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Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis. Mario Alberto Cruz Díaz

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IX CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENCIAS DE LA TIERRA

( SANTIAGO DE CHILE, 6 – 10 NOVIEMBRE, 2006 )

PONENCIA: REDUCCIÓN Y AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS DE

DISTANCIAS APLICANDO EL ANALISIS VECTORIAL.

AUTOR: FIS. MARIO ALBERTO CRUZ DÍAZ

DEPENDENCIA: INSTITUTO DE CATASTRO DEL ESTADO DE PUEBLA

DOMICILIO: AVE. 11 ORIENTE NUM. 2003

COL. AZCARATE, C.P. 72501

PUEBLA , PUE.

MÉXICO

TELÉFONO: 222 – 2340948

FECHA: OCT-2006


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I . INTRODUCCIÓN

Entre las atribuciones del Instituto de Catastro del Estado de Puebla, se encuentra

la de realizar levantamientos topográficos y geodésicos de predios rústicos y urbanos en el

Estado de Puebla, con el propósito de ligar las observaciones a la Red Geodésica Estatal para

alcanzar la precisión necesaria en la georreferenciación de los predios medidos .

Se ha observado que en algunos casos, se tienen variaciones sobre la cartografía

al ubicar los predios medidos en campo, y que pueden ser resultado de observaciones de

campo deficientes ó de inconsistencias en la misma cartografía. Esta problemática dio origen a

un estudio para analizar el status de la cartografía. Este consiste básicamente en comparar las

coordenadas de los puntos determinados por métodos satelitales (GPS), con las coordenadas

de los correspondientes puntos de la cartografía .

Debido a que no es posible colocar un equipo con tecnología satelital en los

vértices que conforman los predios y que las construcciones impiden la recepción de las señales

electromagnéticas de los satélites, se propone como solución el método de resección de

distancias.

El Teorema de Taylor lineariza las funciones no – lineales que se presentan en el

método de resección, induciendo a un modelo matemático de mínimos cuadrados, que para

su solución requiere de la posición del punto en primera aproximación .

Con base en lo anterior, la Tesis que se presenta en este documento, consiste en

aplicar el producto escalar de vectores para establecer esta aproximación, lo cual nos ha

permitido la convergencia de las distancias, en una sola iteración. El principio de este método

tiene su fundamento teórico en el producto escalar de vectores unitarios a lo largo de las

distancias entre los vértices con posición conocida y los vértices cuyas coordenadas son

desconocidas.

Es importante mencionar que el ajuste se realiza sobre la Proyección

Cartográfica UTM, lo cuál implica, que las distancias medidas sobre la superficie terrestre, deben

ser reducidas a esta proyección, antes de aplicarse el modelo matemático de Mínimos

Cuadrados. En Geodesia se ha adoptado al elipsoide como la figura geométrica que describe

la forma de la Tierra desde un punto de vista matemático.


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II . PLANTEAMIENTO CONCEPTUAL

El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido

en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las

características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se

tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se

consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como

radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente.

El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido

en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las

características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se

tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se

consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como

radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente. Estos

radios de curvatura nos permiten reducir las distancias medidas en campo, a las distancias de

cuerda en el elipsoide, y para lo cual se re -quieren las alturas geodésicas ( elipsoidales ) de

ambos puntos, y un radio terrestre promedio que este en función de ambos radios, para éste

propósito se considera al Radio Medio Gaussiano.

Una proyección cilíndrica transversa, es aquélla en la que la colocación del

cilindro secante al elipsoide es girada 90° y representa la figura donde se proyectan los puntos

del elipsoide, para posteriormente desarrollar el cilindro, dando origen así a la proyección UT.M.

Entonces, existe un paso intermedio entre la distancia de cuerda y la distancia

sobre la proyección U.T.M., que consiste en transformar la distancia de cuerda a la distancia en

el elipsoide para lo cual se hace una aproximación esférica con el radio medio Gaussiano

como el radio de la esfera.

