dinmico de estructuras

Introduccin al clculo

Juan Miquel Canet Alex H. Barbat

CIMNE

Introduccin al clculo dinmico de estructuras

Introduccin al clculo dinmico de estructuras

Introduccin al clculo dinmico de estructuras

Juan Miquel Canet

Alex H. Barbat

Ediciones CIMNE

Introduccin al clculo dinmico de estructuras Juan Miquel Canet canet@cimne.upc.edu

Alex H. Barbat alex.barbat@upc.edu

Edicin digital. Octubre 2013

Los autores

Edita: Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera (CIMNE)

Gran Capitn s/n. 08034 Barcelona, Espaa

www.cimne.com

ISBN: 978-84-941004-4-4

Depsito legal: B-5459-2013

Queda rigurosamente prohibida la reproduccin total o parcial de esta publicacin en cualquier forma, ya sea mediante fotocopia, microfilm o cualquier procedimiento sin permiso de los autores

INDICE pag.

Captulo 1. Introduccin a la dinmica de estructuras 1 1.1 Introduccin 1 1.2 Definicin de la accin ssmica 2 1.2.1 Acciones dinmicas definidas de forma determinista 2 1.2.2 Acciones dinmicas definidas de forma estocstica 3 1.3 Estructuras y modelos estructurales 4 1.4 Mtodos de modelizacin dinmica 6 1.4.1 Discretizacin espacial de estructuras 6 1.4.2 Mtodo de las masas concentradas. Grados de libertad 7 1.4.3 Mtodo de los elementos finitos 10 1.5 Modelos dinmicos caractersticos 13 1.5.1 Modelos de un solo grado de libertad 13 1.5.2 Modelos con varios grados de libertad 14 1.6 Acciones de tipo dinmico 15 1.7 Principios usados en la formulacin de las ecuaciones del movimiento 17 1.7.1 Principio de DAlambert 17 1.7.2 Principio de los trabajos virtuales 17 1.7.3 Principio de Hamilton 17 1.8 Modelos con un solo grado de libertad 18 1.9 Modelos simples con varios grados de libertad 19 1.9.1 Edificios de cortante 19 1.9.2 Modelo general de prticos 22 1.9.3 Ecuacin general de la dinmica 24 1.10 Mtodos para solucionar el sistema de ecuaciones de movimiento 24Captulo 2 Resolucin de las ecuaciones de equilibrio dinmico es sistema de un grado de libertad 26 2.1 Modelos de un grado de libertad. Anlisis en el tiempo 26 2.1.1 Modelo no amortiguado 26 2.1.2 Modelo amortiguado. Vibraciones libres 28 2.1.3 Modelo amortiguado. Vibraciones forzadas 33 2.2 Modelos de un grado de libertad. Integracin en frecuencias 38Captulo 3 Sistemas lineales con varios grados de libertad 41 3.1 Introduccin 41 3.2 Desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento 41 3.3 Historia de la respuesta en el tiempo 43 3.4 Integracin paso a paso 47 3.4.1 Introduccin 47 3.4.2 Conceptos bsicos de los mtodos paso a paso 48 3.4.3 Mtodo de Newmark 50 3.4.4 Mtodo de las diferencias centrales 57Captulo 4 Respuesta estructural para el caso ssmico 61 4.1 Introduccin 61 4.2 espectros ssmicos de respuesta 62 4.2.1 Definicin de los espectros ssmicos de respuesta 62 4.2.2 Seudoespectros de respuesta 63 4.3 Respuesta mxima utilizando espectros de respuesta 65 4.4 Clculo de edificios de cortante 68 4.4.1 Introduccin 68

4.4.2 Formulacin del problema 68Captulo 5 Sistemas continuos 72 5.1 Introduccin 72 5.2 viga recta sometida a esfuerzo axil 72 5.2.1 Formulacin 72 5.2.2 Vibraciones libres 73 5.2.3 Vibraciones forzadas 78 5.3 Viga recta trabajando a flexin 80 5.3.1 Formulacin 80 5.3.2 Vibraciones libres 81

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Captulo 1 INTRODUCCIN A LA DINMICA DE ESTRUCTURAS 1.1 INTRODUCCIN

En un sentido muy amplio, puede considerarse que un sistema dinmico se

caracteriza por variables que pueden experimentar variaciones en el tiempo y que, al menos en principio, son predecibles si se conocen las influencias externas que actan sobre el sistema. En realidad, los desarrollos que se realizan aqu no requieren una definicin tan general ya que en l se estudiarn nicamente sistemas estructurales o estructuras. Por este motivo se considerar, simplemente, que sobre una estructura actan cargas dinmicas que le producen vibraciones. La evaluacin de su comportamiento requiere solucionar (en general numricamente) las ecuaciones diferenciales que describen dichas vibraciones, una vez definidas las acciones dinmicas de una manera adecuada.

Se dice que una accin tiene carcter dinmico si su variacin con el tiempo es

rpida y da origen a fuerzas de inercia en las estructuras, de magnitud comparable a la de las fuerzas estticas. Todas las caractersticas de las cargas dinmicas (mdulo, direccin, sentido, punto de aplicacin), o slo algunas de ellas, varan con el tiempo. Ejemplos de algunas fuentes importantes de vibracin, capaces de afectar a las estructuras son :

movimientos ssmicos. vibraciones causadas por el viento. vibraciones causadas por olas y corrientes. vibraciones inducidas por explosiones. fuerzas debidas a choques o impactos. fuerzas producidas por piezas que ruedan y por maquinaria. fuerzas producidas por el movimiento de vehculos.

En la definicin de las cargas dinmicas puede distinguirse entre el concepto

determinista y el no determinista, denominado tambin estocstico o aleatorio. Una carga dinmica tiene caractersticas deterministas cuando su variacin temporal es completamente conocida en cada instante de tiempo. Por el contrario, una carga dinmica es no determinista si algunos de sus parmetros o su variacin con el tiempo han sido definidos estadsticamente.

Se define como respuesta dinmica cualquier cantidad que pueda caracterizar el efecto de las cargas dinmicas en una estructura. En la figura 1.1 se ilustra que la respuesta ssmica de una estructura es la respuesta dinmica producida por un movimiento del terreno en su base y puede consistir en desplazamientos, aceleraciones, tensiones, deformaciones, etc.

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Figura 1.1 Definicin de la respuesta ssmica

Matemticamente el comportamiento dinmico de una estructura se describe

mediante un sistema de ecuaciones diferenciales que, en forma sinttica, se pueden escribir

tt fv (2.1) Donde es un operador diferencial, tv el vector que contiene las incgnitas del problema y tf el vector de las acciones. Partiendo de la ecuacin (2.1) pueden distinguirse tres tipos de problemas:

a) Tanto la operacin prescrita por el operador como las acciones definidas por el vector f son conocidas. Resolver el problema significa, en este caso, calcular la respuesta dinmica descrita por el vector v . Esta formulacin corresponde a un problema de anlisis dinmico.

b) Cuando el operador y la respuesta v son conocidos, el problema consiste en calcular la accin dinmica f que produce la respuesta v . ste es un tpico problema de identificacin de la accin o sntesis de la accin, el cual encuentra su aplicacin prctica en el diseo de aparatos de registro de movimientos ssmicos.

c) En el caso en que los vectores v y f son conocidos, el problema se reduce a identificar el operador . Este problema, conocido con el nombre de identificacin de sistemas, puede tener diferentes formulaciones dependiendo del problema particular que se estudie.

A estos problemas puede aadirse otro, el de reducir en tiempo real las vibraciones de un sistema estructural, aplicndole fuerzas de control calculadas en funcin de los valores medidos de su respuesta. A este problema se le denomina control activo de estructuras 1.2 DEFINICIN DE LA ACCIN DINMICA 1.2.1 Acciones dinmicas definidas de forma determinista

Las acciones dinmicas definidas utilizando representaciones deterministas son funciones del tiempo cuyo valor en cada instante es conocido. Este tipo de representacin es apropiado en el anlisis a posteriori de una estructura, esto es, en la comprobacin de su comportamiento ssmico, una vez que se disponga, por

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ejemplo, de un acelerograma de un movimiento ssmico. Si dicho acelerograma es un registro real obtenido en la zona, los resultados del clculo estructural son nicamente cualitativos, puesto que se basan en la hiptesis optimista de que los terremotos esperados en el futuro en el rea tendrn caractersticas similares a las del registro utilizado en el anlisis.

En la figura 1.2 se ilustran algunas cargas dinmicas definidas de forma determinista, teniendo como criterio de clasificacin el tipo de funcin que describe la carga. En la figura 1.2g puede verse un registro de aceleracin ssmica, el cual multiplicado por la masa de la estructura proporcionar la carga ssmica. En la modelizacin numrica del proceso la funcin a(t) es discretizada, es decir, se la representa mediante una secuencia discreta de pares de puntos (ak , tk), k = 1,2,m. Se supone una variacin lineal de la funcin a(t) entre dos puntos consecutivos definidos por los instantes de tiempo (tk , tk + 't), siendo 't el incremento de tiempo usado en la discretizacin. Esta definicin determinista de las acciones es usada en los siguientes captulos para analizar la respuesta dinmica de las estructuras.

Fig. 1.2 Tipos de cargas dinmicas. a) armnicas; b) peridicas;

c) cuasi peridicas; d) y e) fuerzas impulsivas; f) carga dinmica general En la figura 1.3 puede verse un esquema del mecanismo segn el cual las ondas ssmicas actan sobre las estructuras. 1.2.2 Acciones dinmicas definidas de forma estocstica La representacin estocstica se utiliza cuando la accin dinmica no puede representarse mediante funciones temporales cuyos valores sean conocidos en cada instante de tiempo. Las cargas se simulan mediante familias de funciones definidas conforme a las caractersticas probabilistas y utilizando mtodos propios de la Teora de las Probabilidades. Esta operacin es seguida por la evaluacin de algunos parmetros estadsticos de la respuesta estructural. Tales familias de eventos

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caticos variables en el tiempo, es decir, procesos estocsticos, definen tanto las funciones dinmicas como la respuesta estructural.

