introducciÓn a la matemÁtica 2017 - facultad de ciencias

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 2017

INTRODUCCIÓN A LAMATEMÁTICA 2017

Objetivos

Bloque 1: Números- Recordar y aplicar en casos concretos, las

propiedades de las operaciones con númerosnaturales, enteros y racionales.

- Mejorar las técnicas de resolución de problemasaritméticos.

- Recordar las relaciones entre las expresiones fraccionaria y decimal de un número.- Mejorar el conocimiento de las posibilidades prácticas de la calculadora y utilizarla

como medio de indagación de propiedades numéricas.- Identificar números irracionales.- Adquirir destreza en el manejo de números reales.

Bloque 2: Álgebra- Mejorar el trabajo operativo con expresiones algebraicas a partir del conocimiento de

los distintos conjuntos numéricos. - Resolver ecuaciones.- Mejorar las técnicas de resolución de problemas.- Adquirir destreza en el manejo de expresiones algebraicas.- Descomponer polinomios en factores, en casos sencillos.

Bloque 3: Funciones- Recordar la idea de función y manejar su terminología básica.- Reconocer y designar los aspectos más importantes de una función (crecimiento,

continuidad, máximos y mínimos). - Interpretar funciones a partir de sus gráficas y graficar funciones descriptas por un

enunciado.- Relacionar gráficas y expresiones analíticas de funciones.

Objetivos


Cronograma de actividades

Las horas presenciales se distribuirán en 8(ocho)encuentros de 2 horas cada uno, a desarrollarse en lastres semanas previas al inicio del primer cuatrimestre.

Un cronograma tentativo de los encuentros previstos es el siguiente:

Fecha Bloque Contenidos – Actividades15/02 al 17/02 Actividades y tareas en el curso online, ambientación.

20/02/17 1 Números naturales, enteros y racionales – Operaciones.22/02/17 1 Números reales. Propiedades y operaciones.

24/02/17 2Introducción al álgebra. Identidades. Expresiones algebraicas.Polinomios. Operaciones. Factorización.

27/02/17 2 Ecuaciones e Inecuaciones.01/03/17 2 Sistemas de ecuaciones.03/03/17 3 Función. Interpretación de gráficas, dominio, caracterización.

06/03/17 3Notación, distintas expresiones, valor numérico de unafunción.

08/03/17 3 Función lineal y cuadrática.10/03/17 1 a 3 Evaluación online.

Carga Horaria: 16hs.

Cronograma


BLOQUE 1: Números

Objetivos

- Recordar y aplicar en casos concretos, laspropiedades de las operaciones con númerosnaturales, enteros y racionales.

- Mejorar las técnicas de resolución de problemasaritméticos.

- Recordar las relaciones entre las expresionesfraccionaria y decimal de un número.

- Identificar números irracionales.- Adquirir destreza en el manejo de números reales.

Santa Rosa es la capital de La Pampa y la ciudad cabecera del DepartamentoCapital. Constituida por 62 barrios, está situada geográficamente en el centrodel país, en un contexto de transición, entre la estepa templada y estepa seca(la pampa seca y la pampa húmeda).

Contaba en el año 2001 con un área metropolitana de 102399 habitantes,siendo 94340 habitantes de la capital provincial y de Toay, los 8059 habitantesrestantes, lo que hace a esta área es la 26º aglomeración de la Argentina,según el censo nacional del 2001. El censo 2010 arrojó 124101 habitantes parael conglomerado gran Santa Rosa compuesto por su ciudad satélite Toay yalrededores.

La ciudad ocupa parte de una cuenca centrípeta que tiene su nivel de base enla Laguna Don Tomás, hacia donde drenan las aguas pluviales del áreacircundante. La superficie edificada se extiende al oeste de la misma, enterrenos ondulados donde las mayores alturas se encuentran en el este, con dospequeñas mesetas ubicadas a 200 msnm. Este borde elevado se observatambién al norte, con alturas de hasta 195 msnm. Desde aquí el relievedesciende hacia el oeste y el sur, con pendientes que en algunos sectores sonpronunciadas, ya que superan el 3%. El sector sudoeste es la zona más baja ymenos ondulada, descendiendo a 167 msnm.

El clima pampeano es templado con un promedio en enero de 24 °C conmáximas absolutas de hasta 31 °C y una media de 3 °C en julio; si bien puedebajar hasta -8 °C. Las precipitaciones anuales son 685,8 mm. La temperaturamedia anual es de 13 °C y la humedad relativa promedio anual es de 68 %.

En este texto tomado de Wikipedia (2015), se hace referencia a cantidades numéricasexpresadas de distintas maneras. Es fácil observar que los números aparecen naturalmente endiferentes actividades de nuestra vida cotidiana. En este primer bloque analizaremos losdistintos conjuntos numéricos que se presentan en la matemática elemental.

Bloque 1: NÚMEROS Pág. 1


Problema:

Este es el suelo de una habitación:

- ¿Cuántas baldosas enterashay?

- Cada baldosa mide 33cm delado, si las que acabas decontar las pusieras en fila,una detrás de otra, ¿quélongitud se alcanzaría?

- ¿Qué dimensiones tiene elsuelo de la habitación? (Noolvides los trozos debaldosas cortadas en elborde, para una mejoraproximación).

- ¿Cuál es la superficie del suelo?- Si la altura de la habitación es 2,60m., ¿cuál es su volumen?- ¿Cuánto costaría pintar las paredes y el techo a $35 cada m2?- ¿Cuántos cuadrados se pueden señalar a partir de los vértices de las

baldosas? (utilizamos sólo una porción del suelo, ya que en el totalsería una cantidad enorme).

En general:

Números para contar

Contamos cantidad de estudiantes en una clase, cantidad de días que faltan para el invierno, elnúmero de habitantes de una ciudad, entre otros…

Los números utilizados para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío son losnúmeros naturales. Los números naturales son infinitos y el conjunto de todos ellos serepresenta con la letra N.

A veces, para contar, se requieren cantidades negativas: para nosotros, el año -320 es el año320 antes de Cristo; un saldo en la cuenta del banco de -580 indica que se deben 580 pesos,etc.

Los números enteros negativos junto con los números naturales y el 0 forman el conjunto delos números enteros. Dicho conjunto se representa con la letra Z.



Números para expresar medidas

Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo. Si decimos que el volumen de la Luna es

50

1 el de la Tierra, estamos midiendo la Luna tomando como unidad el volumen de la Tierra.

El resultado de una medición no suele ser un número entero. Por eso, para expresar medidas,se requiere un tipo de números que admita “trozos de unidad”: los números racionales. Porejemplo, “Las precipitaciones anuales son 685,8mm…”, “La superficie de la habitación es de

25,6m2…”, “Le ha correspondido los 5

2 de la herencia…”, “Tiene una temperatura de

37,6ºC…”, son medidas expresadas con números racionales.

También los números enteros son racionales, “La superficie de cada baldosa es de1089cm2…”, “El agua hierve a 100 ºC…” son medidas expresadas con números enteros.

Números para calcular

Los números, además de utilizarse para expresar cantidades y medidas, también sirven paraoperar con ellos; es decir para calcular ciertas cantidades a partir de otras conocidas, ésta es lamayor de sus ventajas.

El estudio de las propiedades de las operaciones con números aporta métodos de cálculo máscómodos y eficaces. Este es el motivo por el que se le dedica tanta atención y trabajo. En estetema vamos a repasar propiedades numéricas, seguramente conocidas, con el objeto demejorar destrezas en el campo numérico.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son, como ya se sabe, 1, 2, 3, …, 10, 11, …, 100, 101, … infinitos.Están ordenados, lo cual nos permite representarlos sobre una recta del modo siguiente:

El origen, es el número 0 que también puede ser incluido entre los números naturales, en ese

caso, el conjunto de los números naturales con el 0 se denota N 0 .

Los naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es, también, unnúmero natural. Sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con la división.



Propiedades de la suma y de la multiplicación

La suma y el producto de números naturales son asociativas, conmutativas y tienen elementoneutro. Además, el producto es distributivo respecto de la suma.

Propiedad Suma Producto

Asociativa cbacba cbacba

Conmutativa abba abba

Existencia de elemento neutro aa 0 aa 1

Distributiva del producto respecto de la suma cabacba

Ejemplos y reglas prácticas

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa podemos efectuar largas sumas confacilidad, modificando el orden y asociando los sumandos según convenga. Por ejemplo en lasuma 601840 , notamos que 1006040 y procedemos mentalmente de la siguientemanera: 118186040601840 .

La propiedad distributiva permite, según convenga, realizar diversas estrategias:

- Sacar factor común: 22231264231223623423

- Agrupar términos semejantes:

zyx

zyxyzxyx

9914

954113591143

- Eliminar paréntesis:

2

22

20812

5424345234

xx

xxxx

Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis

Es importante recordar que, en las expresiones cba y cba , la multiplicación se ejecutaantes que la suma. Cuando queremos dar prioridad a la suma es necesario indicarlo con unparéntesis, por ejemplo: cba ó cba .



Actividad:

Escribir un ejemplo numérico de cada una de las propiedades y verificar que secumple la igualdad en cada uno de esos casos concretos.

Otras operaciones

División

La idea de división de números naturales es la de reparto. La división 205100 seinterpreta como un reparto de 100 elementos (dividendo) entre 5 partes (divisor), de maneraque a cada parte le corresponden 20 (cociente). Cuando con el reparto terminamos con todoslos elementos disponibles, como es este caso, la división se llama “exacta”. Cuando no esposible un reparto exacto y sobran algunos elementos, la división se llama “entera”. En ella,además de un cociente, se obtiene un resto.

Por ejemplo, al repartir 100 entre 7, obtenemos de cociente 14 (a cada parte le corresponden14 elementos) y de resto 2 (quedan 2 elementos sin repartir).

Potenciación

Una potencia de números naturales es, en definitiva, una multiplicación reiterada. Por

ejemplo, 2222225 .

Algunas de las propiedades de la potenciación se obtienen sencillamente a partir de ladefinición dada.

1) an

⋅am=a⋅a⋅…⋅a

m veces⋅a⋅a⋅…⋅a

n veces=a⋅a⋅a⋅…⋅a

m+ n veces=am+ n

2) nnn baba

3) nmnm aa

Actividad:

Justificar 2) y 3) mediante un método similar al utilizado en 1).



Radicación

Las raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc, se conciben, en cierta forma, como una maneradiferente de expresar resultados de potencias.

416 porque 1642 ; 62163 porque 21663 ; 56254 porque 62554 .

Cuando un número no es un cuadrado exacto su raíz cuadrada carece de sentido si nosmovemos dentro de los números naturales. Análogamente diríamos de las raíces cúbicas,cuartas, etc.

Actividad:

1) Quitar paréntesis y reducir:

a) 43x b) 4zyx c) xxx 333

d) 322 ba e) aaa 5223

2) Calcular:

a) 333 523 b) 232 c) 232 d) 3 3372 e) 6 1000000

NÚMEROS ENTEROS

Una importante deficiencia de los números naturales es que no es posible restar ni dividir conellos con la certeza de obtener otro número natural, salvo en algunos casos. Por esta razón sedefine el conjunto de los números enteros. Este conjunto se representa por Z e incluye a losnúmeros naturales y a “sus negativos”. Con ellos, además de sumar y multiplicar, se puederestar con la seguridad de que el resultado siempre será un número entero.

Los números enteros se pueden representar sobre una recta del siguiente modo:

Esta forma de representarlos en la recta supone el siguiente criterio de ordenación:

Los naturales, es decir el cero y los enteros positivos, ya están ordenados.

Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos.

Si un número natural, a , es menor que otro, b , entonces a es mayor que b .



Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es la magnitud del mismo si prescindimos de su signo. Seescribe: x y se define del siguiente modo:

El valor absoluto de un número natural es él mismo: 00;55; aa

El valor absoluto de un número negativo es su opuesto:

1515;33; bb .

Gráficamente, la idea de valor absoluto de un número es la de su distancia al 0.

Propiedades de las operaciones con números enteros

El conjunto de los números enteros se ha construido de tal modo que se conserven todas laspropiedades de los números naturales y, además, tengan una nueva: Todo número entero tieneun opuesto que, sumado con él, resulta 0, 0 aa . Esta propiedad es la que hace que laresta entre enteros siempre sea posible, pues restar un número entero es sumar su opuesto:

baba .

Propiedad Suma Producto

Asociativa cbacba cbacba

Conmutativa abba abba

Existencia de elemento neutro Es el 0, pues aa 0 Es el 1, pues aa 1

Existencia de elemento simétricoEl opuesto de a es –a

pues 0 aaNo tiene

Distributiva del producto respecto de lasuma

cabacba


33 44


Ejemplos y reglas prácticas

Recordemos algunas reglas para operar con números enteros:

Para sumar números positivos y negativos, agrupamos unos y otros, restamos losresultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto, por ejemplo:

83325171153157317151157

Si un paréntesis va precedido del signo menos, se puede suprimir cambiando el signode todos los sumandos que haya dentro. Por ejemplo:

231538

6453111383

31161348533116134853

En la multiplicación de números enteros, se verifica la “regla de los signos”.

Signos que se multiplican Signo del resultado Ejemplo

3575

1234

2045

1535

Preguntas:

¿Existe un número entero que sea mayor o igual que todos los demás?, ¿y menor oigual que todos los demás?

¿Cuántos números enteros existen entre los números consecutivos 3 y 4?, ¿y entre -7y -6?, ¿y entre n y n+1?

¿Cuántos números enteros existen entre 3 y 10?, ¿y entre -3 y 8?, ¿y entre 22 y 56?, ¿yentre -15 y 31? ¿es posible calcular la cantidad de números enteros entre dos númerosenteros dados a y b?

Actividad:

Efectuar las siguientes operaciones:

1) 14823



2) 554207210

3) 522 2843

4) 2528124 22

NÚMEROS RACIONALES

Números fraccionarios

Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de númerofraccionario: la mitad, la quinta parte, la milésima parte…de la unidad. Las fracciones son lasexpresiones numéricas de los números fraccionarios.

Son números fraccionarios: 1000

125;

100

1;

7

4;

5

3;

2

1

En todas estas fracciones el numerador es menor que el denominador y, por tanto, son partesde la unidad.

También son fraccionarios los números 5

34

5

23;

2

13

2

7 . Cada uno de ellos se compone

de varias unidades enteras más una fracción de la unidad.

Asimismo son fraccionarios los números representados por fracciones negativas.

El conjunto de los números racionales

El conjunto formado por los números enteros y todos los fraccionarios se llama conjunto delos números racionales y se designa por Q.

Todos los números racionales se pueden expresar como fracciones, es decir, comocociente de dos números enteros: los fraccionarios ya vienen dados así y los enteros puedenescribirse con denominador unidad.

Ahora bien, cada número racional se puede expresar mediante muchas (infinitas) fracciones:

15

9

10

6

5

3 De ahí la importancia de establecer un criterio que permita reconocer

cuándo dos fracciones representan al mismo número racional.



Simplificación de fracciones

Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número, alhacerlo se dice que se ha “simplificado” o “reducido” la fracción. La nueva fracción obtenidase dice que es equivalente a la primera, pues ambas representan al mismo número racional.

Por ejemplo: 3

2

4500

3000;

3

2

3

2

6

4

12

8;

5

3

25

15

Cuando una fracción no se puede reducir más, diremos que es una fracción irreducible.

Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando ambas se simplifican dando lugar a lamisma fracción irreducible, dicha fracción irreducible se toma como expresión habitual del

correspondiente número racional. Por ejemplo, como 5

3

25

15 y

5

3

105

63

, las fracciones

25

15 y

105

63

son equivalentes y representan al mismo número racional que, habitualmente,

se designa mediante la fracción 5

3.

Comparación de fracciones

Si dos fracciones tienen distinto denominador son difíciles de comparar, por eso, paracomparar fracciones es conveniente reducirlas a un denominador común, es decir, buscarfracciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador. Estedenominador común debe ser un múltiplo común de los denominadores de partida,preferiblemente el mínimo común múltiplo de ellas.

Por ejemplo, para comparar 4

3y

5

4;

6

5, como el mínimo común múltiplo de los

denominadores es 60, es conveniente buscar fracciones equivalentes a ellas con estedenominador.

60

50

106

105

6

510660

60

48

125

124

5

412560

60

45

154

153

4

315460

Ahora que tienen el mismo denominador basta comparar los numeradores y 4

3

5

4

6

5 .



Actividad:

1. Comparar mentalmente cada pareja de racionales:

a) 4

3 y

3

4b)

8

6 y

8

7c) 1 y

5

6d)

5

3 y

10

6e) 3 y

2

11

2. Ordenar de mayor a menor: 18

13;

4

3:

9

5;

6

4;

12

7.

Representación en la recta

Los números fraccionarios pueden ser representados en la recta junto a los enteros:

de este modo se tendrían todos los números racionales. Éstos se aglomeran en la recta

de tal manera que, entre cada dos de ellos, hay otros infinitos. Pero, a pesar de talaglomeración, en la recta aún caben infinitos números no racionales, como se verá acontinuación.

Actividad:

¿Cuáles son los números racionales a, b, c y d representados en la siguienteconstrucción?

Preguntas:

1) ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, ¿y mayor oigual que todos los demás?

2) Es posible hallar un número racional entre 5

2 y

5

4?, ¿y entre

3

2 y

7

3?, ¿y entre

3

7

y 3

8?. ¿Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?, ¿qué se

concluye?


a b c d

2

5

3

1

7

31

7

10

5

34

5

23


Suma de números racionales

Recordemos que los números racionales se pueden representar mediante fracciones. Sumarfracciones con el mismo denominador es una tarea muy fácil: se suman sus numeradores y semantiene el denominador.

Para sumar fracciones con distinto denominador es suficiente transformarlas en fraccionesequivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo:

60

143

60

504845

60

50

60

48

60

45

6

5

5

4

4

3

3

17

3

15

3

25

3

2

Puesto que una vez reducidas a un denominador común, la suma de fracciones se limita a lasuma de sus numeradores (números enteros), las propiedades de la suma de númerosracionales son las mismas que las de la suma de enteros.

Actividad:

Enunciar las propiedades de la suma de números racionales y comprobarlas enalgunos casos concretos.

Producto de números racionales

La cuarta parte de la tercera parte de algo es su doceava parte:

12

1

4

1

3

1

Razonando de manera análoga se puede ver que 12

10

43

52

4

5

3

2

.

