introducciÓn al Álgebra lineal. sistemas (2).… · introducciÓn al Álgebra lineal. prof....
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Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
LIBRO
LAS MATRICES SON FÁCILES
José Manuel Casteleiro
1.5 Sistemas de ecuaciones lineales
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES
PÁGINA 231
SISTEMAS LINEALES
TIENE SOLUCIÓN
NO TIENE SOLUCIÓN
SISTEMA COMPATIBLE
SISTEMA INCOMPATIBLE
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
SOLUCIÓN ÚNICA
INFINITAS SOLUCIÓNES
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2
1
2
3
3
.......
.......
.......
.......
m
m
n n
m
n n nm
D
D
a b c e
a b c e
a b c e
a b
x y z t
x y z t
x y z D
D
t
x y z tc e
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA
PÁGINA 236
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2
2
3
3
1..
..
..
: : : : : ::
..
m
m
m
n n n nm n
a b c e
a b c e
a b c e
a b
x
y
z
D
D
D
e tc D
=
MATRIZ DE COEFICIENTES AVECTOR DE INCÓGNITAS X
VECTOR DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES D
AX D=
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
3 6
2
1
2
3
3 3 5
2
5 4 2
8
x y z t
x y z t
x y t
x y z
+ + − =
+ + + =
+ + = + + =
−
−
Ejemplo 4.4 Expresar el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro
incógnitas en forma matricial
PÁGINA 236
1
2
3
2
3 6 1 1
2 3 3 5
1
2 0 8
5 1 4 0
=
−
−
−
x y z t
x
y
z
t
MATRIZ DE COEFICIENTES A
VECTOR DE INCÓGNITAS X
VECTOR DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES D
AX D=
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
PÁGINA 244
Situación inicial
Situación final: Hay 3 posibles
12 13 14 1
23 24 2
1
34 3
1
22
33
44 4
( ) ( ) ( )
(
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
)
+ + + =→
+ + =→
+ =→
=→
b y c z d t D
c z d t D
d t D
a
b y
c
d
x
t D
z
x
y
z
t
→→
→
→
3º) Analizar la situación final y resolver.
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 4
1
2
3
43 44
+ + + =
+ + + =
+ + + = + + + =
x y z t
x y z t
x
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
y z t
x y t
D
D
D
Dz
1º) Expresar sistema en forma de matriz ampliada.
11 12 13 1 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43
2
3
444
x y z t
*
=
a b c d
a b c d
a b
D
D
c d
a b
D
c d D
A
11 12 13 14
22 23 24
33
1
2
3
44
34
4
x y z
0
0 0
t
*
0 0 0
=
a b c d
b c d
c
D
D
d
D
D
d
A
2º) Triangular superiormente.
PROCESO
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
PROCESO
PÁGINA 243
1ª)
Situaciones finales
4
1 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
4
0
0 0
0 0 0 ´́ ´́
´ ´ ´ ´
´́ ´́ ´́
´́ ´́
a b c d e
b c d e
c d e
ed
x y z t
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
SOLUCIÓN ÚNICA
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
11 1 1 1
22
33
4
2 2
3
0
0 0
0 0
´´ ´ ´
´́´
´́ ´́
´
0 0
´ ´
e
ea b c d
eb c d
ec d
x y z t
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA INCOMPATIBLE
SIN SOLUCIÓN
1 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
´ ´ ´ ´
´́ ´́
0
0 0
0 0 0
´́
0 0
a b c d e
b c d e
c d e
x y z t
FILA DE CEROS
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
3ª)
2ª)
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 243
Ejemplo 4.7. Hallar la solución del siguiente sistema:
2 3 1
2 2 0
2 2 3 0
2 1
x y t
x y z
x y z t
x y z
− − + =
+ + =
− − − + = + + = −
1 2 0 3 1
1 2 2 0
2 2 3 0
1 1 2
0
1
10
− − − − −
−
COLUMNA DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES
x y z t
MÉTODO DE
GAUSS
COLUMNA PARA EMPEZAR
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 246
1 2 0 3 1
1 2 2 0
2 2 3 0
1 1 2
0
1
10
− − − − −
−
x y z t
3 2 0 1 1
2 2 1 0
2 3 2 0
1 2
0
10 1
1
− − − − −
−
t y z x
2 3 2 0
2 2 1 0
2 0 1 1
1 2
0
1
3
0 1
1 − − − − −
−
t y z x
( )3−2 3 2 0
2 2 1 0
4 9 5 1
2 1
1
0 1
0
1
0
− − −
−
2 3 2 0
2 1 1
4 9 5 1
2 2 1
1
0
10
0
0
− − −
−
( ) ( )2 4− −2 3 2 0
2 1 1
1 5
2
1
1
0
0 0
0 0 2
1
1
− − −
−
− −
( )2
t y z x
t y z x t y z x
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 247
1
1
1
1
0
0 0
0 0
2 3 2 0
2 1 1
1 5
10 2
− − −
−
t y z x
2 3 2 0
2 1
5
12
y z x
z
x
t
xy
z
x
→ − − − =
→ + + = −
→ + =
→ =
5
1
7
12
t
y
z
x
=
=
= −
→→
→
= →
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
SOLUCIÓN ÚNICA
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 248
Ejemplo 4.7. Hallar la solución del siguiente sistema:
2 3 1
2 2 0
2 2 3 0
2 1
x y t
y z
x y z t
x y z
− − + =
+ =
− − − + = + + = −
1 2 0 3 1
0 2 2 0
2 2 3 0
1 1 2
0
1
10
− − − − −
−
COLUMNA DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES
x y z t
MÉTODO DE
GAUSS
COLUMNA PARA EMPEZAR
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 246
1 2 0 3 1
0 2 2 0
2 2 3 0
1 1 2
0
1
10
− − − − −
−
x y z t
3 2 0 1 1
2 2 0 0
2 3 2 0
1 2
0
10 1
1
− − − − −
−
t y z x
2 3 2 0
2 2 0 0
2 0 1 1
1 2
0
1
3
0 1
1 − − − − −
−
t y z x
( )3−2 3 2 0
2 2 0 0
4 9 5 1
2 1
1
0 1
0
1
0
− − −
−
2 3 2 0
2 1 1
4 9 5 1
2 2 0
1
0
10
0
0
− − −
−
( ) ( )2 4− −2 3 2 0
2 1 1
1 5
2
1
2
0
0 0
0 0 2
1
1
− − −
−
− −
( )2
t y z x
t y z xt y z x
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 248 Y 249
0
0 0
0 0 0 0
2 3 2 0
2 1 1
1 5
12
1
1
1
− − −
−
t y z x
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA INCOMPATIBLE
SIN SOLUCIÓN
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 250
Ejemplo 4.9. Hallar la solución del siguiente sistema:
2 3 1
2 2 12
2 2 3 0
2 1
x y t
y z
x y z t
x y z
− − + =
+ = −
− − − + = + + = −
0
0
1 2 0 3 1
0 2 2 12
2 2 3 0
1 1 2 1
1
− −
− − − −
−
COLUMNA DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES
x y z t
MÉTODO DE
GAUSS
COLUMNA PARA EMPEZAR
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 250
0
0
1 2 0 3 1
0 2 2 12
2 2 3 0
1 1 2 1
1
− −
− − − −
−
x y z t
3 2 0 1 1
2 2 12
2 3 2 0
1 2 1
0
0 1
0
1
− −
− − − −
−
t y z x
2 3 2 0
2 2 0 12
2 0 1 1
1 2 1
0
0 1
1
3
− − −
− − −
−
t y z x
( )3−2 3 2 0
2 2 0 12
4 9 5 1
2 1 1
0
0
0
1
1
− − −
−
−
2 3 2 0
2 1 1
4 9 5 1
2 2 0 1
1
10
2
0
0
− − −
−
−
( ) ( )2 4− −2 3 2 0
2 1 1
1 1 5
2 2 1
0
0 0
1
0 0 0
1 − − −
−
− − −
( )2
t y z x
t y z xt y z x
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 251
1 2 3 2 0
0 1 2 1 1
0 0 1 1 5
− − −
−
t y z x
2 3 2 0
2 1
5
y xt
xz
x
z
zy
→ − − − =
→ + + = −
→ + =
2
6
5
z
z
t
y
x z
= − −
= − − = −
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
FILA DE CEROS
0
0 0
0 0 0 0
2 3 2 0
2 1 1
1
1
1 1
0
5
− − −
−
t y z x
RESOLUCIÓN
( ) ( )2 6 3 2 5 0
2 5 1
5
z z z
z z
t
y
x z
− − − − − − =
+ + − = −
= −
5x z→ = −
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
0
0
0
0
.......
.......
.......
.......
m
m
m
n n n nm
x y z t
x y z t
x y z t
a b c e
a b c e
a b c e
a b cx y z te
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
PÁGINA 252
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
..
..
..
: : : : : :
..