Figura 1.3 Mecanismo de accin de las ondas ssmicas sobre las estructuras. d discontinuidad; arl

onda reflejada; arr onda refrectada El anlisis ssmico es un caso claro en el cual es necesario modelizar la accin dinmica mediante procesos estocsticos, debido a la incertidumbre que los eventos futuros llevan implcita. Obviamente, en el caso ssmico, slo la accin y la respuesta se modelizan estocsticamente, mientras que los parmetros del modelo estructural se definen de forma determinista. 1.3 ESTRUCTURAS Y MODELOS ESTRUCTURALES Cuando una estructura est sometida a la accin ssmica, su respuesta es el resultado de filtrar el movimiento ssmico del terreno a travs de la estructura. En consecuencia, el anlisis ssmico implica la definicin previa tanto del movimiento del terreno como de las caractersticas estructurales. Como en otras ramas de la Mecnica Aplicada, el sujeto del anlisis no es la propia estructura, sino un modelo mecnico de la misma que, en este caso, es un modelo dinmico, tal como puede verse esquematizado en el diagrama de la figura 1.4.

Figura 1.4 Diagrama de bloques del proceso de anlisis ssmico de estructuras.

La definicin de un modelo dinmico depende del tipo de estructura analizado y pretende no slo proporcionar una descripcin realista del comportamiento estructural, sino tambin el permitir desarrollar una serie de relaciones simples entre las acciones y las respuestas. La necesidad de la definicin previa del modelo dinmico, con objeto de realizar el anlisis dinmico de la estructura, demuestra que dicho anlisis constituye una comprobacin: partiendo de una forma estructural

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predefinida, asegurarse que la respuesta obtenida cumple con ciertas condiciones previamente establecidas. Obviamente, en el caso de un problema de diseo, las caractersticas de una estructura deben satisfacer ciertas condiciones a fin de que su respuesta permanezca dentro de unos lmites adecuados. Sin embargo, tal como se ha visto en el apartado 1.1, hay otros problemas de dinmica estructural que requieren el cumplimiento de condiciones similares a la antes mencionada y que se pueden plantear utilizando los mismos modelos estructurales. Uno de ellos contempla la posibilidad de que la respuesta cumpla con los criterios requeridos, incorporando a la estructura sistemas de absorcin de vibraciones o aisladores. A stos se les denomina sistemas de control pasivo, ya que su accin no cambia durante el proceso de vibracin de la estructura. Por ltimo, existe la posibilidad de reducir la respuesta dinmica de una estructura utilizando la Teora del Control Activo de Sistemas. Tal como se ha explicado anteriormente, el control activo consiste en medir la respuesta de la estructura y en utilizar el resultado de dicha medicin para determinar las fuerzas que deben aplicarse sobre la estructura a fin de obtener una respuesta con unas caractersticas adecuadas, generalmente limitada a unos valores preestablecidos. Los sensores que realizan la medicin, junto con el ordenador en el cual se calcula las fuerzas y el actuador que las aplica, constituyen el sistema de control activo. El algoritmo usado en el clculo de las fuerzas proporciona una ley de control. Un esquema del control activo de estructuras puede verse en la figura 1.5 La relacin entre acciones y respuestas se expresa cuantitativamente por medio de un modelo matemtico. Las caractersticas fsicas a tener en cuenta en la definicin del modelo matemtico son la masa, el amortiguamiento y la rigidez de una estructura. Un clculo completo supone la determinacin de la respuesta ssmica en cada uno de los puntos de la estructura, esto es, en un nmero infinito de puntos y en un nmero tambin infinito de instantes de tiempo, lo cual complica de forma apreciable el problema a resolver.

Figura 1.5 Diagrama de bloques del proceso de control activo de estructuras.

Con el objeto de simplificar el modelo matemtico del problema, es conveniente definir modelos dinmicos con un nmero finito de puntos predetermindos en los cuales se calcula la respuesta. Tal definicin se realiza a travs de una operacin denominada discretizacin espacial. Asimismo, es preciso realizar otra serie de simplificaciones al objeto de obtener la respuesta dinmica solamente en un nmero finito de instantes de tiempo. Esta operacin se denomina discretizacin temporal. Obviamente, la definicin de modelos matemticos y dinmicos depende no slo de los mtodos de discretizacin usados, sino tambin de las caractersticas mecnicas y geomtricas de la estructura. Por ejemplo, en el caso de una estructura construida con materiales homogneos, istropos y elsticos y que tenga al mismo tiempo una forma simple, es fcil establecer su modelo. Sin embargo, si los materiales son no homogneos, son anistropos y tienen un comportamiento no lineal, como es el caso de algunas estructuras de hormign armado sometidas a

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movimientos ssmicos fuertes, es difcil establecer modelos que describan de forma correcta el comportamiento de la estructura. La imprecisin introducida en los modelos dinmicos y en sus correspondientes modelos matemticos, incluyendo aquella que afecta a las caractersticas del material, tiene una gran influencia en la exactitud de la respuesta calculada. La figura 1.6 muestra algunas diferencias esenciales entre los efectos de cargas estticas, dinmicas y ssmicas sobre una estructura, en este caso sobre un pilar. Una primera distincin importante consiste en la presencia de fuerzas de inercia en el caso de cargas dinmicas y cargas ssmicas. Si el pilar de la figura 1.6 (a) est sometido a una carga esttica, las tensiones pueden ser calculadas usando las ecuaciones de equilibrio esttico. En el caso dinmico de la figura 1.6 (b), las tensiones que aparecen en la estructura estn producidas por la accin combinada de una fuerza dinmica tF y una fuerza de inercia tyFi , . Por otro lado, en el caso ssmico presentado en la figura 1.6 (c), las tensiones estn producidas nicamente por las fuerzas de inercia inducidas por el movimiento ssmico del terreno.

Figura 1.6 Diferencia entre los efectos de una carga (a) esttica, (b) dinmica y (c) ssmica.

Otra diferencia entre los casos analizados consiste en la evolucin temporal de la respuesta dinmica y de la ssmica. De esta forma, tal y como se ha mencionado previamente, estos problemas no tienen una nica solucin, sino que el anlisis proporciona una solucin en cada instante de tiempo, es decir, una historia temporal de la respuesta. Resumiendo, en un anlisis dinmico de estructuras de ingeniera es necesaria una discretizacin espacial para establecer el modelo dinmico de la estructura y una discretizacin temporal para determinar la respuesta dinmica de la estructura en cada instante de tiempo. 1.4 MTODOS DE MODELIZACIN DINMICA 1.4.1 Discretizacin espacial de las estructuras En general, una estructura es un continuo caracterizado por una geometra ms o menos complicada y compuesto por materiales con ecuaciones constitutivas complejas. Un modelo dinmico exacto dara lugar a complicaciones innecesarias, pues las mejoras que su utilizacin proporcionara quedaran anuladas por la complejidad de los modelos matemticos correspondientes, as como por los errores introducidos durante el proceso de clculo numrico. Un mtodo de anlisis ms conveniente, ilustrado en el diagrama de bloques de la figura 1.7, introducir

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estimaciones fsicas durante la fase de desarrollo del modelo dinmico, dar una formulacin que describa adecuadamente su modelo matemtico y, posteriormente, calcular la respuesta mediante procedimientos numricos apropiados. Obviamente, el mencionado modelo dinmico simplificado est basado en una discretizacin espacial del continuo.

Figura 1.7 Diagrama de bloques para la simulacin en el ordenador de la respuesta.

En los siguientes apartados se analizarn algunos de los sistemas de masas distribuidas ms usuales mediante modelos discretos. La posibilidad de utilizar este modo de proceder es debida a la importante y continua evolucin de los mtodos de discretizacin, unida al desarrollo de procedimientos numricos apropiados. En la modelizacin dinmica de estructuras pueden utilizarse fundamentalmente los siguientes mtodos de discretizacin:

-mtodo de las masas concentradas. -mtodo de los elementos finitos.

De acuerdo con la estructura analizada se elige uno u otro mtodo.

1.4.2 Mtodo de las masas concentradas. Grados de libertad. El mtodo de las masas concentradas supone que la masa estructural est concentrada en una serie de puntos previamente seleccionados. Dichas masas simulan el efecto de las fuerzas de inercia reales que aparecen en la estructura durante su vibracin. El nmero total de componentes de desplazamiento segn los cuales las masas concentradas vibran, se denomina nmero de grados de libertad del modelo. Puede, asimismo, ser definido como el nmero mnimo de desplazamientos que deben conocerse para tener una definicin completa de la deformada del modelo en cada instante de tiempo durante su vibracin. Una vez calculada la deformada de la estructura, las tensiones y deformaciones de la misma en cada instante pueden obtenerse utilizando los conceptos proporcionados por el anlisis esttico. Si la posicin deformada de una estructura durante su vibracin puede ser completamente definida mediante un nico desplazamiento, entonces la estructura puede ser modelizada mediante un sistema de un solo grado de libertad. De esta forma, la deformada del prtico de la figura 1.8 (a) sometido a un movimiento ssmico en su propio plano, puede definirse en cada instante mediante el desplazamiento horizontal del punto situado al nivel de la viga. Consiguientemente, la masa estructural puede suponerse concentrada en la direccin de este desplazamiento, tal como se ve en la figura 1.8 (b), obtenindose el modelo dinmico de la figura 1.8 (d).

El depsito de agua elevado de la figura 1.8 (c) puede asimismo analizarse mediante el mismo modelo con un solo grado de libertad de la figura 1.8 (d), pues las vibraciones pueden definirse mediante un nico parmetro: el desplazamiento del centro de masas del depsito. El modelo de la figura 1.8 (d) es el ms simple

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para caracterizar el comportamiento dinmico de una estructura: representa un pndulo invertido y est definido por su masa m y su rigidez k.

Figura 1.8 Estructuras modelizadas como un sistema de un solo grado de libertad. (a) prtico; (b) el mismo prtico con la masa concentrada al nivel de la viga; (c) depsito de agua elevado; (d) modelo dinmico. La estructura representada en las figura 1.9 (a) tiene dos grados de libertad, pues su deformada puede definirse mediante dos desplazamientos: tu1 y tu2 . Su modelo dinmico pueden verse en la figura 1.9 (b).

