introducciÓn a las funciones 2

8/14/2019 iNTRODUCCIN A LAS FUNCIONES 2

1/51

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL VALLEJO

MATEMTICAS IV

ASIGNATURA DE MATEMTICAS IV

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMTICAS

FUNCIONES:

POLINOMIALES

TRIGONOMTRICAS

EXPONENCIALES

LOGARITMICAS

LIBRO I I

2005-2006


2/51

MATEMTICAS IV.

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE

DE MATEMATICAS IV

PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS

AUTORES:

Clementina Mendoza Carrillo

Roberto Laguna Luna

LIBRO I I

2005-2006

DIRECTOR


3/51

SECRETARIA GENERAL

SECRETARIA ACADEMICA

SECRETARIA DOCENTE

SECRETARIA DEL SILADIN

SECRETARIA ESTUDIANTIL

SECRETARIA DE SERVICIOS ACADEMICOS

SECRETARIA ADMINISTRATIVA

SECRETARIA DE SERVICIOS ESCOLARES

JEFE DE SECCIN ACADEMICA

JEFE DEPTO. IMPRESIONES

PRESENTACIN


4/51

Como siempre nuestra mxima preocupacin es el aprendizaje que podamos promover

en nuestros alumnos.

En este material se sealan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la

asignatura de matemticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad

Nacional Autnoma de Mxico y la interpretacin personal que los autores hacen del

mismo, as como los contenidos temticos que lo conforman; para finalmente presentar

algunas fichas bibliogrficas de los textos que se pueden consultar con el fin de contar

con los elementos suficientes para la resolucin de problemas.

OBJETIVOS GENERALES

Este material est diseado de forma que los contenidos temticos se dividan en un

nmero de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del programa

de Matemticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento perdurable

sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo de los ejes

temticos debe cobrar sentido en la percepcin que los alumnos tienen respecto al

mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su capacidad de trabajo y

sus aptitudes para la investigacin, bsqueda de interrogantes y respuestas, que

propenda a la comunicacin de ideas. Las definiciones, problemas y ejercicios van de

acuerdo al nivel de estudio de los alumnos, por lo que el grado de profundidad permite

que los alumnos practiquen el razonamiento deductivo, eficientando el uso de

herramientas de matemticas: tablas, graficas, lenguaje de matemticas, el uso de

calculadora y la computadora.

Se pretende que este material sea til y contribuya al aprovechamiento del alumno

permitindole que:


5/51

Incremente su capacidad de resolucin de problemas, al conocer y manejar

nuevas herramientas para modelar y analizar situaciones y fenmenos que se

pueden representar con las funciones estudiadas en el curso.

Enriquezca y utilice de manera integrada, diversos conceptos y procedimientos

de la aritmtica, el lgebra, la trigonometra, la geometra euclidiana y analtica,

en el estudio y modelacin del tipo de funciones expuestas en este curso.

Modele diversas situaciones que involucren variacin funcional, a travs del

anlisis del comportamiento de la funcin respectiva, obteniendo informacin y

conclusiones sobre la situacin modelada.

Consolide su manejo del plano cartesiano, a travs de la graficacin de

funciones y el dominio de la vinculacin entre los parmetros y las

caractersticas de la grfica asociada.

ENFOQUES Y CONTENIDOS

El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas

de la matemtica.

La cultura bsica que contina desarrollando el proyecto originario de 1971, es

formativo y pone nfasis en las habilidades de trabajo intelectual y en el

aprendizaje;


6/51

El uso de fuentes y la superacin del aprendizaje de comentarios que asume el

profesor como proveedor principal, si no exclusivo de informacin y conocimiento,

mientras que el modelo del colegio promueve que el alumno recurra directamente a

las fuentes de la cultura e informacin primarias;

La definicin del alumno como sujeto de su formacin y de la cultura, capaz de

comprender los contenidos de la enseanza, pero tambin de dar cuenta de sus

fundamentos, y si fuera de caso de trascenderlos y modificarlos, como sujeto

crecientemente autnomo en su saber y crtico.

La relacin de los aprendizajes con la experiencia personal del alumno y su

capacidad de aplicarlos, de maneras que su cultura sea no nicamente escolar ni

conceptual, sino prctica y productiva e interdisciplinaria por la combinacin de

aprendizajes procedentes de distintos campos del saber y del hacer.

Aprender a aprender

Aprender a hacer

Aprender a ser

Sntesis prctica de los enfoques desarrollados.

ARITMTICA Y ALGEBRA

FUNCIONES ESTADSTICA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


7/51

Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con otras

ramas de las matemticas y que en el tema de funciones terminan por aterrizar.

De la solucin de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos que

desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y

condiciones del alumnado.

El material introduce:

Conceptos

Planteamientos de situaciones

Dificultades operativas

Relacin y correspondencia entre variables.

Interpretacin de graficas.

ENFOQUE DE LA MATERIA

Muchos de los contenidos temticos de los programas de matemticas del Colegio

de Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currculo de

cualquier institucin educativa del nivel medio superior del pas. Sin embargo, la

forma de enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la

diferencia y atiende a los principios educativos que pretende cada institucin.


8/51

De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepcin de la

matemtica conlleva una intencin del para qu queremos ensearla, y cmo

contribuye a la formacin de un sujeto capaz de buscar y adquirir por s mismo

nuevos conocimientos; adems de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de

forma reflexiva, analtica, sistemtica y constructiva.

Por ello, en el CCH se concibe a la matemtica como una disciplina que:

Posee un carcter dual: Es una ciencia y una herramienta.

Manifiesta una gran unidad.

Contiene un conjunto de simbologas propias y bien estructuradas, sujetas a

reglas especficas que permiten establecer representaciones a distintos

niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construccin como

ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones.

El libro conserva el enfoque, metodologa distribucin en el tiempo y

profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.

ENFOQUE DIDCTICO

Como en el CCH, un aspecto fundamental es la bsqueda del desarrollo de habilidades

de pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos,

se plantea que la puesta en prctica de estos programas, la enseanza considere:

Promover la formacin de significados de los conceptos y procedimientos,

cuidando que stos surjan como necesidades del anlisis de situaciones o de

la resolucin de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente,

con una actividad prctica de aplicacin en diversos contextos. Las


9/51

precisiones tericas se establecern cuando los alumnos dispongan de la

experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensin.

Propiciar, sistemticamente, el trnsito entre diversos conceptos,

procedimientos, mtodos y ramas de la matemtica.

Fomentar el trabajo en equipos para la exploracin de caractersticas,

relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la

discusin razonada; la comunicacin oral y escrita de las observaciones o

resultados encontrados.

Se proponen actividades de aprendizaje que propician la activa participacin

del estudiante en el proceso de aprendizaje, mediante su interaccin con

compaeros y profesor, as como a travs de la manipulacin que hace del

objeto de conocimiento.

CONTRIBUCIN DEL REA DE MATEMTICAS

AL PERFIL DEL EGRESADO

Por lo anterior se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su

aprendizaje, adquiera un desempeo satisfactorio en la comprensin y manejo de los

contenidos de los cinco ejes temticos ( lgebra, Geometra, Trigonometra,

Geometra Analtica y Funciones), y desarrolle:

Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.

Adquisicin de aprendizajes de manera independiente.


10/51

Comprensin de conceptos, smbolos y procedimientos matemticos a

nivel bachillerato.

Capacidad de anlisis.

Capacidad de formular conjeturas.

Capacidad de aprender acierto-error.

Capacidad para generalizar.

Habilidad en el manejo de estrategias.

Incorporacin de lenguaje cientfico.

Aplicacin de conocimientos.

Inters por la lectura y comprensin de texto cientfico.

Valoracin del conocimiento cientfico.

CONTENIDO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Nombre de la unidad No. Horas

1. - FUNCIONES POLINOMIALES duracin 20

hrs.


11/51

2. - FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES duracin 20 hrs.

3. - FUNCIONES TRIGONOMTRICAS duracin 20

hrs.

4. - FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS duracin 20

hrs.

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, Mxico 2000.

Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Grficas. Mc. Graw-Hill, Mxico

2000

Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. lgebra y trigonometra con aplicaciones.

Trillas, Mxico 1998.

Larson, Ronald, Hostetler, Robert. lgebra. Publicaciones, Cultural, Mxico 1996.


12/51

Leithol, Louis. Matemticas previas al clculo: Anlisis Funcional y Geometra

Analtica, Harla, Mxico 1996.

Sullivan, Michael. Preclculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, Mxico 1997.

Swokowski, Earl W. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Grupo

editorial Iberoamericana, Mxico 2002.

Rodrguez, Fco., et al. Paquete didctico para Matemticas IV. Gua del profesor.

CCH Oriente. UNAM. , Mxico 2002.

Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., Mxico, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto,Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Ri de Janeiro.

Bohuslov, Ronald, Geometra analtica, introduccin al precalculo, Union tipografica

editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. Mxico 1983.

Santal Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Clculo Diferencial e Integral,

Grupo Editorial xodo, Mxico 2004.

Lehmann, Charles H. , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering ,

Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . Mxico 1989.

Diplomado en docenca de ciencias y humanidades en el contexto actual

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Conociendo al Colegio, retrospectiva y anlisis del modelo del Colegio de Ciencias y

Humanidades..Rito Tern Olgun, Jos de J Bazn Levi, Alejandro Garca, Alfonso

Lpez Tapia, Zoilo Ramrez Maldonado.


13/51

NDICE

Pg.

Presentacin----------------------------------------------------4

Bibliografa sugerida ---------------------------------------11

Evaluacin diagnostica ------------------------------------25 Duracin: 2hr.


14/51

MATEMTICAS IV

TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

UNIDAD DOS. FUNCIONES CON RACIONALES Y RADICALES

DURACIN 20 HRS.

NUM. TEMTICA Y OBJETIVOS___________________

Funciones racionales

2.1 El estudiante:2.1.1 Explorar situaciones o problemas que dan lugar a una funcin racional, en

particular las que involucran variacin inversa o inversamente proporcional

al cuadrado de la variable. Analizar las relaciones y comportamientos que le

permitan obtener informacin para establecer su representacin algebraica.

2.1.2 Establecer la regla de correspondencia de una funcin racional, asociada a un

problema.


15/51

2.1.3 A partir de la regla de correspondencia de una funcin racional, elaborar una

tabla de valores que le permita construir su grfica e identificar su(s) punto(s)

de ruptura y asntotas.

2.1.4 Identificar el dominio de definicin y el rango de una funcin racional, a

partir de su regla de correspondencia y de las condiciones del problema.

2.1.5 Interpretar los resultados de la tabla o de la grfica de una funcin racional, y

obtendr conclusiones sobre el problema correspondiente.

2.1.6 Resolver problemas sobre valores extremos, en una funcin racional, por

medio de una aproximacin numrica.

Funciones con radicales

2.2 El alumno:

3.1 Explorar en una situacin o problema que da lugar a una funcin con

radicales. Las relaciones y comportamientos que le permitan obtener

informacin para establecer su representacin algebraica.

3.2 Establecer la regla de correspondencia de una funcin con radicales, asociada

a un problema.

3.3 A partir de la regla de correspondencia de una funcin con radicales, asociada

a un problema.

3.4 Identificar el dominio y rango de una funcin con radicales, a partir de su

regla de correspondencia y de las condiciones del problema.

3.5 Interpretar los resultados de la tabla o de la grfica de una funcin con

radicales y obtendr conclusiones sobre el problema de correspondencia.

3.6 Resolver problemas sobre valores extremos, por medio de aproximaciones

numricas en las cuales se utilicen funciones con radicales.


16/51

MATEMATICAS IV. UNIDAD 2FUNCIONES CON RACIONALES

DURACIN 10 HRS.

EVALUACIN DIAGNSTICA

1. Define al conjunto de los nmeros racionales.

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) () (1/2) =

b) 3 (2/4) + 2/5 (3) =

c) 7 (4/7) 3 (3/2) =

d) + 4/2 + 3/8 2/7 =

e) 12/3 + 3/16 4/12 4(3/8) =

3. Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica.

Q = { 2/6, 6/8, 12/5, 3/9, 23/34, 9/7, 4/11}

4. Escribe como una razn:

a) La fraccin de das transcurridos en lo que va del mes?


17/51

b) La fraccin de meses completos que han transcurrido en lo que va del ao?

c) La fraccin de aos completos que han transcurrido en lo que va del siglo?

5. Cuntas horas del da duermes?

6. Qu porcentaje del da ests despierto?

7. Qu nmero le corresponde al punto p, situado a la mitad de 1 y 0?

8. A qu nmero racional equivale?

9. Cmo se obtiene 15/ 21 a partir de 5/7?

10.

Si se han ledo 50 paginas de un libro de 230 paginas, qu parte del libro seha ledo?____________. Cunto falta por leer?

11. Un camin debe recorrer 239 2/4 Km. para llegar a una ciudad. Si harecorrido 173 3/8 Km. Cuntos Km. le faltan para llegar?

12. Encuentra las fracciones equivalentes completando lo que falta.

a) 5 / 3 =___ / -3 b) 6 / 7 = -6 / ___ c) 1 / 2 = - 1 / ___

d) x / 4 = 2 x / ___ e) 3 / ___ = 1 / 5 f) ___ / - 7 = 5 / - 35

13. Expresa los siguientes nmeros como el cociente de dos nmeros enteros:

a) 11 = ____ b) 12 = ___ c) 3 = ___ d) 0 = ___ e) 30 = ___ f) 23 =

13. Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica:

a) 1/7

b) 2/3

c) 4/5

d) e) 4/6

f) 25/ 17

14. Realiza las siguientes operaciones.

a) 7/2 + + 9/2 = b) 4/3 + 2/5 + 3/8 =

c) 8/3 3/5 = d) 34/ 23 5/3 =

e) 17/18 7/8 = f) 9/12 + 2/3 + 1/5 =


18/51

15. Obtn el m.c.d. (mximo comn divisor) de los siguientes nmeros.

a) 45, 90, 180 b) 12, 24, 36

c) 9, 6, 18 d) 15, 45, 90

e) 81, 162, 27 f) 4, 8, 12

16. Obtn el m.c.m. (mnimo comn mltiplo) de los siguientes nmeros.

a) 2,6,9 b) 3,9 12 c) 4, 8, 12 d) 3, 6, 9

e) 9, 12, 15 f) 8, 10, 12 g) 5, 10, 15 h) 10, 14, 18

17. Un camin debe recorrer 180 Km. para llegar a una ciudad. Ha recorrido123 2/5 km. Cuntos Km. le faltan para llegar?

18. Realiza las siguientes operaciones:

a) (2/3) (3/5) = b) (- 2/8) (4/6) =

19. Grfica la siguiente funcin, f(x) = x + 3


19/51

2.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones racionales:

Anlisis del tema por equipo.

Discusin guiada.

Resolucin de problemas por equipo mximo 4 alumnos.

Duracin 2 hrs.

Funciones algebraica.

Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden representar con un nmero finito

de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicacin, divisin y races.

Resuelve la siguiente funcin, para los valores dados del dominio.

F(x) = 2 x / 3 ; -2 < x < 4.

Ejemplo:

Para obtener las grficas se consideran nicamente los valores de x para los cuales la

funcin est definida y es real.

Responde SI o NO:

Las funciones racionales son algebraicas?

Actividades extra clase.

1. Un fabricante de juguetes tiene gastos fijos de $ 20,000 anuales y costos directos

(mano de obra y materia prima) de $ 50 por juguete. Escribe una expresin G(x), el


20/51

costo promedio por unidad. Si la compaa produce x juguetes cada ao. Obtngase la

grfica de G(x) y analcese la figura.

2. Una lata debe contener10 pulgadas cbicas. Escribe una frmula para f(r), el rea

total de superficie en trminos del radio r. Obtn la grfica de f(r) y utiliza esta para

obtener el radio de la lata que necesita menos material para ser producida.

3. Encuentra una formula para f(x) si f es una funcin racional cuya grfica pasa por (2,

5) y tiene exactamente dos asntotas, y = 2x + 3 y x = 3.

4. Dnde cruza la grfica de f(x) = (x3 + x2 2x + 1) / (x3 + 2x2 2) a su asintota

horizontal?

Contesta SI o NO.

1. La razn f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones, expresa una funcin

racional?

2. Las funciones que se representan as siempre son continuas?

3. Para los valores en que Q(x) = 0, es decir, los ceros del denominador. La funcin es

discontinua?

4. Los ceros del denominador indican discontinuidad en la funcin y en la grfica

representan asntotas?

Una funcin f es racional s, para toda x en su dominio f(x) = g(x) / h(x) en donde g(x) y

h(x) son polinomios.

Las funciones que se representan en esta forma son siempre continuas a excepcin de un

nmero finito de valores de la variable independiente; en particular, aquellos valores

para los cuales Q(x) = 0, es decir, los ceros de Q(x). Estos ceros se deben excluir del

dominio de f(x) con el objeto de que la razn o cociente P(x) / Q(x) tenga un

significado. Con esta restriccin el rango es un subconjunto de los nmeros reales, el


21/51

comportamiento de la grfica se desarrolla en un entorno de discontinuidad formado por

estos puntos.

Las expresiones racionales se suman, multiplican, restan, y dividen usando las mismas

reglas que se utilizan para los nmeros racionales. El resultado es siempre una expresin

racional.

Mnima Expresin.

Una expresin racional est en su mnima expresin si el numerador y el denominador

no tienen un factor comn (excepto el 1). Por ejemplo x / (x 2) est en su mnima

expresin. Para reducir expresiones racionales hay que factorizar al numerador y al

denominador y agrupar y dividir (o cancelar) los factores comunes.

Reduce las siguientes expresiones racionales:

a) x + 6 / x2 36

b) y2 + y / 5y + 5

c) (x + 2)3 / x2 4

d) zx2 + 4xyz + 4y2z / x2 + 3xy + 2y2

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios ms simples;

factorizarlo sobre los enteros es escribirlo como producto de polinomios con

coeficientes enteros.

He aqu cinco ejemplos:

X2 2ax = x(x 2a) factor comn

4x2 25 = (2x + 5) (2x 5) Diferencia de cuadrados

6x2 + x 15 = (2x 3) (3x + 5) Ensayo y error

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2 Cuadrado perfecto

x3 + 1000 = (x + 10) (x2 10x + 100) Suma de cubos


22/51

2.1.2 Nocin de intervalo en la recta real.

Discusin del tema

Investigacin en la biblioteca

Exposicin frente al pizarrn

Lluvia de ideas

Duracin 2 hrs.

Los nmeros reales y la recta numrica.

Supongamos que M denota el conjunto de los nmeros enteros

M = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, . . ., -n, n,. . .}

Y que N es el conjunto de los puntos P de una recta l, es decir,

N = {P / P es un punto de la recta l}

Con el objeto de establecer una correspondencia de M con un subconjunto de N,

primero se elige cualquier punto P0 de N, al que denominamos origen de coordenadas.

A este punto le corresponde de M al entero 0.

El punto P0 toma el punto medio de la recta l, uno de esos lados se escoge como

positivo y el otro como negativo. En el segmento positivo se marca una longitud a la

que se llama unidad, con origen en el punto P0. Al punto en que termina el segmento

unidad le corresponde el entero 1 de M y representa el rango en N; si le llamamos P1

tendremos:


23/51

1 P1.

El valor absoluto de la unidad longitud se coloca sobre la recta tantas veces como

nmeros se requieran.

As establecemos la correspondencia entre el conjunto de los nmeros y los puntos de la

recta numrica.

Ahora podemos ampliar el dominio de esta funcin manteniendo la misma longitud de

la unidad de distancia y el mismo punto donde acaba la unidad, considerando el

conjunto de nmeros racionales R.

R = { r = p/q / p, q M y q 0}

A cada nmero racional le corresponde un punto de la grfica de tal manera que:

r Pr ; r R ; Pr N

Segn esto la distancia entre dos puntos se da por:

Distancia Pa Pb = /b a/.

Veamos ahora cmo se localiza el punto de l que corresponde a un nmero real

irracional que, como sabemos, se puede expresar como una fraccin decimal no

peridica infinita. Por ejemplo al valor = 3.14159265. . ., le corresponde el punto P :

Se divide el segmento donde debe ubicarse el valor hasta el decimal que se desea.

Postulado

A cada uno de los puntos Px de la recta le corresponde un nmero real nico x y

recprocamente: a cada uno de los nmeros reales x le corresponde un solo punto Px

de la recta.

Cuando se lleva a cabo esta correspondencia a la recta l se le llama eje coordenado

y al nmero x se le denomina coordenada del punto. El nmero real x y el rango Px

son diferentes, sin embargo es comn referirse al punto x y no al punto Px cuya

coordenada es x.


24/51

Una recta se convierte en eje coordenado cuando a cada uno de los puntos de la recta se

le relaciona con un nmero. La recta l con coordenadas se denomina recta real o eje

real.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 recta l

Ejercicios:

1. Cules son las coordenadas de los siguientes puntos:

a) El punto est a de distancia de 1 y 3

b) El punto est localizado a 1/5 de distancia de 0 a 10.

Intervalos y desigualdades.

Ya que todo nmero real es positivo, negativo o cero, se puede enunciar ms

formalmente la relacin de orden.

Sean a y b dos nmeros reales. Se dice que a es menor que b (a < b) si y solo si (b a)es un nmero positivo. Cuando a < b entonces b es mayor que a (b > a).

Ciertos conjuntos de nmeros en el eje real se denominan intervalos, y su definicin

requiere el uso del simbolismo anterior.

Intervalo de una variable, es el conjunto de valores del dominio comprendidos entre

dos de ellos que se llaman extremos del intervalo.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo abierto es el conjunto de todos los nmeros que se encuentran entre a y b.

Amplitud del intervalo cuyos valores extremos son a y b, siendo a < b, es la diferencia

b a.

Intervalos cerrados son los que comprenden todos los nmeros que se encuentran

entre a y b, incluyendo a sus extremos.

[a, b] = {x / a x b}.


25/51

Utilizando estos conceptos, es posible describir intervalos del eje real que son abiertos

por un extremo y cerrados por el otro. Los intervalos de este tipo incluyen un extremo y

excluyen el otro. De tal manera que se dan dos posibilidades:

[a, b) = {x / a x < b} y (a, b] = {x / a < x b}

Llamados: abierto a la derecha y abierto a la izquierda, respectivamente.

Los intervalos, siendo conjuntos, estn sujetos a las leyes de operaciones, donde el

conjunto universal U es el eje real.

Ejemplos:

1. Consideremos el intervalo abierto (2, 5) y el intervalo cerrado [3, 7]. L a unin de

estos intervalos resulta del intervalo abierto por un extremo y cerrado por el otro:

(2, 5) U [3, 7] = (2, 7].

[ 3 x 7 ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8( 2 < x < 5 )


26/51

Actividad extra clase.

2. Consideremos la interseccin de los intervalos [2, 4] y (0, 5). Su interseccin est

formada solamente por las x comunes a los intervalos. Es abierto por un extremo y

cerrado por el otro (0, 4].

Las desigualdades

-2 x 4 y 0 < x < 5

Deben satisfacerse y se verifica:

0 < x y x 4

lo que indica que la interseccin es un intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la

derecha.

[ -2 x 4 ]

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

( 0 < x < 5 )

1. Obtn la interseccin de los dos intervalos cerrados [2, 3] y [3, 4]

2. Obtn la unin de los intervalos [2, 5] y [10, 12]

3. Obtn la interseccin de los intervalos [2, 5] y [10, 12]


27/51

Ahora consideremos el intervalo abierto (a, b). El complemento de este intervalo, en

smbolos (a, b) , es la unin de dos conjuntos

(a, b) = {x / x a} U { x / x b}.

El conjunto {x / x b} es un intervalo que no tiene extremo a la derecha. Se utiliza el

smbolo (infinito) para sealar la inexistencia del extremo derecho y se expresa el

intervalo por medio de:

[b, ) = {x / x b}

Empleando el smbolo - para indicar la inexistencia del extremo izquierdo en el

intervalo definido por medio de {x / x a} da:

(- , a] = {x / x a}.

El smbolo no representa un nmero real. Se aplica una terminologa y notacin

similar al intervalo (- , a], abierto a la izquierda o [b, ) abierto a la derecha. Con

estos convenios:

(a, b)= (- , a] U [b, ).

Si un intervalo es un conjunto vaco, su complemento es el eje real;

R = (- , )


28/51

Actividades extra clase:

1. Localiza el o los intervalos que corresponden a:

a) (2, 4] U [3, 6].

b) (2, 4) U )3, 6).

c) (-, 3).

d) (- , 4) U (3, )

e) (- , 4] [3, ).

Muchos de los smbolos anteriores se pueden utilizar para especificar conjuntos ms

complejos de puntos del eje real.

a) Si A = {x / x 4 0} demuestra que x 4 0 equivale a x 4, y que el intervalo

resultado es [4, ), ilstralo en la recta.

b) Si B = { x / x | x 4 |= 1} . Recordando las propiedades de los valores absolutos |x -

4| = 1 equivale a x 4 = 1 o x 4 = - 1 ; de aqu que x = 5 x = 3. Por lo que :

B = {x / |x - 4| = 1} = {3, 5}

Observa que el resultado no es un intervalo sino un par de puntos cuyas coordenadas

estn en 3 y 5.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

c) C = {x / |x - 4| 1}. La condicin x 4 1 equivale a las desigualdades

simultneas:

-1 x 4 1

Segn el teorema (i) de esta seccin se puede sumar 4 a los dos miembros y resulta

3 x 5

Este par de desigualdades especifica el conjunto {x / 3 x 5} o el intervalo [3, 5].

Realiza la grfica.


29/51

d) D = {x / (x 4) / (x 1) > 0}. Para simplificar la condicin (x 4) / (x 1) > 0, se

necesita que x 4 y x 1 sean ambos positivos o negativos. El primer caso x 4 > 0

por lo tanto x > 4 es parte de la respuesta; en el segundo caso, cuando x 1 es

negativo, entonces x < 1 , pero x 4 tambin es negativo; de aqu que x < 1 es el resto

de la respuesta. Al combinar las dos soluciones:

{x / x 1 / x 1} = {x / x < 1} U { x / x > 4}

e) Obtn la grfica del intervalo.

f) A travs de una factorizacin obtn el intervalo de E = {x / x2 5x + 6 = 0}

Es un intervalo o dos puntos?

g) F = {x / x2 - 5x + 6 < 0}. Considerando de nuevo la factorizacin:

x2 5x + 6 = (x 2) (x 3) < 0.

Para que el producto sea negativo, los dos factores deben ser de signos opuestos:

Caso 1. Las desigualdades (x 2) > 0 y (x 3) < 0 equivalen a x > 2 y x < 3, o

simplemente, a 2 < x < 3 . El conjunto {x / 2 < x < 3} es el intervalo abierto (2, 3).

Fig. 1.

Caso 2. Las desigualdades (x 2) < 0 y (x 3) > 0, requiere que sea tal que:

x < 2 y x > 3,


30/51

lo que es imposibles; de aqu que la solucin es la obtenida en el caso 1.

Fig. 1

Definicin de vecindad o entorno de un intervalo.

Supongamos que x0 es un punto fijo sobre el eje real y r un nmero positivo. Un entorno

de x0 de radio r significa un intervalo abierto de centro x0 y longitud 2r. Esta nocin se

expresa simblicamente as (N significa entorno):

N (x0; r) = (x0 r, x0 + r).

X0 r < x < x0 + r

( )

X0 - r X0 X0 + r

Fig 2

En la Fig. 2, se observa que la desigualdad

X0 r < x < x0 + r

Es una representacin de este conjunto utilizando una notacin de desigualdad; ahora, al

aplicar la ley aditiva (teorema 1) sumando x0 a todos los trminos

-r < x x0 < r.

De esta manera la desigualdad se expresa, en notacin del valor absoluto as:

| x x0 | < r,

y el intervalo abierto (x0 r, x0 + r) y el conjunto {x / | x x0| < r} son representaciones

del mismo conjunto sobre el eje real. Para simplificar la notacin basta expresar que N

(x0; r) y |x x0| < r identifican el mismo intervalo abierto:N (x0; r) = | x x0 | < r.


31/51

Ejemplos:

a) Supongamos que x0 = 2 y r = 1. Sustituyendo se tiene:

N (2; 1) = | x 2 | < 1

Que representa un entorno de x0 = 2 con radio r = 1

N (2; 1)

0 1 2 3 4 5 6

Ahora demostraremos que cada intervalo abierto (a, b) forma un entorno y por lo tanto,

puede expresarse por medio de la notacin de valor absoluto. Para un intervalo abierto

dado(a, b), observemos que la longitud de (a, b) es b a que nos da:

2r = (b a) y r = (b a) / 2

y como el punto medio de (a, b) es el promedio de los extremos, resulta que:

x0 = a + b / 2.

El intervalo abierto (a, b) viene dado por:

(a + b) / 2 (b a) / 2 < x < (a + b) / 2 + (b a) / 2

que es de la forma x0 r < x < x + r, que es equivalente a:

x (a + b) / 2 < (b a) / 2,

y, por lo tanto, el intervalo abierto (a, b) se puede expresar en la notacin de entorno en

la forma:

(a, b) = N (a + b) / 2; (b a) / 2 = x (a + b) / 2 < (b a) / 2

b) Sea en intervalo abierto (-1, 4). Fig. 3. El radio r = (4 (- 1) / 2 = 5 / 2 y el punto

medio x0 = (-1 + 4) / 2 = 3 / 2.

N (3/2; 5/2)


32/51

( )

l l l l l l l l l l l l

- 2 - 1 0 1 3/2 2 3 4 5 6 7 8

As (-1, 4) y | x 3/2 |< 5/2 son representaciones del entorno:

N (3/2; 5/2).

c) Graficar con el entorno N (2; 3). Ya que por definicin:

N (2;3) = (2 3, 2 + 3) = (-1, 5),

Se tiene solamente que graficar el intervalo abierto (-1, 5).

N (2; 3)

( )

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Intervalo infinito. Si el dominio de una variable es todos los nmeros reales y se

considera el intervalo formado por los nmeros mayores que uno dado, o el formado por

los nmeros menores que uno dado, se tienen: intervalos infinitos.

Si comprenden a los nmeros dados se llaman cerrados, en caso contrario abiertos

Actividad extra clase, problemas:

1. Traza las grficas de los siguientes conjuntos de nmeros.

a) [2, 3] U (3, 4]. b) [3, 5] [4, 5].

c) [-1, 1] (0, ) d) (-1, 5) (-5, 1).


33/51

2. Trazar los siguientes conjuntos de nmeros y describirlos utilizando:

i) la notacin de intervalo y ii) la de valores absolutos.

a) A = {x / x + 2 3}

b) B = {x / x 3 x < -1}.

c) C = {x / (x 2) (x + 1)(x + 3) > 0}

d) D = {x / (x 1) / (x + 1) > 0}.

e) E = {x / x 0}

3. Grfica los siguientes intervalos abiertos y descrbelos utilizando:

i) la notacin del entorno

ii) la de valores absolutos.

a) (1,1) b) (-5, 1) U (-1, 5) c) (x, x + 1) d) (x 1, x + 1)

4. Grfica los entornos y descrbelos empleando la notacin de intervalo.

a) N (0; ).

b) N (p, q).

c) N(x; x + 1); x > - 1.

d) N(n; 1/n); n = entero positivo.

N (; | |).

2.1.3 Estudio del comportamiento analtico y grfico; local y al infinito por medio del

dominio y rango de las funciones del tipo:

F(x) = a / x + b + c . . . f(x) = a / (x + b) 2 + c

f(x) = P(x) / Q (x); con P(x) y Q(x) lineales o cuadrticas; a, b y c R

Discusin del tema.

Composicin del tema por equipo.

Resolucin de problemas y ejercicios.


34/51

Duracin 2 hrs.

Ayuda a desarrollar el siguiente ejemplo: f(x) = x / (x - 1)

Factoriza el denominador: f(x) = x / ( ) (x 1)

El dominio de esta funcin es el conjunto de los nmeros reales, con excepcin de

x = 1.

En la grfica las coordenadas A (1,0) y B (-1,0), determinan los puntos por donde deben

ser trazadas las asntotas.

Traza las asntotas en el plano cartesiano.

El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales, con excepcin de: x =

1, esta consideracin ayuda a definir las siguientes regiones:

- < x < - 1, -1 < x < 1, 1 < x < +

En base a estas regiones sabemos que:

En la regin uno:

f(x) = 0 cuando x - ,


35/51

f(x) = - cuando x - 1 por la izquierda.

En la regin dos.

f(x) = + cuando x - 1 por la derecha.

f(x) = - cuando x + por la izquierda.

En la regin tres.

f(x) = + cuando x 1 por la derecha.

f(x) 0 cuando x +

En base a estas observaciones termina de construir la grfica.

Las rectas x = -1 y x = 1 separan las tres ramas de la grfica, por eso se dice que son sus

lmites naturales.

Observa que la separacin de la curva respecto de la recta tiende a cero; cuando un

punto se aleja indefinidamente del origen a lo largo de la curva y la separacin con la

recta tiende a cero, la recta se llama asntota. En el ejemplo anterior observa que el eje x

cumple con esta condicin y por eso tambin es una asntota.

En las funciones racionales siempre es conveniente encontrar y construir las asntotas,

para despus definir las regiones que nos indican la extensin del dominio para

finalmente utilizar esta informacin y determinar las ramas de la curva.

Si se desea graficar una funcin algebraica dada (recurdese que la funcin racional

tambin es algebraica), se deben tomar en cuenta las asntotas, ya sean verticales u


36/51

horizontales las regiones que determinan en la grfica sus ramas, puntos aislados y

dems.

Determina la grfica de la funcin definida por:

F (x) = (x - 1)

Si x < 1 la funcin determinara un nmero imaginario; pero solo estamos interesados

en nmeros reales, por lo tanto x - 1 debe ser mayor o igual a 0, o sea que x debe ser

mayor o igual a 1. Esta restriccin se satisface para x menor o igual a 1 x mayor o

igual a 1, as en el dominio excluiramos el intervalo abierto1 < x m, no hay asntotas horizontales.

x 1 x - 1

Ejemplo: Traza la grfica de la funcin f(x) = =x2 x 6 (x 3) (x + 2)

Paso 1) Se factoriza numerador y denominador, las races del numerador sealan los

puntos donde la grfica corta al eje x, las races del denominador sealan el lugar por

donde pasan las asntotas verticales.

Para x = 1 el numerador se hace 0, por lo tanto 1 es una raz de la ecuacin.

Para x = - 2 y x = 3 el denominador se hace 0, por lo tanto por las coordenadas 2 y 3

del eje x pasan las asntotas verticales.

Las asntotas y races determinan varios intervalos a continuacin analizaremos cada

uno de ellos:

Cuando x - 2 - f(x) - para el intervalo (- , - 2). Tercer cuadrante abajo de x

Cuando x - 2+ f(x) + para el intervalo (- 2, 1). Arriba del eje x.

Cuando x = 1 f(x) = 0 corta el eje x. Punto de inflexin.

Cuando x 3 - f(x) - para el intervalo (1, 3) abajo del eje x.

Cuando x 3+ f(x) + para el intervalo (3, ) arriba del eje x.

Paso 2) Al localizar en el eje x las races del nmerador y denominador, se obtiene para

cada intervalo el signo que adquiere la funcin en cada intervalo, es decir, si la funcin

esta arriba o abajo del eje x.

Primer intervalo hacia abajo.

Segundo intervalo hacia arriba.


42/51

Tercer intervalo hacia abajo.

Cuarto intervalo hacia arriba.

Paso 3) El teorema de las asntotas horizontales determina cual es la asntota.

Aplicando el teorema de las asntotas horizontales como n < m la asntota es y = 0

2. Realiza la grfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x2 3x 2 / x2 x 12

b) f(x) = x2 + x 6 / x - 2

c) f(x) = 2 / x2 + x - 12

d) f(x) = x + 2 / x2 2 x - 8

e) f(x) = x 2 / x2 2 x - 15

f) f(x) = x2 + x 6 / x2 + x - 20

g) f(x) = x2 / x2 - 4

h) f(x) = x2 4 / x2

i) f(x) = x2 / x2 7 x + 10

j) f(x) = 1 / x3 + x2 - 6

k) f(x) = 2 x4 / x4 + 1


43/51

MATEMATICAS IV. UNIDAD 2FUNCIONES CON RADICALES

DURACIN 10 HRS.

EVALUACIN DIAGNOSTICADuracin: 2 hrs.

1. Determina las siguientes races.

a) 2 16 x2

b) 2 49 / 36

c) 3 81 x3

d) 3 144 m4

e) 2 225 q8

f) 2 289 f6

2. Simplifica los radicales

a) 5 48 b) 180 x4

c) 125 q8 r4 d) 81f3

e) 169 r6 f) 3 343 m-4

3. Considera radicales semejantes para sumar.

a) 12 45 7 80 b) 6 5 29 5 + 20 5

c) 125 2 20 + 180 d) 12 + 72 2 48


44/51

e) 28 + 175 3 343 f) 25 / 3 + 4 / 3 + 16 / 3

4. Racionaliza los denominadores de las expresiones siguientes:

a) 22 / 11 b) 2 3 / 5 2

c) 5 / 8 - 6 d) 6 / 3 + 4

e) 3 2 / 7 2 3 f) 5 2 6 / 3 4 5

5. Escribe con radicales.

a) (27)2/3 b) (4)3/2 c) (8)4/3 d) (5ab)5/4


45/51

2.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo:

f(x) = ax + b ;

f(x) = ax + bx + c

Funciones del tipo: f(x) = ax + b

Una masa suspendida de 40 kg. se impulsa lateralmente hasta quedar 1.6 m. por arriba

de su posicin ms baja. Despreciando la friccin, Cul ser su velocidad cuando

regrese a su punto ms bajo?

Datos formula

M = 40 kg. (Ep + Ek) i = (Ep + Ek) f

H = 1.6 m. mgho + m vo = mghf + m vf

Vf = ? Ek inicial = 0

G = 9.8 m/s Ep final = 0

Formula Sustituyendo

mgho + 0 = 0+ m vf (40 kg) (9.8 m/s) (1.6 m) = (40 kg) vf

Despejando

Vf = 2gho = (2) (9.8 m/s) (1.6 m) = 5.6 m.


46/51

Problemas en equipo

Discute los problemas con tus compaeros de equipo y resulvanlos.

2 hrs.

1.- Un trineo de 20 kg. Descansa en la cima de una pendiente de 80 m de longitud y 30

de inclinacin, Si el coeficiente de friccin cintico () es igual a 0.2 cul es la

velocidad al pie del plano inclinado?

2.- Se dispara una bala de 12 g. hacia un bloque de madera de 2 kg. Suspendido de un

cordel. El impacto de la bala hace que el bloque oscile hasta 10 cm. Ms arriba de su

nivel original. Calcula la velocidad de la bala cuando golpea al bloque.

Caractersticas de la funcin:f(x) = ax + b

Cuando a = 0; ax + b = byb > 0,la grfica es una recta paralela al eje x,

cuyo dominio es el de los nmeros reales..

Cuando ax + b < 0, f(x) = ax + b no esta definida, por ser el radicando un

nmero imaginario

Cuando ax + b > 0, f(x) = ax + b esta definida para valores de f(x) = ax +

b, y la grfica son dos curvas que convergen en un punto


47/51

Actividades extra clase:

Grfica las siguientes funciones:

1.- f(x) = 2x + 4

2.- f(x) = 4x + 8

3.- f(x) = 3x + 6

4.- f(x) = 72x + 24

5.- f(x) = 92x -11 4

Funciones del tipo: f(x) = ax + bx + c

La raz de una parbola se puede resolver por:

a) Raz de un trinomio cuadrado perfecto:

Y = 4x + 8x + 2

Factorizando el radicando:

Y = (2x + 2)

Resolviendo

Y = (2x + 2)

Realizando la multiplicacin con signos:

y = +2x + 2

y = -2x 2


48/51

Graficando:

+2

-2

Las graficas chocan en los puntos 2 y -2, como lo indica el trmino independiente

El ngulo de inclinacin de las rectas se obtiene con el inverso de la tangente del

coeficiente de x:Inv. tan 2 = 63 26 5.82

Ejemplo:

f(x) = 4x + 28x + 49

f(x) = (2x + 7) (2x +7)

f(x) = (2x + 7)

Cancelando el exponente 2 con la raz cuadrada se obtiene:

f(x) = (2x + 7) que es la ecuacin de un par recta donde:

y = +2x + 7

y = -2x 7

1. La pendiente es 2, coeficiente de x.


49/51

2. La recta corta al eje y del plano cartesiano en 7, termino

independiente.

El inverso de la tangente de 2 (coeficiente de x) es igual a 63 26 5.82

Grfica la funcin:

a) completando cuadrados

a. por formula general

b. por factorizacin de un trinomio de segundo grado

2.2.3 Estudio analtico y grfico del dominio y el rango de una funcin del tipo

anterior.


50/51

2.2.4 Resolucin de problemas con fenmenos de diversa ndole (geomtricos y

fsicos), susceptibles de modelarse a travs de funciones racionales o con radicales.


51/51

FIN

LIBRO II

introducciÓn a las funciones 2

Documents