SECRETARA DE EDUCACIN PBLICADIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN SUPERIOR TECNOLGICAINSTITUTO TECNOLGICO DE TUXTLA GUTIRREZ

INGENIERA ELECTRONICA

Materia: Anlisis Numrico

Trabajo a realizar:

Investigacin Unidad IV

Alumno:Lpez Ruiz Fredi Francisco Profesor:

Ing. Lpez Moreno Jos Luis

14 de Marzo de 2015

ndice

Minimos Cuadrados3Interpolacion de La Grange6

Mnimos Cuadrados

El Mtodo de Mnimos Cuadrados el cual nos permite aproximar una funcin a un conjunto de datos obtenidos de manera experimental. El mtodo fue desarrollado por Carl Friedrich Gauss cuando an era muy joven y aunque parece que fue publicado hasta el ao de 1809, ya en 1801 haba sido usado para describir la trayectoria del planeta Ceres.Este mtodo se usa en una gran variedad de disciplinas para crear modelos en base a conjuntos de datos recabados a partir de mediciones por ejemplo: en geologa se usa para modelar terrenos en base a las mediciones de latitud, longitud y altitud realizadas en distintos puntos, en ecologa se utiliza para modelar la produccin de nutrientes de una planta y en negocios, para modelar la fluctuacin estacional de las ventas de un producto.

Para comprender el mtodo, hace falta recordar algunos conceptos de algebra lineal los cuales listamos a continuacin:

Ecuacin matricial Ax=b Espacio Columna Longitud de un vector y distancia entre dos vectores Producto interno y Ortogonalidad Proyecciones y Descomposicin Ortogonal

Ecuacin matricialAx=bRecordemos que unsistema de ecuaciones linealesse puede ver como unaecuacin vectorialdonde los coeficientes del lado izquierdo de la ecuacin y las cantidades del lado derecho se consideran vectores columna y las incgnitas, los trminos escalares que al multiplicarlos por los vectores del lado izquierdo de la ecuacin permitan que el resultado de su suma sea igual al vector resultante. En otras palabras, se debe encontrar unacombinacin linealde los vectores de la izquierda que d como resultado el vector de la derecha.El sistema de ecuaciones se puede escribir en trminos de la multiplicacin de unamatrizApor unvector columnaxque d como resultado un vectorb(Ax=b). La matrizAcontiene coeficientes y el vectorxlas incgnitas que queremos encontrar para que al ser multiplicado por la matrizAnos d como resultado el vectorb.Espacio columna

Recordemos tambin, que laexpansin linealde un conjunto de vectores enRn {v1, v2,..., vn}ser siempre unsubespaciodeRn. Pues bien, las columnas de la matrizAestn formadas justamente por una serie de vectores columna cuya expansin lineal forma precisamente el espacio columna de la matrizA(ColA). Esto implica que el espacio columna est formado por todos los vectoresbpara los cuales la ecuacinAx=btiene solucin. En otras palabras, el vectorbdebe estar en el espacio columna deApara que alguna combinacin lineal deAcon pesos determinados porxlo pueda generar. Sibno est en el espacio columna el sistemaAx=bes inconsistente.

Longitud de un vector y distancia entre vectores

Lalongitudde un vector est dada por:

En realidad la longitud est definida en trminos del producto interno que se describe ms abajo del cual se deriva la frmula mostrada. Por ltimo, ladistanciaentre dos vectoresuyves simplemente la longitud del vectoruv, es decir:Producto Interno yOrtogonalidad

Elproducto internonos permite tener una medida de qu tan alineados en sus direcciones se encuentran dos vectores. La palabraortogonalen elalgebra linealindica perpendicularidad, es decir, el que dos vectoressean ortogonales quiere decir que estn apuntando a dos direcciones tales que forman un ngulo de 90 entre ellos. La manera paraverificar si dos vectores tienen unngulo de 90 grados es checando que el resultado de su producto interno sea 0.

La primera explicacin es que el producto internose puede definir en trminos del coseno del ngulo entre los dos vectores:

Si pudiramos fijar uno de ellos e ir rotando el otro, cuando estuvieran en un ngulo de 90 el producto dara cero debido al coseno:

La segunda toma otro enfoque e indica quedos vectoresuyvson perpendiculares nicamente si la distancia deu av es igual a la distancia deuav.

El mtodo de mnimos cuadrados sirve para interpolar valores, dicho en otras palabras, se usa para buscar valores desconocidos usando como referencia otras muestras del mismo evento.El mtodo consiste en acercar una lnea o una curva, segn se escoja, lo ms posible a los puntos determinados por las coordenadas [x, f (x), que normalmente corresponden a muestras de algn experimento.Cabe aclarar que este mtodo, aunque es sencillo de implantar no es del todo preciso, pero si proporciona una interpolacin aceptable.Como se coment previamente se puede usar una recta o una curva como base para calcular nuevos valores.

Interpolacin de LaGrange

Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):

Nuestro objetivo es encontrar una funcin polinmica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolacin.Vamos a ver una forma de la solucin que es el llamado polinomio de interpolacin de LaGrange. (LaGrange public su frmula en 1795 pero ya haba sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en 1783).La frmula general para el polinomio de interpolacin de LaGrange es

La frmula de interpolacin permite calcular de manera aproximada los valores de la funcin f(x), y consiste en sustituir la funcin f(x) a aproximar por otra funcin g(x) que pudiera convenir por razones de simplicidad, operatividad, etc... Se tratara de construir otra funcin g(x) con adecuados parmetros a:

De modo que se cumplan las condiciones de interpolacin prefijadas en un conjunto de puntos del dominio de la funcin f(x), que se denominan nodos de interpolacin. Estas condiciones consisten, en general, que coincidan los valores que presenta la funcin dada en los nodos de interpolacin con los valores que en dichos nodos presenta la funcin interpoladora:

O bien, por ejemplo, que coincidan en dichos nodos las derivadas de ambas funciones:

Siempre aparecer, obviamente, un trmino residual, en (x), como diferencia entre la funcin a interpolar y la funcin interpoladora: