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Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Introducción a la Matemática

INTRODUCCIÓN

A LA

MATEMÁTICA

Trabajos Prácticos

2


Integrantes de la Cátedra

Profesora Adjunta

– Lic. Edna Isabel Agostini

Jefes de Trabajos Prácticos

– Lic. Víctor Eduardo Mérida

– Cdor. Diego Zeballos Noguera

Ayudantes de Primera

– Lic. Cecilia Adaro

– Lic. María José Aisama

– Lic. Marcos Cruz Calizaya

– Ing. Eduardo García

– Lic. Marianela Greppi

– Lic. Vanesa Tentor

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TRABAJO PRÁCTICO N°1

LOGICA Y CONJUNTOS

1.- Analizar las siguientes oraciones, indicar que función cumplen y decir cuales son

proposiciones.

a) Borges fue un escritor argentino.

b) Entreguen los parciales.

c) ¿Qué día es hoy?

d) Los bienes de arte y cultura pertenecen al activo de una empresa.

e) Prohibido estacionar

f) El producto bruto interno creció un 2,9% en el 2017.

g) ¡Feliz cumpleaños!

h) El conjunto de los números enteros es finito.

i) 5 + 7 = 20

2.- Dadas las siguientes proposiciones simples:

𝑝: La matemática es una ciencia.

𝑞: La matemática es un arte.

𝑟: La matemática es exacta.

Expresar en lenguaje coloquial las siguientes proposiciones compuestas:

a) p ∧∼ q c) q ⟺ r e) r ∨∼ p

b) ∼p ⇒ r ∨ q d) r ⇒ q ∧∼ p f) ∼ (∼p) ⇒ q

3.- Simbolizar, negar y retraducir los siguientes enunciados, identificando las

proposiciones simples que intervienen.

a) Las inversiones no forman parte del pasivo de una empresa.

b) María trabaja o estudia.

c) Si estudio todos los temas entonces aprobaré la materia.

d) Las cuentas Proveedores y Acreedores forman parte del pasivo de una

empresa.

e) Pedro está escolarizado porque asiste a la escuela primaria o secundaria.

4.- Completar los siguientes cuadros, justificando el procedimiento:

4


p q r ∼ p ∼ q ∼ r p ⇒ (q ∨∼ r)

F

p q r ∼ p ∼ q ∼ r (∼ p ⇒ ∼ q) ∨ (q ∧ r)

F

5.- Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el

valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) (𝑝 ⟺ 𝑞) ⇒ 𝑟; sabiendo que 𝑟 es V.

b) (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑟); sabiendo que 𝑞 y 𝑟 son V.

6.- Simplificar las siguientes proposiciones usando propiedades.

a) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞)

b) 𝑞 ∧ ∼ (𝑝 ⇒ ∼ 𝑞)

7.- Para cada una de las siguientes proposiciones compuestas; confeccionar las tablas

de valores de verdad y clasificarlas en tautologías, contradicciones o contingencias.

a) [(𝑝 ∧∼ 𝑞) ⇒ 𝑞] ⟺ (𝑝 ⇒ 𝑞)

b) [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑝] ⇒ ∼ 𝑞

c) ∼ [(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ⇒ (𝑝 △ 𝑞)]

d) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑝)]

e) [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)] ⇔ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)]

8.- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes a ∼ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ∼ 𝑟]?

a) 𝑝 ⟹ ∼ (𝑞 ∨∼ 𝑟) b) 𝑟 ∧ (𝑝 ⟹ ∼ 𝑞)

9.- Expresar simbólicamente y retraducir: La contraria, la recíproca, la contra-recíproca

y la negación de las siguientes proposiciones.

a) Si el activo es igual al patrimonio neto, entonces no existe el pasivo.

b) Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o mañana.

c) Me quedo en mi casa y no voy al parque cuando llueve.

