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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DESERIES DE TIEMPO

Fortino Vela Peónfvela@correo.xoc.uam.mx

Noviembre, 2009

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Enfoque moderno del análisis de series detiempo

� Los fenómenos dinámicos que observamos mediante

series de tiempo pueden clasificarse en dos clases:

a) Los que toman valores estables en el tiempo

alrededor de un nivel constante, sin mostrar una

tendencia a crecer o decrecer en el largo plazo.

Estos procesos se denomina estacionarios.

b) Los procesos no estacionarios, que son aquellos

que pueden mostrar tendencia, estacionalidad y

otros efectos evolutivos en el tiempo.

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� En la práctica, la mayoría de las series de tiempoeconómicas son no estacionarias, es decir, presentantendencia en media y, muchas veces en varianza.

� Si no se consideran series estacionarias en el análisisse pueden obtener resultados espurios.

� La forma moderna de analizar las series de tiempo esconsiderarlas como procesos estocásticos oaleatorios.

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� Un proceso estocástico es una colección o conjuntode variables aleatorias ordenadas en el tiempo,denotadas como Zt.

� Si Z denota una variable aleatoria continua, sedenota como Y(t), pero si es discreta se expresacomo Yt.

� El proceso queda caracterizado si definimos ladistribución de probabilidad conjunta de las variablesaleatorias (Z1, Z2,…,Zt,…ZT), para cualquier valor de T.

Concepto de proceso estocástico

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� Cuando se cuenta con una secuencia de valores

observados de una variable, esta es una realización

particular de todas las posibles de la serie.

� De la misma manera que se emplean datos

muestrales para hacer inferencias respecto de una

población, en las series de tiempo se emplea una

realización para llevar acabo inferencias respecto al

proceso estocástico subyacente.

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� Se dice que un proceso estocástico es estacionario sisu media y su varianza son constantes en el tiempoy si el valor de la covarianza entre dos periodos detiempo depende solamente de la distancia o rezagoentre periodos de tiempo y no del tiempo en el cualse ha calculado la covarianza.

Proceso estocástico estacionario

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1.-

Propiedades de un proceso estocástico(débilmente) estacionario

( )tE Y µ=2( )tV Y σ=

[ ]( , ) ( ) ( )k t t k t t kCov Y Y E Y Yγ µ µ+ += = − ⋅ −

1 2( ) ( ) ... ( )tE Y E Y E Y µ= = = =2

1 2( ) ( ) ... ( )tV Y V Y V Y σ= = = =2( ) ( )t tV Y E Y µ= −

2.-

3.-

1 1 2 2( , ) ( , ) ... ( , )k k t t kCov Y Y Cov Y Y Cov Y Y+ + += = =

Observe que

[ ]( , ) ( ) ( )k t t k t t kCov Y Y E Y Yγ µ µ− −= = − ⋅ −

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� Operador de retraso (B o L)

Mueve el índice de la serie de tiempo hacia atrás,esto es, toma a una serie completa y produce otradesfasada o rezagada.

Se define mediante la relación

Operadores y polinomios de retraso

Por aplicación sucesiva del operador B se tiene:

……………….

1−= tt ZLZ

212)( −− === tttt ZLZZLLZL

3232 )( −− === tttt ZLZZLZLL

kttk ZZL −=

Ejemplo:

Año / Mes t Z t Z

Ene 1 518 13 554

Feb 2 572 14 585

Mar 3 599 15 633

Abr 4 652 16 688

May 5 692 17 731

Jun 6 759 18 794

Jul 7 705 19 805

Ago 8 643 20 726

Sep 9 600 21 717

Oct 10 546 22 651

Nov 11 518 23 605

Dic 12 426 24 550

19981997

tZ 1t tBZ Z −=

Año / Mes t Zt-1 t Zt-1

Ene 1 - 13 426

Feb 2 518 14 554

Mar 3 572 15 585

Abr 4 599 16 633

May 5 652 17 688

Jun 6 692 18 731

Jul 7 759 19 794

Ago 8 705 20 805

Sep 9 643 21 726

Oct 10 600 22 717

Nov 11 546 23 651

Dic 12 518 24 605

1997 1998

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Ejemplo:

Año / Mes t Z t Z

Ene 1 518 13 554

Feb 2 572 14 585

Mar 3 599 15 633

Abr 4 652 16 688

May 5 692 17 731

Jun 6 759 18 794

Jul 7 705 19 805

Ago 8 643 20 726

Sep 9 600 21 717

Oct 10 546 22 651

Nov 11 518 23 605

Dic 12 426 24 550

19981997

tZ 1212t tB Z Z −=

Año / Mes t Zt-12 t Zt-12

Ene 1 - 13 518

Feb 2 - 14 572

Mar 3 - 15 599

Abr 4 - 16 652

May 5 - 17 692

Jun 6 - 18 759

Jul 7 - 19 705

Ago 8 - 20 643

Sep 9 - 21 600

Oct 10 - 22 546

Nov 11 - 23 518

Dic 12 - 24 426

1997 1998

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� Operador diferencia (∇∇∇∇ o D)

Establece la diferencia entre la serie de tiempooriginal y una serie desfasada o rezagadaespecifica.

Se define mediante la relación1t t tZ Z Z −∇ = −

La relación entre ∇ y B es la siguiente:

……………….

1 B∇ = −

1(1 )t t t tZ B Z Z Z −∇ = − = −

0

¡( 1)

¡ ( )¡

kk j

t t jj

kZ Z

j k j −=

∇ = −⋅ −∑

o sea

Se puede demostrar que

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(1 )k kt tZ B Z∇ = −

En términos prácticos

……………….

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Ejemplo:tZ 1t t t tM Z Z Z −= ∇ = −

Año / Mes t Z t Z

Ene 1 518 13 554

Feb 2 572 14 585

Mar 3 599 15 633

Abr 4 652 16 688

May 5 692 17 731

Jun 6 759 18 794

Jul 7 705 19 805

Ago 8 643 20 726

Sep 9 600 21 717

Oct 10 546 22 651

Nov 11 518 23 605

Dic 12 426 24 550

19981997

Año / Mes t M t t M t

Ene 1 - 13 128

Feb 2 54 14 31

Mar 3 27 15 48

Abr 4 53 16 55

May 5 40 17 43

Jun 6 67 18 63

Jul 7 -54 19 11

Ago 8 -62 20 -79

Sep 9 -43 21 -9

Oct 10 -54 22 -66

Nov 11 -28 23 -46

Dic 12 -92 24 -55

1997 1998

Operador rezago en Stata

� Para rezagar una serie, esto es, aplicar BYt = Yt-1, Statatoma el comando L. antes del nombre de la variable,esto es: si por ejemplo, se desea rezagar a la variablepib, se escribe:

gen rpib=L.pib

� Resulta conveniente mirar al editor de datos paraasegurarse de que lo solicitado sea lo que realmentese desea tener.

Operador diferencia en Stata

� El operador diferencia, DYt = Yt¡- Yt-1 en Statarequiere que se

gen dpib=D.pib

� Nuevamente es recomendable mirar al editor dedatos para asegurarse de que lo solicitado sea lo querealmente se desea tener.

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Rezagos, adelantos y diferencias en Stata

Descripción Formula Expresión

1-periodo de rezago y(t-1) L.y

2-periodos de rezago y(t-2) L2.y

1-periodo de adelanto y(t+1) F.y

2-periodos de adelanto y(t+2) F2.y

Diferenciaciòn y(t)-y(t-1) D.y

Diferencia de diferencia [y(t)-y(t-1)]-[y(t-1)-

y(t-2)] D2.y

Diferencia estacional y(t)-y(t-1) S.y

Rezago 2-estacional y(t)-y(t-2) S2.y

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gen var2d1= D.var2

400

600

800

100

0120

0va

r2

0 10 20 30 40 50t

-100

-50

050

100

var2

d1

0 10 20 30 40 50t