A. KiseliovM. KrasnovO. Makarenko

PROBLEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

Tercera edición

traducido del ruso porEMILlANO APARICIO BERNARDOcandidato a doctoren ciencias fisico-matemáticas

~

EDITORIAL MIRMOSCÚ -

HA HCnAHCI(OM ~3bI1(B

Primera edición - 1968Segunda edici6n - 1973Tercera edición - 1979

Impreso en la URSS

@ Traducción al español. Editorial Mir. 1979

lNDICE

§ 1.Conceptosfundamentales. . . . . . . . . . . . . 9§ 2.Métodode isoclinas. . . . . . . . . . . . . . . 17§ 3. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 25§ 4. Método de aproximacionessucesivas. . . . . . . . . 28§ 5. Ecuacionescon variables separables y ecuacionesreducibles

a ellas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 6. -E¡:uacioneshomogéneasy reduciblesa ellas. . . . . . 41§ 7. Ecuacioneslineales de primerorden. Ecuacionesde Bernoulli 48§ 8. Ecuacionesdiferenciales exactas. Factor integrante. . . 54§ 9. Ecuaciones diferencialesde primer orden no resueltas con

respectoa la derivada. . . . . . . . . . . . . . 601, Ecuación de primer orden y de grado n con respecto a y' 602. Ecuaciones de la forma f(y,y')= O Y f(x.y')= O. 613. Ecuaciones de Lagrange y Clairau!. 65

§ 10. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familiasdecurvas.Problemasdetrayectorias. . . . . . . . . 68

§ 11.Solucionessingulares. . . . . . . . . . . . . . . 74§ 12.Diversosproblemas. . . . . . . . . . . '. . . . 82§ 13. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Reducción del

orden de la ecuación. . . . . . . . . . '. . . . . . 84§ 14. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . 97

1. fndependencia1ineal de las funciones. Determinante deWronsky (wronskiano) .'97

2. Ecuaciones1inealeshomogéneasde coeficientesconstantes 1073. Ecuacioneslineales no homogéneas (o completas) de coe-

ficientesconstantes. . . . . . . . . . . . . . 1124. Ecuacionesde Euler . . . . . . . . . . . . . . 1245. Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables 1276. Composición de la ecuación diferencial dado el sistema

fundamentalde soluciones. . . . . . . . . . . . 134§ 15. Método de ¡soclinas para las ecuaciones diferenciales de se-

gundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . 137§ 16. Problemas de contorno. . . . , . . . . . . . . . 140§ 17. Integración de las ecuacionesdiferencialesmediante series 145

5o;;:

§ 18. Sistemas de ecuaciones diferenciales de coeficientes constan-tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

1. Reducción de un sistema a una ecuación de n-ésimo orden 1692. Método de Euler de integración de un sistema de ecuacio.

nes diferenciales lineales homogéneas de coeficientes cons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales me-diante combinaciones integr-ables . . . . . . . . . 175

4. Método de variación de las constantes. . . . . . . 177§ 19.Teoriade la estabilidad. . . . . . . . . . . . . . 184

1. Estabilidad según Liapunov . . . . . . . . . - . 1842. Tipos elementales de puntos de reposo. . . . . . . 1873. Estabilidad según la primera aproximación. . . . . 1924. Estabilidad de las solucionesde las ecuacionesdiferencia-

les con respectoa la variación dé los segundos miembrosde las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 194

5. Criteriode Routh-Hurwitz. . . ; . . . . . . . . 1976. Criterio geomét'rico de estabilidad (criterio de Mijáilov) 200

§ 20. Ecuaciones con un parámetro pequeño en la derivada. . 203§ 21. Método operacional y su aplicación para la resolución de

ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . 2081. La transformaciónde Laplacey sus propiedadesfunda.

mentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082. Ecuacioneslineales de coeficientesconstantes. . . . . 2183. Sistemas de ecuacionesdiferencialeslineales. . . . . 221

Respuestas,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

'~

INTRODUCCIONA LA EDICION ESPAÑOLA

El presente libro de problemas es la traducción de lasegunda edición de nuestro libro "Problemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias". Está destinado fundamental-mente para los estudiantes de los centros superiores deenseñanza técnica y abarca casi todas las secciones delcurso de ecuaciones diferenciales para los centros superio-res indicados.

El libro contiene 1000 problemas que se deben resolverindividualmente.

Al comienzo de cada apartado se da una exposiciónbreve de las nociones fundamentales y se resuelven unosejemplos típicos.

Se presta atención fundamental a aquellas cuestionesque no están aclarados con suficiente detalle en los cursosexistentes y que, como muestra la experiencia, son difícilespara los estudiantes. Por ejemplo, se expone muy detalla-damente el método de las isoclinas para las ecuaciones deprimero y segundo órdenes; la aplicación de las series ala resolución de las ecuaciones diferenciales, las solucionessingulares, algunos problemas de estabilidad, etc.

A los autores nos causa gran satisfacción el hecho deque nuestro libro se traduzca al castellano y quedaríamosmuy contentos si encontrase una buena acogida.

.... A. KiseliovM. Krasnov

G. Makarenko

§ l. CONCEPTOSFUNDAMENTALES

Se llama ecuación diferencial una ecuación ~ue liga lavariable independiente x, la función incógnita y = y(x)y sus derivadas y', y", . . . , y(n), es decir, una ecuación dela forma

F ( ,,, (n»- Ox, y, y ,y , ..., y -.

En otras palabras, se llama ecuación diferencial una ecua-ción en la que figura la derivada o diferencial de lafunción incógnita.

Si la función incógnita y = y (x) depende de una sola"variable independiente x, la ecuación diferencial se llamaordinaria.Por ejemplo:

1) :~ + xy =0, 2) y" + y' + x=cosx,

3) (X2+ y2) dx + (x + y) dy = O.

El orden de una ecuación diferencial es el de la deri-vada de mayor orden que figura en la ecuación. IJorejemplo: la ecuación diferencial y' + xy = ex es de primerorden; la ecuación diferencial y" + p(x)y = O,donde p(x)es una función dada, es 'de 2° orden; la ecuación diferen-cial ylX - xy" = X2,es de 9°orden.

Se llama solución de la ecuación diferencial una fun-ción y = <p(x), determinada en el intervalo (a, b) juntocon sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive, talque al hacer la sustitución y = <p(x) en la ecuación di-ferencial, ésta, se convierte en una identidad con respectoa x en el intervalo (a, b).Por ejemplo, la función y = sen x + cos x es solución dela ecuación y" + y = O. En efecto, derivando dos vecesesta función, se tiene:

y' = cosx - sen x, l¡" = - sen x - cosx.

9

Sustituyendo en la ecuación diferencial y" e y por susex.presiones, resulta la identidad:

- sen x - cos x + sen x + cos x === O.

La gráfica de una solución de la ecuación diferencialse denomina curva integral de la ecuación.

La formClgeneral de una ecuación de primer orden es.F(x,y,y')=O. (1)

Si en la ecuación (1) es posible despejar y', resultay' = f (x, y), (2)

que representa una ecuación de primer orden, resuelta conrespecto a la derivada. .

Teorema de existencia y unicidad.Sea dada .una ecuación diferencial y' = f(x, y), donde

la función f (x, y) está definida en un recinto D del planoXOY que contiene el punto(xo, Yo). Si la función f (x, y)satisface a las condiciones:

a) f(x, y) es una funcióncontinua de dos variables x ey, en el recinto D;

b) f (x, y) admite derivada

parcial ~~, continua con res-pecto de x e y en el recinto D,

x entonces, existe una, y sólo una,solución y = q¡(x) de la ecua-ción dada que satisface a lacondición y Ix=xo= Yo'

La condición y Ix-xo= Yo se llama condición inicial.El problema de la búsqueda de la solución de la ecua-

ción y' = {(x, y) que satisface a la condición inicialy Ix=xo= Yo, lleva el nombre de Cauchy. .

Geométricamente esto significa que se busca la curvaintegral que pasa por el punto dado Mo(xo, Yo) del planoXOY (fig. 1).

El teorema expresa las condiciones suficientes para laexistencia de solución única del problema de Cauchy parala ecuación y' = f (x, y), pero estas condiciones no sonnecesarias. Precisamente, puede existir una solución única

10

y

Mo

Yo

o Xo

Fig. 1

de la ecuación y' = f(x, y) que satisface a la condicióny Ix=xo= Yo' a pesar de que en el punto (xo, Yo) no secumpla la condición a) o la condición b), o estas dos con-diciones simultáneamente.

Ejemplo 1., I

Y =--z.y

. I íJi 2AqUl, f (x, y) = 17' íJy= - ya'

En los puntos (xo, O) del eje OX no se cumplen lascondiciones a) y b) (la función f (x, y) y su derivada par-

v

Fig.2

cial :~ son discontinuas enpunto del eje OX pasa una

,aí .= y 3 (x - xo), (hg. 2).

Ejemplo 2.

el eje OX), mas, por cadasola curva integral Y =

y'=xy+e-U.

El segundo miembro de la ecuación f (x, y) = xy + e-Y y

su derivada parcial ~i = x - e-Y son continuas con res-y J

pedo a x e Y en todos los puntos del plano XOY. En virtuddel teorema de existencia y unicidad, el recinto en el quela ecuación dada tiene solución única es todo el planoXOY.

Ejemplo 3., 3 1~2

Y ='2 y Y .El segundo miembro de la ecuación f (x, y) = ~ V'" y2

es una función definida y continua en todos los puntos del

11

'plano XOY. La derivada parcial ;~ = ~y se hace infi-nita para y = O, o sea, en el eje OX, de modo que paray = O se infringe la condición b) del teorema de existen-cia y unicidad. Por consiguiente, es posible que no hayaunicidad en [os puntos del eje OX. Fácilmente se com-

prueba que la función y = (x ~ C)3 es solución de la ecua-ción considerada. Además,

CJ la ecuación tiene la soluciónevidente y = O. Así, pues,por cada punto del eje OXpasan al menos dos curvasintegrales y, por consiguien-te, en los puntos de este eje,verdaderamente, queda in-fringida la unicidad (Hg. 3).

Son también líneas in-Fig.3 tegrales las formadas por tro-

zos de las parábolas cúbicas

y = (x ~ C)3 y los segmentos del eje OX; por ejemplo, laslíneas ABOC.. ABB2C2, A2B2x, etc. De este modo, por ca-da punto del eje OX pasan infinitas lineas integrales.

Aplicando el teorema de existencia y unicidad señalaren los problemas que siguen [os recintos en los que lasecuaciones dadas admiten solución única.

1 '- 2 + 2 2 '- x.y-x y. .y-y.

3. y'=y + 3-ry-. 4. y'= V x-y.5. y' = Vx2- y-x. 6. y' = VI - y2.7. y' = y + I . 8. y' = sen y - cosx.x-y .

1.3/-9. y' = I - ctg y. 10. y' = J' 3x - y - 1.Se llama solución general de la ecuación diferencial

(2) una función

ye

y = q> (x, C), (3)

que depende de una constante arbitraria C y que cumplelas condiciones:

1) ésta satisface a la ecuación (2) para cualesquieravalores de la constante C;

12

2) cualquiera que sea la condición inicial

y Ix=-x.= Yo (y (xo)= Yo) (4)siempre se puede asignar un valor eo a la constante etal, que la función Y = <p(x, ea) satisfaga a la condicióninicial (4) dada Se supone que el punto (xo, Yo) perteneceal recinto en el que se cumplen las condiciones de existen-cia y unicidad de la solución.

Se llama solución particular de la ecuación diferencial(2) a la que se obtiene de la solución general (3) asi-gnado cualquier valor determinado a la constante arbitra-ria e.

Ejemplo 1. Comprobar que la función Y = x + e es lasolución general de la ecuación diferencial y' = 1 Y hal1arla solución particular que satisface a la condición inicialy Ix=o = O. Interpretar geométricamente el resultado.

S o I u c i ó n. La función y = x + e satisface a laecuación dada para cualesquiera valores de la constantearbitraria C. En efecto,

y' = (x + e)' = 1.Consideremosuna condicióninicial arbitraria y Ix=x. =

= Yo. Poniendo x = Xo,y = Yoen la igualdad y = x + e,hal1amosquee = Yo- Xo.Poniendoeste valor de e en lafunción dada, se tiene: y = y= x + Yo- Xo. Esta funciónsatisface a la condición ini-cial dada; en efecto, poniendoX=Xo resulta y=Xo + Yo--Xo = Yo. Así,pues,hemosdemostrado que la funcióny = x + e es la solución ge-neral de la ecuación dada.

En particular, poniendoXo= 0, Yo= 0, obtenemos lasolución particular y = x.

La solución general de la ecuación considerada, o sea,la función y = x + e, determina en el plano XOY una fa-milia de rectas paralelas de coeficiente angular k = 1.Por cada punto Mo(xo, Yo) del plano XOY pasa la únicacurva integral: y = x + Yo- Xo. La solución particulary = x determina una de las curvas integrales, a saber, larecta que pasa por el origen de coordenadas (fig. 4).

Fig.4

13

Ejemplo 2. Comprobar que la función y = Cex es lasolución general de la ecuación y' - y = O Y hallar lasQlución particular que satisface a la condición inicialy IX_I = - l.

S o 1u c i ó n. Se tiene y = Cex,y' = Cex. Poniendo enla ecuación dada las expresiones de y e y', resulta,Cex - Cex = O, o sea, la función y = Cex satisface a laecuación considerada para cualesquiera valores de la con-stante C.

Asignemos una condición inicial arbitraria y Ix=xo= yo.Sustituyendo en la función y = CeX, x e y por xo, Yo,se tiene Yo= Cex" de donde C = yoe-x,. La función y == yoex-,x, satisface a la condición inicial. En efecto, po-

niendo X=Xo. resulta y=yoeX,-x,=-: Yo. La función y = Cex es lasolución general de la ecuacióndada.

Para Xo= 1,Yo= -1, obtene-mos la solución particular

y= -ex-l.Geométricamente, la solución

general determina una familia decurvas integrales que representanlas gráficas de funciones exponen-ciales; la solución particular esla curva integral que pasa por elpunto Mo(l, -1) (fig.5).

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación,que las funciones dadas son soluciones de las ecuacionesdiferenciales indicadas:

~~

~\Fig.5

sen x11. y=-, xy' + y=cosx.x

112. Y= Ce-2x+"3 eX,

y' + 2y + eX.

13. y=2 +C VI +X2,(1 - X2)y' + xy= 2x.

14. Y= x VI - X2.yy' = x - 2X3.

14

15. y=e8rcsenc", xy'=ytglny."

16. Y = eX f et' dt + CeJe, y' - Y = e"+"'.o"f sen t ,

17. y=x ~dt, xy =y+xsenx.o

18. y=x(f ~ dX+C), xy' - y=xe"

x = cost}19. y=sent ' x+yy'=O.

x = te'}20. y=e-t.' (1 + xy)y' + y2==O.

x = earctg,}21. Y ==e-arcctg' , y - xy' ==O.

x ==t Int

}22.' , y'

y=t2(2Int+ 1) , Y InT=4x.

28 x = In t + sen t}. y=t(1 + sent)+cost ' x=lny'+seny'.

x ==t + arcsen t

I24. t2 - '

y=2"- Vl-t2 ' x=y +arcseny'.x=t2 +e'

I25. 2 ,2 ,

Y = "3 t3 + (t - 1)e' , y + eY = x.

Verificar que las functiones dadas son las solucionesgenerales de las ecuacionesdiferenciales indicadas:

e ., I26. y=-, Y -tgx'y=O.cosx. 1

27. y=- 3x+C' y' = 3y2.

28. Y= In(C+ e"), y' =e"-Y.

29. y = Vx2 - Cx, (x2+ y2)dx - 3xy dy = O.

30. y = x (C- InI x 1), (x - y)dx + x dy = O.15

l'

31 X _ y Cy+1 t '- y. - e , y - (I 1 ).

x nx- ny

32. x = y In Cy, y' (x + y) = y.

La relación <11(x, y, C) = 0, que de forma implícita de.termina la solución general, se llama integral general dela ecuación diferencial de primer orden.

La relación que se obtiene en la integral general alatribuir a la constante C un valor determinado, se llamaintegral particular de la ecuación diferencial.

El problema de resolución o de integración de unaecuación diferencial consiste en hallar la solución generalo la integral general de la ecuación diferencial conside-rada, Si, además, se ha dado alguna condición inicial. sepide también hallar la solución particular o la integralparticular que satisface a la condición inicial considerada,

Como geométricamente las coordenadas x e y son equi-

potentes, además de la ecuación :~ =f (x, y) se con-' d . t b

.. I . . dx ISI erara am len a ecuaclOn dY = f (x. y) .

Comprobar si las relaciones dadas son integrales delas ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (C == const.):

33. e-Y- Cx= 1. xy' + 1= ell.3 I e 2 3 dx

34. Y =-+3"' xy dy+y dx=-.x x x

35. X3- 4x2y + 2xy2 - y3= 0, .(3X2- 8xy + 2y2) dx - (4X2 - 4xy + 3y2)dy = O.

36. y2+2Cx=C2, yy,2+2xy'=y+ 1

37. arctgJL-In (CV x2+ y2)= 0,X

(x + y) dx - (x - y) dy = O.Ix

38. x=y fsent2dt,o

y = xy' + y2 sen X2.

x

f sent39. x ---¡dt=ylny,

o

XV' + x In y = x sen x + y In y.

16

§ 2. METODO DE ISOCLINAS

La ecuación

y' = f (x, y) (1)

determina en cada punto (x, y) donde existe la funciónf(x. y), el valor de y/, o sea, el coeficiente angular de latangente a la curva integral en este punto.

Si en cada punto del recinto D se ha dado el valor dealguna magnitud, se dice que en el recinto D está definidoel campo de esta magnitud.

Por lo tanto, la ecuación diferencial (1) determina uncampo de direcciones.

La terna de números (x, y, y') determina la direcciónde una recta que pasa por el punto (x, y). El conjunto delos segmentos de estas rectas es la representación geo-métrica del campo de direcciones.

El problema de integración de -la ecuación diferencial(1) se puede interpretar así: hay que hallar una curvacuya tangente en cada punto tenga la misma direcciónque el campo en este punto.

Frecuentemente, el problema de la construcción de lascurvas integrales se resuelve introduciendo las isoclinas.Se llama isoclina el lugar geométrico de puntos en los quelas tangentes a las curvas integrales consideradas tienenuna misma dirección. La familia de las isoclinas de laecuación diferencial (1) se determina por la ecuación

f (x, y) = k, (2)

donde k es un parámetro. Dando al parámetro k valoresnuméricos próximos dibujamos una red bastante compactade ísoclinas, sirviéndose de las cuales se pueden trazaraproximadamente las curvas integrales de la ecuación di-ferencial (1).

Observación 1. La isoclina nula f(x, y)=O pro-porciona las líneas en las que pueden estar situados lospuntos de máximo y de mínimo de las curvas integrales.Al trazar las curvas integrales, para mayor exactitud,hallan también el lugar geométrico de los puntos de in-,2-583 17

flexión. Para esto se halla y" de la ecuación (1):

y" =2L + .2l.y'= ~ + f(x y)2Lax ay ax 'ayy se iguala a cero. La línea determinada por la ecuación

al alax + f (x, y) ay = O (4)

es. precisamente, el lugar geometrico de los puntos de in-flexión, si éstos existen

Ejemplo 1. Sirviéndose de las isoc\inas, trazar aproxi-madamente las curvas integrales de la ecuación diferen-cialy' = 2x- y.

S o I u c i ó n. Para obtener las ecuaciones de las iso-clinas, ponemos y' = k (k = const). Se tiene:

2x-y=k, o bien, y=2x-k.Las isoclinas son rectas paralelas. Para k = O se ob.

tiene la isoc\ina y = 2x. Esta recta divide el plano XO yen dos partes. en cada unade las cuales la derivada y'tiene un mismo signo (Hg. 6).

Las curvas integrales,cortándose con la recta y == 2x, pasan de la región dedecrecimiento de la función ya la región de crecimiento de- la misma y viceversa. Por lo,(tanto. en esta recta se en-cuentran los puntos extrema-les de las curvas integrales,los puntos de mínimo.

Consideremos otras dosisoclinas:

k = - 1, Y= 2x + 1

(3)

yk = 1, y = 2x- 1.

Las tangentes, trazadas alas curvas integrales en los

puntos de intersección con las isoclinas k = - 1 Yk = 1,forman con el eje OX ángulos de 135° y 45°, respectiva-mente. Hallemos ahora la segunda derivada: y" == 2 - y' = 2- 2x + y.

Fig.6

18

La recta y = 2x - 2, en la que y" = O, es la isoclinaque se obtiene para k = 2, Y a la vez es una curva inte-gral, de lo que puede uno convencerse sustituyendo en laecuación. Como el segundo miembro de la ecuación consi-derada f (x, y) = 2x - y, satisface a las condiciones delteorema de existencia y unicidad en todo el plano XOY,las demás curvas integrales no se cortan con esta isoclina.La isoclina y = 2x, en la que se encuentran los puntosminimos de las curvas integrales, está situada sobre laisocIina y =2x - 2, por lo cual, las curvas integrales quepasan por debajo de la isoclina y = 2x - 2 no tienenpuntos extremales.

La recta y = 2x - 2 divide el plano XOY en dos par-tes, en una de las cuales (la que está situada sobre larecta) y" > O, Y por lo tanto, las curvas integrales tienendirigidas hacia arriba sus concavidades, y en la otra,y" < O, Y por consiguiente, las curvas integrales tienensus concavidades dirigidas hacia abajo. Como las curvasintegrales no se cortan con la recta y = 2x - 2, ésta noes el lugar geométrico de los puntos de inflexión. Lascurvas integrales de la ecuación dada no tienen puntos deinflexión.

La investigación realizada nos permite trazar aproxi-madamente la familia de las curvas integrales de la ecua-ción (fig. 6).

Ejemplo 2. Trazar, aproximadamente, las curvas in-tegrales de la ecuación diferencial y' = sen (x + y), em-pleando el método de isoclinas.

S o I u c i ó n. Poniendo y' = k, donde k = const, seobtiene la ecuación de las isocIinas sen (x + y) = k, sien-do -1 ~ k ~ l. Para k = O,se tiene sen(x + y) = O, dedonde

y=-x+nn (n=O, :tI, :t2, ...). (1)

Las tangentes a las curvas integrales en sus puntosde intersección con estas isoclinas son horizontales. De-terminemos si las curvas integrales tienen extremos rela-tivos en las isocIinas y = -x + nn, y cuáles son: máxi.mos o minimos. Para esto, hallamos la derivada segunda

y" = (1+ y')cos (x + y)= [1 + sen (x + y)]cos(x + y).

2' 19

Para y = -x + nn, o sea, si x + y = nn, se tiene:

y" = (1 + sen nn) cos nn = cos nn = (_l)n

Si n es par, resulta, y" > 0, y por consiguiente, las curvas

integrales tienen minimos relativos en los puntos de in-tersección con las isoc1inas y = -x + nn, donde n = 0,::1:2, ::1:4, . . . ; si n es impar, resulta, y" < 0, y las curvas

integrales tienen máximos relativos en los puntos de in-tersección con las isoc1inas y = -x + nn,donden == ::1:1,::1:3,... .

Hallemos ahora las isoclinas:

Las isoc1inas son rectas paralelas con el coeficiente

angular igual a -1, o sea, que se cortan con el eje OXformando con éste un ángulo de 135°.Fácilmente se com-

prueba que las isoc1inas y = - x - ; + 2nn (n = O:!:,

:!: 1, ...) son curvas integrales de la ecuación diferencial

considerada (para esto, es suficiente poner la función

y = - x - ; + 2nn en la ecuación (1».

El segundo miembro de la ecuacióndada,o sea,lafunción f (x, y) = sen (x + y), satisface a las condiciones

del teorema de existencia y unicidad en todos los puntos

del plano XOY, por esto, las curvas integrales no se cor-

tan y por ende, no se cortan con las isoc1inas y = - x -- ~ + 2nn. Por otra parte, la derivada y" se anula si

1 + sen (x + y) = 0, o sea, en las isoclinas (2), y si

cos (x + y) = 0, o sea, en las isoclinas (2) y (3) Al pasar

(de izquierda a derecha) por las isoclinas (3), y" cambia

el signo de más a menos. Por ejemplo, si se considera la

"franja" comprendida entre las isoclinas y = -x e y == -x + n, resulta que en la isoc1ina y = - x + ; se

tiene y" = O; bajo la isoclina,y" > 0, o sea, la concavi-

dad de las curvas integrales está dirigida hacia arriba,

y sobre la isoc1ina,y" < 0, o sea, la concavidad de las

, 20

k=-I, sen(x+y)=-I;'n

(2)y=-x-2"+2nn

k= 1, sen (x + y) = 1;n

(3)y=-x+2"+2nn

(n=O, :!:I, :!:2, ...).

curvas integrales está dirigida hacia abajo. Por 10 tanto,las isoc1inas (3) representan el lugar geométrico de lospuntos de inflexión de las curvas integrales. Los datosobtenidos permiten trazar aproximadamente la familia de

Fig.7

las curvas integrales de la ecuación dada. Para mayorexactitud, se deben trazar también unas cuantas isoc1inas(Hg. 7).

Ejemplo 3. Aplicando el método de las isoclinas, tra-zar las curvas integrales de la ecuación y' = y - x2 ++2x - 2.

S o l u c i ó n. Pongamos y' = k(k = const). La ecua.ción de las isoclinases:

y - x2 + 2x - 2 = k, o bien, y = x2- 2x + 3 + k.Las isoclinas son parábolas con el eje vertical de si.

metria x = 1. Entre las isoc1inas no hay curvas integra- .les. En efecto, poniendo en la ecuación dada y == x2 - 2x + 2 + k, y' = 2x - 2, se tiene, 2x - 2 == X2- 2x+ 2+ k - X2 + 2x- 2, o bien, 2x- 2 = k.

Pero, cualquiera que sea el valor de k, esta igualdadno puede verificarse idénticamente con respecto a x.

Sea k = O. En este caso, las curvas integrales tienentangentes horizontales en los puntos de intersección conla isoc1ina y = x2 - 2x + 2. La isoclina k = 0, o sea, laparábola y = x2 - 2x + 2, divide el plano XOY en dos

21

partes: en. una de ellas y' < O (las soluciones decrecen),mientras que en la otra y' > O (las soluciones crecen).Como esta isoclina no es una curva integral, en ella estánsituados los puntos de extremo relativo de las curvas in-tegrales: los puntos de mínimo se encueotran en la partede la parábola y = x2 - 2x + 2, en que x < 1, Y los pun-tos de máximo, en la otra parte' de la misma, en que x > 1.La curva integral que pasa por el punto (1, 1), o sea, porel vértice de la parábola y = X2 - 2x + 2, no tiene ex-

tremo relativo en este punto.Los coeficientes angulares delas tangentes a las curvasintegrales en los puntos delas ísoc1inas k = 1, y == X2 - 2x+ 3, y k = - 1,y=x2 - 2x + 1, son igualesa 1 y -1, respectivamente.

Para averiguar las direc-ciones de las concavidadesde las curvas integrales,hallemos la derivada segun-da. Se tiene,

y" = y' - 2x+ 2 = y - X2+

+2x-2 - 2x + 2=y - x2.

y

1

,

I

x

Esta se anula solamenteen los puntos situados en laparábola y = x2. Las curvasintegrales tienen sus conca-

vidades dirigidas hacia abajo (y" < O) en los puntos delplano XOY cuyas coordenadas satisfacen a la condicióny<X2, y sus concavidades dirigidas hacia arriba (y">O),en los puntos, donde y > x2. Los puntos de intersecciónde las curvas integrales con la parábola y = X2, son lospuntos de inflexión de éstas. Así, pues, la p-arábola y = x2es el lugar geométrico de los puntos de inflexión de lascurvas integrales.

El se~undo mienbro de la ecuación inicial f(x, y) == y - x + 2x - 2 satisface a las condiciones del teo-rema de existencia y unicidad en todos los puntos delplano XOY, por 10 cual, por cada punto del plano pasauna sola curva integral de la ecuación.22

Fig.8

Aplicando los resultados obtenidos, trazamos aproxi-madamente la familia de las curvas integrales de la ecua-ción dada (fig. 8).

O b s e r v a c i ó n 2. Los puntos de intersección dedos o más isoclinas pueden ser puntos singulares de laecuación diferencial (1)(0 sea, puntos en los que el se-gundo miembro de la ecuación (1) no está definido).

Examinemos la ecuación y' = JL. La familia de lasx

isoclinas se determina por la ecuación JL= k. Esta re-xpresenta una familia de rectas que pasan por el origen decoordenadas, de modo que en este punto se cortan lasisoclinas que corresponden a diversas pendientes de lastangentes a las curvas integrales. Fácilmente se observaque la solución general de la ecuación dada es de la formay = Cx y que el punto (O, O) es un punto singular de laecuación diferencial. En este caso, las isoclinas son curvasintegrales de la ecuación (fig.9).

Ejemplo 4. Aplicando el método de las isoclinas, tra-zar las curvas integrales de la ecuación

dy y - xdX= y+x .

S o 1u c i ó n. Poniendo y' = k (k = const),obtenemosla ecuación de la familia de las isoclinas

y - x = k.y+x

Por 10 tanto, las isoclinas son rectas que pasan por elorigen de coordenadas O (O,O).

Para k = -1, obtenemos la isoclina y = ° (el eje OX);para k = 0, la isoclina y = x; para k = 1, la isoclinax = O (el eje OY).

Examinando la ecuación "invertida"

dx - y + xdy - Y - x '

hallamos la isoclina y = - x, en todos los puntos de lacual, las curvas integrales tienen tangentes verticales.

Todas las isoclinas de la ecuación considerada se cor-tan en el punto (0,0) (punto singular de la ecuación).

23

Sirviéndose de las isoclinas obtenidas trazamos lascurvas integrales (fig. 10).

y

Fig.9 Fig. 10

Aplicando el método de las isoclinas, trazar las curvasintegrales de las ecuaciones diferenciales siguientes:

40. y' = x + 141. y' = x + y42. y' = Y - x

143. y' = 2 (x - 2y + 3)

44. y'=(y-l)2

45. y' = (y - 1)x46. y' = X2- y247. y' = cos (x - y)48. y' = Y - x249. y' = x2+ 2x - y

50. y' = y + 11

x-

51. y'= x+yx-y

52. y' = 1- xy53. y' = 2 - Y54. y' = 1- X

24

55. y'=2x- y56. y'=(l- y)(l- x)57. y' = sen (y - 2x)

58. y' = x2+ y

59. y' = y - X2 + 2x

60 ' x - 1y--. - y

61 ' y. y =-- x

62. y' = 11

63. y' =x:

64. y' = y65. y' = y2

166. y'=- y67. y' = I + y268. y'=x

§ 3. METODO DE EULER

Con este método se puede hallar en el segmento [xo.b]la solución aproximada de la ecuación y' = f (x. y) quesatisface a la condición inicial ylx=:,x =Yo.

El método de Euler consiste en sustituir por una que-brada de segmentos rectos la curva integral buscada dela ecuación diferencial que pasa por el punto Mo(xo, Yo).

Dividamos el segmento [xo. b] en n partes (no necesa-riamente iguales) por los puntos Xo< XI < X2 < ... << Xn = b.

Tracemos. por el punto inicial Mo(xo. Yo) de la curvaintegr a1, una recta MoM de coeficiente angular f (xo, Yo),hasta el punto Mt (XI. YI) de intersección con la rectaX = XI. La ordenada del punto MI se determina por lafórmula

YI = Yo+ f (xo. Yo) (XI - xo).

Tracemos por el punto MI(XI. y¡) una recta MIM2 decoeficiente angular f (Xl, Yd hasta el punto M2(X2,Y2) deintersección con la recta X = X2. La ordenada del puntoM2 se determina por la fórmula

Y2= YI + f (XI' Yt)(X2 - XI)'

De modo análogo se determina el punto M3(X3.Y3). etc.La ordenada del punto Mn (x,1t Yn) se determina por lafórmula

Yn= Yn-¡ + f (xn-¡, Yn-I)(Xn - Xn-I)'

Los valores aproximados de la solución de la ecuacióndada en los puntos XI>X2, .. . .Xn son: YI, Y2, . . . , Yn.

Haciendo la construcción correspondiente' se obtieneuna quebrada, denominada quebrada de Euler. que repre-senta aproximadamente la curva integral que pasa por elpunto Mo(xo.Yo) (fíg. 11).

Generalmente, para facilitar los cálculos y las acota-ciónes se divide el segmento [xo,bJ en partes iguales y sehace la notación h = XII - Xk-\- La magnitud h se llamaintervalo de variación del argumento.

25

Se puede demostrar que, cumpliéndose ciertas condicio-nes respecto de la función f(x, y), para h - ° la soluciónaproximada proporciona la solución exacta de la ecuación

dada que satisface a la con-dición inicial y I.=xo= Yo.

Ejemplo. Aplicando elmétodo de las quebradasde Euler, hallar en el seg-mento [O, 1] la soluciónaproximada de la ecuacióny' = 2x - y que satisfacea la condición y Ix=O =

XJ" = - l. Dividir el segmen-to [O, 1] en 10 partes igua-les y comparar los valoresde la solución aproximada

en los puntos de división con los valores respectivos de lasolución exacta y = 2x - 2 + e-X.

S o 1u c i ó n. Los valores de las ordenadas Yh.en lospuntos Mh.(Xh,Yh.)se calculan por la fórmula

Yk = Yk-I + f (Xk-I, Yk-') (Xk- Xk-I)(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9, 10).

En este caso, f (XIl-¡'YIl-I)= 2Xh-1- YIl-IYlas diferen-cias, XI- Xo= X2 - XI = ... = XIO- Xg = h = 0,1,pues-to que se ha dividido el segmento [O, 1] en 10 partesiguales y, por consiguiente, Yh.=Y'H + (2XIl-I- YIl-I) .0,1,

. k = 1, 2. . .. 10.

v

01 /(0

Fig. \\

26

o o O -1 1 0,1 -0,900 -\\ 0,\ 0,2 -0,9000 \,1 0,1\00 -0,7900 -0,89522 0,2 0,4 -0,7900 \,19 0,1\90 -0,6710 -0,78133 0,3 0,6 -0,6710 1,27\ 0,1271 -0,5439 -0,65924 0,4 0,8 -0,5439 1,3439 0,\3439 -0,4095 -0,52975 0,5 1.0 -0,4095 1,4095 0,14095 -0,2686 -0,39356 0,6 1,2 -0,2686 1,4686 0,14666 0,1217 -0,25127 0,7 1,4 -0,1217 1,5217 0,15217 0,03047 -0,10348 0,8 1,6 -0,03047 1,5695 0,15695 0,1874 0,04939 0,9 1,8 -0,1874 1,6126 0,16126 0,3486 0,2066

10 1,0 2,0 -0,3486 0,3679

Los resultados de los cólculos se escriben en una tabla,en cuya última columna se señalan los valores de la so-lución exacta y = 2 (x - 1) + e-x en los puntos de divisióndel segmento [0, 1].

Obsérvese que el método de Euler no es de gran preci-sión, a pesar de que, a veces, se obtiene una exactitudsatisfactoria. Por ejemplo, para x = 0,5 el error absolutodel valor de la solución aproximada es:

!J.= I - 0,4095 + 0,3935 1=0,0160;

el valor del error relativo es:

0,0160 = 0,039 """4%.ti = 1-0,40951

Aplicando el método de Euler y empleando la regla decálculo, resolver los problemas siguientes:

69. Hallar para x = 1 el valor de la solución de laecuación y' = x2y+ 2 correspondiente a la condición ini-cial y Ix=O= ° (h = 0, 2).

70. Trazar, aproximadam.ente, en el segmento [1, 3], lacurva integral de la ecuación y' = x + y que pasa por elpunto M (1,2) y calcular y (3) (h = 0,2).

Para las ecuaciones que siguen, formar una tabla delos valores de la solución que satisface a la condicióninicial dada en el segmento indicado:

71. y' = .JL , y(l)= 1, [1; 4] (h = 0,5).x

72. y' = -4- xy, y (O)= 1, [O, 11 (h = 0,1).

73. y' = x2 + y2, Y (O)= 0, [O, 1] (h=O,l).

74. y' = 1+ xy2, y (O)= 0, [O, 1] (h=O,I).

75. 11'= x¡ 1 - y2, y(O)= 1, [O, 1], (h = 0,1).

27

§ 4. METO DODE APROXIMACIONESSUCESIV AS

Supongamos que se pide hallar la solución y = y(x)de la ecuación diferencial

y'=f(x, y),

que satisface a la condición inicial

y 1%=.\ = Yo.

Supondremos que en cierto rectánguloD {I x - Xo I< a, I Y- YoI< b}

con centro en el punto (xo, Yo), para la ecuación' (1), $ecumplen las condiciones a) y b) del teorema de existenciay unicidad de la solución del problema (1)-(2) (véasela pág. 10).

La solución del problema (1)- (2) se puede halla r porel método de aproximaciones sucesivas que consiste en losiguiente:

Se forma una sucesión de funciones {un(x)}, deter-minadas por las relaciones reiteradas

(1)

(2)

x

Yn (x) = Yo+ J f [1, Yn-I (1») di, (n = 1, 2, . ..). (3)Xo

Por aproximación nula Yo(x) se puede tomar cualquierfunción que sea continua en un entorno del punto x = Xo;en particular, Yo(x) =Yo,donde Yo es el valor inicial deCauchy (2). En virtud de las hipótesis que se hacen conrespecto a la ecuación (1), las aproximacionessucesivas{Yn(x)} convergen hacia la solución exacta de la ecuación(1) que satisface a la condición (2) en cierto intervaloXo - h < x < Xo +h, donde

h = min(a, ~),M= max If (x. y) l.

(xy)esD(4)

28

La cota del error cometido al sustituir la solución exactaU(x) por la aproximación n-ésima Un(x) es:

M Nn-IIU(x) - Un(X)I~ .-, hn, (5)

dondeN = max

I

.ELl

.(x. 11)E D iJy

Por el método de las aproximaciones sucesivas hay quedetenerse en una n de modo que IUn+1- UnI no supereal error permitido.

Ejemplo. Empleando el método de las aproximacionessucesivas, hallar la solución aproximada de la ecuación

U'= x2 + U2,

que satisface a la condición inicial UI,,=0= Oen el rectán-gulo -1 :s:;;;x :s:;;;1, -1 :s:;;;U :s:;;;I.

S o 1u c i ó n. Se tiene If (x, U) I= X2 + U2 :s:;;;2, o sea,M = 2. Tomamos por h el menor de los números a = 1

~ =} o sea, h = ~. Según (4). las aproximaciones

sucesivas convergen en el intervalo - ~ < x < i. Estasson:

110(x) = O;"

111(x) = f (t'l + U~ dt = ~3 ;o" "

U2(X) = f [t2 + U~(t)]dt = f (t2+ ~ )dt = ~ + ;; ;o o" "

J f( t8 2tl0 t14

)Y3(X)= [t2+UHt)]dt= t2+9"+ 3.63 + 632 dt =o o

x' xT 2Xll XIS=3" + 63 + 2079 + 59535 .

El error absoluto de la tercera aproximación no superaa la magnitud

2(

1

)3 1

I U3(X)- U(x) I~ 3T 2" 22 =6";

29

En este caso,

N = m~xI ~~ I = mgx I2y 1=2.

En los siguientes ejercicios hay que hallar tres apro-ximaciones sucesivas:

76. y' = X2 - y2;

77. y' = x + y2;

78. y' = x + y;

79. y' = 2y - 2X2 - 3;

80. xy'=2x-y;

Y IX=-l= O.

y Ix=o=0.

y Ix=o= 1.

Y Ix=O=2.

Y IX=l=2.

§ 5. ECUACIONESCON VARIABLESSEPARABLESY ECUACIONESREDUCIBLES A ELLAS

La ecuación diferencial de la forma<1>(y) dy = f (x) dx

se llama ecuación con variables separadasLas ecuaciones de la forma

(1)

<1>. (x) 1P, (y) dx = <1>2 (x) 1P2 (y) dy, (2)

en las que los coeficientes de las diferenciales se descom-ponen en factores que dependen solamente de x o sola-mente de y, se llaman ecuaciones con variables separa-bles. -

Dividiendo por el producto 'i'J(y)<I>2(X) éstas se reducena ecuaciones con variables separadas:

CP.(x) dx = '\'2(y) dy.q>2(x) "'1(v)

30

(2')

La integral general de esta ecuación tiene la forma

f (j)1 (x) dx - f '1>2 (y) dy=C.(j)2 (x) ''1>. (y)

O b s e r v a c i ó n. La división por 'i'1(y) <1'2(x) puededar lugar a que se pierdan 18s soluciones particulares queanulan al producto 'i'1(y) <1'2(x).

La ecuación diferencial de la forma

:~ =f(ax+by+c),

donde a, b y e son constantes, se reduce a una ecuacióncon variables separables haciendo la sustitución

z=ax +by+c.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación3ex tg y dx + (2 - eX) sec2 y dy = O.

S o l u c i ó n. Dividimos ambos miembros de la ecua-ción por el productotg y. (2 - ex)

3eXdx + sec2y dy O2 - eX tg Y .Ha resultado una ecuación con variables separadas. In-tegrándola hallamos:

-3InI2-e" I+lnl tgy I=CJ.

(3)

Efectuando la potenciación, obtenemos:Itg YI c b

.I

tg Y ~

I

c12- eX I~ = el, o len (2 - eX)3 = e '.

De aquí,tg Y - + ec,

(2 - eX)3 -- - .Designando ::1:e~' = e, se tiene:

tg y - e b. I - C (2 - ")3 - O

(2- eX)3 - , o len, g y e -.Hemos .obtenido la integral general de la ecuación dada.

Al dividir por el producto tg y. (2 - eX) se suponfaque ninguno de los factores se convertra en cero. Igua-lando cada factor a cero, obtenemos, respectivamente:

y=kn (k=O,:ti, :1;2, ...), x=ln2.

31

.,

Sustituyendo en la ecuación inici~1 comprobamos quey = kn y x = In 2 son soluciones de esta ecuación. Estaspueden obtener se formalmente de la integral general ha-ciendo C = O Y C = oo. Esto significa que la constante

C se sustituye por ~2' después de lo cual, la integralgeneral toma la forma

tg y - ~2 (2 - eX)3= O, o bien, C2tg y - (2 - eX)3= O;

haciendo en la última igualdad C2= O, lo que corres-ponde a C = 00, tendremos (2 - ex)3 = O; de aquí ob-tenemos la solución x = In 2 de la ecuación inicial. Enconsecuencia, las functiones y = kn (k = O,~ 1, ~2, . . .)y x = In 2 son soluciones particulares de la ecuacióndada. Por consiguiente,el resultado final es

tg y - C (2 - eX)3= O.

~

J

J

Ejemplo 2. Hallar la solución particular de la ecua.ción

(1 + eX) yy' = eX,

que satisface a la condicióninicial y Ix=o= l.S o Iu c i ó n. Se tiene:

(1 +eX)y :~ =~.

Separando las variables, resulta:eXdx

ydy= 1 +eX'

Integrando, hallamos la integral general2

Y2 =ln(l+eX)+C. (1)

Poniendo en (1) x=O, tendremos ~ =ln2+C, de donde

hallamos: C = i--In 2. Poniendo este valor de C en (1),obtenemos la integral particular

y2= In( 1~exr + 1.32

de donde la solución

=Vln( I~exr+ l.Ejemplo3. Hallar la

ción

particular buscada es: y =

solución particular de la ecua-

y'sen x=yln y.

que satisface a las condiciones iniciales siguientes:a) y I n = e, b) y I n = 1.

x2 x=T

S o I u c i ó n. Se tiene

:~ sen x = y Iny.Separamoslas variables

dy dxy In y =señX'

Integrando. hallamos la integral general

InllnYI=lnltg; 1+ln'C.

Después de potenciar. obtenemos:x e.tg~

Iny=C. tg'2' o bien. y=e 2.

que es la solución general de la ecuación considerada.n e.tgo!!

a) Pongamos ahora x = 2"' !J= e; entonces,e= e 4.x

D . C 1 A . tg-;¡e aqUl que =. SI, pues, !J= e .b) Hallemos ahora la solución particular de la ecua-

ción que satisface a la condicióninicial !JI

x-~ = l.-2%

, Poniendo C = Oen la solución general !J= /.tg-;¡, ob.tenemos la solución particular buscada. Obsérvese quecuando se obtenía la solución general, la constante e fi.guraba bajo el signo del logaritmo, por lo cual, C = O sepuede considerar como valor límite. La solución particu-lar !J = 1 está comprendida entre los ceros del productoIJ.In !J'sen x, por el cual dividimos ambos miembros de laecuación dada.

3-583 33

Integrar las ecuaciones:

81. (1 +y2)dx+(l +x2)dy=0.82. (1 + y2)dx + xy dy = O.

83. (y2+ xy2)y' + X2- yx2 = O.

84. (l+y2)dx=xdy.

85. xVI +y2 +yy'Vl +X2 =0.

86. xVI - y2 dx + y VI - x2 dy = O. y Ix=o= 1.

87. e-Y(I + y')= 1

88. y In y dx + x dy = O, Y IX=1= 1.

89. y' = aX+u(a> O,a =1=1).90. eY (1 + x2) dy - 2x (1 + eY)dx '0.

91. (1 + eX)yy'=eY, y Ix=o=O.

92. (1 + y2)(e2Xdx - eYdy) - (1 + y) dy = O.

93. (xy2 - y2 + x - 1)dx + (x2y - 2xy + x2 + 2y -- 2x +2)dy=0.

94. y' = sen(x - y).95. y' = ax + by + e (a, b, e - const).96. (x + y)2 y' = a2.

2

97. (1- y) eYy' + L- = O.x Inx3

98. (1 + y2)dx =(y - VI + y2 )(1 + x2f2"dy.

99. xy2 (xy' + y) = a2.

100. (X2y2+ 1)dx + 2X2 dy = O.(la sustitución xy =t).

101. (1 + x2y2)y + (xy - 1)2xy' = O.(la sustitución xy = t).

102. (X2y3+ y + x - 2) dx + (x3y2+ x) dy = O(la sustitución xy = t)

103. (X6- 2X5 + 2x4_y3 + 4x2y) dx + (xy2 - 4X3) dy = O(la sustitución y = tx). .

, 1 (x+ y)m104. y + =, . ,n., . ,n.

34

\

( I

105. (Inx + y3)dx - 3Xy2 dy = O.

106. (xy + 2xy In2 y + y In y) dx + (2x21n U + x) dy = O

(la sustitución x In y = t).

107. Y - xy' = a (1 +x2y').

108. (a2+y2)dx + 2xVax - x2 dU= O,Y Ix=a=O.

109. y'+sen X;y =sen X;y.

Ejemplo 4. Hallar una curva que pase por el. punto(O, -2), de modo que la pendiente de la tangente en cual-quiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto,aumentada en 3 unidades.

S o 1u c i ó n. Basándose en el significado geométricode la primera derivada, obtenemos la ecuación diferencialde la familia de curvas que cumplen la condición pedida:

dydx =y +3. (1)

Separando las variables e integrando, obtenemos la solu-ción general

I

Inlu+31=x+C. (2)

Como la curva buscada tiene que pasar por el punto(O,-2). o sea,

YI =Q=-2x- , (3)

de. (2) determinamos el valor de C correspondiente a estacurva: Inl-2 + 31 = 0+ c. o sea, e = O, de modo quéx = lnly +31, de donde

y = - 3 :!: eX.

En virtud de la condición (3), se debe tomar el signo más:

u=ex - 3.Ejemplo 5. Un depósitocilíndrico de volumen Va está

lleno de aire atmosférico, que se comprime de un modoadiabático (sin intercambio de calor con el medio que lerodea) hasta que su volumen se hace igual a VI.

Calcular el trabajo invertido durante la compresión.

)' 85

so I u c i ó n. Es sabido que el proceso adiabático secaracteriza por la ecuación de Poisson

L - (~ )k

Po - y -'

donde Vo es el volumen inicial del gas, Po es la presióninicial del mismo y k es una magnitud constante para elgas dado. Designemos con V y p. respectivamente, el vo-lumen y la presión del gas en el momento en que el ém-bolo estaba situado a la altura h, y con S, el área de lasuperficie del émbolo. Entonces. al descender el émboloen la magnitud dh. el volumen del gas disminuirá en lamagnitud dV = S dh. En este caso, se realizará el tra-bajo

(1)

dW = - pSdh o bien. dM = - pdV (2)

Hallando p en la ecuación de Poissón (1) Y sustituyendoen (2), obtenemos la ecuación diferencial del proceso:

yk

dW = - P~ko dV.Integrando (3). se tiene:

Vk f dY PoY~W-- -- C- Po o yk -.. 1>_1+ .

(3)

(4)

En virtud de la condición inicial W Iv=v~= 0, de (4) ob-tenemos

c= - PoYok-I

Por lo tanto, el trabajo de compresión adiabática (desdeVohasta V) es:

w= :~ol [( ~ot-I - 1]. (5)

Para V = Vio resulta:

W1= PoYo[(VA )k-I - 1].k-I VI

110. Hallar una curva que pase por el punto (O. -2)de modo que el coeficiente angular de la tangente en cual-quiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismopunto, aumentada tres veces.36

111. Hallar una curva para la cual el área Q, limitadapor la curva, el eje OX y las dos ordenádas X = O,X = x,sea una función dada de y:

Q ;. a2ln 1L. .a

f-

112. Un punto material de masa igual a 1 g se mueveen línea recta debido a la acción de una fuerza que es di-rectamente proporcional al tiempo, calculado desde el in-stante t = O, e inversa mente proporcional a la velocidaddel punto. En el instante t = 10 s la velocidad era iguala 50 cmls, y la fuerza, igual a 4 dinas. ¿Qué velocidadtendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo delmovimiento? .

113. Demostrar que la curva que posee la propiedadde que todas sus normales pasan por un punto constante,es una circunferencia.

114. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cmde espesor con la velocidad Vo= 200 mIs traspasándolacon la velocidad VI = 80 mIs. Suponiendo que la resisten-cia de la tabla al movimiento de la. bala es proporcionalal cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movi-miento de la bala por la tabla.

115. Un barco retrasa su movimiento por la acción dela resistencia del agua, que es proporcional a la velocidaddel barco. La velocidad inicial del barco es 10 mIs, des-pués de 5 s su velocidad será 8 mIs. ¿Después d~ cuántotiempo la velocidad se hará 1 mIs?

116. Demostrar que la curva para la cual la pendientede la tangent~ en cualquier punto es proporcional a laabscisa del punto de contacto, es una parábola.

117. Según la ley de Newton, la velocidad de en-friamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la

' diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la tempe-~ ratura To del aire. Si la temperatura del aire es de 20°e

y el cuerpo se enfría en 20 min desde 100° hasta 60'!,¿dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderáhasta 30°?

118. Hallar la curva para la cual la pendiente de latangente en cualquier punto es n veces mayor que la pen-diente de la recta que une este punto con el origen decoordenadas.

37

119. Determinar el camino S recorrido por un cuerpodurante el tiempo t, si su velocidad es proporcional altrayecto, sabiendo que en \O s el cuerpo recorre 100 m yen 15 s, 200 m.

120. El fondo de un depósito de 300 litros de capaci-dad, está cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad conque se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entrela concentración en el instante dado y la concentraciónde la disolución saturada (1 kg de sal para 3 litros deagua) y que la cantidad de aqua pura dada disuelve 1/3de kg de sal por min, hallar la cantidad de sal que con-tendrá la disolución al cabo de una hora.

121. Cierta cantidad de una substancia indisoluble con-tiene en sus poros 10 kg de sal. Actuando con 90 litros deagua se observó que durante I hora se disolvió la mitadde la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante elmismo tiempo si ~e duplicase la cantidad de agua? La ve-locidad de disolución es proporcional a la cantidad de salno disuelta y a la diferencia entre la concentración en elinstante dado y la concentración de la disolución saturada(1 kg para 3 litros). .

122. Hallar la curva que tiene la propiedad de que elsegmento de la tangente a la curva comprendido entre losejes de coordenadas se divide por la mitad en el punto decontacto.

123. Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kgde humedad, se colocó en una habitación de 100 m3 devolumen, donde el aire tenía al principio el 25% de hume-dad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0,12 kgde humedad por 1 m3. Si durante el primer día la substan-cia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad dehumedad quedará al finalizar el segundo día?

N o t a. La humedad contenida en una substancia po-rosa se evapora al espacio que la rodea con una velocidadque es proporCional a la cantidad de humedad que hay enla substancia y es también proporcional a la diferenciaentre la humedad del aire que la rodea y la humedad delaire saturado.

124. Cierta cantidad de una substancia indisoluble quecontiene en sus poros 2 kg de sal se somete a la acción de30 litros de agua. Después de 5 min se disuelve 1 kg desal. ¿Dentro de cuánto tiempo se disolverá el 99% de lacantidad inicial de sal?

38

125. Una pared de ladrillos tiene 30 cm de espesor.Hallar la dependencia de la temperatura de la distanciadel punto hasta el borde exterior de la pared, si la tem-peratura en la superficie interior de la misma. es iguala 20° y en la exterior, a O°.Hallar también la cantidad decalor expedida por la pared (por 1 m2) al exterior duranteun día.

N o t a. Según la ley de Newton, la velocidad Q depropagación del calor a través de una superficie A, per-

pendicular al eje OX, es: Q= - kS ~T, donde k es elcoeficiente de conductibilidad térmica; ~, la temperatura;1;el tiempo y S, el área de la superficie A; (k = 0,0015).

126. Demostrar que la ecuación ddY =JL con la condi.x xción inicial y Ix=o = O tiene infinitas soluciones de la for-ma y = Cx. Esta misma ecuación con la condición inicialylx=o = Yo=1=O no tiene solución alguna. Trazar las cur-vas integrales. . .

127. pemostrar que el problemady

di =ya, Y Ix=a= O

tiene al menos dos soluciones para O< a < 1 Y una para

a = 1. Trazar las curvas integrales para a = ~ ' 1.128. Hallar la solución de la ecuación

~~ =Yllny la (a> O),

que satisface a la condición inicial YIx=o= O. ¿Para quévalores de a tiene solución única?

129. Demostrar que las tangentes a todas las curvasintegrales de la ecuación diferencial

y' + ytg x =.x tg x + 1

en los puntos de sus intersecciones con el eje OY son pa-ralelas entre sí. Determinar el ángulo bajo el cual secortan las curvas integrales con el eje OY.

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:130. cos y' = O.131. eY'= 1.

132. seny' = x.

39

133. In y' = x.134. tg y' = O.135. eY' = x.136. tg y' = x.He aquí algunos problemas en los que se necesita

hallar la solución particular conociendo el comporta-miento de la solución para x - oo.

Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación

x3 sen y . y' = 2,

que cumple la condiciónn

y - 3" cuando

(1)

x_oo. (2)

s o 1u e i ó n. Separando las variables e integrando,hallamos la integral general de la ecuación (1):

1cos y= _2 +C..x

La condiciÓn (2) nos da: cos ~ = C. sea, C = O.De este

modo la integral particular tiene la forma: cos y = ~xA ésta le corresponden infinitas soluciones particulares dela forma

1y=:tarccos2+2nn, n=O, :tI, :t2, oo.x

Entre estas soluciones hay solamente una que cumplé lacondición (2). Esta se halla pasando al límite en la igual-dad (3) para x -- oo.

Resulta:

(3)

n2"= :t arc cosO + 2nn,

De aquí que

o bien, n - + !!. + 2nn.2"--2

1 12 = :f: 2+ 2n (4)

Fácilmente se observa que (4) tiene dos raíces: n = O1 1 , I

d l.

Y n = 2" ; a ralz n ="2 que correspon e a sIgno menos

40

ante arc cos ~ no vale (n tiene que ser entero o igual axcero). Por lo tanta, la solución particular buscada de laecuación (1). es:

1Y = arc cos"'7.

En los siguientes ejercicios hay que hallar las solu-ciones de las ecuaciones que cumplen las condiciones in-dicadas para x -:f: oo.

137. x2y' cos y + 1= 0,16

Y ~ 3" n, x ~ + oo.

10138. x2y'+cos2y=l. y~3n, x~+oo.139. x3y' - seny = 1, y~5n, x~ oo.

1 7140. (1 +X2)Y'-2"cos22y=O, y~?:n,x~- oo.141. ell=e4I1y'+ 1, y es acotada para x~+oo.142. (x + 1)y' = y - 1, Y es acotada para x ~ + oo.

143. y' = 2x (n + y), y es acotada para x ~ oo.

11144. x2y' + sen2y= 1, y~Tn, x~ + oo.

§ 6. ECUACIONESHOMOGENEASy REDUCIBLES A ELLAS

Una función f(x, y) es homogénea de grado n en susargumentos si se cumplela identidad

f (tx, ty);;aFf (x, y).

Por ejemplo,f(x, y) = x2+ y2- xy es una funciónhomogéneade segundo grado, puesto que f(t~, ty)==(tX)2+(ty)2_(tX) (ty) = t2(X2+y2-xy)= t2f(x,y).

41

"1

Para n = O, se tiene u!1a función de grado cero. Por2 2

ejemplo, f (x, y)= \ ¡ Y2 es una función homogénea dex ygrado cero, puesto que

(tx)2- (ty)2 t2 (x2 - y2) x2 - y2f(tx, ty)= (tX)2+(ty)2= t2(X2+y2) = X2+y2 =f(x, y).

Una ecuación diferencial de la forma ~~ =f(x, y) sellama homogénea si f (x, y) es una función homogénea degrado cero en sus argumentos. La ecuación homogéneasiempre se puede representar en la forma

dy = q¡(.JL ). (1)dx x

Introduciendo una nueva función incógnita u =.JL, 'laxecuación (1) se reduce a la ecuación con variables sepa-rables:

dux dX =q¡ (u) - u.

Si u = Uoes una raiz de la ecuación q¡(u) - u = O, la so-lución de la ecuación homogénea es, u = Uo. o bien,y = uox (recta que pasa por el origen de coordenadas).

O b s e r v a c i ó n. Al resolver las ecuaciones homogé-neas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Sepuede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.

Las ecuaciones de la forma

!!.JL= f (alx + b.y + CI )dx a2X + b2y + C2(2)

se reducen a homogéneas trasladando el origen de coor-denadas al punto (xo, Yo) de intersección de las rectas

atX + b¡y+ CI = O Y a2x + b2y + C2 = O.

Esto se consigue haciendo la sustitución. de las variables:x = s+ xo, y = TI+ Yo-

El método indicado no es aplicable cuando las rectasatX + bty + C¡ = O Y a2x+ b2y + C2 = O son paralelas.Pero, en este caso,

a2 -!!1.. =A.,t;- bl

42

y la ecuación (2) se puede escribir en la forma

dyf [ a.x + bly + CI

]F ( + b )dX = "(alx + b.y)+ C2 = a.x IY, (3)

estudiada en el § 5.Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma

P(x, y) dx + Q(x, y)dy= O,

será homogénea si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homo-géneas de un mismo grado.

A veces, la ecuación se puede reducir a homogéneamediante la sustitución de la variable y = za.. Esto ocurrecuando todos los términos de la ecuación son de un mismogrado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado CG

a la variable y, y el grado CG- I a la derivada :~.Ejemplo 1. Resolver la ecuación

xy' = 11x2 - y2 + y.S o l u c i ó n. Escribamos la ecuación en la forma

y' = (1- (~ r +~.

Como la ecuación es homogénea, hacemos u = JLxo bien, y = ux. Entonces, y' = xu' + u. Sustituyendo enla ecuación las expresiones para y e y', obtenemos

du 1/-1 2x-=y -u.dx

Separamos las variablesdu

. VI-u:!dx

--ox

De aquí, integrando hallamos:

arcsenu= Inl x 1+lnC. (CI > O),o bien, arcsenu= InC¡/ x,.

Como CIIx 1= :!: C¡x, haciendo la notación:!: CI= C,obtenemos arcsen u = In Cx,

43

11 1t1t -- -

donderInCx I~"2' o bien,e 2 ~ Cx~ e2. Sustituendoupor .1L tendremos la integral generalx

arcsen 1L = In Cx.x

Por consiguiente, la solución general es: y = x sen In Cx.Al separar las variables dividíamos ambos miembros

de la ecuación por el producto x 111- U2,por lo cual, sepodrian perder las soluciones que convierten en cero susfactores. Pongamos ahora x = O Y V1- u2= O. Perox = ° no es solución de la ecuación, debido a lo cual re.

~

sulta, 1 - .14- = O, de donde y = :f:x. Con una pruebaxdirecta nos convencemos de que las funciones y = - x e

. y = x son soluciones de la ecuación. Estas son soluciones,singulares de la ecuacióndada.

Ejemplo2. Resolverla ecuación(x + y - 2) dx + (x - y + 4) dy = O. (1)

s o I u c i ó n. Examinemos el sistema de ecuaciones al.gebraicas lineales:

X+Y-2=0}x-y+4=0 .

El determinante de este sistema

ó=l: -: I= - 2 =FO.

El sistema tiene solución única: Xo= -1, Yo= 3. Hace-mos la sustitución x = s- 1, Y = '1'\+ 3. Entonces, laecuación (1) toma la forma

(s + '1'\)ds + (s - '1'\)d'l'\= O.

Esta es una ecuación homogénea. Haciendo r¡ = us, obte-nemos

(s + su) d6 + (s - su) (6 du + uds) = 0,

de donde(1 + 2u- u2)ds+ 6(1- u)du=O.

44

Separamos las variables

d6 I-uT+ 1 In.. -_o du=O.

Integrando, hallamos

IIn/6/+ 2ln/l +2u- u21= InC; 62(1+ 2u- U2)=C.

Volviendo a la variables x, y, obtenemos:2

[y - 3 (y - 3)2 ](x+ 1) 1+2 x+ 1- (x+ 1)2 =Ct>

o bien,

x2 + 2xy - y2 - 4x +8y=C. (C=CJ + 14).Ejemplo 3. Resolverla ecuación

(x + y + 1)dx + (2x + 2y - 1) dy = O

S o I u c i ó n. El sistema de ecuaciones algebraicas li-nealesX+y+I=O

}2x + 2y - 1= O

es incompatible.El determinante del sistema

L\=/ ~ ~ 1=0.En este caso no es aplicable el método empleado en elpárrafo anterior. Para integrar la ecuación hacemos lasustitución

x+ y=z, dy=dz- dx.La ecuacióntoma la forma

(2 - z) dx + (2z - 1) dz = O.

Separando las variables obtenemos

2z-1dx--dz=o.z-2De aquí que

x-2z- 31nlz-21=C.

45

Volviendo a las variables x, y, obtenemos 1a integralgeneral de la ecuación dada: x + 2y + 3 InIx + y - 2r ==C.

Ejemplo4. Resolverla ecuación(X2y2- 1)dy + 2xy3dx = O.

S o 1u c i ó n. Hacemos la sustitución y = za, dy == aza-I dz, donde por ahora a es un -número arbitrarioque se elegirá a continuación. Sustituyendo y y dy en laecuación por sus expresiones,obtenemos:

(x2z2a- 1)aza-I dz + 2xz3adx = O.o bien

(X2Z3a-1- za-I) a dz + 2xz3a dx = O.

Obsérvese que el grado de x2z3a-1 es 2 + 3et -1' = 3a + 1,el grado de za-I es a - 1 Y el grado de xz3a es 1 + 3a. La,ecuación obtenida será homogénea si los grados de todoslos términos resultan iguales, es decir, si se cumple lacondición 3a + 1 = a - 1. De aquí que a = -1.

Por consiguiente, tenemos y = J.. la ecuación inicialztoma la forma

(I x2

)X--- dz +2-dx=O

Z2 Z4 Z3 ,o bien,

(Z2- X2)dz + 2zx dx = O.

Pongamos ahora z = ux, dz = udx + x duo Entonces,esta ecuación toma la forma (U2- 1)(udx + x du)++ 2udx = O.De donde

U(U2+ l)dx+x(u2-I)du=O.

Separando las variables en esta ecuación, obtenemos:

. dx U2 - I d - O-X- u3+u u- .Integrando, haIlamos:

InIxl + In (U2+ 1)- In I u 1= In C,o bien,

x(u2+1)=C.u ,1,11''1''di

46

Sustituyendo u por -.! , obtenemos la integral generalxyde la ecuación considerada: 1+ x2y2 = Gy.

La ecuación tiene además la solución trivial y = O,que se obtiene de la integral general escribiéndola en la

forma y = I +ty~ y pasando después a límites para.G-. oo. Por consiguiente, la función y = O es una solu-ción particular de la ecuación dada.

Integrar las ecuaciones:145. 4x - 3y + y' (2y - 3x) = O.

146. xy' = y + 11y2 - x2 .147. 4X2- xy + y2 + y' (X2 - xy + 4y2)= O.

148. 4X2 + xy - 3y2+ y' (- 5X2+ 2xy + y2) = O.

149 ' 2xy.y=32 2'X -y

150. 2xy' (X2+ y2)= Y (y2+ 2X2).151. xy' = Vy2 - X2 .152. ax2 + 2bxy + cy2 + y' (bX2 + 2cxy + fy2) = O.

153. (y4 - 3X2)dy = - xy dx.154. y3 dx + 2 (x2 - xy2) dy = O.

155. (y - xy')~= X2 + y2.156.3x+y-2+y'(x-l)=0.157. 2x + 2y - 1+ y' (x + y - 2)= O.158. (3y-7x +7)dx - (3x -7y - 3)dy=O.

159. (y+yVx2y4+ l)dx+2xdy=O.160. 4xy2dx + (3x2y- 1)dy . O.

161. (x + y3) dx + (3y5 - 3y2X) dy = O.

162. 2 (X2y + VI +X4y2)dx+x3dy=0.163. (2x - 4y) dx + (x + y - 3) dy = O.

164. (x - 2y .:.-1)dx + (3x - 6y + 2)dy = O.

165. (x- y + 3)dx + (3x+ y + l)dy=O.166.(x + y)dx + (x + y - 1)dy= O.167.y cosx dx + (2y- senx)dy = O.

47

168. (x - y cos :)dx + x cos ; dy = O.

169. y3 dy +3y2x dx + 2X3 dx = O.

170. ydx+(2Vxy- x)dy=O.

171. Hallar una curva que posea la propiedad de quela magnitud de la perpendicular bajada del origen de co-ordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del puntode contacto.

172. Hallar la curva para la cual la razón del segmen-to interceptado por la tangente en el eje OY al radio-vec-tor es una cantidad constante.

173. Empleando coordenadas rectangulares, hallar laforma del espejo si los rayos que parten de un punto dado,al reflejarse, son p"aralelos a una dirección dada.

174. Hallar la curva para la cual la longitud del seg.mento interceptado en el eje de ordenadas por la normala cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desdeeste punto al origen de coordenadas.

175. Hallar la curva para la cual el producto de laabscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud delsegmento interceptado en el eje OY por la normal, esigual al duplo del cuadrado de la distancia desde estepunto al origen de coordenadas.

§ 7. ECUACIONESLINEALESDE PRIMER ORDENECUACIONESDE BERNOULLI

Se llama ecuación diferencial lineal de primer ordena la que es lineal con respecto a la función incógnita y suderivada.Esta tiene la forma

~~ + p (x) y = q (x), (1)

48

,

donde p(x) y q(x) son funciones continuas de x en la re-gión en que se pida integrar la ecuación (1).

Si q(x) + O, la ecuación (1) se llama lineal no homo-génea. Si q(x) = O, ~e dice que la ecuación (1) es linealhomogénea. Esta última es una ecuación con variablesseparables y posee la solución general

y = ce- J p (x) dx. (2)

La solución general de la ecuación lineal no homogé-nea se puede hallar por el método de variación de la cons-tante, según el cual se busca una solución de la ecuación(1) de la forma

y = c (x) e - J p (x) dX,

donde c(x) es una función incógnita nueva de x.La ecuación (1) se puede integrar también del modo

siguiente. Hacemosy = u (x) v (x). (3)

Poniendo (3) en (1), después de las transformacionesobtenemos:

u'v + u (pv + v') = q (x). (4)

Determinando v (x) de la condición v' + pv = O, ha-llamos después la función u (x) resolviendo la ecuación(4), obteniendo, por consiguiente, la solución y = uv dela ecuación (1). En este caso, v (x) es una solución parti-cular cualquiera de la ecuación v' + pv = O (distinta dela solución trivial v == O).

O b s e r v a c i ó n. Puede ocurrir que la ecuación dife-rencial sea lineal respecto a x, considerada esta variablecomo función de y. La forma normal de tal ecuación es:

:; + r (y) x = q> (y).

Ejemplo 1. Resolver la ecuación

y' + 2xy = 2xe-x'. (5)

S o l u c i ó n. Apliquemos el método de variación de laconstante. Consideremos la ecuación homogénea

y' + 2xy=0.4-583 49

correspondiente a la ecuación no homogénea dada. Estaes una ecuación con variables separables. Su solución ge.neral tiene la forma

y = ce-x2.

Buscamos la solución general de la ecuación no homo-génea en la forma

y = c(x) e-X2 (6)

donde c(x) es una función incógnita de x.Poniendo (6) en (5), obtenemos c'(x)= 2x. De donde

c(x) = X2+ c. Resumiendo, la solución general de la ecua-ción no homogénea es

y = (X2 + e) e-x',

donde e es la constante de integración.

Ejemplo 2. Resolver la ecuacÍóndy 1dX = x cosy + sen 2y .

S o I u c i ó n. La ecuación dada es lineal, considerandox como functión de y:

dx-¡¡¡¡- x cos y = sen 2y. (7)

Buscamos la solución general de la ecuación en laforma x = u(y) .v(y). Se tiene

dx du dod¡j=V dg+ucr¡¡'

Sustituyendo x y :; en ecuación (7), obtenemosdu

(do

)Vdg+ u djj - vcosy =sen2y.Hallamos v (y) de la condición

dodjj - v cos y = O.

Tomamos cualquier solución particular (no trivial) de estaecuación, por ejemplo v (y) = esenY. Entonces,

duesenydg = sen 2y.

50

11

r

De donde

u= f e-senYsen2ydy=-2e-senY(1 +seny)+c.

Por consiguiente, la solución general es

x = cesen y - 2 sen y - 2.Ecuación de Bernoulli. Esta es una ecuación de la

forma

:~ +p(x)y=q(x)yn, (8)

donde n =1=O; 1, puesto que para n = OYn = 1 esta ecua-ción es lineal. La ecuación (8) se reduce a una ecuación

lineal haciendola sustitución z = n~l' Pero resulta másyconveniente resolver la ecuación de Bernoulli haciendo lasustitución (sin reducirla a lineal) y = u(x)v(x).

Ejemplo. Resolver la ecuación "de Bernoulli:

xy' + y = y2ln x.

s o l u c i ó n. Hagamos y = u (x) v (x). Tendremos

xvu' + u (xv' + v) = u2v21nx.

Hallamos la función v (x) como solución particular dela ecuación xv' + v = O. Resulta, v (x) = J.. . Entonces,x

2u' = ';"In x. Separando las variables e integrando, ob-xtenemos

- J..= f In x dx = - In x -.l- cU x2 X X '

o sea,x

u 1+ ex + In x .La solución general de la ecuación es:

Iy=.. .. .

4* 51

- ...

Integrar las ecuaclones:176. y' + 2y = x2 + 2x.

177.(x2+2x-l)y'-(x+ l)y=x-1.178. x In x . y' - y = X3(31n x- 1).

179. (a2 - X2) y' + xy = a2.

180. 2xy' - y = 3X2.

181.(x+ l)dy-(2y+(x+ 1)4]dx=O.

182.y'= ~ 2 2.x seny sen y

183. y' - 2xy = 2xex'.

x3-2184.X(X3+ l)y'+(2x3-I)y=-.. x

185. y' + y cos x = sen x cos x, y Ix=o = l.

1 V-

186. x Inx . y' - (1 + In x) y +"2 x (2 + In x) = O.

X3187.3xy'-2y=---¡-.y

188. 8xy' - y= - 3Y 1 .Y x+1189. (xy + x2y3) y' = 1.

190. y' - y = 2xex+x'.

191. X'Y'= Y + x2 sen x.

192. x2y' + 2x3y = y2 (1 + 2X2).

193' 2xy.y=2 22.

X -y -a194. 2 sen x . y' + y cos x = y3 (x cos X - sen x).

3x2

195. y' = X3 + y + 1 .

1x+-2 (1 2) Z

196 '+ - -x y. y Y X2 + x + 1 - (X2 + x + 1)1', .

. x2+aZ 1 x (3X2- a2)

197. 3y'+y x (x2-a2)=7 XL . .

198. (1 + X2) y' = xy + x2y2.

199.y' + x ~ 1= - +(x + 1)3y2.

52

200. (X2 + y2 + 1)dY + xy dx = O.

201. y' - 2 I ~ .y ny y-x

202. x(x-l)y'+y= x2(2x-l).

203. yi - Y tg x = secx. y Ix=o= O.204. y' cosy + sen y -:- x + 1.

205. y' + seny + x cosy + x = O.

206.y' - x ¡ I = eX(1 + xt.I

207. f q>(ax) da = mI' (x).o

208. y' +x sen2y = xe-x' COS2y (la sustitución t = tg y).

En los problemas que se dan a continuación hay quehallar las soluciones de las ecuaciones que satisfacen a lascondiciones indicadas:

209. y' - 2xy "7 cos X - 2x senx.y es una función acotada cuando x - oo.

210.2VX y' - Y= - sen Vx- cos Vx,y es acotada cuando x-+oo.

211. y' - Y In 2 = 2senx (cosX - 1)In 2.y es acotada cuando x-+oo.

212. 2x2y' - xy = 2x cos x - 3 sen x,y-O cuando x-+ oo.

sen2x213. y' sen x - ycosx= --z-. x

y-O cuandox- oo. .

214. (1 + X2)In (1 + X2)y' -2xy = In (1+x2)-2x arctg x,n

y- -"2 cuandox- - oo.215 ,xl Ixl. Y -e Y=-sen--e cos-x2 x x'

y-2 cuandox- - oo.216.y' - YInx = - (1 + 21nx) x-x.

y-O cuando x- + oo.53

§ 8. ECUACIONESDIFERENCIALES EXACTASFACTOR INTEGRANTE

La ecuación diferencial de la forma

M (x, y) dx + N (x, y) dy = O (1)

se llama ecuación diferencial exacta si su primer miembroes la diferencial total de una función u (x, y):

iJu iJuM dx + N dy == du == 7iX dx + a¡¡dy.

La condición necesaria y suficiente para que la ecua-ción (1) sea una ecuación diferencial exacta es que secumpla la condición

iJM - iJNdy = dx (2)

(en un recinto simplemente conexo D de variación de x,y). La integral general de la ecuación (1) tiene la formau(x, y) = e, o bien,

x g

J M (x, y) dx + f N (xo' y) dy = C.XO . Yo

(3)

Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial

(sen xy + xy cos xy) dx + X2éos xy dy = O.

S o l u c i ó n. Comprobemos que la ecuación dada esuna ecuación diferencial exacta. Se tiene

iJM a- =-(sen xy + xy cosxy) =ay ay=x cosxy + x cos xy - x~''ysen xy = 2x cos xy - x2y sen xy,

aN a 2ax = iJx (x2 cos xy) = 2x cos xy - x y sen xy,

o sea,iJM - iJNay = ax .

54.

-

Como vemos, se cumple la condición (2). Por consiguiente,x Y

u(x, y) = f (sen xy + xy cos xy) dx + f x~cos xoy dy =~ ~

= x sen xy 1;,+ Xosen xoy I~,= x sen xy - Xosen XoYo;

de modo que

x sen xy C + Xosen XoYo,o bien, x sen xy = CI.

Al resolver agunas ecuaciones diferenciales se puedenagrupar los términos de tal modo que resulten combina-ciones fáciles de integrar.

Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial(X3 + xy2) dx + (X2y + y3) dy = O. (2')

s o 1u c i ó n. En este caso, iJiJ~=2xy, ~~ =2xy, yse cumple la condición (2); por consiguiente, tenemos unaecuación diferencial exacta. Esta se reduce a la formadu = O mediante una agrupación directa de sus términos.En efecto, escribámosla en la forma

x3dx + xy (ydx + xdy) + y3dy=0.Aquí

X3dx = d (~4 ). ' xy (y dx + x dy) = xyd (xy) = d ((x~)2 ),

y3 dy = d (~4 ).Por lo tanto, la ecuación (2') se puede escribir así

d (~4 )+ d ( (X~)2 )+ d ( ~4 )= O,o bien, así

d[ ~4 + (X~)2 + ~4] =0, (2")

Por consiguiente, la integral general de la ecuación (2"),y de la ecuación (2'), es:

x4 + 2 (xy)2 + y4 = C.

En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando(1) no representa una ecuación diferencial exacta, se con-

55

sigue hallar una función I..l(x, y) tal que al multiplicar elprimer miembro de (1) por ella, resulta una diferencialtotal:

du = I..lMdx + I..lNdy. (4)

Tal función I..l(x, y) se llama factor integrante, Segúnla definición de factor integrante se tiene

a iJiJy (I..lM) = iJx (I..lN)

o bien

N~-M~= (iJM - iJN )iJx iJy ay ax JA.,de donde

N a InJ&- M iJIn J& . iJM - iJNiJx iJy iJy iJx . (5)

Para hallar el factor integrante, hemos obtenido unaecuación en derivadas parciales.

Indiquemos. unos casos particulares en que fácilmentese puede hallar la solución de la ecuación (5), o sea, elfactor "integranté.

1. I..l= J,t(x).En este caso, ~~ =0 y la ecuación(5)toma la forma

d In¡.LdX

iJM iJN

ay-ax-N (6)

Para que exista un factor integrante no dependiente dey es necesario y suficiente que el segundo miembro de (6)dependa solamente de x. En este caso, In JA.se halla porcuadraturas.

Ejemplo 1. Examinemos la ecuación

(x + y2) dx - 2yx dy = O.

S o 1u c i.ó n. Aqui

M=X+y2, N=-2xy.Se tiene

iJM iJN

ay - ¡¡;: - 2y+ 2y 2N -..,.. 2xy - -¡ .

56

Por consiguiente.

d In J.L- - .2..dx - x' In J.l= - 21n Ixl,

1J.l=7'

La ecuación

X+y2 dx - 2ELdy =0x2 Xl

es una ecuación diferencial exaCta. Su primer miembro sepuede representar en la forma

~ - 2xy dy - y2 dx OX x. .De donde

d(lnIXI- ~)=Oy la integral general de la ecuación dada es:

y'x=c. eX..

(iJN éJM

)1

2. Análogamente, SI éJx- éJy M depende sola.mente de y, la ecuación (1) tiene un factor integranteJ.l= J.l(y) que depende solamente de y.

Ejemplo 2. 2xy In y dx + (x2+ y2 V y2+ 1) dy = O.

S o 1u ci ó n. Aquí M = 2xy In y, N = x2+ y2 Vy2 + 1.éJN éJM

S t. iJx - éJy - 2x - 2x (In y + 1) 1e lene M - 2 1 = - - .xy n y y

Por consiguiente,

d In J.I.. 1 1-=-- J.l--dy Y . - y .

La ecuación 'X2 + y2 Jfy2 + 1 dy = O2xy Iny dx + yy

es una ecuación diferencial exacta y puede escribirsede la forma d (x2ln y) + y Vy2 + 1 dy = O, de donde

1 ~x21ny + "3(y2+ 1)2= C.

67

Ejemplo 3. Resolverla ecuación(3x + 2y + y2)dx + (x + 4xy + 5y2)dy = O,

si su factor integrante es de la forma fJ.= cp(x + y2)

S o 1u c i ó n. Hagamos z = x + y2. Entonces fJ.=cp(z)y, por consiguiente,

a In f.1- d Inf.1.~ - d In f.1ax - dz ax - dz '

a In 11- d In 11 .~ - d In 11.2yay - dz ay - dz .La ecuación (5) para hallar el factor integral tiene la

forma

(N - 2My) d In 11 = aM - aNdz ay axo bien

aM aNd In 11 ay - ¡¡x.

.--¡Z = N-2My .

Como M = 3x + 2y + y2, N = x + 4xy + 5y2,aM aNay--¡¡x -~-~

N - 2My - x + y2 - Z '

resulta

d In 11 1por lo cual - d =-, de donde fJ.= Z,o sea, fJ.= x+z z+y2. Multiplicando la ecuación dada por fJ.= x + y2 ob-tenemos

(3X2 + 2xy + 4xy2 + 2y3 + y4) dx ++ (X2 + 4x2y + 6xy2 + 4xy3 + 5y4) dy = O.

Esta es una ecuación diferencial exacta y según (3), suintegral general esx

f (3x2 + 2xy + 4xy2 + 2y3 + y4) dx +Xo

o bien,

y

+ f (x~ + 4x~y + 6xoy2 + 4xoy3 + 5y4) dy = e,Yo

x3 + x2y + 2x2y2 + 2xy3 + xy4 + y5=C

58

donde c- e+ x5Yo + 2xW~ + 2xo!fo + xoY~ + yg+ x~. Des-pués de hacer unas transformaciones sencillas resulta

(x + y) (x + y2)2 = C.Integrar las ecuaciones:

217. x (2X2 + y2) + y (X2 + 2y2) y' = O.

218. (3x2 + 6xy2 dx + (6x2y + 4y3)dy = 0.-

(xiI

)219. Y + - + - dx +x2 + y2 x y

(y 1 X )+ +--- dy=O.y x2 + y2 y y2

220. (3x2 tg Y - 2:a3) dx + (X3 sec2 y + 4y3 + ~2) dy = O.

( x2 + y2 ) x2 + y2221. 2x+ 2 dx= 2 dy.X Y xy

222. (Se~2X+x) dX+(y- se;:x)dy=O.223. (3x2- 2x- y)dx + (2y - x + 3y2)dy = O.

224. (~ + 2xy - JL)dx +1 +x2 X

+(Vl +x2+x2-lnx)dy=0.

225. xdx+ydy + xdy-ydx O.y x2 + y2 x2

226. (sen y + y sen x + ~) dx ++ (XCOSy - cosx + ~) dy=O.

227. y+senxcos2xy dx +(~ +sen )d =0.COS2xy COS2xy Y y

228. 2x dx + (y2 - 3x2) dy O I = 1.y3 y. , y ,t=1

229. {n cos (nx + my) - m sen (mx + ny)} dx ++{mcos(nx + my) - n sen (mx + ny)}dy = O.

(

X

)230. xdx+ydy + 1 + ~ XY(X2 + [¡2)(1- x2 - !J2) Y Vy2 -:- X2 y2

X (ydx- xdy)=O.

59

(1 % Y Y )231. -sen---cos-+ 1 dx+y y %2 X

(1 Y X % 1 )+ -cos---sen-+- dy =O.% % y2 Y y2

232. Y (X2 + y2 + a2)dy + X(X2 + y2 - a2)dx=0.233. (X2+ y2 + 1)dx - 2xy dy = 0, f1 = q>(y2 - x2).234. (1- x2y)dx + x2 (y - x) dy = 0, J.t= q> (x).235. (3x2y + y3) dx + (x3 + 3xy2) dy = O.

236. xdx + ydy + x(xdy - y dx)= 0, J.t=q>(X2 + y2).237. (x2+y)dx-xdy=0, J.t=q>(x).238. (x + y2) dx - 2xy dy = 0, J.t= q> (x).239. (2x2y + 2y + 5) dx + (2x3 + 2x) dy = 0, J.t= q> (x).

240. (x. In x - 2xy3)dx + 3x2y2 dy = 0, J.t= q> (x).

241. (x +sen x + sen y) dx +cosy dy = 0, J.t= q> (x).242. (2xy2- 3y3)dx + (7 - 3xy2) dy = 0, J.t= q>(y).

243. (3y2- x) dx + (2y3 - 6xy) dy = 0, f1 = q> (x + y2).

§ 9. ECUACIONESDIFERENCIALESDE PRIMER ORDEN NORESUELTASCON. RESPECTOA LA DERIVADA

1. ECUACION DE PRIMER ORDENY DE GRADO n CON RESPECTO A y'.

(y')"+ p¡(X,y)(y,)"-I+ ...... + Pn-I (X, y) y' + Pn(X, y) = O. (1)

Resolvemos esta ecuación con respecto a y'. Sean

y'=f¡{x, y), y'=f2(X, y), .oo, y'=fk(X, y)(k~n)

las soluciones reales de la ecuación (1).

60

(2)

El conjunto de las integrales

cI>1(x, y, C)= O, cI>2(x, y, C) = O, . . ., cI>k(x, y, C) = O, (3)

donde cI>i(X,y, C) = O es la integral de la ecuacióny' = fi(X, y) (i = 1, ..., k), representa la integral generalde la ecuación (1).

Por lo tanto, por cada punto del dominio en que y'toma valores reales, pasan «k» curvas integrales.

, Ejemplo. Resolver la ecuación2

yy' + (x - y) y' - x = O.

S o l u c i ó n. Despejando y', tenemos

, y - x :!: JÍ(x - y)2 + 4xyy 2/1

o bien, y' = 1, y' = -.3.. de dondey

y=x+C, y2+X2=C2.

Integrar las siguientes ecuaciones:2

244. y' - (2x + y) y' + (X2 + xy) = O.2

245. xy' + 2xy' - y = O.2

246. 4y' - 9x = o.2

247. IJ' - 2yy' = y2 (ex - 1).248. x2y,2 + 3xyy' + 2y2 = o.

2

249. xy' - 2yy' + x = o.2

250. y' - 2xy' - 8X2 = o.3

251. y' + (x + 2) eY=0.

252. !/ - yy,2- x2y'+ x2y = O.

2. ECUACIONES DE LA FORMA f (y. y') = O Y f (x, y') = O.

Si en estas ecuaciones se puede despejar y', resultanecuaciones con variables separables.

Por consiguiente, son de interés los demás casos.a) En la ecuación f(y, y') = Ose puede despejar y:

y = <P(y').

Hacemosy' = p. Entonces,y = <p(p).61

Diferenciando esta ecuación y sustituyendo dy por pdx,obtenemos

p dx = '1>'(p) dp,de donde

dx = q>'(p) dp Y x = Jq>'(p) dp + C.p p

Obtenemos la solución general de la ecuación en formaparamétrica .

x = Jq>'(p) dp + C

Ip . (1)

Y = cp(p)

Ejemplo. y = a (:~ r + b (:~ y (a, b, son constantes).

S o Iu c i ó n. Hacemos :: = p y, por lo tanto, y == ap2+ bp3,

dy = 2ap dp + 3bp2dp, o bien, p dx = 2ap dp + 3br dp.

. 3De aqui que dx=2adp+3bpdp, y, x=2ap+2"bp2+C.La solución general es

x .2ap + ~ bp2+ C\.

y= ap2+ bp3

b) En la ecuación '(y, y') = O no puede despejarse niy ni y' (o se despejan con dificultad), pero estas últimaspueden expresarse en forma paramétrica mediante algúnparámetro t:

y = cp(t), b = 1jJ(t) (p = :~).

Entonces, dy = p dx = 1jJ(i)dx.Por otra parte, dy = cp'(i) di, de modo que 1jJ(t)dx =

=cp'(i)di Y dx= ~m di. .De donde

I

J q>'(/) dt.x = '" (/)

62

Por consiguiente, obtenemos la solución general dela ecuación diferencial dada en forma paramétrica

f tp' (t)

Ix = w(t) dt +e .

, y = cp(t)

Ejemplo.y'l.+ (y')'I.= l.S o I u c i ó n. Hacemos

y = COS3t, y' = P = sen3t,

dx =.!!J!= - 3 COS2 t sen t dt = - 3 COS2 t dt.p sen3 t sen2t

(2)

De donde

x = f (3- se~2 t )dt = 3t +3 ctg t + C.

La solución general es

x = 3t + 3 ctg t + e}y = cos3t .

c) Ecuación de la f (x, y') = O. Supongamos que enesta ecuación se puede despejar x: x = cp(y'). Haciendoy' == p, obtenemos .

dx = cp' (p) dp.

Pero dx =.!!..JLy, por consiguiente, .!!J!= cp'(p) dp, dep pmodo que

dy = prp'(p)dp, y, y = f pcp'(p) dp + c.Por lo tanto, tenemos la solución general de la ecuaciónen forma paramétrica (p es un parámetro):

x = cp(p)

Iy = f cp'(p)Pdp + e .(3)

o b s e r v a ci ó n. En las ecuaciones (1) Y (3) no se puedeconsiderar p como la derivada, sino como un parámetro.

dy ( dy )2 -Ejemplo. a dX + b.rlX - x.

63

s o l u c i ó n.

:: =p, x=ap+bp2, dx=adp+2bpdp,dy = p dx = apdp + 2bp2dp,

Y = ~ p~ + -i bp3 + C.

Así, pues,

x = ap + bp2

Iy = ~ p~ + ;bp3 + e es la solución general.

Por analogia con el caso b), se puede probar resolverla ecuación f (x, y') = O introduciendo un parámetro t.

Integrar las siguientes ecuaciones:

253. Y = y,2 ell'.1/'

254. y' =e Y.255. x = Iny' + sen y'.

2256. x = y' - 2y' + 2.257. Y= y' Iny'.258. Y = arc sen y' + In(1 + y.,2).

259. y=(y'-I)ell'.1

0 ,2 -,26 . Y x = e 11.

261. x (1 + y,2)= 1.3

262. x(1 + y,2)?: = a.2 2 :1

263. y5 + y'S == aS..4 4 2

264. Y - y' - yy' =0.265. x = y' + sen y'.266. Y= y' (1+ y' cosy').

64

j

3. ECUACIONESDE LAGRANGEY CLAIRAUT

a). La ecuación de Lagrange tiene la forma:

y = xq>(y') + ,¡,(y').

Haciendo y' = p, diferenciando y sustituyendo dy porp dx, reducimos esta ecuación a otra que consideradaen x como función de p es lineal. Resolviendo esta últimax = '(p, C), obtenemosla solución general de la ecuacióninicial en forma paramétrica:

x=,(p, C)}y =, (p, C)q>(p) + '" (p) (p es un parámetro).

Además, la ecuación de Lagrange puede tener solucio-nes singulares (véase § 11) de la forma y = q>(c)x ++ ,¡,(c), donde e es una raíz de la ecuación e = q>(c).

Ejemplo.Integrar la ecuación

y=2xy' + Iny'.

s o 1u c i 6 n. Hacemos y' = p. Entonces, y = 2xp ++ lnp.

Diferenciando, hallamos

pdx=2pdx + 2x dp + d: 'de donde

dx l. dx 2 1 .P-=- 2x-- o bIen -=--X--.

dp p , 'dp P p2

Hemos obtenido una ecuación de ler orden, que respectode x es lineal. Resolviéndola hallamos

C 1x=---p2 p'

Poniendo el valor haUado de x en la expresión de y,resulta

C 1

¡

X=---p2 P

2C .y=ln P+p- 2

5-583 65

b) La ecuación de Clairaut es de la forma

y = xy' + 1\> (y').

El método de resolución es el mismo que para la ecua-ción de Lagrange. La solución general de la ecuación deClairaut tiene la forma

y=Cx + 1\> (C).

La ecuación de Clairaut puede tener también una solu-ción singular, que se obtiene eliminando p entre las ecua-ciones

y = xp + 1\> (p), x + 1\>' (p) = O.

Ejemplo. Integrar la ecuación

y = xy' + 2; (a = const).

ys o 1u c i ó n. Haciendo y' = p, obtenemos

Examinemos los dosres del primer miembroúltima ecuación.

Igualando a cero el primer factor, tenemosdp=O,

de donde p = C, y la solución general de la ecuación ini-cial es

Fig. 12

ay = xp+ 2ji.

x

Diferenciando esta últimaecuación y sustituyendo dy porp dx, hallamos p dx = P dx +

a .

+x dp - 2p2 dp, de donde

dp (x - 2~2) = o.facto-de la

ay=Cx+2Co

Este es un haz monoparamétricode rectas.66

Igualando a cero el segundo factor tendremos:

aX = 2p2 '

Eliminando p entre esta ecuación y la ecuación y == xp + 2ap'resulta y2= 2ax. Esta también es una soluciónde la ecuación considerada (solución singular).

Desde el punto de vista geométrico la curva y2 ... 2axes la envolvente del haz de rectas determinado por la so-lución general (fig. 12).

Integrar las sjguientes ecuaciones:

267.2y=xy'+y'lny'.

268. y = 2xy' + In y'.

269. Y = x (1 + y') + y".270. Y = 2xy' + sen y'.

271. Y =xy,2 - ~ .272.Y= i xy' + eY'.

273. y = xy' + ;2.274. Y = xy' + y,2,

275. xy" - yy' - y' + 1== O.

276. Y = xy' + a VI + y,2 .ay'

277. y=xy' + .r-'1 +y'2

Y 1278. x=- +--¡-.y' y'

279. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejescoordenados un triángulo de área constante S = 2a2.

280. Hallar la curva para la cual el segmento de latangente comprendido entre los ejes coordenadas tiene unalongitud constante a.

5' 61

§ la. COMPOSICIONDE LAS ECUACIONESDIFERENCIALESDE LAS FAMILIASDE CURVAS. PROBLEMASDE TRAYECTORIAS

1. Composición de las ecuaciones diferenciales de lasfamilias de curvas.

Sea dada la ecuación de una familia monoparamétricade curvas planas .

y = q> (x, a) (a es un parámetro).

Derivando (1) respecto de x, hallamos'- ' ( )y - q>x x, a .

(1)

(2)

Eliminando el parámetro "a" entre (1) Y (2), obtenemosla ecuación diferencial

F (x, y, y') = O, (3)

que expresa una propiedad común de todas las curvas dela familia (1).

La ecuación (3) es la ecuación diferencial buscada dela familia (l). .

Si una familia monoparamétrica de curvas se determi-na por la ecuación

el>(x, y, a) = O, (4)

se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro"a" entre las ecuaciones

eI>(x,y, a)=O

I011>+011> '=0 .OX oy y(5)

Supongamos ahora que se da la relación<1>(x, y, al>ll:!,..., an)= 0, (6)

68

donde al, a2. ..., an son parámetros. Derivando "(6) res-pecto de x, n veces, y eliminando los parámetros al, a2. . . ..... an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemosuna relación de la forma .

F (x, y, y', y", ..., y(n»)= O. (7)

. Esta es la ecuación diferencial de la familia n-para-métrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6) es laintegral general de la ecuación (7).

2. Problemas de trayectorias.Sea dada una familia de curvas planas:

<D(x,y, a) = O,

dependiente de un parámetro a.La curva que en cada uno de sus puntos forma un

ángulo constante a con la curva de la familia (1) quepasa por el mismo punto, se llama trayectoria isogonal de

la familia. En particular, si a = ~ ,se tiene una trayectoriaortogonal.

Suponiendo dada la familia (1) buscaremos sus trayec-torias isogonales.

a) Trayectorias ortogonales.Se forma la ecuación diferencial de la familia de cur-

vas dada (véase el p. 1):F(x, y, y')=O.

La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonalestiene la forma:

(1)

(2)

F(X, y, - ~ )=0. (3)

La integral general de esta ecuación<DI(x, y, C)=O (4)

proporciona la familia de trayectorias ortogonales.Supongamos que la familia de curvas planas se da por

una ecuación en coordenadas polares<D(p, 'P, a) = O, (5)

donde a es un parámetro. Eliminando el parámetro a entre

(5) y ~~ = O, obtenemos la ecuación diferencial de la69

familia (5): F(p, ep,p') = O. Sustituyendo en esta p' por-- p2, obtenemos la ecuación diferencial de la familia de

plas trayectorias ortogonales:

F(p. ep.- ~:) =0.b) Trayectorias isogonales.Supongamos que las trayectorias se cortan con las

curvas de la familia dada bajo un ángulo ex,donde tg ex=k.Se puede demostrar que la ecuación diferencial de lastrayectorias isogonales tiene la forma

( Y'-k )F x, y. 1+ ky' =0.Ejemplo 1. Hallar la ecuacióndiferencialde la familia

de hipérbolasx2 y27-1=1.

S o 1u c i ó n. Derivando esta ecuación respecto de x,obtenemos

2x 2 ' O b. x ,-- yy = . o len, -z=yy.a2 a

Multipliquemos ambos miembros por x; entoncesx2

(i2 = xyy'.

Sustituyendoen la ecuación,hallamosxyy' - y2 = 1.

Esta es la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas.

Ejemplo 2. Hallar la ecuación diferencial de la familiade curvas (a es un parámetro)

y=a(l-e-:).S o 1u c i ó n. Derivando respecto de x ambos miembros

de la ecuación, se tienex

y'=e-íJ,

70

De aquí quex

a=- Iny' .Poniendo la expresión obtenida de a en la ecuación de

la familia de las curvas, obtenemos

o bien,

xy=-- (l- y')In y' ,

ylny' +x(l- y')=O.

Esta es la ecuación diferencial buscada de la familia decurvas dada.

Ejemplo 3. Hallar las trayectorias ortogonales de lafamilia de rectas y = kx.

S o I u c i ó n. Esta consta de rectas que pasan por elorigen de coordenadas.

Para hallar la ecuación diferencial de la familia dada,derivamos respecto de x ambos miembros de la ecuacióny = kx. Resulta, y' = k. Elimi-nando el parámetro k en elsistema de ecuaciones

y

y = kx}y'=k '

obtenemos la ecuación diferen-cial de la familia: xy' = y.Sustituyendo en ella y' por- J" resulta la ecuación di-yferencial de las trayectorias

ortogonales - ; = y, o bien,yy' + x = O. Esta es una ecua-ción con variables separables;integrándola obtenemos la ecuación de las trayectoriasortogonales X2+ y2 = C (C ~ O). Las trayectorias orto-gonales son circunferencias con el centro en el origen decoordenadas (fig. 13).

Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la familia de las cur-vas que son ortogonales a la familia x2 + y2 = 2ax.

Fig. 13

71

so 1u c i ó n. La familia dada de curvas representauna familia de circunferencias cuyos centros están situa-dos en el eje OX y son tangentes al eje OY.

Derivando respecto de x ambos miembros de la ecua-ción de la familia dada,hallamos:

x + y y' = a.Eliminando el parámet-ro a entre las ecuaciones

x2 + y2 = 2ax}

,x + yy' = a

obtenemos la ecuacióndiferencial de la fami-lia dada:

x2 - y2 + 2xyy'=O.La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:

2 2 + 2 (1) O b. , 2xy

x - y xy -!1 = , o len, y = x2 - y2 .

y

Fig. 14

Esta ecuación es homogénea. Integrándola obtenemos:x2 + y2 = Cy. Las curvas integrales son circunferenciascuyos centros están situados en el eje OY y son tangentesal eje OX (fig. 14).

Ejemplo 5. Hallar las trayectorias ortogonales de lafamilia de parábolas

s o 1u c i ó n. Formamos la ecuación diferencial de lafamilia de parábolas. Para esto, derivamos respecto de xambos miembros de la ecuación dada: y' = 2ax Elimi.

nando el parámetro a, hallamos y' =.!. o bien, y' = 2y,Y x xque representa la ecuación de la familia considerada

Sustituyendo en esta ecuación y' por - ~. obtenemosla ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales- .1,=~. o bien, dd

Y = - -2x . Integrándola, hallamosy x x y

X2 x2

y2=- T+C, o bien, T+y2=C, donde C>O. La

72

familia ortogonal buscada es una familia de elipses(fig. 15). I

Ejemplo 6. Hallar las trayectorias ortogonales de lafamilia de lemniscatas

p2= a cos 2q>.

S o 1u c i ó n. Tenemos

p2= a cos2q>

pp' = - asen 2q>.

Eliminando el parámetro a obtenemos la ecuación di-ferencial de la familia de curvas dada:

p' = - p tg 2q>.

y

x

y

Fig. 15 Fig.16

Sustituyendo p' por - p~ hallamos la ecuación diferen-pdal de las trayectorias ortogonales

. p2

- P' = - p tg 2q>.

De donde ~ = ctg 2q>dq>.Integrando, obtenemos la ecua-p -ción de las trayectorias ortogonales

p2 = e sen 2q>.

Las trayectorias ortogonales de la familia de lemniscatasson lemniscatas cuyos ejes de simetría forman con el ejepolar un ángulo de :f:45° (fig. 16). .

73

Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientesfamilias de curvas:

286. y2 = 2Cx + C2.

287. Y = ax2 + bx +- C.

288. y = C1x + EL + Ca.x

289. (x-a)2 + (y- b)2= 1.290. Y = CJex+ C2e-x.

291. y ~ asen (x + a).Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes

familias de curas:

292. y2 + 2ax=a2. a> O.

293. y = axll.a es un parámetro

294. y = ae(1x. C1= consto295. cos y = ae-x.

1296. X2 +"2 y2 = a2.

a281. y=x'

282.r- y2=ax.x

283. y= aea.284. y=Cx-C-C2.285. y = eX(ax + b).

297. x2 - y2= a2.

298. Xk+ yk = ak.299. X2+ y2 = 2ay.

1300. x2 -"3 y2 = a2.

301. p=a(l +cos<p).

302. y2= 4 (x - a).

§ 11. SOLUCIONESSINGULARES

Una solucióny = <p (x) de la ecuación diferencial

F(x. y. y')=O (1)

se llama singular, si en cada uno de sus puntos se infringela propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de suspuntos (xo. Yo). además de esta solución, pasa tambiénotra solución que tiene en el punto (xo, Yo) la misma tan-gente que la solución y = <p(x), pero que no coincide con~sta última en ningún entorno del punto (xo. Yo) arbitra-riamente pequeño. La gráfica de una solución singular se74

llamará curva integral singular de la ecuación (1). Si la

función F (x, y, y') y sus derivadas parciales ~~ y ~;son continuas con respecto a todos los argumentos x,y, y',cualquier solución singular de la ecuación (1) satisfacetimbién a la ecuación:

aF(x, y, y') - O.ay' (2)

Por consiguiente, para hallar las soluciones singulares dela ecuación (l) hay que eliminar y' entre las ecuaciones(l) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y':

'iJ(x, y) = O, (3)

se denomina p-discriminante de la ecuación (1), y la curvadeterminada por la ecuación (3), curva p-discriminante(abreviado, escribiremos: CPD).

Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone enunas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar sicada una de éstas por separado es solución de la ecuación(l), y en caso afirmativo se debe comprobar si es soluciónsingular es decir, si se infringe la unicidad en cada unode sus puntos.

Se llama envolvente de una familia de curvas

@(x, y, C)=0 (4)

a la curva que en cada uno de sus puntos es tangente auna de las curvas de la familia (4), siendo cada segmentode la misma tangente a una infinidad de curvas de la fa-milia (4). *)

Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la en-volvente de la familia de curvas (4), en caso de que exista,será una curva integral singular de esta ecuación.

En efecto, en los puntos de la envolvente los valoresx, y, y' coinciden con los valores correspondientes de lacurva integral que es tangente a la envolvente en el punto(x, y); por consiguiente, en cada punto de la envolventelos valores x, y, y' satisfacen a la ecuación F (x, y, y') = O,es decir, la envolvente es una curva integral.

*) Se dice que las curvas r) y r2 son tangentes en un punto Mo. siéstas tienen en este punto una tangente común.

75

Por otra parte, en cada punto de la envolvente se in-fringe la unicidad, puesto que por cada punto de la mismapasan al menos dos curvas integrales en una misma di-rección: la envolvente y la curva integral de la familia (4)que es tangente a ésta en el punto considerado. En conse-cuencia, la envolvente es una curva integral singular.

Por el curso de análisis matemático se sabe que la en-volvente forma parte de la curva C-discriminante (abre-viadamente CCD) determinada por el sistema de ecuacio-nes

<D(x, y, C)= O

IaiD (x, y, C) = OiJC

Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella secumplen las condiciones siguientes:

1) Las derivadas parciales :~ y :~ existen y susmódulo~ están acotados:

I ~~ I~M, I ~~ I~N,

donde M y N son constantes;iJeII . iJeII

2) ax =1=O, o SinO ay =1=O.

(5)

(6)

(1)

o b s e r v a c i ó n 1. Las condiciones 1) y 2) sola-mente son suficientes, por lo cual, .pueden ser envolventestambién las ramas de la CCD en las que no se cumplealguna de estas condiciones. .

O b s e r v a c i ó n 2. En el caso general, el p-discrimi-nante contiene:

1. A la envolvente (E).2. Al lugar geométrico de los puntos de contacto al

cuadrado (C2).3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de

retroceso) (R):

l1p=E. C2. R.

El C-discriminante contiene:1. A la envolvente (E).2. Al lugar geométrico de

cuadrado (A2).

76

(8)

los puntos anocdales al

3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o deretroceso) al cubo (R3):

Ac= E . A2 . RJ. (9)

Entre todos los lugares geométricos solamente la envol-vente es solución (singular) de la ecuación diferencial.Esta figura tanto en la curva p-discriminante como en lacurva C-discriminante a la primera potencia, circunstanciaque facilita la averiguación de la solución singular.

Ejemplo 1. Hallar las soluciones singulares de la ecua-ción diferencial

2

2y (y' + 2) - xy' = O.

S o 1u c i ó n. La solución singular, si ésta existe, sedetermina por el sistema:

22y (y' + 2) - xy' = O

},

2y - 2xy' = Odonde la segunda ecuación (2) se ha obtenido de la (1)derivando con respecto a y'. Eliminando y' se obtiene lacurva p-discriminante

y2 + 4xy = O,

que se descompone en dos ramas:

y=O

(1)

~ (2)

(3)

y = -4x.Reemplazando nos convencemosde que estas functionesson solucionesde la ecuación (1).

Para determinar si las soluciones (3a) y (3b) son sin-gulares o no, hallamos la envolventede la familia

Cy - (C- r) = O,

(3a)

(3b)y

(4)

que representa la integral general de la ecuación (1).He aquí el sistema para la determinación de la curva

C-discriminanteCy - (C-X)2=0

}.

Y - 2 (C- x) = O

Eliminando C entre estas ecuaciones, obtenemos:

y2 + 4xy = O

(5)

77

o bien, y'= O e y = - 4x, lo cual coincide con (3a) y(3b). Como en las líneas (3a) y (3b) se cumplen las con-diciones (6) y (7), hacemos la conclusión de que las líneasy = O e y = - 4x son envolventes y, por lo tanto, (3a) y(3b) son soluciones singulares de la ecuación dada.

Las curvas integrales (4) son parábolas y = (C~X)2 ,mientras que las líneas y = O,Y = - 4x son las envol-ventes de esta familia (fig. 17).

Ejemplo 2.y'2= 4X2.

Derivando (1) con respecto a y', resulta:2y' = O.

Eliminando y' entre (1) y (2), obtenemos:x2 = O. . (3)

El eje de ordenadas es la curva discriminante. Esta no esuna curva integral de la ecuación (1), pero según el es-

(1)

(2)

yy

xx

Flg. 17 Flg. 18

quema (8), puede representar el lugar geométrico de lospuntos de contacto de las curvas integrales.

Las soluciones de la ecuación (1) son las parábolasy=r+C, y=-X2+C (4)

y las curvas diferenciables que se pueden formar con suspartes (fig. 18.) .78

En la fig. 18 se observa que la recta x = Overdadera-mente es el lugar geométrico de los puntos de contacto delas curvas integrales de la ecuación (1).

Ejemplo 3.

y,2(2- 3y)2= 4 (1 - y). (1)

Hallemos la CPD eliminando y' entre el sistema de ecua-ciones:

y,2(2- 3y)2- 4(1- y) = O}.

2y' (2 - 3y)2 = O

(2 - 3y)2 (1 - y) = O.

Transformamos (1) a la forma

~- + 2-3ydy - - 2J1T-y ,

Yhallamos la integral generaly2 (1 - y)=(x -C)2.

(2)

Resulta:(3)

(4)

Eliminando C entre las ecuaciones del sistema

y2(I-y)-(x-C)2=0}2 (x - C)= O

hallamos la CCD:

(5)

y2(1 - y)=O..

Así, pues, de (3) y (6) obtenemos:

l1p= (l - y) (2 - 3y)2,

l1c=(I- y)y2.

(6)

El factor l - Y está elevado en el p-discr-iminante y en elC-discriminante a la primera potencia y representa la en-volvente. Por lo tanto, la función y = l es una soluciónsin guIar de la ecuación diferencial (1). Sustituyendo di-rectamente nos convencemos de que y = l satisface a laecuación.

La ecuación 2 - 3y = O,que está elevada a la segundapotencia en el p-discriminante y que no figura en el C-dis-criminante, representa el lugar geométrico de los puntosde contacto (C2).

79

Finalmente, la ecuación y = O, que está elevada a lasegunda potencia en el C-discriminante y que no figuraen el p-discriminante, repres-enta el lugar geométrico delos puntos anocdales (A2) (fig. 19).

Ejemplo 4. Dada la familia de curvas integrales

y2 - (x + C)3= O (1)

de una ecuación diferencial de primer orden, hallar unasolución singular de la misma.

Enyolventewgor geométriCIIde los /IlIfl/osde colfto&to

lvgor gt'b11!trtco'de los fJ(JT1/DS

onocdáles

Fig. 19

s O 1u c i ó n. Hallamos la curva C-discriminante:

y2 - (x + C)3 + O}- 3 (x + C)2= O . (2)

Eliminando aquí C, resulta,

y = O. (3)

Como en la recta y = O no se cumple la condición (7),pues, en virtud de la ecuación(2),

acDax = - 3 (x + C)2 = O,

Y en virtud de la ecuación (3),acD-=2y=0,ay..

la recta y = O es el lugar geométrico de los puntos múl-tiples de la familia (1) o con más precisión, de los puntosde retroceso (véase la fig. 20).

Pero, a la vez, este lugar geométrico de puntos y = Oes también la envolvente de la familia (1), pues, en cual-quier punto (- C, O), tanto para la recta y = O como80

Fig.20

,I

I

~

3

para la parábola semicúbica y = (x + cf2", se cumplela igualdad de sus coeficientes angulares y' Ix= -c = O.

Por consiguiente, la función y = Oes una solución sin-

gular de la ecuación diferencialy = :7 y'S, para la cual,la familia (1) es la integral general.

Ejemplo 5. Hallar la solución singular, partiendo dela ecuación diferencial

2xy' - 2yy' + 4x = O

Y de su integral general

x2=2C(y - 2C).

(1)

(2)

s o 1u c i ó n. ~lim'inemos C entre las ecuaciones2C(y - 2C)- X2 = O

}.

2 (y - 2C)- 4C = O(3)

Obtenemos:

o bien.y2 - 4X2=O,

y=:!: 2x. (4)

Ambas rectas (4) son lineas integrales de la ecuación (1),por 10 cual las funciones y = 2x e y = - 2x son solucio-nes singulares de la ecuación (1).

En los siguientes ejercicios hay que hallar las solucio-. nes singulares, si éstas existen:

303. (1 + y,2) y2 - 4yy' - 4x = O.2

304. y' - 4y = O.S

I 305. y' - 4xyy' + 8y2= O.2

306. y' - y2=O.

307. y' = t y2 + a ¿Para qué valores del parámetro atiene esta ecuación solucion singular?

308. (xy' + y)2 + 3x5 (x y' - 2y) = O.309. Y (y - 2xy')2 = 2y'.

s 2310. 8y' - 12y' = 27 (y - x).311. (y' - Il = y2.

6-583 81

Mediante el C-discriminante, hallar las soluciones sin-gulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden,sabiendo sus integrales generales.

2312. Y = xy' + y'; y = Cx + C2.

313. (xy' + y)2 = y2y'; Y (C - x) =C2.

314. y2y,2 + y2 = 1; (x - C)2+ y2 = 1.2 1

315. y' -yy'+ex=O; y=CeX+c.2

316.3xy' -6yy' + x + 2y= O; X2 +C(x-3y) +C2=0.

317. y = xy' + Va2y,2 + b2; y = Cx Va2C2 + b2.

§ 12. DIVERSOS PROBLEMAS

~

Integrar las siguientes ecuaciones:

318. (y':- y3) dx + (2xy2 - x - ay2) dy = O. .

319. y'=(x - y)2+ 1.320. x sen x. y' + (sen x - x cos x) y = senx cosx-x.

321. :~ + y cos x = yn sen 2x n =j=.1.

322. (X3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O.323. (5xy - 4y2 - 6X2)dx + (y2 - 8xy + 2,5x2) dy = O.

324. (3xy2- X2) dx + (3x2y - 6y2- 1)dy = O.

325. (y - xy21n x) dx + x dy = O. J.t = Ip (x .y).

326. (2xyex' - x sen x) dx + eX'dy = O.

327. 2y' + y2 + ~=O.x, 1

328. Y = 2 2 .x-y329. X2+ xy' = 3x + y'.

82

i

330. 4x3y2 dx + (X4 - 2x4y - 1) dy = O.

331. xy y' - y2 = x4.

332 dx dy. x2- xy + y2 2y2 - xy .1-4x

333.(2x- 1)y' - 2y= --r-.x

334. (x-y+3)dx+(3x+y+ l)dy=O.

335. y' + cos x ~ y = cos x -;y .2

336. y' (3x2 - 2x) - Y (6x - 2)+ - (9x - 4) = O.x1

337. xy2y' - y3 =3" X4.

338. y' = tg2(ax + by + e), b ::Fa, ab > O.

339. (1 + e =) dx + e:(1 - ;)dy = O, Y 1=1= 1.340.,(X2 + y2)dx - xy dy = O.

341. (x - y+ 2)dx+ (x - y+ 3)dy=O.342. (xy2 + y) dx - x dy = O.

343. (X2+ y2+ 2x) dx +2ydy=O. .344. (x - 1)(y2- y + 1) dx = (y + I)Jx2 + x + 1) dy.

3,45.(x - 2xy - y2)y' + y2 = O.

346. ycos x dx + (2y - sen x) dy = O. '

347. y' - 1=eX+2y.

348. 2 (x5+ 2x3y - y2x) dx + (y2 + 2x2y - x4) dy = O.

849. x2yny' =2xy' - y, n::F - 2.850. (VI + X2 + ny)dx + (VI + y2 + nx) dy = O,

Y 1»-0= n.851. [3 (x + y) + a2] y' = 4 (x + y) + b2.

352. ax yy" + (r - ay2 - b) y' - xy = O,(la sustitución x2= S, y2= t).

358. (x - y2)dx + 2xy dy = O.

1

6* 83

J

§ 13. ECUACIONESDIFERENCIALESDE QRDEN SUPERIOR.REDUCCION DEL ORDENDE LA ECUACION

Las ecuaciones diferenciales de n-éstimo orden tienenla forma

r;' (x Y'

Y" (n))- 0.A ,y, , ,..., y -.

o, despejando y(n),

Y(B)- f (x Y Y' Y" Y(n-I»- , , "..., .

Subsiste el siguiente teorema de existencia y unicidadde la solución de la ecuación diferencial (2).

Teorema. Si en la ecuación (2) la función f(x, y, y',y", ..., y(n-I», cumple las siguientes condiciones: .

a) es continua respecto de sus argumentos x, y, y',y", . . . , y(n-I), en un recinto D de variación de los mismos,

b) tiene derivadas parciales continuas .2L, .2Lay ay' ,

al al t l t I"-, .. ., (n 1) con respec o a os argumen os y, y ,y ,...ay" ay -. . . , y(n-I)en el recinto D, entonces, existe y es única lasolucióny = q>(x) de la ecuación (2) que verifique lascondiciones

Y I - Y Y ¡I' - Y'

Y(n-I) I - Y(n-I) (3)~x, - o'. I=x. - o' ..., x=x.- o '

donde los valores x = xo'y = yo' y' = y~, yln-I)= y~n-l)están comprendidos en el recinto D. .

Las condiciones (3) se llaman condiciones iniciale~.El problema que tiene por objeto hallar la solución

y = q>(x)de la ecuación (2) que cumple las condi~Jonesiniciales (3) se denomina problema de Cauchy.

Para las ecuaciones de segundo orden y" = f(x, y, y/),las condiciones iniciales son de la forma

y I=X8= Yo' y' I=x. = y~,

(1)

(2)

S4

donde xo, Yo, y~ son unos números dados. En este caso, elteorema de existencia y unicidad tiene el siguiente signifi-cado geométrico: Por el punto dado Mo(xo, Yo) del planoXOY pasa una sola curva integral que tiene una pendientedada y~.

Se llama solución general de una ecuación diferencial(2) de orden n, el conjunto de todas sus soluciones deter-minadas por la fórmula Y = q>(x,CI, C2, ..., Cn), quecontiene n constantes arbitrarias CI, C2,..., Cn tales que,dadas las condiciones iniciales (3), existen unos valoresCI, C2, ..., Cn de modo que y = q>(x,CI, C2, ..., Cn) seala solución de la ecuación (2) que cumple las condicionesiniciales.

Cualquier solución, obtenida de la solución generalpara valores asignados de las constantes arbitrariasCI, C2, . . . , Cn, se llama solución particular de la ecuacióndiferencial.

Una relación de la forma$(x, y, CI, C2, ..., Cn)=O,

que determina en forma implicita la solución general dela ecuación diferencial se llama integral general de lamisma.

Asignando a las constantes CI, C2,. . ., Cn unos valoresnuméricos admisibles concretos, obtenemos una integralparticular de la ecuación diferencial.

La gráfica de una solución particular o de una integralparticular se llama curva integral de la ecuación diferen-cial considerada.

Ejemplo. Demostrar que y = Clx + C2 es la solucióngeneral de la ecuación diferencial y" = O.

S o I u c i ó n. Demostremosquey = Clx+ C2satisfacea la ecuación dada. En efecto, tenemos y' = C.. y" = O.

Supongamos ahora que se dan unas condiciones inicia-les arbitrarias y Ix=xo= Yo' y' Ix=xo= y~. Demostremos quelas constantes CI y C2 se pueden elegir de modo quey = Clx + C2 cumpla estas condiciones. Se tiene

y=CIX+C2, y'=CI.Poniendo x = xo, obtenemos el sistema:

yo=CIXO+C2}, C '

yo= 1

85

del que univocamente se determinan CI= y~ y C2== Yo- xoY~' Por lo tanto, la solución Y = y~(x - xo)+ Yocumple las condiciones iniciales asignadas. Geométrica-mente, esto significa que por cada punto Mo(xo, Yo) delplano XOY pasa una sola recta que tiene una pendientedada. .

Evidentemente, una sola condición inicial, por ejemplo,Y Ix=xo= Yo' determina un haz de rectas con centro en elpunto Mo(xo, Yo), es decir, una sola condición inicial noes suficiente para garantizar la existencia de soluciónúnica.

Demostrar en los siguientes ejercicios que las funcionesdadas son soluciones de las ecuaciones indicadas:

354. y = e-X (3 cos x - 2 sen x), y" + 2y' + 2y = O.355. Y= e2x(Clcos 2x + C2sen 2x), y" - 4y' + 8y = O.

356. y = x (sen x - cos x), y" + y = 2 (cosx + sen x).357. y = (Cl + C2x) e-3x, y" + 6y' + 9y = O.

358. Y = x2lnx, xylll = 2.2

359. X=y2+y, y'ylll=3y".2

360. x + C=e-Y, y" =y' .3 2

361. x=y + Iny, yy" + y' - y' =0.X I

362. y=CI +C2 f f-dt,I

xy" + (1 - x) y' = O.

f2 el

363. y=Clx +C2x t di (x> O),x

x2y" - (X2 + x) y' + (x + 1) y = O.e

fdt

364. y=Cllnx+C2Inx 1ñT (x> 1),. x

x21n2x. y" - x In x . y' + (Inx + 1)y = O.

, x=t(2Int-l) +Cl}365. y=t2Int+C2 ,y"(1 +2Iny')= 1.

x - (t + 1) el + C}

366 - I " y' (, + 2) = 1. Y= t2et+ C2 ' y e y .

86

(I

)I

x = C C i - - sen 2i367. 2 + I 2 , 2(1 - y)y" = 1+ y'2.

y = 1- Cl sen2 i

l. 3 1x = 2" In i + 4t2

I368. I 3 '

y=-¡ i+ 4f3

Verificar que las funciones dadas son las solucionesgenerales de las ecuaciones correspondientes:

369. y = CI sen x + C2 cos x, y" + y = O.I

370. Y = - (C1eX + C2e-X),x

371. y=C1x+C2Inx, x2(1-lnx)y"+xy'-y=0.

372. y = V(x + CI)2+ C2, yy" + y,2= l.3

373. x + C2= y3+ C1y, y" + 6yy' = O.

374. x + C2= Insen (y + CI), y" = y'(1 + y,2).

2y" - 2y'y" + 3= O.

xy" + 2y' - xy =0.

x

fsen t

375. Y = C1x+ C2x -r- di,o

x sen x . y" - x cos x . y' + cos x . y = O.

Verificar que las relaciones dadas son integrales (ge-nerales o particulares) de las ecuaciones indicadas:

3

376. (x - C1)2+ (y - C2)2= 1, y" =(1 + y,2)2.377. y2 = 1+ (1- X)2, y3y"= l.378. sen (y - C2)= ex-c" y" = y' (I + y,2).

379. Clx + C2= In(C1y- 1), yy" = y,2+y'.x

380. Y In y = x + f et' di, y (1 + In y) y" + y,2 = 2xyex'.o

REDUCCIONDELORDENDE LAECUACION

Señalemos otros tipos de ecuaciones diferenciales quepermiten reducir el orden.

I. y(n) = f(x).

87

UHllhl

Después de integrar n veces obtenemos la solución ge-neral

f fn-I n-2

y = .. . f (x) dx . ...dx + CJ ,: 1\, + C2 ,_x 0\1 +.... nn

... +Cn-1x +Cn.

n. La ecuación no contiene la función incógnita y susderivadas hasta el orden k - 1 inclusive:

F (x, y(k), y(k+II,..., y(n) = O.

Se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo lasustitución y(k)(X) = P(x), después de lo cual la ecuacióntoma la forma

F(x, p, p', ..., p(n-k)= O.

De esta ecuacióndeterminamosp=f(x, CI. C2,..., Cn-k),siempre que esto sea posible, y hallamos después y de laecuación y(k)= f(x, CI. C2,..., Cn-k) integrándola kveces.

III. La ecuación no contiene la variable independienteF (

,Y" Y(n) - Oy, y, ,"" -.

La sustitución y' = p permite reducir el orden de laecuación en una unidad. En este caso se cOI1siderap comouna nueva función incógnita de y: p = p(y). Expresamostodas las derivadas y', y", . . . , y(n) mediante las derivadascon respecto a y de la nueva función incógnita p.

Y,= .!!JL = Pdx '

y" =.!!.P... =.!!.P !!JL = p.!!.P...dx dy dx dy ,", d ( dp )

d( dP ) dy 2 d2p (

dP)2

Y = dX p di = di p di dX = P dy2 + p dy , etc.

Poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar dey', y", . .. , y(n), resulta una ecuación diferencial de ordenn-l.

IV. La ecuación

F (x, y, fI", ..., fI(n»)=088 ..

-,Iw dI

es homogénea respecto de los argumentos y, y/, y", .... . . , y(n). o sea,

F (x, ty, ty', ..., tl/(n»= tkF (x, y, y', ..., y(n»

Se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendola sustitución

f zdxy=e ,

do.nde z es una nueva función incógnita de x: z = z(x).V. La ecuación es tal, que al escribirla mediante dife-

rencialesF(x, y, dx, dy, d2y, ..., dny)=O,

resulta que F es homogénea respecto de S1,1Sargumentosx, y dx, dy, d2y, . . . , dny, donde se supone que x y dx sonde primer grado e y, dy, d2y, etc., de grado m. En estas

condiciones, :~ será de grado m - 1, :~ de gradom - 2, etc.

Para reducir el orden de la ecuación se hace la susti-tución

x=et, y=uemt.

Como resultado obtenemos una ecuación diferencial entreu y t que no contiene a t explicitamente, la cual permitereducir su orden en una unidad (caso lB).

Al resolver el problema de Cauchy para las ecuacionesde orden superior es conveniente determinar los valoresde las constantes Ci durante el mismo proceso de resolu-ción y no después de haber hallado la integral general dela ecuación. De este modo, resulta. más rápida la resolu-ción del problema, pudiendo ocurrir también que se simpli-fique considerablemente la integración, puesto que lasconstantes Ci tienen ya valores numéricos concretos.Cuando las constantes Ci son arbitrarias, la integraciónresulta más difícil y a veces suele ser imposible expresarla integral por funciones elementales.

Como ejemplo, veamos el siguiente problema deCauchy

y" = 2y3, y Ix=o= 1, y' Ix=O= 1.

Poniendo y' = p, obtenemos

p ~; = 2y3, de donde p2=!t + c¡, o bien :~ = Vy4+C,.89

Separando las variables, hallamos1

X+C2= f (y4+CI)-"2 dy.

En el segundo miembro de la última iguidad resulta unaintegral de una diferencial binomia. En este caso, m = 0,

n = 4, P= - ~, o sea, es un caso no integrable.Por consiguiente, esta integral no se expresa en forma

de combinación finita de funciones elementales. No obs-tante, empleando las condiciones iniciales, resulta CI = O.

Por lo tanto, :~ = y2, de donde, teniendo en cuenta las

condiciones iniciales, hallamos finalmente y =- 11 .-x

He aquí unos cuantos ejemplos de casos distintos dereducción del orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1. Hallar la solución general de lay'" = sen x + cosx.

Integrando sucesivamente la

ecuación

s o I u c i ó n.dada, resulta

y" = - cos x + sen x + CI,

y'= - sen x - cosx+Clx + C2,2x

y=cosx- senx+C. T+C2X+Ca.

Ejemplo 2. Hallar la solución general de la ecuación"' Inx

,y =--r x

ecuación

y señalar la solución que cumple las condiciones iniciales

y 1.=1= 0, y' IX=I= 1, y" IX=I= 2.

S o I u c i ó n. Integrando esta ecuación sucesivamentetres veces, hallamos

" - f in x d - In x I + Cy - X2 X--X--x l.y'=-; ln2x-lnx+Clx+C2.

x x2y=- 2"ln2x+CIT +c2x +ca.

(1)

90

'It!~nwrm_- 111111111111

Busquemos la solución que cumple las condiciones ini-ciales dadas. Poniendo en (1) los datos iniciales, obtene-mos

~I +C2+Ca=0

}

CI +C2= l

-1+C.=2

De donde CI = 3, C2= - 2, Ca= ; La solución buscada es

Y = - ~ In2x + ~ X2 - 2x + 1..222

Ejemplo 3. ,Resolverla ecuación

y'" = V l + (y")2 .S o 1u e i ó n. La ecuación no contiene la función in-

cognita y y su derivada, por lo cual, hacemos y" = p.La ecuación toma ahora la forma

~: = Vl + p2.

Separando las variables e integrando, obtenemoseX+c, - e-(x+c,)

p= 2

Sustituyendo p por y" resultaeX+c, - e-(x+c,)

Y"-- 2 .

Integrando sucesivamente, se tieneeX+c,+ e-(x+c,) eX+c,- e-(x+c,)

y' = 2 +C2,!/= 2 +C2x+Cao bien

y=sh(x +C1) +C2x +Ca.Ejemplo 4. ,Resolver la ecuación

xyV - ylV=0.S o l u c i ó n. La ecuación no contiene la función in-

cógnita y sus derivadas hasta el tercer orden inclusive.Por esto, haciendo ylV= p, resulta

dpxdi-P=O.

91

De dondep=C.x, yIV=C.x.

Integrando sucesivamente, hallamos", C x2 + Cy = 1'"2 2,

s

y" = CI ~ + C2x + Cs,x4 x2

y' = CI 24 + C2 2" + Csx+ C.,x6 XS x2

Y =CI120+C2T+C32"+C4X+CSo bien

dondey = C.xs + C2xs + CSX2+ C4x + Cs,

- CI - C2 - CsCI = 120' C2 =6' Cs=2.

Ejemplo5. Resolver la ecuación2

y" + y' = 2e-Y,

S o 1u c ió n. La ecuación no contiene la variable in-

dependiente x. Haciendo y' = p, y"= p ::' obtenemosla ecuaciónde Bernoulli

p :: +p2=2e-Y.

Con la sustitución p2= z, ésta se reducea la ecuaciónlineal

dzdY+ 2z=4e-Y,

cuya solucióngeneral esz = 4e-Y + C.e-2y.

Sustituyendo z por p2= y,2, obtenemos

~~ =:t V4e-Y+Cle-2y.

Separando las variables e integrando, resulta

x+C2=:t ~ V4eY-C¡.

92

-

De aqui que - 2eY + CI = (x + C2) ,

donde - CICI=T'

Esta es la integral de la ecuación dada.

Ejemplo 6. Resolver la ecuaciónx2yy" = (y - xy')2.

S o 1u c i ó n. La ecuación es homogénea respecto de y,

y', y". Con la sustitución y = eJ ZdX, donde z es unanueva función incógnita de x, el orden de la ecuaciónse disminuye en una unidad. Se tiene,

y' = zel zdX, y" = (z' + Z2)eS zdx.

Poniendo en la ecuación las expresiones de y, y', y", re-sulta ~ .

X2(z' + Z2)e2S zdx = (el zdx- xzeS ZdXy'

Simplificamos por e2Szdx:

x2 (z' + Z2)=(1 - XZ)2, o bien, x2z' + 2xz = l.Esta ecuación es lineal. Su primer miembro se puede es-cribir en la forma

De donde(X2Z)'= l.

o bien,X2Z= x + c..

z=.!. +ELx x2 .

Hallamos la integral

J z dx = J (~ + ;~ )dx = InI x 1- :1 + In C2.

La solución general de la ecuación dada es

InIx 1+El.IIIC, . -. _-S.y = e x ,o bIen, y = C2xe Jf.

Además, la ecuación tiene la solución trivial y == O.Ejemplo 1. Resolverla ecuación

x3y"= (y - xy'f.93

s o 1u c i ó n. Demostremos que esta ecuación es homo-génea generalizada. Suponiendo que x, y, y', y" son degrado 1°, m-ésimo, (m - I)-ésimo y (m - 2)-ésimo, res-pectivamente, e igualando los grados de todos los tér-minos, obtenemos

3 +(m - 2)=2m, (*)

de donde m = 1. La resolubilidad de la ecuación (*) esla condición de la homogeneidad generalizada de la ecua-ción.

Hagamos la sustitución

x=et, ty=ue.

Comody (

du) t

.!!JL = di = di + u e = ~ + Udx dx et di'

did

(dY )d2u du . .

d2y lit dT 7fi2+df e-t(d2u + .!!!!.)dx2 dx . et di2 di'di

después de simplificar por el factor e2t la ecuación dadatoma la forma

d2u du(

du)

2

dt2 +df= df .. du d2u dp bPOnIendodT = p, dt2= p dU' o tenemos

p ~: +p=p2.

. dpDe donde p = O, o bIen, dii + l = p.Integrando la segunda ecuación, resulta

p=l +Cle", o bien, ~~ = 1+Cte".

La solución general de esta ecuación esel

u=ln C¡et+C2'94

¡IIA IIUllii;ll,

,

Volviendo a las variables x e y, obtenemos la solucióngeneral de la ecuación dada

y = x In Ctx~C2 .No t a. El caso p = O nos da u = C, o bien,y = Cx,

solución particular que resulta de la solución general paraC.=e-c, C2=0.

Integrar las ecuaciones:

381. y'" = xe", y (O)= y' (O)= y" (O)= O.

382. ylV = x.383.y'" = xln x, y (1)= y' (1)= y" (1)= O.384. y'" = x + cosx.

385. y'" = (x ~ 2)5' y(l) = y' (1)= y" (1)= O.

386. yll2 - Sy' + 6 = O.

387. (1+X2)yll+y,2+ 1=0. " '~1::. V c...¡,.~ Ir''''''''

¡.IC' 388. yll2 - 2y"y' + 3 = O. L ¡"'G ft ,.,.r (;J,389. xy" = y' InJL .x

2 2 -"390. y" + y' = y,..

391. yll2 + y",2 = 1.392. y" (1 + 2 In y') = 1.

2

393. x = y" + 1.2

394. 4y' + y" = 4xy". .

395. yll2- y' y'" = (y; r.~ 396. y" (y' + 2) eY' = l. '- Y c....

y' x2397. y" =- + --¡-, y (2) = 0, Y, (2) = 4.x y

398. y" = 111+ y,2.

399. y" = y/ln y'; y 1%==0= O, y' 1%==0= 1.

400. 2y"ln y' = y'; Y 1%=1= - 6e-2, y' I.~-I= e-2.

401. y" + y' Vy,2 - l = O; Y 1%=11= O, y' Ix<=n= - 1.

95

}

402. 2y'y". 1+ y12; y Ix=<>= In 2 - 1, y'lx=o= - 1.403. xy'" + y"- x - 1=0.

2

404. y'y'" - 3y" = O.2 3 1

405. xy' y" = y' + 3".x4 .406. .x4y""+ 2x3y" = 1.

407. VI - x2y" + VI - y,2 = O.

408. (x - 1)y'" + 2y" = x ~/ .409. y"y3= 1.

2. 410. yy" - y' - 1=0.411. 3y'y" = 2y; y (O)= y' (O)= 1.412. y" = aeY.

1413. 4y" = 4 }ÍU .

5

414. 3y" = y -3.2

415. 1+ y' = 2yy".416. y3y"=-I, y(I)= 1, y'(I)=O.

2417. y"'=3yy'; y(O)=y'(O)=I, y"(O)=T'

2 .

" 418. yy" - y' = y2y'.2

419. yy" = y' .420. y" = e2y, y (O)= O, y' (O)= 1.

2421. 2yy" - 3y' = 4y2.

422. y" = 1+ y12.2' 2

423. xy' (yy" - y' ) - yy' = .x4y3.

424. .x4y"=(y- xy')3, y(I)=y'(I)= 1.425. y" + y,2 + 2y' = O; y Ix=o= In 2, y' Ix=<>= -l.

2 .426. y" = y' (I + y' ).

3

427. 3y" = (1+ y'Tf.428. y" (1 + 21n y') = 1; y Ix=O= O, y' Ix=<>= 1.

00

429. y" (Y'+ 2)eY' = 1; Y Ix=o = e-I, y' 1%=0= -'1.430. y2y'" - 3yy'y" + 2y,3 + JL(yy" - y,2) = y: .x x

431. Hatlar el tiempo que necesita un cuerpo para caera la Tierra desde la altura de 400000 km (aproximada-mente, ésta es la distancia desde la Luna hasta el centrode la Tierra), si la altura se mide desde el centro de laTierra y el radio de la misma es 6400 km, aproximada-mente. .

432. Hatlar la ley del movimiento de un punto mate-rial de masa m. que se mueve por una recta OA debido ala acción de una fuerza repulsiva que es inversamienteproporcional al cubo de la distancia del punto x = OMhasta el centro inmóvil O.

433. Un cuerpo de masa m cae desde una altura con lavelocidad v. Durante la caída, el cuerpo experimenta unaresistencia que es proporcional al cuadrado de la veloci-dad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.434. Hatlar una curva que pase por el origen de coordena-das, de modo que el área del triángulo formado por latangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada delmismo punto y el eje OX, sea proporcional al área deltrapecio mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y laordenada de este punto.

435. Hallar la curva cuyo radio de curvatura es cons-tante.

§ 14. ECUACIONESDIFERENCIALESLINEALES DE ORDEN n-

1. INDEPENDENCIALINEALDE LAS FUNCIONES.DETERMINANTEDE WRONSKY(WRONSKIANO)

Sea dado un sistema finito de n funciones YI(x),Y2(X), ..., Yn(x), definidas en el intervalo (a, b). Se diceque éstas son \inealmente dependientes en el intervalo(a, b), si existen unas constantes al, a2, ..., an, no simul-

7-583 f11"

táneamente iguales a cero, tales que para todos los valoresde x de este intervalo se cumple la identidad:

alYI (x) + a2Y2 (x) + ... + anYn (x) == O.

Si esta identidad se cumple solamente para al = a2 = ...... = an = O, se dice que las functiones YI(X), Y2(X), .... . . , Yn(x) son linealmente independientes en el intervalo(a, b).

Ejemplo 1. El sistema de funciones 1, x, X2, X3 es Ii-nealmente independienteen el intervalo (- 00, + 00). Enefecto, la igualdad al.l + a2X + a3x2 + a4x3 = O puedecumplirse para todos los valores de x E (-00, +00) sola-mente cuando al = a2 = a3 = a4 = O. Si al menos unode estos números es diferente de cero, en el primermiembro de esta igualdad tendremos un polinomio de gra-do no superior al tercero; éste puede convertirse en ce~ono más que para tres valores de x del intervalo conside-rado

Ejemplo 2. El sistema de funciones ek,x, ek,x, ek,x,donde kl, k2, k3 son distintos dos a dos, es linealmente in-dependiente en el intervalo - 00 < x < + oo.

Supongamos, por el contrario, que el sistema dado defunciones es linealmente dependiente en este intervalo.

. Entonces,aJek.X + a2ek,x + a3ek.x == O (A)

en el intervalo (- 00, + 00), siendo distinto de cero almenos uno de los números al, a2, a3; sea a3 =1=O. Divi-diendo ambos miembros de la identidad (A) por ek,x, re-sulta

¡I'

al + ~e(k,-k,) x + a3e(k.-k,) x =O. (1)

Derivando (1), obtenemos

0.2(k2 - kl) e(k,-k,)x + 0.3(ka - k¡) e<k.-k,)x == O. (2)

Dividiendo ambos miembros de la identidad (2) pore(k,-k,)x, se tiene

~ (k2 - k¡) + 0.3(k3 - kl) e(k.-k.) x= O. (3)

98

..

:..!III

Derivando (3), obtenemos

a3 (k3 - kl) (k3 - k2)e(k,-k.)x= O,

lo cual es imposible, ya que a3 =1=0, por la hipótesis,ka =1=kl, k3 =1=k2 Y e(k,-k,) x =1=O.

La hipótesis sobre la dependencia lineal del sistemadado de funciones nos conduce a una contradicción. Porconsiguiente, este sistema de funciones es lineal mente in-dependiente en el intervalo (- 00, + 00), o sea, la iden-tidad (A) se cumple solamente cuando al = a2 = a3 = O.

Ejemplo 3. El sistema de funciones eax sen ~x,eaxcos ~x, donde ~ =1=0, es linealmente independiente enel intervalo - 00 < x < + oo.

Determinemos unos valores al Y a2 de modo que secumpla la identidad

aleax sen ~x + lI2eaxcos ~x = O. O)

Dividiendo ambos miembros de esta identidad por eax=l=O,resulta

al sen ~x + a2 cos ~x = O. (2)

Poniendo en (2) el valor x = O, obtenemos a2 = ° y, porconsiguiente, al sen ~x 53 O; pero la función sen ~x no esidéntica mente igual a cero, por 10 cual, al = O. La identi-dad (2) y, por lo tanto, la identidad (1), subsisten sola-mente cuando al = a2 = 0, o sea, las funciones conside-radas son linealmente independientes en el intervalo- 00 < x < + oo.

N o t a. En particular, queda demostrado que las fun-ciones trigonométricas sen ~x, cos ~x, son linealmente in-dependientes.

Ejemplo 4. Las funciones sen x, sen (x + i),sen(x - i) son lipealmente dependientes en el intervalo(- 00, + 00). .

Demostremos que existen tales números al, a2, a3, notodos iguales a cero, que en el intervalo - 00 < x < + 00

tiene lugar la identidad

al senx + lI2sen(x + ~) + a3sen(x - ~) 53O. (A)7* 99

Suponiendo que la identidad (A) está cumplida, haga-

mos, por ejemplo, x = O,x = ~, x = ~. Entonces,ob-tendremos el sistema homogéneo de tres ecuadones contres incógnitas a" a2, aa:

n na2sen a - a3sen a = O

1 3n na, .í- + a2sen - + a3sen - = Or 2 8 8

5n 3na, + a2 sen S + a3 sen S = O

(1)

El determinante de este sistema

O n nsena - sena

3n nsen- sen-

8 8

5n 3nsen S sens

I~=I Y2"

1

es igual a cero.Por consiguiente, las soluciones del sistema homogéneo

(1) no son nulas, o sea, existen tafes números a" Ct2,a3uno por 10 menos, de los cuales difiere de cero.

Para hallar estos ternos de números a" a2, aa tomo-mos, por ejemplo, las dos primeras ecuadones del sistema(1) :

n n

I

a2sen 8 - a3 sen 8 = Oa 3 n'.)- + ~ sen - n + «3sen - = Or2 8 8

11

De la primera ecuación tenemos «2= a3;de la segunda,

Haciendo a3= 1 obtendremos la solución no nulade este sistema (1)

na, = -2cos8' ~= 1, a3= l.

100

1,1

Demostremos ahora que para estos valores de al> «2, a3la identidad (A) se cumple para todos los x EE (-00, +00) *). Tenemos, cualquiera que sea x,

al sen x + a2 sen (x + ~) + a3 sen (x - ~) 55

:t 2 :t55 - 2 cos8" sen x + sen x cos8" 55 O.

Por consiguiente, el sistema dado de funciones es lineal-mente dependiente en el intervalo - 00 < x < + oo.

N o t a. Se puede enunciar otro criterio de independen-cia lineal para el caso de dos funciones. Las funcionesq>1(x) y q>2(x) son linealmente independientes en el inter.valo (a, b) si la razón Ip.(

(X» no es idéntica mente cons-1p2 x

tante: Ip.(x) 95 const en este intervalo' si Ip.(x) 55 const~W ' ~W .,

las funciones serán linealmente dependientes. *)

Ejemplo 5. Las funciones tg x y ctg x son linealmente

independientes en el intervalo O< x < ~, puesto que larazón ttg x = tg2X 95 const en este intervalo.egx

Ejemplo 6. Las funciones sen 2x y sen x cos x son li-nealmente dependientes en el intervalo - 00 < x < + 00,

l . sen 2x 2 sen x eos xpuesto que a razon 55 - 2 (en lossenx eosx senx eosxpuntos de discontinuidad de la función sen2x ,estasenx eosxrazón se completa asignándole su "verdadero valor", demodo que resulte una función continua).

*) Se puede establecer la dependencia lineal de las funciones

sen x, sen (x + ~). sen(x- ~) admitiendoque sen(x + ~)++ sen(x - :)= 2 eos ~ sen x ó sen (x + ~ )+ sen (x - :)-

:t- 2 eos 8" sen x =O.

*) También se puede señalar otro criterio de dependencia linealde n funciones (n ~ 1):

Las funciones UI(x), U2X , Un(x) son linealmente dependientesen el intervalo (a, b), si al menos una de ellas puede expresarse en esteintervalo como combinación lineal de las restantes. En caso contrario,el sistema de funciones es !inealmente independiente. (Nota del T.)

101

'" - ..

Averiguar si las funciones dadas son lineal mente inde-pendientes en su campo de definición.

436. 4, x.

437. 1, 2, X, X2.438. X. 2x, X2.439. eX, xex, x2ex.

440. sen x, cos x, cos 2x.

441. 1, sen x, cos 2x.

442. 5, COS2x, sen2 x.

443. cos x, cos (x + 1), cos(x - 2).444. 1, sen 2x, (sen x - cos X)2.

445. x, algax (x < O).446. Igax, IgaX2 (x > O).447. 1, arcsen x, arccosx.

448. 5,. arctg x, arcctg x.

449. 2n, arctg 2: ' arcctg 2: .ax' ax' x at'

450. e-T, e-2"" Je"2 dt.o

I

fel

451. x, x ---¡2dt (xo > O).Xo

Supongamos que las n funciones YI (x), Y2(X), .... . ., Yn(x) admiten derivadas hasta el orden (n - 1). Eldeterminante ..

W[Yh Y2' ..., Yn]=

y, (x)Y~(x)

Y2(X)

Y~(x)

Yn (x)

Y~ (x). . . . . . . . . . . . . .y\n-I)(X) y~n-I)(x) ... y~n-I)(x)

se llama determinante de Wronsky (o wronskiano) deestas funciones. Obsérvese que, por lo general, el wrons-kiano es una función de x definida en cierto intervalo.

102

Para el caso de tres funciones, el wronskiano tiene laforma

UI(x) Uz(x) U3(x)

W fUI' Uz,U3]= I U~ (x) U~ (x) U~ (x) ,.U~' (x) u;(x) u: (x)

Ejemplo 7. Hallar el wronskiano de las funciones

U¡(x) = ek,x, Uz(x)= ek,x, U3(x)= ekax.S o I u c i ó n. Se tiene

ek,x ek2X ekax

W [Uh Uz, U3]= I k¡ek,x

kiek,x

kzek2X k3ekax I =kZek,x k2ekax2 3

= e(k,+k,+ka).t(kz - kl) (k3- kl) (k3- kz).

Ejemplo 8. Hallar el wronskiano de las funciones

!!I.(,x)= sen x. U2 (x) = sen (x + i) I Y3(x) = sen(x - ~).S o 1u c i ó n. Se tiene

W [UI' Uz, U3]=

sen x sen (x + ~) sen (x - ~)

cosx cos (x + -F) cos (x - ~) I= 0,

- senx - sen (x + ;) - sen (x - :)puesto que la primera y última filas del determinante sonproporcionales.

En los siguientes ejercicios se pide hallar el wronskia-no de los sistemas de funciones indicados:

452. 1, x.f

453. x, -.x454. 1, 2, x2.

-

455. e-x, xe-X.456. eX, 2ex, e-X.457. 2, eo::x, cos2x.

103

--...-

458. sen x, sen(x + ~).459. arccos.!.., arcsen.!...

31 31

460. 31, arcsen x, arccosx.461. 4, sen2x, cos2x.462. x, Inx.

I !..463. -, ex .x464. exsen x, eXcos x.

465. e-3xsen 2x, e-3xcos 2x.466. cos x, sen x.

467. sen (~ - x). cos(~ - x) .Subsiste el siguiente teorema.

Teorema. Si el sistema de funciones YI(x), Y2(x), ......, Yn(x) es lineal mente dependiente en el segmento[a, b], su wronskiano es idénticamente nulo en [a, b].

Asi, pues, el sistema de funcionessen x, sen(x + ~),

sen(x - ~) es linealmente dependiente en el intervalo(- 00, + 00) y, como fácilmente se comprueba, su wrons.kiano es igual a cero (véanse los ejemplos 4 y 8).

Este teoIema solamente indica la condición necesariapara la dependencia lineal de un sistema de funciones. Elreciproco no se cumple, puesto que, el wronskiano puedeser nulo también cuando las funciones consideradas for-man en el intervalo un sistema lineal mente independiente.

Ejemplo 9. Examinemos las funciones j

IO, si O.,;;x.,;;:

YI(x) =(

I)

2 . I

I x - 2" ' Si 2" < x ~ 1,. ,

(I)2. I

¡

X-"2 ' SI O~ X ~ '2Y2(x)= I

O si 2" < x ~ l.

10t

Sus gráficas tienen la forma que se muestra en lafig. 21.

Este sistema de funciones es linealmente independiente,puesto que solamente para aí = a2 = O se cumple la iden-tidad aI!1t(x)+ a2U2(x) 55 y55 O. En efecto, conside- ¡

rándola en el. segmento

[O,i]. obtenemos a2Y2(x) 55

55 O, de donde a2 = O,puesto que Y2(X)=¡5O; noobstante, en el segmento

[i, 1]se tiene alYI (x) 55

55 O, de donde at = O, puesto que Ut(x) =¡5 O en este seg-mento.

Consideremos el wronskiano del sistema W [UI' U2]'

En el segmento [O, f]

w [U., U2]=

en el segmento [~, 1]

W [U., Y2] =(x - irO

2 (x- +) O I= O.

Por lo tanto, W [gl, Y2] 55 Oen el segmento [O,1).En los siguientes problemas se pide demostrar que las

funciones dadas son linealmente independientes y suwronskiano es idéntica mente nulo. Construir las gráficasde estas funciones.

{

x2,UI(x) = O,

468.

{

O,U2(x) = X2,

si -1 :¡;;;;;x:¡;;;;;O

si O< x :¡;;;;; 1,si -I:¡;;;;; x :¡;;;;;O

si O< x:¡;;;;;l.

105

{

O, si O:S;;;;x :s;;;;2

YJ(x) = (x - 2)2, si 2 < x :s;;;;4469.

{

(x - 2)2, si O:s;;;;x :s;;;;2

Y2 (x) = O, si 2 < x :s;;;;4,

{

X3, si -2:S;;;;x:S;;;;0

y, (x) = O, si O< x:S;;;;1,470.

{

O, si -2:S;;;;x:S;;;;0

Y2(X)= x2, si O<x:S;;;;l.

471. y¡{x)=x2, Y2(x)=xlxl; -1 :S;;;;x:S;;;;l.

Veamos un criterio más de dependencia lineal de unsistema de funciones.

Supongamos que se considera un sistema de funcionesYI(x), Y2(x), .. ., Yn(x) dadas en el s~gmento [a, b].

b

Hagamos (y¡, Y¡)= f y¡(x)y¡(x)dx (i j= 1, 2, ..., n.)a '

El determ inante

(YIt Yt) (Yt, Y2) ... (YI' Yn)

r (YIt Y2, ..., Yn) = I (Y2' Y¡) (Y2' Y2) ... (Y2, Yn). . . . . .(Yn' YI) (Yn' Y2) ... (Yn' Yn)

se denomina determinante de Gram del sistema de funcio-nes {Yk (x){.

Teorema. Para que el sistema de funciones y¡(x) ,Y2(X), ..., y,,(x) sea !inealmente dependiente es necesarioy suficiente que su determinante de Gram sea igual acero.

Ejemplo 10. Demostrar que las funciones YI= X,Y2 = 2x son linealmente dependientes en el segmento[O,1]*).

*) La dependencia linea de estas funciones en cualquier se~n:'entoes consecuencia inmediata del criterio expuesto en la nota de la pago 101(Véase también la nota del T. en la pág. 101. En este caso, Y2= 2y¡.(Nota del T.)

106

s o I u c i ó n Se tieneI I

(Y'YI) = f X2 dx = +; (YIY2) = (Y2Y') = f 2X2dx = ;;o o

I

(Y2, Y2)= f 4X2 dx = : .o

I 233

r (YI' Y2)= I 2 4 I= O,33

por consiguiente, las funciones YI(x) y Y2(x) son lineal-mente dependientes.

472. Empleandoel criterio expuesto,comprobarque lasfuncioñes en los ejemplos 438, 442, 444 son linealmentedependientesen el segmento[- n, n].

2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEASDE COEFICIENTES CONSTANTES

Sea dada la ecuación diferencial

aoy(n) + aly(n-I) + ... + any = O, (1)donde ao, al. . . . , an son constantes reales.

Consideremos la ecuación característica

ao;" n + aJ;" n-I + ... + an = O. (2)

Supongamos que ;"1,;"2,..., ;"n son las raíces de la ecua-ción (2), entre las cuales puede haber múltiples.

Se pueden presentar los casos siguientes:a) A],;"2.. . . . Anson reales y distintas.En este caso, el sistema fundamental de soluciones de

la ecuación (1) tiene la forma:

e"'¡X e"'2X e"'nx) , .. .,

y la solución general de la ecuación homogénea es- e AJX + e "'2x + . + e AnX,

Yg - le 2e . . . ne,

b) las raíces de la ecuación característica son reales,pero algunas de ellas son múltiples.

107

~."11111;;.;

Sea, por ejemplo, Al = A2= ...= AII = ¡, de modoque Á es una raíz k - múltiple de la ecuación (2), mientrasque todas las demás n-k raíces son distintas.

En este caso, el sistema fundamental de solucionestiene la forma

/'-", xe1..",2 1..% k-I 1.."

xe ,...,x e, e),k+1% e),n%, ...,y la solución general es

C 1.. % +C 1..% +C ..2 1..%+ +C k-I1..% +Yg = le I 2xe 3~-e ... kX e

+Ck+liH1% + ... +Cne~n%;

c) algunas de las raíces de la ecuación característicason imaginarias.

Para fijar ideas, supongamos que Al= a + i~.},2== a - i~, A3= 'V+ i6, A4= 'V- ió, ~ =1=0, l>=1=0, Y quelas demás raices son reales como, por la hipótesis, loscoeficientes ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) de la ecuación (I) sonreales, las raíces imaginarias de la ecuación (2) sonconjugadas dos a dos.

En este caso, el sistema fundamental de solucionestiene la formaa" A. a" A. Y" Jl Y" Jl ),5" e),6X ),nXe COSt'X,e sent'x, e COSuX,e senux, e, ,..., e ,

y la solución general es

Yg = C1eax cos ~x + C2eax sen ~x + C3eYx COS6x +

+C4eYxsen 6x + CSi5X + ... + CninX;

d) si Al = a + i~es una raíz k - múltiple de la ecua-

ción (2) (k ~ ~), entonces, A2= a - i~ también seráuna raíz k - múltiple y el sistema fundamental de solu-ciones tendrá la forma:

eaxcos ~x, eaxsen ~x, xeax cos ~x, xeax sen ~x, .... . ., xTr.-Iea%cos ~x, yk-Ieax sen ~x, eA2k+tX, , e),nx.

POI consiguiente, la solución general es:

Yg = Clea% cos ~ + C2ea"sen ~x + C3xeaxcos ~x ++ C4xeax sen ~x + . . . + C2k-1xI'-lea%cos ~ +

+C Tr.-I ax A... + .c ), k+x + +e ),,,2kX e sen t"" 2k+1e2 1 . . . . ne n .

108

EJemplo1. Hallar la solución general de la ecuacióny'" - 2y" - 311'= O

S o I u e i ó n. Formamos la ecuación característica')..3- 2')..2- 3')..= O.

Hallamos sus raíces: ')..1= O, A2 = - 1, A3= 3. Comoéstas son reales y distintas, la solución general tiene laforma

Yg = CI + C2e-x + C3e3x.

Ejemplo2. Hallar la solución generaly'" + 2y" + y' = O.

S o I u c i ó n. La ecuación característica tiene la forma')..3 + 2')..2 + A= O.

De aquí hallamos: Al = A2 = - 1, A3= O. Las raíces sonreales. Una de ellas (precisamente A= - 1) es múltiple,de segundo orden, por lo cual, la solución general es:

Yg= Cle-x + C3xe-x + C3.

Ejemplo 3. Hallar la solución general de la ecuación

y'" + 4y" + 13y' = O.

S o l u c i ó n. La ecuación característica

de la ecuación

')..3+4')..2+13')..=0

tiene las siguientes raíces:')..1=0, ')..2=-2- 3i, ')..3= -2 +3i.

La solución general es:

Yg = CI + C2e-2x cos 3x + C3e-2x sen 3x.

Ejemplo 4. Hallar la solución general de layV - 2ylV + 2y'" - 4y" + y' - 2y = O.

ecuación

S o l u c i ó n. La ecuación característica

')..6- 2')..4+2A3- 4A2+').. - 2=0o bien,

(')..- 2) (')..2+ 1)2= O.

109

tiene las siguientes raices: A.= 2 es una raíz simpley 'A= :1:i es un par de raíces imaginarias de segundo or-den. La solución general es

Yg= Cle2.t + (C2+ Cax)COSX(C4+ Csx)sen x.

Ejemplo 5. Resolver la ecuaciónyIV + 4y'II + 8y" + 8y' + 4y = O.

S o l u c i ó n. Formamos la ecuación característica

1.4+ 4Aa+ 81.2+ 81.+ 4 = O, o bien, (1.2+ 21.+ 2)2= o.Esta tiene las raíces imaginarias de segundo orden:

A¡=A2=-1-i, Aa=A4=-1 +i,y, por consiguiente, la solución general tiene la forma

yg = C1e-x cos x + C2e-x senx+C3xe-x coS x + C4xe-x sen x,

o bien,

yg = rX (CI+ Cax)cos x + e-X (Ca+ C4x)sen x.

Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogé-neas conociendo sus ecuaciones características.

473. 1.2 + 31. + 2 = O.

474. 21.2- 31.- 5 = O.

475. A(A+ 1)(1.+ 2)= O.476. (1.2+ 1)2= O.477. Aa=o.Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogé-

neas si se conocen las raíces de sus ecuaciones caracteris-ticas y escribir sus soluciones generales.

478. Al= 1, 1.2= 2.479. A]= 1, 'A2= 1.480. Al= 3 - 2i, 1.2= 3 + 2i.

481. 'Al= 1, 1.2= 1, 'Aa= 1.Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogé-

neas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones.482. e-X, eX.483. 1, eX.

110

484. e-2x. xe-2x.485. sen 3x, cos 3x.486. 1, x.487. eX, e2x, e3.~.488. eX, xex, x2ex.489. eX, xex, e2x.490. 1, x, eX.491. 1, sen x, cosx.492. e2x, sen x, cos x.493. 1, e-X sen x, e-X cosx,Integrar las siguientes ecuaciones:494. y" - Y= O.

495. 3y" - 2y' - 8y = O.496. y'lI - 3y" + 3y' - y = O,

Y (O)= 1, y' (O)= 2, y" (O)= 3.497. y" + 2y' + y = O.498. y" - 4y' + 3y = O.

y(0)=6, y'(O)= lO.499. ylll + 6y" + Ily' + 6y = O.

500. y" - 2y' - 2y = O.

501. yVI +2yV+ yIV = O.502. 4y" - 8y'+ 5y = O.

503. ylll - 8y = O. .

504. ylV + 4yll/ + 10y" + 12y' + 5y = O.

505. y" - 2y' + 2y = O, Y (O)= O, y' (O)= 1.506. y" - 2y' + 3y = O, Y(O)= 1, y' (O)= 3.507. ylV+ 2y'" + 4y" - 2y' - 5y = O.

508. yV + 4yIV + 5yl/l - 6y' - 4y = O.509. ylll + 2y" - y' - 2y = O.510. y'lI - 2y" + 2y' = O.

511. ylV - Y = O.

512. yX=O.

513. ylll - 3y' - 2y = O.514. 2ylll - 3y" + y' = o.

-"u -

111

3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS(O COMPLETAS) DE COEFICIENTES CONSTANTES

Sea dada la ecuación diferencial

aoy(n)+ aly(n-I) + .., + any= f (x) (1)

de coeficientes constantes reales ao, a.. . . . , anoLa solución general de la ecuación no homogénea (1)

(llamada también completa) es igual a la suma de la so-lución general de la ecuación homogénea correspondientey de cualquier solución particular de la ecuación no homo-génea.

La solución general de la ecuación homogénea corres-pondiente se halla según las reglas expuestas anterior-mente en el apartado 2. Por lo tanto, el problema de la in-tegración de la ecuación (1) se reduce al problema de labúsqueda de una solución particular YP de la ecuación nohomogénea. En el caso genera.I, la integración de la ecua-ción (1) puede rea lizarse por el método de variación delas constantes arbitrarias. No obstante, cuando los segun-dos miembros tienen una forma especial la solución par-ticular puede hallarse con mayor facilidad por el métodode sE'lección.

Para que sea posible emplear el método de selección,el segundo miembro f (x) de la ecuación (1) tiene que te-ner, en el caso general, la forma:

f (x) = eax [P n (x) COS~x + Qm (x) sen ~x], (2)

donde P11(x) Y Qm(x) son polinomios de grado n y m, res-pectivamente. En este caso, se busca una solución parti-cular YPde la ecuación (1) de la forma

YP = xSeax U\(x) cos ~x + Qk (x) sen ~], (3)

donde k- max(m, n), P1:t(x)y Q~(x) son polinomios en xde grado k, de coeficientes indeterminados, y s es el ordende multiplicidad de la raíz A= a :f: i~ de la ecuación ca.racterística (5 = O,si a:f: i~ no son raíces de la ecuacióncaracterística).

Si el segundo miembrof (x) representa una suma1

f(x) = ~ alfl (x),1=1 (4)

112

-.-.

donde fi (x) son de la forma (3). en virtud del principiode superposición se busca una solución particular YP dela ecuación (1) de la forma

zYP= ~ aZYlp

i=l

He aquí un cuadro sinóptico de las formas de solucio-nes particulares para distintas formas de segundos miem-bros.

R-583 113

IllltAI In

N. Segundo miembro Ralces de la ecuación I'orma de la soluc lónde de la ecuación particular, donde

orden diferencial caracterlstlca k=max (m, n)

1. El número O no es Pm (x)rafz de la ecuación

Pm (x)caracterfstica

1xSPm (x)2. El número O es rafz

de la ecuación carac.terfstica de orden s

I

l. El número a no es I

Pm(x) eaxrafz de la ecuación

Pm (x) eaxcaracterfstica

11(a es real) 2. El número a es rafz xSPm (x) ax

de la ecuación carac.terfstica de orden s

l. Los números :l:lfi no PkjX) cos fix+son rafces de la +Qk (x) sen fixecuación caracterfs

Pn (x) cos fix+tica

111+Qm (x) sen px 2. Los números :1:lp XS<!k (x) cos px+son rafces de la +Qk (x) sen px)ecuación caracterfs-

tlca de orden s

l. Los números a:l:lp no (p k (x) cos px+son rafces de la +Qk (x) sen px) eaxecuación caracterfs-tica

IV eQX[Pn(x) cos px+2. Los n(¡meros a:l: lfi XS(Pk (x) cospx++Qm (x) sen px]

son raíces de la +Qk (x) sen px) eaxecuación caracterfs-tica de orden s

Ejemplo 1. Hallar la solución general de la ecuación

y'" - y" + y' - y = X2 + X.

S o I u c i ó n. La ecuación característica ')..3- ')..2++ ').. - 1= O tiene raíces distintas: ')..1= 1, ')..2= - i,')..3= i, por lo cual, la solución general Yg de la ecuaciónhomogénea correspondiente es:

yg=C.ex + CI cos x + Casen x.

Como el número O no es raíz de la ecuación caracte-rística, se debe buscar la solución particular YP de la ecua- .ción dada de la forma

Yp= AJX2+ A2x+ Aa,

donde Al. A2' A3 son, por ahora, coeficientes indetermina-dos. Para hallarlos, se sustituye la expresión de YP en laecuación dada, resultando

- A.x2 + (2A¡ - A2) x + (A2 - 2A¡ - A3)=X2+ x,de donde

Al = - 1

J2A. -A2= 1 .

A2 - 2A. - Aa=O

Resolviendo este sistema hallamos:

A.=-l, A2=-3, Aa=-l.Por consiguiente, la solución particular es

Yp=-x2-3x-l

y la soluci-án general de la ecuación dada tiene la formay = C1ex + C2 cos x + Ca sen x - x2 - 3x - 1.

Ejemplo 2. Hallar la solución general de la ecuacióny'" - y" = 12x2 + 6x.

S o I u c i ó n. La ecuación característica ')...3- ')..2 = Otiene las raíces ')...1= ')...2 = O,')..3= 1, por lo cual, la solu-ción general de la ecuación homogénea correspondientees: '

I

Yg=C¡ +C2x +Caex.114

Como el número Oes raíz múHiple de segundo orden de laecuación característica, se debe buscar una solución par-ticular de la forma

YP= Xz (A,X2 +Azx+ A3)= A¡x4 + A2x3+ A3X2.

Sustituyendo la expresión de YP en la ecuación dada, setiene: .

- 12AIX2 + (24AI - 6A2) x + (6A2 - 2A3) = 12x2 + 6x,

de donde- 12AI= 12

1

24AI -6A2=6 .6A2- 2A3=O

La solución de este sistema es: Al = - 1, A2 = - 5,A3 = - 15.Por lo tanto,

Yp=-x4-5x3-15x2.

La solución general de la ecuación dada es:y=CI +C2x +C3ex - X4 - 5X3 - 15x2.

Ejemplo 3. Hallar la soludon general de la ecuacióny" - 6y' + 9y = 25ex sen x.

S o l u c i ó n. La ecuación característica A2- 61..++ 9 = O tiene las raíces Al = A2 = 3; la solución gene-ral Yg de la ecuación homogénea es Yg = (CI + C2x)e3x.Se busca una solución particular YP de la forma

Yp = eX(acos x + b sen x).

Poniendo la expresión de YP en la ecuación y simplifican-do ambos miembros de ésta por eX,obtenemos

(3a - 4b) cos x + (4a + 3b) sen x = 25 sen x.

De aquí resulta3a - 4b = O

}4a + 3b = 25 .La solución de este sistema es: a = 4, b = 3. Por consi-guiente,

Yp = eX(4 cos x + 3 sen x).

r 115

1111111 -"

La solución general de la ecuación dada es:.y = (CI + C2x)e3x+ eX(4cos x + 3 sen x).

Cuando el segundo miembro t (x) contiene las funcionestrigonométricas sen ~x y cos ~x,. resulta conveniente pasara las funciones exponenciales, como se muestra en el si-guiente ejemplo..

Supongamos que se necesita resolver la ecuación dife-rencial:

.,

y"+y=XCOSX. (1)

En este caso, '}..,2+ 1 = 0, Al = - i, A2= i, Y la solucióngeneral de la ecuación homogénea tiene la forma

yg=CI cosx + C2senx.Se debe buscar una solución particular YP de la ecuaciónno homogénea de la forma

YP = x [(Alx + A2)cos x + (B1x + 82)sen x].

Procederemos del modo siguiente. Consideremos la ecua-ción

Z" + z = xe/x. (2)

Fácilmente se observa .que el segundo miembro de laecuación inicial es la parte real del segundo miembro dela ecuación (2):

x cos x = Re (xe/X).

Partiremos del principio de que, si la ecuación diferencialde coeficientes reales

L [y] = tI (x) + if2 (x)

tiene una solución y = u(x)+ iv (x), entonces, u(x) es so-lución de la ecuación L[y]= tI (x), mientras que tI(x) essolución de la ecuación L [y]= t2(X).

Hallemos zp para la ecuación (2):

zp = (Ax + B)xe/x = (AX2+ Bx) e/x,

z; = 2Ae/x+ 2 (2Ax + B)ie/x- (AX2 + Bx) e/x. -Sustituyendo en la ecuación (2) y simplificando ambosmiembros por e/x, tendremos:

2A + 4Axi + 2Bi =x.

I

116

111111111 IIIn

de donde4Ai = 1. A=- 1

4'

B=-~- 1i -4'A+ Bi=O,

Por lo tanto,

Zp=(- ~ X2+ ~ x)eIX=(- ~ X2+ ~ x)(cosx+isenx)=

x cos x + x2 sen x + . x sen x - x2cosX= 4 l 4 '

xcosxrf-x2senx .. (ReZp = . 4 = Yp de la ecuaClOn .1).

A veces este método facilita y simplifica los cálculosrelacionados con la búsqueda de las soluciones particu-lares.

Ejemplo 4.y" + 4y = sen 2x. (1)

Consideremos la ecuación

z" + 4z = e2lx,sen 2x = 1me2lx,

zp=Axe'!IX,

z; = - 4Axe2lx + 4iAe2lx.

(2)

Sustituyendo en la ecuación (2), obtenemos

4iA= 1, A= - i. ,4

Zp = - ~ xe2lx = - ~ x (cos2x + i sen 2x) =I 2 . x 2=4 x sen x -l4cOS x.

1m Zp= - :cos 2x = YP de la ecuación (1).

Determinar la forma de la solución particular de laecuación diferencial lineal no homogénea. si se conocenlas raíces de su ecuación característica y el segundomiembro f (x):

117

515. AJ= 1, A2= 2; f (x) = ax2+ bx + c.516. AJ=O, A2= 1; f(x)=ax2+bx+c.517. AJ=O, A2=0; f(x)=ax2+b.x+c.

518. A1=1, A2=2; f(x)=e-X(ax+b).519. A)=-I, A2=1; f(x)=e-X(ax+ b).520. Al= - 1, A2= - 1; f (x) =e-X (ax + b).521. AI=O, A2= 1; f(x)=senx+cosx.

522.Al= - i, A2= i; f (x)= senx + cosx.523. Al= - 2i, A2= 2i; f (x) = Asen 2x ,+ B cos 2x.524. Al= -. ki, A2= ki; . f (x) = Asen kx + B cos kx.525. AI=I, A2=1; f(x)=e-X(Asenx+Bcosx).526. Al= - 1- i, A2= - 1+ i;

f (x) = e'-X(A sen x + B cos x).

527. Al=A2 =A3 = 1, f(x) = ax2+ bx + c..528. AI=O, A2=1, A3=2; f(x)=ax2+bx+c.

529. A,=A2=0, A3=1; f(x)=ax2+bx+c.

530. Al= A2= AJ= O; f (x) = ax2+ bx + c.531. AI=i, A2=-i, A3=1: f(x)=senx+cosx.

532. a) Al= - 1, A2= 1, A3= 2b) Al= 0, A2= 2, A3= 3e) Al= A2= - 1, A3= 1d) AI=A2=A3=-1e) Al= - 1, A2= A3= If) Al= A2= A3= I

533. a) A,= 0, A2= Ib) AI=k, A2=1e) Al=A2 = k

~ f(x)=(ax2+bx+c)ekX,d) Al= A2= 0, A3= I I k =F0, k =F l.e) Al= A2= k. A3= If) Al= A2= A3= k

f (x) = ae-X + bell:.l

118

534. a) I..J= 1..2= 1, 1..3= 2

}b) 1 - -' , -' '- O f(x)=asenx+bcos x.II.J- l, 1I.2-l, 11.3-

535. a) 1..1= 3 - 2i, 1..2= 3 + 2i,

}

1..3=1..4 = O.b ) A. -' - 3 2' f(x) =&X(sen2x+

1-11.2- ,- l, +cos2x)., 1..3= 1..4= 3 + 2i '

Determinar la forma de la solución particular paralas siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homo-géneas:

536. y" + 3y' ==3.537. y" - 7y' = (x - 1)2.538. y" + 3y' = eX.539. y" + 7y' = e-7x.540. y" - 8y' + 16y = (1 - x) e4x.

541. y" - 10y' + 25y =e5x.3-x

542. 4y" - 3y' =xe4 .543. y" - y' - 2y = eX+ e-2x.544. g" - 4y'= xe4x.

545. y" + 25y = cos 5x.546. y" + y = sen x - cos x.

547. y" + 16y= sen (4x + a).548. y" + 4y' + 8y = e2x(se n 2x + cos 2x).

549. y" - 4y' + 8y = e2X(sen2x - cos2x).550. y" + 6y' + 13y= e-3x cos 2x.

551. y" + k2y = k sen (kx + a).

552. y" + k2y = k.553. y" + 4y ==sen x sen 2x.

554. y" - 4y' = 2 cos24x.555.y'" + y = x.556.y'" + 6y" + Ily' + 6y= l.557.y'" + y' = 2.

119

558.. y'" + y" = 3.559. ylV- Y= 1.560. ylV- y' = 2..561. .ylV- y" = 3.562. ylV- y'" = 4.563. ylV+ 4y'" + 4y" = 1..

564. ylV + 2y'" + y" = e4x.

565. ylV + 2y'" + y" = e-X.

566. ylV+ 2y'" + y" = xe-X.

567. ylV+ 4y" + 4y = sen 2x.568. ylV+ 4y" + 4y = cosx.569. ylV + 4y" + 4y = x sen 2x.

¡. 570. ylV+ 2n2y" + n4y = asen (nx + a)./571. ylV- 2n2y"+ n4y = cos (nx + a).I

572. ylV + 4y'" + 6y" + 4y' + y = senx.573. ylV- 4y'" + 6y" - 4y' + y = eX.

/574. ylV- 4y'" + 6y" - 4y' + y = xex.

Resolver las siguientes ecuaciones:

+575. y" + 2y' + y = - 2.576. y" + 2y' + 2 =0.577. y" + 9y - 9 = O.

578. y'" + y" = 1.579. Sy'" - 7y" - 3 = O.

+580. ylV- 6y'" + 6= O.

581. 3ylV+ y'" = 2.582. ylV - 2y'" + 2y" - 2y' + y = 1.583. y" - 4y' + 4y = X2.

584. y" + 8y' = 8x.it585. y" - 2ky' + k2y = é, (k =F 1).

586. y" + 4y' + 4y = 8e-2x.120

- -"'IifflllIllU'"itlJlillnrrl¡IIIIIIIII!lIIlIImJIIlI!lIIllUflmllllnmmmnm!lHlnllll""1'rllnnmm"'nl"l1"1""""""""'""'"''"'''''".,,,.,,,.,....

587. U" + 4y' + 3y = ge-3x.

588. 7y" - U'= 14x.589. U" + 3y' = 3xe-3x.

.J,.590.U" + 5y' + 6y = 10(1 - X) e-2x.

591. y" + 2U' + 2y = 1 + x.592. y" + y' + y = (x + X2)eX.593.y" + 4y' - 2y = 8 sen 2x.594. y" + y = 4x cosx.

+1)95. y" - 2my' + m2y = sennx.596. y" + 2y' + 5y = e-x sen 2x.

597. y" + a2y = 2 cos mx + 3 sen mx598. y" - U' = eXsen x.

599. y" + 2y' = 4ex (sen x + cos x).,,600. y" + 4U' + 5y = 1Oe-2xcos x.

601. y" + 2y' + 5y = e-x (2x + sen 2x).602. 4U"+ 8U'= x sen x.603. U"- 3U'+ 2U= xex.604. y" + y' - 2y = x2e4X.

-\","605.y" - 3y' + 2y = (X2 + x) e3x.

606. y'" - U"+ y' - U= x2+ x.607. UIV- 2y'" + 2y" - 2U'+ U= eX.

608. y" - 2y' + y = X3.

609. 5y" - 6!{ + 5U= 13exch x. .

t610. UIV+ y"tJ¡= X2 + x.611. UV- ylV~ xé - 1.612. U" + U = X2sen x.

613. U" + 2U' + U = x2e-x cos x.

614. y'" - 4U'= xe2x + sen x + X2.

,.615. U", - U= sen x.

616. U" + 2U' + 2y = e-X cos x + xe-X.

617. UIV- 2U"+ U= cos x.

(m =1=a).

121

618. y" + y = 2 sen x sen 2x.

619. y"+4y=xsen2x.I

620. ylV + 2y'" + 2y" + 2y' + y = xex + 2" cosx.621. y" + y' = cos2 x + eX + X2.

622. yV + 4y'" = eX + 3 sen 2x + l.

623. y'" - 3y" + 3y' - y = eXcos 2x.

\ 624. y'" - 2y' + 4y = eXcos x + x2 + sen 2x.~625. y" + y' = X2 - e-X+ eX.

626. y" - 2y' - 3y = 2x + e-X - 2e3x. .

627: y" + 4y = eX + 4 sen 2x + 2 cos2 x - 1.628. g" + 3y' + 2y = 6xe-x (1- e-X).

629. y" + y = cos2.2x + sen2 ; .630. y" - 4y' + 5y = e2x (se n x + 2 cos x).

631. y" - 4y' + 5y = 1 + COS2 x + e2x.

632. .y" - 2y' + 2y = eX sen2 ; .633.y" -3y' = 1+ eX + cos x +sen x.

634.y" - 2y' + 5y= eX(1- 2sen2x)+ 10x+ l.635.y" - 4y' + 4y= 4x+ senx + sen2x.636. y" + 2y' + y = 1+ 2 cosx + cos2x - sen 2x.

637. y" + y' + y + 1= sen x + x + X2.

638. y" + 6y' + 9y = 9xe-3x + 1 + 9 sen x.639. y" + 2y' + 1 = 3 sen 2x + cos x.

En los siguientes problemas se necesita hallar lassoluciones particulares de las ecuaciones que cumplenlas condiciones iniciales dadas:

640. y" - 5y' +6y = (12x - 7) e-x; y (O)= y' (O)= O.641. y" + 9y = 6e3x; y (O)= y' (O)= O.642. y" - 4y' + 5y = 2x2eX; y (O) = 2, y' (O)= 3.643. y" + 6y' + 9y = 10senx; y (O)= y' (O)= O.

122

- -TH'I!lffllIllI!ftlIHlllnnnUllllllllllllllllllllllllmlllmIltHIIIIIII1!"'IfImI1'l1lJflmmm'HlllllnJnlI1IIItrllltlflllllmlllltll1l11mtmmIHlllllnnm'"

644. y" + y = 2 cos x; y (O)= 1, y' (O)= O.645. y" + 4y = s~n x; y (O)= y' (O) = 1.

4 I646. y" - 6y' + 9y = X2-x + 3; y (O)= 3"' y' (O)= 27 .647.y" - 4y' + 4y = e2x; y (O)= 2, 'y' (O)= 8.648. y" + 4y = 4 (sen 2x + cos 2x); . y (n) = y' (n) = 2n.

. 649. y"_y'=- 5e-x (sen x+cos x); y (0)=-4, y' (0)=5.650. y" - 2y' + 2y = 4ex cos x; y (n) = ne't, y' (n) = en.651. ylll_yl=-2x; y(O)=O, y' (O)= 1, y"(0)=2.652. ylV - Y = 8ex; y (O)' - 1, y' (O)= O,y" (O)= 1;

y'" (O)= O.653. y'" - Y = 2x;654. ylV- Y = 8ex;

y'" (O)= 6..

En los siguientes problemas se necesita hallar las so-luciones particulares de las ecuaciones que cumplen en elinfinito las condiciones dadas:'.

655. gil - 4y' + 5y'= sen x, yes acotada para x ~ +00.

656. y" + 2y' + 5y = 4 cos 2x + sen 2x, y es acotada

y (O)= y' (O)= O, y" (O)-:- 2.

,y ,O)= O, y' (O)= 2, y" (O)= 4,

para x,~''"" oo.

657. y"-y=l, Y es acotada para x~oo. .

658. y" - Y = - 2 cos x, y es acotada para x ~ oo.

659. y" - 2y' + y =4e-x, y~O para x~+ oo.660.y" + 4y' + 3y= 8ex+ 9, y ~ 3 para x ~ - oo.

1661. y"-y'-5y=1, y~-5 para X~oo.

662. y" + 4y' + 4y = 2ex (sen x + 7 cos x), y ~ O parax~ - oo.

663. y" - 5y'+ 6y = 2e-2x(9 sen 2x + 4 cos 2x), Y ~ O. para x~+oo.

664. y" - 4y' + 4y = (9x2+ 5x - 12)e-x, y ~ O parax~+oo. .

123

4. ECUACIONESDEEULER

Las ecuaciones de la forma

aoxny(n)+alxn-Iy(n-I)+ ... +an-lxy'+anY=O, (12)

donde todas las a¡ son constantes, se llaman ecuacionesde Euler

Mediante la sustitución de la variable independientex=et,

estas ecuaciones se reducen a ecuaciones lineales homogé-neas de coeficientes constantes:

boy~n)+ bly~n-')+ ... + bn-,Y; + bny (t)= O. (13)

N o t a l. Las ecuaci~nes de la forma

ao(ax + b)ny(tI)+ al (ax + b)"-I yln-I) + ...... +an-l(ax+b)y'+anY=O (14)

también se llaman ecuaciones de Euler y se reducen aecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constanteshaciendo la sustitución de la variable

ax + b = et.

N o t a 2. Para la ecuación (12) se pueden buscar di-rectamente soluciones particulares de la forma

y=Xk,

obteniendo para k una ecuación que coincide con la ecua-ción característica de la ecuación (13).

Ejemplo. Hallar la solución general de la ecuación deEuler

x2y" + 2xy' - 6y = O.

P r i m e r m é t o do. Haciendo en la ecuación la susti-tudón x = et, se tiene:

dy, dy dt -t dy

Y =dX=¡¡x=e dt'df

dy' ( d2y dY )-t .

,,- dy' - dt Cfi2 - df e = e-2t (d2y - !!JL)y - dx - dx et dt2 dt

dt

124

y la ecuación toma la formadOy dy

o /w+dT-6y=0.

Las raíces de la ecuación característica son: Al = - 3,1..2 o 2, y la solución general de la última ecuación es:y = C,e-3t + C2e21. Pero, como x = el, resulta y == CIX-3 + C2X2,o bien,

CI +C 2y = ---¡- 2X .x

S e g un d o m é t o d o. Se busca una solución de laecuación dada de la forma y = x't, donde k es un númerodesconocido.Se tiene

y' = kXk-l, g" = k (k - 1)Xk-2.Sustituyendoen la ecuación,resulta

x2k (k - 1) Xk-2 + 2xkxk-1 - 6Xk= O,o bien

Xk[k (k - 1)+ 2k - 6];e=o.

Pero, como XII EjÉO, se tiene k (k - 1) + 2k - 6 = O,o bien, k2+ k - 6 = O. Las raíces de esta ecuación son:k) = - 3, k2 = 2. El sistema fundamental de solucionescorrespondiente es:

YI= X-3, Y2= x2,y la solución general tiene la forma

y = C.X-3 + C2X2.

Integrar las siguentes ecuaciones de Euler;665. x2y" + xy' - y = O.

666. x2y" + 3xy' + y = O.

667. x2y" + 2xy' + 6y = O.

668. xy" + y' = O.

669. (x + 2)2y" + 3 (x + 2) y' - 3y = O.

670. (2x+ 1)2y" - 2 (2x+ 1)y' + 4y = O.

671. x2y'" - 3xy" + 3y' = O.

672. x2y'" = 2y'.673. (x + 1)2 y'" - 12y' = O.

674. (2x + 1)2y'" + 2(2x+ 1)y" + y' = O.

1r

125

1IIIIII8Inwlrlllllllllftlll!l1!111"~'mllJ1lrmlllllllllllllllllllllllllll"''11'"'I'''- -

..,\t . l'Las ecuaciones no homogéneas de Euler de la forma

m

~ akxky(k) = xaPm(In x),k==O

donde Pm(u) es un polinomio de grado m, se pueden re-solver también por el método de elección del mismo modoque se resolvían las ecuaciones diferenciales lineales nohomogéneas de coeficientes constantes cuyos segundosmiembros son de la forma

eaxPm(x).

Ejemplo. Resolver la ecuación de Euler

x2y" - xy' + 2y = x In x.

S o I u c i ó n. La ecuación característica k (k-I) -k++ 2 = O, o bien "k2 - 2k + 2 = O, tiene las raíces k) == 1- i, k2= I + i. Por consiguiente, la solución generalde la ecuación homogéneacorrespondientees:

yg = x (CI cos In x + C2sen In x).

Buscamos una solución particular de la forma !/p == x(A In x + B). Se tiene,

Ay"-P-x'y~=A Inx + B+A,

Sustituyendoen la ecuacióndada. resulta

Ax - x (A In x + A + B)+ 2x(A In x + B) = x In x,

o bien,

Ax In x + Bx = x In x, de donde A = 1, B = O.Asi, pues,YP= x In x.

La solución general esy = x (CIcos In x + C2 sen In x) + x Inx.

Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas deEuler:

675. x2y"+ xy' + y = x (6- Inx).676. x2y"-' xy' + y = 2x.

126

-

6'

71 2" , 3 161nx. xy -xV - Y=--. x

678. x2y" - 2xy' + 2y= X2 - 2x + 2.679. x.~y"+ XV'- y = xm, 1m1=1=L

680. x2y" + 4xy' + 2y = 21n2 x + 12x."

5. ECUAC]ONESDIFERENCIALESLINEALESDE COEFIC]ENTESVARIABLES

Si se conoce una, solución particular YI(x) de la ecua-ción

y(n)+ PI(x) y(n-I)+ ... + Pn(x) y = O, (1)

se puede rebajar el orden de esta última en una unidad(sin que deje de ser lineal) haciendo y = YIZ, donde Z esuna nueva función incógnita, y poniendo después z' = u

[se puede hacer directamente la sustitución u = (:. )'].Conociendo k soluciones particulares de la ecuación

(1), linealmente independientes, se puede rebajar el ordende la ecuación en k unidades. '

La solución general de la ecuacióny(n) + PI (x) y(n-I) + ... + Pn (x) y = f (x) (2)

se expresa como una suma de una de sus soluciones par-t.iculares y de, la solución general de la ecuación homogé-nea correspondiente (1).

Si se conoce un sistema fundamental de la ecuaciónhomogénea correspondiente (1), la solución general de laecuación no homogénea (2) se puede hallar mediantecuadraturas por el método de variación de las constantes.

La solución general de la ecuación (1) tiene la forma

y = C1b'1+ C2Y2 + .., + CnYn, (3)

donde CI, C2, . , " Cn son constantes arbitrarias.Buscaremos una solución de la ecuación (2) de la

forma..

y = CI (x) YI+ C2 (x) Y2 + '" + Cn (x) Yn' (4)

donde CI(x), C2(x),.." Cn(x) son, por ahora, unas fun-ciones incógnitas de x.

]27

-rm~11"

Para determinarJas, obtenemos el siguiente sistema:

ylC~ + y2C~ + ... + ynC~ = O

)

y~C~ + y~C~ + ... + y~C~ = O

~\n':'I)C~+'y~~-;)C~ -+ '.:. +'y~-I)C~ = f (x)

Resolviendo este sistema con respecto a C~(x) (i = 1,2, .. . n), resulta

dCI( )dx = CPIX

De aqui hallamos

C,(x) = fcp,(x)dx + Cdi = 1,2, ..., n). (6)

Sustituyendo en (4) Ci(x) por la expresión obtenida, hal-lamos la solución general de la ecuación (2).

Par~ la ecuación de segundo ordeny" + PI (x) y' + P2(x) Y = f (x),

el sistema (5) tendrá la forma

y.c~ + y2C~ = O,

}y~C~ + y~C~ = f (x) .,Despejandoen (5') CíyC2, obtenemos

C' - u21(x) C' ud (x)I - - W [ulo U2] , 2 = W [U.,.U2],

de donde hallamos

) f gIl (x) C-

C ( ) J ud (x) d-

CI(x =-. W[ ] dx+ lo 2 x = W[ ] x+C2,YII Y2 UI. U2

donde CI y C2'son las constantes de integración.O b s e r va e i ó n Para la ecuación

(5)

(i = 1, 2, .. ., n).

(5')

ao(x) y" + al (x) y' + a2 (x) Y = f (x),

donde ao(x) ~ 1, ao(x) =1=O, el sistema (5') tiene la forma.

y.c~ + y2C~=0

IY'C' + Y'C' =~ .I I 2 2 Qo (x)

128

1111111111111111" IIHIIIIWIIIII~ ,...

Ejemplo t. HaItar la solución general de la ecuaciónO b

.d sen x

xy" + 2y' + xy = , sa len o que y, = - es una solu-xción particular.

S l . , H sen xd do u CIon. acemos y = - .z, on e Z es unax

nueva función incógnita de x. Se tiene

y' = y~z+ y.z', y" = y~'z+ 2y~z' + y¡z".

Sustituyendo en la ecuación dada, resulta

(xy~' + 2y~ + xy¡) z + xy.z" + 2 (xy~ + y,)z' = O.

sen x1 . , t. l d lPero, como YI=- es .una so uClon par ICUar e ax

ecuación dada, se tiene xy~'+ 2y~+ xy. = O,por lo cual,

xy.z" + 2 (xy~+ y¡)z' = O. (1)

cos x sen x ..,Mas, y~=X- - Xi'""' Ypor consIgUIente,xy¡+ YI=cosx.La ecuación (1) toma la forma

z" sen x + 2z' cos x = O.

Escribamos la ecuación en la forma"

~+2~=O.z' sen x

De aquí, se tiene

(In Iz' 1+ 2 In Isen xl)' = O,

de donde Inlz' 1+ 21nlsenx 1= In(:., o bien, z'sen2x =CI.Integrando esta ecuación, hallamos .

z = - c. ctg x + c2,

y, por consiguiente, la solución general de la ecuacióndada es:

y=-c~+c ~x 2 x 'o bien,

y=c cosx +c ~. x 2 X (el = - Cl).

9-583 129

atlr 11111111111 .DIDlllllllllllllmnmllll!m!!!I.!I!i:..

Ejemplo 2. Hallar la solución general de la ecuación2 I

y" + - y' + y = -, (x =1= O).x x

.3 o l u c i ó n. La solución general de la ecuaciónhomo-génea correspondiente tiene la forma (véase el ejemplo 1):

- C sen x + C cosxyg- 1-;- 2-X'

Por consiguiente, el sistema fundamental de soluciones es:sen x cosx

YI=-;-' Y2=-;-'

Busquemos la solución general de la ecuación dada porel método de variación de las constantes arbitrarias:

C ( )sen x + C ( )

cosxY= I X -X 2 X -;-,

donde CI(x), C2(x) son, por ahora, funciones incógnitasde x a determinar. Con este fin, formamos el siguIentesistema:

C~(x) ~ + C~(x) ~ = O. )x x

Ix tOSX - sen x + C' (x) - x sen x - tOS X = J.. .

x% 2 XZ XC~ (x)

De aquí hallamos:C~ (x) = cosx, C~(x)= - senx.

Integrando, obtenemos:

CI (x) = sen x +C(, C2(x)=cos x +C2,

y poniéndolos en la expresión de y, resulta la solucióngeneral de la ecuación dada:

- e sen x + C cos x + IY- 1-;- 2-;- x'

Ejemplo3. Resolver la ecuación y" + y = ~ .cos xS o l u c i ó n. La ecuación homogénea correspondiente

es: y" + y = O. Su ecuación característica 'A2+ l = Otiene las raíces imaginarias 'Al= - 1,'A2 = i Y la solucióngeneral de la ecuaciónhomogéneatiene la forma:

Yg = CI COS x + C2 senx.

J

~

\

j

130

-":IIIW" 1t1111l1Ji111i

Buscamos la solución general de la ecuación inicial en laforma:

y = C,(x) cos x + C2(x) sen x, (1)

donde CI(x) y C2(x) son funciones incógnitas de x. Parahallarlas, formamos el sistema:

cos x . C~ (x) + sen x .C~= O

I- senx .C~ (x) + cosx .C~(x) = 2- .eosx

Resolvemos este sistema con respecto a Cf(x) y C~(x):C~ (x) = - tg x; C~(x)= l.

Integrando, hallamos:

CI(x)= Inlcosx I+C" C2(x)= x + C2.

Poniendo en (1) las expresionesde CI(x) y C2(x), ob.tenemos la solución general de la ecuacióndada:

y=CI cosx + C2sen x + cosx .Inl cos x 1+ xsen x.

Aquí, cosx .ln Icosxl + x sen x es una solución parti-cular de la ecuaciónno homogéneainicial.

Integrar las siguientes ecuaciones (YIe Y2son solucio-nes particulares de la ecuaciónhomogénea):

681. x3y'" - 3x2y"+ 6xy' - 6y = O; y,"= x, Y2= X2.682. (X2- l).y" = 6y; YI es un polinomio.683. (2x + 1)y" + (4x - 2) y' - By :;.0; y, = emx.

684. (X2- x)y" + (2x - 3)y' - 2y=0; YIes una frac-ción racional en cuyo denominadorfiguran factores línea-es (los divisoresdel coeficientede y").

685. (3x + 2X2)y" - 6 (1 + x) y' + 6y = 6, Yt es unpolinomio.

686. x2(lnx - 1)y" - xy' + y=O, Yt = X.687. y" + (tg x - 2ctg x) y' + 2ctg2 X.y = O;y, = senx.688. y" + tg x . y' + cos2x .Y = O; y. = cos (sen x).

689.(1+ X2)y" + xy' - y + 1= O; YI= X.I

690. x2y"- xy' - 3y= 5X4,y¡=-.x9* 181

L -

, 1691. (4X2_X) y" +2 (2x- 1)y' -4y = 12x2-6x,YI= -.x692. y" - y' + ye2X = xe2X - 1, Yt= sen eX.

2693 " + ' t - ~. y y g x - sen x .694. (x+ l)3y"+3(x+ 1)2y'+(x+ l)y=6In(x+ 1).

695. x (x - 1)y" - (2x-l) y' + 2y = x2(2x-3), YI f2.696. Una cadena de 6 m de longitud se desliza desde

una mesa sin rozamiento. Si el movimiento comienzadesde el momento en que cuelga l m de la cadena ¿cuántotiempo tardará en deslizarse toda la cadena?

697. Hallar la ecuación del movimiento de un puntosabiendo que la dependencia de la aceleración del tiempose expresa por la fórmula a = 1,2/, si para / = O ladistancia ,s = O Y para / = 5 la distancia s = 20.

698. Un cuerpo de masa m se desliza sobre un planohorizontal a causa de la acción de un golpe que ha origi-nado una:\velocidad inicial Vo. Sobre el cuerpo actúa lafuerza del rozamiento igual a - km. Hallar la distanciaque es capaz de recorrer el cuerpo. '

699. Un punto material de masa m = 1 se mueve poruna recta acercándose a un centro por el cual es repelidocon una fuerza igual a k2x (x es la distancia del punto al

dxcentro). Para / = O, x = a, df = ka. Hallar la ley delmovimiento.

Empleando el método de variaciónntegrar las siguientes ecuaciones:

700. y" + 4y =~ 2 .cos x

701. 71" + y = tg2 x.702 " 2e.X.y -Y=r-I.703' " , 1

.y -Y=ex+t., 1

704. y" + Y= .JI sen5 x cos x

705. y" + U= ~ )'((cos X I

de las constantes.

132

1111111 n 11111111111

"

706. y'" - 2y" - y' + 2y = 2X3 + X2 -.:- 4x - 6 .xI

707. y" + y = 9 .Vsen7 X COS8X

X

708. y" - 2y' + y = X/+ 1 .1

709. y" + 2y' + 2y = x .e s

710. y - y' = e2x cos eX.I

711. y" + y' = - - .x

712. y" + 3y + 2y = (x ;'1)2 .1

713. y" + y = Y"f .714. xy" - (1 + 2X2) y' = 4x3ex'.

715. y" - 2tg x . y' = l.716. x Inx . y" - y' = In2x.717. xy" + (2x - 1)y' = - 4X2.