10.- Negar las siguientes expresiones.

a) ∃ 𝑥 ⁄ 𝑃(𝑥) ∨ ∼ 𝑄(𝑥) b) ∀ 𝑥 ∶ ~𝑃(𝑥) ⟹ 𝑄(𝑥)

5


11.- Simbolizar, negar y retraducir usando cuantificadores.

a) Ningún empresario tiene deudas.

b) Todos los comerciantes pagan sus impuestos cuando tramitan el libre deuda.

c) Algunas funciones son continuas y derivables.

d) Si todos los niños van a la escuela y practican deportes entonces no juegan

con la computadora.

12.- Definir por extensión los siguientes conjuntos:

A = x/x N x es un Nº impar menor que 3

B = x/x Z –4 x 3

C = x/x N x 3 x 8

D = x/x es un dígito par y mayor que 8

E = { x/x es una vocal de la palabra murciélago }

13.- Definir por comprensión los siguientes conjuntos:

A = 1, 3, 5, 7, 9

B = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

C = 4

D = 5, 10, 15, 20

E = { m, s }

14.- Sea el conjunto U = x/x es un Nº dígito

a) Definir por extensión los siguientes conjuntos:

A = x U / x es un Nº par mayor que 6

B = x U / 4 x 9

C = x U / x2 = 1

D = x U / 5 x 6

E = x U / x 7

F = x U / x 3 x 9

a) Indicar cuáles de los conjuntos son vacíos y cuáles unitarios.

b) Escribir el signo o según corresponda:

6


7.......A 0.......D

4.......B 1........E

0.......C 3........F

1.......C 4........F

c) Indicar, sobre la línea de puntos, si son verdaderas o falsas las

siguientes relaciones entre conjuntos definidos anteriormente:

C A ....... D = E.......

C E ...... F C.......

B A ....... D E.......

15.- Dados los siguientes conjuntos definidos por comprensión:

A = { x/x Z x - 4 = 6 }

B = { x/x Z positivos x < 12 }

C = { x/x Z positivos impares x < 12 }

E = { x/x Z }

a) Definir los conjuntos por extensión, si es posible.

b) ¿Existen relaciones de subconjuntos entre ellos?, ¿cuáles?, explicar.

16.- Escribir, sobre la línea de puntos y según corresponda, alguno de los siguientes

símbolos: , , , , =,

a) 2, 3 ........ 4 d) 4............. 1, 2, 3, 4

b) 2, 3 ........ 2, 3, 4 } e) ............{ 2, 3 }

c) 5 ............... 2, 3 f) 2, 3 ...... 2, 3

17.- Dados los conjuntos:

A = x/x N 0 x 9

B = y/y N y = 2x + 2 x A

a) Definir por extensión los conjuntos A y B.

b) Determinar la unión y la intersección entre ambos, analítica y gráficamente.

18.- De acuerdo con el diagrama, escribir: A B A B A BC

AC B AC BC A BC AC B AC BC A – B

B – A (AB)C (AB)C (AC)C A B

7


U

A B . 6 . 1 . 2 . 5 . 4 . 8 . 3 . 7 . 9

19.- Dados los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} , y sus subconjuntos C = {a, e, i} ,

D = { a, e} y E = {c, d, f, g}

Hallar: C D, C D, C EC, CC E, D E, C E, C – E, E – D, (CE)C, C E

20.- Completar las tablas, sabiendo que A = {1, 2}:

{1} {2} {1, 2} {1} {2} {1, 2}

{1} {1}

{2} {2}

{1, 2} {1, 2}

21.- Dados los conjuntos U = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , y sus subconjuntos:

A = 1, 3, 5, 8 , B = 1, 2, 4, 5, 7 y C = -1, 1, 2, 3 , comparar analítica y

gráficamente los siguientes pares de conjuntos:

a) A (B C) (A B) (A C)

b) A (B C) (A B) (A C)

c) (A B) c Ac Bc

d) (A B) c Ac Bc

22.- Expresar, mediante operaciones de conjuntos, lo que se indica en la parte

sombreada de cada gráfico:

U U

a) A B c) A B

C C

8


U U

b) A B d) A B

C

23.- Dado U = {x/x es un número dígito} y dadas las funciones proposicionales:

P(x): x es un dígito impar

Q(x): x es un dígito mayor que 4

a) Escribir el conjunto P que tiene como elementos los valores de x que hacen

que la proposición p sea verdadera y el conjunto Q que tiene como elementos

los valores de x que hacen que la proposición q sea verdadera.

b) Escribir ~ P(x), P(x) ∨ Q(x), P(x) ∧ Q(x)

c) Determinar PC, P Q, P Q

24.- Dados los conjuntos finitos: A = a, b, c, d , B = d, e, f, g, h, i, j

a) Determinar el número de elementos de A y de B.

b) Usando diagramas de Venn, determinar: n (A B) y n (A B)

c) Verificar que: n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

25.- Analizar los siguientes problemas en términos de conjuntos:

a) Juan toma café o leche (o ambos) en su desayuno cada mañana durante el

mes de enero. Si toma café 25 mañanas y leche 18 mañanas, ¿cuántas

mañanas toma café con leche?

b) Se efectuó una encuesta a 60 jóvenes sobre el consumo de bebidas

gaseosas: 23 de ellos dicen tomar gaseosas sabor cola, 25 consumen sabor

lima-limón, 20 sabor naranja, 8 toman gaseosas cola y lima-limón, 6 cola y

naranja, 14 lima-limón y naranja y sólo 2 afirman consumir de los tres

sabores. En base a los datos, realice el diagrama de Venn y responda:

i) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas sabor naranja y lima-limón,

pero no cola?

ii) ¿Cuántos jóvenes consumen gaseosas de naranja o cola?

iii) ¿Cuántos consumen gaseosas sabor cola o lima-limón, pero no

naranja?

iv) ¿Cuántos jóvenes no consumen estos sabores de gaseosas?

A B C

9


26.- Dados los conjuntos: A = 1, 2, 3 y B = a, b :

a) Definir por extensión los conjuntos: A x B, B x A, A x A, B x B

b) ¿A x B = B x A?. Justificar la respuesta.

27.- Si el producto cartesiano de los conjuntos T y S es:

T x S = (7,9); (7,10); (8,9); (8,10); (3,9); (3,10); (4,9); (4,10)

a) Escribir por extensión los conjuntos T y S

b) Graficar el producto cartesiano TxS

10



CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.- Sean los conjuntos: N, Z, Q, I, R, Im y C, que representan respectivamente a los

números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, imaginarios puros y

complejos. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:

a) – 3 ∈ Z f) π ∈ R

b) 2,5 ∈ N g) √−4 ∈ I

c) √3 ∈ Q h) ¾ ∈ Im

d) 1 + 3i ∈ R i) 1 – 2i ∈ C

e) 2 ∈ Q j) 0 ∈ R

2.- Unir con flechas las operaciones indicadas en la columna A con sus respectivos

resultados de la columna B:

Columna A Columna B

N Z Q

R I Ø

I Q Z-

Z - { N {0}} I

ZF Z

3.- Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justificar lo falso.

a) 8 es un número natural por lo tanto es irracional.

b) -36 es un entero, entonces -36 es racional.

c) Cualquier número racional es natural.

d) 3 2 es un irracional, pero no es real.

e) La suma de dos números racionales es otro número racional.

f) El producto de dos números irracionales es otro número irracional.

4.- Escribir el nombre de la propiedad de los números reales que se aplica en cada

caso:

11


a) 2 (x + y) = 2x + 2 y

b) 2 (3y) = (2. 3) y

c) 2 (x – y) = (x – y) 2

d) (7 + x) y= 7 y + x y

e) (x + 1) (y + 1) = x y + x + y + 1

5.- Indicar si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplazar cada

proposición no válida por la que corresponda:

a) 27 = 24 . 23 = 26 . 2 f) (– 4)2 = – 42

b) 25 = 52 g) (32)3 = 35

c) (3 . 5)2 = 32 . 52 h) (3 + 5)2 = 32 + 52

d) 2 –5 = – 10 i) (4

3)

−2=

32

42

e) 2

x+

4

x=

6

x , con x ≠ 0 j)

x

y+

z

w=

x+z

y+w , con y, w ≠ 0

6.- Aplicar propiedades de la potenciación y resolver:

a) (- 3)-2. (- 3)-3 g) 2-9 .34 . 4-3 . 35

b) 2-5 . 24. 2-5 h) [(12 a4 b2)-3]

c) 34.3-3.3-5 i) 3-3 : 56 . 3 -9

d) 2-5 : 24 j) 2 h+1 : 24

e) [ (0,4)-3]-7 k) 165 : 46

f) 610 .60 . 3-2 . 34 l) 145: 146

7.- Efectuar los cálculos y escribir cada expresión de manera que todos los exponentes

sean positivos

a) (2x3y−3

5x4y2)

−1

b) (7a−3b−4

2a2b2)

−2

8.- Escribir el valor de x que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades:

a) 3x . 35 = 38 b) 2 –5 . 2x = 29 c) 4−3

4x = 45

7.- Resolver las siguientes operaciones combinadas con números racionales:

12


2 4 1 3 1 42

3 5 2 4 3 5

2 21 2 1

1 32 3 2

1 37.

2 5

12

4

11 2 1 11

18 3 2 20

1 11

4 5

2

12

11

312

111

25

3 7

2 3

2 2 5

3 3 4

1 11

4 4

( ) ( )

( )

2 3

2

1,4 0,9 3 1,3 1,1

0,1

- - -

223

0,5 0,16 0,22

8.- Resolver:

a) 18 50 2 8

d) 27- 50+ 12+ 8

b) 14+ 1+ 9

e) 3

3

16 1 4

2 2 2

c) 3 2 4 2

4

a b . 2 a.b

2ab f)

2 23 3x y. 3xy

xy

9.- Racionalizar los denominadores:

a) 3

2

d) 3

5

b)

3 2

2 1 e)

2a

a 1

c)

2 3

2 3 f)

x y

x y

10.- Resolver los siguientes logaritmos:

a) log 3 27 + log 3 1 d) log 5 25 – log 5 5

b) log 0,1 – log 0,01 e) log 20 + log 5

c) log 3 7 – log 3 21 f) log 2 4 250

13


11.- Hallar el valor de x en las siguientes expresiones:

a) log 7 x = 3 c) log 2 x = – 3

b) log 6 [4 (x – 1)] = 2 d) log 2x+3 81 = 2

12.- Representar gráficamente los siguientes conjuntos:

A= x N / x 5 C= x N / 1 x 7

B= x Z / -2 x 2 D=x Z / x 2 ∨ x -2

13.- Representar, en la recta real, los siguientes intervalos de números reales:

[4, 7] (-, -2) (-2, 5]

[1

3, ) [0, 3) (

5

2, )

14.- Realizar gráficamente, en la recta real, las operaciones indicadas entre los

siguientes intervalos:

[-2, 4) (0, 5) [-2, 3] [-1, 1] (-, 2) (4, )

(-, 5] [5, ) [-1, 3) [3, 5] R – [1

2, 2]

15.- Dadas los siguientes gráficos en la recta real, indicar la parte sombreada en

término de intervalos y en término de conjuntos:

( ] ) [

–2 -1 x 0 2 x –2 0 x

16.- Resolver las siguientes operaciones de números complejos:

a) i 3 – i 4 + i 5 – i 6 f) 2 + i 3 + 3 i 2 + 4 – i 5

b) (3 – 5i) + (2 – i) g) – 2(–5 + 6i) – (6 – 7i)

c) (3 + 2i) (4 – 2i) h) (8 – i)(3 + 2i) – 8i3

d) 5 i

2 2i

i)

i12

7 9i

e) 3 2i i

4 i 2 i

j)

