ProposicionesUnidad1

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMIN TORO

CABUDARE-ESTADO LARA

Julio Cesar Fernandes LópezC.I.:20.473.791Ingeniería en mantenimiento mecánico

Proposiciones

Es un enunciado cuyo contenido

debe ser calificado verdadero(1) o

falso(0).

Ejemplos

Son proposiciones

No son proposiciones

•El hidrógeno es un liquido (falso).

•Algunos estudiantes son universitarios (verdadero).

•¿Qué hora es?.

•¡Estudie!.

•Ojalá que llueva café.

Operaciones

Veritativas

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o

conectivos que nos permiten unir dos o más proposiciones,

a partir de proposiciones

dadas.

Proposiciones atómicas o

simples

Es cuando las proposiciones no

contienen conectivos lógicos.

Proposiciones molecular o compuesta

Es cuando las proposiciones si

contienen conectivos lógicos.

Conectivos lógicos

Negación

Tabla de verdad de los conectivos lógicos

Sea p una proposición, la

negación de p es otra proposición

identificada por: ~ p, que se lee "no p", y cuyo valor lógico está dado por la negación

de dicha proposición.

Conectivos lógicos

Conjunción

Valor Lógico está dado con la tabla siguiente:

Sean p y q dos

proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p^q, que se lee "p y q“.

Ejemplo p: El Negro Primero peleó en Carabobo. q: Bolívar murió en Colombia.  r: Miranda nació en Coro. Entonces p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.

Conectivos lógicos Disyunció

n Inclusiva

Sean p y q dos

proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición pvq, que se lee "p o q”

Valor Lógico está dado con la tabla siguiente: Ejemplo

p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto. q: La estatua de Miranda está en Caracas.

p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o La estatua de Miranda está en Caracas.

Conectivos lógicos Disyunció

n Exclusiva

Sean p y q dos proposiciones. La

disyunción exclusiva de p y

q es la proposición pvq,

que se lee:“o p o q”.

Valor Lógico está dado con la tabla siguiente:

Ejemplo

p: 17 es un número primo. q: 17 es un número par.

p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par.

Conectivos lógicos

Bicondicional

Sean p y q dos proposiciones. Se

llama Bicondicional de p y q

a la proposición p q, que se lee "p si sólo si q", o "p es

condición necesaria y

suficiente para q“.

Ejemplo

a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3

b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3.

Valor Lógico está dado con la tabla siguiente:

Conectivos lógicos

Condicional

Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es

la proposición p q, que se lee “si p, entonces q”.

Ejemplo

Así el condicional A C puede ser leído de las siguientes maneras: 1. Si A entonces C 2. C es condición necesaria para A

Valor Lógico está dado con la tabla siguiente:

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Ejemplo:

Dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad: Pasos para construir la tabla:

( p q) (p r) 1.    Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones 2.    Determinamos las combinaciones:

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

3.    Adjuntamos a éste cuadro el  esquema  molecular  y colocamos  debajo  de  cada     una  de  la  variables  sus valores de verdad : 

Tautología y Contradicciones

Proposición Tautológica o Tautología

Es aquella proposición molecular en la que todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1 independientemente de los valores de sus variables. Ejemplo: Probar que pv~p es una tautología.

Contradicción

Es aquella proposición molecular en la que los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0 independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Ejemplo: Probar que p^~ p es una contradicción.p v ~ P

1 1 0

0 1 1

p ^ ~ P

1 0 0

0 0 1

Leyes del Algebra de Proposiciones1.Leyes Idempotentes

1.1. p v p = p 1.2. p ^ p = p

2.Leyes Asociativas

2.1. (p v q) v r = p v (q v r) 2.2. (p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r)

3.Leyes Conmutativas 3.1. p v q = q v p

3.2. p ^ q = q ^ p

4.Leyes Distributivas

4.1. p v ( q v r ) = ( p v q ) ^ (p v r) 4.2. p ^( q ^ r ) = ( p ^ q ) v (p ^ r)

5. Leyes de Identidad

5.1. p v f = p 5.2. p ^ f = f 5.3. p v v = v 5.4. p ^ v = p

6. Leyes de Complementación 6.1. p v ~p = v (tercio excluido)

6.2. p ^ ~p = f (contradicción) 6.3. ~~p = p (doble negación) 6.4. ~v = f, ~ f = v

7. Leyes De Morgan

7.1. ~ ( p v q ) = ~ p ^ ~ q 7.2. ~ ( p ^ q ) = ~ p v ~ q

Leyes del Algebra de Proposiciones

Otras Equivalencias Notables

a. p->q = ~ p v q (Ley del condicional)b. p<-> q = (p->q) ^ (q->p) (Ley del bicondicional)c. p v q = ( p ^ ~q ) v ( q ^ ~p ) (Ley de disyunción exclusiva)d. p->q = ~q->~p (Ley del contrarrecíproco)e. p ^ q = ~(~p v ~q)f. ( (p v q ) -> r) = ( p -> r) ^ (q -> r) (Ley de demostración por

casos)g. (p->q) = (p ^ ~ q-> f) (Ley de reducción al absurdo)

Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar que el bicondicional correspondiente es una tautología.

Equivalencia e Implicación lógica

Implicación lógica

Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:

AÞ B si el condicional A-> B es una tautología.

Proposiciones Equivalentes

Sean A y B dos formas proposicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es equivalente a B, y escribimos:

A B ó AB, Si y sólo si la forma

bicondicional A B es una tautología.

Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de

que una proposición,

llamada conclusión es

consecuencia de otras

proposiciones dadas llamadas

premisas.

Forma Proposicional de un Razonamiento

Razonamiento

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma proposicional como:

P1 P2 P3 P4 . . .

Pn -----

C

Diremos que un razonamiento es válido o correcto si la conjunción de premisas implica lógicamente la conclusión, en otro caso se dice que es no válido.

Un razonamiento que no es válido es llamado “falacia”.

Métodos de DemostraciónDemostración Directa

En la demostración directa debemos probar una implicación:

p=>q.

Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Método del Contrarrecíproco:

Otra forma proposicional equivalente a p->c nos proporciona la Ley del contrarrecíproco:

p->c ~ c-> ~ P. Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que p=>c, se prueba que ~ c=> ~p.

Demostración Indirecta

Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Métodos de Demostración

Demostración Indirecta.

Demostración por reducción al absurdo: Veamos que la proposición

p => q es tautológicamente equivalente a la proposición

(p ^ ~ q) => (r ^ ~ r)

siendo r una proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

1. Modus Ponendo Ponens(MPP)(p-> q) ^ p => q                             p-> q                                                       p                                                    ----------                                                       q2. Modus Tollendo Tollens (MTT)(p->q) ^ ~ q=>~ p                            p->q                                                      ~ q                                                      -----------                                                      ~ p3. Silogismo Disyuntivo (S.D) (pv q) ^ ~ q=> p                                  p v q       ó            p v q(pv q) ^ ~ p=> q                               ~ q                         ~p                                                      ---------    ---------                                                         p                          q

Inferencia

Inferencia4. Silogismo Hipotético(S.H)(p® q) Ù (q® r) Þ (p® r)              p® q                                                       q® r                                                    ----------                                                       p® r5. Ley de Simplificaciónp Ù q Þ p                                    p Ù q           ó             p Ù qp Ù q Þ q                                   ---------- ---------- p                               q

6. Ley de la Adición pÞ p Ú q                                    p                                   q                                               ----------           ó           ---------q Þ p Ú q                                  p Ú q                             p Ú q

7. Ley de Conjunción( p )Ù ( q)Þ ( p Ù q)                   p                                                q                                             ---------                                              p Ù q

Circuitos lógicos

Los circuitos lógicos o redes de conmutación

Los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente.

Ejemplo:

Construir el circuito correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

a) p ^ (q v r)