Desplazamiento vertical del punto medio del puente con el mod-
elo de masas modiciado a lo largo del tiempo (v=300km/h)
Tabla 6.18: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto medio
del puente (Masa aumentada,v=300km/h)Parametro Valor (m)
Minimo −1.601 · 10−2
Máximo −1.407 · 10−2
Media −1.526 · 10−2
Rango 19.37 · 10−4
él se producen. Se ha de hacer mención a que las oscilaciones del puente se
producen en el mismo instante de tiempo, independientemente de el modelo
utilizado en la simulación.
Por último, y para validar los valores obtenidos, se ha de tener en cuenta
que los resultados obtenidos por Ping Lou en `Vertical dynamic responses of a
simply supported bridge subjected to a moving train with two-wheelset vehicles
using modal analysis method ' [Lou05] se realizan con un modelo de tren
parecido, pero no igual al utilizado en la simulación. No obstante, se realiza
una simulación utilizando los mismos valores de simulación, mostrando los
resultados en la tabla 6.19 y comparándolos con los datos obtenidos por Ping
Lou[Lou05]. Hay que tener en cuenta que como el desplazamiento se cuenta
6.4. Dinámica de puentes 139
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0165
−0.016
−0.0155
−0.015
−0.0145
−0.014
−0.0135
t(s)
Uy(
m)
Modelo normalMod. masa aumentada
Figura 6.21: Comparación de desplazamientos verticales del punto medio del
puente
Tabla 6.19: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto medio
del puente por Ping Lou[Lou05]Parametro Valor PL (m) Valor FEM (m)
Minimo −14 · 10−4 −12.6 · 10−4
Máximo 0 0
Rango 14 · 10−4 12.59 · 10−4
a partir de la echa estática del puente, el valor máximo que ocupa el punto
medio del vano es cero.
Los desplazamientos verticales obtenidos en el punto medio del puente en
esta última simulación se muestran en la gura 6.22. Los valores numéricos
en este caso están recogidos en la tabla 6.20.
En este caso el rango de variación de los valores es del mismo orden de
magnitud que el obtenido por Ping Lou, y un posible motivo de que el valor
no sea exactamente el mismo es que el modelo de tren utilizado por Ping
Lou[Lou05], que consta de únicamente dos grados de libertad, formado por
el cuerpo del tren y dos elementos masa muelle que simulan la suspensión,
mientras que el modelo utilizado en las simulaciones consta de 10 g.d.l. y
cada tren tiene modelada cuatro ruedas, no dos.
6.4. Dinámica de puentes 140
0 1 2 3 4 5−0.0158
−0.0156
−0.0154
−0.0152
−0.015
−0.0148
−0.0146
−0.0144
−0.0142
t(s)
Uy(
m)
Uy puente
Figura 6.22: Desplazamiento vertical del punto medio del puente con el mod-
elo de masas modiciado a lo largo del tiempo (v=108km/h)
Tabla 6.20: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto medio
del puente (Masa aumentada,v=108km/h)Parametro Valor (m)
Minimo −1.572 · 10−2
Máximo −1.446 · 10−2
Media −1.528 · 10−2
Rango 12.59 · 10−4
Capítulo 7
SIMULACIÓN DE LA
INTERACCIÓN CATENARIA -
PANTÓGRAFO - VEHÍCULO -
PLATAFORMA
141
142
Las locomotoras eléctricas toman la tensión necesaria para su funcionamien-
to del contacto que se realiza en la parte superior entre el pantógrafo y la
catenaria. De ahí que la interacción dinámica entre estos dos cuerpos ten-
ga gran importancia, sobre todo para trenes de alta velocidad. Hay estudios
dirigidos a modelar y ver el comportamiento de la dinámica del pantógrafo
([SW91],[Vin83]), la dinámica de la catenaria ([Hob77]) y la dinámica del
conjunto catenaria-pantógrafo ([LN86],[MH86]). Recientemente se han desar-
rollado modelos más complejos del conjunto catenaria-pantógrafo ([LD96]),
sin embargo, estos estudios no tienen en cuenta la vibración que transmite
la locomotora al pantógrafo. De hecho, la parte inferior del pantógrafo se
encuentra jada en el techo de la locomotora, por lo que las vibraciones de la
locomotora se transmiten directamente al pantógrafo. Además la respuesta
dinámica del techo de la locomotora también se ve inuida por la excitación
que le produce la dinámica del conjunto catenaria-pantógrafo. Cuando el
raíl tiene irregularidades, como es usual en el caso de plataformas reales, o
el vehículo pasa por viaductos las vibraciones en la locomotora pueden ser
elevadas, en consecuencia, las vibraciones que se producen en la base del
pantógrafo también. Este tipo de vibraciones puede modicar la dinámica
del contacto entre catenaria y pantógrafo. En este documento se muestra el
modelado del conjunto (ejemplos en guras 7.1 y 7.2) catenaria - pantógrafo -
vehículo - plataforma (c-p-v-p) y se estudian las mejoras obtenidas al utilizar
un modelo más complejo frente a un modelo de catenaria - pantógrafo (c-p).
Se va ha estudiar la diferencia producida en la fuerza de contacto entre
catenaria-pantógrafo utilizado un modelo c-p exclusivamente (ver gura 7.3)
frente a un modelo completo de c-p-v-p (ver gura 7.4) en una serie de
situaciones especícas comentadas a continuación. En estas simulaciones se
utilizara un modelo de tren de 10gdl con las características de la tabla 7.1
junto a un modelo de pantógrafo de 3gdl con las características de la tabla
7.2.
143
CATENARIA
PANTÓGRAFO
VEHÍCULO
PLATAFORMA
Figura 7.1: Catenaria - Pantógrafo - Vehículo - Plataforma
Tabla 7.1: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren AVE 1031 2 3
m (kg) 350 0 0
c (Ns/m) 6.7 · 105 0 0.4
k (N/m) 8 · 109 0.3 · 106 4.4 · 106
mb (kg) 5.84 · 104
Ib 1 · 10−3
mc (kg) 6.19 · 104
Ic 1 · 10−3
144
CATENARIA
PANTÓGRAFO
VEHÍCULO
PLATAFORMA
Figura 7.2: Catenaria - Pantógrafo - Vehículo - Plataforma
Tabla 7.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de pantógrafo DSA-380E1 2 3
m (kg) 6.6 5.8 5.8
c (Ns/m) 70 70 70
k (N/m) 9.4 · 103 14.1 · 103 0.08
F (N/m) 0 0 157.3
145
60 70 80 90 100 110 120 1300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figura 7.3: Modelo catenaria-pantógrafo
70 80 90 100 110 120 130
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figura 7.4: Modelo catenaria-pantógrafo-vehículo-plataforma
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 146
7.1. INFLUENCIA DE LAS IRREGULARIDADES
DEL CARRIL EN LA RESPUESTA DEL
SISTEMA
En este apartado se estudia la inuencia de dos tipos de irregularidades,
aislada y aleatoria (ver sección 6.3), sobre la dinámica del conjunto c-p-v-p.
7.1.1. Irregularidades Aisladas
En este caso se estudia el efecto que tiene un tipo de irregularidad aislada
en el carril sobre el vehículo y sobre la interacción entre catenaria y pantó-
grafo. Para ello se realizan diversas simulaciones a 200, 250, 300 y 325 km/h
sobre un carril con una irregularidad aislada producida cada 18 m, que es la
distancia típica de un carril de tren. La irregularidad esta generada gracias
a la ecuación 6.9 y utilizando los valores numéricos mostrados en la tabla
6.7. El vehículo recorre una distancia de 325 m equivalente a 5 vanos de la
catenaria de AVE utilizada. Utilizando los parámetros del tren y pantógrafo
de las tablas 7.1 y 7.2 respectivamente, y una clase 6 de irregularidad, se
obtienen las soluciones mostradas en las guras 7.5 a 7.8 en referencia a la
fuerza de contacto c-p.
0 1 2 3 4 5 680
100
120
140
160
180
200
220
240
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6−15
−10
−5
0
5
10
15
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.5: F.c. c-p a velocidad de 200 km/h
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 147
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.6: F.c. c-p a velocidad de 250 km/h
Como se extrae de estas guras las curvas obtenidas no son iguales, lle-
gando a tener errores puntuales del orden del 10 %, pero los estadísticos
principales no varían sustancialmente a los obtenidos utilizando un mode-
lo c-p (ver tabla 5.3). La tabla 7.3 recoge el valor numérico que toman los
estadísticos principales en la simulación.
Tabla 7.3: Valores estadísticos de la Fc c− p
Velocidad (km/h) 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Media (N) 156.9 157 156.7 156.1
Máximo (N) 220.6 243.7 249.4 291.8
Mínimo (N) 97.58 91.07 64.31 57.82
Desv. Típ. (N) 23.77 25.72 32.1 41.63
Por otro lado, también es interesante ver los desplazamientos obtenidos
en el vehículo y en el pantógrafo. En primer lugar se debe mencionar que las
curvas mostradas corresponden a la simulación realizada a una velocidad de
300km/h.
La primera gura 7.9 muestra la comparación entre los desplazamientos ver-
ticales que se producen en la caja del vehículo en un carril con una irreg-
ularidad aislada clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, los
desplazamientos son del mismo orden de magnitud, siendo sensiblemente su-
periores los desplazamientos en el caso de irregularidades mayores (clase 1).
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 148
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.7: F.c. c-p a velocidad de 300 km/h
Por otro lado se recoge en la gura 7.10 el valor que toman los estadísticos
principales en la curva desplazamiento vertical del vehículo en función de la
velocidad y de la clase de irregularidad utilizada. Como se extrae de las grá-
cas, la tendencia es que los valores máximos y mínimos del desplazamiento
vertical de la caja del vehículo son mucho menores cuanto mejor es la clase
de vía, para cada una de las velocidades.
Sin embargo es importante destacar que estos desplazamientos en la caja
del vehículo no son los sucientemente grandes como para afectar en gran
medida a los desplazamientos verticales del pantógrafo. Esto es debido al
amortiguamiento del pantógrafo en su unión con la caja del vehículo. Los
desplazamientos verticales del nodo de contacto en un carril con una irregu-
laridad aislada clase 1 y 6 pueden observarse superpuestos en la gura 7.11.
Por último destacar que las medias frecuencias que producen las irreg-
ularidades en el carril son las que mas afectan a la respuesta del conjunto
c-p ya que las altas frecuencias son ltradas por los amortiguamientos del
pantógrafo, como puede observarse en la gura 7.12, donde se representan
simultáneamente los desplazamientos verticales de los tres nodos del pantó-
grafo.
Se puede concluir en este apartado que aunque las irregularidades aisladas
en el carril afectan de una forma más que notable en los desplazamientos pro-
ducidos en la caja de pasajeros, la amortiguación del pantógrafo es suciente
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 149
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450
100
150
200
250
300
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15
−10
−5
0
5
10
15
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.8: F.c. c-p a velocidad de 325 km/h
para que su inuencia no se haga notar en más mucho más de un 10 % en la
dinámica de contacto catenaria - pantógrafo. Sin embargo, añadiendo estos
resultados a los obtenidos en el capítulo 6, estas irregularidades producen
grandes fuerzas de contacto v-p, que pueden deteriorar el material rodante,
y desplazamientos en la caja del vehículo que producen vibraciones durante
el trayecto, disminuyendo el confort de los pasajeros.
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 150
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
Figura 7.9: Despalzamiento vertical en la caja del vehículo
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 151
200 220 240 260 280 300 320 3400
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(a) Máximo
200 220 240 260 280 300 320 340−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(b) Mínimo
200 220 240 260 280 300 320 3401
2
3
4
5
6
7
8
9
10x 10
−4
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(c) Desviación Típica
Figura 7.10: Estadísticos principales de las curvas desplazamiento vertical del
vehículo
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 152
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.11: Despalzamiento vertical del pantógrafo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
t(s)
Uy(m
)
N 1N 2N 3
Figura 7.12: Despalzamiento vertical de los nodos del pantógrafo a v300 km/h
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 153
7.1.2. Irregularidades Aleatorias
En este caso se estudia el efecto que tiene un tipo de irregularidad aleato-
ria en el carril sobre el vehículo y sobre la interacción entre catenaria y
pantógrafo. Para ello se realizan varias simulaciones a 200, 250, 300 y 325
km/h sobre un carril con una irregularidad aleatoria obtenida con los valores
de la tabla 6.12 sobre una distancia de 325 m equivalente a 5 vanos de la cate-
naria de AVE utilizada. Utilizando los parámetros del tren y pantógrafo de
las tablas 7.1 y 7.2 respectivamente además de una clase 6 de irregularidad,
se obtienen las soluciones mostradas en las guras 7.13 a 7.16 en referencia
a la fuerza de contacto c-p.
0 1 2 3 4 5 680
100
120
140
160
180
200
220
240
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6−15
−10
−5
0
5
10
15
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.13: F.c. c-p a velocidad de 200 km/h
Como se extrae de las guras, la irregularidad en el carril afecta en mayor
medida cuanto mayor es la velocidad de desplazamiento del vehículo. Como se
puede ver en la tabla 7.4, aunque las diferencias puntuales pueden toman val-
ores superiores al 10 %, los estadísticos principales no varían sustancialemte
a los obtenidos utilizando un modelo c-p (ver tabla 5.3).
Además es interesante también ver los desplazamientos obtenidos en el
vehículo y en el pantógrafo. Se debe resaltar que las curvas mostradas cor-
responden a la simulación obtenida a una velocidad de 300km/h. En primer
lugar la gura 7.17 muestra los desplazamientos verticales que se producen en
la caja del vehículo para un carril clase 1 y 6 respectivamente, como puede
observarse, los desplazamientos son del mismo orden de magnitud, siendo
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 154
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.14: F.c. c-p a velocidad de 250 km/h
Tabla 7.4: Valores estadísticos de la Fc c− p
Velocidad (km/h) 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h
Media (N) 156.9 157 156.7 156.1
Máximo (N) 220.2 243.8 249 292
Mínimo (N) 97.65 90.95 64.51 57.4
Desv. Típ. (N) 23.71 25.71 32.05 41.6
superiores los desplazamientos en el caso de peor calidad de la vía (clase 1).
Además, la gura 7.18 recoge los estadísticos principales de todas las curvas
desplazamiento vertical obtenidas en la caja de pasajeros. Se debe destacar
que, a diferencia del caso de irregularidades aisladas, las curvas de máximos
y mínimos no sigue una tendencia clara. Esto es debido principalmente a que
en este caso la irregularidad en la vía es de carácter aleatorio, sin embargo, se
debe prestar una atención especial a la gráca de la desviación típica de los
datos, que claramente indica que la variación de estos es notablemente inferi-
or en los casos de mejor calidad de carril, lo que nos indica que la variación de
desplazamientos verticales obtenida en la caja del vehículo es mucho menor
en los casos de mejor calidad del carril.
Sin embargo, igual que ocurría en el caso de irregularidad aislada, la
clase de vía no afecta en gran medida a los desplazamientos verticales del
pantógrafo, como puede observarse en la gura 7.19, donde se muestran su-
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 155
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
t(s)
%(b) Diferencia
Figura 7.15: F.c. c-p a velocidad de 300 km/h
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450
100
150
200
250
300
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15
−10
−5
0
5
10
15
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.16: F.c. c-p a velocidad de 325 km/h
perpuestos los desplazamientos verticales del nodo de contacto a la misma
velocidad en un carril clase 1 y 6.
Por útimo destacar que las medias frecuencias de las irregularidades del
carril son las que afectan en mayor medida a la respuesta del conjunto c-p
ya que las altas frecuencias son ltradas por los amortiguamientos del pantó-
grafo, como se puede ver en la gura 7.20, donde se representan simultánea-
mente los desplazamientos verticales de los tres nodos del pantógrafo utilizado
en la simulación a una velocidad de 300 km/h
Se puede concluir, igual que en el apartado anterior, que aunque la calidad
del carril afecta de una forma notable en los desplazamientos producidos
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 156
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
Figura 7.17: Despalzamiento vertical en la caja del vehículo
en la caja de pasajeros, la amortiguación del pantógrafo es suciente para
que la inuencia de pequeñas irregularidades aleatorias no se haga notar en
mucho más de un 10 % en la dinámica de contacto catenaria - pantógrafo.
Sin embargo, como se vio en el capítulo 6, la calidad de la vía afecta a la
fuerza de contacto entre vehículo y plataforma, por lo que bajas calidades de
carril pueden producir un deterioro prematuro del material rodante además
de, en el caso de transporte de pasajeros, disminuir el confort del viaje.
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 157
200 220 240 260 280 300 320 3400
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(a) Máximo
200 220 240 260 280 300 320 340−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(b) Mínimo
200 220 240 260 280 300 320 3400
0.5
1
1.5x 10
−3
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(c) Desviación Típica
Figura 7.18: Estadísticos principales de las curvas desplazamiento vertical del
vehículo
7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 158
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
t(s)
Uy(m
)
C 1C 6
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4
−2
0
2
4
6
8
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.19: Despalzamiento vertical del pantógrafo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
t(s)
Uy(m
)
N 1N 2N 3
Figura 7.20: Despalzamiento vertical de los nodos del pantógrafo a v300 km/h
7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema 159
7.2. INFLUENCIA DE LA PLATAFORMA EN
LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SIS-
TEMA
En este apartado se estudia el efecto que puede llegar a causar los cambios
de rigidez de la plataforma sobre el conjunto catenaria-pantógrafo, para ello
se estudiará el comportamiento del conjunto c-p-v-p cuando el vehículo pasa
de una plataforma con una rigidez determinada a otra diferente. Se debe
mencionar que la variación en la rigidez de la plataforma no debería cambiar
sustancialmente la dinámica del contacto c-p por diversos motivos:
La suspensión del tren es la encargada de amortiguar los cambios br-
uscos de rigidez de la vía, para que no afecte al conjunto c-p.
En la plataforma, los apoyos y elementos inferiores solo representan
entre un 30 %y un 40 % de la rigidez vertical total, mientras que el
resto de rigidez es aportada por el carril de la vía, que no cambia de
rigidez.
En la tabla 7.5 muestra los valores medios de las plataformas de tren, los
cuales serán utilizados en las simulaciones. Estos datos han sido extraídos
del libro `Dinámica vertical de la vía' [May08].
Tabla 7.5: Valores medios de rigideces en plataformas de trenTipo de plataforma N/mm
Arcillosa 16.5 · 106
Grava 40.5 · 106
Roca 35.5 · 106
Se realiza un estudio para cuatro velocidades constantes del vehículo a
200, 250, 300 y 325km/h respectivamente, utilizando para los cambios de
rigidez los valores de plataforma de la tabla 7.5 2 a 2. Por eso en las grácas
7.21 a 7.24 se organizan los resultados en función del cambio de platafor-
ma que se realiza en cada caso. Como era de esperar los resultados no varían
7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema 160
sustancialmente de ninguno de los casos, debido a los motivos expuestos ante-
riormente, por lo que con esta simulación se conrma que el valor del cambio
de rigidez en la plataforma no es un factor determinante en la respuesta
dinámica de la catenaria con el pantógrafo.
200 220 240 260 280 300 320 340156.2
156.4
156.6
156.8
157
157.2
157.4
157.6
157.8
Vel
med
A−GA−RG−AG−RR−AR−G
Figura 7.21: Comparación del valor medio.
200 220 240 260 280 300 320 340215
220
225
230
235
240
245
250
255
260
Vel
max
A−GA−RG−AG−RR−AR−G
Figura 7.22: Comparación del valor máximo.
7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema 161
200 220 240 260 280 300 320 34065
70
75
80
85
90
95
100
Vel
min
A−GA−RG−AG−RR−AR−G
Figura 7.23: Comparación del valor mínimo.
200 220 240 260 280 300 320 34024
26
28
30
32
34
36
38
40
Vel
std
A−GA−RG−AG−RR−AR−G
Figura 7.24: Comparación de la desviación típica.
7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema 162
7.3. INFLUENCIA DE PUENTES CORTOS
EN LA RESPUESTA DINÁMICA DEL
SISTEMA
En este apartado se estudia las distorsiones producidas en la respuesta
dinámica del sistema al pasar el vehículo por puentes de los denominados
'cortos.
Para ello se utilizará un modelo c-p-v-p en el que se incluirá un 'puente
corto en la plataforma y se contrastará la respuesta con la obtenida en un
modelo c-p en el que no se puede estudiar este efecto.
Con el término `puentes cortos' se hace referencia a aquellos puentes de
distancia inferior o igual a 30 my solo se modican las características de masa,
viscosidad y rigidez. Estos modelos de puentes mantienen sus caraterísticas
geométricas.
Se simula el paso por cuatro puentes distintos a cuatro velocidades de
circulación, 200, 250,300 y 325 km/h respectivamente. La tabla 7.6 muestra
las características de los 'puentes cortos utilizados en las simulaciones, datos
extraídos de `Dynamic analysis of structures under high speed train loads'
[GA03] . Las tablas 7.1 y 7.2 muestran las características del tren y pantógrafo
utilizados respectivamente.
Tabla 7.6: Características de los puentes cortosLongitud (m) E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)
5 2.943 · 1010 0.8974 0.0154 7800
7.5 2.943 · 1010 1.1538 0.0565 7800
10 2.943 · 1010 1.2821 0.0881 7800
20 2.943 · 1010 2.5641 1.7214 7800
En primer lugar se desea ver el efecto que tiene el paso del vehículo por
los denominados 'puentes cortos en la respuesta de la dinámica catenaria
pantógrafo, ya que, como se ha comentado en otras ocasiones, es necesario que
el contacto sea permanente en todo momento. En las tablas 7.7 a 7.10 quedan
recogidos los datos de la diferencia en la respuesta entre usar un modelo c-p-
v-p frente a uno c-p. En estas tablas se indica, en porcentaje, cuánto superior
7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema 163
y menor son los valores máximo y mínimos obtenidos con el modelo c-p-v-p
al pasar por el puente con respecto al c-p. Además se muestra la desviación
típica de la diferencia de ambas soluciones y el rango total de variación en
% de la diferencia. Se observa que la diferencia llega hasta casi un 10 % en el
caso en el que vehículo se desplaza una velocidad de 200km/h. Esta diferencia
es mas relevante a medida que el puente simulado tiene mayor longitud, y
es más importante a bajas velocidades de circulación, como se extrae de
las tablas. Esto es debido principalmente a que a menores velocidades de
circulación el vehículo se ve más afectado por la vibración del puente, ya que
está más tiempo sobre él, mientras que a mayores circulaciones o menores
longitudes del puente, el vehículo se ve menos afectado por las vibraciones
que este produce.
Tabla 7.7: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente corto
v=200km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20
Máximo 0.349 % 0.955 % 2.799 % 3.98 %
Mínimo −0.312 % −1.1379 % −2.987 % −5.467 %
Des. Típica 0.105 0.227 0.563 1.128
Rango 0.662 % 2.0926 % 5.787 % 9.447 %
Tabla 7.8: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente corto
v=250km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20
Máximo 0.98437 % 1.304 % 2.547 % 3.298 %
Mínimo −0.596 % −0.754 % −1.923 % −3.439 %
Des. Típica 0.361 0.447 0.919 1.473
Rango 1.580 % 2.058 % 4.4713 % 6.7377 %
7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema 164
Tabla 7.9: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente corto
v=300km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20
Máximo 1.105 % 1.227 % 1.9679 % 3.2181 %
Mínimo −1.819 % −1.146 % −2.044 % −3.143 %
Des. Típica 0.405 0.324 0.531 0.982
Rango 2.924 % 2.373 % 4.0127 % 6.362 %
Tabla 7.10: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente corto
v=325km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20
Máximo 0.738 % 0.7453 % 1.262 % 3.2837 %
Mínimo −0.714 % −1.006 % −0.644 % −2.861 %
Des. Típica 0.162 0.1588 0.379 1.006
Rango 1.4529 % 1.751 % 1.905 % 6.144 %
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 165
7.4. INFLUENCIA DE PUENTES LARGOS
EN LA RESPUESTA DINÁMICA DEL
SISTEMA
En este apartado se estudia el efecto que produce la circulación pon
puentes largos en la respuesta dinámica del sistema. Como se ha comentado
en el apartado de puentes 4.4.1, no se puede hacer un estudio paramétrico
para diferentes tipos de puentes puesto que cada uno tiene unas característi-
cas geométricas y propiedades, por lo que se utilizaran dos modelos diferentes
de puentes para obtener los resultados
7.4.1. Puente de arco
En este apartado se estudia el efecto del viaducto sobre el río Ulla (ver
gura 7.25), en la línea de Alta velocidad Ourense-Santiago en la respuesta
dinámica del sistema c-p-v-p.
El modelo de puente con arco utilizado se muestra en la gura 7.26. Este
puente tiene una longitud de 630 m y una altura máxima de 117 m, por lo
que la simulación c-p-v-p está compuesta por 10 vanos de catenaria de AVE
que tiene una longitud de 65 m por vano. Sus características constructivas
se muestran en la tabla 7.11, y las frecuencias de vibración de los primeros
cuatro modos en la tabla 7.12. Además, se muestra en la gura 7.27 los
primeros cuatro modos de vibración de este puente. Se debe mencionar que
los desplazamientos de los modos han sido aumentados para que puedan ser
observados en las guras.
Tabla 7.11: Características del puente de arcoElemento E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)
Cubierta 2.943 · 1010 11.25 25.91 2300
Pilares Exteriores 2.943 · 1010 2 2.5 2300
Pilares Interiores 2.943 · 1010 1 1.5 2300
Arco 2.943 · 1010 7.76 14.87 2300
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 166
Figura 7.25: Viaducto sobre el río Ulla en la línea de Alta Velocidad Ourense
- Santiago
De igual manera que en el caso de puente corto, se utilizan los mismos
modelos de tren, pantógrafo y catenaria para realizar las simulaciones a
lo largo del puente a cinco velocidades de circulación diferentes. La tabla
7.14 muestra los valores estadísticos más importantes que toma la curva de
la fuerza de contacto c-p, mientras que la tabla 7.13 recoge la diferencias
obtenidas en la fuerza de contacto c-p en la simulación con y sin puente.