718. (x-l)y"-xy'+y=(x-l)2eX; YI=ex.

719. y" + y' + e-2xy = e-3x; y. = cos e-X.(x _1)2 1

720. (X4_X3)y"+(2x3-2x2_X) y'-y = x-; YI=-X'

(En los problemas que siguen se indica el sistema fun-damental de soluciones !/I' Y2 de la ecuación homogéneacorrespondiente).

721. (cosx- senx)y" + 2~nx' y' - (senx+cosx) y== eX(cos x - sen X)2; YI = eX Y2 = senx.

722. xy" - y' - 4x3y = 16x3ex2; YI = eX', Y2 = e-x'.723. x(l-xlnx)y"+{l +x2Inx)y'-(x+ l)y=

.. (1 - x In x)2eX; YI= eX, Y2 = Inx.

724. 4 (X2 + x) y" + 2 (2x+ 1) y' - y = 2 VX2 + x,2J12, I 1í-

Y 1%=1= -g' Y IX=I = }Í2"; YI = Y x,Y2= Vx + l.

133

_lmllm,,,,,".,,mllmnnIllIllIlllIllIllllJWIIIIIIWIJIIII8II- -

725. COS2X .y" - sen xcos x .y' - y = senx, y 1.=0 == y' IX=I=1; YI= secx, Y2= tg x.

726. sen x . y" + 2 cos x .y' - sen x . y = 2 cos 2x,

Y'

,-1 Y

' I -o. Y --=- Y --2-=.!!.-, =.!!.-, I - sen x' 2- sen X .2 2

727.4xy"+2y'+y=l, lim y=l;X-++OO

YI= sen VX, Y2= COSVx.

728. 4xy" + 2y' + Y = 6 ~x, lim Y = O.x x-+ +00

729. (1 + X2) y" + 2xy'= -¡---+I 2' lim y = ~2.X X-++00

y' !X==ii= O.

730. (l-x)y"+xy'-y=(x-1)2ex, lim y=O,x-+-ooy 1.=0= 1; YI=x, Y2=rr.

(2 - In X)2

731.2x2(2-lnx)y"+x(4-lnx)y'-y= JIX 'lim y = O; YI= Inx, Y2= Vx.x-++oo .

732. y" + ~ y' - Y= 4ex, lim y = O,y' IX=-I= -1.;x x-+-oo eeX e~X

YI=-X' Y2=-X'

733. x3(Inx - 1)y" - x2y'+ xY = 21nx, lim y = OX-++OO

y, = x, Y2= Inx.

734. (y2- 2x) y" + (2 - X2) y' - 2 (1 - x) y = 2 (x - 1),lim y = I YI= x2, Y2= eX.

X-++OO

6. COMPOSICIONDE LA ECUACIONDIFERENCIALDADOEL SISTEMAFUNDAMENTALDE SOLUCIONES

Examinemos un sistema de funciones

Y. (x), Y2(x), ..., Yn(x), (1)

linealmente independiente en el segmento [a, b], que tienenderivadas hasta el orden n inclusive.

J34

~""""f"''''ml1t l!nftm'''''''''''1I11rnnlll!lmmm!I!IIHllml''lnlllnf'lIIIllIlI1J1ffJIlIllft1nKIf '11 "1'( '1I1T!11!1.U1'1JF'r'1

Entonces, la ecuación

Yt(x)

Y~(x)

Y2(X)

U~(x)

... Un (x)

... U~ (x)

U (x)

U'(x). . . . . . . . . . . . . . . =0, (2). . . . . . . . . . . . . . .

U\n)(x) U~n)(x) .,. U~n)(x) U(n)(x)

donde U(x) es una función incógnita, es una ecuación di-ferencial lineal, para la cual las funciones udx), U2(x), . . ... . , Un(x) forman un sistema fundamental de soluciones.El coeficiente de U(n)(x) en (2) es el wronskianoW [y!. U2,. . . , Un]del sistema (1).

Los puntos en los que se anula este determinante sonpuntos singulares de la ecuación construida: en estos pun-tos se anula el coeficiente de la de-ivada superior U(n)(x).

Ejemplo 1. Formar la ecuación diferencial para lacual las funciones U¡(x) = ex, U2(x) = e-x forman un si-stema fundamental de soluciones.

S o I u c i ó n. Aplicando la fórmula (2). obtenemos

eX e-X U

eX - e-X U'

eX e-X U"

= O, o bien,l l U

l -1 U' I = O.

l l U"

(3)

Desarrollando el determinante del primer miembro de(3) por los elementos de la tercera columna, se tiene:

U"- U= O.

Esta es la ecuacióo diferencial buscada.

Ejemplo 2. Formar la ecuación diferencial, para lacual, las funciones ' '

UI(x)=ex', , Uz(x)= e-x'

forman el sistema fundamental de soluciones.

135

"1JI11m'1"~"",llInlll"'n!lInIIlI!lIl!IImUHUUnUUItl"'lIIr'ill!'I11II11I11"IIII"IIII"I¡mllJlllllllllllnj"IIlIIlIlInlll1l11narnlllllllt!,..".--

s o 1u e i ó n. Formemos la ecuación (2):

eX' e-x' y

2xex' -2xe-x' y' I= O,(2 + 4X2)eX' (4X2- 2) e-x' y"

o bien,1 1 Y

2x - 2x y' 1=0.2 + 4x2 4x2- 2 y"

Desarrollando este último determinante por los elementosde la 3a columna, tendremos:

xy" - y' - 4x3y = O. (4)

En e~ejemPlo, el wronskiano W[y¡, Y2]= - 4x se anulapara x = O Sin embargo, esto no contradice a la teoríageneral, según la cual, el wronskiano del sistema funda-mental de soluciones de la ecuación diferencial lineal ho-mogénea

y(n) + PI (x) y(n-I) + '" + Pn (x) Y = O,/ (5)

cuyos coeficientes son funciones continuas en el segmento[a, b], no se anula en ningún punto x del segmento [a, b].

Escribiendo la ecuación (4) en la formaI

y" -7 y' - 4x2y= 0, (6)

observamos que el coeficiente de y' es una función discon-tinua en el punto x = O,de modo que en este punto ya nose cumple la condición de que los coeficientes de la ecua-ción (6) sean funciones continuas.

Formar las ecuaciones diferenciale~, para las cuales lossistemas dados de funciones forman los sistemas funda-mentales de soluciones:

735. y, (x)= 1, Y2 (x) = x, Y3 (x) = X2.

736. YI (x) = sh x, Y2(x)= ch x.737. y¡{x) = x, Y2(x) = eX.738. y. (x) = sen X2, Y2(x) = cos X2.

X'

739. YI(x) = x, Y2(x) = eT.

136

:11111111l1li dlllllllllii,

§ 15. METODO DE ISOCLINAgPARA LAS ECUACIONESDIFERENCIALESDE SEGUNDO ORDEN

El método de isoc1inas (véase el § 2) se emplea tam-bién para la resolución de algunas ecuaciones de segundoorden. Tales son las ecuaciones que se pueden reducir alas de primer orden, por ejemplo, las ecuaciones de laforma

d2xf (

dx)

Idt2 + dt' x =0. (1)Introduzcamos ~na nueva variable ti = :: . Entonces.

:;~ = ti ~; Yla ecuación (1) toma la formadv f (v, x)-¡¡x=- v . (2)

Esta es una ecuación de primer orden en la que x es lavariable indepe.ndiente. Para su solución se puede aplicarel método de isoc1inas.

Interpretaremós la variable x como el desplazamiento

de un punto del sistema y ~~ = ti como su velocidad.El plano de las variables x, ti se llama plano fásico.

Por consiguiente, la ecuación (2) determina la velocidadcomo función del desplazamiento.

Construyendo el campo de las isoclinas para la ecua-ción (2) se puede trazar la curva integral una vez dado el. punto inicial (xo, va). Esta representación gráfica de lavelocidad ti como función del desplazamiento x: ti = v(x),se llamacuadro fásico. Las curvas del plano x, v que re-presentan esta dependencia funcional se denominantrayectorias fásicas. Los valore instantáneos de x y ti soncoordenadas del punto de la trayectoria fásica. Este últimose denominapunto representativo.Con el tiempo,el puntorepresentativo se desplaza por la trayectoria fásica. Ob-sérvese que la velocidad positiva suscita con el tiempo un

137

lw¡..w"" - -IIIII! l1li111111

aumento del desplazamiento. En efecto, en virtud de la" t .. dx

O t ' dx O I ISUSl.l UCIOI1V = df' para v > ,se lene df > , o cuasignifica que al aumentar t también aumenta x. Por lotanto, en la mitad superior del plano fásico, en dondev > O, el punto representativo tiene que moverse de izoquierda a derecha. mientras que en la mitad interior delplano, en donde v < O, de derecha a izquierda. Por con-siguiente, el movimiento por la trayectoria fásica se efec-túa en dirección de las agujas del reloj,

Ejemplo t. Construir la trayectoria en el plano fásicopara la ecuación

d2xdt' + x = O. (3)

S o 1u c i ó n.

r\ acemos :; = v. La ecuación (3) tomala forma

do b' d'O xv- +x=O o len -=--.dx ' , dx 'O (4)

Las ecuaciones de las isoclinas para (4), son:

-':"-k[1- .

Trazando las isoclinas, correspondientes a distintos valo-res de k, hallamos que las trayectorias fásicas son circun-ferencias con centro en el punto (O,O) (flg, 22).

Obsérvese. que las trayectorias fásicas cerradas corres-ponden a los movimientos periódicos. Fácilmente se ob-serva que, en el caso de la ecuación (3), verdaderamenteresulta un movimiento periódico, Resolviendo (3) por losmétodos expuestos anteriormente, hallamos:

x (t) = CI COS t + C2 sen t,

E j e m p I o 2. Trazar las trayectorias fásicas para la .ecuación

d2x dx

dt2 - lit + x = O. (5)

S o I u c i ó n. Hacemos v = :: ' Entonces, la ecuación(5) toma la forma

d'O V- xdf = --r;-. (6)

138

La ecuación de las isoclinas es: !!.::::...!. k. Las trayecto-vrias fásicas tienen la forma de espirales que se desenrollan(fig. 23). En el cuadro fásico se puede observar que el mo-vimiento es aperiódico, con una amplitud que crece inde-finidamente con el tiempo.

y

Fig.22 Fig.23

Trazar las trayectorias fásicas para las siguientesecuaciones diferenciales:

d2x dx740. dt2 + dT + x = O.

d2X dx741. dt2 +2dT+6x=0.

d2x dx742. dt2+ 2 dT+ x=O.

d2x(

dx)

2

743. dt2 + dT + x=O.d2x

(dx

)2 dx

744. dt2 -2 df +df-2x=O.d2x

(dx

)a

745. dt2 - X . exp df = O(expU55e ).d2x.

(dx

)746. dt2 + exp - dT - x = O.d2X

(dx

)2

747. dt2 + x df =0.

139

111 ~ ,...,..,...,TTT,...".,..,.".

d2X(

dx748. dt2 + x+2)dT=0.

d2x dx 2-749. dt2 - df + x - x-O.

§ 16.PROBLEMASDE CONTORNO

Para mayor simplicidad estudiaremos la ecuación de

segundo orden J.

!"+PI(X)Y'+P2(X)Y=0. (1)Se supondrá que los coeficientes PI(x) YP2(x) son funcio-nes continuas en cierto intervalo (a, b). En este caso, todasolución y(x) de la ecuación (1) quedará determinada entodo este intervalo. A continuación, en lugar de la ecua-ción (1) consideraremos la ecuación

[p(x) y']' - q (x) y = O, p(x) > O. (2)

Las ecuaciones (1) Y (2) pueden transformarse una en laotra.

La solución de la ecuación diferencial (2) se determinacompletamente por las condiCiones iniciales

y (xo)= Yo, y' (xo)= yó.Sin embargo, en muchos problemas de física se suelen

buscar soluciones dadas de otro modo. Por ejemplo, sepuede plantear el problema: hallar una solución de laecuación (2) que tome en los puntos a y b unos valoresdados y(a) e y(b). Generalmente, en tales casos, interesansolamente los valores de la solución para los valores dex de (a, b). Como los valores y(a) e y(b) se dan en losextremos del intervalo, los problemas de este género sedenominan problemas de contorno. A continuación se to-mará como básico el intervalo (O, n) (intervalo funda-mental). con lo cual no quedará restringida la generalidadde los raz.onamientos.

140

111 HuqlllllJi¡ ,

Una forma bastante general de condiciones de contornopara la ecuación de segundo orden es la siguiente:

hoY(O)+ h1y' (O)= A,

koY(n) + kly' (n) = B,

donde ho: hl, ko, kl, A. B son t¡bas constantes dadas y ho,

hl, ko, k. no son simultáneamt~e iguales a cero.Si A = B = O, las condiciones de contorno se llamanhomogéneas Por ejemplo,

1) Y (O)= Y (n) = O.

2) hoY (O)= y' (O), y' (n) = - h¡y (n);

3) y' (O)= y' (n) = O.

4) Y (O)= Y(n), y' (O)= y' (n).

. (3)

h., h, > Q. }. (31

Por lo general, los problemas de contorno no siempretienen solución, es decir, no siempre existe una solucióntal que en los extremos del intervalo tome los valores in-dicados. Por ejemplo, el problema de contorno

y" = O, Y (O)- Y (n) = 1, y' (O)+ y' (n) = O

no tiene solución alguna.El problema

y" + '}.,y = O, y (O)= Y (n) = O (4)

tiene solución no nula solamente para valores enterosde V"I. En efecto, de la solución general de la ecuacióndiferencial (4)

y =C1eY-J..x +C2e-Y-J.. x

se deduce. que pueden cumplirse las condiciones de con-torno cuando, y sólo cuando, ').,= n2 es el cuadrado de unnúmero entero n. Las soluciones correspondientes son lasfunciones Yn = sen nx.

Como se observa en este ejemplo, si en la ecuación (2),q es función del parámetro A,en ciertas condiciones, exis-ten tales valores del parámetro para los que el problemade contorno homogéneo para la ecuación (2) tiene solu-ción no nula. Estos valores de Ase llaman valores propios(o autovalores) y las soluciones correspondientes del pro-blema de contorno, funciones propias (o autofunciones).

141

~

111111 ~"""''''II''lIIlm"'''nn~lll'ijll!lIIlInnlllllnr':!I:l!nrlll'fIIi:'''mlll'''"~~

Estas últimas se determinan salvo un factor constantearbitrario. Así, pues, para el problema de contorno y" ++ 'Ay= O,y(O) = y(n) = 0, los números 12, 22, 33, ... ylas 'funciones sen x, sen 2x, ... son los valores propios ylas funciones propias, respectivamente, del problema.

Junto con los valores propios simples, cuando a unvalor propio corresponde una sola fl..nción propia (salvoun factor constante), pueden existir valores propios múl-tiples, cuando a un valor propio 1..0le corresponden dos fun-ciones propias linealmente independientes.

Para resolver los problemas de contorno (en el caso deecuaciones diferenciales lineales homogéneas) se procededel siguienie modo: se halla la solución general de laecuación diferencial dada:

y = C.YI(x) + C2Y2(x) + ... + CnYn (x),

donde y. (x), Y2(X), .. ., Yn (x) son soluciones linealmenteindependientes. Después se exige que esta solución y(x)satisfaga a las condiciones de contorno dadas. Esto dalugar a un sistema lineal de ecuaciones para la determi-nación de C¡, C2, ..., Cn. Resolviendo este sistema, encaso de que esto sea posible, se halla la solución delproblema de contorno planteado.

En este caso, si surge el problema de la determinaciónde los valores propios, la condición de existencia de solu-ción no nula del sistema, por el que se determinanCl, C2, . . ., C1I'es la condición que determina los valorespropios. Generalmente,esta ,ecuaciónen 'Aes trascendente.

750. ¿Para qué valores de 'A la ecuación y" + 'Ay=- °tiene solución no nula que satisfaga a las condiciones:

a) y' (O)= y' (n) = 0,b) y (O)= Y (n), y' (O)= y' (n)?

751. ¿Para qué valores de 'A el problema

y" + 'Ay= 0,y(O)= y(l) =0

de contorno

posee la solución trivial y = O?752. ¿Cuál de los problemas que siguen tiene solución?

a) y" - Y = 0, Y (O)= 0, y (2n)= 1,b) y" + y = 0, y (O)= 0, Y (2n)= l.

142

_11I¡¡¡¡¡;¡:"""""j,,:,illllllllllllllllllmnnnnnlllmllllll111llll!!'.

753. Resolver el problema de contorno

y" + (A. - C02)y = O, Y (O)= Y (1), y' (O)= y' (1).

Considerar los casos A.- Cl)2 > O, A.- C02 = O,A- C02 < O.754. Hallar la solución de la ecuación yy" + (y')2 +

+ 1 = Oque pasa por los puntos (O,J) Y (1,2).Resolver los siguientes problemas de contorno:755. y" (x)= k2y(x), donde k2= a2s2, y (O)= V..

Y (xo) = V2'

756. y" (x) = a2. s . y (x), y (O)= v, y' (xo)= O.757. y" (x) - a2sy (x) = O,

[

a) y (O)= s' y' (xo)= O,l

b) y'(O)= - -, y (xo)= O.s

758. y" (x) = a2s2y(x) + a2gl, y (O)= Y (xo).759. y" (x) = A.2y(x) (A.=1=O)

lY (1) =-;:,

[y (1) =-;:,

y' (1)= * ;l

d) y'(O)=O, y'(l)=-;:.

760. yIV_A.4y=0, y(O)=y"(O)=O, y(n)=y"(n)=O.761. ylV - A.4y = O,y(O)= y' (O)= O, Y (n) = y" (n) = O.762. ylV- ').}y= O,Y (O)= y' (O)= O, Y (n) = y' (n)= O.

[

763.",y'" + ay" - a2y' - a3y= O, y (0)= - a'l

y' (O)= 1 + - , y ( 1) = O.a

764. ylV - 2y'" + 2y" - 2y' + y = cos 2x,

y (O)= Y(n)= ~ ' y' (O)= [~ ' y' (n)= ~ .N O t a. Los valores propios de los problemas estudia-

dos anteriormente forman una sucesión numérica cre-143

a) y (O)= O,

b) y'(O)=O,

c) y (O)= O,

/11 'JIIIllI

ciente. Si los coeficientesde la ecuación diferencial tienenun punto singular en la frontera del dominio fundamentalo si el dominio fundamental es infinito, por ejemplo, todoel eje numérico, el espectro, o sea, el conjunto de los va-lores propios puede tener otra estructura. En particular,puede haber espectros que contengan todos los númerosde algún jntervalo de valores A.,denominados espectroscontinuos. Por ejemplo, supongamos que se necesita re-solver la ecuacióny" + A.y = Opara el intervalo - 00 << x < + 00 con las "condiciones de contorno": y(x)tiene que estar acotada en el infinito. Está claro que, eneste caso, cualquier número A. no negativo es un valorpropio al cual le corresponden las funciones propiassen vrx y cosvXy.

Al re~olver los problemas de la física matemática quedan lugar a problemas de determinación de los valorespropios, frecuentemente resultan ecuaciones diferencialesde la forma

[p (x) y'J' - q (x) y + 1.(>(x) y = O (4)

tales que en puntos finitos del dominio fundamental puedehaber singularidades de la ecuación diferencial; porejemplo: se anula el coeficiente p(x). Para estos puntossingulares, las condiciones a satisfacer aparecen del ca.rácter mismo del problema; por ejemplo: que la soluciónsea continua o acotada, o bien qtie sea infinita pero de oroden no superior a un orden prefijado. Estas condicionesdesempeñan el papel de condiciones de contorno. Unejemplo típico es la ecuación de Bessel

n2(xy')' - - y + AXY = O,x (5)

que aparece en los problemas de la física matemática. Eneste caso, p(x) = x y ya no se cumple la suposición hechaanteriormente de que sea p (x) > O en' todo el dominiofundamental O~ x ~ 1, puesto que p(O) = O. Para laecuación de Bessel, x = Oes un punto singular.

La exigencia de que la solución sea acotada en estepunto es para la ecuaciónde Bessel una condiciónespecialde contorno que, por ejemplo, puede expresarse así: hallar1/1solución de la ecuación (5) que está acotada para'( I OYque se anula para x = 1,

111

!IIIIIIIII. 1111111...

Resolver los problemas de contorno:

765. xy" + y' = O, y (1)= ay' (1), y (x) está acotadapara x-O.

766. x2ylV + 4xy'" + 2y" = O, y (1)= y' (1)= O, y (x)está acotada para x-O.

767. x3yIV+6x2y"'+6xy"=0, y(I)=y'(I)=O, y(x)está acotada para x-O.

§ 17. INTEGRACION DE LASECUACIONES

. DIFERENCIALESMEDIANTE SERIES

1. Este método resulta muy usual al aplicarlo a lasecuaciones diferenciales lineales. Aqui lo aplicaremos parael caso de ecuaciones de segundo orden.

Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden:

lJ" + P (x) y' + q (x) y = O. (1)

Supongamos que los coefiCientes p(x) y q(x) se expresanen forma de series, dispuestas según las potencias enteraspositivas de x, de modo que la ecuación (1) se puedeescribir de la forma

y" + (€lo + a.x + a2x2 + ...) y' ++ (bo + b¡x + b2x2 + ...) y = O. (2)

Busquemos la solución de esta ecuación en forma deuna serie de potencias

co

y= ~ CkX".k=O (3)

10-583 145

11' 0111111

Poniendo en (2) la expresión de y y sus derivadas, obte-nemos:00 00 00

~ k (k - 1)CkXk-2 + ~ akxk ~ kCkXk-1 +k=2 k=O k=1 -

00 00

+ ~ bkxk ~ CkXk=O.k=O k=O

(4)

Multiplicando las series de potencias. reuniendo los tér-minos semejantes e igualando a cero los coeficientes endistintas potencias de x del primer miembro de (4), resul-tan las ecuaciones: .xO 2. 1 C2 + aocl + boco= O

Xl 3. 2 C3 + 2aOc2+ alc, + bocl+ blco= O

X2 4.3 C4 + 3aOc3 + 2alcz+ azcl+ bUC2+b,cl + b2co= O (5). . . . . . . . . . . . . . . . . ., .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .. . . . ..... . .......Cada una de las ecuaciones (5) contiene un coefi-

ciente indeterminado más que la anterior. Los coeficientesCuy c) se mantienen arbilrarios y desempeñan el papel deconstantes arbitrarias.

La primera de las ecuaciones (5) proporciona C2; lasegunda, C3; la tercera, C4; etc. En general, de la (k ++ 1)-ésima ecuación se puede determinar Ck+2una vez co-nocidos co. CI. . . . . CII+I.

En la práctica es conveniente proceder del modo si-guiente: Por el esquema señalado se buscan dos solucio-nes: Yl(x) e Y2(X). Para YI(x) se toma Co= 1 Y til = O,Y para Y2(X) se toma Co= OY Cl = 1, lo cual es equiva-lente a las siguientes condiciones iniciales:

YI(O)= 1, Y~(O)=O,}

.Y2(0)=O, Y2(O)= 1

1

J)J

(6)

Toda solución de la ecuación (1) será combinación linealde las soluciones YI(x) e Y2(x).

Si las condiciones iniciales son de la forma y (O)= A.y' (O)= B, entonces, es evidente que

y = AYI (x) + BY2 (x).

II:1

146

'1

11111111 "1II"n'n",nnlll""'III""JfI""mIIWlIIIIPlIIIIIII/llIIIIIIII"!IIIIIII'''~"IIIIIIII''"lIIlmlll¡''lIfVIj,lI"'mJfl,m

Finalmente, enunciar{'mos (sin E'xponer la demostración)el teorema de existencia de solución de la ecuación (1)en forma de serie (3).

Teorema. Si las series.-00 00

p(x) = ~ akxk Y q (x)= ~ bkxkk==O k=O

son convergentes para Ix 1< R, la serie de potencias (3)cortstruida del modo indicado anteriormente también esconvergente para estos mismos valores de x y es soluciónde la ecuadon (1).

En particular, si p (x) y q(x) son polinomios en x, laserie (3) será convergente para cualquier valor de x.

Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación

y" - xy' - 2y = O

en forma de serie de potencias.S o I u c i ó n Buscamos YI(x) en la forma

(1)

Entonces,

00

YI (x) = ~. CkXk.k=O (2)

00

y' (x)= ~ kc Xk-II k=1 k , (3)

00

y" (x)= ~ (k - 1) kc Xk-2.I k=2 k

Poniendo (2), (3) Y (4) en (1), hallamos:

(4)

~ ~ ~

~ (k - 1)kCkXk-2- ~ kCkXk - 2 ~ CkXk = O.k=2 k=1 k=O

(5)

Reduciendo los términos semejantes e igualando a cerolos coeficientes en distintas- potencias de x, resultan unasrelaciones de las cuales se hallan los coeficientes C2.C3.C4, ...

Para precisar, hagamos

y, (O)= 1,

Entonces, de (2) y (6)

y~(O)= o. (6)

Co= 1, (7)10' 147

'Iitllba . gillllllllllllllllJd-

y de (3) y (6)C,=O. (8)

Así, pues, se tiene

Xo 2C2- 2co= O, de donde,en virtud de (7),cJ= 1,Xl 3. 2C3- 1.c, - 2c(= O de donde, en virtud de (8), C3= O,

X2 4.3c4 - 2C2 - 2C2 = O,de donde C4= ~ '

x3

1

5.4C5 - 3C3 - 2C3 = O,de donde C5= O,

X4 6. 5C6- 4C4 - 2C4 = O, de donde C6= ~4 = 3.15.1 ..................

y, por consiguiente,

y,(x)= 1+X2+ ~ x4+-fsx6+ ...De modo análogo, tomando

00

Y2(x)= ~ AkXkk=O

y las condiciones iniciales

y 2 (O)= O,resulta

Ao=O,

y poniendo (10) en (1), hallamos:

(9)

(10)

Y~(O)= 1, (11)

(12)A.=I,

00 00

~ k (k - 1)Akxk-2- ~ (k + 2) AkXk = Ok=O k=1

xO 2A2=0,

Xl 3. 2A3- 3A¡= O,

x2 4. 3A4- 4A2= O,

x315 . 4A5- 5A3= O,

x4

1

6 . 5A6 - 6A4 = O,

x5 7. 6A7- 7 A5 = O,. . . . . . . . .

148

---

~

A2=01

A3=2'

A4=0.1

A5= 2'74'

A6=0,1

A7=~,. . . . . .

--- ~i;."':M'r~ 11118'''-u

Es evidente que

A~:k= O,I

A2k+1 = - (k = 1, 2, 3, ...).Asi, pues,

X3 x~ x7

Y2(x)=x+"2+ 2.4 + 2.4.6 + ...

(X2

)k

00"2 ~

... =x~kI=xe2.k=9

(13)

La solución general de la ecuación (1) tendrá la forma

y (x) = Ay. (x) + BY2 (x),

donde YI(x) e Y2(x) se determinan por las fórmulas (9)y (13), respectivamente.

2. Desarrollo de la solución en una serie de potenciasgeneralizada.

De fin i c i ó n. Una serie de la forma00

xf'~ CkXkk=O

(CO=F O), (14)00

donde p es un .número dado y la serie de potencias ~ CkXkk=0

es convergente en cierto recinto Ixl < R, se llama serie depotencias generalizada.

Si p es un número entero no negativo, la serie de po-tencias generalizáda (14) se convierte en una.serie de po-tencias ordinaria.

Subsiste el siguiente teorema.

Teorema. Si x = Oes un punto singular de la ecuación(1), cuyoscoeficientesp(x) y q(x) admiten los desarrollos

00

~ akxk

p (x)= k=Ox q(x)

00

~ bkxkk=0~ (15)

donde las series que figuran en los numeradores son con-vergentes en cierto recinto Ixl < R, Y los coeficientes Qo,boY b. no son simultáneamenteiguales a cero, entonceslaecuación (1) posee al menos una solución en forma de

149

"lnlll_IIIIIIIIIUllil8illumnIUlmllllmlllll1!llllllj!l~

serie de potencias generalizada00

!I = xP ~ CkXkk=O

(Co=F O), (16)

que es convergente al menos en el mismo recinto Ixl < R.Para hallar el exponente p y los coeficientes Ckes ne-

cesario poner la serie (16) en la ecuación (1), simplificarpor xP e igualar a cero los coeficientes en distintas poten-cias de x (método de los coeficientes indeterminados).

En este caso, el número p se halla de la ecuación lla-mada determinativa

ao= lim xp (x),x-+o bo= lim x2q (x).x-+o

(17)

(l8)donde

p (p - 1)+ aop+ bo= 0,

Supongamos que p. y P2 son las raíces de la ecuacióndeterminativa (17). Distinguiremos tres casos:

l. Si la diferencia p. - P2 no es un número entero ocero, se pueden construir dos soluciones de la forma (16):

00

YI = xP'~ CkXkk=O

(Co =FO),

00

Y2= xP'~ AkXk (Ao=F O).k=O

2. Si la diferencia p. - P2 es un número entero po-sitivo, por lo gen~l, solamente se puede construir unaserie (solución de la ecuación (1»: .

00

Y. = xp,~ CkXk.k=O

(19)

3. Si la ecuación (17) posee una raíz múltiple p, = P2,también se puede construir solamente una serie (la solu-ción (19».

Está claro que en el primer caso las soluciones y, (x)e Y2(X) construidas son !inealmente independientes (o sea,la razón de las mismas no es constante).

En el segundo y tercer casos, se ha construido sola-mente una solución (19) Señalemos, sin exponer la de-mostración, que si la diferencia p,- P2 es un número en-150

-¡'IIIIIIIIIIII"""""""""""I!f!III""11fmmllllm.nnmn"1I1mi"""II\!T¡IIIII'

tero positivo o cero, además de la solución (19) habrá unasolución de la forma

00

Y2 = AYI (x) In x + xp., ~ Akxk.k-O

(20)

Vemos, pues, que ahora Y2(Je) contiene un sumandocomplementario de la forma

Ay, (x) In x,

donde YI(x) se expresa en la forma (19).O b s e r va c i ó n. Puede' ocurrir que la constante A

en (20) sea igual a cero, y entonces, para Y2 resulta unaexpresión en forma de una serie de potencias generali-zada.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación

2x2y" + (3x - 2X2) y' - (x + 1)y = O.

S o 1u e i ó n Escribamos (1) en la forma" + 3x - 2X2 , - x + 1 - OY 1')~2 Y 2X2 y-

(1)

(2)o bien

" + 3-2x '-~ -OY 2x y 2X2 y - . (3)

Busquemos la solución y(x) en la forma00

y(x)=xP ~CkXkk=O (Co =1=O). (4)

Para hallar p escribimos la ecuación determinativa

p(p - 1) + aop + bo=O, (5)donde

ao= lim 3 - 2x - 3%~o 2 -2"'

b =Iim (-X+I )=_..!..%~O 2 2 .

o sea,3 1

p(p-l)+2"p-2"=O.o bien,

2 + I 1P 2P-2"=0.

151

I

De aquí,1

PI=2"' P2= - 1.

De acuerdo a la regla expuesta tomamosI 00

YI (x) = x 2" 1: CkXk,k=O

(x > O), (6)

00

Y2(x) = ~~ Akxk.k=O

Para hallar los coeficientes 60, CI, ..., Cn, '" sustitui-mos y. (x) y sus derivadas Y~(x) e y~'(x) en la ecuación (1).Se tiene

00 1 00 I~ H- ~ (

I)

k--YI(X)=.t.A Ckx 2, y~(x)=.t.Ak +2 Ckx 2,

k==O k==O

(7)

00 3

y~/(X)= ~ (k + +)(k - ~ )CkXk-z,k=Ooo. 3 00 I

~(

1)

k-- ~ (I)

k--2X2.t.A k2 -"4 CkX 2 + (3x - 2x~).t.A k + 2 Ckx 2-

k=O k=O

00- H..!..

-(x+I)~Ckx 2=0.k=O

(8)A

Después de las transformaciones, (8) toma la forma00 I 00 3

~ k (2k + 3) Ckx k+'2- 1: 2 (k + 1) Ckx k+'2 = O.k=O k=O

(9)

Como se busca una solución 'para x> O, se puede simpl.iI

ficar por x"2 y obtenemos:

00 00

~ k (2k + 3) CkXk - 1: 2(k + I)C/¡xk+f=0.k==O k=O

(10)

152

I -~

De aquí, hallamos las relaciones para la determínación delos coeficientes:

xii. 5C. - 2 . lCo= O

x2 2. 7C2- 2. 2C1=0x3 3. 9C2- 2 . 3C2= O. . . . . . . . . . . . (11)

. . . . . . . . '.' .xn In (2n + 3) Cn- 2nCn-1=0

. .

Haciendo en la primera ecuación de las relaciones (11)2

Co = 1,obtenemos,CI= 5'

De la segunda ecuación se tiene C2= 5:27 .. 23

De la tercera ecuación, Ca= 5.7.9' etc.Fácilmente se observa que

2nCn= (n = 1, 2, 3, .. .).

De este modo,.!.

[00 (2x)1l

]y, (x)=x2 1 + ~5.7..9... (2k+3) .(12)

De modo análogo se hallanResulta que para Ao = 1,

IA2 = 2f'

también los coeficientes A/¡.

AI= 1,

,de modo que00

I ~ xll eXY2(X)=7 ~ kf o bien Y2(x) =7'

k=O

.. .,1

Ak = kf'

(13)

La solución general de la ecuación (1) es~

y (x) = AYI (x) + BY2(x),

donde A Y B son constantes arbitrarias y las funcionesy¡(x) e Y2(X) están dadas por las fórmulas (12) y (13).

153

)-¡mIIUI 1llll1!1lliliH"

Ejemplo 2. La ecuación de Besset

x2y" + xy' + (x2 - ¡fl) y = O,

donde->p es una constante dada, p > O,S o 1u e i ó n. Escribamos (1) en la forma

I X2_ p2

y" +x y' + ~2 y = O.

(1)

(2)

A .( )

I X2_p2.qm, p x = x' q (x) = X2 (veanse las fonnulas (15»,de modo que

ao= 11mxp (x) = 1

J

x-.ob 1, 2 ( ) 2 (véanse las fórmulas (18».o= 1mx q x = - px-.o

La ecuación determinativa para p es:

p (p- 1)+ 1 ' P - p2 = O, bien, p2- p2 = O

Las raíces de la ecuación (3) son:

PI=p}P2= - P .

(3)

(4)

Buscamos la primera solución particular de la ecuación deBessel (1) en forma de una serie de potencias generali-zada:

'\

00

y=xP ~ CkXk.k=O

(5)111

Reemplazando y, y' e y" en la ecuación (1J. resulta00 00

x2 ~ Ck (k + p) (k + p-l) Xk+p-2 + x ~ Ck (k+p) Xk+p-I +k~ k~

oci

+ (X2 - p2) ~ Cktk+p=0,k=O

o bien, después de transformaciones elementales y simpli-ficación por x!>:

/

00 00

~ [(k + p)2- p2] CkXk + ~ CkXk+2 = O.k-4 k-o I (6)

154

1111111111' Imi

De aqui, igualando a cero los coeficientes en distintas po-tencias de x, se tiene. .

xO (p2 - p2)CO= 0,Xl [(1+ p)2- p2]CI = 0,X2 [(2+ p)2- p2]C2+ Co= 0,x3 [(3 + p)2- p2]Ca+ CI=0,

. X4 [(4+ p)2- p2]C.+ C2= 0, (7)

. . . . . . . . . . . . ., /'

. . . . . . . . . . . . .,Xk I [(k+ p)2- p2] Ck + Ck-2 =0,

. . . . ... . .

La primera de las relaciones (7) se cumple para cual-quier valor del coeficiente Co.

De la segunda relación (7) obtenemos: CI = O.De la tercera:

C Ca Ca2 = - (2 + p)2 - p2 = - 22 (1 + p) .

De la cuarta: Cs = O.De la quinta:

C4= - C2(4 + p)2- p2

Ca24 (1 + p) (2 + pf.l~ .

Es evidente que todos los coeficientes de subindice im-par son iguales a cero:

C2k+1=0 (k=O, 1, 2, ...) (8)

Los coefic~entes de subindice par son de la forma:(-I)k ca

C2k= ~2"', .", .~, ,.".. (k=l, 2, ) (9)

Para simplificar los cálculos ulteriores, .hagamos1

Co= 2pr(v)(p+ 1),

donde fe,,) es la función Gamma de Euler.La función Gamma de Euler r (\1) se define para todos

los valores positivos (y también para todos los valores

155

(10)

lnmllll ~~ oIIitI.1IldU~UIIIIIIIUI ......

complejos cuyas partes reales sean positivas) del modosiguiente:

00

r (v) = fe-xxV-1dx.o(11)

La funciónimportantes:

1.2.

Gamma posee las siguientes propiedades

r (v+ 1)= vr (v).r (1)= 1.

Si k es un númeroentero positivo,se tiene:3. r (v+ k + 1)= (v + l)(v + 2) .. . (v + k) r (v+ 1).

4. r (k + 1)= kl

Aplicando (10) y las propiedades de la función r ocu-pémonos de la transformación del coeficiente C2k:

e - (-I)k -2k - 22k(p + 1)(p + 2) ... (p + k). kl. 2Pr (p + 1)

{_I)k= 22k+p. kl r (p + k + 1)

pues, en virtud de la propiedad 3, (p + 1)(p+ 2).. ....(p+k)r(p+ 1) es igual a r(p+k+ 1). Ahora, lasolución particular de la ecuación de Bessel, que a conti.nuación indicaremoscon Jp, toma la forma

00~ (-I)k (

X

)2k+P

JP (x) = ki klr (p + k + 1)"2 .1=0(12)

Esta función se llama función de Bessel de primera especiede orden p.

La segunda solución particular de la ecuación deBessel (l) la buscaremos de la forma

00

y =x-p ~ CkXk,k=0

(13)

donde - p es la segunda raíz de la ecuación determina-tiva (3). Está claro que esta solución puede obtenerse dela solución (12) sustituyendo p por - p, puesto que en la156

1111111 m.."''''''

ecuación (1) p está elevado a una potencia par y no varíaal su~tituir p por - p.

Asi,pues,00

(-I)k (X

)2k-P

Lp (x) = ~ kIT (k + I - p)"2 .k=O(14)

Esta función se llama función de Bessel de primera es-pecie de orden - p.

Si p no es un número entero, las soluciones Jl' (x) YJ-1'(x) son lineal mente independientes, puesto que sus de-sarroJlos en series comienzan con potencias distintas de xy, por consiguiente, la combinación lineal atl l' (x) ++a2J-1'(x) puede ser igual a cero idénticamente sólo paraal = a2 = O.

Si p es un número entero, las funciones J l' (x) Y Lp (x)son lineal mente dependientes, pues

J-n (x) = (-l)n Jn (x) (n es entero). (15)

Así, pues, cuando p es entero, en lugar de J-1'(x) hayque buscar otra solución que sea linealmente indepen-diente con Jp (x). Para esto, introducimos una nueva fun-ción

Yp (x) = Ip(x)cospn-J-p(x)--- , (16)

suponiendo primero que p no es entero.Es evidente que la función Yp (x), determinada de este

modo, es solución de la ecuación (1) (puesto que repre-senta una combinación lineal de las soluciones particula-res Jp(x) y 1-1'(x».

Pasando a límites en (16), cuando p tiende a un nú-mero entero, se obtiene la solución particular Yp(x) lineal-mente independiente con Jl' (x) Y determinada ya paravalores enteros de p.

La función Yp(x) definida aquí se 1Iama función deBessel de segunda especie de orden p, o también funciónde Weber *). De este modo, para todo p, entero o fraccio-nario, hemos construido el sistema fundamental de solu-ciones de la ecuación de Bessel (1). De aquí se deduce

*) Algunos autores la llaman función de Ne"umann y' 'Ia InCtIcanNp(x). (Nota del T.)

157

- - '11' 11111

que la solución general de la ecuación (1) puede repre-sentarse en la forma

y = AJ p (x) + BY p (x), (17)

donde A YB son constantes arbitrarias.No obstante, cuando p no es entero, la solución general

de la ecuación de Bessel se puede tomar de la forma

y=a,Jp(x) + ~Lp(x), (18)

donde al Ya2 son constantes arbitrarias.N o tal. La ecuación que frecuentemente aparece

x2y" + xy' + (k2x'1- p'l) Y = 0, (19)

donde k es cierta constante (k =1=O). se reduce a la ecua.ción de Bessel

62:;~ + 6 :i + (62- p'l) Y = O (20)

mediante la sustitución 6 == kx.La solución general de la ecuación (20) (cuando p no

es entero) es:y = u,IJp m + ~J-p(6)'

y entonces, la solución general de la ecuación (19) tomala forma:

y = alJp (kx) + ~J _p(kx),

Cuando p es entero,

y = alJ p(kx) + ~Y p (kx).

N o t a 2. Una clase muy amplia de ecuaciones de laforma

2 d2y dy mX dx2 + ax dX + (b + ex ) y = O, (21)

donde a, b, e, m son constantes (e> O, m =1=O), introdu-ciendo una nueva variable t y una nueva función u segúnlas fórmulas

a

(t)--

y= V liu,

I

x=(~)P, (22)

168

il IHlIIUW¡U,

se reducen a la ecuación de Bessel

[2 .d u + [ !!!!..- + ([2 - 2) - Odt2 di P u - ,donde

a-Ia= --r-. p.-~ _2Yc ...2_(a~])2-4b (23)t' - 2' Y- m . P - m2 .Cuando e = O Y cuando m = O, la ecuaciónecuación de Euler.

Integrar mediante series las' siguientesdiferenciales:

768. y' - 2xy = O, Y (O)= l.

769. 4xy" + 2y' + y = O.

770. (1 + x)y' - ny= O.

¿., 771. 9x(l-x)y"-12y'+4y=0.

772. y" + xy' + y = O. .

773. y" - xy' + y - I = O, Y (O)= y' (O)= O.

(21) es la

ecuaciones

En los ejercicios 774-778 hay que hallar seis térmi-nos del desarrollo de y (x).

774. y" - (1 + x2) y = O, Y(O)= - 2, y' (O)= 2.775. Y"=X2y_y', y(O)=I, y'(O)=O.776. y" - yeX= O.

777. y' = x2 + y2,778. y' = eY+ xy,

y (O)= O.y (O)= O

Hallar las soluciones generales de las ecuaciones deBessel:

779. x2y" + xy' + (4X2 - ~) y = O.

780. x2y" + xy' + (x2 - +) y = o.I + 1

O.

781. y" + x y' "9 y = .I

782. y" + - y' + 4y = O.x

783. x2y" - 2xy' + 4 (X4 - 1)y = O.

159

!1111II~ tillllUWIUUIIllllllllll1IIIRII¡m

784. xy" + f y' + -{- y = O.

785. y" + ~ y' + y = O.x3

786. y" + - y' + 4y = O.xDemostrar la justeza de las siguientes relaciones:

787. 1~(x)=lp_¡(x)- ~ Ip(x).

788. I~ (x) = - 1p+1 (x) + ~ I p (x).

789. 1p+1(x) = 2: I p (x) - I p-I (x).

790. 12(x) = I~(x) - ..!..I~(x).x

791. 12(x) - lo(x) = 2/~ (x).792. 13(x) + 3/~ (x) + 4/~" (x) = O.

793. x2/; (x) = (p2 - P - X2)1p (x) + xl p+1(x).

794. Comprobar que VX I1(2 VX) y VX YI(2 VX) sonsoluciones de ]a ecuación

xy" + y = O.

795. Comprobar que Vx 1 1 (VX) y \Ix 11 (Vx) son-"2 "2

1111

1111

soluciones de ]a ecuación

I Ixy" + "2 y' + 4" y = O.

796. Comprobar quex

fdt

Clip (x) ~ + C2Jp (x)o ti p (t)

es solución de la ecuación de Bessel.N o t a 3. He aquí otro método de integración de las

ecuaciones diferenciales mediante series que resulta mássencillo al emplearlo a las ecuaciones diferenciales no li-neales.

Sea dada la ecuación diferencia]

yln)=j(x. y, y', ..., y(n-I» (1)ano I

-J

y las condiciones inicialesY I = Y Y

' I = Y'

Y(n-O I = Y(n-O (2)X=Xo o' x=x, o,. . . , X=XO o .Introduzcamos la siguiente definición.

Se dice que una función cp(x) es holomorfaen un en-torno Ix - Xo1< p del punto x = Xo,si en este entornoésta es expresable por una serie de potencias

co

cp(x) = ~ Ck (x - xo)k,k=O

convergente en el recinto Ix - xol < p.Análogamente, la función cp(x.. X2. ..., xn) se llama

holomorfa con respecto de todos sus argumentos en el en-torno

IXk-X1°)I<Pk (1, 2, ..., n)d I t ( (O) ..10) (O) '

ble pun o XI' A.!!' . , ., xn SI es expresa e por unaserie de potenciasCP(XI, X2'".. " xn)=

= ~ c (X - X(O) k, (X - X(0) k2 ... (X - ,XtO)kk.k2 '" kn I I 2 2 n n

convergente en el recinto

I Xk - X~o)I< Pk (k = 1, 2, ..., n).

Subsiste el siguiente teorema.

Teorema. Si el segundo miembro de la ecuación (1) esuna función holomorfa con respecto de todos sus argu-mentos x, Y. y', ,.., y(n-I) en entorno Q:

Ix - XoI< R, Iy - YoI < R.. I y' - y~1<< R., ..., \y(n-I)- y~n-I)I< RI

del pvnto (xo' Yo' y~, ..., y~n-J), la ecuación (1) tieneuna Y sólo una solución y = y(x) que cumple las condi-ciones iniciales (2) Y es holomorfa en un entorno delpunto x = Xo: "Y (x) = Yo+ y~(x- xo)+ ~~ (x - XO)2 + ...

(n-I) coYo

( )11- I ~ )k

(... + i-- 1\1 X - Xo + ~ ak (x - Xo. 4)k-iJ

11-583 161

La serie (4) es convergente en el recinto Ix - XoI<:: p,donde

p= a [1- e (n+t)aM1 (5)

aquí. a y b son unas constantes que satisfacen a las con-diciones: O< a < R. O< b < R, Y

M = máxl f (x, y, v', ..., y(n-I) l.a (6)

Los primeros n + 1 coeficientes de la serie (4) se de-terminan por las condiciones iniciales (2) y la ecuacióndiferencial (1).

Los demás coeficientes se determinan por la ecuacióndiferencial, derivándola sucesivamente. Por ejemplo:

I n-I

) Ian+1 = y(n+l) I- = (.EL+.2L y' + ,.., ...2L y(k+l) =x-x, ox ay ~ oy(k)k=1 x=x.

=!!LI

+ !!LI

.Y' +~ ~I

. y(k+I) (xo)' (7)ox ay o ~ ay(k)x=x, x=~, k=l x=x,

o bs e r v a c i ó n. Si la ecuación (1) es lineal.

y(n)+ PI(x) y(n-I)+ ... + Pn(x) y = 1\> (x), (8)

donde Pk(X) (k = 1, 2, ..., n) y ,p(x) son funciones holo-morfas en todo el eje Ox. la serie (4) es convergente tam-bién en todo el eje.

Ejemplo. Hallar los cuatro primeros términos del desa-. rrollo en serie de Taylor de la solución y = y(x) de la

ecuaciónj

r

y'l = eXY,

que cumple las condiciones iniciales.

y Ix=o= 1, y' 1=0= o.

S o 1u c i ó n. Fácilmente se observa que el segundemiembro de la ecuación, o sea, la función eXY,es desarroHable en serie de potencias de x e y en un en.torno depunto (O, O): esta serie es convergente en la región- 00 < x < + 00, - 00 < y < + 00 (es decir, el se.gundo miembro es una función holomorfa).162

illlllllllllllllllllllli"1"''''''''''''''''ft11Tm~:IIIIIIIIIIIIIIIUlllllnllllmllmllmlnfl1,,~I«:'''ry11lr~l1lfTl''C-

Buscaremos una solución particular en forma de se-rie (4):

y (x) = y (O)+ Y'l\O) x + y"2~O) X2 + Y"~~O)~3+ ... .

Empleando la misma ecuación, hallamos: y" (O)== eXlllx=o= l.

Derivando sucesivamente ambos miembros de la ecua-ción y haciendox = Oen las igualdades obtenidas, tendre-mos:

y'" (O)= (y + xy') eXY Ix-o = 1,ylV(O)= [2y' + xy" + (y + xy')2] eXY Ix=o= 1.

Poniendo en la serie (4) los valores obtenidos y"(O),y'" (O),ylV (O), obtenemos el desarrollo buscado de la so-lución:

x2 x3 x.Y (x) = 1+ 2f + 3f + 4f + ....

En los ejercicios siguientes hay que hallar 105 tresprimeros términos del desarrollo en serie de potencias dela solución de la ecuación diferencial para las condicionesiniciales dadas.

797. y'=l-xy, Y Ix=o=O., ll-X I 1

798. Y = y + x ' y x-o= .799. y' = sen xy, y Ix-o= 1.

800. y"+xy=O, Ylx=o=O, y'lx=o=l.801. y" - sen xy' = O, y Ix=o = Q, y' Ix-o=.1.

802. xy" + y sen x = x, y Ix-n= 1, y' Ix-n= O.

803. y"lnx- senxy=O, YI==e-I, y'I_=O.

804. y'" + x seny = O, y 1,1:=0= ~ ; y' Ix=O= O.

y" lx-o= o.

3. Búsqueda de las soluciones periódicas de las eCUQ-ciones diferenciales lineales.

11' 163

- -

Sea dada una ecuación diferencial lineal no homogé-nea de 2° orden, de coeficientes constantes.

y" + PIY' + P2Y = f (x), (1)

donde f (x) es una función periódica, de período 231,desa-rrollable en serie de Fourier

00

f (x) = a2° + ~ (an cos nx + bn sen nx).n=r

(2)

Busquemos una solución periódica de la ecuación (1) enla forma

00

y (x) = A; + ~ (An cos nx + Bn sen nx).n=1

(3) .

Reemplazando la serie (3) en la ecuación (1), elegimossus coeficientes de modo que formalmente se cumpla laigualdad (1), Igualando los términos independientes y loscoeficientes de cos nx y sen nx en los primeros y segun-dos miembros de la igualdad obtenida, hallamos:

A - ~ A - (P2- n2) an - p¡nbn

¡

0- P2 ' n - (P2- n'2)2 + p¡n2 '

(P2 - n2) bn + p¡nan

Bn= I 2f 2 2 (n= 1, 2 .. .).p2-n +p,n

(4)

La primera de las igualdades (4) nos da la condiciónnecesaria para la existencia de una solución de la forma(3) :

si ao =1=O, es necesario que sea P2=1=O. Poniendo (4)en (3) resulta:

y (x) = 200 +P2

co

+ ~ «p2-n2) an-p¡nbn] cosnx+ [(p2-n2) bn+ Plnan]sennx (5)~ (p - n2)2 + P2n2 .n=1 2 1

164

11111I1I1i11¡i '..m"¡mmllll!lllnlllmmITmI11111m,:!nT""~WIl1lT"""'

Cuando Pl = O Y P2= 11.2, donde 11. = 1, 2, ..., existirásolución periódica solamente si se cumple la condición

Zn

ar¡= ~ f f(x)cosnxdx=O,o

Zn

br¡= ~ J f (x) sen nx dx = O.o

(6)

Los coeficientes Ak y Bk para k =1=11.se hallan por lasfórmalas (4), mientras que los coeficientes An y Bn sonconstantes arbitrarios, puesto que la expresión An cos nx ++Bn sen nx es la solución general de la ecuación homo-génea correspondiente.

Cuando no se cumplen las condiciones (6), la ecua-ción (4) carece de soluciones periódicas (aparece el fenó-meno de la resonancia).

Cuando PZ= OYao= O,el coeficienteAoquedainde-terminado y la ecuación (4) tiene una infinidad de solu-ciones periódicas, que se diferencian entre si en un su-mando constante.

Si el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tieneperiodo 2l =1=2n, hay que buscar la solución de la ecuación(l) en la forma

00

Ao ~(A

1tIIX nnx

)y = 2"" +.t.J n cos -¡ + Br¡ sen -¡ .n=1

En este caso, las fórmulas (4) varian correspondiente-mente.

Ejemplo 1. Hallar las soluciones periódicas de la ecua-ción

00

Y"+4y=~~ .t.J n2 .n=3

s o l u e i 6 n. Se tiene

Ip¡=O, p2=4=22, ao=O, an=O, bn=-z (n=3, 4, .. .).n.

165

!1l1II111II1II1II11I!!!1 1"I'T'1f...,,'1'Tt!nT"~IfI!T'nm'"'''!Tf1ITJ1!l1l1mJJII"'mTJ11''mmnIT'T'''I''!,lr1tft:''''''

ea

L f . ,f ( )

~ sen nx t . , I t ' .a unClOn x = ~ -r no con lene e ermmo

n=3

resonante a2COS2x + b2sen 2x, y, por ~onsiguiente, laecuación tiene una infinidad de soluciones periódicas.

Los coeficientes se hallan por las fórmulas (4):I

. Ao=O, An=O, 81=0, Bn= n2fA_n2\' (n=3, 4, ...).

Todas las soluciones periódicas quedan dadas por lafórmula

00

y(x)= A2cos 2x + 82 sen 2x - ~ _2~~~nx" ,n=3

donde A2 Y82 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 2. Hallar las soluciones periódicas de la ecua-ción

y" + y=cosx.

S o l u e i ó n. En este caso, PI = 0, P2= l. Comprobe-mos el cumplimiento de las condiciones (6). Se tiene:~ ~ ~

f cos x cos x dx = JCOS2X dx = n =t= O; J cos x sen x dx = O.o o o

(aquí, n = 1).Las condiciones (6) de existencia de solución periódica

no se cumplen. Por consiguiente. la ecuación dada notiene soluciones periódicas.

Ejemplo 3. Hallar las soluciones periódicas de la ecua.ción

y" - y = Isenx l.

S o 1u c i ó n. La función f (x) = Isenx I es periódica,de período n. La desarrollamos en serie de Fourier en elintervalo (-n, n):

00

lsenx I= ~ - i. ~ tOS 2lfxXI: ",;.i.l 4n2- 1 .!l=1

(- n, n).

166

1IIIIIJ8IR8IIIII1IIIIIUjIIlIIIIllllWIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII,1111

Buscamos la solución de la ecuación dada de la forma00

y (x) = A20 + ~ (An cos nx + Bn sen nx).n=1

Se tiene

PI=O, P2= - 1,4

aO=n'

a2n-1= O,

I4 1

a2n = - n 4n2- l' bn= O(n=1,2,...).

De las fórmulas (4) hallamos:

441AO=-it; A2n-J=0; A2n=-it '''_2 ,;

Bn= O (n= 1, 2, .. .).

Por consiguiente, la ecua"dón tiene una solución periódicade la forma

00

y (x) = - 1._.! ~ tOS 2nx:t n ~ .10" ...n=1

Hallar las soluciones periódicas de las siguientes ecua-ciones diferenciales.

00

805. y" + 3y = 1+ ~ tOSnx -t: seo nx .n=J00

806. y"+y= ~ ~'" n3 .n=1

00

807 " + ,-~~. y y - '" n2 .n=J

808. y" - 4y' + 4y = n2 - X2,

809. y" - 4y = Icos nx l.810. y" - 4y' + 4y = arcsen (sen x).

811. y" + 9y = sen3x.

- 11: < X < n.

167

1111111!I!m' t ""T'"1'11"Irmm"mllflltmlt1HnnmlnlllllmlllllnmlllllnllTrm1m¡J'1'T"'"

§ 18. SISTEMASDE ECUACIONESDIFERENCIALESDE COEFICIENTESCONSTANTES

Se llama sistema lineal de ecuaciones diferenciales concoeficientes constantes al de la forma

dXI ~lit = ~ allx, + fl (t)

1=1(i = 1, 2, ..., n), (1)

donde aij son unos números dados y fdt), unas funcionesdadas.

El sistema lineal se llama homogéneo, si todas fdt) =55O. El conjunto de funciones

XI = <J'I(t), X2= <J'2(t), ..., Xn= <J'n(t), (2)

determinadas y diferenciables, con derivadas continuas,en el intervalo (a, b), se 11ama solución del sistema (1)en este intervalo, si las funciones (2) convierten a lasecuaciones del sistema (1) en identidades, que se cumplenpara todos los valores de t de (a, b).

El problema de la búsqueda de la solución

XI = XI (t), X2 = X2 (t), ..., Xn = Xn (t) (3)

que satisface a las condiciones iniciales

XI (to) = rf, X2(tO)= xg, xn(to) = x~ (4)

se denomina problema de Cauchy.Examinaremos cuatro métodos muy difundidos de solu-

ción de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales decoeficientes constantes de la forma (1).

168

1IIIIIi .'!"I!'!'!I11I1!'"T"!!lIImTIjITlllllnllllllnlllllll1m'l1m'l1lm:"I!~IIII'mmIIr''''!IIft"nllil!,,"m'~

1. REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACIONDE n-ESIMO ORDEN

El modo más sencilJo de integrar el sistema (1) consis-te en reducirlo a una ecuación diferencial de orden n.

Resulta que se obtiene una ecuación diferencial linealde coeficientes constantes.

Ilustremos este método en el ejemplo de un sistema dedos ecuaciones:

dxdf = ax + by + f (t)

Jdgdi = ex + dy + g (t)

(1,1)

(1,2)(1)

Aquí, a, b, e, d son coeficientes constantes, f(t), g(t) sonunas funciones dadas, mientras que x (t), Y(t) son lasfunciones incógnitas. De la ecuación (1, 1) hallamos:

y = ~ (~; - ax - f (t)). (2)

Reemplazando y en la segunda ecuación del sistema por

el segundo miembro de (2), Y ~~ por la derivada delsegundo miembro de (2), obtenemos una ecuación diferen-cial de segundo orden en x (t):

d2x dx

A dt2 + B dT + Cx + P (t) = 0,

donde A, B, C son constantes.De aquí hallamos, x = x(t, CI, C2) y poniendo en (2)

el valor hallado de x, así como ~' hallamosy.

Ejemplo. Integrar el sistema de ecuacionesdx

J

di = y + 1 (3,1)

~~ =x + 1 (3,2)(3)

De (3,1) hallamos:

dx - 1.y=dT (4)

169

Poniendo (4) en (3,2), resulta una ecuación diferenciallineal de segundo orden con coeficientes constantes:

d2xdt2 - 1- x = O. (5)

La solución general de la ecuación (5) es:

x = C1et + C2e-l- 1. (6)

Poniendo en (4) la derivada respecto a t de (6) obte-nemos:

y = Clet - C<;f3-l-l.

La solución general del sistema (3) es:

x= Clel+ C2e-l- 1}

t t .y=C.e -C2e- -1

2. METODO DE EULER DE INTEGRACIONDE UN SISTEMADE ECUACIONESDIFERENCIALESLINEALESHOMOGENEAS

DE COEFICIENTESCONSTANTES

Examinemos este método en el caso de un sistema detres ecuaciones diferenciales lineales:

dx(jf =ax + by+czdy(jf=alx+ bly + CIZdz(jf = a2x + b2y + C2Z

Buscamos la solución del sistema en la forma

(1)

x=')..eTt, y = J.l.eTt, z = 'VTt, (2)

donde A., 'VY r son constantes.Poniendo (2) en (1) Y simplificando por ert, resulta

un sistema de ecuaciones para determinar A.,J.I.Y v:

(a- rp..+ b + C'V = 0, 1

alA.+ (b, - r).J.I.+ CI'V = o, IalA.+ b2!! + (C2 - r) 'V= o. J

(3)

170

'1IIIUJIIJIUlIIII11"'.'-~'""""II',m"""'"'lIlIlIm!lllmll1"l11nr~IIIIII'lmflllW11!lInl" .~l1',,"'''rl'lT!''"

El sistema (3) posee solución no nula cuando su deter-minante I!J.es igual a cero:

(4)

La ecuación (4) en , denominada característica, escúbica.

a) Supongamos que las raíces '1, '2 Y 's de la ecua-ción característica son reales y distintas. Sustituyendo en(3) , por el número '1 y resolviendoel sistema (3) se ob-tienen los números Al, !-tIY VI. Haciendo después en (3), = '2, se obtienen los números 1..2,!-t2,V2. Finalmente,para' = 's, resulta As, !-ts,Vs. Para las tres coleccion~sde los números A, !-tY V, obtenemos tres sistemas de so-luciones particulares:

XI= Aler,t, YI= !-tler,t,X2= A2er,t, Y2= !-t2er,t,

Xa= Aaer,t, Ya= !-tser,t,

Z¡= vler,t

)Z2= v2er,t .Z3 = vaer,t

(5)

La solución general del sistema (1) tiene la formax= GIXI+ G2X2+ Gaxs,

¡Y = GIYI+ G2Yl + GsYa,

Z = G¡ZI + G2Z2+ Gaza.

Ejemplo1. Resolverel sistemadxdi=3x- Y+z.,dydi =- x+ 5y - z,dztF=x- y+3z.

S oJu e i ón. Escribimosla ecuacióncaracterística3-, -1 1

-1 5-, -1 1=01 -1 3-,

o bien, ,3 - 11,2+ 36, - 36 = O.

(6)

(7)

lIt

"T11IIIII1IaJIIIIIJI!I".~'-"''''''I''''"I~lIIm'IIII!IJ!I1'llnlnnllllnnnnllm!!!!'11!"''''

a-, b C

I!J.=I al bl-r CI 1=0.

a2 b2 c2-r

A las raíces rl = 2, r2 = 3, ra = 6 les correspondenlos números

A.I= 1, ~I = O, VI = - 1¡

A.2= 1, ~2= 1, "'2 = 1;A.a= 1, ~a= - 2, Va= 1.

Escribimos las soluciones particularesX - e2t Y _ O Z -- e2t

J

.1-' 1-' 1-X2= eat, Y2= e3t, Z2= e3tX - e6t Y -- 2e6t Z - e6ta-, a- , a-

Respuesta:

(9)

x = Cre2t + C2e'3t+ Cae6t

Jy = C2e3t - 2C3e6t .z = - C.e2t + C2e3t+ Cae6t

b) Examinemos ahora el caso cuando las raíces de laecuación característica son complejas.

Ejemplo 2. Resolver el sistemadx

J

dT=x-5ydy .

dT=2x- y

(10)

(11)

s o I u c i ó n. Escribimos el sistema para la determi-nación de A.y ~:

(l-r)A.-5J!=0}.

2A.- (1 + r) ~ = O(12)

La ecuación caracteristica

1

1-r -51

=02 -l-r

tiene las raíces r. = 3i, r2 = - 3i.Poniendo en (12) r. = 3i, obtenemos

para la determinaciónde A.Iy ~I:

(1 - 3i) A.I- 5~1= O}2A.1 - (1+ 31)111= O '

dos ecuaciones

172

-

una de las cuales es consecuencia de la otra (puesto queel determinante del sistema (12) es igual a cero).

Se puede tomar A.I= 5, 1.11 = 1- 3i, entonces, la pri-mera solución particular se escribirá así:

XI= 5e3€t, YI= (l - 3i)e-3€t. (13)

De modo análogo, sustituyendo en (12) la raíz r2== -3i, se halla la segunda solución particular:

x2=5e3€t, Y2=(1 +3i)e3€t. (14)

Pasemos a un nuevo sistema fundamental de solucio-nes:

XI= XI + X22 t

¡J¡ = YI + Y22 '

- XI - X2

]

X2 = 2i

- YI - Y2Y2 = 2i

(15)

Aplicando la conocida fórmula de Euler

e:J:.ult= cos at :!: i sen at, (16)

donde a es un número real, de (14) y (15) obtenemos:

xl=Scos3t, x2=Ssen3t;

lit = cos 3t + 3 sen 3t, Ú2= sen 3t - 3 cos 3t.

La solución general del sistema (11) es:

X = c,x, + C2X2 = SC, cos 3t + 5C2sen 3t,Y= CIÚI+ C2Ú2=Cdcos3t + 3sen3t)+ C2(sen3t-3cos3t).

o b 5 e r v a c i ó n. Una vez hallada la primera solu-ción particular (13) se podría haber escrito inmediatamen-te la solución general del sistema (11), aplicando lasfórmulas

x=CIRex.+C21mx..}

ty=C. ReYI+ C21m YI

donde Re z y 1mz indican las partes real e imaginaria delnúmero complejo z, respectivamente, es decir, que si z == a + bi, entonces,Rez = a, 1mz = b.

c) Caso de raíces múltiples.

(17)

173

!II '...u '..."'m..!ftIIIIt8II1111111111

Ejemplo 3. Resolverel sistemadJe.

]

I-¡¡¡"= 2x +y (18,1)

~~ =4y-x (18,2)(18)

s o I u c i ó n. La ecuación caracteristica

1

2-, 11

=0-1 4-,

o bien,,2- 6,+ 9=0 tiene una raíz múltiple '1='2=3.La solución se debe buscar de la forma

x = (1..1+ I1lt) e3t

}.

Y = (1..2+ 112t) fflI(19)

Poniendo (19) en (18,1), obtenemos:

3 (1..1 + I1lt) + 111 = 2 (1..1 + I1lt) + (~ + 112t). (20)

Identificando los coeficientes de iguales potencias de ten el primero y segundo miembro de (20), resulta:

31..1 + 111 =21..1 +1..2

}.

3""1= 2""1+ J.t2(21)

de donde~=I..I +""1

}.

""2=111

Las cantidades Al y ""1se mantienen arbitrarias. Indicán-dolas mediante CI y C2, respectivamente, obtenemos la so-lución general del sistema (18) en la forma:

(22)

x= {CI +C2t)e3'}y={CI +C2 +C2t)e~t .

o b s e r v a c ió n. Fácilmente se comprueba que po.niendo (19) en (18,2) se obtiene el mismo resultado (22).En efecto, de la igualdad

""2 + 3 (~ + 112t)= 4 (Az+ 112t) - (1..1+ ""lt)174

¡IIIIU8i88II8IHDIIUIIIIII~..- ...,.

obtenemos dos relaciones para la determinación de 11.2y f..t2mediante Al y f..tl:

f..t2+ 3A2= 4A2- Al

},

3f..t2 = 4V2 - f..tlde donde

A2=A, + f..t20 f..t2= 11\.

3. RESOLUCIONDE SISTEMASDE ECUACIONESDIFERENCIALESMEDIANTECOMBINACIONESINTEGRABLES

Este método de integración de sistemas de ecuacionesdiferenciales (no necesariamente lineales) consiste en losiguiente: mediante operaciones aritméticas convenientes(por ejemplo, sumando, restando, etc.) de las ecuacionesdel sistema dado se forman las llamadas combinacionesintegrables, o sea, unas ecuaciones fáciles de integrar dela forma

F(t, u, ~~)=o, (1)

donde u es una función de las funciones buscadas XI(t),X2(t), xn(t).

Ejemplo 1. Resolver el sistema

'!!':"=L

¡

di x

!!¿-~ .di - Y

So l u c i ó n. Escribamos el sistema (2) en la forma

(2)

X dx = y2 dt

}Y dy = X2 dt . (3)

Sumando término a término, obtenemos:

o bien.xdx+ y dy= (x2+ y2)dt.

de donded (X2+ y2) - 2 dt,

x2 + y2

In(x2 + y2)= 2/ + InC1.

175

11111111- '"IIIIII8IIIIIIIIIIIIIIIII'"

Potenciando, se tiene

x2+ y2= C1e2t. (4)

Restando término a término la segunda ecuación (3) dela primera, obtenemos

x dx - y dy = (y2- X2) di,o bien,

d (x2- y2) = - 2 di,x2_y2

de dondex2 - y2 = C#-2t. (5)

Despejando x e y en (4) y (5), hallamos la solucióngeneral del sistema (2):

x = VCIe2t + C2e-2t,

y = VC.e2t - C2e-2t,

dondepara simplificarse ha hecho- I - ICI ='2C., C2='2C2.

Ejemplo 2. Hallar la solución particular deldx

J

dT=3x+5y, (6,1)dy 2dT=- x-8y, (6,2)

sistema

(6)

que satisface a las condiciones iniciales

X It=o= 2, y It=o=5. (7)

s o l u c i ó n. Multiplicando por 2 la primera ecuacióny sumándola con la segunda, resulta

d (2x + y) 2 (2x + y),de donde

2x + y = Cle2t,y = C¡e2t- 2x.

(8)

176

- "''''I1~''IIIIIIIII''III''III''I''''''IIIIIII,"I,"mIllIlP!!'''"lmm''II1'''1JI!1I''IIt1I1KIIH1I'IIHllmlllll"'IIIIt!I!I1I1111I1IflIlI1""'lfIIlP"III'II"IIIIII"'

Poniendo (8) en (6,t), obtenemos una ecuación linealpara determinar x:

dx-¡¡¡ = - 7x + 5C.e2t. (9)

De aquí,5

x=C2e-7t + g-Cle21. (10)

Por consiguiente,I

Y= _gC.e21- 2C2e-1/. (11)

Las expresiones (10) Y (11) representan la solucióngeneral del sistema (6).

Para hallar la solución particular que satisface a lacondición (7) hay que sustituir en (10) Y (11) las va-riables t, x e y por los números O. 2 y 5, respectivamente.Para la determinación de CI y C2, resulta el sistema deecuaciones

5

J

2=C2+g-C..

5= - ~ CI - 2C2,(12)

de dondeC.=9, C2= - 3.

La respuesta es:

x = 5e2t - 3e-7t}y = - e2t + 6e-7t .

4. METO DO DE VARIACION DE LAS CONSTANTES

Aquí ilustraremos este método en el caso de tres ecua-ciones no homogéneas.

Sea dado el sistema

.~

x' + a.x + bly + e.z = fl (t),

y' + a2x + b2y + e2z = f2 (t),

z' + aaX + bay + eaZ = fa(t). ]

(1,1)(1,2)(1,3)

(1)

11-583 177

it

Suponemos que ya se ha hallado la solución general delsistema homogéneo correspondiente y que tiene la forma

x = CIXI + C2X2 + CaXa,

Iy = C'YI+ C2Y2 + CaYa, . (2)

Z = CIZI + C2Z2 + Caza.

Vamos a buscar una solución del sistema no homogé-neo (1) de la forma

x = CI (t) XI + C2 (t) X2+ Ca(t) Xa,

Iy = CI (t) YI + C2 (t) Y2 + Ca (/) Ya, ,

Z = CI (/) ZI + C2 (/) Z2 + Ca (t) Za.

donde Cd t), C2(t), Ca(t) son unas nuevas funciones in-cógnitas. Pongamos (3) en (1); la ecuación (1, 1) tomala forma

C~XI+ C~2 + C~xJ+ CI(x~+ alx. + blYI + elz.) +

+ C2(~ + alx2+ b'Y2+ elz2)+

+ Ca(X~+ alXa+ blYa+ elZa)= tI (/). (4)

Todas las sumas que figuran entre paréntesis se con-vertirán en cero (puesto que (2) es solución de la ecua-ción homogénea correspondiente), de modo que tendremos:

.C~XI + C~2 + C~Xa = tI (t). (5)

Análogamente, de (1,2) y (1,3), después de poner (3), ob-tenemos:

(3)

C~YI + C~Y2+ C~Ya= f2(/),

}C~ZI + C~Z2 + C~za = f3 (/).

El sistema de ecuaciones (5) y (6), lineales con res-pecto a CL C~, Cá, tiene solución, puesto que su deter-minante

(6)

XI X2 Xa

¿\ = I YI Y2 Yal + OZI Z2 Za

es distinto de cero, en virtud de la independencia linealde las soluciones particulares del sistema homogéneo co-rrespondiente.

178

Una vez conocidas CUt), CHt), CHt), integrando ha-llamos C)(t), C2(t), C3(t) y, por consiguiente, la solución(3) del sistema no homogéneo (1).

Ejemplo. Empleando el método de variación de lasconstantes, resolver el sistema

~+2x+4y= 1 +4t,

]dy 3 2dt+x-y=2"t.

S o I u c i ó n. Resolvemos primero el sistema homo-" géneo

(7)

dx

)

(ff + 2x + 4y=O,dy(ff+x-y=O.

Derivando la primera ecuación respecto de t, resultad2x dx dydt2 +2 (ff+4(ff=O.

(8)

Pero de la segunda "ecuación ~~ = y - x, por estoobtenemos

De la

d2x dxdt2 +2df+4y-4x=O.

. . , 4 dx 2 d dprimera ecuaClOn y = - dt - x, e mo o qued2x dx dxdt2 +2 dt-dt-2x- 4x=O,

\"

~\

o bien,d2x dxdt2 + dt - 6x = O.

La solución general de esta ecuación es:

x = C)e2t + C2e-3t.Pero, como

1 1 dxy=-2"x-4dt'

enemos1

Y = - C)e21+"4 C2e-3t.

12" 179

Sustituyendo C2por 4C2, tendremos:

x = C.e2t+ 4C2e-3/

}y = - CIe2t + C#-3t.(9)

Esta es la solución general del sistema homogéneo (8).Busquemos ahora una solución del sistema no homo-

géneo (7) de la forma

x = C I (t) e2/ + 4C2 (t) e-3t

}. -

y = - CI (t) e21+ C2 (t) e-31

Después de poner (lO) en (7), obtenemos

C~ (t) e21 + 4C~(t) e-3t = 1 + 4t

1- Cf (t) e21 + C~(t) e-31 = ~ t2

(lO)

De aquí,C' (t)

1+ 4t - 6t2I e-~5 '

1+ 4t +.2.. t225 -e3t.

J

C~(t)=Por consiguiente,

CI(t)=t~3t2 e-2t+CI

]t + 1. t2 '

C2(t)= 0;2 e3t+ C2

(11)

4donde C., C2son las constantes de integración.

Poniendo en (10) las expresiones halladas de CI(t)y C2(t), obtenemos la solución general del sistema (7):

x = Cle2t + 4C#-3t + t + t2

1y = - CIe2t +C~-3t- ~ t2 . (12)

Obsérvese que las funciones q>1(t) = t + t2 y '1>2(t) == - ~ t2 forman una solución particular del sistema nohomogéneo (7).

180

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones dife-renciales:

dx =3-2y

)df .

812. !!JL= 2x - 21dt

~=x-2y

I

dt .813. !!JL= x + 3ydt

~ + 3x + y = O

)x (O)= Y (O)= 1.dt ,

814. dy -x+y=O

& 1 3

)

1 -3/2-2/+2~=3x-2Y .dt

815. !!JL= 2y - 21- 1dt

dx - - 7x + y

]

-¡¡¡- .816. dy - - Sy - 2x-¡¡¡-

É- = 2x - 9y

)di .

817. !!JL=x+8ydt

~=y+zdt

dy - z + x,.818.df-

~=x+ydt

~=y+zdt

dy - 3x + Z ,.819. df-

~=3x+ydt

181

"

\;

dxdi = 8y

820. ~~ = - 2zdz{ff=2x +8y -2z

dx{ff = 2x +y - 2z - t +2dy

821. dT = 1- xdzCiT=x+y-z-t+ 1

dx tdT=-x+y+z+e

822. ~~ = x - y +z +e3t

dz

dT=x+y+z+4

dx

J

{ff=xcost823. d .

2 d~ = (et+e-t) y

dx t

J

y=e -y-5xi 119 211824. d ' x(O)=-, y(O)=-.

d~ =e'u +x - 3y 900 900

dx

J

(ff=3x+8y

825. dy . X (O)= 6,{ff=-3y-x

dx

J826. :; ~ x . x (O)= Y (O)= 1.di

,~

y (O)= - 2.

~ = - 4(x+ y)

J

di ,827. dx +4 !!JL=- 4ydT dix(O)= 1, y (O)= O.

182

.!!!-= 4x - 5y

J

di .828. dy ---xdi

~; = x + y + /

J. X (O)= - ~, y (O)= - ~ .

829..!!JL = X - 2y + 2/di

~; = X + 5y

J' X (O)= - 2, Y(O)= 1.

830. !!1L= - 3y - Xdi

.!!!-+ 2 .!!JL = 17X + 8y

J

.

(O) = 2, Y (O)= - 1.~ ~ , X

831. dx - 53x + 2y13di -dx

J

1 Y (n) = O.-=Y X (n)= - ,di ,832. dx ~=x+ ydi - di

X (O)= O, y (O)= 1.

dx dy

833. dt. +di =e-t - y]2 .!!!- dy , X O -di + di = sen / - 2y ( ) - - 2, Y(O)= 1.

2.!!!--834. di - 6x ~ y - 6/2 - / + 3

Jdy

, di = 2y - 2/ - 1 . x(O) = 2,y(O)= 3.dx - I

J

(jf-y835. .!!JL- ..!.. .

di - x

836. di = dx - dymy - nx ni - Iy Lx- mi .

837..!!!-= - ~ = !!.E..= - !!.E..y x q p .

838. , t di =~ =-.!!.JLy2 - 2xy - x2 x +y x - y .

183

:1:

t dx = (t - 2x) dt

}839. .

t dy = (tx + ty + 2x - t) dt

840. - dt . = dx = dyt2 - X2 - y2 2tx 2ty .

84t. ~ = .!i!...=.!!JL.t x ty

842. ..!!!...=.!i!.. = !!JL .xy ty Ix

§ 19. TEORIADE LA ESTABILIDAD

1. ESTABILIDAD SEGUN LIAPUNOV

Sea dado un sistema de ecuaciones diferencialesdx¡ .¡¡¡-=f¡{Xh X2. Xn. t) (t=l. 2. n). (1)

Una solución <Pi(t) (i = 1, 2, ... , n) del sistema (1).que satisface a las condiciones iniciales <pdto)= <PiO

(i = l. 2. ..., n) se llama estable según Liapunov, sipara cualquier 8 > O existe un número 6(8) > O. tal que,para cada solución x¡(t) (i = 1.2 , n) del sistema (1)cuyos valores iniciales cumplan las condiciones

Ix¡(to) - <p¡O1< 6 (i = 1, 2, .. .. n),se verificala desigualdad

Ix¡{t)- <p¡(t) I< 8 (i = l. 2, . ... n) (3)

para todos los valores t ~ to.Si para valores de 6 > O arbitrariamente pequeños no

se cumple la desigualdad (3). al menos para una soluciónXi(t) (i = 1. 2. ..., n), la solución <Pi(t)se llama ines-table.

Si. en las condiciones (2). además del cumplimientode la desigualdad (3), se cumple también la condición

lim Ix¡{t)- q>¡(t)l = O, (i = 1, 2, ..., n), (4)t-+oo

(2)

184

la solución <pdf} (i = 1, 2, .." n) se lIama asint6tica-mente estable,

El estudio de la estabilidad de una solución <Pi(t)(i = 1, 2, .,., n) del sistema (1) se puede reducir alestudio de la estabilidad de la solución nula (trivial)Xi == O (i = 1,2, ' , ., n) de un sistema análogo al siste-ma (l):

dXI '

Cit=FI(x" X2. ,.., Xn' t} (t=l, 2, "., n) (l/)

donde FdO, O, ... , O, t) == O (i = 1,2, ..., n).Se dice que Xi==O (i = 1, 2, .." n) es un punto de

reposo del sistema (1'), .

Para el caso del punto de reposo, las definiciones deestabilidad e inestabilidad se pueden formular así:

el punto de reposo Xi == O (i ~ 1. 2, .. , , n) es establesegún Liapunov, si para cualquier 8 > O es posible hallarun 6 > Otal que cualquier solución xdt} (i = 1,2, ,..., n),cuyos datos iniciales X.¡o= xdto}(i = 1, 2, .,., n) satisfacen a lacondisión

IXIO I< ó (i= 1, 2, "., n) (2')

se verifica la desigualdadIx¡(t) I< 8 (i= 1, 2, ..., n), (3/)

para todos los valores t;;;;::fo,La significación geométrica

para n = 2 es la siguiente:Por muy estrecho que sea el Xi

silindro de radio 8 con el eje Ot,existe en el plano t = 'to un en.torno del punto (O, O, fo), de amplitud 2~, tal que todaslas curvas integrales

Fig, 24

XI =XI (t)

},

X2= X2(t)

que salen de este entorno se mantienen dentro de estecilindro para todos los valores t ;;;;::to (véase la fig, 24).

Si, además de la desigualdad (3), se cumple tambiénla condición lim IXi (t) I= O (i = 1, 2, .." n) la estabili-

1+00

dad se llama asintótica.

185

Si para valores de 6 > O arbitrariamente pequeños nose cumple la condición (3/) al menos para una soluciónxdt) (i = 1, 2, ..., n), el punto "dereposo del sistemaXi 55 O (i = 1,2, . .., n) es inestable.

Ejemplo. Partiendo de la definición de estabilidad se-gún Liapunov, aclarar si es estable o no lo es, la solucióndel sistema

dx dydf=-Y' df=x, (1)

que satisface a las condiciones iniciales x(O) =0, y(O) =0.S o I u c i ó n. La solución del sistema (1) que satisface

a las condiciones iniciales dadas es: x(t) = O, y(t) = O.Cualquier solución de este sistema que satisfaga a las

condiciones iniciales x(O) = Xo,y(O) = Yo tend"rá la formaX (t) = Xocos t - Yosen t,Y (t) = Xo sen t + Yocos t.

Tomemos e > O arbitrariamente y mostremos queexiste un número 6(e) > Otal que, siendo

I Xo- OI< 6,IYo- OI< ó,

se verifican las desigualdadesI x (t) - O 1=1 Xo cos t - Yo sen t I< e,

I Y (t) - O 1=1 Xo sen t + Yocos t I< e

para todos los valores t ~ O.En virtud de la definición, esto significará que la solu-

ción nula x(t)=O, y(t)=O del sistema (1) es establesegún Liapunov.

Se tiene, evidentemente,

Ixocost - yosentl~lxocost 1+1 Yosen tl~lxo I+1 YoI

I Xosen t + Yocos tI~ IXosen t I+ IYocos t I~ IXo 1 + 1 YoI (6 )

para todos los valores t.Por 10 tanto, si IXo 1+IYoI< e, también será

IXocos t - Yosen t 1 < e

IXosen t + !locos t I< 8

para todos los valores t.

1sa

(4)

(5)

(7)

Por consiguiente, si por ejemplo se toma &(8) = ; ,entonces, siendo Ixol<~ y IYol< 6, en virtud de (6) secumplirán las desigualdades (7) para todos los valorest ;;;;a:O,es decir, que en efecto, la solución nula del sistema(1) es estable según Líapunov. No obstante, la estabilidadno es asintótica.

Basándose en la definición de estabilidad según Lía-punov, estudiar la estabilidad de las soluciones de las si-guientes ecuacionesy sistemas de ecuaciones:

dx843. dt = x + t, x (O)= 1.

844. :; =2t(x+ 1), x(O)=O.

845. ~~ = - x + t2, x (1) = 1,dx

846. df = 2 + t, x (O)= 1.dx I- = x - 13y

j

dt

847. dy 1 . x(O)=y(O)=O.-=-x- 2ydt 4

dx 1df = - x - 3y

I848. dy

df=X-Y

2. TIPOSELEMENTALESDEPUNTOSDEREPOSO

Sea dado un sistema de dos ecuaciones diferencialesl'ineales homogéneas de coeficientes constantes

dx

)

di = allx + al2Y

dy ,di = ~IX + a22Y

x (O)= Y (O)= O.

(1)

donde se supone

!:J.=I

all a12

1

=F O.a21 a22

El punto x = O,Y = O,en el que se anulan los segun-dos miembros de las ecuaciones del sis-tema (1), se llamapunto de reposo del sistema (1) o punto singular.

187

(1) hayPara estudiar los puntos de reposo del sistemaque formar la ecuación característica

I

au - A a12

I= O

~I a22- A

Yhallar sus raíces A,Iy A,2.Son posibles los casos siguientes:1. Las raíces A,Iy A,2de la ecuación característica (2)

son reales y distintas:a) A,I< O, A,2< O. Punto de reposo de estabilidad

asintótica (nodo estable, Hg. 25).

Fig.25

(2)

Fig.26

b) A,I> O, A,2> O. Punto de reposo inestable (nodoinestable Hg. 26).

c) A,1> O, A,2< O. Punto de reposo inestable (puntode ensilladura, Hg. 27).

Fig.27 Fig.28

Al= p + iq,

11. Las raíces de la ecuación característica (2) sonimaginarias:

a) p < O, q ::1=O. Punto de reposo de estabilidad asin-tótica (foco estable, Hg. 28).

188

b) p > o, q =1=O. Punto de reposo inestable (focoinestable, Hg. 29).

Fig.29 Fig.30

e) p = O, q =1=O. Punto de reposo estable' (centro,Hg. 30).

Fig.31 Fig.32

IIl. Las raíces son mÚltiples, Al = A2:a) Al = A2< O. Punto de reposo de estabilidad asintó"

tica (nodo estable, Hg. 31, 32).

Fig.33 Fig.34

b) Al = 11.2> O. Punto de reposo inestable (nodo ines-table, fig. 33,34), .

189

Ejemplo. Determinar el carácter del punto de reposo(O,O) del sistema

,~=5x-y Idi L

3L = 2x + y Jdi

s o I,uc i ó n. Formamos la ecuación característica

1

5-'" -11

-2 1- '" - O,

",2- 6"'+7=0.o bien,

Sus rafces "'1 = 3 + V2" > O, "'2 = 3 - V2" > O, son rea.les, distintas y positivas. Por consiguiente, el punto dereposo (O,O)es un nodo inestable.

Determinar el carácter de los puntos de reposo paralos siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

,~=3x+y Idi . ~.

849. .!!lL= -2x + y J

di ,dx --x+3y

I

di- .851. !!JL.= -x + y

dt ,dx - -2x - y

I

df- .852.~~ =3x- y

]

~=3x +7ydi .

853. .!!lL= 2x + Sy

dt 5'.!!!.= -2x + -:;y

ldi .

854. !!JL.= 7x- 3y Jdi

190

dx - -x +2y

I

(jf- .850. !!JL= x + ydt

~=3x-y1dt .

855. !!JL.= x + y I

dt ,dx - - x - y Idi-

l

.856. .!!lL= x - 3ydt

,~ = 3x

¡

dt .857. .Él!..= 3ydi

858. ¿Para qué valores de ex.es estable el punto dereposo (O,O) del sistema que sigue?

dx \df=-3x+ay l

d (.d~ = 2x + y J

N ata. Sea dado un sistema de ecuaciones diferencia-les lineales homogéneas de coeficientes constantes

ndx¡ ~ .

dt=~a¡lxl (t=I,2,...,n) (n~2).1=1

Para este sistema subsisten tipos análogos de disposi-ción de las curvas integrales alrededor del origen de coor-denadas (punto de ensilladura generalizado, nodo genera-lizado, etc). En este caso, si las partes reales de todas lasraíces de la ecuación característica del sistema (3) sonnegativas. el punto de reposo de este sistema Xi 55 O(i = 1, 2, ..., n) es asintóticamente estable. Si, al menospara una raíz de la ecuación característica, la parte reales positiva, el punto de reposo es inestable.

Ejemplo. ¿Es estable el punto de reposo (O, O, O) delsistema que sigue?

(3)

dx'dt=-x+zdy'dt=-2y-zdzdf=y-z

S o 1u c i ó n. Formamos la ecuación característica-1- ').. O 1

O -2-1.-1O 1 -1- ')..

o bien, (1 +t.)(')..2+31.+3)=Q.Las par~s reales de las raíces de la ecuación caracte-

. t. ~ 1 ~ 3. Y3 t. Pns lca "'1 = - , "'2. 3 = -"2 :!: l -r son nega lvas. orconsiguiente,el punto de reposo del sistema dado es asin-tóticamenteestable.

=0,

191

3. ESTABILIDADSEGUNLAPRIMERAAPROXIMACION

Sea dado un sistema de ecuaciol1es diferenciales

dXi ./it=fi(XI' X2. ..., xn) (t=l, 2, ..., n) (1)

y sea Xi == O (i = 1, 2, ..., n) un punto de reposo delmismo, o sea,

fi(O. O, ..., 0)=0 (i= 1,2, ..., n).

Se supondrá que las funciones fi(XI, X2, ..., xn) sondiferenciables en el origen de coordenadas una cantidadsuficiente de veces. Desarrollando las funciones fi por lafórmula de Taylor, según las Xi, en un entorno del origende coordenadas, resulta

ndXi ~ .dt = ~ al/xI + Ri (XI' X2. .. ., xn) (t = 1,2, ..., n), (2)

1=1

donde ail = afdO,:, ..., O) Y Ri son los términos infini-xItésimos de segundo orden con respecto a x" X2, ..., XI1'

En lugar del sistema (1) consideraremos el sistema

'¡,j

ndXi ~

"di = ~ ailxl1=1

denominado sistema de ecuaciones de lera aproximaciónpara el sistema (I).

Subsiste lo siguiente:1. Si las partes reales de todas las raíces de la ecua.

ción característica

a,,-J..~I

(i = 1. 2, .. ., n) (al/ = const), (3)

al2

~-J.. ...aln

a2n =0 (4). . . . . . . . . . . . ..anl an2 ann - A.

son negativas, las soluciones nulas Xi==O(i= 1,2, ..., n)de los sistemas (3) y (2) son asintóticamente estables.

2. Si la parte real de al menos una raíz de la ecuacióncaracterística (4) es positiva, la solución nula del sistema(2) es inestable.

192

3. Si las partes reales de todas las raíces de la ecua-ción característica (4) no son positivas, siendo igual acero la parte real de al menos una raíz, el estudio de laestabilidad según la primera aproximación es, por lo ge-neral, imposible (comienzan a influir los términos nolineales de Ri).

Ejemplo. Estudiar la estabilidad, según la primera ap-roximación, del punto de reposo x = O,Y = O del sistema

x = 2x + y - 5y2,

!

3 . -.!!.=.. . - .!!JLf¡ = 3x + y + ~ ' (x- dt' Y - dt ). (5)

S o 1u c i ó n. El sistema de primera aproximación esx=2x+y,

}f¡= 3x + y; (6)los términos no lineales satisfacen a las condiciones ne-cesarias, pues su orden es ;;;:::= 2. Formamos la ecuacióncaracterística para el sistema (6):

1

2-1. 1

I3 1- A. = O,. o bien, 1.2- 31.- 1= O. (7)

Las raíces de la ecuación característica (7) 1.1- 3+ ;13 ,3- Vi3 1

,O P

.. t1.2= 2 son rea es y Al> . or conslgUlen e,la solución nula x = O,Y = Odel sistema (5) es inestable.

Estudiar la estabilidad, según la primera aproxima-ción, de la solución nula x = O. y = O de los siguientessistemas:

x = x + 2y - sen y2

}859. ~.

f¡= - x - 3y + x (e"2- ¡)x = - x + 3y+ X2sen y

}860. . 1 2'

y=-x-4y+ -cosyx = -2x + 8 sen2y

}86t . . 3

.y=x-3y +4xx = 3x - 22seny + X2- y3

}862. . 5 + 2 1

.y=senx- y et-

8~U 193

x = -1 Ox + 4eY - 4 cos U2 }863.. 2 x 2 + 4 .U= e - - U xX = 7x +2 sen U - U4

I864.. x 3 1+ 5 2 .

u=e - U- "2x

X= - ~ x +1. sen2U- x3U

I865. 2 2 .

iJ= - U- 2x + x4 - U7

X = t xex - 3U + sen x2

¡866. y' .iJ= 2x + ue -2" - U4COSx J

. x=:senx-7U(1-u)++x31867. l .

2 . fiJ= "3 x..,- 3UcosU - 11U5 J

X = i- (eX - 1) - 9U + x4 1

86.8. 1 l.iJ= "5 x - sen El+ uJ4x3

1x=5x+ ucosu - '"3869. 4 L

iJ= 3x + 2U+ ~2 - U3eY J

4. ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES CON RESPECTOA LA VARIACION

DE LOS SEGUNDOSMIEMBROS DE LAS ECUACIONES

Sean dadas las ecuaciones diferenciales

y'=f(x, U), (1)U'= f (x, U)+ 9 (x, y), (2)

d0nde las funciones f (x, U) y 6(x, U) son continuas en undominio G del plano XOY y la función f(x, U) admite en

este dominio derivada parcial continua :~ .Supongamosque en el dominioG

I9(x, y) 1~8. (3)

194

Si Y = cp(x) e y --:.'i' (x) son solucionesde las ecuaciones(1) Y (2), respectivamente, que cumplen una misma con-dición inicial

entonces,cpIx=xo = 'i' Ix';"xo= xo,

Icp(x) - 'i' (x) I~ ~(eMlx-xol- 1), (4)

dondeM= max-I :' l.(x,y)eG yDe la acotación (4) se deduce que, si la perturbación

de la función e (x, y) que figura en el segundo miembrode la ecuación (1) es suficientemente peqeña en el domi-nio G la diferencia entre las soluciones de las ecuaciones(1) Y (2) será pequeña en valor absoluto en un intervalo

. finito de variación de x.Esto permite resolver aproximadamente ecuaciones di-

ferenciales complicadas sustituyéndolas por ecuacioneselegidas racionalmente que se resuelvan con mayor faci-lidad.

Esta última circunstancia puede utilizarse esencial-mente para la resolución de ecuaciones diferenciales liga-das con problemas de la física o de la técnica.

Ejemplo. Hallar en el cuadrado Q{ - ;~ x ~ ;;

- ;~ y ~ ;}Ia solución aproximada de la ecuacióny' = sen (xy), (1)

que cumple la condición inicial

y Ix=o=O,I, (2)y acotar el error.

S o l u c i ó n.. Sustituyamos laecuación

ecuación (1) por .la

(3)(4)

,y =xy

Y lx=o=O,l.

La ecuación (3) con la condición inicial (4) tiene la solu-ción

x'y = O.1 . eT.

13* 195

que para todos los valores de x E [- ;; í], no salefuera del cuadrado fundamental Q.

En virtud del teorema de existencia y unicidad de lasolución, la ecuación (1) con la condición inicial (2) ad-mite una sola solución y = '" (x) y por solución aproxi-

XS

mada del problema (1) - (2) se puede tomar y = 0, 1 . e"2 ,que representa la solución del problema (3)-(4).

Acotemos la diferencia

L\= Iq> (x) - '" (x) 1, (- f ~ x ~ ~)XS

donde q> (x)= 0,1.eT es la solución del problema (3)-(4). En el caso considerado f(x, y) = xy, por lo cual,

I

alI

1

ay =1 x.I~2'Según la fórmulade Taylor,

Iz 13I sen z - z I~ --¡r- .

Por consiguiente. en el cuadrado Q se tiene:Ixy 13 1 1

Isen xy- xy I~~ < 43.6 = 384'

Utilicemos la cota (4) tomando e= 3~4 ,M= max I :' 1= ~ .(x,y)eQ yResulta:

(I

)1 ., Ixl 1L\= Iq> (x) - '" (x) I~ 192 e- - 1 < 650 '

x E ]- ~ ' f].Fácilmente se observa que la solución", (x) del problema(1) - (2) no sale fuera del cuadrado fundamental Q.

¿Cuanto se diferenciarán las soluciones de las ecuacio-nes dadas a continuación, si cumplen una misma condi-ción inicial yX=Xo = 1/0 en los intervalos considerados(xo=O)?

870. y' = 1¡ x + X2.

y' = 1¡ x + X2 + 0,01 sen x en [O, l}.

'11

196

.

seng

871. y' = e- I+x' ,sen/1

, - - I+x'+ cos xy[O 2]y - e 10(4 + x4) en , .

1872. y' ="'3 arctg xy,

1y' ="'3 arctg xy + 0,001e-x2 en [O, 1].

5. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Sea dada una ecuación diferencial lineal de coeficientesreales constantes

aoy(n) + aly(n-I) + ... + anY = O

(ao, al' . . ., an = const, ao> O(1)

La solución nula y == O de la ecuación (1) es asintóti-camente estable, cuando las partes reales de todas lasraíces de la ecuación característica

f (A.)= aoA. n + alA. n-I + ... + an = O (2)

son negativas.Criterio de Routh - Hurwitz. Para que las partes rea-

les de todas las raíces de la ecuación (2) sean negativases necesario y suficiente que sean positivos todos los me-nores principales diagonales de la matriz de Hurwitz

La matriz de Hurwitz se compone del modo siguiente:En la diagonal principal se escriben los coeficientes delpolinomio (2), comenzando por al y terminando por ano

Las columnas, una tras otra, constan de los coeficientesde subíndices solamente impares o de subindices sola-mente pares. Entre estos últimos va incluido el coefi,ciente ao. Todos los demás elementos de la matriz, corres-

197

al ao O O O O ... O

aa a2 al ao O O ... O

a5 a4 aa a2 al ao...O l. (3). . . . . . . . . . . .

O O O O O O. .. an J

pondientes a subíndices mayores que n o menores quecero, se suponen iguales a cero.

Los menores diagonales principales de la matriz deHurwitz son de la forma.

~I = aJo ~2='1

al ao

1

,a3 a2

al ao O

~3 = I a3 a2 al l. ...as a. a3OOO

al ao O ...a3 a2 al ...

~ _1n-as a. a3'"

O. . . . . . . .

O ... anO

Por lo tanto, la condición de Hurwitz dice: para quela solución y = O de la ecuación (1) sea estable, es ne-cesaria y suficiente que se cumplan las relaciones:

~I > O, ~2> O, ..., ~n > O. (4)

Como~n = an~n-I, la condición~n > Opuede sustituirsepor an > "O.

Ejemplo. Estudiar la estabilidad de la solución nulade la ecuación

ylV + Sy'" + 13y" + 19y' + 10y = O.

S o 1u c i ó n. Formamos la ecuación característica

f (J.)==}} + SA:3 + 13J.2 + 19J. + lO = O.

(S)

Aquí, ao= 1,al = S, a2= 13,a3= 19, a. = 10.Escribimos los menores diagonales de Hurwitz

~.=

S I O19 13 SO lO 19O O O

OS

19

S 1

~3=119 13O 10

O1

13 1= 4240 > O.10

,

. S=424> 0, ~2= 19

~I = S > O.

1~ 1 = 46 > O.

198

frll I rTm1Tl'llm..R. 11'""'111111"'--

Ha resultado que Al > 0, A2> 0, A3> 0, A. > O. Porconsiguiente, la solución trivial y = O de la ecuación (5)es asintóticamente estable.

Los cálculos se pueden efectuar del modo siguiente.Formamos primero el menor superior de Hurwitz An, des-pués de lo cual fácilmente se escriben todos los menoresinferiores An-I' ..., Al. Ahora se pueden calcular sucesi-vamente AIt A2' etc. Si aparece un menor negativo, lasolución es inestable y el cálculo ulterior es superfluo.

Estudiar la estabilidad de la solución nula de las si-guientes ecuaciones:

873. y'" - 3y' + 2y = O.

874. ylV + 4'" + 7y" + 6y' + 2y = O.

875. y'" + 5y" + 9y' + 5y = O.

876. ylV - 2y'" + y" + 2y' - 2y = O.

877. ylV + 7y'" + 17y" + 17y' + 6y = O.

878. y'" - 3y" + 12y' - lOy = O.

879. ylV + 5y'" + 18y" + 34y' + 20y = O.

880. ylV + 7y'" + 19y" + 23y' + 10y= O.

881. ylV + 11y'" + 41y" + 61y' + 30y = O.

882. yV + 3yIv - 5y'" - 15y" + 4y' + 12y = O.

883. yV + 7ylV + 33y'" + 88y" + 122y' + 60y = O.

¿Para qué valores de a será estable la solución nulade las siguientes ecuaciones?

884. y'" + 2y" + ay' + 3y = O.

885. ylV + ay'" + 2y" + y' + 3y = O.

886. ylV + 2y'" + ay" + y' + y = O.

¿Para qué valores de a, ~ será estable la solución nulade las siguientes ecuaciones?

887. y'" + ay" + ~y' + y = O.

888. ylV + 3'y'"+ ay" + 2y' + ~y= O.199

6. CRITERIOGEOMETRICODE ESTABILIDAD(CRITERIO DE MyJAILOV)

Sea dada una ecuación diferencial lineal de n-ésimoorden de coeficientes reales constantes

aoy(n) + aly(n-t) + ... + any = O.

Su ecuación característica es:

f(A)==a;.n+atAn-I+... +an=O.

(1)

(2)

El criterio de Mijáilov permite resolver el problema dela disposición de las raíces de la ecuación característica(2) en el plano complejo y, por consiguiente, el problemade la estabilidad de la solución nula de la ecuación (1).

Haciendo 'J..= iO),resulta

f (iO) = u (00)+ iv (w). (3)donde

:1,

u (00)= an - an-2(1)2+ an-4(1)4-

v (00) = an-lro - an-3(1)3+ ... (4)

'11

La magnitud f(iO), estando fijado el valor del pará-metro 0), se puede representar en el plano complejou, v en

forma de un vector con el ori-gen en el origen de coordenadas.

Al variar 00 en el intervalo(- 00, + 00), el extremo deeste vector describirá una curva

u que lleva el nombre de Mijáilov(fig. 35).

Como la función u(ro) espar, la curva de Mijáilov essimétrica con respecto del ejeDu, por 10 cual, es suficiente

trazar la parte de la curva que corresponde a la varia-ción del parámetro O)desde O hasta + oo.

Si el polinomio f ('J..),de grado n, tiene m raíces con laparte real positiva y n-m raíces con la parte real nega-tiva, el ángulo de rotación Ip del vector f (iro), al variar 00

desde Ohasta + 00, es igual a Ip= (n - 2m) ; .Está claro que para la estabilidad de la solución de la

ecuación (1) es necesario y suficiente que sea m = O.

200

iIf

11

I!I

.11

'1

''1'1,'1' Fig.35

/'

Criterio de Mijáilov. Para que la sblución nula y = Ode la ecuación (1) sea estable, es necesario y suficienteque, al variar ú>desde O hasta + 00:

1) el vector 1(iú» efectúe una rotación en un ángulo

q¡= n ~, o sea, que dé ~ vueltas en dirección contra-ria a la de las agujas de un reloj,

2) el hodógrafo de 1(iú» no pase por el origen (O, O).De aquí se deduce que, para que la solución de la ecua-

ción (1) sea estable, es necesario que todas las raíces delas ecuaciones

u(<o)=O, v(<o)=O

sean reales y se alternen entre si, es decir, que entre cual-quier par de raíces de una ecuación haya una raíz de laotra.

Ejemplo. Estudiar la estabilidad de la solución nulay = O de la ecuación

ylV + y'" +4y" + y' + y=O.

s o 1u c i ó n. Formamos la ecuación característica

1(1..)= 1.4+1.3 + 41.2 + j, + l.

f (iú»= <04- i<o3 - 4<02+ i<o + 1,u (<o) = <04- 4<02+ 1,

v (<O) = - <03 + <O = <O (1 - (0)(1 + <o).

Se tiene,

Trazamos la curva

u=u(<o)}

,v = v (<o)

ID o

0:::;;;<0<+00

u

I V2=Y31

I O I

I + I

ti O

(Véase la fig. 36).

I V2+ Y3

-2 r

~

lim !..=Ow.,..+00uO

201

. '2

El ángulo de rotación del radio vedor <p= 4 . ~ =(n-

- 2m)~. De aquí que n-2m = 4 Y como n = 4, sey! tiene m = O,o sea, todas las

raíces de la ecución caracte-rística están situadas en elsemiplano de la izquierda,

u por lo cual, la solución tri-vial y==Oes asintóticamenteestable.

Aplicando el criteriQ deMijáilov, estudiar la estabi-

lidad de la solución nula de las siguientes ecuaciones:

Fig.36

\

889. 2y'" + 7y" + 7y' + 2y = O.

890. y'" + 2y" + 2y' + y = O.

891. 2ylV + 13y'" + 28y" + 23y' + 6y = O.

892. 3ylV + 13y'" + 19y" + lly' + 2y = O.

893. 2ylV + 6y'" + 9y" + 6y' + 2y = O.

894. ylV+ 4y'" + 16y" + 24y' + 20y = O.

895. yV + 13ylV + 43y'" + 51y" + 40y' + 12y = O.

896. y'" + y = O.

897. ylV + y'" + y' + y = O.

898. yV + 3ylV + 2y'" + y" + 3y' + 2y = O.

899. yV+ ylV + y'" + y" + y' + y=O.

900. 2ylV+ lly'" + 21y" + 16y' + 4y = O.

901. yVI + yV + ylV + y" + y' + y=O.

902. 2ylV+ 9y'" + 32y" + 54y' + 20y = O.

903. 6ylV + 29y'" + 45y" + 24y' + 4y = O.

904. yV + ylV + 2y'" + 2y" + 2y' + 2y = O.

905. yVI + yV + 3ylV + 2y'" + 4y" + 2y' + 2y = O.

906. yV + 2ylV+ y'" + 2y" + y' + 2y = O.202

§ 20. ECUACIONES CON UNPARAMETRO PEQUEÑOEN LA DERIVADA

Sea dada la ecuación diferencialdxdf = F (t, x (t), e), (1)

donde e es un parámetro.Si, en un recinto cerrado de variación de t, x, e, la

función F(t, x, e) es continua con respecto al conjunto desus argumentos y satisface a las condiciones de Lipschitzcon respecto a x:

IF (t, X2,e) - F(t, XI' e) I~ NIX2 - x'¡,donde N no depende de t, x, 8 la solución de la ecuación(1) es una función continua de e. .

En muchos problemas de la física aparecen ecuacionesde la forma

dxedf =f (t, x), (2) .

donde e es un parámetro pequeño.Dividiendo por e. ambos miembros de la ecuación (2),

ésta se reduce a la forma

!!=...=.!.f(t, x),di 8 (3)

de donde se ve que el segundo miembro de (3) es discon-tinuo para e = O, por lo cual no se puede aplicar ya el .teorema sobre la dependencia continua de las solucionesdel parámetro e.

El problema se plantea así: ¿Cuáles son J.as condicio-

nes para que se pueda despreciar el término e ~~ en laecuación (2), para valores pequeños de le 1, y como apro-

. ximación a la solución de la ecuación diferencial (2) sepueda considerar la denominada "ecuación degenerada"

f(t, x)=O? (4)203

11

Para precisar, supongamos que 8 > O Y que la ecua-ción degenerada (4) tiene solamente una solución

x = q>(t).

En dependencia del comportamiento de f(t, x) en lasproximidades de la solución x = q>(t) de la ecuación (4),la solución x(t, 8) de la ecuación diferencial (2) para8 - O,o bien tiende a la solución x = q>(t)de la ecuacióndegenerada, o bien se aleja rápidamente de ella.

En el primer caso, la soluciónx = q>(t) de la ecuación(4) se llama estable; en el segundo, inestable. Precisando,si al pasar por la gráfica de la solución x = q>(t) de laecuación degenerada (4), la función {(t, x), al crecer x,estando fijado t, cambia el signo de + a -, la soluciónx = q>(t) de la ecuación degenerada es estable y puedesustituir aproximadamente a la solución x (t, 8) de laecuación (2) (fig.37).

o

Fig. :rl Fig.38

Si la función {(t, x) cambia el signo de - a +, lasolución x = q>(t)de la ecuación degenerada (4) es ines-table y sustituir la solución x(t, 8) de la ecuación diferen-cial (2) por la solución de la ecuación degenerada (4) esimposible (Hg. 38).

Condiciones suficientes:

I. Si al~~ x) < O en la solución x = q>(t)de la ecua-ción degenerada (4), ésta es estable.

11. Si al~; x) > O en la soluciónx = q>(t) de la ecua-ción degenerada (4), ésta es inestable.

Si la ecuación degenerada (4) tiene unas cuantas so-luciones x = q>i(t) (i = 1,2, . .., m), se debeestudiarla204

estabilida.d de cada una de ellas mediante los criterios 1y 11expuestos.

En este caso, el comportamiento de las curvas integra-les de la ecuación diferencial (2) cuando e- O puede serdistinto y d~pende de la elección de las condiciones inicia-les (del punto inicial (to, xo».

Es posible también el caso semiestable, cuando alpasar por la curva x = <p(t) la función {(t, x) no cambiade signo (por ejemplo, si x = <p(t) es una raíz múltiple deorden par de la ecuación degenerada (4».

En este caso, para valores pequeños de e, las curvas in-tegrales de la ecuación (2) tienden a la curva x = <p(t)

. por una parte de la misma, mientras que por la otra, sealejan de ella. En el primer caso, se dice que el puntoinicial (to, xo) pertenece al campo de atracción de la solu-ción semiestable x = <p(t); en el segundo, que perteneceal campo de repulsión. .

Por regla general, en el caso semiestable no se puedesustituir la solución de la ecuación inicial (2) por la solu-ción de la ecuación degenerada (4). Se pueden indicarunos criterios cuando las curvas integrales de la ecuación(2), con una adecuada elección del punto inicial (to, xo),se aproximan a la solución x = <p(t) de la ecuación dege-nerada y se mantienen en un entorno de ella para t > to.Pero esto es justo sólo cuando no hay perturbaciones dela ecuación (2).

He aquÍ estos criterios.Supongamos que en un entorno de la solución semies-

table x = <p(t) de la ecuación degenerada (4) la función{(t, x) ~O. Si q¡'(t) > O, las curvas integrales de la ecua-ción (2) que se aproximan a la curva x = <p(t) no se pue-den cortar con esta curva y se mantienen en un entornode la misma para t > to (el punto inicial (to, xo) tiene queestar situado en el campo de atracción de la soluciónsemiestable x = <p(t); si (to, xo) está situado en el campode repulsión, la curva integral correspondiente de la ecua-ción (2) se aleja rápidamente de la curva x = <p(t)(fig. 39). Si <p'(t) < O, las curvas integrales que se apro-ximan a la gráfica de la función x = <p(t) se cortarán conésta, y por la otra parte de la curva x = <p(t)se alejaránrápidamente de ella. Si cp'(t) > O para to ~ t < tIY <p'(t) < O para t > tI. entonces. siendo suficientementepequeño e, las curvas integrales que parten del punto

205

(to, xo), perteneciente al campo de atracción de la raízx = cp(t), se mantienen próximas a la curva x = cp(t)para to+ t5< t < t., ()> O; en un entorno del puntot = t. éstas se cortan con la curva x = cp(t) Y despuésse alejan de ella.

t

Fig.39 Fig.40

d

11'Si, en un entorno de la solución semiestable x = cp(t);

la función ¡(t, x) ~ O,.para que sean válidas las afirma-ciones expuestas hay que sustituir los signos de la deri-vada cp'(t) por los contrarios.

Ejemplo 1. Averiguar si la solución x = x(t, e) de laecuación

il

dx - t2-x,8(jf- (5)

e > O, que cumple la condición inicial x It=t,= xo, tiendea la solución de la ecuación degenerada x = t2 cuandot > to Ye-O.

S o 1u c i ó n. Se tiene,

iJf(t, x) iJ(/2- y) = -1 < OiJx iJx .'

de modo que la solución de la ecuación degenerada x = t2es estable y, por consiguiente, la' solución de la ecuacióndada x = x(t, e), que parte de cualquier punto inicial(to, xo), tiende a la solución de la ecuación degenerad'acuando e - O Y t > to (fig. 40).

PUl:'de uno convencerse de esto haciendo una pruebadirecta. Resolviendo la ecuación diferencial (5) como ecua-ción lineal no homogénea con la condición inicial dadax It=to= Xo, hallamos: t-t,

x(t, 8)=(xo-t~+2eto-28~e--e +t2-2e/+2e2.206

llllnlll'-"- "'"

de donde directamente se observa que, siendo l > lo,o sea,l - lo> O,

x (l, e)- l2 cuando e-O.Ejemplo2. Lomismopara la ecuación

e ~~ = x (eX- 2).

Aquí, la ecuación degenerada x(ex - 2) = O tiene dos so-luciones:

1) x = O,2) x = In 2.

Se tieneal (t, x)

I= (eX- 2 + xeX)I = -1ax x=o x=o'

de modo que la solución x = O es estable; pero

a/~, x) I= (eX - 2 + xeX) IX=102=2In2 > O,X x=lo 2

de modo que la solución x = In 2 de la ecuación degene-rada es inestable (fig. 41).

x

) "(n2

x

o t --t

Fig.41

Ejemplo 3.

e ~~ =(x - l)2.

La ecuación degenerada (x - l)2 = O tiene la raíz x = lde segundo orden. Como en un entorno de esta raíz setiene f(l, x)=(X_l)2 > O, tp(t)= l Y tp'(t) =1 > O, lasolución x = l es semiestable, y si el punto (to, xo) per-tenece al semiplano que está situado bajo la recta x = l(campo de atraccion de la raíz x = l), la curva integral

207

x = x(t, e) que parte del punto (lo, xo) se mantendrá parat> to en un entorno de la línea x = t (fig. 42).

Estudiar la estabilidad de las soluciones de las ecua-ciones degeneradas para las siguientes ecuaciones diferen-ciales:

dx907. 8 lit =x - t2.

dx 4908. 8 lit = x (t + 1- x).

909. 8 '::t = (x - t) (x - et).

910. 8 '::t =X2 - t2.

dx911. elit=xt.

912.8 ~~ =(x-t)(lnx -t2-1).

913. 8 ~~ = (t + X)2.

dx 1914. 8lit=X-t+ .

IJ~

§ 21. METODO OPERACIONALy SU APLICACION PARALA RESOLUCIONDE ECUACIONESDIFERENCIALES

1. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE y PROPIEDADESFUNDAMENTALES I

1111

EL OBJETO Y su IMAGEN

Se llama función-objeto una función compleja de va-riable real f (t) que cumple las siguientes condiciones;

1) f (t) = O para t < O;

208p

2) f (t) es continua junto con sus derivadas de ordensuficientemente grande en todo el eje t, a excepción dealgunos puntos en los que f(t) y sus derivadas tienen dis-continuidades de primera especie, siendo finito el númerode tales puntos en cada intervalo finito del eje t.

3) al aumentar t, el crecimiento' del módulo de la fun-ción f(t) no es superior al de alguna función exponencial,es decir existen unos números M > O Y So~ O, tales que

I f(t) I < Mesot (1)

para todos los valores de t.El número Sose llama exponente de crecimiento de la

función f(t). Se llama imagen de la función-objeto (segúnLaplace), la función P(p) de variable compleja p = S + iadeterminada por la fórmula

00

P (p) = f f (t) e-pt dt,o

(2)

siendo Re p > so, donde Soes el exponente de crecimientode f(t).

La condición (1) garantiza la existencia de la inte-gral (2).

La transformación (2), que hace corresponder a cadafunción-objeto f(t) su función-imagen F(p), se llamatransformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo:

f (t) : P(p).

Subsiste el siguiente teorema: -Si f (t) : F (p), en cualquiera de sus puntos de conti-

nuidad la función f (t) se determina así:a+loo

1f

.

f (t)= 2ni ePtF (p)dp,a-loo

~.

dondea+loo a+lb .

f ePtp (p) dp = tim f eptp (p) dpb-.+oo .

a-loo a-lb

(la fórmula (3) se denomina fórmula de inversión para latransformación de Laplace).

14-583 200

1. Propiedad lineal. Para cualesquiera constantes com-plejas ~ y ~, se tiene

af (t) + ~g (t) : aF (p) + ~G (p) (4)

f (t) : F(p),

~

j

t1

;

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACB

(abuí y a continuación se supondrá queg(t) : G(p).

11.Teorema de semejanza. Para cualquier constante~>O

¡I

f (at) : .!. F (J!.. )a a' (5)

lB. Derivación de la función-objeto. Si f'(t) es unafunción-objeto, se tiene

l' (t) : pF (p) - f (O). *) (6)

Gen e r al iza c i ó n. Si f(t) tiene derivadas conti-nuas hasta el orden n en (O,+ 00) siendo f(n)(t) función-objeto, se tiene

fIn) (t) : pnF (p) - pn-'f (O)- pn-2¡' (O)- .. . - f(n-tl(O). (7)

IV. La derivación de la imagen es equivalente a .lamultiplicación de la función-objeto por el argumento to-mado con el signo menos, es decir,

F' (p) . .- tf (t). (8)

Gen e r a 1iza c i ó n.

p<nl(p) . . (_l)n tf (t). (9)

V. La integración de la función-objeto se reduce a ladivisión de la imagen por p:

t

Jf(t)dt.. F(p)o p

(10)

*) Aqul y a continuación, la notación feo) tiene el significadosiguiente: 1(0) = f (+0) = 11m f (x). Del mismo modo. f' (O). ...

x~O+J .. . ., fIn - 1)(O) son abreviaciones de los limites a la derecha corres.pondientes. (Nota del T.)210 . I

II

VI. La integración de la imagen es equivalente a ladivisión de la función-objeto por t:

00

f F (p) dp .. f (/)p 1

(11)

00

, (se supone qne la integral f F(p)dp es convergente).

VII. Teorema de la tarlanza. Para cualquier númeropositivo -r. se tiene:

If (t - -r). . e-ptF (p). (12)

VIII. Teoremadel desplazamiento (multiplicación dela función-objeto por una función exponencial). Para cual-quier número complejo A.se tiene

e"tf (t). . F (p - A). (13)

IX.- Teorema del producto (E. Borel). El producto dedos imágenes F(p) y G(p) es también una función-ima-gen, siendo

t

F (p) G (p) =F f f (-r)g (t - T)dT.o

(14)

La integral que figura en el segundo miembro' de (14)lleva el nombre de convoluci6n de las funciones (factores)f(t) y g(t) Yse denota por

t

(f * g) = f f (-r)g (t - -r)'d-r.o

El teorema IX afirma que la multiplicaci6nde las imá-genes es equivalente a la convoluci6nde las funciones-objeto:

F (p) G (p) =F (f '"g). (15)

X. Teoremade la imagenracional. Para que la imagenF (p) sea una función racional es necesario y suficienteque la función-objetof(t) sea una combinaciónlineal defunciones de la forma tme'" (m es un número entero no ne-gativo, Aes complejo).

MO 211

XI. Cálculo de la {unción-objeto cuando la imagen esuna fracción racional. Supongamos que F (p) es una frac-ción racional propia, cuya descomposición en fraccionessimples es:

nk~ ~ Mkr

F(p)= ~~(p-Pk\r'. k r=1(16)

donde M"r y PI/ son unos números complejos. Entonces,

) nk

f (t) = ~ ~ Mkrtr-l ePkl~ ~ (r-I)!k r=1

(17)

será una función-objeto cuya imagen es la función F(p).En particular, si todos los polos de F(p) son simples, setiene:

f (t)= ~ MkePkt.k

(18)

donde Mk = Res F (p).Pk

. Si F (p) = ~ ~~~ es una fracción racional, siendo elgrado del polinomio A (p) menor que el del polinomioB (p) la función-objeto correspondiente a F(p) es:

nk-I

f(t)= ~ ( ~1)' lim dn-I {F(P)(p-pktkePt}. (19)~ nk . PO+Pkdp k

donde Ph son los polos de F (p). nh son sus órdenes demultiplicidad y la suma se extiende a todos los polos.

En particular, si todos los polos de F(p) son simples.la fórmula (19) se simplifica y toma la forma

f (t) - ~ A (Pk) ePkt- ..;.,¡B' (Pk) .k

Ejemplos:1. Hallar la imagen de la función unidad de Heaviside

(función salto unidad) r¡(t) (fig.43):

{

O para t < Or¡(t)= 1 para l > O.

(20)

...

I

(21)

212

,1:

;¡

s o 1u c i ó n. Según (2) y (21), si tiene:00 00

1](t) : f e-Plr¡(t) dt = J e-pl dt = ~ (Rep > O).o oAsí, pues. . 1

r¡(th=p' (22)

2. Hallar la imagen de la función "escalera regular"(fig. 44). )

'lct)l¡a"

fa

r---¡I I~ I

I I II I II I I

¡--¡ I II I I II I I I

I I II I II I II I I

3t' lit' "t'

3a

2a

o o

Fig.43 Fig.44

Solución. Se tiene f(t) = a {r¡(t)+r¡(t-T) ++ r¡(t - 2.t)+ . . .}.Por el teorema de la tardanza, resulta

f (t) : a(1..+ ..!.. e-pt + ..!..e-2pt + ... )' .p p p

La expresión entre paréntesis es una progresión geomé-trica con la razón q = e-pt. Como Iql = Ie-ptI= e-st< 1,ésta es convergente y obtenemos

,,'

1a -- .f (t) : p' 1- e

3. Hallar la imagen de la función ¡ (t) = él, donde ').es un número complejo arbitrario.

S o l u c i ó n.00 00

e'A.I : J e-ptét dt = f e-(P-A)tdt = ~p-)..o o

213

si Re (p - A.)> 0, o sea, si Re p > Re A..Así, pues,7t.t I

e -;- p-'). .

En particular, si A.= 1, se tienet. Ie-:-- I 'p-

(23)

y si A.=-I,

)

4. Hallar la imagen de la función f (t)= ch t.t + -t

S o 1u c i ó n: Se tiene ch t = e 2e .Aplicando la propiedad lineal y los resultados del pá-

rrafo anterior, resulta. 1

(1 1

) pch t ::¡:; "2 p - I + p + I = p2 - I . (24)

5. Hallar la imagen de la función f (t) = sen at cos ~t.

Solución. Como sen at.cos~t=~ [sen(a+~)t++ sen (a -~) tI, el problema se reduce' a hallar la imagende la función sen rot.

Se tiene,I

sen rot= 2f (e6>tl- e-6>tl):. I (

I 1)

00

-:- 2f p - roi - p + ooi = p2 + 002 ,

It-'--'_1.e- -;- p +

.

(25)

por lo cual, A .I[ a+~ a-tI

1sen at tos ~t :"2 p2+ (a+ ~)2+ p2 + (a - ~)2 '

y después de unas transformaciones elementales,definitivamente:

. a (p2+ a2 - ~2)senat cos~t-:- , o . no. .,. . ono.

resulta

6. Hallar la función-objeto sabiendo que la imagen esI

F (p) = , o . "..

214

s o 1u c i ó n, ler método. Aplicando el teorema del pro-

ducto y la fórmula p2 ~ 1 : sen t, se tieneI

. - 1 .. - = p2 ~ 1 ' p2 ~ 1 : f sen 't' sen (t - -r)d-r=oI

1f

1

=2 [cos(2't'- t)- cost]d't' =2(sent- tcost),o

2° método, Se sl\be que sen t.: p2 ~ I ' Por la fórmulade derivación de la imagen (8), tenemos:

,

(1

)' 2p-.- t sen t -;- p2 + 1 = - (p2 + 1)2 .

De aquí, aplicando la fórmula (10) de integración de lafunción-objeto, resulta definitivamente

1

. - ~ ..0 : ~ f tsentdt= ~ (sent-teost).o

3er método, Según la fórmula (19),a+i~ /

1 f epl d ~ ePk//(t)=- p = Res--

211:i (p2 + 1)2a-¡~ Pk

donde la suma se extiende a todos los polos de la función

(p2~t1)2' teniendo en cuenta sus órdenes de multiplici-dad,

En el caso considerado, los polos son: PI = i, P2= - i,ambos de segundo orden, es decir, ni = 2 Y n2 = 2, demodo que:

ePtl ,d

[

(p - i)2 ePI

]

, d

[

eP/

]Res -hm- =hm - =

(pi+1)2 P-+¡ dp (p2+ 1)2 P-+¡ dp (p+i)2_ 1' (p+ ;)2lept- ept2(p+ i) - I'(P + l) 1-2 pt-- 1m

( + ')4 - 1m. ( + '

)3 e -p-+t p I p-+¡ p I

1- it tt= ---;¡¡- e .

eP,/Res 1+ it

(PI+ 1)2 - ---¡¡ e-I/.215

Por consiguiente, .

ep,t ep,t 1

f(t)=Res (2 )2 + Res (2 Y =-(sent - tcost).PI + I P2+ 1 2

7. Hallar la función-objeto sabiendo que la imagen es1

F(p)=, ". , . . " .

So 1u c i ó n. Descomponemossimples:

3 1 3 1 I 1 1 1

F(p)="8 p-I -4 (p-1)2 +"2 (p-l)3 - "24p:t:T-1 p-2

-3" p2_p+ 1 .

F(p) en fracciones

Hallando la función-objeto para cada sumando, obtenemos:t ..í-

f (t)3 t 3 t + 1 2 t 1 t 1 2" r 3 +.=-e --te -te --e- -"-e cos-t8 4 4 24 3 2

Y- t Y-3 - 3

+-ae2sen~t.

8. Hallar la función-objeto,si la imagen es:

F(p)= 2p+3":1. " O)"'" .

S o 1u c i ó n. ler método. Descomponemos F(p) enfracciones simples:

1 1 1 1 1F(p)=---.---.-p 2 p+1 2 'p+3'

Hallando la función-objeto para cada sumando, obte-nemos:

1 1f(t) = 1 - "2e-t- "2e-3t.

2° método. Apliquemos la fórmula (20).Como los polos de la función F (p)

p¡ =0, P2= -1, P3= -3,216

son simples y

A (p) = 2p + 3, B (p)= p3+ 4p2+ 3p,B'(p)=3p2 + 8p + 3,

se tiene

f (t)= A (p¡) ep,t+ A (P2) ep,t+ A (P3) eP.t-8' (PI) 8' (P2) 8' (Ps) -1 1= 1 - -e-t - - e-3t2 2'

En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagende la función-objeto dada:

915. t2- 2t + 2.916. t3 + 4t2 + 4t.

917. (t - 2)31)(t - 2).918. trato

919. (t + 2) M.920. ch2 ato

921. (t - 1)2et-/ 1)(t - 1)

922. eat sen ~t.923. e3/cos 3t cos 4t.

924. e1o.(/-a) sen (t - a) 1)(t - a).

925. e21sen (t + ~ ).926. ea/ cos (t + P), p > O.

927. se~ t .928 -10.1 sen t .. e t'

929. sen 5t sen 2t.930. sen22t.931. tcht.932. t sen t.

933. cos 2t cos 4t.

934. cos2 4/.

217

En los siguentes ejercicios están dadas las imágenesy hay que .hallar las funciones-objeto correspondientes:

2p+3 1935. p3+ 4p2+ 5p . 944. p4- 1 .

p2 + a2 pe-2P936. '2 2)%

(a es una con- 945p - a . p2 + 4 .stante). P

e-T946. - 2P +9 .947. p3 + 9p2 + 27p + 25

(p + 1)3(p + 2)2 .948. 2p + 5

p2 - 6p + 12 .949. I

p4 + 2p2 - 3 .3

-7P

950. ~.p

kl937. -¡:¡:r.p

2938. (p-l)(p- _..

3p+ 19939. 2p+ 8 . .- .

1940. (p2+ p . oo. .

1941. (p - 1)2(p + ~, .

2p2 - 2V2p942. 4 ft.. - .p -,

I943. p%+ p + 1 .

2. ECUACIONESLINEALESDE COEFICIENTESCONSTANTES

Sea dada una ecuación diferencial lineal de segundoorden de coeficientes constantes

x" (t) + alx' (t) + a2x(t)= f (t),

Y las condiciones iniciales x (O)= xo, x' (O)= XI.

Se supondrá que la función f (t) y la solución x(t)junto con sus derivadas hasta el segundo orden son fun-ciones-objeto. Hagamos las notaciones:

x (t) : X (p), f (t) : F (p).

Para la ecuación (1) Y las condiciones iniciales (2),la ecuación operacional tendrá la forma

(p2+ alP + a2)X (p) = F (p)+ Xo(p + al) + XI' (3)

Resolviendo la ecuación (3), hallamos la solución ope-racional

X (p) = F (p) + Xo (p + al) + XIp2 + a.p + a2

(1)

(4)

218

Hallando la función-objeto para X (p), obtenemos lasolución de la ecuación (1) que cumple las condicionesiniciales (2).

Análogamente se puede resolver cualquier ecuación den-ésimo orden de coeficientes constantes con las condicio-nes iniciales para t = O.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación

x" - 5x' + 4x = 4, x (O)= O, x' (O)= 2.

S o I u c i ó n. Como 4 : -i y como, por la condición,pXo = x(O) = O Xl = x'(O) = 2, la ecuación operacionaltendrá la forma

4(p2 - 5p + 4) X (p) = - + 2.p

De aquí, hállamos la solución operacional

X ( ) - 2p + 4P - P (p2- 5p+ 4) .

Descomponemos el segundo miembro en fracciones sim-ples:

1 2 1X(p)=---+-.p p-I p-4

Pasando a la función-objeto, obtenemos la solución bus-cada:

x(t)== 1- 2et + e4t.

Ejemplo 2. Resolverla ecuación

x" + 4x' +4x=8e-2t, x(O)=l, x' (O)= 1.

S o Iu c i ón. Como 8e-u : p ~ 2 Y según la condi-ción Xo= Xl = 1, la ecuación operacional tendrá la forma

8(p2+ 4p + 4) X (p) = p + 2 + p + 4 + 1,

y. por consiguiente, la solución operacional será:

X (p)= p2+7p+ 18(p+ 2)3 .

219

Descomponiendo el segundo miembro en fracciones sim-ples tendremos:

. 831X(p)= (p+2)3 + (p+2)2 + p+2'

Pasando a la función-objeto, obtenemos la solución delproblema planteado:

x (t) = 4t2e-2t + 3te-2t + e-2t.

Resolver las siguientes ecuaciones:951. x' + 3x = e-2t, x (O)= O.952. x'-3x=3t3+3t2+2t+ 1, x(O)=-I,953. x' - x = cost - sen t, x (O)= O.954. x' + x = 2 sen t, x (O)= O.

1955. 2x' + 6x = te-3t, x (O)= - 2'

956. x" + 4x' + 3x = 1, x (O)= 3; x' (O)= -2.1

957. x"-2x'+2x=l, x(0)=2' x'(O)=O.

958. x" - 5x' + 6x = 12, x (O)= 2, x' (O)= O.

959. x" + 3x"-,--1= O, x (O)= O, x' (O)= ~ .1

960. x" - 2x' + 1= O, x (O)= x' (O)= 2" .961. x" + 3x' + 2x = 2t2+ 1, x (O)= 4, x' (O)= -3.962. x"-2x'-3x=3+7t+3t2, x(O)=x'(O)=-I.963.x" - 7x' = - (14t+ 5), x (O)= 2, x' (O)= 8.

964. x" + 2x' = 6t2, X(O)= O, x' (O)= % .1

965. x" + 6x' = t, x (O)= O, x' (O)= - 36'

966. x" + x = 2et, x (O)= 1, x' (O)= 2.

967. 7x"+ 14X'=(t- ¡)e-2t, x(0)=2, x'(0)=-5~'

( 968.x" - 4x'+ 4x= (t - 1)e'u, x (O)= O, x' (O)= l.t

969.4x" - 4X'+ x = e2, x (O)= -2, x' (O)= Q.220

-

/970. x" + 3x' + 2x = e-t + e-2t, x (O)= 2, x' (O)= -3.

4971. x" - x' - 6x = 6e3t + 2e-2t, x (O) = O, x' (O) --:-5"'

972. x" + 4x' + 4x = t2e-2t, x (O)= x' (O)= O.973. x" - x' = 2 sen t, x (O)= 2, x' (O)= O.

974. x" + 9x = 18cos 3t, x (O)= O, x' (O)= 9.1 I

975. x" + 4x =4 cos2t - 2"sen 2t, x (O)~ O, x' (O)= S'1

976. x" + 2x'+ 3x = t cost, x (O)= - 4"' x' (O)= O.

18977. x"-2x'+ 10x=cos3t, x(O)= 1, x'(O)=3f'978. x" - 4x' + 5x = 2e2t(sen t + cos t), x (O)= 1,

x' (O)= 2.979. x", - x" = O,x (O)= 1, x' (O)= 3, x" (O)= 2.

I980. x'" - 4x' = 1, x(O)= O, x' (O)= - 4"' x" (O)= O.981. x'" + x" - 2x = 5et, x (O)= O, x' (O)= 1,

x" (O)= 2.

982. xll+x=8V2"sen(t+ ~), x(0)=0,x'(0)=-4.983. x" + 4x = 2 COS2 t, x (O)= O, x' (O)= O.984. x" + x' = 1, x (O)= O, x' (O)= l.

3. SISTEMASDE ECUACIONESDIFERENCIALESLINEALES

Supongamos que se necesita hallar la solución de unsistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de coe.ficientes constantes

~; =alx+b.y+f.(t)

¡~~ =a2X + b2y + 12(t),

que cumple las condiciones iniciales

x (O)= xo, y (O)= Yo.

(1)

(2)221

Consideremos las imágenes de las functiones incógnitas,de sus derivadas y de las funciones tdt), t2(t):

x (t) : X (p), Y (t) : y (p);x' (t) : pX (p)- xo, y' (t) : pY (p)- Yo;tI (t) : FI(p), t2(t) : F2(p)

y formemos el sistema operacional

pX (p) = a.X (p) + blY (p) + FI (p) + Xo

}pY (p) = a2X (p) + b2Y (p) + F2 (p) + Yo . (3)

Este es un sistema algebraico lineal de dos ecuacionescon dos incógnitas X(p) e Y(p). Resolviéndolo, se hallaX (p) e Y(p), y pasando luego a las funciones-objeto seobtiene la solución x(t), y(t) del sistema (1) que cumplelas condiciones iniciales (2). Análogamente se resuelvenlos sistemas lineales de la forma:

n

}

dXkdi = ~ ak,x" akl = const;

1=] (k = 1, 2, "', n).

xk (O)= x2

Ejemplo. Hallar la solución del sistemadx 5

J

dT=-7x+U+d .1= -2x- 5y - 37tdi .

que cumple la condición inicial x (O)= O,Y(O)= O.S o l u e i ó n. Como5 : .2.. - 37t : - 3~ YXo= y¡¡=O,

. p pel sistema operacional tendrá la forma

5

]

pX (p) = - 7X (p) + y (p) +-P37 '

pY (p)= - 2X (p) -- 5Y (p)--:¡pResolviéndolo, resulta

x (p) = 5p2 + 25p- 37'J I 'J I tn- I 6').,.\,

222

y (p) = .. ,-;' 4:p - 259..ft. I \ .

..-..

Descomponemos los segundos miembros en fraccionessimples

o bien

1 1 p+6X (p) = p.- fj2- (p + 6)2 + 1 '

1 7 p+6 1Y(p)=p-p2- 1- I ,>\2 II + ,- . ~,.. ..

x (p)= ..!...- 2...- p + 6P p2 p2 + 12p -1 "'7'

Y (p) = 1.- 2..- p + 5P p2

Pasando a las funciones-objeto se obtiene la soluciónbuscada:

x (/) = 1- t - e-61cos t}Y (t)= 1-71 - e-61cost + e-61 sen t .

En los siguientes ejercicios hay que resolver los sis-temas de ecuaciones por el método operacional:

dx

1

dT+U=O985. d ' x (O)= 2, Y (O)= O.

lt +x=Odx

1

-+x-2y=0di986. d ' x (O)= Y (O)= 1.

-11...+x+ 4y=0di

dx

1

,

dT=- U987. d ' x (O)= Y (O)= 1.

lt =2(x+y)dx 3

1

dT +2y = t988. d . x (O)= 2, Y(O)= 3.-1L- 2x= 4

di

dx + IdT+x=U e

989. dd: + y = x + et

-<

l. <(0)= y.(O)= 1.

223

dx +!!JL = y + et

]di dt .

990. dx +!!.JL+ 2y = cos /2 di dtx (O) = Y (O) = O.

dx

df =y- Z

dy991. df = x + y

dz-=x+zdt

dxdT=4y+zdy

992. di = Z

dz--4 ydt -dx dy

&+2 dT+x+y+z=Odx dy

993. di+di+x+z=Odz dydT-2dT-y=0

. x(O)= 1, y(0)=2, z(0)=3.

. x (O)= 5, Y(O)= O, z (O)= 4.

, x (O)= Y (O)= 1,z(O)= -2,

dx dy

]

di - & - 2x + 2y = 1- 2/ x (O)= Y (O)=994. d2x dy . = x' (O)= O.

dt2 +2 di +x = Od2xdt2 = Y

I995. d2y - .X (O)= Y (O)= 1, x' (O)= 2, y' (0)= O.dt2 - X

d2x =x- 4y

Idt2 .

996. d2y = - x + ydt2d2x +.!!JL =et - xdt2 dt

997. d2y + ~= 1dt2 dt

x (O)= 2, !I(O)= O,

X'(O)= - V3. y' (O)= v::

]

x (O)= 1. y (O)= O,

.. x' (O)= 2, y' (O)=-1.

224

1

~ + x + y = 5

¡X (O)= Y (O) ;'

(JO) ) O.dt2 . . - y r"998. d?g - 4x - 3y = - 3

dt2 .~ + 4y + 2x= 4t + 1

I

X (O)=y (0)=0.dt ,999. .!!JL+ x - y = : t2dt

~ + y - 2x = O

J. x (O)= 2, Y (O)= 3.

1000..!!JL+ x - 2y = - 5etsentdt

RESPUEST AS

¡¡,

38. Sí. 34. No. 35. Si. 86. No. 37. Si. 38. Si. 39. No.

40. Véase la Hg. 45. 46. Véase la Hg. 51.

41. Véase la flg. 46. 47. Véase la Hg. 52.

42. Véase la Hg. 47. 48. Véase la Hg. 53.48. Véase la fig. 48. 49. Véase la fig. 54.

44. Véase la Hg. 49. 50. Véase la fig. 55.45. Véase la fig. 50. 51. Véase la fig. 56.

yx=o 1(='

x~

I1

Fig.45

226

eaoqo

biIir:

"-~~¡¡:

r!;

\....,~

co'<j'

bÍIü:

O)

'<j'

bÍIü:

o

AI

/

iOlQ

':>o..""J

11

11,1

,\

\.-

bDbD

,ii:

:...

//ii:

.

-.>::

c:-I:..

10

::.."

,,"'"bÁ

1

7v"'1."'l'

\'!...>

<..

,¡¡:

t>i¡

¡¡:

~bA¡¡:

\O~bÓu:.o\Ooia:

I X3

69. 2,337. 70.20,77. 76. Yo(x) =0; YI (x)=3"+T; Ydx)=I x2

= 126 (33- 14x+ 42x3-7x4 - 2X7). 77. Yo(x) = O; YI(x) = Tix2 X5 x2

Y2(x) =2""+ 20. 78. Yo(x) = 1; YI (x) = 1+ x +2; Y2 (x) =X3 2

= 1+ x + X2 + 6. 79.Yo(x) = 2; YI (x) = 2 + x - 3" X3; Y2 (x) =2 1

= 2 +x + x2-"3 x3 -4X4. 80. Yo(x) =2; YI (x) =2x -In x;Y2 (x) = 2 + In2x. 81. x + y = C (1 - xy). 82. x2 (1+ y2)= C.

/

I+X

I83. (x + y) (x - y - 2) + 2 In 1- Y = C. 84. y = tg In Cx.85. JITt.X2 + Y 1+ y2 = C. 86. Jf1- X2 + JIT='Y2= 1; Y= l.87. e" = C (J - e-Y). 88. y = 1. 89. aX+ a-Y = C. 90. 1+ eY =

2 1 +eA I=C(I+x). 91. (l+y)e-Y=ln~+I-x.92'2e2X-eY-

-In VI +y2-arctgy=C. 93. (x2-2x+ 2) (y2 + 1) e2arctgy=c.

94. x + C = ctg (Y -;x + ~). 95. b (ax + by + C) + a = Cebx.

( y)

eY Y 1+ y296.x+y=atg C+-. 97. C+-=lnlInxl. 98.ln

l y 21-a Y Y+ I+YXII

= +C. 99. 2x3y3=3a2x2+C. 100. -+-lnx=C.1+ x2 1- xy 2

Ixy-- X3

101. Cy2 = e xY. 102. 3x2- 12x+ 2x3y3 + 6xy = C. 103'""3-3 4 ( + )

n-m+1 ( + )p-m+1-x2+2x+..lL_..JL=C.I04.x= x Y + x Y +3X3 x n-m+ 1 p-m+ 1+ C (n- m =1=- 1,P- m =1=-l). 105. y3= Cx - Inx - 1

2 Cx106. 2x + (2x In y + 1)2= C; x = O. 107. Y = a+ ax + 1 .

108. Y= a. tgV:- 1. 109. InI tg ¡1= C- 2 sen ~,y=2:tk (k=0, :!: 1, :!:2, ., .). 110. y' =3y; y= - 2e3x.x

fy a2. dv t

111. Y dt = a2 In -, y = - (hIpérbola). 112. -dt = 20-;a a-x vO

.í- dv 2. h (VI - vo) 3v= r 725. 10 cm/s. 114. m -¡¡¡= kv, t= VI 40 In 2,5 s.

VOVIIn- VodT

117. ([t=k(T-To),dv 5 In 10

115. m-¡¡¡=- kv; t=- InO,8 s.t

T=20+S0(i)20 =60min. 1I8.y'=n ~; y=Cxn. 119. ~~ =ks;

232

t"5 dx

(IX

)s=25.2 . 120. 18,1 kg; ([t=k "3- 300 ' donde k es él eoefl-. dx

(IO-X 1

)clente de proporcionalidad. 121.5.2 kg; ([t=kx 90 -3 .

122. xy = C. (C =1=O). 123. 0.82 kg; ~; = ks (s + 6). 124. 32.2 mino2 dT Q

125. T=3x;864000eal;?X=-k'ff' dondeQ=eonst. 128. y=O.

para a ~ 1 la, solución es única. 130. y = ~ (2n + 1) x ++C(n=O. :1=1,:1=2 ).131. y=C. 132. y=(-In(xaresenx++ "JI'T='X2)+ 1tfIX+ C, (n = O. :1=1, :1=2, ., .). 133. Y = eX + c.134.y= nnx + c, (n = O. :1= 1, :1= 2, .. .). 135.Y= x (Inx - 1)+ c.1136. Y= x are tg x - "'2 In (1 + x2) + 1tnx + c, (n = O,:1= 1, :1= 2, ...)

(Y3 1

) (2 1

)137. Y = are sen 2 - ~ + 51t. 138. Y = are ctg ~ + Y3'+ 31t.

(1)

9 1(

1t

)7

139. y=2 are tg 1- 2X2 +"'21t. 140. Y = 2' are tg 2+are tg x +"'21t.1 9

141. Y = O. 142. y = 1. 143. Y= - 11:.144. Y = are ctg 2X+ '4 1t.145. y2 - 3xy + 2x2 = C. 146. 2Cy = C2X2+ 1; y = :1= x.147. (x + y) (X3 + y3) = C. 148. (y - X)8 (y - 2X)9 = C (y + 2X)5.

, x'

149. C (y2 - X2) = y3. 150. y2 ==Cxe 7. 151. Y +Yy2 - x2 =11(y+ y¡¡;::X;)

= Cx3e x'153. x2 = y4 + Cy8.

152. ¡y3 + 3cxy.2 + 3bx2y + ax3 = C.154. y2= x InCy2. 155. C2X2= 1+ 2Cy;

2x+1I

C2_X2 = 2Cy. 156. (x-I) (3x + 2y-l) = C. 157. x + y+1=Ce-r.158. (x + y - 1)5(x - Y- 1)2= C. 159. Y x2y4 + 1 = Cy2x2 - l.

y3 1160. Y (X2y- 1)2= C. 161. are tg x =2"ln (x2+ y8) + In C.162. x2 (X2y + y 1 + x4y2) = C. 163. (y - 2x + 3)3 = C (y ; x + 1)2.

2x+2

164. x + 3y - rn1 x - 2y 1= C. 165. Y= 1- x + ('e x+II-1 .166. (x + y - 1)2+ 2x = C. 167. sen x + 2y In Iy 1-Cy = O.

y J7-sen- V u

168. x = Ce x. 169.cY X2 + y2 = y2 + 2X2. 170. ye 11= C;

x=0.171. x2+y2=Cx.172.y= ~ (cxl-k - ~xl+k). 173.Parábola

y2=2Cx+C2. 174. y= ~ (CX2- ~). 115. X2+y2=CX4.

176. y=Ce-2x+ ~ (2x2+2x-I). 177. y=CV¿+2x-l+x.

.78. u=Clnx+x3. 179..y=CYla2-x21+x. 180. y==cJIX +x2.

233

181. Y= C (x +1)2+ ~ (X+ t)~ 182. x=8 sen2f + Ce-cos Y.( 2 ) x' Cx 1

183. Y= X + C e 184. y==~ + 1 +-. 185.y=2e-:senx+X x .

186. y=Cxlnx+YX. 187. y3=CX2+X3.y'1 --

188. y4= Cfx + Vx + 1. 189. x == 2 - y2 + Ce 2.

190AY = é+X2+ Cex. 191.y = - x cosx + Cx. 192. ~ = Cex2 + ~.. 1

193. x2 + y2 -a2 = Cy. 194.7= Csen x + x. 195.x3= CeY-y-2.1 Y

x Cx196.-=C x2+x+l- V . 197. y3= +x2.y x2+ x + 1 x2- a2

1 1

(X .r- 1 IY

-)198. - = .r- C - - r 1+ x2 + - In 1+ X2 + xl.

y r 1+ x2 2 21 1 .

199. 7 = 2" (x + 1)4 + C (x + 1)2. 200. y4 + 2x2y2 + 2y2 = e.C Cx x

201. x=ylny+-. 202. Y=- I +x2. 203. Y=-.'y x- cosx

204.seny=x+Ce-x. 205.tg ~=Ce-x-x+ l. 206.y=(x+ I)n(C+eX).n-I

207. q>(x) = Cx ¡¡ 208. tg Y = (c+ ~ )e-x' 209. y = senx..r-:- senX sen x sen x

210. y=cos r x. 211. y=2 .212. y=--'. 213. y=-.x x

214. y=arctgx. 215. y=eex+cosJ... 216. y=x-x.x217. x4+ x2y2+ y4= C. 218. X3+ 3x2y2+ y4'= C. 219. Vx2 + y2 +

x y3+ In Ixy 1+ - = C.220. X3 tgy+y4 + 2' = C. 221. x3Y+X2_y2:=Cxy.y xsen2x X2+y2

222. y- + 2 = C. 223. x3 + y3 - x2 - xy + y2 = C.224. y Y I + X2 + x2y - y InIxl = C. 225. Vx2 + y2 + .M.= c.x226. xseny-ycosx+lnlxyl=C. 227. tgxy-eosx-cosy=C.228. y = x. 229. sen (nx + my) + eos (mx + ny) = C.

x

280. are sen V x2 + y2 + arcsen.!... + eY = C. 231. sen.M.- eos.!...+y x y1

+ x - - = C.232. (X2 + y2)2 + 2a2 (y2_X2) = C. 238. 1+ y2_X2=CX.y

I 1111=- (1 + y2 - X2)2; 112= 7. 234.xy2- 2x2y- 2= Cx.285. xy' (X2+ y2)= C. 236. / - 1 = C; 11= I 2 " ;

1 x2 + 112 (X2+ y) ,

+ sen x - 1.

234

y I 1237. x-x e; 1-'=7' 238. xlnlxl,-y2=Cx; J,L XZ.

1239. 5arctgx+2xg = C; x =0; 1-' l+x2' 240: y3+X3 (lnx-I)= Cx2;

J,L=~. 241. 2eX sen y + 2eX (x - 1) + eX (sen x - cos x) = C; J,L= eX.x7 1

242.x2- y - 3xy = C; J,L= 11" 243. (x + y2)2 C = x - !¡2;I x3

J,L= (x + y2)3' 244. Y =="2 + e. y ==ceX- x-l. 245. (y-C)2 ==4Cx.x

246. (y-C)2=X3. 247. InCy==x::l:2e2. y=O. 248. xy==C.x2y=C.e 1

249. Y ="'2 x2+ W' y==::I:x. 250. y==2x2+ C, y==__X2+ C.y 4

-3 '3 x2 x2251. 4e ==(x + 2) + C. 252.y ==T + c. y = - T+C, y=Cex.

1 ,x = eP(p + 1) + C

}

x == In II

.

n p 1 + In p + C

~

253. ; y=O. 254. .Y ==p2eP P -

y = In p Jx == p2 - 2p + 2

}

x = In p + sen p.255. . 256. 2 .

Y= C + P (1+ sen p) + cosp } y + C ==3" p3 - p2

I

I+Jlq\

,(Inp+ 1)2

}

x+ C==2aretgp-fn~

x+c= p ,

257. 2. 258. .1 Y = are sen p + In (1 + p2)

Jy=P' np

y=O.1

ePx==-

260. p2259. x = eP+ C}y = (p - 1) eP ; y = - 1; 1

u==c+eP(I+ ~)- x=acos3t

}261. 9 + C = ::1:(y x - x2 + are sen Yx'). 262. .Y + C == - a sen3tx == 5 (.!. tg3t - tg t + t)+ C

}(p = tg t). 263. 3

U==a sen6 t .2

I

t + 1I

x=-- + In - -2aretgt

}

t t - 1

264. t2 ' Y ==O.y == l-t4

(p = yt)

235

r'111

,1 I

) II'1

I t'1I

11

Ii

I11 J

111,

11)

.rr)

x-p+~np

}265. 1 .Y+ C = "2 p2+ p sen p +cosp

X+C=lnIPI+senp+PcosP

}

X=2CP-lnp-2

}266. . 267. .Y = P + p2 COSP y = Cp2 - P

C l1x = fJf - p x = 2 (l - p) + Ce-P }~L .~~ '.

y= 2~ +lnp-21 y=[2(I-p)+Ce-P](I+p)+p2

x-E-- cosp _senp l x- Cp2+2p-1 1- p2 p2 P 2p2(p-- 1)2

I270. ~; y=O. 271.

2C 2cospJ

Cp2+2p - 1 l'y= senp y= -p P 2 (p - 1)2 P

x- J¿- 2eP(1..-1... +~3 )J

p3 P p2 P272. 3C

(3 3

).

Y---2eP 1--+-2p2 P p2

~ C-I4y3=27ax2. 274. y=-T; y=Cx+C2. 27~. y-Cx-~;(y+ 1)2=4x.276.y- Cx+ aYI + C2;X2+ y2=a2.277.y-Cx+

2 2 2C - - -

+ ya; x3 +y3 =a3. 278. x=Cy+C:l; 4X=_y2.1+ C22 2 2

279. xy-:I: a2. 280. xT +y3 =aT. 281. y+xy-O.282.X2+ y2-2xyy'- O.283.XV'= y Iny. 284.y,2+y -xV' +y-O.285.yN- 2y+y = O. 286. yy,2+2xy - y-O. 287.y" = O.288. y" +1. y" = O. 289. yN2= (1 +y,2)3. 290. . yN - y-O.x291. y" +y-O. 292. y2- 2bx = b:l, (b>0). 293. x2+ny2-C.294.2x+ ay:l = C. 295. sen y -be-x. 296. y:l- 2bx. 297. xy = C.

1 1 1298. Y- ax,sik- 2; k-2- k-2- bk-2' k=;é=2.299. X2+y2_2bx.

x Yx

300. xy3= b. 301. P.= C (1 - cosq». 302. Y= Ce-'2.I 4

303. y2 = 4x + 4. 304. Y= O. 305. Y= O,Y= 27 X3. 306. No hay

, soluciones singulares. 307. a = O.y = O. 308. 4y+X6 = O.4

309. 4xy2= -l. 310. Y= x - 27' 311. No hay soluciones slngula.X2

312.y=-T' 313. y=O. y=4x. 314. y- :1:1,

273. .!!-.y = Cx+ C2.

res.

236

. .

x2" X X2 y2 I -

315. y=:t 2e. 316. y=x, y=-3"' 317. (i2+7j2=1.,r- x senx

318. x = ay2 + Cy" 1- y2. 319. Y = x- - + C. 320. y = C-+. x x

+cosx. 321. yl-n=2senx+-2- 1 +Ce(n-l)senx.322.x4_6x2y?+n-+ y4= C. 323. 15x2y- 24xy2 - 12x3+ 2y3= C. 324.6y+ 12y3-

1-9x2y2 + 2X3 = C. 325. 2+ xy In2x = Cxy, 11= ---rT' 326.Y=xy

= Ce-x2+ (sen x - x cos x) e-x'. 327. (C - In Ixl) (1 - xy) = 2.2 1 2 1 I X2

328. x=CeY+2'Y +"'2Y+4' 329. y+C=2x-2""+2In X. I

XII - x l. 330. x4= Cy2e y + 2y2 + 2y + 1. 331. y2= Cx2+ x4.. 1

332. Y (y - 2X)3 = C (y - X)2. 333. Y = C (2x - 1)+-.x2x+2

334. x + y - 1= Cex+Y=l. 335. In I tg ~ 1= C- 2 cos ~ ~2

336. y=C(3X2_2x)+-. 337. y3=CX3+X4. 338. x+C=x

= a~b { ax + by + e - -V -: arctg h/ ~ tg (ax + by) + e]}.x- 2

339. x+yeY =I+e. 340.lnlxl-~2=C, 341. InI2x-2y+51--2(x+y-2)=C. 342. x2y+2x=Cy. 343. x2+i=Ce-x.

I x2 + x + 1 .r- (2x + 1 2y - 1)344. - In -" 3 arctg ,r- + arctg--:;¡=- = C.

2 y2-y+l .r3 ,,3

345.x = y2 (1 + cei-). 346. sen x+2y In Iy 1- Cy = Q. 347. 3e-2y =C -2x 2 x 4 2 ( 2 . ) 1 C yn

= e - e. 348.x +y =C x +y. 349. -=2"+- +2 'x y n

n =#=-2. 350. x vi+ x2 + y V 1 + y2 + In Ix + V 1+ x2 I++Inl y+ YI+y21=nVl+n2+1nl n+Yl+n21. 351. ;y- i x+

1+ '49(4a2-3b2)lnI7(x+y)+a2+b21=C.

y'bC x' . x2

= - 1+ aC . 353.xe = C. 381. y = (x - 3) eX + 2"" + 2x +,3.X5 x4 13

382. Y = 120+ C¡X3 + C2X2 + C3x+ C4. 383. y = 24"In x - 288 x4+X2 x 1 x4

+ "'8 - 9+ 32' 384. y=24" - sen x + C1X2 + C2x+ Cg.237

352. y2- Cx2=

1/ .

2x + 3 x2 ~ 6x + 20 6885. Y=-12(X+2)2+ 324 .386. y+\C2=5"(x+Ct)+

5+T2(X+CJ)3. 387. y=(1+Q)lnlx+Ctl-C1x+c2.

3 .);+Ct=-r1nltl+ 4t2

J888. 1 3 ' t = y".

ti + C2= 4 t + 4t3~+I .

389. y=(Ctx-CDeC, +C2- 390. Y+C2=lnltg(; +Ct)l.x+C2=z(2Inz-l)

}891. y=C3+C2x-sen(x+CI). 892. +C 2 'Y 1= z In z

~

x = Z2 + I

}893. - 4 5 + C 2 C

' z = y".Y-15Z .z 2

X3894. y=Clx(x-C.)+C2; Y=T+C,

895. y = C2(xeCIX - ~ eClx)+ C3. 396.; + C2 = eZ(z + 1)}

,CI y+C1=Z2eZ

2 ,r<;:- 16z=y'. 397. Y=r;X2y 2x-T' 398. y=eh(x + c'> + C2.

899. y=x. 400. y=-2(JÍx+3+I)e-YX+3. 401. y=

= In I tg (; +.¡.)l. 402. Y = x - Y 2ex - 1 + In 2. 403. Y =I

"""i2(x3+6x2)+C.xlnlxl+C2x+C3. 404. X=C.y2+C2y+C3.7 4

3 3' 3 '3405. y=C2+-r(x+C,> -TC.(x+CI) . 406. y=C3+C2X+

z=y'

I V-Z2 I ,r-407. y=C 2 -- I-C1x +-CIXY 1- X2+2 2

1408. Y = 2' x In Ixl + CI In Ix - 1I+ C2x + C3.

(X+C, x+c.

)C - --409. Cty2- 1::;#(Ctx + C2)2. 410. y = -+ e c. + e c, .

(X )

3 1 VC¡+aelJ-CI

411. y= -+1. 412. x+C2=:f:-ln V l'3 C I C¡+ aell + Cl .

418. 3x + C2 =8 VCI + yY (JÍy- 2CI). 414.C~(x - CI)=

= :!:(2C2y: + 1) VC2Y: - 1. 415. (x - C1)2 = 4Cz (y - C2).238

1+Ctlnx --o2x1

+ 2' CI aresen X.

111"""'111"111.111.11' ..,

,\

I

1.'

416. y=V2X-X2. 417. y=(X~2)2' 418. Clx+C2=ln[y':'CI'419. y = C2eC'x. 420. y = -In Ix - 11. 421. Y COS2 (x + CI) = C2.

3I -- (x' +C,) 2

422. y=-lncos(x+CI)+C2. 423. y=C2e3 .424.y=x.

425. y = In(1 + e2X) - 2x. 426. y =:1: arcsen eX+C'+ C2.

427. (X+C¡)2+(y+C2)2=9. 428. x=l+p(2Inp-l)}.

y = p2In p429. x = (p + t) eP

}. x (+ In' X+C, lnx+c,)

y=p2é 430. y=C3e .

431. ~~~ = - :2 ' (x es la distancia del cuerpo hasta el centrod2x k a2

de la Tierra); t"" 122horas. 432. m ([l2 = Xi; x2= CI(t+C2)2+ CI;k d2x

(dx

)2 m ea.t+ e-a.ta2=fñ' 433. m{[jf=mg-k dt ; x=Tln 2 '

a =V ';:. 434. Cx =ik-' (k> ~). 435. (x + CI)2++ (y + C2)2= R. dondeR = const. 436. Si. 437. No. 438. No.439. SI.. 440. Si. 441. Si. 442. No. 443. No. 444. No. 445. No.446. No. 447. No. 448. No. 449. No. 450. Si. 451. No. 452. 1.

453. _.! (x =1=O). 454. O. 455. e-2X. 456. O. 457. -8 sen3x.x1 n458. -

Jf - . 459. Jf <1 x I<n).2 2 n2- x2 .I

x-I X.463. ~ e (x =1=O).x

465. -2e-6x. 466. l.. 467. 1. 473. y" + 3y' + 2y = O.

474. 2y" - 3y' - 5y = O. 475. y'" + 3y"+ 2y'= O.476.yIV+ 2y"++2y=0. 477. y'" =0. 478. y"-3y'+2y=0. y=CleX+C2e2X.479. y" - 2y' + y = O. y = Clex+ c2xeX. 480. y" -6y' + l3y = O.

y = ix (CI COS2x+ C2sen2x). 481. y'" - 3y" + 3y' - Y= O,y = (CI+ C2x + C3X2)eX. 482. y" - Y= O. 483. y" - y' = O.484. y" + 4y' + 4y = O. 485. y" + 9y = O. 486. y" = O.

487. y'" - 6y" + Ily' - 6y = O. 488. y'" - 3y"+ 3y' - y = O.

489. y'''-4y''+5y'-2y=0. 490. y"'-y"=O. 491. y"'+y'=O.492. y'" - 2y" + y' - 2y = O. 493. y'" + 2y" + 2y' = O. 494. y =

4--x= Clex + C2e-x. 495. y = Cle2x + C2e 3. 496, Y= eX(1 + x).497. y = e-x (Clx + C2). 498. y = 4ex+ '2e3x. 499. y = Cle-x +

+ C-3e-2x+ C3e-3X. 500. y = Cle(I..-J!3)x + C2eÜ+Y3)x

239

460. O. 461. O.

1\

462. 1- In x (x > O). 464.- e2x.

Illmmlmlll -"'rrm"mml"lIIrrmlml'm'l"'mmnlf"nnlll'm,,",mnnflflf"~m"Nlnmm1'n-

501. Y = CI + C2X + CaX2+ C4Xa+ e-x (Cs+ C6x). 502. y =

=ex(cICOS ~ +C2sen ~). 503. y=Cle2x+e-xXX (C2cosJI3 x + Casen 'VX). 504. Y = (C. + C2x) e-x ++ (Ca cos 2x + C. sen 2x) e-x. 505. y = eX sen x. 506. y = eX XX (cosV"2x + V"2senJI2x). 507. Y= Clex+ C2e-x + e-x XX (Cacos2x + C. sen 2x). 508. y = C.ex + C2e-2x ++ (Ca + C. cos x + Cs sen x) e-x. 509. y = C.e~ + C2e-x + Cae-2x.510. U= C. + C2et cos x + Caet sen x. 511. y = C.e-x + C2ex ++ Cacos x + C. sen x. 512. y = CI + C2x + CaX2 + '" + C.oX9.

x

513. y = C.e-x + C2xe-x + Cae2X. 514. y = CI + C2ex + CaeT.515. Yp=A.X2+A2X+A2' 516. Yp=A.xa+ A2X2+Aax.517. YP = A.x. + A2xa+ Aax2. 518. yp = (Alx + A2) e-x. 519. Yp=

= (A.X2+ A2x)e-x. 520. Yp= (Alxa + A2x) e-x. 521. Yp ==Asenx+Bcosx. 522. Yp=x(Asenx+Bcosx). 523. Yp== x (A. sen 2x + B. cos 2x). 524. YP= x (Al sen kx + BI COSkx).

525. Yp=(A. senx+BI cosx) e-x. 526. yp=x (Al senx+B. cosx)e-x.527. YP= AIX2 + A2x+ Aa. 528. YP= Alxa+ A2x2+ Aax.529. Yp = A.x. + A2xa+ Aax2. 530. Yp= A.X5 + A2x.+ Aax8.

531. Yp = (Al sen x + B. cosx) x. 532. a) Yp= x (A.e-x + A2eX)..b) YP= A.e-x + A2ex. c) YP= Alx2e-x+ A2xex. d) Yp== Alx3e-X + A2ex. e) Yp= A.xe-x+A2x2ex. f) Yp= A.e-x+A2x3eX.533. a) Yp = (AIX2 + A2x + Aa)ekx. b) YP= (A.xa + A2x2 + Aax) ekx.

c) Yp = (Alx. + A2xa + Aax2) ekx. d) Yp = (AIX2 + A2x + Aa) ekx.e) Yp = (A.x. + A2xa+ Aax2)ekx. f) Yp = (AIX5 + A2x. + Aaxa)ekx.534. a) Yp=Asenx+Bcosx. b) Yp=x(Asenx+Bcosx).535. a) yp=x(A sen 2x+B cos2x)e3X.b) Yp=X2(Asen2x+Bcos 2x)e3X.536. Yp=Ax', 537. Yp=Alxa+ A2X2+Aax. 538.Yp=Aex. 539. Yp== Axe-7x. 540.Yp= (Alx3+ A2X2) éx. 541. Yp= Ax2e5.t. 542. Yp =

3-x.=(AIX2+ A2x) e 4 . 5¡13. Yp= Ale"+A2e-2x. 544. Yp-;-(AIX2+A2x)e4x.545. Y= x (A cos5x + B sen 5x). 546. Yp= x (A cosx + B senx).547. Yp = x (A cos4x + B sen 4x). 548. Yp = (A cos 2x + B sen 2x)2x.

549. Yp = x (A cos 2x + B sen 2x) e2x. 550. Yp = x (A cos 2x ++ B sen 2x) e-3x. 551. Yp = x .(A sen kx + B cos kx). 552. Yp = A

(A - const). 553. Yp = Al COSx + BI sen x + A2cos 3x + B2 sen 3x.1164. Yp = A.x+ A2COS8x + B2sen8x. 555. Yp= A.x+ A~.IIB6.Up-=A (A= const). -557.!/p= Ax. 558.Yp= Ax2.559.Yp= A:1-10

,

:1

,.1I

1,l'

11

illlllllL .111111111111-

j

:1

!.

(A=const). 560. Yp=Ax. 561. Yp=AX2. 562'. yp=.4X3.

563. YP= Ax2. 564. yp = Ae4X. 565. Yp = Ax2e-x, 566. Yp = (A¡x3+

+ A2X2)e-x. 567. yp = Asen 2x + B cos 2x. 568. Yp = Asen x+Bcosx,569. YP= (Alx + A2)sen2x+ (Blx+ B2)cos2x. 570. yp== x2 (A sen nx + B cos nx). 571. Yp = Asen nx + B cos nx. 572. Yp == A sen x + B cosx. 573. Yp= Ax.ex, 574. Yp = (AX5 + BX4) eX.

575. y = (C¡ + C2x) e-x - 2. 576. Y = CI +C2e-2X- x. 577. y =

=Clsen3x+C2cos3x+1. 578. y=CI+C2x+C3e-x+ ~ x2.7

-x 3579. y=C¡+C2x+C3e5 -14x2. 580. y=CI+C2X+C3X2+

x

+ C.e6X+ ~ x3. 581. y = CI + C2x+ C3X2 + C.e-T + ~3 .582. y=C¡cosx+C2senx+(C3+C.x)ex+1. 583. Y=

2x x2 X 3 -8x X2 x=(C¡+C2x)e +4+2+8,584.y=CI+C2e +2-8'

x

585. y = (CI+ C2x)elu + (k ~1)2 , 586. Y = (CI + C2x)e-2x +2 -2x C -3x + C -x 9 -3x 588 C ++ 4x e . 587.Y= le 2e - 2 xe. . y = I

X 2

+C2e7 -7X2_98x. 589.Y=CI+C2e-3X_(~ + ~)e-3X.590. y = Cle-3x + C2e-2X + (20x - 5X2) e-2x. 591. y =

x

(~í-X --" 3

=e-X(Clsenx+C2cosx)+2' 592. y=e 2 Clsen-rx+Y3 ) (

x2 X I) -(Y6+2) x

+C2cos-r-X + 3-3"+3" eX. 593. y=C¡e +

+ C (Y6-2) x 12sen 2x + 16cos 2x 594 C +2e. - 25 . . y = I COSx

+C2senx+x2senx+xcosx. 595. y=(CI+C2x)emx+

+ (m2- n2) sen nx + 2mncosnx 596 - -x (C 2 +(m2 + n2)2 . . y - e I cos x

+ C2 sen 2x) - + xe-x cos 2x. 597. y = CI cos ax + C2 sen ax +2cosmx + 3senmx 1+ 2 2 (m='Fa) 598.y=CI+C2ex-- 2 eX(senx+cosx).a -m

599. y = C¡ + C2e-2X + ~ eX (6 sen x - 2cos x). 600. y == e-2x (CI cos x + C2 sen x) + 5xe-2x sen x. 601. y = e-x (C¡cos2x+

+C~seo 2x) - ~ xe-x cos 2x + ; e-x. 602. y = eJ + C2e-2x-

16-583 241

'1

I!

..,

:¡ilIIfI

(X 7

) (X 1

) 2x- 20"- 50 senx - 10+50 cosx. 603. y=C1e +(

2' 4x

( )+ C2-x-T)ex. 604. y=C¡ex+C2e-2X+-1a x2-x+ l~ .e3X .

605. Y= C1ex+ C2e2X+2 (X2 - 2x+2). 606. Y= CleX++C;cosx+Cssenx-x2-3x-l. 607. y=C¡ex+C2xeX+

x2+ Cscosx+ C4senx +Tex. 608. y= (CI + C2x)eX+ XS+6X2 +

3-x(

4 4

)e2x

+ J8x+24. 609. y=e5 CICOSSx+C2senSx +2+,1,3.x4 XS .,

610.y= CI+ C2x+ Cscosx + C4senx + 12 +T - x2. 611. y =~

(~ '

)=2f+C.1XS+C2X2+CSX+C4+ T-4x+C5 eX. 612. y=

(X XS

) (x2

)= C'+4"-T COS,x + C2+-¡- senx. 613. y=Cle-x+

+ C2xe-x+ e-x (- x2eosx + 4xsen.x+ 6cosx). 614.y = CI +J XS x e2x

+ C2e2x+ Cse-2x+"'5 cosx -12 - 8" + 32 (2X2- 3x). 615.y =--=-

( Va va ) 1=CleX+e 2 C2cos~x+Cssen2x +"2 (cosx-senx).

616. y = ; e-x sen x + xe-x + e-x (CI cosx + C2senx). 617. y =

= ¡cosx + (CI + C2x) eX+ (Cs+ C4x) e-x. 618. y = ; x sen x +f

.. +~ cos3x+C1cosx+C2senx. 619.y=Clcos2x+C2sen2x+'1 1 1

(X ¡'

)+ "8 x - 32 x cos 2x - 16 X2sen2x. 620. y = 8" - T eX++. (Ci+ C2x)e-x + (Cs- ;) cosx+ C4senx. 621. y = CI +.

(XS

)1 1 1

+ C2e-x + 3"" - x2 +2x +2" eX+ 20" sen2x -lOcOS 2x. 622.y=1 X + 1 s 3

==CI+C2X+ CSX2+C4cos2x+ C5sen2x+ '5 e 24 x + 32xsen2x.

1 -2623. y=(CI+C2x+Csx2)eX-8"exsen2x. 624. y=Cle x+

1 1+ (C2 COSx + Cs sen x) eX+"8 (2x2+2x+l) + 40 (sen2x+3cos2x) +

+ 2~ xex (3senx - cos x). 625. y = CI + C2e-x + ~ x3 - x2 + 2x+-x 1 C -x C 3x 2 4 1 -x 1 3x

+xe +"2x.626.y= ¡e + 2e -3x+~-4xe -2"xe.

242

627.

628.y= CI COS2x + C2 sen 2x + + eX + x (-} sen 2x - cos 2X).

y = Cle-x + C2e-2x + 3 (x2 - 2x) e-x + 3 (x2 + 2x) e-2x.1 1

Y = C I COS x + C2 sen x + 1 - 3" cos 4x - T x sen x.

630. Y=(CICOsx+C2senx- ~ cosx+xsenx)e2X. 631. Y=2x 3 1 4

= (CI COSx + C2 sen x + 1) e + 10+ 130 cos 2x - 65 sen2x. 632. Y=

=.( CI COSx + C2sen x + ~ - ~ x sen x) eX. 633. Y = CI + c2ix-x' 1 cosx - 2 sen x (-a-"2ex+ 5 . 634.y= Clcos2x+C2sen2x+

+ :sen 2X) eX + 2x + l. 635. Y= (CI+ C2x)eX+ x + 1+

+~(4Cosx+3senx)+ ~ cos2x. 636.y,=(C¡+C2x)e-x+l+sen x+

cos2x + 7 sen 2x ( Ya Ya )-~

+ 25 . 637.y= Clcos2x+C2sen2x e 2 +

+ x2- x - 2 - cosx. 638. y = (CI+ C2x)e-3x + ~ + : x3e-3X+1 39 C + C -2x x 1

+ 50 (36sen x - 27cosx). 6 . Y= I 2e - 2" - '5 cosx +2 '3 2x 3 .

+ "5 sen x - 8" (sen 2x + cos2x). 640. y = e - e x + xe-x,

641. y = - ~ (cos3x + sen 3x - e3X).642.y = e2x(cosx - 2 sen x) +

+ (x + 1)2 eX. 643. Y (x + :) e-3x + ~ (4 sen x - 3 cos x).1

644. y.= cosx + x sen x. 645. y = cos2x + "3 (sen2x + sen x).3x X2 X 1 2 1 ..2 2

646.y= (1 - 3x) e +"9 + 27+ 3' 647.y=(4x+2) e X +2"Y e x.1 .

648. Y = 3" cos2x+ 2" sen 2x + x (sen 2x - cos 2x). 649. y = - 4 ++2ex + e-x (senx-2cos x). 650.y = -ex [ncos x+(,,+1-2x) senx)):

651. y = f(eX -e-X)+x2. 652. y=cos x+2 sen x+e-x-3ex+2xex.x

4 -2" -va 1653. y=- .r- e sen-x+2x.654.y=2xex 655.y=-cosx.r3 2 4656. Y= sen 2x. 657. y = - 1. 658. Y= cosx. 659. y = e-x.

660.y=3+eX. 661. y=- ~. 662. y=eX (sen x+cosx).

663. y=e-2Xcos2x. 664. y=(x2+x)e-X. 665. y=Clx+.f!.. x

.629.

,

11 16* 243

ItIIIIIIIUlllUlumUUllffi'!'f"I»U''''I''IIIIIIIIIIIIIIIWitlIIaUll8RIllJUIIII

I"

ti

"

11

¡I

'Ir.'1,

1 1

[

.

(J123 )666. Y = -; (CI + C21n x). 667. y =Vx CI COS~ In x +

(Y23)J

CI

+C2sen Tlnx . 668.y=CI+C2Inx. 669.y= (x-2)S:!+ C2 (x - 2). 670. Y= CI (2x + 1)+ C2 (2x + 1) In (2x + I}671. Y= CI + C2X2 + Csx4, 672. y = CI + C21n x + Csx .673. y=CI+ (X~21)2 +Cs(x+I)6. 674. y=CI+(2x+l)X

[ In (2x+ 1) In (2x+ 1)]X C2 cos Y2 + Cs sen Y2 . 675. Y= CI cos In x +1

+ C2 sen In x +"2x (7 -In x). 676. y =x (CI + C21n x + In2 x).

1677. y=-(CI+C2x4+lnx+2In2x). 678. y=Clx+C2x2+1+x .

xm C C C+ (X2+ 2x) In x. 679. y = --r--I + Clx + -1. 680. Y= !.+ -i +m- x x x+ln2x-3Inx+2x+7. 681. y=CIX+C2X2+CSXS.

682. y = C¡{XS- x) + C2[6X2- 4- 3(XS- x) In I ::: 1].'. . C

683. y=Cle-2X+C2(4x2+1). ""84. y=-t+C2(2x-3).x

685. y = Clxs + C2(x + 1)- x. 686. y=Cllnx+C2x. 687. y==CI sen x+C2 sin2x. 688. y=CI cos (sen x)+C2 sen (sen x). 689. y=l+

. C ~+CIX+C2 YI+X2. 690. y=CIX2+ !+X~. 69t.y=CI(2x-I)+-+X2.x x692. y=x+CI cos é+C2sen eX. 693. y=CI+C2 sen x+senx.ln Isenxl.694 _CI+C2In(x+1)+lnS(x+O 695 - S+C 2+C (2 1).y- x+1 . .y-x IX 2 x- .

d2x k696. dt2 = mx (x es la longitud del trozo de la cadena que cuelga),

.. /6 ,/'- d25t = V g In(6+ r 35)5, k = g, m = 6. 697. dl2 = 1,2t, 5 = O,2tS-t.

2 2 d 2d 5 Vo X Ilt

698. m dt2 = - km, 5 = 2k' 699. dt2 + k2x, x = ae .1 x

700. y = CI COS2x + C2 sen 2x + 4" cos 2x In Icos 2x 1+2" sen 2x.

701. y =CI COSx + C2 sen x + sen x .In I tg (~ + ;)1- 2. 702. Y==Clex + C2e-x-l-xe-x + (eX-e-X) In (I-e-X). 703. y = Clex ++C2+(ex+l) In (I+e-X). 704. y=CI cos x+C2 sen x + : cosx. Y ctg x.

705. y= CICOSx + C2sen x.- Ycos2x. 706. Y=l.+ cleX +x9 s~

+ C1fJ-x + Cse2x. 707. y = CI CQSx + C2sen x + 4"cos x f ctg x +244

I!IIIIII- . '11111

+ ~ sen x f"tg2 X . 708. Y = eX (CI + C2x - In Y X2 + 1+ x arctg x).

709. y = (CI-x) e-x cosx+ (C2+ Insenx) e-x senx. 710.y = Clex+

+C2-cosex. 711. y=CI+C~-x+e-x I e; dX-lnlxl.

712. y = Cle-x + C~-2x + e-2x f ~~d:. 713. Y= CI COSx +

f eosxf

sen x .+ C2sen x - cosx ---x- dx - senx X- dx. 714.y == cleX +

+C2+(x2-1)ex'. 716. g=CI+C2tgX+-}(I+xtgx).716. g=C.(lnx-l)x+C2+x.(ln2x-2Inx-2). 717. y=

(1) -2x 2 ..x (

x2

)= CI x+"2 e +C2-x. 718.g=CIX+C2e + T-x ex.1

719. g = CI cos e-x + C2sen e-x + e-x. 720. g = Clex + C2 1..+x

+ 1-~. 721. g = cleX+ C2sen x+ eX(cosx+ sen x).x722. y = Clex' + C2e-x' + (2x2- 1)eX'. 723. g = Clex + C21nx +

2 ~r- x+l+eX(x-xlnx+lnx). 724. y=- 3 'X2+X. 726. g=-. cosx

1 1726.Y= senx. 727.g = l. 728. g==x' 729. g -"2 arctg2x.

(X2

)1- In x .

730. g= l+x-2 eX. 731. g= Yx . 732.g==(x-l)eX.733.y_l.. 734.g.= l. 760.a) h = k2,k ==O,1,2, ... b) h ==4k2,X

k = O, 1, 2, ... 761. Para cualesquierah. 752.a) Tienesoluciónsh x .

g = sh 2n; b) No tiene solución. 753. 1) h - 6)2>0, Y = CI cos 2nn x++ c, sen2nnx; 2) h- 6)2 = O, Y Ea C; 3) h - 6)2< O. y ES O.

e-asx - e-as (2x,-x)764. y = + y 5 - (x - 2)' . 756.Y(x) == -2as VI +I-e .x"

e-as (.x,,-x)- e-as (x,+x) e-a Y8X+e-a(2x,-x)Y8+ 2as V2' 756. y (x) = ya v.1- e- x, I + e-2a s x,

767 )1 cha Ya (x - xo) b) I sha Ys (x- xo)

a g-- . g=--. s chaJlSxo' asJlS chaYsxo .giS e-asx -e-as (X,+x)+e-as (x,-x)-e-as (2xo-X)+e-2as~-1

758. y == 2 -2as", .s l-e ...I sh hX I ch hX 1 sh hX

759. a) g--rSilf'"; b) Y--r Chh j e) Y==VCiiT"';1 chhX

d) y- vSiiT""' 760, y= C sen kx; k= O, 1, 2 761. Y =

245

1111 . II'P'PI",

1:

I! I

il

I~

1/

r,1

I~I

11

rl,

111

=C [e~X-e-~ (2n-X)_( \-e2~n) cos ?.X-(L +e2~n) sen ?.x]. th ?n=tg?..n.

[(cos t..n-sen ?.n-e-~n) e1..x+(e1..~cost..n-sen t..n)e"x762. y = C ) +2 (ch t..n- cos t..n

+ 2(sen t..n-sh t..n)cos J..x+2 sen J..x.(ch ?.n-cos J..n)]

h J.. J.. 12 (ch?.n - cos t..n) , e n cos 1t=.

X - \ -ax 4 2 4 1763.Y= -a e . 76. Y= 75 senx+ 75 sen 2x + 25 cos 2x.765. y==O. 766. y = C (x In x - x + 1). 767. y=O. 768. y = I + x2+

x. x6 J!- I (X X2

)+21+3/+ ...(=e). 769.y=C. \-21+41-'" +~/-

(X X2

) ~/- ~/-

+C2rx \-3I~6I-"'; (y=C.cosrx+C2senrx).OQ

770. Y= C ~n (n - \) .~..(n - k + 1) k. ~ ~ x.

k=O771. y=C. (1 + ; +

71.4x2 l.fi'7x3

)'3

(8x 8.llx2 8.1\.\4x3

)+]:6+ 3..6.9 +... +C2x 1+10+ 10.13+10.\3.\6+....

[ X2 x. (_l)n x2nJ [

x3772.y=C. 1-2"+S-"'+2.4...2n+'" +C2 x-T:3-¡'.

x5 x7 (_l)n x2n+. ]x2

+\.3.5-\.3.5.7+...+\.3.5...(2n+\)+ 773.y=T-¡.x. 3X6 3. 5x8 (2n+ 1)11 x2n+.

+41+61 +--s¡- + .., + (2n+4)1 + .., (2n+ \)11=x3 x4 7x5

= 1.3.5. ..(2n + 1).774.Y= - 2+ 2x- X2+ 3 - '4 + 6Ó- '"2x. 2X5 2X6 2X1 62x8

776. y=I+"4I-5I+ 61-71+81- ... 776. y=

(x2 x3 x. x8 13x6

) (x3 x.

=C. \+'2+6+12+ 24+ 720+ ... +C2 x+6+12+x5 x6 29x7

)x3 x7 2Xll 5Xl5

+ 30+72+5040+'" . 777.y=3+63+3.1\.63+32.1\.632+23x.9 7555x23 x2 2X3 Ilx.

+ \9.32.\1.632+ 19.32.\\2.633+ .., 778.y=x+ 2+ '"3 + 24-¡'53x5 269x6

+ 120 + "720 + ... 779. Y= C.I I (x) + C21 I (2x).'3 -'3

780. Y = C./.!. (x) + C21-2. (x).. 781. y = Cllo (;)+ C2Yo(;)~2 2

782. Y = C./o(2x)+C2Yo(2x). 783.y =x3/2[ CI/.¡.(i) + C2J-~ (x2)]-

. 784.y= Vx[CII f(Yx)+Cill-{ (Yx)} 785.y= ~2 [C.J2(X)+C2Y 2(,1;»).1 x3 X5

786. y=-x IC./d2x) + C2Jd2x»). 187. y(x}=x-T+a:s-'"

246

-¡;¡mlll '-'-IIIIIIIT1lTTl'TT""':--

III

X2 . xS798. y (x) = 1+ x - X2 + ... 799. Y(x) = I + 2"" + T2+ ...

2x4 10 Xs 2X5

800. y (x) = x - 4f' +7iX7- ... 801.Y(x)=x+ 3f+5f + ...(x-rt)2 (X-rt)3 sen 1

802.Y(x)=l+ -a + ~ +... 803.Y(x)=e-I + 21 (x-e)2+rosl-s~l 3 rt ~ 2 6

+ .,,- (x-e) +... 804.y(x)='2-4T+6fx -..-.00

I ~ cosnx+ sen"nx 806 N h l . "d

'

805. Y = 3" - ¿{;.J _"_2 0)\' . o ay so uClones peno lcas.n=1

""00

- C - X""cos nx + n sen nxy - ¿{;.J n3 (n2 + 1) .

n=1

808.31:2

y=T+807.

00~ (-I )n (n2 - 4) cos nx + 4n sen nx

+ 4 ~ n2 [(n2 - 4)2 + 16n2]'n=1

1809. Y= - 2rt +

00

+ ~ ~ (_1)n . A. c~s.:~~x.n=1 " .

00

810. y=.! ~ (_I)n-I Xrt ~ In=1

4n cos nx + (4 - n2) sen nxX (2n - 1)2«4 - n2)2+ 16n2]. 811. No hay soluciones periódicas.

x = t + Cl cos 2t + C2 sen 2t

}812. .

Y = 1 + CI sen 2t + C2 cos 2t

x = (CI - C2) it cost - (CI + C2) e2t sen t

}813. .

Y = (CI sen t + C2 cos t) e2t

x=e-2t (1- 2t)

}

x=t2+t+Cle2t+C2e3t

}814. . 815.

y=e-2t (1 + 2t) y=t+ 1+2clit

x = e-6t (CIcost +"C2sen t)

)

51X = (CI-3C.t-3C2) e

816. y = e-6t [(CI+ C2) cos t - . 817.- 5t }(C C ) t)

Y - (C It + C2)e- I - 2 sen

C 3t C -2t-t 2t X= le + 2e

x=Cle +C2e

)

3C 3t C -2t +C -t

818 - C -t + C 2t 819 Y = _2 le - 2e 3e. y - 3e 2e .. >-

~ = -(CI+CS)e-t+C2e2t z = 1. Cle3t-C2e-3t -Cse-t2

247

-1111111 -'mli¡¡

,11

i¡

11

11

il

11

!l

11 !~

n

11

Jt11 ~

IIt !

11

:1

II

11

II~

11

x = C.e-21+ C2 sen 4t + Ca cos 4t

I

) -21) )820. Y=-TC.e +2"C2cos4t-2"Casen4t .

z=- ~ C1e-2t+C2sen4t+C3cos4t

x = C1et + C2 sen t + C3 cos t

¡

821. Y = t - C.et + C2cos t - C3 sen t .z = ) + C2 sen t + Cs cos t

) -1 ) C 21 I -21 ) t 3 31x=-Cle +- 6 2e +-Cse +-e +-e -23 2 6 WI C -t I C 2t ) -2t ) t 7 31

822. Y = 3" .e +"'6 2e - 2"C3e -"'6 e + 20 e - 2 ,.I C -t ) C 21 ) t ) 3tz=-- le +- 2e --e +-e3 3 2 4

4 t ) 2t

I

x=clesent

}

x=2Se -36e x=2(2et+e-/)

}823. . 824. , 825. .

y=C#sht ) t + 7 21 y=-et-e-ty=25e 36e

x = cos t + sen t

}826. .

Y = cos t - sen t

x = - 5e~ltsen t

}828. .

Y = e2t (cos t - 2 sen t)

}.

x=cost

}832. .

Y= - sen t

x =e5t + e3t831.

y = 6e5t- 7e31

833. x = - (2t + sen t + cost + e-t)y = cos t - 2e-t+ 2

x - ."í 2t + C2835. .. V CI.

y = y C. (2t + C2)

x2+ I=c~

837. p2+q2=C~

xp + Vq=- CJ

830. x = (sen t - 2 cos t) e-ty=e-tcost

834. x = e2t+ il + t2 + t}y=2it+t+) .

lt+mx+ny =C.}

836. .t2 + X2+ y2 = C2

248

I

I IX2 + y2 + /2 = C J

}

X = 3 / + C2 t2

]

838. . 839. .X2 - 2xy - y2 = C2 I t C2

y=CJe -3-7X2+y2=CJX-/2

}X-Cil

}

12_X2 =CJ

}840. . 841. I . 842. .Y = C2x y = C2e X2- y2 = C2

843. Inestable. 844. Inestable. 845. Estable. 846. Estable. 847. Estable.848. Estable 849. Foco inestable. 850. Punto de ensilladura.851. Centro. 852. Foco estable. 853. Nodo inestable. 854. Nodoestable. 855. Nodo inestable. 856. Nodo estable. 857. Nodo inestable.

3 .

858. a ~ - 2' 859. Inestable. 860. Estable. 861. Estable.

862. Estable. 863. Estable. 864. Inestable. 865. Estable. 866. Inestable.867. Estable. 868. Estable. 869. Inestable. 870. L\<O,OI7 871. L\<0,16:872. L\< 0,0012. 973. Inestable. 874. Estable. 875. Estable.876. Inestable. 877. Estable. 878. Inestable. 879. Estable. 880. Estable.

881. Estable. 882. Inestable. 883. Estable. 884. a> ~. 885. Siempre

inestable. 886. a> ~. 887. a>O, af}> I + a2. 888. ~> ;, f}>O,9f}- 6a + 4 <0.889. Estable. 890. Estable. 891. Estable. 892. Estable.

893. Estable. 894. Estable. 895. Estable. 896. Inestable. 897. Inestable.898. Inestable. 899. Inestable. 900. Estable. 901. Inestable.902. Estable. 903. Estable. 904. Inestable. 905. Inestable.906. Inestable. 907. Inestable. 908. x = ° inestable. x = 14+ 1estable. 909. x = I estable. x = el inestable. 910. x = I para / < OY x=-t para 1>0, estable. 911. x=O es estable para 1<0.912. x = t es estable. x = et'+I, inestable. 913. Inestable.

2 2 2 6 8 4915. 3"-2+-' 916. -¡-+3"+2'p p p p p p

6e-2p I 2p917. p4' 918. (p + a)2 . 919. (p - 1)3 .

~-~ 2 f}920. P (p2- 4aF' 921. (p + 1)3e-p. 922. (p- aF + f}2.

I[ p - 3 p - 3 ] l -ap

923. 2 (p - 3)2 + 49 + (p- 3F+ l' 924. (p- W + le.

925 ~ P - 1 926 (p - a) cos f}- sen f} 921 t l.. ,/- ., . . areg .r 2 p2 - 4p + 5 I (p - aF + l p

. 1 20p 8928. arctg p + A. . 929. p4+ 58p2+ 141' 930. P &2+ 16).

249

914. Inestable.

¡¡UB -lmll!!!I'

\I

!,1

t

11

.p2 + 1 2p pa+ 20p

93J.. (p2- 1)2 . 932. (pZ+ 1)2. 933. p4+ 40p2+ 144.p2+ 32 3 1 -2t

934 pa+ 64p' 935. 5" + 5" (4sen t - 3cost) e .. 936. t. ch ato

937. tk. 938. e3t-et..939. !.e-:U cos'" íll t + .;;; e-u sen'" íll t.2 V 2 y22 V 2t t

4JÍ3" -- V3" 2 -- va 1940. g-e 2sen~t-3"te 2cos~t. 941. 9(e-2t-

- et + 3tet). 942. (J12 - 1)et + (J12 + 1)e-t - 2V2 e-Y2" t.t

2 -2" va 1943. .In e sen - t. 944.- (sht-sen t). 945.cos2 (t-2) TI(t-2).y 3 2 2

946. +sen3(t--})TI(t-+). 947. 3Pe-t+te-2t.

948. 2e3t cos f3 t + ~ e3t sen}Í3" t. 949. +( sh t - V; sen}Í3"t).

950.(t - ;) TI(t - :). 851. -2t -3tx=e -e .

952.x = - (t3+2t2+2/+I). 953.x = sen t. 954. x = e-I+sen t-cos t.

t2- 2 -3t I + -t l. -3t 951

955. x=~e . 956. x=3" 3e -3e. 7. X"""2'

I 1+1958. x=2. 959. x=3t. 960.x=-r' 961. x=t2-3t+4.

962. x = - (t2 + t + 1). 963. x = + t + t2+ e7t.3 3 3/2 - t

964. x = /3 - 2"/z + 2" /. 965. x = M . 966. x = sen / + el.

967. X = 2- I (2t + .!l e-2t56 .

t

(/2

)-

X=8+1-2e2.

(13 t2

)x= '6-2"+ / e2t.968.

969. 970. x = (1 + t) e-t + (1- /) e-2t.

971. x = ~ (6it - 2e-2t).972.x= ~~ e-2t, 973. x = et+cos t-sen t.

974. x = 3(.1+ 1)sen 3/. 975.x = / (sen 2t + ~ cos2/).

250

I t - I I976. x = - (cos f + sen t). 977. 37x = (36e + 1)cos3t - 6 sen 3t.4

~

978. x = it [(1 - t) cost + (1+ t) sen tJ.t

980. x=- T' 982. x = 4t (sen t - cost).

979. x = t- 1+ 2el.

981. x = te'.

5 13

I

x = - - + - cos 2t - 3 sen 2t4 4

3 13 .Y = 2" t + 3 cos 2t + T sen 2t

I t 11 41 3 5

I

x=--+e --e --cos '+-sen t2 34 17 17

2 t 22 41 4 I .Y= - - e + - e + - cos t - - sent3 51 17 17

1983. x = 4" (1 - cos 2t + I sen 2t).

986.x = 4e-21 - 3e-31

}Y = 3e-31- 2e-21 .

988.

990.

991.

x = 2- el

Iy = - 2 + 4e' - te'.Z='- 2+ 5e'- te'

993.

x=3-2e-t

Jy=e-t .z=e-t -3

995. x = el + sen t}.

Y = el - sen t

x = t - t3

997. 6 + et

Jy= 1+ I .24 t4 - e'

x = t2 + t

}999. 1 t2 .

y=-<¡

x=et+e-t}

984. x = t.985. .Y= - e'+e-t

x = et (cos t - 2 sen t)

}987. .

Y= et (3sen t + cost)

989.x=e'

}.

y= el

992.

x = I + 3e2t + e -2t

¡y=e21-e-21 .z = 2e2t+ 'le -21

994.x=2(I-e-t-te-t)

}y=2-t-2e-t-2te-t .

996.x=cost+e-Y3r Iy = ~ (cos t - e-V3i)t.

x = 12 (ch f - l' - .!..t. shf

}

998. 2.Y = 7t. sh t - 17 (ch t - 1)

x = e' (2 cos t - sen t)

}1000. .

fI = el (3 cos t + sen t)

251

Tabla de las funciones-objeto fundamentales y sus Imagenes

N. de orden Función-objeto f (t)

00

Imagen F(p)= f f (t) e-pt dtO

.. l. 1 I *2.

I

tn (n= 1,2, ...)"

~pn+1

3I

ta (a> - 1)I

r (a + 1)pa+1

I eM I

I sen oot I

I cos oot I

I sh oot I

I ch oot I

I sen(t-a) (a>O) I

I cos (t - a) (a> O) I

I tne'M (n= 1,2. oo.) I

I tai.t (a> - 1) I

I e'.t sen filt I

4. 1p-').

5. 00

p2 + 002

6. Pp2:¡:uci2

7. 00

pC ci2

8. Pp2- 002

9. 1p2+ 1 e-ap

10. pp2+ 1 e-ap

11.nI

(p- -¡)n+1

12. r (a+ 1)(p- ').)«+1

252

13.00

(p - ').)2 + 002

1111I1_llIIIUIIIm111WIIIIiIBIIIIIII

11111. -n"lllI8II~mll-

co

N. de orden I Funclón-ob Jeto f (t) IImagen F(p)= ¡ f (t) e-pt dt

14. I e1.fcosrot I p-'),.(p - '),.)2+W2

15. I t sen rot I 2pro(p2+ ro2)2

16. I t cosrotI

p2 - ro2(p2 + ro2)2

17. Iln (t)(n=O. 1,2. ...) I

(JI p2 + I - p)n

Jlp2+ I

18. I si t,

arcctg pp

19. IErf(2V¡-)

(a> O)I

e-a Yp-P

20. I Int I (In - e)donde e = 0.57722es laconstante de Euler

JI

111

I

\

111

11"

I/,

.1

I

""'-~".-

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