gaussiano y ruido comunicacion analogicas

5. COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE5. COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE COMUNICACIÓN ANALOGICAEN PRESENCIA DE RUIDO

5.1 Procesos estocásticos pasabanda. Teoremas.Propiedades de los procesos estocásticos pasabandap p pWSS

5.2 Ruido. Definición y clasificación. Fuentes de ruido.Ruido térmico y ruido aditivo gausianoRuido térmico y ruido aditivo gausiano.

5.3 Efectos de ruido en sistemas de modulación analógicalineal. Relación de señal a ruido (SNR) para DSB-SC,SSB AM con detección de prod cto con detección deSSB, AM con detección de producto y con detección deenvolvente.

5.4 Efectos de ruido en sistemas de modulación angular.gSNR para PM y FM. FM con extensión de umbral y FMcon de-énfasis

5 5 Comparación de sistemas analógicos

COMUNICACIONES ANALOGICAS, 1T, 2011

5.5 Comparación de sistemas analógicos

Procesos Gaussianos•Sea X(t) un proceso estocástico observado entre t=0 yt=T. Si definimos la variable aleatoria Y como el funcionalli l d X(t)lineal de X(t):

( ) ( )T

Y t X t dt0 ( ) ( )Y g t X t dt •Se dice que X(t) es un proceso Gaussiano si cada•Se dice que X(t) es un proceso Gaussiano si cadafuncional lineal de X(t) es una variable aleatoriaGaussiana.Gaussiana.


Procesos Gaussianos•Se dice que la variable aleatoria Y tiene una distribuciónGaussiana, si su función de densidad de probabilidad, ptiene la siguiente forma:

2( )1 Yy 2

( )1( )22

YY

YY

yf y e

•Donde Y s la media de la distribución y 2Y es su

varianzavarianza


Procesos Gaussianos•Normalizado para media igual a cero y varianza 1

2

21( )y

f y e ( )

2Yf y e

•Este tipo de procesos tiene dos ventajas:ventajas:•Este proceso posee propiedades que hacen posible los resultados analíticosanalíticos,•Los posesos aleatorios de los fenómenos físicos pueden ser representados por este proceso


representados por este proceso.

Teorema de Límite central•Proporciona la justificación matemática para usar el procesoGaussiano como un modelo para un número grande de fenómenosfísicos en que la variable aleatoria observada, en un instante detiempo en particular es el resultado de un gran número elementosaleatorios individuales.a eato os d dua es

•Para formular este teorema, digamos que Xi, i=1,2,…, N, es un setde variables aleatorias que satisfacen los siguientes requerimientos:de variables aleatorias que satisfacen los siguientes requerimientos:

• Xi son estadísticamente independientes

•Xi tienen la misma distribución de probabilidad con media X yvarianza 2

x


Teorema de Límite centralTeorema de Límite central•Las Xi así definidas constituyen un set de variables aleatoriasidénticamente e independientemente distribuidas.•Estas VA son normalizadas como sigue:

1 1 2Yi X i N , 1, 2,...,

[ ] 0

i XX

i

Yi X i N

E Y

•El teorema de Limite central establece que la distribución de probabilidad de VN se aproxima a

di t ib ió G ivar[ ] 11

i

N

N i

Y

V YN

una distribución Gaussiana Ɲ(0,1) , en el limite cuando N se aproxima al infinitoVariable aleatoria

1iN

•Tomar en cuenta que el teorema del limite central da solamente la forma de limitar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria normalizada VNcuando N se aproxima a infinito•Cuando N es finito, esto en ocasiones consigue que el limite gaussiano de una relativamente pobre aproximación para la distribución real de VN a pesar d N d b t t d


de que N puede ser bastante grande.

Propiedades de un procesoPropiedades de un proceso Gaussiano1. Si un proceso aleatorio X(t) es aplicado a un filtro lineal estable,

entonces el proceso aleatorio Y(t) desarrollado en la salida delentonces el proceso aleatorio Y(t) desarrollado en la salida delfiltro también es Gaussiano

2. Considere el set de variables aleatorias o muestras X(t1), X(t2), …,X(tn), obtenidas observando el proceso aleatorio X(t) en lostiempos t1,t2,…,tn. Si el proceso X(t) es Gaussiano, entonces estep , , , p ( ) ,set de variables aleatorias es conjuntamente Gaussiano paracualquier n, con sus n densidades de probabilidad conjunta siendocompletamente determinada por especificar el conjunto de medias:completamente determinada por especificar el conjunto de medias:

