PONENCIA DE ALFONSO PAZ EN EL CONGRESO DE MATEMÁTICAS

JENNY

PROBLEMAS Y PERPSPECTIVAS DE LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA UNIVERSITARIA

PROBLEMAS Y PERPSPECTIVAS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA UNIVERSITARIA

Busca complementar

Una forma de elaborar cursos de matemática

universitaria

Una reflexión de características de un

programa de investigación.

Desde Sobre

La transposición didáctica

Educación matemática universitaria

Terminología básica

Matemáticas

Educación

Teoría ModeloMetateoria

Pedagogía

MATEMÁTICAS: es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolo.

EDUCACIÓN: es un conjunto de actividades humanas que socializan (enseñar, aprender, instruir, demostrar, disciplinar...), las que se encuentran en el aula, el hogar, las organizaciones etc.

TEORÍA: entenderemos “el pensamiento ordenado”, es decir, un procedimiento que ofrece una explicación y/o comprensión de un máximo de objetos, relaciones, eventos, acciones, etc., con un mínimo de conceptos y principios. Toda teoría debe explicitar el conjunto finito de reglas deductivas que utiliza, es decir, su lógica

UN MODELO es una interpretación concreta de una teoría. Esta definición implica que una misma teoría puede tener diferentes modelos, lo cual plantea el problema de las relaciones entre estos modelos (isomorfismo, homomorfismo etc.)

UNA METATEORÍA es el lenguaje (la teoría) en que reflexionamos sobre el lenguaje ( la teoría) analizado. Por ejemplo, cualquier reflexión o análisis sobre la Pedagogía pertenece a la metateoría o al metalenguaje de la Pedagogía.

LA PEDAGOGÍA es una ciencia social cuyo concepto central es la formación del ser humano (educabilidad), mediante la enseñabilidad de los saberes específicos.

Rafael Flórez Ochoa propone cinco criterios de elegibilidad que permiten distinguir una teoría propiamente pedagógica de otra teoría educativa, pero no pedagógica:

1. Definir el concepto de hombre que se pretende formar, o meta esencial de formación humana.

2. Caracterizar el proceso de formación del hombre, de humanización de los jóvenes, en el desarrollo de aquellas dimensiones constitutivas de la formación, en su dinámica y secuencia.

3. Describir el tipo de experiencias educativas que se privilegian para afianzar e impulsar el proceso de desarrollo, incluyendo los contenidoscurriculares.

4. Describir las regulaciones que permiten “enmarcar” y cualificar las interacciones entre el educando y el educador en la perspectiva de las metas de formación. 5. Describir y prescribir métodos y técnicas diseñables y utilizables en la práctica educativa como modelos de acción eficaces.”

. La esencia de la Pedagogía radica en la interacción de estos cinco criterios en un contexto, es decir, en el ámbito de las realidades y tendencias sociales y educativas nacionales e internacionales.

Las llamadas ciencias de la educación (sociología, economía, psicología, biología, etc.) estudian la educación desde perspectivas disciplinarias diferentes a la Pedagogía. Naturalmente sus resultados son importantes y dignos de tenerse en cuenta, pero no pueden reemplazar las especificidades de la Pedagogía, que sintetizan los cinco criterios.

El fin de la Pedagogía no es la “intercomprensión” del docente y el estudiante, sino la contribución a que el estudiante acceda a su autonomía.

DESCRIPCIÓN DE LOS RASGOS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA ACTUAL

PROCLO (410-465) d.C Comentario al LIBRO I de “Los Elementos de Euclides

Pitagoras transforma ese estudio convirtiéndolo en una enseñanza liberal.

PLATON (427-347) a.C Libro VI “La República”

“Método Hipotético - deductivo El procedimiento o camino que sigue el investigador

para hacer de su actividad una práctica científica

MÉTODO AXIOMÁTICO Forma tradicional en que se organizan y presentan los resultados matemáticos.

MÉTODO HEURÍSTICO Manera como se descubren o se inventan los resultados matemáticos.

Contexto Cultural y

social

AXIOMATIZAR UNA TEORÍA

1.LISTA SIN DEFINICIONES: Términos primitivos, conceptos fundamentales o básicos.

2. LISTA DE AFIRMACIONES: Postulados o axiomas

3. ELECCIÓN DE UNA LÓGICA: Reglas de deducción.

4. DERIVAR Y DEFINIR: Teoremas y conceptos mas complicados.

Sistema axiomático

Requisitos

Consistencia

Completez

Independencia

No deduce contradicción.

Prop. Neg. Es deducida de los axiomas

Ninguno es derivado del conjunto.

SIGLO XIX TEORÍA DE CONJUNTOS George cantor (1845-1918)

Análisis infinito matemático.

Aritmética del Infinito.

Obtener resultados

En diferentes ramas de las matemáticas.

PRINCIPIOS LÓGICOS Gottlob Frege (1848-1925)

Pretendió construir la aritmética y la matemática

Principios Lógicos. Axioma de Abstracción.

Un conjunto no es elemento de sí mismo.

U= X X X

CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ESCUELA LOGICISTA ESCUELA INTUICIONISTA

DAVID HILBERTBERTRAND RUSELL LUITZEN BROUWER

Revivir la matemática por principios lógicos.

Técnica de número finito de pasos.

(Computador)

Rechazan demostraciones por reducción, piden constructivas

(Computador)

ESCUELA FORMALISTA

SENTENCIA DE GÖDELUna teoría matemática interesante no puede ser axiomatizable, completa y consistente.

Actualmente las matemáticas son un Sistema abierto de lenguajes

Escritos

No orales

Formalizados

Informales

Abstracción

Generalidad

Precisión a un contexto

Aplicables

Caracterizados por

LAKATOS: Lib. Pruebas y Refutaciones Tesis del análisis al computador

EL CAMPO DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Estudia como la gente aprende y enseña las matemáticas. Fenómenos entre la

enseñanza y aprendizaje

Se tienen en cuenta algunos artículos de ARTIGE

SCHOENFELD VASCO

DÍAZ GODINOLa relativa juventud del

campo.Falta de Unificación.

Complejidad del fenómeno estudiado.

Teoría de las situaciones didácticas:

El educando se adapta por confiar en el conocimiento matemático y se adapta en confiar en el sistema de enseñanza, sus normas

y costumbres

Teoría de la situaciones Didácticas

El profesor universitario

Encuentra serias dificultades en sacar el conocimiento de los estudiantes y tiene la impresión de que éstos no saben. Las dificultades de la brecha cultural se refuerzan por otro tipo de fenómeno descubierto por la investigación: el hecho de que mucho de nuestro conocimiento es de carácter contextual, esto es, depende de las situaciones de las cuales procede.

“Teoría de las Situaciones Didácticas”

Cuyo fundador es G. Brousseau, el aprendizaje es visto como un proceso de adaptación; pero uno reconoce que no todos los procesos de adaptación empleados por los estudiantes en una situación de enseñanza dada son de naturaleza matemática. El educando se adapta por confiar en el conocimiento matemático, más se adapta, también, por confiar en el conocimiento del sistema de enseñaza, sus normas y costumbres, y sus conjeturas acerca de las expectativas del profesor, lo que Brousseau ha aislado y definido como el “contrato didáctico”.

Otros puntos de vista

Se entrecruzan con las aproximaciones culturales y sociales. Por más de veinte años, se ha reconocido el hecho de que el aprendizaje de las Matemáticas no es un proceso continuo, sino que necesita reconstrucciones, reorganizaciones y, en algunos casos, verdaderas rupturas con los conocimientos iniciales y los modos de pensar. La conceptualización aparece más y más dependiente de las herramientas concretas y simbólicas del trabajo matemático. Esta dependencia, la cual concierne al mismo tiempo a lo que se aprende y a los métodos de aprendizaje, es muy importante por la rápida evolución de las herramientas debido a los avances tecnológicos.

Para Schoenfeld, la investigación en Educación Matemática tiene dos principales propósitos:

Puro (Ciencia Básica): Comprender la naturaleza del pensamiento matemático, su enseñanza y su aprendizaje.

• Aplicado (Ingeniería): Emplear tal comprensión para mejorar la instrucción matemática. En su artículo, Schoenfeld aborda los criterios para juzgar teorías, modelos y resultados en Educación Matemática:

Poder descriptivo. Poder explicativo. Alcance Poder predictivo Rigor y especificidad Falsabilidad Replicabilidad Múltiples fuentes de evidencia (“Triangulación”).

Vasco

Presenta una visión panorámica completa de lo que él llama, de modo apropiado, Pedagogía de las Matemáticas, en lugar de Educación Matemática. Hay un párrafo dedicado a las Matemáticas. Universitarios de Estados Unidos y una explicación detallada de lo que él ha llamado el octógono de la Educación Matemática, un conjunto de ocho disciplinas necesarias para la Educación Matemática: Biología, Filosofía, Lógica, Lingüística, Informática, Antropología, Psicología e Historia de Las Matemáticas.

Chevallard parte de la posibilidad misma de la existencia de una ciencia que llamamos la “Didáctica de las Matemáticas” y postula para ella la existencia de un objeto preexistente e independiente. La relación didáctica es una relación ternaria ( el juego que se realiza entre un docente, los alumnos y un saber matemático). Chevallard distingue entre el saber sabio (en este caso, la Geometría hiperbólica) y el saber enseñado(o sea, la versión didáctica que recibiría el futuro maestro en la Universidad). La transposición didáctica, es la transformación de un contenido de saber preciso en una versión didáctica de ese objeto de saber.

PROPUESTA DE UNA FORMA DE ELABORAR CURSOS UNIVERSITARIOS DE MATEMÁTICAS DESDE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA DE CHEVALLARD

Cuando se estudia el mecanismo por el cual se realizan las readaptaciones entre el sistema de enseñanza y el entorno, entre la sociedad y la escuela, se encuentra que para modificar ese enorme entrelazamiento de interacciones (tan poco conocido y explorado) es posible obtener un resultado manipulando una sola variable: el saber.

El saber - los contenidos -ofrece una variable de control muy sensible con la que se obtienen efectos espectaculares mediante menores gastos y sobre la cual la instancia política tiene asegurado el control por medio de los programas.

Con el tiempo el saber enseñado se envejece, ya que sufre un desgaste “biológico” (alejamiento del saber sabio) y/o un desgaste moral u obsolescencia (acercamiento al saber trivializado que, en el contexto analizado por Chevallard, es el saber de los padres).

Para el docente, la herramienta esencial de su práctica es el texto del saber, en las variaciones que él se permite imponerle. Las otras variables de que puede disponer son variables subordinadas que le permiten, ante todo, poner en marcha su primer arma, el texto del saber.

En Matemáticas el lugar del profesor en relación con el saber es irreductible al del alumno, en relación con la calidad. Este doble régimen del saber en la clase crea una situación original: existe el saber enseñado y el saber a aprender.

En primer lugar, porque queremos incorporar la didáctica en un marco teórico que parte de la formación integral y que quiere enfatizar el estatuto teórico de la Pedagogía como disciplina autónoma, en vez de situar la didáctica en una perspectiva antropológica.

En segundo lugar, porque si bien es cierto que la transposición didáctica se ha aplicado a la docencia universitaria, queremos analizar en detalle las diferencias entre su aplicación en un medio escolar y en un medio universitario como nuestra institución.

¿Por qué hemos hecho un resumen detallado de los puntos de vista de Chevallard sobre transposición didáctica?

La transposición didáctica de Chevallard cumple los cinco criterios de demarcación y, por eso, se constituye en una teoría pedagógica:

1. Contribuye a la formación humana al hacer eficaz la formación matemática;

2. caracteriza al proceso de formación con todas sus oportunidades, ilusiones y obstáculos;

3. se privilegian unas experiencias educativas en detrimento de otras;

4. se describen las regulaciones entre el educando y el educador, tanto en la cronogésis como en la topogénesis

5. se describen los métodos y técnicas educativas.

Por tanto, los interrogantes sobre la enseñabilidad de una disciplina matemática universitaria serían: ¿Existe una demanda social por el mejoramiento de la enseñanza de la

disciplina? ¿Es la disciplina en cuestión una matemática significativa y profunda para

ser enseñada a los maestros en formación? ¿Qué elementos históricos y epistemológicos constituirían la epistemología

artificial, el resumen mejorado de la construcción histórica de esta disciplina? ¿Por qué manipular la variable saber dicha disciplina? ¿Por qué no hacerlo con otra novedad matemática? Fundamentada la posibilidad y la conveniencia de la enseñanza de la

disciplina, quedaría aún esta pregunta: ¿Qué significa una transposición didáctica satisfactoria de esta disciplina al ámbito de la formación del profesional respectivo en una perspectiva pedagógica?

1. Contribuir en la búsqueda del esclarecimiento del estado actual de las ciencias matemáticas y de los rasgos principales de la praxis de los matemáticos contemporáneos.

2. Especificar algunas de las interacciones entre la Filosofía y las Matemáticas.

3. Tratar de explicar cómo la Historia (la Filosofía) debería aprender de las Matemáticas, y viceversa.

4. Reseñar críticamente los principales logros de los estudios de las relaciones entre la Pedagogía y la Historia de las Matemáticas.

5. Evaluar los análisis de la influencia de los computadores y la Informática sobre las Matemáticas y su enseñanza.

6. Establecer los componentes mínimos de una formación básica matemática del ciudadano promedio en la sociedad contemporánea. 7. Analizar la formación matemática de los docentes de la Educación Básica y Media. 8. Analizar la formación matemática, filosófica, histórica y pedagógica de los docentes universitarios. 9. Examinar la formación matemática de las profesiones universitarias, técnicas y tecnológicas. 10.Analizar las relaciones entre el Arte y las Matemáticas con miras a enriquecer la formación integral tanto de artistas como profesionales, técnicos y tecnólogos.