Figura 1.9 Estructuras con dos grados de libertad. (a) nave industrial con puente gra; (b) modelo dinmico. El anlisis de los sistemas indicados en las figuras 1.8 y 1.9 proporciona otra definicin del nmero de grados de libertad: es el nmero mnimo de ligaduras simples que deben introducirse para devolver a la posicin de reposo al sistema vibrante. En la figura 1.10 pueden verse otros modelos dinmicos; las estructuras que representan estn sometidas no slo a cargas ssmicas, sino tambin a cargas dinmicas de cualquier otro origen. Los modelos ilustrados en la figura 1.10 (a), (b) y (c) tienen un solo grado de libertad- el desplazamiento de la masa m en direccin horizontal- y estn sometidos a una fuerza dinmica tF . El sistema de la figura 1.10 (d) tiene dos grados de libertad: el desplazamiento en las direcciones x e y. Los dos grados de libertad del modelo de la figura 1.10 (e) corresponden a desplazamientos verticales. El prtico plano de la figura 1.10 (f), sometido a un movimiento ssmico en su propio plano, ha sido modelizado mediante el sistema con varios grados de libertad de la figura 1.10 (g). En este ltimo tipo de estructura, una simplificacin importante que puede realizarse consiste en despreciar la deformacin por esfuerzo axil de los pilares y suponer, al mismo tiempo, que la rigidez de las plantas es tal que pueden aceptarse como iguales todos los desplazamientos horizontales de los distintos nudos de un mismo piso. En la figura 1.10 (h) se esquematiza un prtico tridimensional sujeto a un terremoto que produce vibraciones en la direccin x. En la hiptesis de planta flexible, la estructura tendra diez grados de libertad 1021 ,..., uuu , mientras que si se supone que las plantas son rgidas, el

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nmero de grados de libertad queda reducido a dos, siendo stos los desplazamientos 1u y 2u de los pisos, tal como se observa en la figura 1.10 (i).

Figura 1.10 Diferentes modelos dinmicos. (a), (b), (c), (d), (e) vigas sometidas a cargas dinmicas; (f) prtico de cortante; (g) modelo dinmico de un prtico de cortante; (h) prtico espacial modelizado como un sistema de 10 grados de libertad; ( i ) modelo con dos grados de libertad del prtico del punto (h). Pueden tambin desarrollarse modelos que incluyan grados de libertad de giro. Por ejemplo, el modelo de prtico plano de la figura 1.11 (a) tiene grados de libertad que permiten la rotacin de las masas concentradas en los nudos. En la figura 1.11 (b) se detalla un modelo con cuatro grados de libertad para el mismo prtico. Considrense que un terremoto acta de tal forma que produzca torsin en el prtico tridimensional de la figura 1.12 (a). Su modelo dinmico puede ser sustituido por el de la figura 1.12 (b), que considera la torsin de una forma simplificada, haciendo la hiptesis de plantas rgidas y de deformacin por axil nula en los pilares.

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Figura 1.11 Modelo dinmico con grados de libertad de rotacin. (a) modelo completo; (b) modelo simplificado con cuatro grados de libertad.

Figura 1.12 Modelo dinmico de prtico tridimensional con torsin. (a) modelo completo; (b) modelo simplificado. La identificacin de los grados de libertad de una estructura es una operacin que requiere gran rigor, habida cuenta de su importante influencia en los resultados del anlisis dinmico. Los errores en esta operacin convierten la solucin en inexacta con respecto a la verdadera respuesta de la estructura. Debe ponerse el acento en que el mtodo de las masas concentradas es muy eficiente en la modelizacin de aquellas estructuras caracterizadas por una concentracin real de su masa en algunos puntos discretos. En tal caso, el modelo dinmico se obtiene concentrando la totalidad de la masa en estos puntos, de tal forma que el resto de la estructura tiene solamente rigidez, pero no masa. 1.4.3 Mtodo de los elementos finitos. El mtodo de los elementos finitos ha sido ampliamente usado en la discretizacin de cualquier tipo de estructuras. Una de sus ventajas ms importantes consiste en que las aproximaciones de tipo fsico realizadas en el proceso de

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discretizacin siguen una metodologa unitaria y sistemtica [***]. El continuo analizado es sustituido por un nmero finito de subdominios interconectados entre s en un nmero finito de puntos denominados nodos. El comportamiento dinmico del continuo original est gobernado por las leyes de la Mecnica del Medio Continuo. En el mtodo de los elementos finitos las funciones solucin no se definen en todo el continuo, sino que sus valores numricos se calculan nicamente en los nodos. La funcin solucin se obtiene en cualquier otro punto del continuo utilizando unas funciones de interpolacin adecuadas. Un elemento finito es un subdominio en el cual se definen las funciones de interpolacin. La exactitud de la solucin depende del nmero de elementos empleados en la discretizacin del continuo, as como del tipo de funciones de interpolacin utilizadas. a) Discretizacin del continuo elstico. En la figura 1.13 se dibuja un continuo discretizado; el campo de desplazamientos iv del elemento i puede expresarse en funcin del vector de los desplazamientos nodales iu usando la matriz de funciones de interpolacin zyxi ,,N .

tzyxtzyxv iii uN ,,,,, (1.2) Las incgnitas del problema sern los desplazamientos nodales ui de cada elemento i. Se introduce el vector V que contiene todos los desplazamientos del continuo discretizado

> @TnTiTTT vvvvV ......21 (1.3)

Figura 1.13 Continuo discretizado. k- nodo; i-elemento.

Donde n es el nmero de elementos usados en la discretizacin. Anlogamente se define el vector U de desplazamientos nodales de toda la pieza

> @TnTiTTT uuuuU ......21 (1.4) Asimismo, la matriz total de funciones de interpolacin R ser

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n

i

N0

N

0NN

R

%

%2

1

(1.5)

As pues, para el continuo discretizado puede escribirse la siguiente relacin matricial:

URV T (1.6) Los vectores y que contienen las tensiones y deformaciones, respectivamente, se definen de forma similar. De esta manera, una vez definidos los elementos y las incgnitas del problema, puede plantearse el sistema completo de ecuaciones que gobierna el mismo. Las ecuaciones de continuidad y equilibrio entre contornos de elementos se satisfacen imponiendo condiciones de continuidad y equilibrio en los nodos del continuo discretizado, eligiendo funciones de forma apropiadas. Como puede verse en la figura 1.14, es posible usar distintos tipos de elementos en el desarrollo de modelos dinmicos para distintos tipos de estructuras.

Figura 1.14 Diferentes estructuras discretizadas por el mtodo de los elementos finitos. (a) torre de refrigeracin; (b) presa bveda; (c) presa de tierra; (d) puente.

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b) Discretizacin del dominio fluido. La discretizacin de un dominio fluido, cuyas ecuaciones se formulan ms adelante, sigue los mismos principios descritos anteriormente. El dominio fluido se discretiza en un nmero finito de elementos interconectados entre s en los nodos. Las incgnitas son, en este caso, las presiones

tzyxpi ,,, en el interior de cada elemento i, las cuales se expresan en funcin de las presiones nodales i a travs de las funciones de interpolacin iq

iTii qp (1.7)

Para el dominio entero discretizado la ecuacin (1.7) se convierte en

aTQP (1.8)

donde P contiene las funciones ip definidas en cada elemento

> @TNTiTTT ppppP ......21 (1.9) la matriz Q contiene las funciones de interpolacin iq

> @TNTiTTT qqqqQ ......21 (1.10) y el vector a contiene las presiones nodales de cada nodo de los elementos

> @TNTiTTTa ......21 (1.11) 1.5 MODELOS DINMICOS CARACTERSTICOS 1.5.1 Modelos con un solo grado de libertad En este apartado se describen algunos modelos dinmicos de amplia utilizacin en captulos posteriores. El modelo dinmico ms simple es el conservativo con un solo grado de libertad dibujado en la figura 1.17(a). Se caracteriza por su masa m y su rigidez k . Se hace la hiptesis de que su masa es desplazada desde la posicin de reposo por alguna causa externa y se supone que durante su vibracin no recibe energa externa. Como este modelo terico no disipa energa, el movimiento oscilatorio no tiene fin y se le denomina vibracin libre no amortiguada.

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Figura 1.15 Modelos con un solo grado de libertad. a) modelo conservativo, b) modelo con amortiguamiento; c) modelo ssmico. El modelo de la figura 1.15(b) tiene un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c y por tanto es no conservativo: permite perder energa. Este comportamiento es ms realista, aunque la causa del movimiento sigue siendo una excitacin inicial (desplazamiento, velocidad o aceleracin), la cual acta previamente a la oscilacin del modelo. A este tipo de movimiento se le denomina vibracin libre amortiguada. El sistema de la figura 1.15(c) corresponde al caso ssmico. El movimiento del terreno, caracterizado por desplazamiento tu , velocidad tv y aceleracin ta , acta sobre el cimiento y se supone que se propaga en la direccin x , produciendo vibraciones que provocan la traslacin de la masa m en la misma direccin x . 1.5.2 Modelos con varios grados de libertad Los modelos con un solo grado de libertad descritos anteriormente, pueden generalizarse para varios grados de libertad. El modelo de la figura 1.16a es conservativo, mientras que el dibujado en la figura 1.16b es no conservativo. Finalmente, el representado en la figura 1.16c corresponde al caso ssmico.

Figura 1.16 Modelos con varios grados de libertad. a) modelo conservativo; b) modelo con amortiguamiento; c) modelo ssmico.

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1.6 ACCIONES DE TIPO DINMICO En el apartado 1.1 se han citado algunos tipos de acciones capaces de producir efectos dinmicos en las estructuras. En el presente apartado se desarrollarn de forma necesariamente breve las caractersticas de cada una de ellas.

a) Movimientos ssmicos. Aunque ms adelante, en este libro, se analizarn en profundidad los efectos producidos por los terremotos en las estructuras, es conveniente proceder seguidamente a una breve descripcin de los mismos.

Aunque existen movimientos ssmicos de distinto origen, los ms importantes y destructivos son los de origen tectnico. Estn producidos por la brusca liberacin de energa en la frontera entre dos placas tectnicas que avanzan una hacia la otra. Como consecuencia de este fenmeno se producen roturas y movimientos bruscos que generan ondas dinmicas (ondas ssmicas) que avanzan en todas direcciones. Los denominados movimientos ssmicos se producen cuando tales ondas llegan a la superficie terrestre. En tales casos se producen movimientos y aceleraciones en la base de las estructuras cuya consecuencia ms importante es la aparicin de fuerzas de inercia, fundamentalmente horizontales, que actan sobre las distintas masas de la estructura. Dichas fuerzas, si no han sido previstas, pueden producir importantes daos e incluso el colapso de la construccin.

b) Vibraciones causadas por el viento. Los efectos causados por el viento en las construcciones civiles son bsicamente de tres tipos: Fuerzas debidas a la presin del viento como consecuencia de anularse la velocidad del mismo, efectos de inestabilidad aeroelstica tipo flameo y por ltimo los efectos producidos por los vrtices y remolinos.

Los efectos de inestabilidad aeroelstica pueden aparecer

fundamentalmente en puentes colgantes o atirantados de grandes luces, mientras que los vrtices y remolinos afectan preferentemente a edificios de considerable altura y formas no convencionales.

Los efectos producidos por las presiones son los ms corrientes en las

estructuras y los que contemplan la mayora de las normas. Su estudio se basa en las siguientes consideraciones: la velocidad del viento puede descomponerse en una velocidad media mQ (en general la media se toma sobre un intervalo temporal de diez minutos) y una velocidad oscilante 'Q alrededor de la media:

'QQQ m 12.1

La presin producida por el viento viene dada por:

2

21 QU DCp

13.1

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en donde U es la densidad del aire, DC es un coeficiente de forma (coeficiente de arrastre) y cuyo valor est, en general, tabulado para diferentes tipos de estructuras y Q es la velocidad. Introduciendo 12.1 en 13.1 :

'21

exp

'21'

21'

21

2

222

QUQU

QUQQUQUQQU

mDmD

DmDmDmD

vCCp

anteriorresinladolinealizany

CCCCp

14.1

Es decir, la presin que ejerce el viento sobre una estructura es la suma de una

presin media (esttica) y de una presin variable con el tiempo. El espectro de las velocidades 'v es conocido en funcin de distintos parmetros, por lo que la expresin (1.14) constituye el punto de partida de los estudios dinmicos sobre el viento.

c) Vibraciones causadas por olas y corrientes. Su efecto sobre las estructuras

marinas reviste considerable importancia. Suele tratarse, en general, de fuerzas de tipo peridico. En muchos casos es preciso recurrir a ensayos en laboratorio para determinar su valor.

d) Vibraciones inducidas por explosiones. La presin producida por una explosin

consiste generalmente en un pulso u onda de presin de intensidad muy elevada (en ocasiones de varios Megapascales) y duracin muy corta, seguida de una disminucin de presin o vaco, de duracin algo mayor.

e) Fuerzas debidas o choques o impactos. El valor y las caractersticas de las

fuerzas debidas a impacto es muy variable, dependiendo fundamentalmente de la velocidad de choque. A velocidades bajas o muy bajas los efectos son quasiestticos. El carcter dinmico de la accin as como su intensidad aumentan con la velocidad del choque. Adems, segn esta ltima va aumentando, aumenta tambin el valor de la frecuencia de excitacin, desarrollndose frecuencias muy elevadas para grandes velocidades. Las tensiones y deformaciones que se producen son, en general, muy elevadas, por lo cual si se quieren obtener resultados realistas hay que realizar clculos no lineales.

f) Fuerzas producidas por maquinaria. Son fuerzas de tipo peridico, que en gran

parte provienen del movimiento de masas descentradas. Su efecto es importante en el clculo de las cimentaciones de las mismas.

g) Fuerzas producidas por el trfico. El movimiento de vehculos produce fuerzas

de tipo dinmico en puentes tanto de carreteras como de ferrocarril. Su espectro es en general conocido. Su valor depende obviamente de la velocidad del vehculo y del estado de la superficie de rodadura. Recientemente, la propia excitacin producida por el trfico se est utilizando para determinar el estado resistente o de conservacin de la estructura.

17

1.7 PRINCIPIOS USADOS EN LA FORMULACIN DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Las expresiones matemticas que gobiernan la respuesta dinmica de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones pueden obtenerse a partir de cualquiera de los siguientes principios de la mecnica clsica:

Principio de DAlembert Principio de los trabajos virtuales Principio de Hamilton

A continuacin se indican algunos conceptos bsicos cuya aplicacin permite obtener las ecuaciones del movimiento a partir de dichos principios. 1.7.1 Principio de DAlambert Proporciona el mtodo ms directo para escribir las ecuaciones del movimiento. Puede formularse como sigue: un sistema dinmico est en equilibrio cuando todas las fuerzas que actan en el mismo, includas las de inercia, cumplen las ecuaciones de equilibrio esttico en cada instante de tiempo. Las fuerzas de inercia las proporciona la segunda ley de Newton

tumtF jjji nj ,...,2,1 (1.15) en donde tu j es la aceleracin de la masa jm del sistema. 1.7.2 Principio de los trabajos virtuales El principio de los trabajos virtuales establece que un sistema se encuentra en equilibrio bajo la accin de unas fuerzas externas que actan sobre l, includas las de inercia, si para cualquier campo de desplazamientos virtuales1 que se imponga al sistema, el trabajo (debido a estos desplazamientos) realizado por las fuerzas externas es igual al realizado por las fuerzas internas. Las ecuaciones del movimiento se obtienen expresando, para cada grado de libertad, el trabajo que debido a dichos desplazamientos realizan las fuerzas. 1.7.3 Principio de Hamilton A la expresin

3 21

2

1

t

t

t

t dcpHdtEdtEE (1.16)

1 Un desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal arbitrario que satisface las condiciones de contorno.

18

se le denomina funcional de Hamilton. pE y cE son, respectivamente, la energa potencial y cintica, mientras que dE es el trabajo correspondiente a las fuerzas de amortiguamiento y a otras fuerzas externas no conservativas. El principio variacional de Hamilton establece que un sistema est en equilibrio dinmico si se cumple la siguiente condicin:

0 3 HG (1.17) en donde G representa la variacin del funcional en el intervalo de tiempo 21 , tt . 1.8 MODELOS CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD

La ecuacin del movimiento correspondiente al modelo ssmico de la figura 1.17 (a) puede deducirse mediante el principio de dAlambert. Considrese que se separa la masa de sus vnculos por las fuerzas correspondientes, tal como puede verse en la figura 1.17 (b). De esta forma, la ecuacin de equilibrio se escribe como

0 tFtFtF aei (1.18)

donde tFytFtF aei , son las fuerzas de inercia, elsticas y de amortiguamiento, respectivamente.

Figura 1.17 Modelo ssmico con un solo grado de libertad. (a) modelo ssmico; (b) equilibrio de fuerzas. La fuerza elstica es proporcional al desplazamiento de la masa m y a la rigidez k del modelo

tuktFe (1.19)

La fuerza de inercia que acta sobre la masa m est originada por la aceleracin total de la masa

> @tatumtF gi (1.20)

donde tag es la aceleracin ssmica que acta en la base de la estructura (ver figura 1.17). Para la fuerza de amortiguamiento se admite la hiptesis de Voigt, segn la cual el amortiguamiento es viscoso, es decir, proporcional a la velocidad.

19

tuctFa (1.21) Con estas definiciones la ecuacin de equilibrio (1.18) puede expresarse como

> @ 0 tuktuctatum g (1.22) ecuacin que, realizando algunas transformaciones, se convierte en

tFtamtuktuctum g (1.23)

tamtF g es la fuerza ssmica que acta en la masa m. Obviamente, dicha fuerza es una fuerza de inercia. Lgicamente, cuando no se est en presencia de una accin ssmica, sino de una accin dinmica cualquiera, la ecuacin (1.18) se reescribe

( )i e aF t F t F t F t

En donde F(t) es la fuerza dinmica que acta sobre el sistema. La ecuacin resultante (1.23) puede particularizarse para otros dos casos de sistemas con un solo grado de libertad. Al caso de vibraciones libres amortiguadas le corresponde la ecuacin

0 tuktuctum (1.24) mientras que para el caso de vibraciones libres no amortiguadas se tiene

0 tuktum (1.25) 1.9 MODELOS SIMPLES CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 1.9.1 Edificios de cortante El modelo con varios grados de libertad ms sencillo que puede utilizarse para describir el comportamiento dinmico de los edificios es el correspondiente a edificios de cortante. Dicho modelo se representa esquemticamente en la figura 1.18. Est basado en la hiptesis de que las plantas son infinitamente rgidas y de que los nicos movimientos posibles de los nudos son horizontales.

El modelo de la figura 1.18 (a) est sometido a una aceleracin horizontal de origen ssmico de valor tag . Las ecuaciones del movimiento pueden deducirse estableciendo el equilibrio dinmico de cada masa, de acuerdo con el principio de dAlembert. Aislando las masas rm e introduciendo todas las fuerzas correspondientes, includas las de inercia, resulta el esquema de la figura 1.19 (b). Expresando el equilibrio dinmico de la masa rm se obtiene

20

0 tFtFtFrrr aei

nr ...,,2,1

(1.26)

Figura 1.18 Modelo de edificio de cortante. (a) modelo ssmico; (b) equilibrio de fuerzas.

Obviamente, el modelo dinmico completo est en equilibrio si lo estn todas y cada una de sus masas. Escribiendo una ecuacin de equilibrio del tipo (1.26) para cada una de las masas y expresando en forma matricial al conjunto de todas ellas, se tiene

0FFF ttt aei (1.27)

Las ecuaciones (1.19), (1.20) y (1.21), que definen las fuerzas elsticas, de inercia y de amortiguamiento para modelos con un solo grado de libertad, se convierten en este caso en las siguientes expresiones matriciales: tte uKF > @tatt gi JuMF tta uCF

(1.28)

en donde, en este caso, el vector J es un vector columna formado por unos. K es la matriz de rigidez la cual, en el caso general, tiene la forma

nnnjninn

inijiiii

nji

nji

kkkkk

kkkkk

kkkkkkkkkk

......

......

......

21

21

2222221

1111211

#####

#####K

21

donde un elemento ijk representa la fuerza correspondiente al grado de libertad i , debida a un desplazamiento unidad producido en el grado de libertad j . En el caso particular del modelo de edificios de cortante, la matriz de rigidez se escribe, en forma explcita, de la siguiente forma:

n

rrrr

k

kkkk

kkkkkkkk

kkk

0...........................

00...........................

00000

000

11

4433

3322

221

K

(1.29)

en donde rk es la rigidez cortante del grupo de pilares r . Su expresin es

3

12

r

rr h

EIk

siendo rI la suma de los momentos de inercia de los pilares situados entre las plantas r y 1r y rh la altura de tales pilares. La matriz de masa M es diagonal para modelos tales como el de la figura 1.18 (a)

n

r

m

m

mm

%

%

0

021

M

(1.30)

y la matriz de amortiguamiento C puede considerarse del mismo tipo

n

r

c

c

cc

%

%

0

021

C

(1.31)

22

Sustituyendo las ecuaciones (1.28) en (1.27), se obtienen las ecuaciones de movimiento del modelo

tattt gJMuKuCuM (1.32.a) Para el caso en que la accin dinmica no sea de tipo ssmico, la ecuacin anterior se reescribe:

t t t t M u Cu K u F

(1.32.b)

1.9.2 Modelo general de prticos En el caso ms general de una estructura tridimensional formada por barras, en el caso ssmico es preciso considerar en el modelo seis grados de libertad por nudo. Al mismo tiempo es posible incluir en las ecuaciones del movimiento el efecto de la propagacin de un terremoto en una direccin arbitraria respecto a la estructura. Para ello, la aceleracin del terreno tag se descompone en sus componentes tagx , tagy y tagz , tal como puede verse en la figura 1.19.

Figura 1.19 Accin ssmica en un modelo tridimensional.

La ecuacin del movimiento (1.32) se modifica para tener en cuenta, en primer

lugar, que cada masa tiene seis movimientos (tres desplazamientos y tres giros) y tambin para incluir la nueva definicin de tag , resultando,

> @tatatattt gzzgyygxx JJJMuKuCuM (1.33)

El vector de incgnitas tu tiene seis elementos por cada grado de libertad r : tres traslaciones zryrxr uuu ,, y tres rotaciones rrr zyx MMM ,, , siendo de la forma

23

> @ > ...111111 zryrxrzryrxrzyxzyxT uuuuuut MMMMMM ! u @znynxnznynxn uuu MMM!

(1.34)

Obviamente, los modelos dinmicos usados en el anlisis incluirn solamente algunos de estos grados de libertad, dependiendo de las caractersticas de la estructura estudiada. En el sistema de ecuaciones diferenciales (1.33) se han utilizado nuevas notaciones

> @000001000001000001 !!!! TxJ

> @000010000010000010 !!!! TyJ

> @000100000100000100 !!!! TzJ La formulacin dada a los vectores de fuerza ssmica asegura que los componentes de la aceleracin tengan elementos no nulos solamente para los grados de libertad de traslacin. Debe remarcarse que las matrices M, C y K de (1.33) se han ampliado de acuerdo con la definicin del vector tu . Finalmente, es preciso sealar que, en general, suele realizarse un anlisis ssmico para cada una de las componentes de la aceleracin ssmica. Puede obtenerse una formulacin alternativa escribiendo las ecuaciones del movimiento de la siguiente forma:

tagJMuKuCuM (1.35) J es en este caso el vector que realiza la descomposicin de tag en las tres direcciones zyx ,, y tiene valores distintos de cero solamente para los grados de libertad del modelo correspondientes a una traslacin. Las vibraciones libres amortiguadas en el modelo dinmico se expresan como

0uKuCuM (1.36) y cuando se prescinde del amortiguamiento resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

0uKuM (1.37) el cual describe las vibraciones libres no amortiguadas del modelo. En todas las ecuaciones del movimiento (1.33), (1.35), (1.36) y (1.37) la matriz de rigidez K es exactamente la misma que en el caso esttico, mientras que la matriz de masa M es normalmente diagonal. Puesto que en el vector de desplazamiento tu se han considerado las rotaciones, es necesario incluir en la matriz de masa M la inercia de rotacin. La influencia de estos elementos en la solucin del problema es en general pequea, siendo stos sustituidos, en la mayora de los casos, por un cero. Sin embargo, es importante anticipar algunos conceptos que sern discutidos con mayor detalle ms adelante. La presencia de elementos nulos en la matriz de masa diagonal da lugar a autofrecuencias infinitas en el modelo dinmico y, en consecuencia, aparecen

24

dificultades numricas si se calculan todos los autovalores de la ecuacin (1.37). En tal caso es conveniente condensar el sistema de ecuaciones del movimiento, previamente al clculo de autovalores, para eliminar dichos grados de libertad. Otra posibilidad para obviar el problema mencionado consiste en utilizar procedimientos numricos que calculen exclusivamente las frecuencias ms bajas del modelo. Posteriormente, en el clculo de la solucin se incluirn slo dichas frecuencias, debido a su influencia decisiva en la respuesta estructural. 1.9.3 Ecuacin general de la dinmica En base a las expresiones desarrolladas anteriormente, la ecuacin general de la dinmica para sistemas lineales de muchos grados de libertad se escribe

gaJMuKuCuM (1.38.a)O bien,

M u Cu K u F (1.38.b) con los significados vistos anteriormente. Para la matriz C se adopta, en muchas ocasiones, una expresin conocida con el nombre de amortiguamiento proporcional o amortiguamiento de Rayleigh. En tal caso, C se escribe

KMC ED (1.39)Puede demostrarse que para sistemas no lineales, la ecuacin (1.38) se

transforma en:

ttagttintttt ' JMFuCuM (1.40) en donde tt 'u , tt 'u son las aceleraciones y velocidades en el tiempo tt ' y ttin 'F son las fuerzas internas resistentes. 1.10 MTODOS PARA SOLUCIONAR EL SISTEMA DE ECUACIONES DEL MOVIMIENTO La respuesta ssmica de las estructuras se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento que corresponda al tipo de sistema dinmico estudiado. En todas las ecuaciones dinmicas deducidas en este captulo la accin ssmica est caracterizada en forma determinista mediante la aceleracin tag del movimiento ssmico del terreno. La respuesta dinmica de la estructura se obtiene mediante alguno de los procedimientos que se exponen en el captulo siguiente. Los procedimientos que solucionan la ecuacin de entrada-salida del tipo (1.38) son:

El anlisis modal. El anlisis en el campo complejo de la frecuencia. La resolucin directa de las ecuaciones del movimiento mediante tcnicas de

integracin paso a paso.

25

La eficacia de cada uno de los procedimientos anteriores depende del tipo de problema a resolver. Aunque es difcil dar reglas de aplicacin universal, s puede considerarse que el anlisis modal es el ms utilizado en problemas lineales. Los problemas de interaccin puede resolverse utilizando el dominio de la frecuencia. Los mtodos de integracin paso a paso son bsicamente usados en la resolucin de problemas no lineales.

26

Captulo 2 RESOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO EN SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 2.1 MODELOS CON UN GRADO DE LIBERTAD. ANLISIS EN EL TIEMPO 2.1.1 Modelo no amortiguado Las caractersticas de los modelos con un solo grado de libertad se definen estudiando las vibraciones libres no amortiguadas. Ello corresponde al modelo conservativo de la figura 2.1, cuyo movimiento est gobernado por la ecuacin (1.25), que se escribe aqu de nuevo

0 tuktum (2.1)

Figura 2.1 Modelo conservativo con un solo grado de libertad.

El modelo de la figura 2.1 vibra debido a algunas condiciones iniciales, bien sean de desplazamiento, bien de velocidad o de aceleracin y no est sometido a ningn tipo de perturbaciones durante su vibracin. Al mismo tiempo, durante su vibracin, el modelo no disipa la energa inicial que se le ha dado. Dividiendo la ecuacin (2.1) por m y usando la notacin

mk 2Z

se transforma en

02 tutu Z (2.2) La magnitud Z se denomina pulsacin o frecuencia circular, o simplemente frecuencia de vibracin del modelo, y viene expresada en radianes por segundo. Dicha pulsacin es una de las caractersticas dinmicas del sistema. Otra caracterstica es el perodo natural T, definido por

27

ZS2 T (2.3)

y medido en segundos. Finalmente, la frecuencia cclica o natural f viene dada por

SZ2

1 T

f (2.4)

y se expresa en ciclos por segundo o Hertz. La solucin general de la ecuacin (2.2) puede escribirse de la forma

\Z tsenAtu (2.5) donde A es la amplitud del movimiento y \ el ngulo de fase. Los valores de A y \ se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo, para un desplazamiento inicial 00 uu y una velocidad inicial 00 uu , resultan los valores

202

0

Z

uuA

0

0tanu

uZ\

(2.6)

La ecuacin que define la frecuencia circular Z puede transformarse con el fin de obtener una expresin ms prctica. Puede reescribirse como

mk Z

(2.7)

y sustituyendo

gGm

donde G es el peso y g la aceleracin de la gravedad, queda

kGg 121

Z (2.8)

kG / es el desplazamiento esttico (al que se denominar SGx ) producido por el peso

G en la direccin del grado de libertad. Introduciendo en (2.8) SGx expresado en cm y g en 2scm , se obtiene

sradxSG1981 Z (2.9)

28

T se calcula ahora utilizando (2.3)

SGxT 9812S (2.10)

y realizando las operaciones indicadas en (2.10), se obtiene la frmula de Geiger

sxT SG2.0 (2.11) Esta frmula tiene la ventaja que permite una correlacin entre las caractersticas dinmicas y un desplazamiento esttico del modelo. Una vez obtenido T , la ecuacin (2.4) permite el clculo de las otras dos caractersticas dinmicas del modelo. 2.1.2 Modelo amortiguado. Vibraciones libres Las fuerzas de amortiguamiento en las estructuras estn producidas por diversas causas, entre las que pueden citarse las siguientes:

Rozamiento entre superficies de deslizamiento, las cuales pueden estar secas o lubricadas; la fuerza de amortiguamiento, de acuerdo con la hiptesis de Coulomb, es proporcional a la fuerza normal a la superficie de contacto. La mencionada fuerza normal se considera constante e independiente de los desplazamientos y velocidades.

Amortiguamiento debido a las vibraciones de la estructura situada en un medio exterior (en general gases o lquidos).

Amortiguamiento debido a la friccin interna del propio material de la estructura, debido principalmente a su imperfecta elasticidad. En este caso, el amortiguamiento es proporcional a la fuerza de recuperacin y se le denomina amortiguamiento estructural.

A menudo se usa en el clculo dinmico de estructuras un amortiguamiento viscoso, basado en el modelo de Kelvin-Voigt y que es proporcional a la velocidad. La razn ms importante de su utilizacin es, por una parte, su simplicidad y, por otra, la suposicin que se hace de que dicho amortiguamiento caracteriza el amortiguamiento global de toda la estructura; en tales casos se le denomina amortiguamiento viscoso equivalente. Como consecuencia, se supone que la correspondiente fuerza de amortiguamiento produce la misma disipacin de energa que el amortiguamiento estructural real. Por estas razones, se describe en este apartado la utilizacin de este tipo de definicin del amortiguamiento en el anlisis ssmico de estructuras. El amortiguamiento puede definirse estudiando las vibraciones del modelo dinmico de la figura 2.2. El modelo de vibraciones libres amortiguadas viene descrito por la ecuacin (1.24), la cual se escribe otra vez aqu

0 tuktuctum (2.12)

29

Figura 2.2 Modelo con un grado de libertad con amortiguamiento.

Si se divide la ecuacin del movimiento (2.12) por m , resulta

02 2 tututu ZE (2.13) en donde se ha introducido la notacin

E2 mc (2.14)

La solucin de (2.13) se obtiene sustituyendo

rtetu (2.15) lo cual proporciona la ecuacin caracterstica

02 22 ZE rr cuyas soluciones son 222,1 ZEE r r (2.16) El amortiguamiento crtico, descrito mediante los coeficientes Cc o CE , se define por la ecuacin

022 ZEC (2.17) De la ecuacin (2.17) resulta

ZE C (2.18) Y utilizando (2.14) se obtiene el coeficiente Cc

ZE mmc CC 22 (2.19) El caso para el cual el amortiguamiento es superior al crtico

30

Ccc ! (2.20) corresponde a sistemas sobreamortiguados. Esta situacin normalmente no se presenta en Ingeniera Civil, por lo que no se discutir aqu este caso. Como nica observacin, citar que en tales condiciones la estructura no oscila, sino que vuelve a su posicin de origen sin vibrar. El caso del amortiguamiento inferior al crtico suele ser el habitual en estructuras sometidas a fuerzas dinmicas. Se define por la relacin

Ccc (2.21) Sin embargo, este tipo de amortiguamiento puede definirse mejor, introduciendo otro coeficiente de amortiguamiento mediante la relacin

Ccc [ (2.22)

en donde [ es conocido como tanto por uno de amortiguamiento respecto al crtico o tambin fraccin del amortiguamiento crtico. Utilizando la ecuacin (2.19), dicha fraccin se expresa como

Z[ mc

2 (2.23)

y sustituyendo (2.14) en esta ltima expresin, resulta

ZE[ (2.24)

En este caso, la cantidad 22 ZE en (2.16) es negativa y por consiguiente las soluciones 1r y 2r son complejas

22,1 1 [ZE r ir (2.25)

donde 1 i . Definiendo la frecuencia de vibracin amortiguada VZ como

21 [ZZ V (2.26) la solucin (2.25) se transforma en

Vir ZZ[ r 2,1 (2.27) La solucin general de la ecuacin (2.13) puede escribirse en la forma

trtr ecectu 21 21 (2.28)

31

y sustituyendo 1r y 2r por la expresin dada en (2.27), se obtiene finalmente

\ZZ[ tseneAtu Vt (2.29) Los coeficientes A y \ se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema. En la figura 2.3 se ha representado grficamente la vibracin del sistema para un desplazamiento inicial 0u .

Figura 2.3 Vibraciones libres amortiguadas de un sistema con un solo grado de libertad. La ecuacin del movimiento (2.13) se expresa en ocasiones en la forma

02 2 tututu ZZ[ (2.30) en donde se ha utilizado la ecuacin (2.24) que define la fraccin del amortiguamiento crtico. La evaluacin del amortiguamiento de una estructura es un problema esencial de la dinmica. En general se resuelve utilizando tcnicas de identificacin de sistemas. Estas tcnicas permiten la estimacin de las caractersticas estructurales midiendo la excitacin dada a la estructura as como su respuesta durante el ensayo. Aunque la descripcin de tales procedimientos no figura entre los objetivos de este libro, se da a continuacin un mtodo experimental relativamente simple que permite la estimacin del coeficiente de amortiguamiento en sistemas con un solo grado de libertad. Considrese el modelo de la figura 2.2 sometido a un desplazamiento inicial conocido 00 uu y teniendo una velocidad inicial nula. Su respuesta est dibujada en la figura 2.3, de acuerdo con la ecuacin (2.29). La diferencia entre dos instantes de tiempo 1nt y nt que corresponden a dos amplitudes consecutivas, se define como el perodo VT del modelo con un solo grado de libertad con amortiguamiento

VnnV ttT Z

S21

(2.31)

El mtodo para determinar el coeficiente de amortiguamiento parte de la definicin del decremento logartmico del amortiguamiento ' como el logaritmo natural del cociente entre dos amplitudes sucesivas de la respuesta

32

1max

maxln

'n

n

uu

(2.32)

Un dibujo similar al de la figura 2.3 puede obtenerse de modo experimental, registrando la respuesta de un modelo sometido a las mismas condiciones iniciales. A partir del ensayo puede obtenerse un valor experimental e' del decremento logartmico, midiendo dos amplitudes consecutivas de la respuesta y sustituyndolas en (2.32). Al mismo tiempo puede deducirse una expresin del valor terico t' del decremento logartmico del amortiguamiento a partir de su misma ecuacin de definicin (2.32). Si la amplitud de la vibracin se expresa sustituyendo la ecuacin (2.29) en (2.32)

teAu Z[ max el valor terico t' puede ponerse en la siguiente forma:

Vnnn

nTtt

t

tt ee

eAeA [Z[

Z[

Z[lnlnln 1

1 '

(2.34)

Si se iguala ahora el valor terico del decremento logartmico del amortiguamiento al valor experimental

et ' ' se obtiene la siguiente expresin:

eVT ' Z[ (2.35)

de donde se calcula la fraccin del amortiguamiento crtico

V

e

TZ['

(2.36)

En el caso de las estructuras normales de Ingeniera Civil, la fraccin del amortiguamiento crtico toma valores comprendidos entre 0.02 y 0.2, pudindose aproximar VZ por Z a partir de la expresin (2.26). De aqu se deduce tambin

SZZ 2 | TTV (2.37) Y, en consecuencia, la fraccin del amortiguamiento crtico puede expresarse por

S[ 2e'

(2.38)

As pues, si se miden dos amplitudes consecutivas, la ecuacin (2.38) proporciona el valor de [ . Una mejor exactitud se consigue si se obtiene e' midiendo

33

las amplitudes correspondientes a n y kn de la respuesta, expresndose en este caso el valor de [ en la forma

kn

n

uu

ke

'max

maxln1 (2.39)

2.1.3 Modelo amortiguado. Vibraciones forzadas Considrese el sistema dinmico de la figura 2.4, cuya respuesta tx es producida por un movimiento ssmico del terreno de aceleracin ta .

Figura 2.4 Modelo ssmico con un grado de libertad.

Se supone que el sistema tiene invariancia temporal, es decir, que si la respuesta producida por una excitacin tag es tu , una excitacin 0ttag trasladada 0t proporciona una respuesta 0ttu , siendo 0t una constante arbritaria. Bajo tal supuesto, el movimiento del sistema viene regido por la ecuacin diferencial de coeficientes constantes

tftamtuktuctum g (2.40) Los sistemas con un solo grado de libertad, tal como el de la figura 2.4, son los modelos dinmicos ms simples susceptibles de ser utilizados para analizar el comportamiento dinmico de una estructura. Desde un punto de vista terico, su aplicacin en la resolucin de problemas de tipo prctico est restringida a unos pocos casos, concretamente a aqullos en que la masa est concentrada en un solo punto, vibrando adems dicha masa en una sola direccin. Sin embargo, el estudio de los sistemas con un solo grado de libertad es importante, debido al hecho de que en muchos casos los sistemas ms complejos con varios grados de libertad pueden resolverse por superposicin de sistemas simples. De esta forma, en las aplicaciones prcticas proporcionan una va aproximada pero sencilla para determinar la respuesta de sistemas estructurales complejos, permitiendo explicar asimismo algunos aspectos fundamentales relacionados con el comportamiento ssmico de tales estructuras. Otro aspecto interesante es que la respuesta puede obtenerse expresando la solucin de las ecuaciones del movimiento en forma explcita. Dicha solucin depende de un nmero reducido de parmetros cuya influencia puede estudiarse con facilidad.

34

En este apartado se resuelve la ecuacin del movimiento (2.40) en el dominio del tiempo. Se analizar en primer lugar el caso en que la excitacin sea de tipo armnico para pasar seguidamente a estudiar el caso de excitacin de cualquier tipo.

a) Excitacin armnica

Supngase que la fuerza externa tf de la expresin (2.40) viene dada por:

tietf T (2.41)

en donde 1 i y T es la frecuencia de la excitacin. La solucin general de la ecuacin (2.40) ser suma de la solucin de la homognea ms una solucin particular:

ph uuu (2.42)

La solucin de la homognea hu depende de las condiciones iniciales y se disipa rpidamente. La solucin particula pu corresponde a la parte estacionaria de la solucin. Por ello, no se tendr en cuenta la solucin de la homognea y se estudiar nicamente la solucin estacionaria. En este caso, la solucin u puede escribirse

tieHu T (2.43) La funcin H es conocida con el nombre de funcin de transferencia compleja del sistema. Derivando una y dos veces respecto a t la expresin anterior e introducindola en (2.40) se obtiene:

kcimH

TT 2

1 (2.44)

Y tambin:

12

112

ZT[Z

T ikH (2.45)

en donde se ha utilizado la relacin mk /2 Z Por otro lado, el mdulo de H viene dado por:

222

21

11

ZT[Z

TkH (2.46)

y si se introduce la notacin

35

222

21

1

ZT[Z

TD (2.47)

la expresin (2.46) queda

Dk

H 1 (2.48)

A la funcin D se le denomina funcin de amplificacin dinmica del sistema, y viene representada en la figura 2.5. El motivo de tal denominacin es el

Figura 2.5 Funcin de amplificacin D

siguiente: Si de la ecuacin dinmica (2.40) sometida a la excitacin dada por (2.41) se realizara un anlisis puramente esttico, el mximo desplazamiento valdra:

k

u tse1

max (2.49)

con lo cual la expresin (2.46) se escribe:

DuH tsemax (2.50) Y por tanto, a partir de (2.43) el mximo desplazamiento dinmico vale:

DuHu tsemaxmax (2.51) con lo cual, como puede verse, D representa la amplificacin que realiza el sistema dinmico de la respuesta esttica (fenmeno de resonancia). Es interesante la observacin de la figura 2.5 en donde se observa la variacin de D en funcin de la

36

relacin de frecuencias ZT / (frecuencia entrante dividido por la frecuencia del sistema). Cuando la frecuencia de entrada iguala a la del sistema se produce resonancia. En este caso la funcin de amplificacin dinmica vale

[21 D (2.52)

con lo cual, D toma el valor infinito para amortiguamiento nulo. Cuando la fuerza de excitacin tf corresponde al caso ssmico, y dicha excitacin ssmica tag viene dada por una funcin armnica se tendr:

tig eAmtamtf T (2.53) con lo cual la respuesta viene dada por

HAmu (2.54) y tambin

ZT[TZ iAu 21

22 (2.55)

b) Excitacin cualquiera

Puede demostrarse que cuando la excitacin tf es cualquiera, la respuesta

temporal viene dada por

> @ WWZWZWZ[ dtef

mtu t

t sin1 0 (2.56)

que para el caso de excitacin ssmica se escribe

> @ WWZWZWZ[ dteatu t

t

g sin1 0 (2.57)

La integral (2.56) (o bien la (2.57)) recibe el nombre de integral de Duhamel. El clculo de la solucin general de la ecuacin del movimiento puede efectuarse de manera directa utilizando la ecuacin (2.56), lo que requiere la evaluacin de la solucin particular determinada por la integral de Duhamel. En la mayora de los casos dicha integral debe ser resuelta numricamente, lo que requiere una previa discretizacin de la accin, con la consecuente distorsin de la seal de entrada. Sin embargo, muchos tipos de acciones dinmicas como, por ejemplo, las aceleraciones ssmicas tag , pueden representarse por una secuencia de rectas definidas a trozos, en intervalos de tiempo desiguales (figura 2.6). En tal caso, la integral de Duhamel tiene primitiva y por lo tanto puede obtenerse la solucin analtica de la ecuacin del movimiento.

37

A fin de obtener la mencionada solucin, se suponen para el sistema condiciones iniciales nulas, con lo cual el problema se reduce al clculo de la primitiva de la integral de Duhamel de la ecuacin (2.57). Es conveniente expresar dicha integral en la siguiente forma:

> @ttBttAetut

ZZZZ[

cossin

(2.58)

donde

t g deatA 0 cos WWZW WZ[ (2.59)

Figura 2.6 Funcin de excitacin lineal.

t g dseneatB 0 WWZW WZ[ (2.60)

Segn se observa en la figura 2.6, la excitacin tag es recta dentro del intervalo ii tt ,1 y, por tanto, puede expresarse como

11 iigg tstaa WW (2.61) donde s corresponde a la pendiente de la recta

1

1

ii

igig

tttata

s (2.62)

Utilizando la ecuacin (2.61) se obtienen primitivas exactas para las integrales (2.59) y (2.60), las cuales una vez calculadas tienen la siguiente forma:

> WZ[WZ[ZZ[

cos21 221 saetAtA g

t

ii

+ @ ii

ttg sensa 12 WZ[WZ

(2.63)

38

> WZ[WZ[ZZ[

sensaetBtB gt

ii2

21 21

+ @ ii

ttg sa 1cos2 WZ[WZ

(2.64)

Tambin es posible obtener la respuesta exacta para la velocidad tu y para la aceleracin relativa tu del sistema, derivando la integral de Duhamel y expresando la respuesta en trminos ya conocidos

> @ tutsentBttAetu t [ZZZZ[ cos (2.65)

tatututu g Z[Z 22 (2.66) siendo las integrales tA y tB las mismas de las ecuaciones (2.63) y (2.64). La ecuacin del movimiento puede resolverse utilizando mtodos de integracin paso a paso. Dichos mtodos sern descritos para sistemas de muchos grados de libertad, por lo que no se exponen aqu. 2.2 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD. INTEGRACIN EN FRECUENCIAS Considrese nuevamente la ecuacin del movimiento para un sistema con un solo grado de libertad sometido a una excitacin de tipo ssmico

tamtuktumtum g Z[2 (2.64) Haciendo uso del hecho de que la excitacin tag es una seal finita y distinta de cero solamente para 0!t , la transformada de Fourier de la excitacin dada por (2.64) se expresa

f 0 dtetamA tig TT (2.65) Con lo cual, tomando transformadas de Fourier a la izquierda y derecha de la expresin (2.64) se obtiene

TTTZ[T AUkimm 22 (2.66) Siendo TU la transformada de Fourier de la respuesta:

f

0

dtetuU tiTT

es decir:

39

HAU T (2.67)

con lo cual, la respuesta en el tiempo se obtendr mediante la transformada inversa de Fourier

f

02

1 TTST deUtu ti

(2.68)

La respuesta en el tiempo del sistema puede obtenerse de esta forma aplicando sucesivamente la ecuacin (2.65) para calcular la transformada de Fourier de la excitacin TA , la ecuacin (2.67) para obtener la respuesta en el campo complejo de la frecuencia TU y la ecuacin (2.68) para determinar la respuesta en el dominio temporal tu del sistema. Este procedimiento implica la determinacin numrica de la transformada directa de Fourier [ecuacin (2.65)] as como de la transformada inversa [ecuacin (2.68)]. Tal como se ha sealado anteriormente, en Ingeniera Ssmica la aceleracin del terreno tag viene dada en forma discreta por sus valores mximos y por sus correspondientes instantes de tiempo. De esta manera, y puesto que en general no se dispone de mtodos analticos, deben utilizarse procedimientos numricos. Por ello, la implementacin numrica de estos mtodos se hizo posible en la prctica solamente despus del desarrollo de la Transformada Rpida de Fourier (FFT) mediante el algoritmo de Cooley-Tukey. La primera etapa para la evaluacin numrica del par de transformadas de Fourier consiste en el desarrollo de las transformadas discreta de Fourier (DFT) directa e inversa, correspondientes respectivamente a las transformadas directa e inversa de Fourier expresadas por las ecuaciones (2.65) y (2.68). La transformada discreta de Fourier de la excitacin se define por

f

f

'' n

nig enaA

WTWT

> @ccc TTTWST ,'

(2.69)

en donde la aceleracin ssmica ta est muestreada a intervalos regulares W' . La seal ssmica es finita, esto es, Tt dd0 . Si ta se muestrea mediante N puntos equiespaciados, la transformada discreta limitada de Fourier se define por

1,,0221

0

'

NkejaTkA

jkNiN

jgN !

SWS

(2.70)

Puede demostrarse que el valor de TkAN S2 es igual al valor de NA correspondiente a la frecuencia negativa TNk S2 , cuando k es mayor que 2N . Por tanto, la

40

transformada discreta de Fourier (2.65) puede determinarse de forma aproximada mediante la transformada discreta limitada de Fourier, tal como sigue

2,,0,2

2 1

0

2

NnkT

kA

ejaT

kA

N

N

j

jkN

i

d

'

''|

!SW

WWSS

(2.71)

Recprocamente, la transformada discreta inversa de Fourier de la respuesta, es decir, la respuesta del sistema en el dominio del tiempo, puede escribirse como

|'

1

0

221 N

k

jkN

ie

TkU

Tju

SSW (2.72)

Se puede demostrar [*] que el par de transformadas discretas (2.71) y (2.72) son exactas cuando tag es una funcin limitada en banda > @CC TT , , esto es, 0 TA si

CTT t . Existen diferentes algoritmos numricos eficientes para calcular el par de transformadas discretas de Fourier de una seal finita cualquiera, pero el ms comnmente utilizado es la transformada rpida de Fourier (FFT). Dicho mtodo tratado con detalle por numerosos autores, puede verse en los diferentes textos de Clculo Numrico o en muchas de las libreras de los diferentes sistemas operativos.

41

Captulo 3 SISTEMAS LINEALES CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 3.1 INTRODUCCIN En los captulos anteriores se han estudiado las propiedades dinmicas de los sistemas estructurales, plantendose las ecuaciones que rigen su comportamiento frente a las acciones ssmicas. En este captulo se aborda la solucin de los sistemas elsticos con varios grados de libertad, resolvindolos, bien en el tiempo o bien en el campo de la frecuencia. Se incluyen los mtodos de integracin paso a paso que, si bien tienen ms aplicacin en la solucin de sistemas no lineales (en los cuales no es posible utilizar las tcnicas descritas en este captulo), revisten tambin considerable inters. Aunque los procedimientos y metodologas expuestas son vlidas para cualquier accin de tipo dinmico, dada su gran importancia, dichas acciones se particularizarn para el caso ssmico. El mtodo del desacoplamiento modal es el ms usado en el clculo ssmico de estructuras elsticas, pues aparte de su mayor rapidez frente a otros mtodos, proporciona una cierta visin conceptual al utilizar n formas modales de vibracin, sirven adems como nuevas coordenadas a las que referir los desplazamientos estructurales de respuesta. Dicho mtodo permite obtener dos tipos de respuesta: primeramente la historia en el tiempo de la respuesta, mediante la cual la respuesta se obtiene en cada instante de tiempo; en segundo lugar la respuesta estructural mxima, que se calcula utilizando los espectros ssmicos de respuesta. El uso de uno u otro procedimiento depende fundamentalmente de los resultados deseados, teniendo presente que a mayor cantidad de informacin corresponde tambin una mayor necesidad de memoria del ordenador y de tiempo de clculo; al mismo tiempo, mucha de la informacin que proporciona el clculo de la historia de la respuesta en el tiempo tiene escaso valor prctico en el diseo de estructuras. En cualquier caso, es importante observar que el mtodo del desacoplamiento modal, tal como se expone en los apartados siguientes, es vlido nicamente cuando se est en presencia de matrices de amortiguamiento proporcionales. 3.2 DESACOPLAMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO El sistema de ecuaciones dinmicas correspondientes a una estructura con n grados de libertad se escribe utilizando (1.38)

tagJMuKuCuM (3.1) Las correspondientes vibraciones libres no amortiguadas del modelo estructural estn descritas por el sistema de ecuaciones

0uKuM (3.2) La expresin anterior admite la solucin

42

tie Zu (3.3)

que sustituyendo en (3.2) se obtiene:

02 KMZ (3.4) La expresin anterior corresponde a un problema generalizado de autovectores. Su solucin consiste en n valores de denominados autovalores o frecuencias propias y en n valores de denominados autovectores. Dichos autovectores, denominados formas modales, son ortogonales respecto a las matrices de masa y de rigidez. Al formar > @ni !!1 una base completa, es posible escribir

n

iii ty

1

u (3.5)

en donde tyi es un escalar funcin del tiempo, a determinar, llamada respuesta generalizada. Sustituyendo (3.5) en (3.1), se obtiene la siguiente ecuacin:

n

igii

n

i

n

iiiii tatytyty

11 1

JMKCM (3.6)

y premultiplicando por el transpuesto de un autovector cualquiera j , (3.6) se escribe de la forma

n

ig

Tjii

Tj

n

i

n

iii

Tjii

Tj

taty

tyty

1

1 1

JMK

CM

(3.7)

De acuerdo con la ortogonalidad de los autovectores resulta que

n

ijj

Tji

Tj M

1

*MM (3.8 a)

n

ijj

Tji

Tj K

1

*KK (3.8 b)

Y, si como es lo habitual, se est frente a matrices de amortiguamiento ortogonales, se tiene tambin

n

ijj

Tji

Tj C

1

*CC (3.8 c)

43

Esto quiere decir que la ecuacin (3.7) puede expresarse en una forma similar a la de la ecuacin de movimiento correspondiente a un sistema con un grado de libertad, como

tatyKtyCtyM gTjjjjjjj JM *** (3.9) En consecuencia, el sistema de ecuaciones (3.1) queda reducido a n ecuaciones independientes del tipo (3.9), cada una de ellas similar a la ecuacin (1.23), correspondientes al modelo con un solo grado de libertad. La ecuacin (3.9) puede tambin escribirse, como es usual, en la forma

tatytyty gj

Tj

Tj

jjjjjj MJM 22 ZZ[

(3.10)

En donde jZ es la frecuencia propia asociada a la forma modal j , y j[ es la fraccin del amortiguamiento crtico para cada modo. La ecuacin (3.10) puede solucionarse utilizando cualquiera de los procedimientos estudiados en el Captulo 2: resolviendo numricamente la integral de Duhamel; mediante integracin paso a paso; aplicando el mtodo exacto de integracin a trozos de las ecuaciones del movimiento, etc. Con respecto al desacoplamiento modal, es preciso destacar por su importancia el siguiente aspecto: debido a la propia discretizacin de la estructura y a errores de clculo numrico, a medida que se aumenta el orden de las frecuencias, los errores que stas contienen son mayores, con lo que las correspondientes a los primeros modos de vibracin son tambin las ms exactas. Por otra parte, al ser los modos inferiores los que contienen menor energa elstica de deformacin, son los que influyen en mayor medida en la respuesta de la estructura, contribuyendo los modos ms elevados solamente con perturbaciones y errores. Por todo ello, la ecuacin (3.5) se suele escribir de la forma.

q

iii tyt

1u

(3.11)

Siendo usualmente nq y en cualquier caso nq , por lo que el nmero de ecuaciones del tipo (3.10) a resolver es considerablemente menor que n, con todas las ventajas que de ello se derivan. La transformacin de la ecuacin (3.5) en la (3.11) es muy beneficiosa, ya que la mayor cantidad de tiempo de clculo de ordenador requerido para el clculo de la respuesta de la estructura se invierte en la bsqueda de los valores y vectores propios, con lo cual dicho tiempo se reduce considerablemente si en vez de hallar todos los modos propios se hallan solamente unos pocos, precisamente los correspondientes a las frecuencias ms bajas. Pinsese adems en la gran cantidad de memoria necesaria para almacenar todos los autovectores, cuando el nmero de grados de libertad crece. 3.3 HISTORIA DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO Una primera forma de hallar la respuesta de la estructura consiste en obtener la variacin en el tiempo de los corrimientos y esfuerzos de cada grado de libertad del modelo estructural. ste es el as llamado procedimiento de clculo de la historia de la

44

respuesta en el tiempo. Para ello, una vez obtenida la solucin de (3.10), es decir ty , por cualquiera de los procedimientos desarrollados en el captulo anterior, basta sustiturla en (3.11) para obtener la historia de los desplazamientos tu . Una vez obtenida sta, el clculo de los esfuerzos se realiza por los procedimientos ya conocidos, como si de un anlisis esttico se tratara. Este procedimiento proporciona en los casos habituales un exceso de informacin de la respuesta, ya que a efectos de diseo es suficiente conocer la respuesta mxima. Este exceso de informacin se obtiene, obviamente, a costa de un mayor tiempo de clculo y de ms necesidades de espacio de memoria. Adems, hay que tener en cuenta que las normas de diseo ssmico no proporcionan la aceleracin

tag en la base de la estructura de forma explcita, sino que definen la accin mediante sus espectros ssmicos de respuesta. Es evidente que a partir de estos ltimos pueden generarse famlias de acelerogramas compatibles, pero al mismo tiempo el uso de espectros de respuesta permite la aplicacin de procedimientos ms rpidos de obtencin de la respuesta mxima. La historia de la respuesta en el tiempo es conveniente, sin embargo, en algunos casos concretos. Considrese, por ejemplo, la estructura de la figura 3.1, en la cual en el nivel intermedio existe una cierta subestructura. Esta subestructura, por su menor significacin en la respuesta, no ser tenida en cuenta en el estudio global, pero para su clculo especfico es evidente que la accin que la afecta ser la respuesta en el punto A de la estructura considerada globalmente.

Fifura 3.1 Estructura con una subestructura en una planta.

Una forma posible de proceder es hallar la historia de la respuesta en los puntos donde se sitan subestructuras, a fin de obtener sus espectros de respuesta. Dichos espectros definen la accin de clculo para cada subestructura. Problema resuelto. Considrese la estructura de la figura 3.2. La aceleracin en la base expresada en 2sm vale:

tsentag 62 y la fraccin del amortiguamiento crtico es 05.0 [ . Hallar la respuesta en desplazamientos de la estructura.

45

Figura 3.2 Modelo dinmico

Solucin La ecuacin dinmica (3.1) se escribe como

> @

tsen

uuu

uuu

uuu

62111

100001500020

10

110132

02510

100001500020

10

4

3

2

17

3

2

1

3

2

14

C

Los vectores propios y las frecuencias propias valen, respectivamente

> @

srad

81.1869.1292.5

41.046.131.304.189.015.2

111,,

3

2

1

321

ZZZ

(1)

(2)

Los modos de vibracin pueden verse representados en la figura 3.3. Procediendo a realizar el desacoplamiento modal se obtienen tres ecuaciones del tipo (3.10).

46

Figura 3.3 Modos de vibracin de la estructura de la figura 3.2. (a) primer modo; (b) segundo modo; (c) tercer modo.

^ ` tatytyty gTT

11

11

211111 2 M

1 ZZ[

^ ` tatytyty gTT

22

22

222222 2 M

1M ZZ[

^ ` tatytyty gTT

33

33

233333 2 M

1M ZZ[

(3a)

(3b)

(3c)

y suponiendo que el amortiguamiento para todos los modos de la estructura es el mismo 05.0321 [[[ , las expresiones (3) se convierten en

tsenyyy 6858.0046.35592.0 111

tsenyyy 6706.0036.161269.1 222

tsenyyy 6448.0816.353881.1 333

(4a)

(4b)

(4c)

La solucin de las ecuaciones (4) con condiciones iniciales de velocidad y desplazamiento nulos es

3.162326.01 tseny

061.060056.02 tseny

036.060014.03 tseny

(4a)

(4b)

(4c)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (4) en (3.11), se obtiene (en este caso qn )

47

036.060017.00015.0

0014.0

061.060082.0

0050.00056.0

3.167699.05001.02326.0

3

2

1

tsen

tsentsenuuu

que es la respuesta en desplazamientos de la estructura. 3.4 INTEGRACIN PASO A PASO 3.4.1 Introduccin En los apartados anteriores se ha visto como el mtodo del desacoplamiento modal puede usarse de forma eficiente, tanto si se trata de obtener la respuesta en el tiempo (time history) de la estructura, como si se quiere conocer nicamente la respuesta mxima. En este apartado se van a describir y analizar algunos de los mtodos ms comunmente usados de integracin directa de las ecuaciones de equilibrio dinmico. Dichos mtodos, que obviamente pueden ser empleados en un anlisis lineal, tienen como ventaja frente a los vistos en el captulo anterior que pueden ser aplicados a problemas no lineales. Como contrapartida requieren de un mayor esfuerzo de clculo, fundamentalmente al compararlos con mtodos basados en el anlisis modal. El ingeniero estructural decidir, a la vista del tipo de problema que tenga que resolver, cual de los posibles planteamientos resuelve mejor el dilema exactitud-economa. Existen fundamentalmente dos grupos de esquemas de integracin paso a paso: esquemas implcitos y esquemas explcitos. En el primer caso, el corrimiento 1iu correspondiente al tiempo 1it se obtiene a partir de la ecuacin diferencial planteada para el tiempo 1it . La respuesta de la estructura se obtendr, por tanto, como solucin de un sistema de ecuaciones algebraicas. Por el contrario, en los mtodos explcitos la solucin en el tiempo 1it se obtiene a partir de la ecuacin de equilibrio en el tiempo

it , pudiendo evitarse por lo general el tener que resolver ningn sistema de ecuaciones. Esta gran ventaja de los mtodos explcitos viene acompaada de un inconveniente tambin grande, el cual hace referencia al intervalo t' de integracin. Se plantea de esta forma el problema de la estabilidad, entendida en el sentido de que la solucin progrese de forma acotada. En efecto, mientras que en los esquemas implcitos que se vern la solucin no se ve artificialmente amplificada cualquiera que sea el incremento de tiempo t' elegido para la integracin (esquemas incondicionalmente estables), en los mtodos explcitos existe un intervalo t' crtico por encima del cual la solucin se amplifica de forma artificial (esquemas condicionalmente estables). Por lo tanto, en los esquemas implcitos el intervalo de integracin temporal puede ser superior (normalmente hasta un orden de magnitud) al intervalo requerido para los esquemas explcitos. Por otra parte, la programacin de los mtodos explcitos es ms simple que en el caso de los implcitos. De entre los mtodos implcitos se van a desarrollar el de Newmark. De entre los explcitos se expondr el mtodo de las diferencias centrales.

48

Se estudian en el apartado siguiente algunas de las caractersticas ms importantes de los mtodos de integracin directa; posteriormente, el estudio de estas caractersticas se particulariza para cada uno de los mtodos especficos que aqu se tratan. 3.4.2 Conceptos bsicos de los mtodos paso a paso Los mtodos de integracin directa tratan de hallar la historia de la respuesta dinmica en el tiempo, bien para sistemas lineales, bien para sistemas no lineales. El punto de partida lo constituir, por tanto, la ecuacin (3.1). Dicha respuesta no se obtiene como una funcin continua, sino nicamente en una serie de tiempos predeterminados it . La forma general de proceder en todos estos mtodos consiste en expresar las velocidades y aceleraciones para un instante de tiempo determinado, en funcin nicamente del corrimiento correspondiente al tiempo en que se quiere hallar la solucin y de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones ya conocidas correspondientes a tiempos anteriores. Estas ecuaciones en diferencias, juntamente con la ecuacin diferencial particularizada para itt o 1 itt , permiten obtener la solucin, conocida la de los instantes de tiempo anteriores. Se llega, en consecuencia, para cada paso, a una ecuacin recurrente del siguiente tipo: en donde es la respuesta de la estructura y es una matriz caracterstica de cada esquema de integracin. El trmino Di hace referencia a las ordenadas del acelerograma incluidas en el anlisis para el clculo de la respuesta en 1it . Por otra parte, se ha visto antes que los esquemas explcitos son condicionalmente estables. Seguidamente se trata con ms detalle el problema de la estabilidad. Considrese el problema de vibraciones libres con condiciones iniciales. La ecuacin recurrente anterior se escribe en la forma

ii 1 Aplicando esta ecuacin sucesivamente a todos los tiempos anteriores, resulta

112

1 i

iii ! Tomando normas de la ecuacin anterior se tiene la desigualdad

11 i

i d en donde las normas de son normas eucldeas y la norma de es la norma espectral, la cual, como es sabido, viene dada por el valor del mdulo del mayor autovalor

> @ 11 ii Ud

D iii 1

49

siendo U el radio espectral

iOU max Es evidente, por tanto, que la solucin en