Como se puede observar, el aumento de la velocidad de circulación hace
que la diferencia en la fuerza de contacto entre c-p utilizando un modelo
completo de c-p-v-p con respecto a utilizar un modelo exclusivo de c-p sea
mayor.
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 167
0 100 200 300 400 500 600
−100
−80
−60
−40
−20
0
Figura 7.26: Modelo Puente de Arco
Tabla 7.12: Frecuencias de vibraciónModo Frecuencia (Hz)
1o 0.9501
2o 1.547
3o 1.595
4o 2.675
Tabla 7.13: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente de arcoVelocidad (km/h) 200 250 300 325
Máximo 8.464 % 118.1 % 8.493 % 14.52 %
Mínimo −6.869 % −56.37 % −6.595 % −7.275 %
Des. Típica 1.012 8.098 1.836 1.908
Rango 15.33 % 174.5 % 15.09 % 21.79 %
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 168
−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
(a) Primer Modo
−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
(b) Segundo Modo
0 100 200 300 400 500 600 700−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
(c) Tercer Modo
−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
(d) Cuarto Modo
Figura 7.27: Modos de vibración de puente de arco
Tabla 7.14: Valores estadísticos de la fuerza c-p en puente de arcoVelocidad (km/h) 200 250 300 325
Máximo (N) 212.6 257.6 246.9 268.9
Mínimo (N) 98.41 71.31 69.45 48.66
Des. Típica (N) 22.97 31.36 31.61 39.7
Media (N) 157.3 156.5 157.1 156.7
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 169
0 2 4 6 8 10 1280
100
120
140
160
180
200
220
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 2 4 6 8 10 12−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.28: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 200 km/h
0 1 2 3 4 5 6 7 860
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6 7 8−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.29: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 250 km/h
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 170
0 1 2 3 4 5 6 7 860
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6 7 8−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.30: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 300 km/h
0 1 2 3 4 5 6 7 80
50
100
150
200
250
300
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6 7 8−10
−5
0
5
10
15
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.31: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 325 km/h
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 171
7.4.2. Viaducto
En este apartado se estudia un viaducto continuo de 17 vanos sobre el
río Cabra. Este viaducto está compuesto por dos vanos extremos con una
longitud de 20 m y el resto de vanos interiores de 25 m cada uno, como se
puede observar en la gura 7.32. Las características constructivas del mismo
se muestran en la tabla 7.15
Figura 7.32: Viaducto sobre el río Cabra (Fotografía cedida por D. Ignacio
Granell)
Tabla 7.15: Características del viaductoElemento E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)
Cubierta 3.65 · 109 10.22 3.352 3840
Pilares 3.35 · 1010 4.90 1.92 3500
El modelo utilizado para realizar las 4 simulaciones a velocidades de 200,
250, 300 y 325 km/h se puede observar en la gura 7.33. Las primeras cuatro
frecuencias de vibración del viaducto sobre el río Cabra se recogen en la tabla
7.16, mostrándose los respectivos modos de vibración en la gura 7.34, donde
los desplazamientos han sido aumentados para poderse ver con claridad.
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 172
50 100 150 200 250 300 350 400
−10
−8
−6
−4
−2
0
Figura 7.33: Modelo Viaducto Río Cabra
Tabla 7.16: Frecuencias de vibraciónModo Frecuencia (Hz)
1o 1.230
2o 1.264
3o 1.319
4o 1.393
En este caso se mantienen los modelos de tren, pantógrafo y catenaria
utilizados en las simulaciones. La tabla 7.18 muestra los valores estadísticos
más importantes que toma la curva de la fuerza de contacto c-p, mientras
que la tabla 7.17 recoge la diferencias obtenidas en la fuerza de contacto c-p
en la simulación con y sin puente.
Como se puede observar junto a las grácas mostradas en las guras 7.35
a 7.38, en este caso no es tan crítico el aumento de velocidad de circulación
del vehículo. Sin embargo, si que podemos encontrar algunas velocidades de
circulación para las cuales los resultados obtenidos con un modelo de c-p-v-p
dieren en gran medida de los obtenidos con un modelo c-p. Como ocurre en
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 173
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
(a) Primer Modo
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
(b) Segundo Modo
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
(c) Tercer Modo
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
(d) Cuarto Modo
Figura 7.34: Modos de vibración del viaducto sobre el río Cabra
el caso de 250 km/h.
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 174
Tabla 7.17: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en viaducto sobre el río
CabraVelocidad (km/h) 200 250 300 325
Máximo 2.709 % 24.63 % 1.894 % 3.652 %
Mínimo −3.342 % −36.12 % −2.967 % −4.903 %
Des. Típica 0.7396 1.688 0.5418 0.658
Rango 6.051 % 60.75 % 4.861 % 8.555 %
Tabla 7.18: Valores estadísticos de la fuerza c-p en viaducto sobre el río CabraVelocidad (km/h) 200 250 300 325
Máximo (N) 212.9 248.9 246.8 273.8
Mínimo (N) 98.34 91.0 68.93 49.32
Des. Típica (N) 22.27 24.03 32.52 37.97
Media (N) 156.9 157.9 156.6 156.2
0 1 2 3 4 5 6 7 880
100
120
140
160
180
200
220
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6 7 8−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.35: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 200 km/h
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 175
0 1 2 3 4 5 680
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 1 2 3 4 5 6−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.36: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 250 km/h
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 560
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.37: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 300 km/h
7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 176
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
50
100
150
200
250
300
t(s)
Fc(N
)
c−p−v−pc−p
(a) Comparación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t(s)
%
(b) Diferencia
Figura 7.38: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 325 km/h
Capítulo 8
CONCLUSIONES Y LÍNEAS
FUTURAS DE
INVESTIGACIÓN
177
8.1. Conclusiones 178
8.1. Conclusiones
La utilización de un modelo de fuerzas móviles en lugar de uno de masas
móviles es admisible solo a partir de cierta velocidad de circulación,
para la cual la respuestas de ambos modelos es más semejante.
La distancia entre los soportes, velocidad de circulación y momento de
inercia del perl en las carenarías rígidas son factores importantes que
afectan a la respuesta dinámica del sistema.
Las catenarias rígidas son más convenientes para utilizar vehículos con
dos pantógrafos en el sistema de alimentación que las catenarias exi-
bles ya que no se modican las características dinámicas del conjunto
al incluir un pantógrafo más.
Las irregularidades del carril producen cambios en la fuerza de contacto
v-p y en los desplazamientos verticales del vehículo. Se debe mencionar
que aunque las irregularidades no cambian de forma notable los estadís-
ticos principales de la fuerza de contacto c-p, puntualmente se pueden
encontrar errores en torno al 10 %.
Un cambio de rigidez vertical en la la plataforma no varía sustancial-
mente la respuesta dinámica del sistema debido a que el entre el 30 %
y 40 % de la carga la soporta el rail, el cual mantiene su rigidez.
El paso de vehículos por puentes cortos afecta en mayor medida a la
respuesta del sistema cuanto más baja sea la velocidad de circulación
y mayor la longitud del puente.
El paso de vehículos por puentes largos afecta notablemente en la
respuesta dinámica del sistema. Dependiendo este efecto en mayor o
menor medida en función del puente y la velocidad de circulación.
8.2. Principales aportaciones
Las principales aportaciones de este proyecto son:
8.3. Futuras líneas de investigación 179
Desarrollo de un entorno para la simulación de problemas de catenaria
- pantógrafo - vehículo - plataforma.
Desarrollo de un entorno para la simulación de problemas de carga
móviles en vigas.
Desarrollo de un modelo de catenaria rígida.
Desarrollo de varios modelos de vehículo.
Desarrollo de varios modelos de plataforma.
Validación del modelo de carga móviles en vigas.
Estudio paramétrico del modelo de catenaria rígida.
Estudio del efecto de las irregularidades del carril en la dinámica C-P-
V-P.
Estudio de efecto de puentes y viaductos en la dinámica C-P-V-P.
8.3. Futuras líneas de investigación
Efecto del viento en la dinámica del conjunto catenaria - pantógrafo.
Desarrollar nuevos modelos de vehículos capaces de captar más el-
mente los desplazamientos producidos en régimenes de velocidades vari-
able.
Desarrollo e implementación de modelos 3D de catenarias, pantógrafos,
vehículos y plataformas.
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