[ ( )], 1, 2,...,X iE X t i n


( ) ( )( , ) [( ( ) )( ( ) )]k iX k i k X t i X tC t t E X t X t

Propiedades de un procesoPropiedades de un proceso Gaussiano

Extendiendo la propiedad a dos o mas procesos aleatorios: Considere lasvariables aleatorias X(t1), X(t2),…,X(tn), Y(u1), Y(u2), …,Y(um) obtenidasobservando los procesos aleatorios X(t) y Y(t) en los tiempos {ti i=1 2 n} yobservando los procesos aleatorios X(t) y Y(t) en los tiempos {ti,i=1,2,..,n} y{uk, k=1,2,…,m} , respectivamente.Se dice que los procesos X(t) y Y(t) son conjuntamente Gaussianos si esteset de variables aleatorias es conjuntamente Gaussiano para cualquier n yset de variables aleatorias es conjuntamente Gaussiano para cualquier n ym.

[( ( ) )( ( ) )] ( )E X t Y t R t u

3. Si un proceso Gaussiano es estacionario, entonces el proceso

( ) ( ) ( ) ( )[( ( ) )( ( ) )] ( , )i k i ki X t k Y t XY i k X t Y uE X t Y t R t u

es también estrictamente estacionario


Propiedades de un procesoPropiedades de un proceso Gaussiano4. Si el conjunto de variables aleatorias X(t1),X(t2),...,X(tn) obtenidas

al muestrear un proceso Gaussiano en los instantes t1 t2 tn estánal muestrear un proceso Gaussiano en los instantes t1,t2,...,tn estánincorreladas, esto es:

[( ( ) )( ( ) )] 0E X X k( ) ( )[( ( ) )( ( ) )] 0,k ik X t i X tE X t X t i k

entonces estas variables aleatorias son estadísticamenteindependientes, y su función de distribución de probabilidad conjuntapuede expresarse como el producto de las funciones variablesp p paleatorias de distribución de probabilidad de las individuales en elconjunto.


Ruido El término ruido es usado habitualmente para designar señales no deseadas que

tienden a perturbar transmisión y procesamiento de las señales en sistemas dei i b l l ti t lcomunicaciones, y sobre las cuales no se tiene control.

En la practicas existen muchas potenciales fuentes de ruido en los sistemas dei i t f t dcomunicaciones, estas fuentes pueden ser

Externas al sistema por ej: ruido atmosférico, ruido galáctico, ruido hecho por elhombre

Interna al sistema: estos surgen de fluctuaciones espontaneas de corriente o Interna al sistema: estos surgen de fluctuaciones espontaneas de corriente ovoltaje en circuitos eléctricos Estos representan una limitación básica en la transmisión y detección de

señales : los dos ejemplos mas comunes de fluctuaciones espontaneas enseñales : los dos ejemplos mas comunes de fluctuaciones espontaneas encircuitos eléctricos son: shot noise y thermal noise (ruido de disparo y ruidotérmico)


Ruido de disparoRuido de disparo

•Se origina en dispositivos electrónicos como diodos y transistoresdebido a la naturaliza discreta del flujo de corriente en estosdispositivo.p

•Si los electrones se emiten en instantes aleatorios k, la corrientepuede modelarse como una suma infinita de pulsos de corriente. Elpuede modelarse como una suma infinita de pulsos de corriente. Elproceso X(t) resultante es estacionario y se denomina ruido impulsivo.

•Suponga que en un foto detector un pulso de corriente es generado•Suponga que en un foto detector un pulso de corriente es generadocada vez que un electrón es emitido por el cátodo debido a la luzincidente desde la fuente con una intensidad constante.L l t itid ti l t i d t d•Los electrones son emitidos en tiempos aleatorios denotados por k,

donde -<k<.•Se asume que esta emisión de electrones se lleva a cabo durante largo


tiempo.

Ruido de disparo. 2Ruido de disparo. 2•Así, la corriente total que fluye a través del foto detector puede sermodelada como una suma infinita de pulsos de corriente:modelada como una suma infinita de pulsos de corriente:

( ) ( )kX t h t

•Donde h(t- k) es el pulso de corrientegenerado en el tiempo k . Entonces elproceso X(t) es un proceso estacionario( ) ( )k

k proceso X(t) es un proceso estacionario

llamado ruido de disparo

[ ]E V l di d l ú d l t0[ ]E v t •Valor medio del número de electrones, v

emitido entre los tiempos t y t+t0. Lvelocidad del proceso

0( ) ( )v N t t N t •N(t) número de electrones emitido en elintervalo de [0,t]. Número total deelectrones emitidos en el intervalo [t,t+t0][ , ]

00( )( ) , 0,1,...!

kttP v k e k

k

•La probabilidad de que k electronessean emitidos en el intervalo [t,t+t0]sigue una distribución de Poisson con


!k sigue una distribución de Poisson, conmedia t0

Ruido de disparo. 3

•La media y la autocovarianza del proceso de ruido de disparoX(t) l i d t d l

( )X h t dt

X(t) para el primer y segundo momento del proceso:

( ) ( ) ( )XC h t h t dt

2 ( ), ( )

X

X

AT

A T TC

( )0 , X T


Ruido térmico

Es el nombre dado al ruido eléctrico que proviene del movimiento de electrones en un conductor.