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de sus

denominadores y cuyo numerador es el producto de sus numeradores: db

ca

d

c

b

a

.

El producto de números racionales tiene todas las propiedades del producto de númerosenteros y una nueva:



Todo número racional b

a, salvo el 0, tiene un inverso

a

b tal que: 1

a

b

b

a.

La existencia de inverso permite dividir fracciones:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda.

Actividad:

1) Enunciar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva para elproducto de números racionales y comprobarlas en algunos a casosconcretos.

2) Identificar las propiedades que se aplican al efectuar las siguientessimplificaciones:

85

2

1

20

5

2

7

30

3

14

7

30

5

2

3

14

Potenciación

Ahora que el cociente de dos números enteros, b

a, tiene sentido como número racional, es

posible ampliar las propiedades de las potencias cuando el exponente es un número naturalpositivo.

Propiedades de las potencias con exponente entero positivo

Si m y n son números naturales distintos de 0, se verifica que:

1. nmnm aaa

2. nnn baba

3. nmnm aa

4. Si nm

n

m

aa

anm ,

5. n

nn

b

a

b

a



Actividad:

Justificar las propiedades 4 y 5.

Observación: Si la propiedad 4 fuera válida, no sólo cuando nm , sino también cuando

nm , se tendrían los siguientes resultados que nos sirven para definir potencias de númerosenteros:

Si 0, aaa

anm nn

n

n

y como 1n

n

a

a entonces 10 a .

nnnn aa

a

a

a 0

01.

Definición de potencia con exponente entero

Si 0a y n es un número entero, definimos na :

Si 0n , a⋅a⋅…⋅a

n veces y nn

aa

1

.

Si 0n , 10 a .

Productos notables

Algunas relaciones se usan frecuentemente en cálculos numéricos y algebraicos, por ese

motivo las mencionamos y ejercitamos.

222 2 bababa (cuadrado de una suma)

22 bababa (suma por diferencia)

Ejemplos:

1) 963 22 aaa

2) 251055 222 aaaa

3) 933 2 aaa



4)

2

32

2

32

2

32

4

94

222 xxxx

5)22

22

510

5102

5104

25100

bbbb

b

Es importante recordar que no es conveniente aplicar estas relaciones cuando la operación que

hay dentro del paréntesis se puede realizar. Por ejemplo:

81972 22 ; 2

22

4

49

2

7

23 xx

xx

Actividad:

1) Suprimir paréntesis:

a) 2

2

ba b)

2

3

21

c) 243 x d)

2

1

32

1

3

xx

2) Expresar como producto:

a) 22 9124 baba b) 962 tt c) 116

9 2

x

d) 9

1

25

4 2

x

e) 36121

2

yy f) 22 1

2x

x

3) Descomponer en factores el numerador y denominador y, si es posible,

simplificar:

a) bcb

acab

714

5102

b) 22

22

2 yxyx

yx

c) 62424

3122

2

aa

ad)

m

m

1510

94 2

Expresión decimal de un número racional

Todo número racional puede expresarse como un número decimal exacto o periódico.

Ejemplos:

5,02

1 es decimal exacto



3̂,0...3333,03

1 es periódico puro, cuyo período es 3

72,6...727272,6

11

74es periódico puro, período 72

6̂1,3...1666666,36

19 es periódico mixto, cuya parte decimal tiene una cifra no

periódica que es 1 y otra periódica que es 6

Para comparar números racionales suele utilizarse, por comodidad, su expresión decimal. Sin

embargo, cuando se trata de expresiones periódicas, es conveniente utilizar fracciones para

evitar el redondeo y lograr una mayor exactitud.

Para pasar de la expresión fraccionaria a la expresión decimal es suficiente con realizar la

división de numerador y denominador.

Para convertir una expresión decimal en una fracción será necesario considerar algunas reglas

prácticas que se resumen en el siguiente cuadro:

Expresión Regla (para decimales con parte entera 0) Ejemplos generales

Decimal

Exacta

En el numerador se colocan todas las cifras

y en el denominador se coloca 1 seguido de

tantos ceros como cifras tenga la parte

decimal.

100

2525,0

2,367=2+367

1000=

23671000

Dec

imal

Per

iód

ica

Pura

En el numerador se colocan todas las cifras

y en el denominador se colocan tantos

nueves como cifras tenga la parte periódica.

9942

...424242,0

932

95

3...555,3

Mixta

En el numerador se coloca la diferencia

entre la parte decimal y la parte decimal no

periódica. En el denominador se colocan

tantos nueves como cifras tenga la parte

periódica seguidos de tantos ceros como

cifras tenga la parte no periódica.

990745

9907752

...75252,0

9001057

90017174

1...17444,1



Actividad:

1) Justificar las reglas dadas en el cuadro anterior. El ejemplo siguiente

puede orientar el trabajo:

990

74510

99

74510

99

52710...5252,7...75252,0

2) Calcular mentalmente un número decimal equivalente a cada una de las

siguientes fracciones:

23

;51

;41

;52

;43

;21

3) Si es posible, expresar cada uno de los siguientes números decimales en

una fracción:

8̂,25 25,4 1̂00,0 030030003,3

58,3

NÚMEROS REALES

Números irracionales

El número decimal ...55515155155515,37 no es exacto ni periódico. No se puede poner enforma de fracción y, por tanto, no es un número racional.

Lo mismo sucede con las expresiones decimales de 2 , 3 , entre otros muchosnúmeros a los cuales se los denomina irracionales.

El número

El número es muy conocido y se utiliza para calcular la longitud de una circunferencia o la

superficie de un círculo conociendo su radio. La expresión que de él se suele utilizar en laescuela elemental es 14,3 ó 1416,3 lo cual es razonable ya que son buenasaproximaciones de .

Sin embargo es un número irracional y, por tanto, su expresión decimal es infinita:...1415926535,3 Los griegos, que en un principio creyeron que era racional, sospecharon

más tarde que podía no serlo. Sin embargo fue en el siglo XVIII cuando se consiguió probarsu irracionalidad.

Radicales

La raíz cuadrada de un número natural, si no es entera, es irracional. Otro tanto ocurre con las

raíces de índice superior. Por tanto, son irracionales los siguientes números: 2 , 3 , 5 ,



…, 3 2 , 4 2 , 5 2 , …, n k , salvo que k sea una potencia n-ésima exacta. También son

irracionales, por ejemplo, la suma o diferencia entre radicales: 35 , la suma de un enteroy un radical: 55 , entre muchísimos otros casos.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se llama conjuntode números reales y se designa por R. Es decir que todos los números considerados hasta elmomento son números reales.

Con los números reales se pueden realizar las mismas operaciones que se hacen con losracionales: suma, resta, multiplicación y división (exceptuando al cero como divisor) y estasoperaciones tienen las mismas propiedades en R que en Q.

Con los números reales se pueden extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice parde números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurre con losnúmeros racionales.

Pero la principal mejora que aportan los reales es que “llenan la recta”. Sabemos que losnúmeros racionales se ubican en la recta de manera que en cualquier tramo de ella hayinfinitos racionales, sin embargo, aún quedan “huecos” que se completan con los númerosirracionales.

Para representar un número irracional en la recta se utiliza el Teorema de Pitágoras. En lafigura se observa la representación de los irracionales 2 en el punto D y 10 en H.

En el primer caso, se considera el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1, por el

teorema de Pitágoras: 222 hipotenusa11 , por lo cual la hipotenusa mide 2 y, utilizando

el compás se traza esa medida en la recta. De manera análoga se traza 10 , utilizandocatetos de medida 3 y 1.

Actividad:

Escribir un número racional y otro irracional comprendidos entre M y Nindicados, en cada caso:

a) 31

,21 NM



b) 235,0,234,0 NM

c)

32,0,31,0 NM

Propiedades de los radicales

Se indican algunas propiedades útiles para operar con radicales, las mismas son consecuenciainmediata de conocidas propiedades de las potencias.

1) nnp p aa

2) nnn baba

3)n

nn

b

aba 4) n ppn aa

5) nmm n aa

Observación:

La raíz enésima de un número se puede poner en forma de potencia:

nn aa1

pues aan

n y aaa n

nn

n

1

.

Ejemplos de aplicación:

Para comparar 3 103 y 22 se trata de expresar ambos radicales con el mismo

índice. Esto es, 623 23 10609103103 y 632 3 106482222 ; de donde se

deduce que 3 10322 .

Para extraer factores fuera de la raíz: 33333 42484832 o bien para juntar

varios radicales en uno solo: 1025 .

Para realizar sumas de radicales:

4 24234 252322500188

4 24 422 252322

22 2252322

210252322



Actividad:

1) ¿Cuál es mayor, 4 31 o 3 13 ?

2) Simplificar 10 864 2ba

3) Resolver:

a) xxx 25 b) 8125027

c) aa 1850 d) 53

180125

e) 21827 f) 2

988

3

757

g) 2

964884 464



BLOQUE 1: Números. Trabajo Práctico

1. Calcular:

a) 46364235

b) 72643285

c) 585834762

d) 324 4:22

e)

cab

cba

3

22

f) 102103

g) 42

h) 42

i) 32

j) 32

k) 32

l) 161

m) 271

2. Describir con claridad la diferencia entre estas dos expresiones:

cba y cba

3. Calcular mentalmente:

a)34

de 21

b)25

de 10

c)103

de 1 millón

d)204

de cien mil

e) 12% de mil

f)32

de una hora

g) 10035,2

h) 42,0

i) 31,0

4. Calcular el punto medio entre cada uno de estos pares de números racionales:

a) 0 y 1b)

21

y 1 c)21

y 43

d)21

y 85

Representar esos números en la recta numérica.

5. Escribir un número que esté comprendido entre cada par de decimales:

a) 6,0 y 8,0

b) 7,0 y 8,0

c) 1 y 9,0

d) 1 y 99,0

e) 346,2 y 348,2

f) 459,3 y 46,3

g) 21,3 y 2101,3

h) 045,3 y 0045,3

Bloque 1: NÚMEROS. Trabajo Práctico Pág. 1


6. Ordenar de menor a mayor los siguientes números decimales:

0012,3;09,3;009,3;001,3;092,2;0901,2;091,2;1,2;090,2

7. Un auto consume 9,3 litros de nafta cada 100km recorridos, si recorre 450km, ¿cuántoslitros de nafta gasta?, ¿cuánto cuesta el viaje a $15,77 por litro?

8. El 50% de una cantidad equivale a 21

de la misma, ¿qué fracción equivale al …?

a) 75%

b) 25%

c) 30%

d) 16%

e) 150%

f) 8,5%

g) 220%

h) 85%

9. ¿Cuántos números de tres cifras decimales hay entre 25,0 y 29,0 ?

10. Si se desea calcular el 14% de una determinada cantidad, ¿qué operación se debe realizar?Ejemplificar y enunciar un procedimiento.

11. Se consumieron los 32

de un tanque de agua y luego 51

del total. ¿Qué parte se gastó y

qué parte queda aún sin consumir?

12. Un tambero decide repartir sus 39 vacas entre sus hijos, al mayor le dejará la mitad, al

segundo 41

, al tercero 81

, y al menor 101

de sus vacas. ¿Cuántas le corresponden a cada

uno?

a) ¿Tiene sentido el problema?

b) Extraer conclusiones

c) Redactar un problema modificando los datos de manera que tenga solución.

13. Ubicar el 0 en las siguientes rectas numéricas:

a)

b)

c)



14. Escribir fracciones equivalentes a las dadas cuyo denominador sea 60. Analizar losinconvenientes que surjan.

21

; 34

; 59

; 83

; 1013

; 154

; 207

; 259

15. Resolver mentalmente trabajando con fracciones equivalentes con el mismo denominador.

a)3

41

b)6

5

2

1

c) 252

43

d)32

21

43

16. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

a) 54 162

1xx

b)

4

32

4

2

x

x

c)

0334

223 2 3y

y

yy

d)2

30

453

yx

yx

e)4

1

5

1

2

3

4

5

5

3

2

1

723

723

f)

1

1

2

1

2

5

22

3

2

1

xba

xba

g) 5823

33625

cba

cba

17. Si 0x e 0y , determinar el signo del número real:

a) x y b) yx 2 c) xy

x d) y-x

e) y

x f) 2xy g) xy

yx h) y(y-x)

18. Sustituir el símbolo por <, >, o = para que la expresión resulte verdadera:

a) –7 – 4 b) 2/ 1,57 c) 225 15 d) 11

1 0,09

e) 4

0,8 f)

3

2 0,66666 g)

7

1 0,143 h) 2 1,4

19. Expresar el enunciado como una desigualdad:

a) x es negativo

b) y no es negativo

c) d está entre 4 y 2

d) El cociente de p y q es a lo sumo 7

e) El valor absoluto de x es mayor que 7

f) b es positivo



g) s es no positivo

h) w es mayor o igual que – 4

i) p no es mayor que – 2

j) El inverso multiplicativo de f es a losumo 14

20. Calcular en los casos que sea posible, las siguientes raíces:

0025,0;400;216;216;144;144 33

21. Reducir los siguientes pares de radicales a un mismo índice:

a)3 6;2 b)

123 64;5

c) 34 3 ;; xxx

22. Calcular:

a) 444 33323

b) 590312

c) xxx 42

d) 532

e) 43 432

f)25

36

g)27

93

h)x

x

4

2 3

i) 151312 xxx

j) aaa 16254



BLOQUE 2: Álgebra

Objetivos - Mejorar el trabajo operativo con expresiones

algebraicas a partir del conocimiento de losdistintos conjuntos numéricos.

- Resolver ecuaciones.- Mejorar las técnicas de resolución de problemas.- Adquirir destreza en el manejo de expresiones

algebraicas.- Descomponer polinomios en factores, en casos sencillos.

Tarea inicial:Asociar cada uno de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponda:

ENUNCIADOS EXPRESIONESa) El cuadrado de la suma de dos números es igual a

la suma de sus cuadrados más el doble de suproducto.

b) El producto de dos potencias de la misma base esigual a otra potencia que tiene la misma base quelas anteriores y cuyo exponente es igual a la sumade los exponentes de las potencias que semultiplican.

c) Un número entero, el anterior y el siguiente.d) Dos números pares consecutivos.e) La suma de tres enteros consecutivos es 87. f) Las edades de dos hermanos difieren en 6 años y

el año próximo el hermano mayor tendrá el doblede años que el menor.

g) Las cantidades que se llevan tres socios sonproporcionales a 3, 5 y 8.

h) El espacio recorrido por un móvil es igual a suvelocidad por el tiempo que está en movimiento.

i) El volumen de un cilindro es igual al producto de por el cuadrado del radio de su base y por sualtura.

1. 1,1, nnn

2.853

zyx

3. hrV 2

4. 8721 nnn

5. abbaba 2222

6. tve

7. nmnm aaa

8.

121

6

yx

yx

9. 22,2 nn

De las nueve expresiones algebraicas anteriores, hay dos que son ciertas para cualesquieravalores que demos a las letras. ¿Cuáles son?

Bloque 2: ÁLGEBRA Pág. 1


En general:El álgebra consiste en el manejo de relaciones numéricas en las que una o más cantidades sondesconocidas. Estas cantidades se llaman incógnitas, variables o indeterminadas, segúndiferentes casos y se representan por letras.Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un cierto problema, se obtienen expresionesalgebraicas como las de la tabla de arriba. Esas expresiones también pueden aparecer endistintos tipos de igualdades. A continuación revisaremos algunas.

IDENTIDADES

La expresión abbaba 2222 , utilizada con frecuencia, es una igualdad válida para

cualesquiera que sean los valores numéricos que tomen a y b. Por eso es una identidad.

También es una identidad: mnmn aaa Podemos comprobar la primera identidad para, por ejemplo, 7,3 ba

1004249973273

100107322

22

Y la segunda identidad para 5,2,3 nma725 333

Entonces, una identidad es una igualdad algebraica cierta para valores cualesquiera de lasletras que intervienen.Algunas identidades importantes:

abbaba 2222

)()(22 bababa nnn baba )(

cabacba )(

Todas ellas son consecuencia inmediata de propiedades aritméticas.

Actividad:

Identificar y escribir las propiedades que dan sentido a las anteriores identidades(ver propiedades BLOQUE 1: NÚMEROS).

Sólo por si ayuda para entender un poco más las identidades algebraicas te proponemos elsiguiente ejemplo:



Las identidades son útiles para transformar una expresión algebraica en otra másoportuna o más cómoda de manejar.

Por ejemplo:)1(161616)69()1025()3()5( 2222 xxxxxxxx

Cada una de las tres igualdades es una identidad:

en la primera: )69()1025()3()5( 2222 xxxxx hemos tenido encuenta las expresiones del cuadrado de una suma y del cuadrado de una diferencia.

en la segunda: 1616)69()1025( 22 xxxxx nos hemos limitado asimplificar (diferencia de dos polinomios).

en la tercera: )1(161616 xx hemos sacado factor común el número 16(proceso inverso de la propiedad distributiva).

Al final, la expresión obtenida es notablemente más sencilla y cómoda de manejar que lainicial, pero de idéntico valor matemático. Por eso podemos sustituir la primera expresión porla última y el cambio es ventajoso.

Actividad:

a) De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?i) aaaa 3 v) )5(3153 aa

ii) 272 xx vi) 15 aaa

iii) 3xxxx vii) 525 aaa

iv) 2

312

2

53 23

xxx

x

xxviii) )3()2(62 mmmm

b) Teniendo en cuenta que 22 )3()5( xx es una “diferencia de

cuadrados” intentar un camino diferente al de arriba para llegar, pormedio de identidades, a )1(16 x



c) Construir cuatro identidades igualando de a pares estas expresionesalgebraicas

3a ; 2

5

a

a ; 12 a ;

26

3b

aaab ; 11 aa

d) Al “sacar factor común” construimos una identidad. Trabajar con lassiguientes expresiones (la primera se da resuelta como ejemplo)i) baba 333 ii) aa 62 2 iii) 32 xx iv) 4223 812 baba v) 11 xaxa vi) bbxaax 2233

e) Recordar los productos notables y completar las siguientes identidades:

i) 212x ii)

21

xx

iii) mm 33 iv) 223 yx

v) baba 2323 vi) 22 5x

f) Utilizar una expresión algebraica para expresar la superficie de las zonascoloreadas en cada una de las tres figuras, a partir de las informacionesque se indican. Luego completar en cada caso una identidad.

g) En las actividades anteriores, en caso de resultar identidades,escribir/describir cuál/es son las propiedades aritméticas que le otorganvalidez. (Revisar BLOQUE 1: NÚMEROS)

FÓRMULAS

La igualdad tve que relaciona tres magnitudes físicas (espacio, velocidad y tiempo) laconocemos desde la Física.Algebraicamente, es una igualdad que relaciona tres variables. Si conociéramos el valor dedos de ellas, podemos averiguar el de la tercera.



La Geometría, por ejemplo, nos provee otras fórmulas como la del volumen de la esfera

3

4

3rV

ECUACIONES

La expresión 8721 nnn sólo es cierta para 28n , pero no para otros valores den . Es una ecuación cuya solución es 28n .Así, una ecuación más que una igualdad es una propuesta de igualdad. Cuando n vale 28,entonces es cierto que 8721 nnn .La solución de una ecuación es el valor de la incógnita (o los valores de las incógnitas) quehacen cierta la igualdad. Resolver una ecuación es hallar su conjunto solución (hallar su solución o soluciones o llegara la conclusión que no tiene solución)

Actividad:

Resolver las siguientes ecuaciones, es decir, averiguar -para cada una de ellas-cuál es el valor de x que hace cierta la igualdad.Aunque ya conozca formas sistemáticas de resolver las ecuaciones (métodospara despejar x), sería muy bueno en este caso probar con algún método como:

“a ojo”, esto es, anticipando la solución y comprobando queefectivamente lo es.

“tanteando”, es decir, probando y aproximándose cada vez más a lasolución.

usando la calculadora, siempre que las cuentas realizadas vayanprecedidas por la reflexión.Entonces, la consigna es, tantear para resolver:

a) 7373 x g) 0)102()2()3( xxx

b) 240)7(3 x h) 6

1

3

11

x

c) 411 x i) 590493 x

d) 25)1( 2 x j) 5003 x

e) 2223 xx k) 823543xx

f) 10005 xx l) 100xx

Ecuaciones con varias incógnitasHay ecuaciones en las que intervienen dos incógnitas como, por ejemplo, 125 yx .Se trata de encontrar dos números, x e y , tales que yx 5 sea igual a 12.Los números 7x e 1y forman una solución pues 12157 .



También son solución 2x , 2y ; 3x , 3y ; 10x , 5

2y y otras muchas

(infinitas).Podemos encontrar, elaborar, resolver, ecuaciones con más de dos incógnitas; es decir,igualdades con varias letras cuyos valores necesitamos obtener para que se cumpla laigualdad. Las ecuaciones con varias incógnitas suelen tener infinitas soluciones.

Actividad:

a) Completar, en cada caso, los pares de valores ),( yx para que seansoluciones de la correspondiente ecuación: i) xy 34

ii) yx 34

b) Escribir una ecuación, de una sola variable, para cada uno de estosenunciados:

i) Queremos que la expresión 723 xx valga 27. ¿Cuánto debe valer x?ii) Buscamos un número que sumado a su siguiente dé 243. ¿Qué número

será?iii) Buscar un número que multiplicado por 2 y dividido por 5, dé 16.iv) Un número más su mitad valen 720. ¿De qué número se trata? v) La base de un rectángulo es 3cm más larga que su altura. El perímetro es

26 cm. ¿Cuál es la altura?

TIPOS DE ECUACIONES

A lo largo de todo el recorrido como estudiante en la carrera que estás iniciando y,seguramente después, te encontrarás con ecuaciones de todo tipo. Algunas queremosdistinguirlas particularmente desde ahora.Una gran familia está constituida por las ecuaciones polinómicas. Aquí tienes algunas:

72

32)5(3

xxx ; 1)3(25 22 xx ; 23 )1(25 xxx


x 1 2 5 0 17y 8 26

x 5 -1 3 1/2y 19 67 49/16


De todas estas ecuaciones nos detendremos en la resolución de sólo algunas de ellas en estaetapa. Nos dedicaremos en el próximo apartado a la resolución por métodos sistemáticos deecuaciones de primer grado y de segundo grado.Además de las ecuaciones polinómicas, como expresábamos, hay muchos otros tipos deecuaciones:Por ejemplo:

con radicales: como la propuesta más arriba 411 x , o comoxxx 125

con la x como denominador: como la anteriormente propuesta 6

1

3

11

x, o como

34

15

1

23

3

122

xxx

x

x

con la x en el exponente: como en 5003 x o en 100xx .

En este tema trabajamos en la resolución de algunas de ellas por métodos sencillos, mediantelos cuales, después de unos pasos, se llega a la solución. Sin embargo hay ecuaciones para lascuales no disponemos de tales métodos como, por ejemplo, las dos últimas. Pero sabemos quetanteando inteligentemente, con la ayuda de la calculadora, con algunas estrategias, podemosobtener su solución con tanta aproximación como queramos.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una expresión del tipo 0 bax , siendo 0a , o bien esuna expresión más compleja en la que, después de simplificar, se llega a la anterior.La característica fundamental de este tipo de ecuación es que la x sólo aparece elevada a laprimera potencia.Por ejemplo:

7373 x ; 72/5 x ; 53 x son ecuaciones de primer grado

36)3( 2 x ; 153 xx ; xx

532

no son ecuaciones de primer grado

Soluciones de una ecuación de primer gradoUna ecuación de primer grado tiene, necesariamente, una única solución:

a

bxbaxa 0;0

A veces nos encontramos con expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sinembargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones.Por ejemplo:

803353)1(353 xxxxx

Evidentemente no tiene solución



0053531)2(353 xxxxx

Tiene infinitas soluciones ya que 00 x cualquiera sea el valor de x.Realmente no son ecuaciones pues carecen de término en x. No obstante, como antes desimplificar no sabemos cómo van a quedar, las trataremos como ecuaciones.

Ecuaciones equivalentesEn general, dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución o ambascarecen de solución.Por ejemplo:

2373 x y xx 26645 son equivalentes porque ambas tienen como única solución10x

Transformaciones que mantienen la equivalenciaResolver una ecuación es encontrar sus soluciones o averiguar que no tiene solución. paraconseguirlo hemos de “despejar la x” mediante una serie de pasos que consisten en construirnuevas ecuaciones, equivalentes a la primera, y en cada paso la x esté más próxima a serdespejada.Esas transformaciones dan lugar a unas reglas prácticas:

Transformación Regla PrácticaSumar o restar la misma expresión en losdos miembros de la igualdad

Lo que está sumando pasa restando, yviceversa

Multiplicar o dividir los dos miembros porel mismo número distinto de cero

Lo que está multiplicando pasa dividiendo,y viceversa

No supone transformaciónEfectuar en cada miembro las operacionesindicadas, quitar paréntesis, agrupartérminos semejantes, etc.

Éstas son reglas básicas para la resolución de ecuaciones de primer grado. Con ellas se puedellegar fácilmente a despejar la x y todas garantizan la equivalencia entre la ecuación departida y la de llegada.

Para resolver una ecuación de primer gradoA veces las ecuaciones que hemos de resolver tienen un aspecto complicado. Por ejemplo:

515

24

5

)3(2

20

13

xxx

¿Qué podemos hacer para, de a poco, ir despejando la x ?Te proponemos una secuencia que puede resultarte útil (sólo es a modo orientativo)



1º

Quitar los denominadores, si loshay. Para ello se multiplican los dosmiembros de la ecuación por unmúltiplo común de losdenominadores, preferiblementepor el mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo de 20, 5 y 15es 60.Multiplicando ambos miembros por 60,resulta:

300)24(4)3(24)13(3 xxx

2ºQuitar los paréntesis, si los hay. 9x-3-24x-72=16x+8-300

3º

Pasar los términos en x a unmiembro y los números al otromiembro

9x-24x-16x=8-300+3+72

4ºSimplificar cada miembro 21731 x

5ºDespejar la x 7

31

217

x

6º

Finalmente, comprobar lasolución en cada miembro de laecuación inicial

352515

274

3415

)37(2

20

173

coinciden

Esta secuencia no hay que tomarla como algo rígido, habrá ecuaciones en que convengaempezar quitando paréntesis o simplificando... La práctica va ayudando a tomar decisionesacerca de cuándo conviene una cosa, cuándo conviene otra.

Actividad:

Para cada una de las siguientes ecuaciones, escribir otra equivalente, sindenominadores, y después resolver.

a) 105

2

15

xx

x

b) 4

1

4

3

842

xxxx

c)9

412

3

1

9

32

xxxx

d)12

25

6

)14(5

2

53

4

)2(3

xxx



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La forma general de una ecuación de segundo grado es: 02 cbxax , siendo 0a pararesolver esta ecuación hemos de despejar la x , lo cual no parece una tarea nada fácil.Nos enfrentaremos con ella unas páginas más adelante.Hay ocasiones, sin embargo, en que las ecuaciones de segundo grado se nos presentan demodo que se pueden resolver con mucha facilidad.Observemos:

4)5(12)5.(3 22 xx 725 xx

325 xx

Como se ve, no se ha necesitado ninguna fórmula, ningún tratamiento específico, sinosimplemente, aplicar las reglas conocidas.El único paso algo novedoso ha sido el que se expresaría así: “si el cuadrado de un número es4, entonces ese número puede ser 2 ó -2”.Es muy interesante familiarizarse con modelos de ecuaciones de segundo grado que tienen unmatiz que las hace especialmente asequibles.Antes de describir esos modelos, intentemos, con los recursos que disponemos hasta aquí, laresolución de las correspondientes ecuaciones.

Actividad:

Todas las ecuaciones de segundo grado que se proponen a continuación, puedenresolverse por métodos sencillos. Además, las soluciones de todas ellas sonnúmeros enteros. Intentar resolverlas, pero: aunque se conozca la fórmulageneral para la resolución de ecuaciones de segundo grado, no aplicarla. Teinvitamos a resolverlas utilizando alternativas como las de arriba y teniendo encuenta que, en algunos casos, resolver una ecuación puede ayudar a resolver lasiguiente:

1. 92 x 12. 12)5(3 2 x 23. 0147 2 xx

2. 092 x 13. 012)5(3 2 x 24. 052 xx

3. 92 2 x 14. 050)5(2 2 x 25. 0408 2 xx

4. 182 2 x 15. 063)2(7 2 x 26. 02 xx

5. 0182 2 x 16. 020)11(5 2 x 27. xx 1717 2

6. 0637 2 x 17. 1002)6(2 2 x 28. 33123 2 xx

7. 03003 2 x 18. 5120)32(5 2 x 29. 4122 xx

8. 05 2 x 19. 0)2()3( xx 30. 1442 xx

9. 39611 2 x 20. 0)1()5(3 xx 31. 1962 xx

10. 9040010 2 x 21. 0)2( xx 32. 25962 xx

11. 4)5( 2 x 22. 022 xx



Ecuaciones de segundo grado fáciles de resolverSiempre que una ecuación sea resoluble por métodos sencillos, es bueno intentar llegar a susolución siguiendo esos caminos.Veamos -a partir de las ecuaciones resueltas en las actividades anteriores- qué tipos deecuaciones de segundo grado permiten soluciones simplificadas.

ecuaciones sin término en x : 02 cax (como las ecuaciones 1 a 10 anteriores)

En estos casos es fácil despejar 2x y, por lo tanto, obtener los valores de x .Ejemplos:

5253

750753 22 xxx

7

40

7

400407 22 xxx

50102 22 xx no tiene solución

ecuaciones en la que la x está en un cuadrado perfecto: 0)( 2 npxm

(como las ecuaciones 11 a 18 y 29 a 32 de la página anterior).En estas ecuaciones se obtienen fácilmente los dos valores de px y, por tanto, los de x .Ejemplos:

25)3(075)3(3 22 xx 853 xx

253 xx

4040)4(0)4(3 22 xxxx

7)2(035)2(5 22 xx no tiene soluciones reales

ecuaciones que se dan como producto de varios factores: 0)()( qxpxk

(como las ecuaciones 19, 20 y 21 de la página anterior)Para que un producto sea cero es necesario que alguno de los factores sea cero. Por tanto, unaecuación de este tipo se resuelve igualando a 0 cada factor en el que está la x :

0)(,0)( qxpx .Ejemplo:

0)34()5(3 xx 505 xx

4

3034 xx

ecuaciones a las que les falta el término independiente: 02 bxax

(como las ecuaciones 22 a 28 de la página anterior)Se pueden factorizar sacando x factor común:

0)(02 baxxbxax

Una de sus soluciones es 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación 0 bax



Ejemplo:0)57(057 2 xxxx 0x

7

5057 xx

Forma general de las soluciones de una ecuación de segundo grado:Como ya hemos dicho, no es fácil despejar la x en una ecuación de segundo grado que tengatodos sus términos.

Más adelante probaremos que la solución general de la ecuación ax 2+ bx+ c=0 , con a ≠ 0 ,

es: x=

−b±√b 2−4ac

2a

El doble signo que precede a la raíz significa que puede haber dos soluciones cuyas

expresiones son: x1=

−b+ √b2−4ac

2a y x2=

−b−√b2−4ac

2a

Estas dos soluciones pueden reducirse a uno o a ninguna, según los casos.



Obtención, paso a paso, de la solución general de una ecuación de segundo grado:



Actividad:

1) Resolver aplicando la fórmula:a. 0562 xx

b. 0652 xx

c. 0156 2 xx

d. 0342 xx

e. 0144 2 xx

f. 012 xx

2) Escribir un ejemplo numérico de cada una de las propiedades y verificarque se cumple la igualdad en cada uno de esos casos concretos.

3) Calcular los valores que ha de tomar m para que la ecuación

062 mxx tenga:a) dos soluciones distintas.b) por soluciones los valores 4x y 2y

c) dos soluciones igualesd) dos soluciones que no sean números reales

INECUACIONES

A veces los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen "es igual a" sino"es mayor que" o "es menor que". Por ejemplo: La longitud de una mesa es de 140cm. La mido con la palma de mi mano y con 6 me quedocorto. ¿Qué puedo decir de la longitud de la palma de mis manos?Traducido a lenguaje algebraico: la longitud de mi palma es la incógnita. La llamamos x .Seis veces mi palma no llega a ser 140cm <==> 1406 x . Esta expresión es unainecuación.Una inecuación es una propuesta de desigualdad. ¿Para qué valores de x es cierto que

1406 x ?Las respuestas a esta pregunta constituyen el conjunto solución de la inecuación.Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (sólo hay un número igual, pero hayinfinitos números menores que otro).En este caso, las soluciones se obtienen así:

1406 x => 6

140x => x< 23,3 => mi palmo podría tener cualquier longitud menor que

23,3 cm



Actividad:

(recuperemos del BLOQUE 1: NÚMEROS)

1) Expresar el enunciado como una desigualdad:1. x es negativo2. y no es negativo3. d está entre 4 y 24. El cociente de p y q es a lo sumo 75. El valor absoluto de x es mayor que 76. b es positivo7. s es no positivo 8. w es mayor o igual que – 49. p no es mayor que – 210. El inverso multiplicativo de f es a lo sumo 14

2) ¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación

x2−8x< 12 ?

a) -5 b) 0 c) 1,1 d) 2 e) 5/2 f) 3,2 g) 5,3 h) 10

3) Traducir a lenguaje algebraico:

1. El triple de un número más ocho unidades, es menor que 20.

2. El número de alumnos de mi clase es menor que 35.

3. El número de alumnos de la clase de al lado supera los 35 alumnos.

4. Si mi dinero aumentara al triple y además me tocaran $2000 de la lotería,tendría por lo menos $11000

SISTEMAS DE ECUACIONES

Los problemas con varias incógnitas suelen dar lugar a varias ecuaciones, todas las cuales hande cumplirse.Ejemplo:La cantidad de fotos del álbum de ídolos de fútbol que tienen entre dos hermanos suma 100.Si el tío les regalara 10 fotos a cada uno (como prometió), uno tendría el doble del otro.¿Cuántas fotos tiene cada uno?Traducido al lenguaje algebraico, dan lugar a las ecuaciones:



)10(210

100

yx

yx

donde x e y son, respectivamente, el número de fotos que tiene cada hermano.Para averiguar lo que se pregunta, es necesario tener en cuenta las dos ecuaciones. Es decir, elpar de valores x e y buscado ha de ser solución de ambas ecuaciones. Por eso decimos queforman un sistema de ecuaciones y lo indicamos agrupándolas con una llave:

)10(210

100

yx

yx

Varias ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuando el objetivo es encontrar lasolución, o las soluciones, comunes a todas ellas.

Actividad:

1) Buscar cinco soluciones diferentes para cada una de estas ecuaciones:i) x + y = 4 ii) 3 (x + 4) = 2y – 6 iii) x2 = y + 3

2) Completar, en cada caso, los pares de valores ),( yx para que seansoluciones de la correspondiente ecuación: i) 43 xy

ii) 4 yx

¿Tienen ambas ecuaciones alguna solución común?3) Buscar una solución del siguiente sistema de ecuaciones:

4) Buscar, por tanteo, una solución a los sistemas:


x 2 4 0 25y 9

x 1 2 5 0 17y 8 26


BLOQUE 2: Álgebra. Trabajo Práctico

Identidades

1. Completar de la forma más breve posible, el segundo término de estas igualdades paraque resulten identidades:

i.

ii.

iii.

iv.

2. Partiendo de cada una de estas expresiones, llegar mediante identidades a losresultados que se indican:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

3. Escribir enunciados que permitan expresar verbalmente cada una de estas propiedades:i.

ii.

iii.

iv.

4. Asociar cada identidad de la izquierda con uno de los enunciados de la derecha:

i.

ii.

iii.

iv.

1. Propiedad asociativa del producto.

2. Una propiedad de las potencias.

3. La multiplicación es una suma

repetida de sumandos iguales.

4. Propiedad distributiva del producto

respecto de la suma.

Bloque 2: ÁLGEBRA. Trabajo Práctico Pág. 1


Ecuaciones

1) ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justificar la respuesta.a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

2) Escribir una ecuación, de una sola variable, para cada uno de los siguientes enunciados:a. Un matrimonio tiene tres hijos. Cada uno le lleva al siguiente dos años. Entre

los tres suman 26 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?b. El perímetro de un triángulo equilátero es de 72m. ¿Cuánto mide el lado?

c. En un triángulo rectángulo los catetos son iguales y la hipotenusa mide 10m.

¿Cuánto miden los catetos?d. Calcular el lado de un cuadrado sabiendo que la diagonal mide 10m.

e. Buscar un número cuyo doble coincida con su cuadrado.

3) Completar la tabla. Luego: encontrar las edades de Ángel y Marisa.

EXPRESIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICALa edad de Ángel xLa edad de Marisa yLa edad de Ángel es el triple de la edad de MarisaLa edad de Ángel dentro de 5 añosLa edad de Marisa dentro de 5 añosLa edad de Ángel dentro de 5 años será el doble de la que entonces tenga Marisa

Ecuaciones de primer grado

1) Recordar que ; quitar denominadores y resolver:a)

b)

c)

d)

e) 35)1(2)75(3 xxx

f) )4(23)52()23(2 xxxx

2) Resolver:

a)

b)

c) xxx

38)2(53

2)1(

d)18

211

6

2

9

)1(2

6

4 xxxx



Ecuaciones de segundo grado1. Averiguar las soluciones reales, si existen:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Resolver las ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

3. Reducir y resolver:

a.

b.

c.

d.

4. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcular dicho número.5. Un granjero espera obtener $4200 por la venta de huevos.

En el camino al mercado se le rompen 20 docenas. Paraobtener el mismo beneficio aumenta en $1 cada docena quele quedó. ¿Cuántas docenas tenía al principio?

6. Un grupo de verduleros invierte $10500 en la compra deuna partida de frutas. Tienen un problema con una de lascámaras de frío y tienen que desechar 75 kg. Venden el resto,aumentando en promedio $3 el kg sobre el precio de la compra, por $11250. ¿Cuántoskg tenía la partida inicial?

7. En un triángulo rectángulo el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, el cual, asu vez, es 3cm más largo que el pequeño. Calcular cuánto miden los lados.

8. La superficie de un rectángulo es 28cm2 y su perímetro 22cm. Calcular lasdimensiones.

9. El número de diagonales de un polígono regular es 27. ¿Cuántos lados tiene?(Ayuda: recordar que el número de lados es igual al de vértices; a cada vértice lellegan tantas diagonales como vértices hay, menos 3; cada diagonal vincula 2 vérticesno consecutivos.)



Inecuaciones1. Buscar dos valores que sean solución y otros dos que no lo sean, para la inecuación:

2. ¿Existen números “x” que verifiquen que y ? ¿Y en el caso de que y ? ¿Y en el caso de y ?

3. Desde mi mesa a la estantería cuento cinco palmasde mi mano y aún me falta algo para llegar. Sidesde el suelo subo nueve palmas, sobrepaso laestantería. La mesa tiene 70cm de altura; laestantería, 180cm. ¿Qué puedo decir de la longitudde mi palma?

4. Ramón y Nuria han medido una pizarra con unalapicera distinta cada uno de ellos. Ramón hacontado entre 16 y 17 lapiceras. Nuria cuenta másde 17 pero no llega a 18. Si la lapicera de Ramónmide 19,5cm y la de Nuria 18cm, ¿cuánto mide la pizarra?

5. Imagina que e son dos lados de un triángulo cuyos valores son y .¿Qué podría decir del lado ? (Recordar que cada lado de un triángulo es menor quela suma de los otros dos y mayor que su diferencia).

Sistemas de ecuacionesa. Intentar encontrar, tanteando, la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones:

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(No se pide utilizar técnicas especiales para resolver estos sistemas sino simplemente,descubrir a ojo, tanteando, un valor de y otro de que sean válidos para las dosecuaciones).

b. Explicar por qué es imposible encontrar un valor de y otro de que hagan ciertas,simultáneamente, las dos ecuaciones siguientes:

c. Explicar por qué si unos valores de e son solución de la ecuación ,entonces, con seguridad, también son solución de .

d. Ahora, intentar encontrar la solución a los sistemas del ejercicio a) resolviendo concualquiera de las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones disponibles.


INTRODUCCIÓN A LAMATEMÁTICA

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BLOQUE 3: Funciones

Objetivos

- Recordar la idea de función y manejar suterminología básica.

- Reconocer y designar los aspectos másimportantes de una función (crecimiento,continuidad, máximos y mínimos) .

- Interpretar funciones a partir de sus gráficas ygraficar funciones descriptas por un enunciado.

- Relacionar gráficas y expresiones analíticas de funciones.

Problema: Varios amigos van de vacaciones. Esta es la panorámica del recorrido.

En el siguiente diagrama se aprecia el lugar en que estaban en cada momento del día, desdelas 9 de la mañana, que salen, hasta que llegan.

¿Dónde se pararon a descansar?

¿En qué parte de la gráfica seaprecia como Luis olvida lamochila y deben volver abuscarla?

¿Cuánto recorrieron antes dedarse cuenta?

¿A qué hora comieron? ¿Dónde?¿Cuánto rato estuvieron allí?

¿Se nota en la gráfica las subidasy bajadas del camino? ¿En qué?

Bloque 3: FUNCIONES Pág. 1


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Esa noche pernoctaron en el refugio. A la mañana siguiente salieron a las 9 del refugio yvolvieron hacia el pueblo.

Realizar una gráfica como la anterior, pero que salga a las 9 del refugio y que se llegue, por latarde, al pueblo.

Leticia opina que hay un cierto lugar donde estuvieron los dos días a la misma hora, ¿Puedeser posible? (Sugerencia: superponer las dos gráficas y extraer conclusiones).

En general…

Las funciones sirven para describir fenómenos.

La variación del precio de un alimento respecto al tiempo es una información importante parala economía familiar. Si en lugar de un alimento se valoran y ponderan la totalidad de losproductos de consumo doméstico (lo que se suele llamar “la canasta familiar“), la evoluciónde su corte es una información de enorme importancia para la economía de un país. Es degran interés ser capaz de interpretar correctamente y con profundidad una gráfica en la que sedescriba la función tiempo costo de la canasta familiar. Ésta y otras funciones serepresentan frecuentemente mediante una gráfica que se tiene que interpretar. Y, en otroscasos, es necesario que cada uno sea capaz de expresar mediante una gráfica una funciónconocida.

Aspectos relevantes de una función

Para proceder eficazmente en esta doble tarea de interpretar gráficas de funciones y deexpresar gráficamente funciones conocidas, es necesario saber cuáles son los aspectos mássignificativos de una gráfica y qué aportan a la comprensión del fenómeno que describen:

o El fenómeno descrito, ¿evoluciona suavemente o tiene saltos bruscos?

o ¿Aumenta, disminuye? ¿Cuándo se alcanza el mayor valor? ¿Decrece más o

menos rápidamente?

o ¿Qué cabe esperar que ocurra más allá del tramo en que ha sido estudiado? Es

decir ¿qué tendencia tiene?

La comparación, el estudio conjunto de dos o másfunciones, puede aportar mucha más informaciónque cada una de ellas por separado. Se utilizaránalgunas técnicas sencillas para realizar el estudioconjunto de varias gráficas.

Expresión analítica

Como se sabe, la expresión 52 xy correspondea una recta y ésta puede interpretarse como unafunción de x e y. Son muchas las funciones que,



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además de ser descritas gráficamente, pueden ser traducidas al lenguaje analítico medianteuna fórmula. La expresión analítica aporta grandes ventajas al estudio de las funciones,aunque conlleva dificultades. En este tema sólo se hará una mirada general de ellas.

LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS

Con mucha frecuencia se recibe la información mediante gráficas. Unas son de tipoestadístico. Otras tienen unas características tales que las denominamos funciones. Veamoscuáles son sus principales rasgos y cuál es la nomenclatura adecuada para utilizarlas.

Estudio de un ejemplo

La gráfica adjunta describe el movimiento(adelante-atrás) de un coche teledirigidodurante los primeros 20 segundos de unaprueba. Se trata de la función

tiempo transcurrido distancia del cochea nosotros

En el fenómeno estudiado intervienen dosvariables: tiempo t y distancia d . Lafunción relaciona la segunda variable con laprimera, pues al pasar el tiempo se modificala distancia.

Para la representación gráfica se ha utilizado un diagrama cartesiano que consiste en dos ejes,ejes cartesianos, en cada uno de los cuales se representa una variable, utilizando una escala:

o El tiempo (t) se ha representado en el eje horizontal y en él cada cuadrito significa 1segundo.

o La distancia (d) se ha representado en el eje vertical y cada cuadrito significa 2metros.

Es muy importante señalar que en cada instante el coche está en un único lugar (por ejemplo,a los 5s se encuentra en 10m), aunque puede haber distintos instantes en los que el coche seencuentra en un mismo lugar (por ejemplo, en los instantes 7s, 15s y 17s se encuentra a 14m).

Función: idea y elementos básicos

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicoso, simplemente, para expresar relaciones matemáticas. Una función relaciona dos variables,habitualmente designadas por x e y. Se representa por una gráfica sobre unos ejes cartesianos.Bloque 3: FUNCIONES Pág. 3


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Al eje horizontal (eje de las abscisas) se le suele designar por la letra X; al vertical (eje deordenadas) por la letra Y.

Las variables x e y son numéricas. Para que puedan ser representadas sobre los respectivosejes, es necesario designar sobre éstos sendas escalas.

Cada punto de la gráfica corresponde a un par de valores: un valor x (variable independiente)y el correspondiente valor de y (variable dependiente).

Para que una relación de este tipo entre dos variables numéricas pueda ser considerada unafunción, es necesario que a cada valor de x corresponda un único valor de y.