Una vez que las distancias de cuerda han sido transformadas en distancias

elipsoidales, se procede a proyectarlas sobre el cilindro, en donde se presenta una distorsión en

las magnitudes lineales, que aumenta a medida que se aleja del meridiano central, por este


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motivo, se aplica un factor de escala en el meridiano central ( k0 = 0.9996 ), que se introduce

en la ecuación del factor de escala que es función de la latitud del punto.

Al desarrollar las ecuaciones de distancias en el modelo de Resección, se llega a

un modelo matemático de Mínimos Cuadrados, cuya solución esta en función de la matriz de

diseño ( A ) y la matriz de valores observados ( L ).

III. RADIOS DE CURVATURA

El radio de curvatura en el meridiano ( M ) se deduce a partir de la definición

clásica de radio de curvatura de una curva.

ρ


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Donde “ ρ” es el radio de curvatura que esta dado por :

Donde ( dz / dx ) es la derivada de la línea tangente al elipsoide en el punto, y (

d2z / dx2 ) representa la segunda derivada.

( X , Z ) son las coordenadas cartesianas del punto situado en la superficie del

elipsoide y que están en función de la latitud geodésica del punto. El desarrollo de estas

derivadas induce la expresión matemática para el radio de curvatura “ M “.

Esquemáticamente el radio de curvatura en el meridiano ( M ) se puede visualizar

de la siguiente manera :

[1 + ( d z

d x )2

]3

2

d 2 z

d x 2

ρ =

M


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La expresión matemática para M es:

El radio de curvatura en el primer vertical ( N ) se deduce a través del radio del

paralelo:

De la figura anterior se tiene que:

II .1. Radio Medio Gaussiano.

Este radio se define como el valor integral medio de R tomado sobre el acimut de

0° a 360°: dα

N

M = a ( 1 – e 2 )

( 1 – e 2 sen 2 φ )3/2

N =a

( 1 – e 2 sen 2 φ)1/2

R = 1

2π ∫ 0

2 π

Rα dα = 1 2π ∫0

2 πM

M sen 2 α + N cos 2 α


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Cambiando el límite de integración a π / 2 se tiene que:

Finalmente tenemos que el Radio de Curvatura Medio Gaussiano esta dado por:

III . FACTOR DE ELEVACIÓN .

El radio de curvatura medio Gaussiano y las alturas geodésicas son los

parámetros que definen el factor de elevación y aplicando la ley de cosenos en la siguiente

figura:

Se tiene que:

R = 2 π ∫

0

π / 2

dα

MN cos 2 α M sen 2 αN cos 2 α

R = a [ 1 – e 2 ] 1 / 2

( 1 – e 2 sen 2 φ )

l0

l

s

R

h1 h2

1 + h2

l2 - ∆h2

l0 = [ ]h1 1 +(R

(R

)

12

)


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Donde “ l0 “ es la distancia medida en campo que ha sido reducida a la

distancia de cuerda en el elipsoide, ahora se requiere transformar la distancia de cuerda a la

distancia en la superficie del elipsoide “ S “; para este propósito se utiliza una aproximación

esférica cuyos parámetros son, el Radio Medio Gaussiano y el ángulo entre las normales al

elipsoide en cada uno de los puntos, así tenemos que:

IV . FACTOR DE ESCALA

Las distancias en el elipsoide son proyectadas sobre un cilindro que es secante al

elipsoide de referencia, y que posteriormente se desarrolla dando origen a la proyección U.T.M.,

en la cual, el cilindro se coloca transversalmente, es decir, el eje del cilindro, se encuentra en el

Ecuador.

S = a [ 1 – e 2 ] 1 / 2

( 1 – e 2 sen 2 φ ) 2a [ 1 – e 2 ]

l0 2 ( 1 – e 2 sen 2 φ ) 2

cos -1 [ ] 1 -


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La imagen del meridiano central es una línea recta; todos los demás meridianos

son líneas curvas que convergen en el polo y son perpendiculares a la imagen del Ecuador, el

cual coincide con el eje X. Por supuesto que los paralelos mapeados son perpendiculares a los

meridianos mapeados.