El valor medio cuadrado de la tensión del ruido térmicoque aparece en los terminales de una resistencia medidoque aparece en los terminales de una resistencia medidoen un ancho de banda de ∆f Hz está dado por:

2 22 2[ ] 4 TNE V kTR f volts Donde k es la constante de Boltzman (1.38x10-23 J/K)T l t t b l t K


T la temperatura absoluta en KR la resistencia en Ohm

Ruido BlancoRuido Blanco•El estudio de los sistemas de telecomunicaciones es habitualmente basadoen una forma idealizada de ruido llamada ruido blanco•La densidad espectral de potencia es independiente de la frecuencia deoperación•El adjetivo blanco es usado en el sentido la luz blanca contiene igual cantidadde todas las frecuencias dentro de la banda visible de radiaciónelectromagnética•La densidad espectral de potencia es expresada de la siguiente manera:

0( )2W

NS f

2•Las dimensiones No estan en W/Hz•El parametero No es usaulmente referenciado a la entrada del receptor decomunicaciones y es expresado como:

D d k l t t d B lt T l t t d id

comunicaciones y es expresado como:

0 eN kT


•Donde k es la constante de Boltzmann y Te es la temperatura de ruidoequivalente del receptor.

Ruido BlancoRuido Blanco•La temperatura de ruido equivalente de una señal es definida como latemperatura en que un resistor con ruido tiene que ser mantenido tal que portemperatura en que un resistor con ruido tiene que ser mantenido tal que, porconecta el resistor a la entrada de una versión sin ruido del sistema, esteproduzca la misma potencia de ruido disponible en la salida del sistemacomo la producida por todas las fuentes de ruido en el sistema actualcomo la producida por todas las fuentes de ruido en el sistema actual.

•La característica importante de la temperatura de ruido equivalente es queeste depende solo de los parámetros del sistemaeste depende solo de los parámetros del sistema.

•Puesto que la función autocorrelación es la inversa de la transformada deFourier de la densidad de potencia espectral, entonces para el ruido blancop p , p

0( ) ( )WN

R ( ) ( )2W


Efectos de ruido en sistemas de modulación analógica lineal.

Relación de señal a ruido (SNR) para Relación de señal a ruido (SNR) para DSB-SC, SSB, AM con detección de producto y con detección de envolventeproducto y con detección de envolvente.


Ruido en sistemas deRuido en sistemas de modulación

•Para estudiar el efectos de ruido del canal en la recepción de ondasmoduladas son formulados dos modelos:moduladas son formulados dos modelos:

•Modelo del canal: que asume un canal de comunicación que noestá distorsionado pero si perturbado por ruido Gaussiano blancoditi (AWGN)aditivo (AWGN)

•Modelo del receptor: que asume un receptor que consiste de unfiltro ideal pasa banda seguido por un demodulador. El filtro esusado para minimizar los efectos del canal de ruido.


Modelo del receptor con ruido

•w(t) denota el canal con ruido•w(t) denota el canal con ruido•La señal recibida es por lo tanto la suma de s(t) mas w(t)•El filtro en el modelo de la Fig representa la acción de filtrado combinado delos amplificadores sintonizados usados en el receptor para amplificar la señallos amplificadores sintonizados usados en el receptor para amplificar la señalprevio a la entrada del demodulador•El ancho de banda de este filtro es suficiente para pasar la señal s(t) sindistorsión.


Relación señal a ruidoRelación señal a ruido •Si la densidad espectral de potencia de el ruido w(t) es denotada porNo/2, definida para frecuencias positivas y negativas•No es la potencia de ruido promedio por unidad de ancho ed bandamedida en la parte delantera del receptorp p•Asumiendo que el filtro pasabanda del modelo de receptor es idealteniendo un ancho de banda igual al ancho de banda BT de la señalmodulada s(t) y una frecuencia de banda media igual a la portadora fcmodulada s(t) y una frecuencia de banda media igual a la portadora fc•Esta última asunción es valida para DSB-SC, AM, FM, SSB.•Tomando la frecuencia de banda media del filtro como la fc, ladensidad espectral de potencia SN(f) del ruido n(t) resultante de pasardensidad espectral de potencia SN(f) del ruido n(t) resultante de pasarel ruido w(t) a través del filtro


Relación señal a ruido •Típicamente la frecuencia de portadora fc es grande comparada conBT, por lo tanto el ruido filtrado n(t) puede ser tratado como un ruidode banda angosta, representado de forma canónica de la sig manera:g p g

( ) ( ) cos(2 ) sin(2 )I c Q cn t n t f t n f t •Donde ni(t) es la componente en fase y nq es la componente encuadratura del ruido. Ambas medidas con respecto a la ondaportadora Accos(2pifct).p ( p )•La señal filtrada x(t) disponible para demodular:

( ) ( ) ( )x t s t n t ( ) ( ) ( )


Relación señal a ruidoRelación señal a ruido•La relación señal a ruido (SNR)I en la entrada del

demodulador, es la relación entre la potencia promedio la

del señal del modulador s(t) y la potencia promedio deldel señal del modulador s(t) y la potencia promedio del

ruido filtrado n(t)

•Una medida mas usada para medir el rendimiento del

ruido, es la relación señal a ruido en la salida, (SNR)O, , ( )O

•Definida como la relación entre la potencia promedio de

l ñ l j d d l d l t i di d lla señal mensaje demodulada y la potencia promedio del

ruido, ambas medidas en la salida del receptor.


Relación señal a ruidoTambién se define la relación señal a ruido del canal, SNRc, como larelación entre la potencia promedio de la señal modulada y lapotencia promedio del canal de ruido en el ancho de banda delp pmensaje. Ambas medidas en la entrada del receptor.

•Para comparar diferentes sistemas de modulación, el desempeño delreceptor es normalizado dividiendo la SNRo para SNRc. Definiendo asíp pla Figura de merito.

Figure of merit OSNR


gCSNR

Ruido en receptores linealesRuido en receptores lineales usando detección coherente

( ) cos(2 ) ( )

( )

C cw

s t CA f t m t

P S f df

Sm es la densidad espectral de potencia W es el ancho de banda del mensaje

2 2

( )

( )

Mw

cC DSB

P S f df

C A PSNR

j

C constante que asegura que esta relación es adimensional

,0

( )2C DSB WN


Ruido en receptores AM usandoRuido en receptores AM usando detección de envolventeEn una señal AM completa las bandas laterales y la portadora son transmitidas

•La potencia promedio de la componente 2•La potencia promedio de la componente de portadora de la señal AM

2 / 2CA•La potencia promedio de la componente•La potencia promedio de la componente que contiene la información ( )cos(2 )C a CA k m t f t

2 2 / 2C aA k PDonde P es la potencia promedio de la señal mensaje m(t)señal mensaje m(t)

•La potencia de la señal AP completa es 2 21 / 2C aA k P


Ruido en receptores AM usandoRuido en receptores AM usando detección de envolvente

•Como para un sistema DSB-SC la potencia promedio del ruido en el ancho de banda del mensaje es WNo. La SNR del canal para AM es

2 2

,0

12

C a

C AM

A k PSNR

WN

0

•Para evaluar la SNRo, se representa el ruido filtrado n(t) en términos de sus componentes de fase cuadratura. Quitando la componente DC se tendría en la salida

2 2

,02

C aO AM

A k PSNRWN

E t l fi d é it l d l ió d lit d

2,

2O AM a

SNR k P

•Entonces la figura de mérito para la modulación de amplitud es:


2,

1AM aC AMSNR k P

Ruido en receptores FM

2 2

3,0

32

C fO FM

A k PSNR

N W

0

2

,02

CC FM

ASNRWN

W es el ancho de banda del mensajeAc amplitud de la portadorafc frecuencia de la portadora

2,

2

3 fO FMSNR k P

02WN pkf sensibilidad de frecuenciam(t) señal mensajeP potencia promedio


2, FMC FM

SNR W

EjemploConsidere una señal sinusoidal con frecuencia fm como señal modulante y

f

•Considere una señal sinusoidal con frecuencia fm como señal modulante yasuma una desviación de frecuencia pico f . Encuentre SNRo y SNRo/SNRc.La señal modulada FM es:

( ) cos 2 sin 2c c mm

fs t A f t f tf

E t ibi d ti•Entonces reescribiendo se tiene que:

02 ( ) sin(2 )

t

f mfk m d f t

f

0mf

•Derivando a ambos lados con respecto al tiempo y resolviendo con respecto a m(t)

f( ) cos(2 )mf

fm t f tk


•Por lo tanto la potencia promedio de la señal mensaje m(t), desarrollada para una carga de 1 ohmpara una carga de 1 ohm

2

22 f

fP

k

f

•Sustituyendo se tiene

22 2 23 3CA f A 3,

0 0

3 34 4

C CO FM

A f ASNRN W N W

f

, 23 3O FMSNR f

W


,2 2FMC FM

SNR W

gaussiano y ruido comunicacion analogicas

Documents