0
0
0
0
0
m
m
m
n n n nm
a b x
y
z
t
c e
a b c e
a b c e
a b c e
=
MATRIZ DE COEFICIENTES AVECTOR DE INCÓGNITAS X
0AX =
SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS POR EL MÉTODO DE GAUSS
PÁGINA 252
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0
0
0
0
a b c d x
a b c d y
a b c d z
a b c d t
=
SITUACIÓN INICIAL
SITUACIÓN FINAL
1
2
3
4
1 1 1
2 2
3
0
´ 0
´́ 0
´
´ ´
´́
´́ ´ 0
0
0 0
0 0 0
a
b
c
d
b c d x
c d y
d z
t
=
1 1 1 1
2 2
3
4
3
2´
´
0
´ ´ 0
´́ 0´
´́ ´́ 0
b y c z d t
c z
x
y
z
t
a
b
c
d
d t
d t
+ + + =→
+ + =→
+ =→
=→
0
0
0
0
x
y
z
t
=
=
=
→→
=
→ →
SISTEMA HOMOGÉNEO
COMPATIBLE DETERMINADO
SOLUCIÓN TRIVIAL
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos
FORMA OPERATIVA
PÁGINA 243
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
x y z t
1ª SITUACIÓN FINAL
SITUACIÓNES FINALES
1 1 1 1
2 2 2
3
4
3
´ ´ ´
´
0
0 0
0 0 0 ´ ´
´
´́
´́
a b c d
b c d
c d
d
x y z t
VALOR DISTINTO DE CERO
A
A
A*
Rg (A) = Rg (A*)
SISTEMA COMPATIBLE
SISTEMA DETERMINADO
SOLUCIÓN TRIVIAL
Rg (A) = Nº incógnitas
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 253
1 1 1 1
2 2 2
3 3
4
0
´ ´ ´ 0
´́ ´́
0
0 0
0 0 0 ´́
0
0´́
a b c d
d
b c d
c d
x y z t
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
1 1 1 1
2 2 2
3 3
0
0 0
0 0 0 0
0
´ ´
0
´ 0
´́ ´́ 0
a b c d
b c d
c d
x y z t
FILA DE CEROS
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
SITUACIÓNES FINALES
SISTEMAS HOMOGÉNEOS
1ª)
2ª)
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 253
Ejemplo 4.10. Hallar la solución del siguiente sistema:
2 3 0
2 2 0
2 2 3 0
2 0
x y t
x y z
x y z t
x y z
− − + =
+ + =
− − − + = + + =
1
1 2 0 3
1 2 2
2 2 3
1 1 02
0
− − − − −
x y z t
FORMA OPERATIVA
MÉTODO DE
GAUSS
COLUMNA PARA EMPEZAR
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 254
1
1 2 0 3
1 2 2
2 2 3
1 1 02
0
− − − − −
x y z t
3 2 0 1
2 2 1
2 3 2
1
1
0
10 2
− − − − −
t y z x
2 3 2
2 2 1
2 0 1
1
1
3
0
0 2 1
− − − − −
t y z x
( )3−
0
0
0
2 3 2
2 2 1
4 9 5
2 1
1
1
− − −
0
0
0
2 3 2
2 1
4 9 5
2 2 1
1
1
− − −
( ) ( )2 4− −0
0 0
0 0
2 3 2
2 1
1 1
2
1
1
1 − − −
− −
( )2
t y z x
t y z xt y z x
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 255
0
0 0
0 0 0
1
1
1
1
2 3 2
2 1
1
− − −
t y z x
2 3 2 0
2 0
0
0
t
y
y z x
z x
xz
x
→ − − − =
→ + + =
→ + =
→ =
0
0
0
0
t
y
z
x
=
=
=
→→
=
→ →
VALOR DISTINTO DE CERO
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
SOLUCIÓN TRIVIAL
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 256
Ejemplo 4.7. Hallar la solución del siguiente sistema:
2 3 0
2 2 0
2 2 3 0
2 0
x y t
y z
x y z t
x y z
− − + =
+ =
− − − + = + + =
1
1 2 0 3
0 2 2
2 2 3
1 1 02
0
− − − − −
x y z t
FORMA OPERATIVA
MÉTODO DE
GAUSS
COLUMNA PARA EMPEZAR
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 256
1
1 2 0 3
0 2 2
2 2 3
1 1 02
0
− − − − −
x y z t
3 2 0 1
2 2 0
2 3 2
1
1
0
10 2
− − − − −
t y z x
2 3 2
2 2 0
2 0 1
1
1
3
0
0 2 1
− − − − −
t y z x
( )3−
0
0
0
2 3 2
2 2 0
4 9 5
2 1
1
1
− − −
0
0
0
2 3 2
2 1
4 9 5
2 2 0
1
1
− − −
( ) ( )2 4− −0
0 0
0 0
2 3 2
2 1
1
1
1