El factor de escala “ k0 “ es un elemento de diseño importante, ya que si por

ejemplo se analiza la magnitud de un elemento de mapeo ∆x, se encuentra que la magnitud se

incrementa a medida que se aleja del meridiano central, siendo despreciable en el meridiano

central. Al seleccionar un valor de k0 < 1, se permite una pequeña distorsión en el meridiano

central, para así, tener menos distorsión al alejarse del meridiano central, de esta manera, el

cubrimiento longitudinal del área de un mapa puede extenderse para un nivel de distorsión

aceptable.

Debido a las características de esta Proyección, es necesario calcular un factor

de escala que es función de la latitud, y que esta dado por:

Donde; t = tan φ

k = k0 [ 1 + ( λ2 / 2 ) cos2φ ( 1 + η2 ) + λ4 ( cos4φ / 24 ) ( 5 – 4t2 +14 η2 + 13 η4 – 28 t2 η2 + 4 η6 – 48 t2 η4 – 24 t2 η6 ) + λ6 ( cos6φ / 720 ) ( 61 – 148 t2 + 16 t4 ) + ..........]

η2 = 1 – e2 e2 cos2 φ


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Entonces, la distancia U.T.M. se calcula con la siguiente expresión:

dUTM = k . s

V . TEORIA DE MINIMOS CUADRADOS .

Sea el siguiente sistema de ecuaciones de observación:

Este sistema de ecuaciones se representa en notación matricial como:

La solución de mínimos cuadrados minimiza la suma de los residuos elevados al

cuadrado:

a11 x1 + a12 x2 + .................+ a1n xn = L1 + V1 a21 x1 + a22 x2 + .................+ a2n xn = L2 + V2 . . am1 x1 + am2 x2 + ...............+ amn xn = Lm + Vm

a11 a12 ...........a1n a21 a22 ...........a2n . . . . . am1 am2...........amn

x1 x2 . . . . . xn

=

L1 L2 . . . . . Lm

+

V1 V2 . . . . . Vm

A X = L + V

Σ V2 = min


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En álgebra matricial se minimiza V T V .La teoría del Cálculo Diferencial establece

que el mínimo de una función se obtiene al derivar dicha función con respecto a las variables e

igualando el resultado a cero, entonces:

=> 2 VT A = 0

Transponiendo las matrices y multiplicando por un medio, se tiene que:

( AT A )–1 ( AT A ) X = ( AT A )–1 AT L X = ( AT A )–1 AT L

V I . PRODUCTO ESCALAR .

Por definición, el producto escalar de dos vectores esta dado por:

a . b = ( a1 , .............., an ) . ( b1 , ............., bn )

∂( VTV)

∂ X ∂ X

∂ V= 2 VT

donde V = A X – L =>

∂ X ∂ X

∂ V ∂ ( A X – L )== A

(½ )( 2 ) ( VT A )T = 0

⇒ AT V = 0 pero V = AX – L ⇒ AT ( AX – L ) = 0 AT A X – AT L = 0 ⇒ AT A X = AT L


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= a1 b1 + ..............................+ an bn

Ahora consideremos la proyección de un vector a sobre sus componentes

vectoriales unitarias b, y b┴ :

Sea “ s “ la componente del vector a sobre b, es decir:

Sea “ t “ la componente del vector a sobre b┴, es decir:

=> a = s b + t b┴ = ( Comp b a ) b + ( Comp b┴ a ) b┴

= Proy b a + Proy b┴ a

Realizando el producto escalar de la expresión anterior con el vector b, se tiene

que:

Donde II b II es la magnitud del vector b, y de la figura anterior:

a . b = II a II II b II cos θ

s = Comp b a

t = Comp b┴ a

a . b s =

a . b

b . b b =

a

b┴

b s

t θ


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V I I . METODO DE RESECCIÓN VECTORIAL .

Para dar solución al modelo matemático de mínimos cuadrados, es necesario

conocer las coordenadas aproximadas del punto cuya posición se va a calcular; dicha

posición se determina con el producto escalar de vectores unitarios a lo largo de las direcciones

entre los puntos fijos que han sido georreferenciados por posicionamiento G.P.S.:

Donde; e, e1, y e2, son los vectores unitarios en la dirección de ( A a P ) , ( A a B )

y ( A a C ) respectivamente, y cuyas componentes son:

e = ( ex , ey )

e1 = ( ex1 , ey

1 )

e2 = ( ex2 , ey

2 )

d0, d1, y d2 son las distancias medidas en campo, que han sido reducidas a la

proyección cartográfica U.T.M., y las distancias b1 y b2, se calculan en la misma proyección:

A

B C

P

d0

d1d2e ˆ

e1

e2ˆ

ˆ

X

Y

b1

b2


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b1 = [ ( xB – xA )

2 + ( yB – yA )2] ½

b2 = [ ( xC – xA )2 + ( yC – yA )2] ½

De la figura anterior, se tiene por ley de cosenos que:

Por lo tanto:

=>

En las ecuaciones anteriores, las incógnitas son las componentes ( ex , ey ) del

vector unitario e, donde las componentes de los vectores unitarios están dadas por:

d02 + b1

2 – d12

2 d0 b1 e . e1 =

e . e2 = d0

2 +b22 – d2

2

2 d0 b2

d02 + b1

2 – d12

2 d0 b1

d02 +b2

2 – d22

2 d0 b2

( ex , ey ) . ( ex1 , ey

1 ) =

( ex , ey ) . ( ex2 , ey

2 ) =

d02 + b1

2 – d12

2 d0 b1

d02 +b2

2 – d22

2 d0 b2

( ex ex1 + ey ey

1 ) =

( ex ex2 + ey ey

2 ) =

e1 = ( ex1 , ey

1 ) = [ ( xB – xA )

b1

, ( yB – yA )

b1 ]


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En notación matricial, se tiene que:

Que es el modelo matemático de mínimos cuadrados en notación matricial, y

cuya solución esta dada por:

X = ( AT A ) – 1 * AT L

Entonces, si “ α ” es el ángulo de dirección del vector “ e “, se tiene que:

Y las coordenadas aproximadas para el punto “ P “ se calculan con las siguientes

expresiones:

e2 = ( ex2 , ey

2 ) = [ ( xC – xA )

b2 b2

, ( yC – yA ) ]

( xB – xA )

b1

( yB – yA )

b1

( xC – xA )

b2b2

( yC – yA ) =

ex

ey

d02 + b1

2 – d12

2 d0 b1

d02 +b2

2 – d22

2 d0 b2

tan α = ex

ey


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XP = XA + d0 * sen ( α )

YP = YA + d0 * cos ( α )

Con las coordenadas aproximadas del punto “ P “ ( que se obtienen con el

producto escalar de vectores unitarios ) se calculan las coordenadas precisas de “ P “,

considerando el Teorema de Taylor.

En la siguiente figura se muestran las distancias U.T.M. que se utilizan en el ajuste

por mínimos cuadrados por el método de resección:

Las distancias ( do , d1 , y d2 ) son funciones de las coordenadas de los vértices

conocidos y libres de error ( A , B , y C ), así como de las coordenadas del punto “ P “ ( XP , YP )

desconocidas:

A ( X0,Y0 )

B ( X1,Y1 ) C ( X2,Y2 )

P ( XP,YP )

d0

d1

d2

X

Y


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f0 ( XP

0 , YP0 , X0 , Y0 ) = [ ( XP

0 – X0 ) 2 + ( YP

0 – Y0 ) 2 ] ½ = d0

f1 ( XP0 , YP

0 , X1 , Y1 ) = [ ( XP0 – X1

) 2 + ( YP0 – Y1 ) 2 ] ½ = d1

f2 ( XP0 , YP

0 , X2 , Y2 ) = [ ( XP0 – X2

) 2 + ( YP0 – Y2 ) 2 ] ½ = d2

El superíndice ( 0 )en las coordenadas de “ P “ indica que son aproximadas, y las

cuales serán calculadas con precisión en el modelo matemático de mínimos cuadrados.

Las ecuaciones de distancia anteriores son funciones no – lineales, y para

linearizarlas se aplica el Teorema de Taylor: “ Toda función no – lineal, que admite las primeras

derivadas, se aproxima por la función evaluada en valores aproximados ( f 00 ), más las primeras

derivadas de la función con respecto a las variables “:

Desarrollando las derivadas parciales de las funciones anteriores, y rearreglando

los resultados en notación matricial se tiene que:

f0 = f00 + ∂ f0

∂ XP

d XP

0

+∂ f0

∂ YP 0

d YP

f1 = f10 +∂ f1

∂ XP

d XP

0

+∂ f1

∂ YP0

d YP

f2 = f20 + ∂ f2

∂ XP

d XP

0

+∂ f2

∂ YP 0

d YP


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Estas matrices presentan el diseño del modelo matemático de mínimos

cuadrados, que tiene como solución:

X = ( AT A ) –1 AT L

Donde la matriz solución representada por “ X “, tiene como componentes los

elementos diferenciales que se suman algebraicamente a las coordenadas aproximadas del

punto “ P “:

Es decir,

XP = XP0 + d XP

YP = YP0 + d YP

Este proceso continúa hasta que la solución converge.

XP0 – X 0 YP

0 – Y0

d00 d0

0

XP0 – X1

d10

YP0 – Y1

d10

XP0 – X2

d20

YP0 – Y2

d20

d XP

d YP

=

f0 – f00

f1 – f10 f2 – f20


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CONCLUSIONES.

El método vectorial propuesto para la georreferenciación de puntos del terreno,

tiene como fundamento teórico, el producto escalar de vectores para la determinación de las

coordenadas de los puntos en primera aproximación, que son utilizados en el ajuste por mínimos

cuadrados.

Este método se aplica en las distancias medidas que han sido reducidas a la

proyección U.T.M., por lo que para cada punto se tiene que las incógnitas son las coordenadas

( X , Y ), y ya que la Teoría de mínimos cuadrados establece que debe existir redundancia en la

solución ( siendo la redundancia igual al número de ecuaciones menos el número de incógnitas

), entonces se deben medir al menos tres distancias a partir de tres puntos diferentes ( puntos

G.P.S. ) hacia los puntos en consideración.

Se realizaron estudios de campo para probar este método encontrándose que:

*Las coordenadas obtenidas tienen una aproximación del orden de 2 a 3 cms., y en el

mejor de los casos de 2 a 3 mm. con respecto a las coordenadas ajustadas por el

método de mínimos cuadrados.

*Al introducir las coordenadas obtenidas por este método como primera aproximación

en el ajuste por mínimos cuadrados, la solución converge en la primera iteración.

*Se reduce el tiempo de observación, ya que solo se miden distancias y no es necesario

medir adicionalmente ángulos, como se lleva a cabo en un levantamiento geodésico

tradicional.

*Ya que resulta imposible el colocar un equipo de posicionamiento satelital clásico en las

esquinas de predios urbanos, y debido a que se tienen cortinas que impiden la

recepción de las señales satelitales, este método puede resultar una opción adecuada

para la georreferenciación precisa de estos elementos de construcción.


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*Ya que en nuestro País ( México ), y en especial en el Estado de Puebla, la superficie

terrestre sufre de accidentes topográficos de consideración, nos encontramos

frecuentemente con sitios que resultan inaccesibles para las mediciones de campo, y

esta resultaría otra de las aplicaciones para este método.

*Adicionalmente, se tiene que ya que la solución se da por un modelo matricial

bastante simple, resulta obvio que este método reduce el tiempo de proceso de

computo, reflejandose en un ahorro en los recursos económicos asignados para esta

actividad.

BIBLIOGRAFIA .

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*TORGE,W.,GEODESY,WALTER DE GRUYTER INC.,U.S.A.,1991.

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*GANTMACHER,F.R.,APPLICATIONS OF THE THEORY OF MATRICES, DOVER

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CLAYTON,PANAMA,1985.

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