INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍA

IF 242

PROFESOR: CLEMENTE LUYO

SEMANA 1

• Introducción

• Errores e incertidumbres

• Tipos de errores

• Importancia de las incertidumbres,

• Medidas experimentales

• Exactitud y precisión

• Cifras significativas • Discrepancia

INTRODUCCIÓN Una medición es el resultado de una operación humana de

observación mediante la cual se compara una magnitud con

otra que a sido tomada como base o patrón. Según el

Sistema Internacional de Unidades (S.I) tenemos 7

magnitudes fundamentales

Metro: es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por un

rayo de luz en un tiempo de 1/299 792 458 segundos. [XVII

Conferencia General de Pesas y Medidas, CGPM, (1983).

Resolución 1]. Kilogramo: es la unidad de masa (y no de peso ni de

fuerza), es igual a la masa del prototipo internacional de

platino-iridio del kilogramo conservado por la Oficina

Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en Sevres,

Francia, bajo las condiciones fijadas por la I CGPM en 1889.

Segundo: es la duración de 9 192 631 770 periodos de la

radiación correspondiente a la transición entre los dos

niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de

cesio 133. [XIII CGPM (1967).

Ampere: es la intensidad de una corriente eléctrica

constante que, mantenida en dos conductores paralelos,

rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular

despreciable, en el vacío y a una distancia de un metro el

uno del otro, produce entre estos dos conductores una

fuerza igual a 2 x10-7 newton por metro de longitud.

[Comité Internacional de Pesas y Medidas, CIPM, (1946).

Resolución 2; aprobada por la IX CGPM (1948)].

Candela: es la intensidad luminosa, en una dirección dada,

de una fuente que emite una radiación monocromática de

frecuencia 540 x 1012 hertz y de la cual la intensidad

radiante en esa dirección es de 1/683 watt por

esterorradián. [XVI CGPM (1979). Resolución 3].

Mol: es la cantidad de sustancia de un sistema que

contiene tantas entidades elementales como átomos hay

en 0,012 kg de carbono 12 (ver nota 3). [XIV CGPM (1971).

Resolución 3].

Kelvin: unidad de temperatura termodinámica. Equivale a

la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del

punto triple del agua (ver nota 2). [XIII CGPM (1967).

Resolución 4].

En la ciencia, la palabra error no lleva las connotaciones

habituales de los términos error o equivocación. Error en una

medición científica, significa la incertidumbre inevitable que

asiste a todas las mediciones.

.

Ninguna magnitud física puede ser medida con completa

certeza. Podemos reducir el error (incertidumbre) pero nunca

eliminarla por completo.

ERRORES E INCERTIDUMBRES

Los errores no se puede eliminarlos por ser muy cuidadoso.

Lo mejor que puede esperar hacer es asegurarse de que los

errores son tan pequeñas como sea razonablemente posible

y de tener una estimación fiable de lo grande que son.

TIPOS DE ERRORES Errores sistemáticos: Errores que se repiten siempre

(“sistemáticamente”) mediante el instrumento,

experimentador o método usado con el mismo valor.

•Mismo origen y magnitud para las mismas condiciones

•Su efecto es incrementar o disminuir la medida siempre en

la misma cantidad

•Origen: fallo en la calibración (cero del instrumento).

Suposición errónea, uso de un parámetro o cantidad

inadecuada. Fenómenos naturales inadvertidos. Errores de

lectura: paralaje.

•Solución: Recalibración, Escalas y unidades adecuadas.

Mejora de las condiciones de medida. Utilización de

métodos alternativos. Cambio del instrumento de medida.

No hay principios generales para tratarlos. Es la experiencia

la que puede hacer una adecuada valoración, detectarlos y

eliminarlos o corregirlos.

Ejemplos:

• Balanza sin calibrar

• NASA millas en vez de km (sonda Marte)

• Constantes. Universales inexactas

• Péndulo método estático y dinámico

• Dilatación, rozamiento, ….

• Paralaje empleo del espejo

• Escala mal graduada

Errores aleatorios: Los cuales se deben a diversas causas y

son diferentes (“aleatorios”) en cada observación.

Debido a un gran número de variaciones impredecibles y

desconocidas en la realización repetida del experimento en

condiciones aparentemente idénticas. Varían de una medida a

otra y que lo mismo puede ser positivo que negativo.

Origen:

• Fluctuaciones aleatorias del proceso a nivel microscópico

• Sensibilidad instrumental.

• Al desconocer su causa es imposible determinarlos de

forma exacta (estimaciones).

• Responden a distribuciones probabilísticas

• Pueden ser tratados mediante métodos estadísticos

Solución: Repetición de medidas. Sentido común. El

análisis de los errores aleatorios es lo que constituye la

teoría de errores.

La repetición de las medidas es el arma para luchar

contra los errores aleatorios pero no contra los

sistemáticos.

Ejemplos:

• Estimación de las pequeñas divisiones de la escala

de lectura por el observador

• Fluctuaciones de la temperatura

• Fluctuaciones de voltaje

• Vibraciones mecánicas

• Errores al disparar y parar un cronómetro

EXACTITUD Y PRECISIÓN

a) precisa pero inexacta

b) más exacta y con la misma precisión

c) menos precisa y menos exacta

d) más exacta pero menos precisa.

El conjunto de medidas representa una medición:

La exactitud indica los resultados de la proximidad de la medición con respecto al valor verdadero

La Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.

La medida esta sujeta a incertidumbre

La medida podría ser 4,7cm; 4,8

Fuente de errores?

• Iluminación (se corrige)

• Paralaje (Se corrige)

Errores intrínsicos • Regla graduada en 0,5 cm Se reduce el error si se usa un vernier.

El aparato más preciso es el interferómetro laser que tiene una

precisión de 10−7m.

Medimos el espesor de un

pequeño bloque

Importancia de conocer las incertidumbres

¿Será de Oro?

Se conoce: 𝜌𝑜𝑟𝑜 = 15,5 𝑔 𝑐𝑚3

𝜌𝑎𝑙𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 13,8 𝑔𝑐𝑚3

Alumno A : 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐞𝐬𝐭𝐢𝐦𝐚𝐝𝐨 ∶ 𝝆𝒐𝒓𝒐 = 𝟏𝟓, 𝟓 𝒈

𝒄𝒎𝟑 , (𝟏𝟑, 𝟓 − 𝟏𝟔, 𝟓) 𝒈𝒄𝒎𝟑

Alumno B : 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐞𝐬𝐭𝐢𝐦𝐚𝐝𝐨 ∶ 𝝆𝒂𝒍𝒆𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟏𝟑, 𝟗 𝒈

𝒄𝒎𝟑 ,

(𝟏𝟑, 𝟕 − 𝟏𝟒, 𝟏) 𝒈𝒄𝒎𝟑

• La incertidumbre de A es

tan grande que su

resultado no es de utilidad

• La incertidumbre de B es

más precisa

• La medida de B muestra

que la corona no esta

hecha de oro

• Es necesario justificar las

incertidumbre

• Sin el error no podemos obtener una conclusión

válida

Una vez medida una magnitud «x» y estimado su error ∆𝑥:

𝑥 = (𝑥𝑜±∆𝑥) unidad

REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DEL RESULTADO

EXPERIMENTAL

El diámetro de un disco es 4,42 cm y el error es 0,5 mm,

se expresa:

(4,42±0,05) cm

La mejor estimación es 4,42 y el verdadero diámetro

estará entre

𝑥𝑜 − ∆𝑥=4,42-0,05=4,37 cm y

𝑥𝑜 + ∆𝑥=4,42+0,05=4,47cm

Ejemplo

• Δx es siempre definido positivo, cuando menor es Δx más

precisa es la medida.

• Ojo, si Δx es mayor que x algo falla. Carece de sentido.

MEDIDAS DIRECTAS

• Es la que se obtiene directamente del aparato de medida

• Involucran directamente la lectura de una escala o

pantalla digital

• Las fuentes de error son la lectura y la interpolación de la

escala

• AL ESTIMAR UN ERROR NO DEBEMOS LIMITARNOS A

LAS ESCALAS SINO QUE HAY OTRAS FUENTES DE

INCERTIDUMBRE

MÁS DIFÍCILES DE ESTIMAR.

Como se mencionó, debemos tener en cuenta

tanto los errores sistemáticos como aleatorios.

∆𝑥 = 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 + 𝐸𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜

𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝐸𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝐸𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟+ 𝐸𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠…

𝐸𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜: ¿Debe aumentar o disminuir al aumentar

el número de repeticiones de la medición?

Errores sistemáticos Diversos tipos de errores sistemáticos. Nos

enfocaremos en el error del instrumento:

Fuentes de error instrumental:

• Lectura mínima: No podemos dar una lectura más allá de lo que podemos apreciar con el instrumento.

Error de lectura mínima 𝐸𝐿𝑀.

• Mala calibración: Error de cero 𝐸0.

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Estimación del error del instrumento Error del instrumento:

𝐸𝑖 = (𝐸𝐿𝑀)2+(𝐸0)

2

Donde:

𝐸𝐿𝑀 =𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎

2

𝐸0 = 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Nunca puede ser menor que 𝐸𝐿𝑀: En el mejor de los casos: 𝐸0 = 𝐸𝐿𝑀

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Equipos Digitales:

• El número de cifras significativas coincide con el número de

cifras mostradas en la pantalla. Un voltímetro que indica 75

V, la incertidumbre será ±1 V.

• Los manuales indican las incertidumbres dependiendo de

los rangos de medida.

• Falsa sensación de precisión, dos personal obtendrían

resultados diferentes.

• La dispersión de los datos es una buena medida de la

incertidumbre de la medida y el promedio está más próximo

al valor verdadero que una única medida.

Error cometido al realizar una sola medida de la magnitud

x:

El error (absoluto) viene dado por el error de precisión (o

simplemente precisión) del aparato, Δx .

• Aparato analógico: la precisión es la mitad de la división más

pequeña que puede medir el aparato. El error de precisión de

una regla dividida en mm es Δx = 0,5 mm.

• Aparato digital: En primera aproximación Δx = mínima

magnitud que es capaz de medir el aparato. Multímetro digital

medimos la ddp y obtenemos 234 V se tomará Δx = 1 V. Si el

número es 234,7 V, Δx =0,1 V, etc.

En estos aparatos se recomienda ver los manuales donde nos

indicaran como se determina el error para cada escala usada.

Si realizamos la medida de la diferencia de potencial de

una resistencia en el rango de 10 V y nuestra medida es

4V. Cuál es nuestra incertidumbre?

∆𝑉 = ±(

0,07

100× 4 𝑉 +

0,05

100× 10 𝑉 + 100 𝜇𝑉)

∆𝑉 = ±7,9 mV

Hay que tener en cuenta todas las especificaciones como

humedad, temperatura, etc para tener la incertidumbre

completa

Están representados por las cifras correctas y la primera cifra dudosa

la fracción de mm que deberá aumentarse a 1.2 cm tendrá que ser aproximada pues la regla no presenta divisiones menores que 1 mm.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

La medida podría ser: 1,23 1,24; 1,25 , ………..

1,2

Dudosa Ciertas

Cifras

significativas

Los ceros al principio de un número no son significativos.

0,00562 m tiene tres cifras significativas (5, 6, 2)

Los ceros dentro de un número son significativos

5 000 000 075 s tiene 10 C.S.

Los ceros al final del número, después del punto decimal, sí son significativos

34,000 000 km tiene 8 CS.

Cuantas cifras tendría 700?

La respuesta es ambigua, Podríamos considerar 1 C.S o 3 C.S

Para evitar esta ambigüedad usamos notación

científica

Cifras Significativas

• El emplear muchas cifras en el error es

innecesario ya que es sólo una estimación.

• No confundir cifras significativas con decimales.

• El nº de cifras significativas de una medida se

utiliza para indicar el grado de incertidumbre.

Ejemplo: se mide la aceleración de la gravedad

𝑔 = (9,82 ± 0,02376) 𝑚/𝑠2

¿Tendrá sentido esta medida?

La regla (1) tiene una sola excepción significativa. Si el

primer dígito de la incertidumbre es un 1, a continuación,

mantener dos cifras significativas

REGLA 1

La incertidumbre se debe redondear a una cifra

significativa

𝑔 = (9,82 ± 0,02) 𝑚/𝑠2

Ejemplo, se da una medida con ∆𝑥 = 0,14

si redondeamos a una cifra ∆𝑥 = 0.1 sería una reducción

proporcional sustancial, por lo que podríamos argumentar

que la retención de dos cifras podría ser menos engañosa, y

citar ∆𝑥 = 0,14. El mismo argumento quizá podría aplicarse si

el primer dígito es un 2, pero ciertamente no si se trata de

cualquier mayor.

Si entregamos la siguiente información

𝑣 = (6 051,78 ± 30) 𝑚/𝑠

Observamos que tenemos que corregir la información

𝑣 = (6 050 ± 30) 𝑚/𝑠

El valor de la medida debe tener la misma precisión

que su error.

Al redondear hay que despreciar todas las cifras cuyo

orden de magnitud sea inferior al del error.

DISCREPANCIA

Si dos mediciones de una misma cantidad física están en

desacuerdo, se dice que hay discrepancia. Numéricamente,

la discrepancia se define como:

Discrepancia= Diferencia entre dos valores medidos de

una misma cantidad La discrepancia puede ser no significativa

Alumno A mide: 𝑅𝐴 = (40 ± 5) Ω Alumno B mide 𝑅𝐵 = (42 ± 8) Ω

Discrepancia < incertidumbre → 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ∴ 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒑𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆

Otros ejemplos

La discrepancia puede ser

significativa

La discrepancia puede ser

No significativa

Ningún valor de la resistencia es compatible con ambas mediciones

Los márgenes de los errores se solapan, ambas mediciones podrían así ser correctas .

𝑅𝐴 = (15 ± 1) Ω

𝑅𝐵 = (25 ± 2) Ω

𝑅𝐶 = (16 ± 8) Ω

𝑅𝐷 = (26 ± 9) Ω

Observamos que tenemos que analizar la discrepancia con

las incertidumbres o errores en las mediciones

2da: Otros experimentos (la mayoría) donde se pretende

hacer mediciones, es decir, experimentos de carácter

cuantitativo

Existen dos clases de prácticas en el laboratorio:

1ra:Verificar experiencias a modo cualitativo (La aparición de un patrón de difracción, la superposición de ondas, etc.)

Comparación entre el valor patrón y una medida

experimental

Para obtener una conclusión:

• la medida experimental se debe de comparar con una

medición con un valor aceptado, una medición con un valor

teórico predicho, o varias medidas para mostrar que ellas

están en concordancia con alguna ley física.

• En tales comparaciones el análisis del error juega un

papel muy importante.

EJEMPLO 1: medición de la rapidez del sonido:

Alumno V (m/s)

A 329 ± 5

B 325± 5

C 345 ± 2

Valor aceptado

331 m/s

Alumno A:

El valor aceptado está dentro del rango medido entonces

medida satisfactoria

Alumno B:

Si bien su medida esta fuera del rango puede alegar que su

medida es consistente con el valor aceptado.

Alumno C:

El valor aceptado de la rapidez está fuera del rango medido

entonces hubo un error en las medidas

Ejemplo 2. Experimentos que implican la medición de

dos números que la teoría predice deben ser iguales.

Conservación de la cantidad de movimiento

P antes

(kg.m/s)

1,49±0,03

Pdespués

(kg.m/s)

1,56±0,06

• En este caso se observa que los

rangos de «p» antes y después se

superponen

• Las medidas son compátibles con

la conservación de la cantidad de

movimiento.

𝒑𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 (𝒌𝒈.𝒎

𝒔) 𝒑𝒅𝒆𝒔𝒑𝒖é𝒔 (𝒌𝒈.

𝒎

𝒔)

Prueba 1 1,49 ± 0,3 1,56 ± 0,6

Prueba 2 3.10± 0,3 3,12 ± 0,6

Prueba 3 2,16 ± 0,3 2,05 ± 0,6

Ejemplo 3: Se realizan tres pruebas de la Conservación de

la cantidad de movimiento

• Podríamos tener más pruebas y seria tedioso comprobar

para cada caso la conservación de p.

• Es recomendable añadir una cuarta columna y colocar la

diferencia de los resultados

𝒑𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 (𝒌𝒈.𝒎

𝒔) 𝒑𝒅𝒆𝒔𝒑𝒖é𝒔 (𝒌𝒈.

𝒎

𝒔)

Diferencia

Prueba 1 1,49 ± 0,3 1,56 ± 0,6 -0,07 ± 0,9

Prueba 2 3.10± 0,3 3,12 ± 0,6 -0,02 ± 0,9

Prueba 3 2,16 ± 0,3 2,05 ± 0,6 0,11 ± 0,9

• El valor esperado 0 está

dentro de los márgenes de

error en las pruebas 1 y 2,

y ligeramente fuera en 3

• Por lo tanto, estos

resultados son consistentes

con la conservación del

momento

• Debido a que una línea recta es tan fácil de reconocer,

el método gráfico es una forma simple y eficaz para

comprobar si hay proporcionalidad.

Relación experimental usando gráficas

Muchas leyes físicas implican que una cantidad debe ser

proporcional a otra. Por ejemplo

• Ley de Hooke • La segunda ley de Newton

Ejemplo: Ley de Hooke

𝐹 = 𝑘𝑥

En equilibrio como se

muestra en la figura

𝑘𝑥 = 𝑚𝑔

Entonces:

𝑥 = ( 𝑔

𝑘 )𝑚

m (g) 200 300 400 500 600 700 800 900

x ± 0,3 (cm) 1,1

1,5 1,9 2,8 3,4 3,5 4,6 5,4 Tabla

• Grafica sin barra de

errores.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6

m (g)

x (

cm

)

• Grafica con barra de errores

• Los datos

• Datos consistentes con la

proporcionalidad esperada de x

Incertidumbre de m despreciable

• En este caso la experiencia

tendría que volver a repetirse.

• También tendría que calcularse

las incertidumbres

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

y

x

Si x y y están sujetas a

incertidumbres apreciables

la forma más sencilla de

mostrarlos es dibujar

barras verticales y

horizontales de error.