introducción a la lógica difusa y al enfoque língüístico difuso charlas sinbad 2

Introducción a la Lógica Difusa y al Enfoque Língüístico Difuso

Charlas Sinbad2

SUMARIO

Conceptos Básicos: Incertidumbre, Precisión y …

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos

Enfoque Lingüístico Difuso y Computación con Palabras

Comentarios Finales

Conceptos Básicos

• Información Imperfecta– Imprecisión en sistemas Humanos

• Imperfección del conocimiento percibido

– Sistemas de Información– Fuentes de incertidumbre

• Probabilísticas• Difusas• Errores• Imprecisión conceptual (lenguaje)

Conceptos Básicos1. Incertidumbre

– ISO 3534-1: una estimación unida al resultado de un ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que está el valor verdadero.

– Relacionada con la información imperfecta. Imprecisión– Distintas fuentes.

2. Probabilidad. – Casi todos los aspectos relacionados con la incertidumbre– Mide mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto

de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio.– Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad de que

cierto evento ocurra. Se calcula y verifica por experimentación.

3. Vaguedad– Constituye una forma de incertidumbre distinta a la probabilidad su

carácter está relacionado con límites sin precisión clara.– Es una característica del lenguaje de comunicación humano.

Incertidumbre

¿Cuándo entrará en erupción un volcán?¿Aprobaré el examen?Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?¿La respuesta a la pregunta es V o F?

A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir.

La ausencia de incertidumbre es tener información total.

Se trabaja con niveles de creencias.

IncertidumbreRango de valores [0,1]

¿Cuándo va a entrar en erupción un volcán?Silencio sísmico

¿Aprobaré el examen?¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?

Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?¿la moneda está sesgada?

¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena

respuesta.

ProbabilidadRango de valores [0,1]Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5

P(X=x)

X

• P (X = VERDE) = 1/7

Vaguedad

• La vaguedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.

• Por ejemplo, el grado de belleza de una persona es un evento vago per sé, sin importar que sea un elemento aleatorio.

• Relacionado con Fuzziness

• Característico del Lenguaje Humano

Vagueness (fuzziness) vs. Probability

• La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias y la vaguedad no.

• La vaguedad describe eventos ambiguos, la probabilidad describe los eventos que ocurren.

• Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre puede interpretarse como difuso.

Vagueness (fuzziness) vs. ProbabilityIncertidumbre

Redes Bayesianas

Aleatoriedad de eventos definidos de

manera precisa

Conjuntos Difusos

Subjetividad en la calificación de

eventos no aleatorios

LÓGICA DIFUSAY

CONJUNTOS DIFUSOS

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosLofti Zadeh, 1965

Fue diseñada para representar y razonar sobre conocimiento expresado de forma lingüística o verbal

Conocimientos “vagos”,”imprecisos”, “difusos”, “borrosos”

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• La lógica difusa es una extensión de la lógica

convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”

F

V

F

V

Lógica booleana Lógica difusa


EJEMPLO: Es peligroso llegar a estar demasiado cerca de un león

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosTrasladamos la pregunta mediante la elección de un umbral T en lógica clásica:

SI (distancia < T) ENTONCES peligroEsto se puede representar mediante la teoría clásica de conjuntos

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosConsideremos una pequeña distancia, y su variación: ¿Hay peligro estando a la distancia T - ξ?

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosFunciones de pertenencia continuas Conjuntos Difusos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Problemas Básicos subyacentes:

– Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

– La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).

• “Ella es guapa”: ¿Es guapa, muy guapa o un poco mejor que regular?

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosDe Conjuntos clásicos a Conjuntos Difusos

X: Universo de discursoA: Un conjunto definido en ese universo de discurso

Formas de definir el conjunto A:

• Enumerando elementos• Especificando una propiedad• Definiendo la función característica

1,0: XS

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Ejemplo: Conjunto clásico de números reales en el

intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8

A = [5,8], X = [0,10]

108,0

85,1

50,0

)(1

x

x

x

xA

Lógica Difusa y Conjuntos DifusosFunción característica Conjunto nítido

Función de pertenencia Conjunto difuso

Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A

1,0: XS

1,0: XA

)(xA

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Ejemplo: Conjunto de gente joven

B = {gente joven} B = [0,20]

10030,0

3020,10

30200,1

)(

x

xx

x

xB

3015 20 25 5035 40 45

10035,0

3520,10

35200,1

)(

x

xx

x

xB


Un conjunto difuso se pueden definir como:• Una función continua.

• Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

• donde – no representa una suma, sino una colección de todos los pares.– A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par

(posibilidad/elemento)

Ux

A xxA /)(

Ux

A xxA /)(

Sea el conjunto difuso joven

3015 20 25 5035 40 45

A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }

A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }

edad0

1

grado de pertencia



a b c

cx

cxbbc

xc

bxaab

axax

cbaxf

,0

,

,

,0

),,;(

Tipos de funciones de pertenencia

• Funciones triangulares

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Funciones trapezoidales

a b c

dx

dxccd

xdcxb

bxaab

axax

cbaxf

,0

,

,1

,

,0

),,;(

d

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Funciones gaussianas

• Otras: campana, S, Z, etc.

• Funciones descritas mediante polígonos– Generalizan cualquier otro tipo de representación– Nivel de aproximación ajustable

CONCEPTOS BASICOSDE

CONJUNTOS DIFUSOS

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U

es un conjunto nítido que contiene todos los elementos de U que tenga valores de pertenencia ≠ 0 en A.

Soporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}

•Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).

•Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).

1

soportex

μA(x)

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina

núcleo (core).

1

núcleox

μA(x)

• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de pertenencia logrado por algún punto.

• En un conjunto difuso normal la altura es 1.• normal: μA(x) = 1

altura

μA(x)

x

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número [0; 1] un conjunto -

cut (alfa corte) es un conjunto nítido que contiene todos los elementos en U que tengan valores de pertenencia en A mayores o iguales que α, definido por:

A = { x є U / μA(x) }

A + = { x є U / μA(x) } strong - cut

• Operaciones Estándar• Complemento A(x)

A(x) = 1 - A(x)•Unión: t-conormas

( AB ) x = max[ A(x), B(x)]

•Intersección: t-normas( AB ) x = min[ A(x), B(x)]

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un

conjunto convexo para algún α en el intervalo (0, 1]• Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]:

μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))• Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son convexos

1

0.8

Normas y Co-normas Triangulares• Establecen modelos genéricos para las operaciones

de unión y intersección, las cuales deben cumplir ciertas propiedades básicas (conmutativa, asociativa, monotonicidad y condiciones frontera).

Definiciones:• Norma Triangular, t-norma:

Operación binaria t: [0,1]2 [0,1]

• Conforma Triangular, t-conorma o s-norma:Operación binaria s: [0,1]2 [0,1]

T-Norma

:[0,1] [0,1] [0,1]T

• Simetría

• Asociativa

• Monotonicidad

• Condición Frontera

( , ) ( , )T x y T y x

( ( , ), ) ( , ( , ))T T x y z T x T y z

1 2 1 2 1 1 2 2, ( , ) ( , )x x y y T x y T x y

( ,1)T x x

∩

S-Norma o T-Conorma

• Simetría

• Asociativa

• Monotonicidad

• Condición Frontera

:[0,1] [0,1] [0,1]S

( , ) ( , )S x y S y x

( ( , ), ) ( , ( , ))S S x y z S x S y z

1 2 1 2 1 1 2 2, ( , ) ( , )x x y y S x y S x y

( ,0)S x x

U

Ejemplos de: T-Norma y S-Norma

• Mínimo/Máximo:

• Lukasiewicz:

• Probabilística:

( , ) min( , )T a b a b a b ( , ) max( , )S a b a b a b

( , ) max( 1,0) ( , )T a b a b LAND a b ( , ) min( ,1) ( , )S a b a b LOR a b

( , ) ( , )T a b ab PAND a b ( , ) ( , )S a b a b ab POR a b

Características• Para cada t-norma existe una s-norma dual o conjugada (y

viceversa) :

x S y = 1 – (1 – x) T (1 – y) (usamos la negación original)x T y = 1 – (1 – x) S (1 – y)

Esas son las Leyes de De Morgan de la teoría de conjuntos difusos, que en conjuntos nítidos se aplican a la unión y a la intersección:

Enfoque Lingüístico Difuso yComputación con Palabras

COMPUTING WITH WORDS

• Zadeh in

• Computing with Words– Methodology for reasoning and decision-making with

information described in natural language

• Capability to converse, communicate, reason and make decisions in an environment of imprecision

• Capability to perform physical and mental tasks without any measurement

J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW


• Fuzzy Linguistic Approach

The concept of Linguistic variable was widely described in:

Lotfi A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I: Inf. Sci. 8, 199-249, 1975; Part II: Inf. Sci. 8, 301-357, 1975; Part III: Inf. Sci. 9, 43-80, 1975.

Linguistic variables differ from numerical variables in that their values are not numbers but are words or phrases in a natural or artificial language (Zadeh, 1975).

A linguistic variable is a 5-tuple <L, T(L), U, S, M> in which

L is the name of the variable, T(L) is a finite term set of labels or words, S is the syntactic rule which generates the terms in T(L), U is a universe of discourse, and M is a semantic rule which associates with each linguistic label X its meaning, where M(X) denotes a fuzzy subset of U.


VariableLinguistic variable

Fuzzy constraints

Very low Low Medium Hight Very hight

Linguistic terms

Semantic rule

The successful use of linguistic variables is highly dependent on the determination of a valid membership function.

This is crucial question that always appears in CW.

COMPUTING WITH WORDSEnfoque Lingüístico Difuso y CWW


• Computing with Words

• Results quantifiable in natural language

Initial computing scheme with fuzzy linguistic terms in DM:

R.M. Tong and P.P. Bonissone. A linguistic approach to decision making with fuzzy sets. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-10(11):716–723, 1980



• Computing with Words

– Translation and Retranslation processes• Machine and Human beings Interpretability

Other computing schemes with fuzzy linguistic terms in DM:• K.S. Schmucker. Fuzzy Sets, Natural Language Computations, and Risk Analysis. Computer

Science Press, Rockville, MD, 1984• R.R. Yager. Computing with words and information/intelligent systems 2:applications, chapter

Approximate reasoning as a basis for computing with words, pages 50–77. Physica Verlag, 1999• R.R. Yager. On the retranslation process in Zadeh’s paradigm of computing with words. IEEE

Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B: Cybernetics, 34:1184–1195, 2004.



• Mendel in

• Implementation of previous formulation– (1) Establish a vocabulary of words that is application dependent– (2) Collect data from a group of subjects about all of the words in the vocabulary– (3) Map data into a fuzzy set model– (4) Establish the CW engine (aggregation, reasoning, etc.) will be used– (5) Implement the specific CW engine– (6) Map the fuzzy set output into a linguistic results (recommendations)

J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.



• Guidelines must be passed or else the work should not be called Computing with Words

– G1: A word must lead to a membership function rather than a

membership function leading to a word.

– G2: Numbers alone may not activate the CW engine

– G3: The output from a CW must be at least a word and not just a number


Linguistic Computing Models


CLASSICAL COMPUTATIONAL MODELS FOR LINGUISTIC AGGREGATION

– Semantic model

It works on the fuzzy numbers associated to the semantics, and uses the extension principle for aggregation.

– Symbolic model

It works on the indexes of the linguistic labels.

Very low Low Medium High Very high

Order



•SEMANTIC MODEL–Linguistic aggregation approach based on the Principle of

Extension (fuzzy arithmetic):

–The result is a fuzzy number that usually has not associated a linguistic label on the initial label set S.

–We must use an approximation function app1(·) for associating a label set.

–Another possibility is to use fuzzy ranking procedures for ordering the alternatives.



The approximation process (label red to L or M) deals with a loss of information.

EXAMPLE: SEMANTIC MODEL

Degani, R., Bortolan, G.The problem of linguistic approximation in clinical decision making Int. J. Approx. Reas. 2 (1988) 143-162.

(0.33,0.41,0.53)



• SYMBOLIC MODEL– The symbolic aggregation computes on the label indexes

– The result is a real value on the granularity interval (that usually is not an integer)

– For assigning a label (an integer value) we also need an approximation process, app2(·)



• SYMBOLIC MODEL– Linguistic symbolic computational model based on

ordinal scales and max-min operators

– Linguistic symbolic computational model based on convex combination

R.R. Yager. A new methodology for ordinal multiple aspect decisions based on fuzzy sets Decision Sciences 12 (1981) 589-600.

Delgado, M., Verdegay, J.L., Vila, M.A., On aggregation operations of linguistic labels International Journal of Intelligent Systems 8:3 (1993) 351-370.

38



MSS

SSSSC

HVLLMC

round

3}75,2{

412,3 },,{

},,,{

The approximation process (round(2.75) = 3) also leads us to a loss of information.

EXAMPLE: SYMBOLIC MODEL BASED ON CONVEX COMBINATIONS


• Linguistic Symbolic Approach

– Advantages• Easy computation• Results Interpretability

– Drawback• Loss of information

– Computing with Words• Lack of accuracy

– Challenges• To improve accuracy• To increase Operational laws

Linguistic Computing ModelsEnfoque Lingüístico Difuso y CWW

• New Linguistic Symbolic Approaches

– Linguistic 2-tuple Model [Herrera & Martínez 00]


F. Herrera and L. Martínez. A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.



SYMBOLIC MODEL2-tuple fuzzy linguistic representation. A new symbolic approach

Why to propose it? There exist limitations in the loss of information caused by the need to express the results in the initial expression domain that is discrete via an approximate process.

This loss of information implies a lack of precision in the final results from the fusion of linguistic information.

We present tools for overcoming this limitation.

F. Herrera and L. Martínez.A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.



• 2-tuple fuzzy linguistic representation. – It is a linguistic model based on a pair of information and

uses indexes based aggregation operators

– It is based on the concept of “symbolic translation”

Sss iii ),,( )5.0,5.0[i



• 2-tuple fuzzy linguistic computational model.

– From numerical value to 2-tuple

– From 2-tuple to numerical value

)5.0,.5.0(,0: Sg

)5,0,5.0[

)(),,()(

i

roundiswiths i

i

gS ,05.0,5,0:1

isi ),(1



• 2-tuple fuzzy linguistic computational model.

– Negation Operator

– ComparisonLet and be two 2-tuples

If k < l then is less than

If k = l then: If then and are equal If then is less than If then is greater than

– Aggregation operators

)),((),( 1 ii sgsNeg

),( 1ks ),( 2ls

),( 1ks ),( 2ls

21

),( 1ks),( 2ls

21

),( 1ks

),( 1ks

),( 2ls),( 2ls

21


FUTURE WORK AND CHALLENGES

• Computing with words

– Increase the operational laws

• Symbolic point of view

– Increase the vocabulary to elicitate linguistic preferences

• Not natural language processing

– Joint CW with other methodologies for reasoning

Comentarios Finales

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