2i 4 i 4

2 3i 5 i

14



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.- Identificar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios, expresiones

algebraicas fraccionarias o expresiones algebraicas irracionales:

P(a)= 3a + 2 P(b)= 5b−2+3

2 P(c)= √c + 1 − 3

P(d)= −1

3d − 5d2 + d5 P(e)=

(e+3 )2

e5 P(f)= f 2+f

12

√2f

2.- Unir con flechas, indicando el grado del polinomio.

-1/2 x4 + 3 x2 – 5 x + 1 6

-3 + 9 x3 -7 x + 15 x4

x6 + x4 – 7x3 + 1 3

0 x4 + 3 x3 – x

-4 x + 2 x3 – 7 x6 4

3.- Completar y ordenar en forma decreciente, los siguientes polinomios:

a) P(x)= 2x2 + 4x5 – x3

b) P(y)= 4y + 3y3 – y4 – 1

c) P(w)= 2w – 10 + w5

d) P(t)= 3t3 + t

4.- Dados los polinomios:

5 4 2

4

4 2

A(x) 12x 18x 2x 2x 4

B(x) 6x x

7 1C(x) x x x 10

3 2

Calcular:

a) El valor numérico del polinomio A cuando x= -1

b) 2 A(x) – 3 C(x) + B(x)

15


c) A(x) : B(x) , indicando el cociente y el resto.

d) [C(x) – A(x)].B(x)

5.- a) Escribir el polinomio que representa la superficie de la siguiente figura:

b) Escribir el polinomio que representa el perímetro de la siguiente figura:

6.- Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a) (5x3 + 1

2 x2 -3x +

3

4 ) + (

4

5 x3 + 3x2 +

1

5 x –

1

2 ) =

295

x3 + 7

2 x2 –

14

5 x +

1

4

b) (4x2 – 5x + 3) . (x2 – 4x +1) = 4x4 - 21 x3 + 27x2 – 17x + 3

c) (2x – 1 – 2x2) . (6x – 9 – x2) = 2x4 + 21 x3 – 30x2 -24 x + 18

7.- Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones y comprobar que el

cociente por el divisor, más el resto, es igual al dividendo:

a) (15𝑥7 + 20𝑥5 − 10𝑥2): (5𝑥2)

b) (3𝑥4 − 12𝑥2 + 9𝑥 − 5): (𝑥2 − 2𝑥 + 1)

c) (−7𝑥 + 𝑥4 + 6𝑥5 + 4𝑥2 + 1): (2𝑥2 − 3 + 𝑥)

d) (12𝑥5 −5

3+ 𝑥3) : (−3𝑥 + 5 + 6𝑥2)

e) (𝑥3 − 27): (𝑥 − 3)

f) (𝑥4 − 16): (𝑥2 − 2)

8.- Interpretar y responder:

a) Dado 3 27 x

P(x) x x 28 3

, ¿cuál es el valor numérico de P para x = 6?

b) ¿Cuál es valor de la constante “k” para que Q(-1) = 2 siendo Q(x) = -x2+3x+k?

R P

N M

h

h

C

B

A

2

2

MN x 5 x 5

NP 2x 10 x 3

3RP MN

2

h 4 x

2

2

AC 2x 3 x 4

CB x 5 x 2

h 3 x 5

16


c) ¿Cuál es el valor de “m” en el polinomio 3 2R(x) 2x mx 4x 5 para que

el mismo sea divisible por (x - 1)?

d) Dado 2S(x) x ax a , ¿cuál es el valor de “a” para que al dividirse S por (x

+ 0,2) el resto sea igual a 3?

e) Si T(x)= x2 + b, ¿cuál es el valor de “b” para que 5 sea raíz del polinomio T?

9.- Sin efectuar la operación, calcular el resto de las siguientes divisiones y decir

cuáles son exactas:

a) (x3 + 27) : (x + 3) c) ( x6 – 3 x2 + 4) : (x – 1)

b) (x4 – 16) : ( x - 2) d) (x2 – 2x + 5) : (2x + 1)

10.- Factorear los siguientes polinomios, si es posible:

a) 6 a2 x2 + 9 ab x2 + 3 ac x2 h) 2x3 y – 3 y2x2 + 11 x4 – 9x5y3

b) 3 x ( 2 - x) + 4 x2 ( 2 – x) i) 1

6 x3 y6 –

2

9 x3 y5 +

1

4 x2 y12

c) 2 m x2 + 3 p x2 - 4m – 6p j) 2 ax + 2 b x – a y + 5 a – b y + 5 b

d) 4 + 4 a + a2 k) 1 – 2a + a²

e) a4 + 2 a2 x3 + x6 l) x 2 + 36 – 12x

f) x2

a2 -

y2

b2 m) y6 – 36 x4

g) x5 + 1 n) 8 a6 – x3

11.- Indicar la forma totalmente factorizada de:

a) 9x3 – xy2 + 9x2y – y3 b) x2 (x-2) – 4x (x-2) + 4 (x-2)

i) (9x2 + y2) . (x+y) i) (x – 2) . (x + 2)2

ii) (3x + y2) . (x+y) ii) (x - 2) . (x2 – 2x + 4)

iii) (3x – y)2 . (x+y) iii) (x + 2) . (x - 2)2

iv) (3x + y) . (3x – y) . (x+y) iv) (x - 2)2

v) ninguna v) ninguna

12.- Indicar para que valores de variables son válidas las siguientes expresiones

algebraicas:

17


a) 2

x+2 b)

x+2

x+ 1

2

c) 3x−7

x2−1 d)

−5

4x e)

−2x

x2−25

13.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

a) 5 x2−5

x+1 d)

a2 x− a2 b

a x2−a b2

b) x2−1

x2−x e)

x2−36

x3−216

c) 2 x−14

x2−14 x+49 f)

y3+5 y2

y3−25 y

14.- Resolver:

a) (x4 − 1

x2) ( x3 +

1

x)

x4

x4+1 e)

10 x−20

x2 .

3x2

5 .

20

x2−4x+4

b) x2−1

3 .

6 a

x+1 .

x2−2x+1

10 a f) (

3

4x+

x

4− x) . (

1+x

1−x−

1−x

1+x)

c) ( x4 − 1

x2) : ( x2 + 1

x) g) (

x2

a2−

a2

x2) : (

x

a+

a

x)

d) ( x + x

x−1) : ( x −

x

x−1 ) h) (

1

x+a+

1

x−a) : (

x2

x3− a2x)

18



ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

1.- Dadas las siguientes igualdades:

i) Indicar cuáles son identidades y cuáles son ecuaciones.

ii) Clasificar las ecuaciones.

a) 3x + 7 + 5x = 3 + 8x + 4 f) (a + b) (a – b) = a2 – b2

b) 5 + √𝐱 − 𝟓 = 15 g) 𝟓𝐦

𝐦+𝟑=

𝟑

𝟐𝐦−

𝟐

𝐦−𝟑

c) log (x – 7) = 1 h) (x2 + 2y)2 = x4 + 4x2y + 4y2

d) 2h – 5 = (1/32) 2 h i) 2 k1/2 + 4 = 16

e) (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6 j) √1

4x + 8 = √

3

4x

2.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) (8x + 1) (x – 3) = 2x (4x – 2) g) 3x + 𝟏

𝟐 – 5 =

𝟓

𝟐 (2x – 4)

b) 3x + 6 = 3 (2 – x) + 2x h) 2(x+3)

4x2−25=

2

2x+5−

4

2x−5

c) x+4

x−1+ 2 = 5 i)

4x

x2−4=

2x

x+2− 2

d) 2z+3

4− z +

3

2z =

5+2z

4 j)

1

3 (2y + 1) +

1

2 y =

2

5 ( 1 – 2y) – 4

e) x+5

x2−4−

x−4

x2+4x+4= 0 k) 2x – 3 = x/2

f) (3x + 1)2 – 2x = 9x2 + 5 l) x

bc+

x

ca+

x

ab= a + b + c; a, b, c constantes

3.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

242

923

yx

yx

e)

x yx -1

2

x - yy 1

2

b)

8).(3).(2

1334

yxyx

xy

f)

1452

22

17

yx

yx

19


c)

926

63

yx

xy g)

x y 4

-2x y 10

d)

3

1

1

1

31

1

y

x

y

x

h) {ax + by = 2ab

3ax − 2by = ab ; a y b constantes

4.- Plantear las ecuaciones que sugieren los siguientes enunciados; (las cantidades

desconocidas deben ser representadas por letras, no resolver):

a) La suma de los productos fabricados por las secciones A, B y C de la empresa

es de 6.000 unidades.

b) La cantidad de ingresantes a la facultad en 2017 es un 10% mayor que en 2016.

c) Si se compra una remera pagando con tarjeta de crédito el precio es de $500, pero si se paga de contado se obtiene un descuento del 5%.

5.- Plantear y resolver los siguientes problemas:

a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son

dichos números?

b) Se le informa a un comerciante que el precio con el I.V.A. (del 21%) de cierto

producto es de $ 423,50. ¿Puede determinar cuál es el precio del producto sin

el I.V.A.?

c) La diferencia entre un número y el duplo de su consecutivo es –1. ¿Cuáles son

dichos números?

d) El largo de un rectángulo es el triple de su ancho y su perímetro es de 56cm.

Hallar las dimensiones del rectángulo.

e) La diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es de 3 cm. Hallar las

dimensiones de la figura sabiendo que el perímetro es de 62 cm.

f) El departamento de Marketing de una empresa tiene asignado un presupuesto

de $ 80.000 para gastar en publicidad el próximo semestre. Se decide invertir

$25.000 en la elaboración de un comercial televisivo y el resto se utilizará en la

contratación con los canales de televisión. Si estos cobran $10 el segundo de

publicidad, ¿Cuántos segundos podrán contratarse para el próximo semestre?

g) Hallar dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4

la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por

5 la suma es 174.

6.- A partir de las siguientes ecuaciones, identificar los valores de a, b, y c,

completando el cuadro

20


Ecuación a b c

a) 2x2 = 3 – 4x

b) 8

3 + 2x = 3x2 – 7x

c) – 5x + x2 = 3 + 12

5 x + 2x2

d) 3x (x2 + 2) – 7x = x (2 + 3x) + 3x3

7.- Dada las siguientes ecuaciones:

i) Resolverlas.

ii) Clasificarlas en incompletas o completas. Si son completas, resolverlas

aplicando la fórmula.

a) x (x + 3) – (3x + 4) = 0 f) x (x + 1) (x + 3) = (x + 2)3

b) (2x + 4)2 = (x + 3)2 g) 5x

2x+4−

x−4

x2+4x+4=

2

x+2

c) 3x2

2−

2x

3=

x

6+

5x2

4 h) x2 = 2 (x – 1) (x + 2)

d) x2 − 2√2x + 3 = 0 i) 4x2 + 10 = 26

e) – 25x2 + 4 = 0 j) x2 = x

8.- Sabiendo que 3 es una de las raíces de la ecuación: ax2 + 5x = 33, obtener el valor

de a y de la otra raíz.

9.- Dada la ecuación 2x2 + bx + c = 0, calcular los valores de b y c, sabiendo que la

suma de sus raíces es – 2 y el producto es – 4.

10.- Analizar el discriminante para responder Verdadero o Falso, según corresponda

en cada caso:

a) La ecuación 2x2 – 4x = 5 no tiene solución en el conjunto de los números

reales.

b) La ecuación 3x2 + 60x + 300 = 0 tiene solución única en los reales.

c) La ecuación 8x2 = 5x + ¼ no tiene solución en el conjunto de los números

reales.

21


11.- Reconstruir las ecuaciones de segundo grado, cuyas raíces son:

a) x1 = 6 ; x2 = 4 c) x1 = 4 – 3i ; x2 = 4 + 3i

b) x1 = – 2 + √2 ; x2 = – 2 – √2 d) x1 = 0 ; x2 = 3

12.- Resolver los siguientes sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos

incógnitas.

a) {2x − y = 3

x2 − y2 = 3 c) {

2(x + 3)2 − 2(x2 + 5) = −4y

y = x2

b) {x2 + y2 = 52

x − y = 1 d) {

2x + y = 8

2x + y2 = 10

13.- En las siguientes situaciones escribir en forma simbólica e identificar la

incógnita:

Situación Expresión Simbólica

En el Parcial de Introducción a la Matemática voy a obtener por lo menos un 7

El número de alumnos inscriptos a la facultad es superior a 2.000

Gastaré a lo sumo $1500 en un nuevo pantalón

El candidato a intendente ganó con un porcentaje mayor al 40 % de los votos

Voy a tardar entre 30 ó 45 minutos en llegar

14.- Resolver las siguientes inecuaciones expresando la solución como intervalos y

representarlo gráficamente sobre la recta real.

a) 2 (x + 1) – 3 (x – 2) < x + 6 d) – 5 + x/2 > 3 – 2x

b) x2 – 3x + 10 > 0 e) 1 + 2x < – 2x + 5

c) x−4

3≥

2−3x

3 f)

x2−4

x+3 ≤ 0

22


15.- Aplicar propiedades del valor absoluto para resolver las siguientes

inecuaciones:

a) | 2x | 8 f) | 3x +5 | < 4

b) |4x – 2 | < 1 g) | 4x + 2 | 10

c) 3x+1 4

5

h) 9 – x 2 > 0

d) x2 – 16 ≥ 0 i) |x+4

5| ≤ 2

e) (2x)2 ≤ 81 j) (2x – 3)2 > 25

16.- Resolver y expresar en notación de intervalos:

a) Un estudio estadístico revela que el nivel de ventas x de una pequeña

empresa (expresado en miles de unidades), tiene una variación anual dada

por la expresión: 15,12

x

Bajo esta condición, ¿entre que valores varia el nivel de ventas anualmente?

b) Una revista médica establece que los niveles de colesterol en sangre x son

considerados anormales cuando cumplen la condición: 5

180x>4

Se desea determinar explícitamente los niveles de colesterol en sangre que se

consideran anormales.

c) Una empresa se dedica a la fabricación de una línea de detergentes para el

hogar. En el proceso de producción se incurre en un costo diario de $500

para iniciar el proceso y $0.80 por litro de detergente fabricado. Si el gerente

de finanzas de la empresa ha establecido que se gaste diariamente entre

$1.000 y $1.200 en dicha producción ¿Cuáles son los litros de detergente que

se podrían producir?

17.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales:

a) log x + log 50 = 3 g) log 12 x – log 12 (x – 2) = 1

b) log (x + 1) + log ( x – 2) = log (x2 + 5) h) log (x + 1) – log (x – 2) = log 2

c) log 3 x2 + log 3 x – 6 = 0 i) 3 log x – log 32 = log x – log 2

d) log (3 + x) = 2 log (3 – √x) j) 2 2x + 1 = 8

e) 5 3 – x = 125 k) 2 x + 3 . 2 x – 1 = 0

f) 2 x + 2 + 2 x + 1 + 2 x = 7

2 l) 31−x2

=1

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introducciÓn a la matemÁtica - fce.unju.edu.ar intr a la mat 2019.pdf · 3 universidad nacional...

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