1
2 2
− − −
− −
( )2
t y z x
t y z xt y z x
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 257
1 2 3 2
0 1 2 1
0 0 1 1
− − −
t y z x
2 3 2 0
2 0
0
y xt
xz
x
z
zy
→ − − − =
→ + + =
→ + =
x y t z= = = −
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
FILA DE CEROS
0
0 0
0 0 0 0
1
1
1
2 3 2
2 1
1
− − −
t y z x
RESOLUCIÓN
( ) ( )2 3 2 0
2 0
t z z z
z
zx
zy
− − − − − =
+ − =
= −
zx→ = −
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 266
SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Ejemplo 4.17. Discutir y, en los casos en que sea posible, resolver el siguiente
sistema en función del parámetro a :
2
3 4 2
2 2
3 3 1
a a
a
a
x y z t
x y z t
x y z a
a
t
x y z t
+ + + =
− − − + = −
+ + + = − − + + = +
FORMA OPERATIVA
1 2
1 3 4 2
1 1 2 2
1 1 3
1
3 1
a a
a
a a
a
− − − − − − +
x y z t
( ) ( ) ( )1 1 1−
0
0 0 0
0 0
1 2
1 3 4 0
1
0
3 3 3
a a
a a a
a
a a a
− − + +
+ + +
x y z t
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 266
SOLUCIONES EN FUNCIÓN DEL PARÁMETRO
CEROS DIAGONAL PRINCIPAL
1 2
1 3 4 00
0 0
0
3 3
0 0
1
3
0
a a
a a a
a a a
a
− − + + + + +
x y z t
1) 1 0
2) 3 0
3) 0
a
a
a
→ − =
→ + =
→ =
1
3
0
a
a
a
=→
= −
→ =
→
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 267
SOLUCIONES EN FUNCIÓN DEL PARÁMETRO
1 2
1 3 4 00
0 0
0
3 3
0 0
1
3
0
a a
a a a
a a a
a
− − + + + + +
x y z t
1a =
1 1 1 2
2 5 0
4 4 4
1
0 0
0 0
0 0 0
1
0
−
x y z t
CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPALSISTEMA INCOMPATIBLE
DEMOSTRACIÓN
1 2
2 5 0
4 4 4
1
0 0
0 0
0 0 0
1
0
a a
−
x y z t
( )21 2
2 5 0
14 4
1 0
0 0
0 0 0
0 0
1
0
a a
−
x y z t
( )14−
1 2
2 5 0
1 0
14 4
0 0
0 0 0
0 0 0
1 a a
−
x y z t
1ª SOLUCIÓN
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 267
SISTEMA INCOMPATIBLE
0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 2
2 5 0
1 0
1
4
a a
−
x y z t
VALOR DISTINTO DE CERO
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 268
1 1 2
1 3 4 00
0 0
0 0 0
3 3 3
0
a a
a a a
a a a
a
− − + + + + +
x y z t
3a = −
0
0 0 0 0 0
0 0
1 1 3 3 2
4 6 1 0
3 00
− −
−
−
x y z t
0
0 0 0
1 1 3 3 2
4 6 1 0
3 0
− −
− −
x y z t
2ª SOLUCIÓN
FILA DE CEROS
3 3 2
4 6 0
3 0
x y z t
y z t
t
→ + − − =
→ − + =
→ − =
RESOLUCIÓN
0t =
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
3 2
4 6 0
x y z
y z
→ + − =
→ − =
3 23
3 232
2
x y z
x z zy z
+ − =
+ − = =
3
2y z=
32
2x z= +
Prof. Ramón ArillaDepartamento de Investigación de Mercados y Métodos Cuantitativos PÁGINA 269
1 2
1 3 4 00
0 0
0
3 3
0 0
1
3
0
a a
a a a
a a a
a
− − + + + + +
x y z t
0a =
0
0 0
0 0 0 0 0
1 1 0 0 2
1 3 4 0
3 3 3
−
x y z t
1 1 0 0 2
1 3 4 0
3 3 3
0
0 0
−
x y z t
3ª SOLUCIÓN
FILA DE CEROS
2
3 4 0
3 3 3
x y
y z t
z t
→ + =
→ − + =
→ + =
RESOLUCIÓN
1z t= −
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
INFINITAS SOLUCIÓNES
( )3 1 4 0y t t− − + =
23 7 2
3 7
x yx t
y t
+ = + − =
= −
3 7y t= −7 1x t= −
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EJERCICIOS CASA
Página 276: 1 al 5
https://www.youtube.com/watch?v=GBrv2sPlO6k
Vídeo explicación sistemas: