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I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Física Mecánica Félix Rodríguez - Carlos Bastidas - 10°

Guía 11 – Energía

ENERGÍA La energía siempre ha estado estrechamente ligada con las actividades cotidianas del ser humano, toda vez que el hombre primitivo realizaba sus tareas utilizando primero la energía de su cuerpo. Posteriormente, aprendió a domesticar animales y a utilizar su energía para hacer más fáciles sus actividades. Más tarde, descubrió otras fuentes de energía y aprendió a usar la del viento para la propulsión de sus barcos de vela; así como a aprovechar la energía de las corrientes del agua al construir en los ríos, molinos de granos.

TIPOS DE ENERGÍA Existen varios tipos de energía como son: Energía calorífica Se produce por la combustión de carbón, madera, petróleo, gas natural, gasolina y otros combustibles. Energía eléctrica Se produce cuando a través de un material conductor se logra un movimiento o flujo de electrones. La corriente eléctrica genera luz, calor y magnetismo. Energía química Se produce cuando las sustancias reaccionan entre sí alterando su constitución íntima, como es el caso de la energía obtenida en los explosivos o en las pilas eléctricas. Energía hidráulica Se aprovecha cuando la corriente de agua mueve un molino o la caída de agua de una presa mueve una turbina.

Energía eólica Es la producida por el movimiento del aire y se aprovecha en los molinos de viento o en los aerogeneradores de alta potencia para producir electricidad. Energía radiante Es la energía producida por ondas electromagnéticas que se caracterizan por su propagación en el vacío a una velocidad de 300000 km/s, tal es el caso de las de radio, los rayos gamma, rayos X, ultravioleta, infrarrojos o luminosos. Energía nuclear Es la originada por la energía que mantiene unidas a las partículas en el núcleo de los átomos, misma que es liberada en forma de energía calorífica y radiante cuando se produce una reacción de fusión, caracterizada por la unión de dos núcleos ligeros, para formar uno mayor. O bien, cuando se produce una reacción de fisión al desintegrarse el núcleo de un elemento de peso atómico elevado, como es el caso del uranio, liberándose gran cantidad de energía que se utiliza para calentar agua. Energía mecánica Es la que tienen los cuerpos cuando son capaces de interaccionar con el sistema del cual forman parte, para realizar un trabajo. Se divide en energía cinética y potencial.

DEFINICIÓN DE ENERGÍA

Encontrar una definición precisa para la energía no es algo sencillo, sin embargo podemos decir:

La energía es una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que la energía se manifiesta de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, ya que cuando hablamos de producir energía, en realidad nos referimos a su transformación de una energía a otra, ya que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpo tiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cual forma parte, para realizar un trabajo. La unidad de energía en el Sistema Internacional es el joule (J).

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Nota: Un sistema físico cualquiera está constituido por una combinación de cuerpos u objetos que forman un todo homogéneo. Un sistema físico contribuye a la observación, el estudio, la investigación y de ser posible, la manipulación de las distintas variables involucradas en el mismo.

En virtud de la importancia que representa la energía potencial y la energía cinética en muchos acontecimientos cotidianos, las estudiaremos en detalle a continuación.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL (EPG) Cuando levantamos un cuerpo cualquiera, a una cierta altura (h), debemos efectuar un trabajo igual al producto de la fuerza aplicada por la altura a la que fue desplazado. Este trabajo se convierte en energía potencial gravitacional, llamada así pues su origen se debe a la atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre el cuerpo. Así pues, debido a la atracción de la Tierra, si el cuerpo se deja caer, será capaz de realizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el que caiga, ya que puede comprimir un resorte, perforar el piso e introducir pilotes hechos de hormigón armado en terrenos frágiles.

Como el trabajo (T) realizado para elevar un cuerpo es igual a la energía potencial gravitacional (EPG), tenemos:

La fuerza requerida para elevar un cuerpo a una cierta altura es igual a su peso, por tanto:

Donde la energía potencial gravitacional es igual a:

Las unidades de EPG en el Sistema Internacional son:

La energía potencial gravitacional de un cuerpo localizado a una cierta altura depende del nivel tomado como referencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg de masa, como el de la figura 1 está sobre una mesa cuya altura es de 1 m y se levanta a una altura de 0.6 m de la mesa, el bloque tendrá una energía potencial gravitacional respecto a la mesa igual a:

Fig. 1 La energía potencial gravitacional de un cuerpo es mayor a medida que aumenta su altura de acuerdo con el nivel considerado como referencia.

Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 m, por tanto, considerando este nivel de referencia su energía potencial gravitacional es de:

¿Puede ser la energía potencial gravitacional de valor negativo? La respuesta es sí. Veamos:

En la figura 2 se ve un cuerpo suspendido a una cierta altura respecto al suelo, el cual se toma como nivel de referencia, y se observa también otro cuerpo pero en un lugar por debajo del suelo. El cuerpo elevado a una altura h del nivel de referencia tiene una energía potencial gravitacional positiva, pues al regresar al suelo será capaz de realizar un trabajo equivalente a su energía potencial gravitacional: . Pero el cuerpo localizado a una altura h abajo del nivel de referencia tiene una energía potencial gravitacional negativa, pues al bajar a ese punto cede energía y

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para subirlo de nuevo al nivel del suelo se debe realizar un trabajo considerado negativo cuyo valor será igual a:

Un cuerpo exactamente colocado en el suelo, considerado como nivel de referencia, no tiene ninguna altura y por tanto su valor de EPG será igual a cero.

Fig. 2 Sí el nivel del suelo se considera como nivel cero de energía potencial gravitacional, un cuerpo que se localice abajo de dicho nivel

tendrá una energía potencial gravitacional negativa

f

Fig. 3 Al ir bajando la pesa, transforma su energía potencial

gravitacional en trabajo al elevar el otro cuerpo

En la figura 3 vemos cómo por medio de una polea fija podemos subir una cubeta con agua, colocando una pesa en el otro extremo de la cuerda. Al bajar la pesa, se transforma su energía gravitacional en trabajo, pues logra subir a la cubeta, así, ésta recibe energía potencial gravitacional de la pesa, conservándose la energía si la fricción en la polea es despreciable.

Energía potencial elástica Por el estado en que se encuentran un resorte comprimido o estirado, una liga tensa o los muelles de espiral, como la cuerda enrollada de un reloj, tienen la capacidad de realizar trabajo, es decir, de desplazar algún cuerpo por la acción de una fuerza. Debido a ello tienen energía potencial elástica.

Energía cinética Todo cuerpo en movimiento tiene energía cinética. Por ejemplo, una persona cuando camina o corre, un avión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para su despegue, una corriente de agua, un disco que gira, la rueda de la fortuna, un pájaro al volar, una canica al rodar por el suelo, una manzana que cae de un árbol y, en fin, todo aquello que está en movimiento tiene energía cinética.

Seguramente habrá observado cómo unos cuerpos tienen movimiento de traslación y otros de rotación, o una combinación de ambos. Decimos que un cuerpo presenta un movimiento de traslación cuando todas sus partes siguen una dirección constante, por ejemplo un avión en vuelo, o una piedra cayendo al suelo desde la cima de un precipicio. Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando lo lleva a cabo alrededor de una recta llamada eje de rotación, cuyos puntos permanecen inmóviles, por ejemplo una rueda de la fortuna, un disco compacto, un engrane o una polea fija. Hay cuerpos con movimiento de traslación y rotación, tal es el caso de la Tierra y también el de un yoyo.

Energía cinética traslacional (ECT) Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado transforma su energía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Por ejemplo, para construir la Torre Latinoamericana, edificio ubicado en el centro de la ciudad de México, fue necesario reforzar el suelo blando de esa área, mediante

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pilotes, los cuales fueron introducidos o clavados por medio de un matinete, elaborado básicamente por un gran mazo dentro de guías para mantenerlo correctamente en la dirección del blanco u objetivo.

Para que un cuerpo adquiera energía cinética traslacional, es necesario realizar un trabajo sobre él. De donde:

De la igualdad entre la energía cinética traslacional y el trabajo, deducimos la expresión matemática de la primera:

De la Segunda Ley de Newton tenemos que:

Sustituyendo la ecuación 2 en 1 tenemos:

De acuerdo con la deducción de las ecuaciones utilizadas en el MRUA, recordemos que cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la distancia la calculamos con la expresión:

Sustituyendo la ecuación 4 en 3:

También sabemos que cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la velocidad que adquiere al cabo de cierto tiempo es:

Si elevamos al cuadrado la ecuación 6 tenemos:

Por lo que al sustituir la ecuación 7 en 5 nos queda:

De donde podemos concluir que la energía cinética traslacional de un cuerpo es igual a un medio del producto de su masa por el cuadrado de la velocidad que lleva.

La unidad usada en el Sistema Internacional para la energía, la podemos encontrar sustituyendo en la ecuación de la energía cinética traslacional la unidad de masa (kg) y la unidad de velocidad (m/s) elevada al cuadrado:

Energía cinética rotacional (ECR) La energía rotacional la presentan los cuerpos cuando giran. Antes de soltar una canica, ésta tiene una energía potencial gravitacional igual a su peso por su altura, pero al ir cayendo se va transformando su energía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Pero además, debido a que existe fricción o rozamiento entre la canica y la superficie del plano inclinado, la canica empieza a girar adquiriendo también, energía cinética rotacional. Si no existiera fricción entre la superficie y la canica, ésta no giraría y únicamente tendría energía cinética traslacional, al deslizarse por el plano inclinado. ¿Se da cuenta de la importancia que representa la fuerza de fricción cuando una superficie se desplaza sobre otra? ¿Qué superficie propondría para el plano inclinado y lograr que la canica reduzca su fricción de tal manera que se deslice únicamente y no gire?

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y SU DEGRADACIÓN Para comprender por qué la energía no se crea ni se destruye, analice el siguiente hecho: con un tubo y un resorte se puede construir un disparador de esferas metálicas. Para comprimir el resorte se debe realizar un trabajo, el cual se convertirá en energía potencial elástica (EPE) del resorte. Al apuntar en dirección vertical hacia arriba y accionar el disparador, la esfera saldrá disparada con una energía cinética traslacional (ECT) igual al trabajo desarrollado por el resorte. Al subir la esfera, realizará un trabajo contra la

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fuerza de gravedad y tanto su velocidad como su ETC disminuirán, pero al mismo tiempo su energía potencial gravitacional (EPG) irá en aumento al elevar su altura con respecto al suelo. Cuando la esfera logra su altura máxima, su velocidad en ese instante es cero y toda su ECT es transformada a EPG. Al iniciar su descenso, la fuerza de gravedad realiza un trabajo sobre la esfera, provocando un incremento en su velocidad y en su ECT, mientras su EPG disminuye.

No obstante, la energía mecánica total de la esfera, es decir:

, en cualquier instante de su trayectoria, es la misma. Esto se debe a la interacción entre la esfera y la Tierra por la fuerza gravitacional, lo cual constituye un sistema conservativo, pues cualquier trabajo realizado por un cuerpo en contra de la fuerza de gravedad de la Tierra se recupera íntegramente cuando el cuerpo desciende. Por tal motivo, la fuerza de gravedad es una fuerza conservativa.

Cuando la esfera está a punto de chocar contra el resorte como consecuencia de su caída libre, tendrá en ese instante la misma velocidad y energía con la que fue disparada. Su energía cinética traslacional (ECT) se transformará en trabajo al chocar con el resorte comprimiéndolo nuevamente.

Si se repite el experimento, pero ahora la esfera en lugar de caer sobre el resorte, cae sobre la superficie de la Tierra, la energía de la esfera se transformará en trabajo realizado al incrustarse y hacer un hoyo en el suelo.

Finalmente, si se vuelve a disparar la esfera y al caer choca contra una superficie metálica resistente al impacto, ¿qué sucederá con la ECT de la esfera? Al chocar, la ECT se transformará en sonido y energía calorífica, aumentando la temperatura de la superficie metálica y de la esfera.

Cuando la energía se convierte en calor y después ya no es posible volverla a transformar en otra clase de energía, decimos que se ha degradado.

Con base en lo expuesto podemos concluir enunciando la Ley de la Conservación de la Energía en los siguientes términos:

La energía existente en el Universo es una cantidad constante pues no se crea, ni se destruye, únicamente se transforma.

POTENCIA MECÁNICA La potencia mecánica se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. Se mide en watts (W) y se dice que existe una potencia mecánica de un watt cuando se realiza un trabajo de un joule en un segundo:

Por ejemplo, mientras una persona sube por una escalera un bulto de cemento de 50 kg a un departamento que se encuentra en reparación en el quinto piso de un edificio, otra, utilizando una polea, sube otro bulto de 50 kg hasta el mismo piso en un menor tiempo, ¿quién realiza mayor trabajo? Puesto que cada quien elevó un bulto de 50 kg a la misma altura el trabajo realizado es el mismo, sólo que uno lo efectuó en menor tiempo.

El hombre siempre ha buscado realizar su trabajo en el menor tiempo posible, de ahí la necesidad de introducir un nuevo concepto que señale claramente con qué rapidez se hace un trabajo, este concepto recibe el nombre de potencia. Por definición: Potencia mecánica es la rapidez con que se realiza un trabajo. Su expresión matemática es:

donde: P = potencia en J/s = watts (W) T = trabajo realizado en joules (J) t = tiempo en que se realiza el trabajo en segundos (s)

Como se observa, la unidad usada en el Sistema Internacional para medir potencia es el watt y significa un trabajo de un joule realizado en un segundo. (En honor al escocés James Watt, 1736-1819, famoso por la construcción de una máquina de vapor.)

No obstante, todavía se emplean las siguientes unidades prácticas: el caballo de fuerza (hp) y el caballo de vapor (cv)

Como el trabajo es igual a:

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y como la potencia es:

pero

, entonces:

Esta expresión permite calcular la potencia si se conoce la velocidad que adquiere el cuerpo, misma que tendrá una dirección y un sentido igual a la de la fuerza que recibe.

Para conocer la eficiencia ( ) o rendimiento de una máquina que produce trabajo, tenemos la expresión:

E J E M P L O 1

Calcular en joules la energía cinética traslacional que lleva una bala de 8 g si su velocidad es de 400 m/s. Datos Fórmula

Sustitución y resultado

E J E M P L O 2

¿Cuál es la energía cinética traslacional de un balón de futbol si pesa 4.5 N y lleva una velocidad de 15 m/s? Datos Fórmula

Sustitución y resultado

E J E M P L O 3

Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/s y su energía cinética traslacional, de 1000 J. Datos Fórmula

Sustitución y resultado

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E J E M P L O 4

Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3 kg, si su energía cinética traslacional es de 200 J. Datos Fórmula

√

Sustitución y resultado

√

E J E M P L O 5

Calcular la energía potencial gravitacional de una piedra de 2.5 kg si se eleva a una altura de 2 m. Datos Fórmula

Sustitución y resultado

E J E M P L O 6

¿A qué altura se debe encontrar una silla de 5 kg para que tenga una energía potencial gravitacional de 90 J? Datos Fórmula

Sustitución y resultado

E J E M P L O 7

Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 m. Calcular: a. ¿Cuál es su energía potencial gravitacional? b. ¿Cuánto vale su energía cinética traslacional en el preciso instante en

que el cuerpo está a punto de chocar contra el suelo, al caer libremente? Datos Fórmula

√

Sustitución y resultado

Para calcular la energía cinética traslacional primero determinamos la velocidad que llevará antes de chocar contra el suelo:

√ √

8

Como podemos observar, los valores de energía potencial gravitacional y cinética traslacional son los mismos, pues al caer el cuerpo toda su energía potencial se transforma en energía cinética.

E J E M P L O 8

A un bloque de 3 kg se le aplica una fuerza constante de 20 N, formando un ángulo de 30° respecto a la horizontal, como se ve en la figura. Si a partir del reposo se ha desplazado 4 m, ¿qué velocidad llevará en ese instante? Considere nulo el rozamiento.

Datos

Solución Como el trabajo que realiza la fuerza es igual a la energía cinética traslacional que adquiere el bloque tenemos:

√

√

√

E J E M P L O 9

Un automóvil lleva una energía cinética traslacional de 3 x 105 J y se detiene después de recorrer 30 m. Calcular la fuerza media que ha actuado para detenerlo. Datos Fórmula

Solución Como la energía cinética traslacional perdida por el automóvil es igual al trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento, tenemos que:

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E J E M P L O 1 0

Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 0.4 kg con una velocidad de 30 m/s. Calcular: a. El valor inicial de la energía cinética traslacional y potencial gravitacional. b. Las energías cinética traslacional y potencial gravitacional a 15 m de

altura. c. Demuestre que la energía mecánica se conserva.

Datos Fórmula

√

Solución

b. Para calcular la energía cinética traslacional cuando ha ascendido 15 m, debemos calcular la velocidad que lleva de acuerdo con la fórmula de velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: va de acuerdo con la fórmula de velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

√

√

√

c. Como observamos, la energía mecánica total al inicio del movimiento era igual a la energía cinética traslacional inicial, o sea, 180 J, y al ascender 15 m ha perdido energía cinética traslacional pero ha ganado energía potencial gravitacional. La energía mecánica a los 15 m es:

Misma energía con la que partió.

E J E M P L O 1 1

Un automóvil cuyo peso es de 19600 N baja por una pendiente que forma un ángulo de 200 con la horizontal, como se ve en la figura, a una velocidad de 60 km/h. El conductor aplica los frenos y logra detener el automóvil después de que recorrió 40 metros. ¿Qué fuerza media realizaron los frenos para detenerla?

Solución Como el automóvil tiene energía potencial gravitacional y energía cinética traslacional debido a su altura y velocidad, respectivamente, cuando éste se detiene ambas energías se han transformado en trabajo realizado contra la fuerza de fricción que lo detiene, donde:

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Sustituyendo los valores de EPGperdida y ECTperdida en la ecuación 1, tenemos que el trabajo realizado contra la fuerza de fricción es igual a:

Como , la fuerza media que ejercen los frenos es igual a:

E J E M P L O 1 2

Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 m en un tiempo de 2 segundos, si cada bulto tiene una masa de 50 kg. Solución Para elevar los 30 bultos a velocidad constante, debe desarrollarse una fuerza igual a su peso, donde:

T R A B A J O E N C L A S E

1. Determinar la energía cinética traslacional de una pelota de beisbol cuya masa es 100 g y lleva una velocidad de 30 m/s.

2. Un cuerpo cuyo peso es de 19.6 N lleva una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál

es su energía cinética traslacional? 3. Determine la masa de un cuerpo cuya energía cinética traslacional es

400 J y lleva una velocidad de 30 m/s. 4. Calcular la velocidad de un cuerpo cuya masa es de 4 kg y tiene una

energía cinética traslacional de 100 J. 5. Un libro de 1.5 kg se eleva a una altura de 1.3 m. ¿Cuál es su energía

potencial gravitacional? 6. Calcular la altura a la que debe estar una persona, cuya masa es de 60

kg, para que su energía potencial gravitacional sea de 5000 J. 7. Una viga de 980 N se eleva a una altura de 20 m. Calcular: ¿Qué

trabajo se realiza para elevar la viga? ¿Cuál es su energía potencial gravitacional a los 20m de altura? ¿Cuál sería su energía cinética traslacional al chocar contra el suelo si se dejara caer libremente?

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8. Se aplica sobre un cuerpo de 10 kg una fuerza constante de 50 N con un ángulo de 25°, como se ve en la figura. Si a partir del reposo se ha desplazado 6 m, ¿cuál será su velocidad en ese instante? Considere nula la fricción.

9. Una camioneta lleva una energía cinética traslacional de 4 x 104 J y se

detiene después de recorrer 20 m. Calcular la fuerza media que ha actuado para detenerla.

10. Un cuerpo de 0.2 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una

velocidad de 25 m/s. Calcular: a. ¿Cuánto vale su energía cinética traslacional y su energía potencial

gravitacional al inicio de su ascenso? b. ¿Cuánto vale su energía cinética traslacional y potencial

gravitacional cuando ha subido 10 m? 11. Un bloque se desliza sobre el suelo con una velocidad inicial de 15 m/s.

Si el coeficiente de fricción dinámico entre el bloque y el suelo es de 0.2. Calcular: a. ¿Cuál es la distancia que recorre el bloque antes de detenerse? b. ¿En qué tiempo se detiene?

12. Un automóvil cuyo peso es de 17640 N, desciende por una pendiente

que forma un ángulo de 25º respecto a la horizontal, como se ve en la

figura, a una velocidad de 10 m/s. En ese instante el conductor pisa el freno y detiene el automóvil a una distancia de 20 m. ¿Qué fuerza media realizaron los frenos para detenerlo?

13. Determinar en watts y en caballos de fuerza, la potencia que necesita un

motor eléctrico para poder elevar una carga de 20 x 103 N a una altura de 30 m en un tiempo de 15 segundos.

14. Un motor cuya potencia es de 70 hp eleva una carga de 6 x 103 N a una

altura de 60 m. ¿En qué tiempo la sube? 15. Calcular la velocidad con la que un motor de 40 hp eleva una carga de

15000 N.

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T R A B A J O E N C A S A

1. ¿Cuál es la energía cinética de una bala de 6 g en el instante en que su velocidad es de 190 m/s?

2. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética cuando una pelota de 50 g

golpea el pavimento a una velocidad de 16 m/s y rebota a la velocidad de 10 m/s?

3. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 2400 lb cuando circula a

55 mi/h? 4. Un automóvil de 2400 lb incrementa su velocidad de 30 mi/h a 60 mi/h.

¿Qué trabajo resultante se requirió para lograrlo? ¿Cuál es el trabajo equivalente en joules?

5. Un martillo de 12 lb que se mueve a 80 ft/s golpea la cabeza de un clavo

y lo hunde en la pared hasta una profundidad de

in. ¿Cuál fue la fuerza

de parada promedio? 6. Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a 2 m de distancia por encima de

un pozo de inspección. El fondo del pozo está 3 m por debajo del nivel de la calle. En relación con la calle, ¿cuál es la energía potencial del ladrillo en cada uno de esos lugares? ¿Cuál es el cambio en términos de energía potencial?

7. ¿Qué fuerza promedio se necesita para incrementar la velocidad de un objeto de 2 kg desde 5 m/s hasta 12 m/s en una distancia de 8 m?

8. Un trineo de 20 kg es empujado en una pendiente de 34° hasta una

altura vertical de 140 m. Una fuerza de fricción constante de 50 N actúa durante toda esa distancia. ¿Qué trabajo externo se requirió? ¿Cuál fue el cambio en la energía potencial?

BIBLIOGRAFÍA

Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II

Publicaciones Cultural, Física General

Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física

Editorial Voluntad Física Investiguemos

Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro Fisicanet

Ver FÍSICA OLIMPIADAS 11 (Editorial Voluntad) Ejercicios de página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios virtuales

PIME Editores, Física 1, Mecánica y Calorimetría

www.educaplus.org www. Ibercajalav.net/

Santillana, Física 1 Nueva edición.

Limusa Noriega Editores, Física Recreativa

Diseño_Lucho_Acevedo