Para expresar simbólicamente una función, se utiliza la letra f o alguna otra (g, h,…).

La expresión xfy se lee “y es función de x” o simplemente, “y igual a f de x”, lo quesignifica que el valor que toma y depende del valor que se le adjudique a x.

El conjunto de los valores de x a los cuales les corresponde algún valor de y, se llamadominio de definición de la función.

Actividad:

1) La gráfica refleja una etapa de un ciclista cuyo itinerario se describe a la

izquierda.

a) ¿De qué distancia es la etapa y cuánto tarda en recorrerla?

b) ¿Cuándo pasa por la cima más alta?

c) ¿En qué tramo va rápido y en cuál más despacio?

d) ¿Qué variables intervienen? ¿Qué escala se utiliza para cada variable?

e) Señalar sobre ella los pueblos que aparecen en el dibujo de la izquierda.

f) ¿Qué distancia hay desde “La Seo” hasta “Andorra” y cuánto tiempo tardóen recorrerla? ¿Qué velocidad media consiguió?



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2) Estas cuatro gráficas representan, supuestamente, la temperatura máxima

diaria de cuatro ciudades durante un cierto año.

a) ¿En cuál de estas cuatro ciudades oscila menos la temperatura?

b) Una de ellas corresponde a nuestro país y otra a nuestras antípodas. ¿Acuáles nos estamos refiriendo? Razonar la respuesta.

c) Alguna de las gráficas es absurda. Indicar cuál y por qué.

d) Elegir una escala adecuada para cada variable y graduar cada uno de losejes.

VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN

Observemos estas tres gráficas las cuales tratan de variaciones de presión:

Al sumergirnos en agua, la presión aumenta demanera uniforme. Por cada 10m queprofundizamos, la presión aumenta una atmósfera(1atm). Esta gráfica corresponde a la funciónprofundidad dentro del agua presión

y es, evidentemente, creciente: a másprofundidad, más presión.



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La presión atmosférica disminuye con laaltura, aunque no lo hace uniformemente (alprincipio disminuye más rápidamente quedespués). Esta gráfica corresponde a lafunción

altura en la atmósfera presión.

Es decreciente, pues a más altura menospresión.

La variación de la presión atmosférica en unlugar es indicio importante de cambios en eltiempo meteorológico. (De ahí lo del partemeteorológico, centro de altas presiones,isóbaras, etc.) Esta gráfica da la presiónatmosférica en un cierto lugar, en cadamomento, a lo largo de 20 días. Corresponde a lafunción

instante de tiempo presión.

Presenta un máximo el día 3º (alta presión quesupone buen tiempo), un mínimo del día 10º(baja presión, tiempo tormentoso).

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

Para estudiar las variaciones de una función hay que mirarla de izquierda a derecha. (Esto esdebido a que la variable independiente que se usa con más frecuencia es el tiempo, y eltiempo transcurre siempre en el mismo sentido.)

Una función se llama creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumentala variable dependiente, y. Análogamente una función se llama decreciente cuando alaumentar la variable independiente, x, disminuye y.

También podemos decir que una función tiene un tramo creciente o decreciente. Porejemplo, la gráfica anterior es creciente entre los días 0 y 3, y decreciente entre los días 3y 10.

Una función tiene un máximo en un punto cuando en él toma un valor mayor que el quetoma en los puntos que la rodean. La función crece hasta el máximo y decrece a partir deél. Análogamente se define mínimo de una función como un punto en el que ésta tomavalores menores que los que toma en los puntos próximos a él.



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Actividad:

1) La siguiente gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que seencuentra un globo de hidrógeno que se va elevando hasta que estalla.

a) ¿Cuánto tarda en estallar desdeque se suelta?

b) ¿Qué altura gana entre elminuto 3 y el minuto 6? ¿Yentre el 7 y el 11?

c) ¿Cómo es esta función?¿Crece o decrece?

d) ¿Cómo continuaría la gráficasi el globo no hubieraestallado?

2) Se toma una curiosa botella vacía y se la va llenando de agua con un vaso.Cada vez que se echa un vaso de agua, se mide la altura alcanzada en labotella.

Se realizó la gráfica imaginando que se ha echado el agua en forma continua.

a) Explicar la relación que hay entre la forma de la botella y la forma de lagráfica.

b) Hacer la gráfica correspondiente al recipiente de la derecha.



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3) Una compañía de transporte urbano ha recogido la siguiente informaciónsobre la venta de boletos:

a) ¿Durante cuánto tiempo se ha hecho este estudio?

b) ¿En qué mes del año 2008 se han vendido menos boletos? ¿Y en el año2009? ¿Por qué sucede esto?

c) ¿En qué mes de 2009 se produce la máxima venta? ¿A qué se podríaatribuir?

d) ¿En qué períodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de boletos?¿Y en qué estación del año es decreciente esta venta?

e) ¿Qué tendencia hay sobre la venta de boletos a lo largo de los años?

DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD

Observemos las siguientes tres gráficas:

Las ganancias mensuales de un vendedor decomputadoras son $10000 fijos más $500 por cadaaparato vendido. Esta es la gráfica de la función

aparatos vendidos ganancias mensuales

La variable independiente sólo tiene sentido para losvalores 0, 1, 2, 3, 4…, pues no se puede vender unnúmero fraccionario de computadoras.



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Una llamada telefónica urbana en España cuesta losiguiente: 3 duros para comenzar, y con ellos sepuede hablar 3 minutos. A partir de ese momentocada minuto cuesta un duro. Esta es la función

duración costo

Hay variaciones bruscas de costo cada minuto apartir del tercero.

Esta gráfica describe el crecimiento de unacierta planta con el paso del tiempo.Concretamente, se trata de la función

Tiempo altura

La variación de la altura es suave, sin saltosbruscos.

Las dos primeras son funciones discontinuas. Esta tercera es continua.

Definiciones

Hay ocasiones en las que la variable independiente no es continua, sino que pasa dando saltosde cada valor al siguiente (Gráfica 1). Cuando esto sucede la variable se denomina discreta y,en casos, la gráfica de la función no es una línea, sino una serie de puntos.

En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltosbruscos (Gráfica 2). Estos saltos se llaman discontinuidades y la función que los tiene se diceque es discontinua.

Una función se llama continua cuando no tiene discontinuidad de ningún tipo.



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Actividad:

1) Se ha tomado la temperatura de un enfermo cada dos horas durante tres días.A la vista de la gráfica, realizar un estudio de la función tiempo temperatura, contestando las siguientes preguntas:

a) ¿Parece correcto haber representado la gráfica en forma continua?

b) ¿Qué representa la franja que aparece en torno a los 37ºC?

c) ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura es muy inferior a los 37ºC?

d) ¿En qué instante la temperatura alcanza el máximo valor?

e) ¿Cuáles son el aumento y el descenso más brusco que se observa en elgráfico?

2) El estacionamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa deprecios

Tarifas

Precio desde las 9 hasta las 22 horas

Las dos primeras horas…………………….gratuito

3º hora o fracción sucesiva…………...……..$10

Máximo diario………………………………$100

Representar gráficamente la función tiempo de estacionamiento costo.



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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN

Casi todas las funciones consideradas hasta ahora han venido dadas por su gráfico o bien porun enunciado que, de forma aproximada, permite conocer las principales características delfenómeno estudiado. Hay, sin embargo, una gran cantidad de funciones que pueden darsemediante una fórmula que relaciona de manera exacta y sintética las dos variables.

Estudio de un ejemplo

Se tiene una chapa de 40cm por 30cm y se desea construir con ella un recipiente realizandolos cortes y plegados que se indican en la figura.

Largo: x240

Ancho: x230

Alto: x

Por lo cual el volumen, expresado en centímetros cúbicos, es:

xxxV 230240 (se aplica la propiedad distributiva para obtener una expresión

equivalente) xxxV 12001404 23

Realizando algunos cálculos podemos obtener el volumen para distintas medidas del corte:

Si cmx 1 , 3106412838 cmcmcmcmV




Si cmx 5 , …..

Si cmx 6 , …..

Si cmx 7 , …..

Si cmx 8 , …..

Completar los cálculos e indicar de qué medida conviene recortar los cuadrados de lasesquinas para obtener mayor volumen.



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Al realizar el gráfico de la función podemos comparar la respuesta.

Ventajas de la expresión analítica de una función

Cuando una función viene dada de forma gráfica, podemos, de un solo golpe de vista, adquiriruna idea clara de su comportamiento global. Esta es una enorme ventaja que presenta laforma gráfica sobre la analítica. Ahora bien, una función dada analíticamente puede, con unpoco de trabajo, ser representada gráficamente.

Además, desde un punto de vista matemático, la expresión analítica presenta una serie deventajas:

o Comodidad de expresión.

o Precisión en los cálculos que se realicen en ella y con ella.

o La posibilidad de recurrir a modelos conocidos y muy estudiados. Por ejemplo, la

función que acabamos de obtener será catalogada como “polinómica de tercer grado”y esa simple asignación, permite a los expertos reconocerle una buena cantidad depeculiaridades.

o Aplicar una serie de métodos específicos para examinar, analizar las funciones

extrayendo de ella una enorme cantidad de información. Buena parte de la actividaden matemática, en los cursos universitarios, consistirá en aprender y aplicar esosmétodos de análisis de funciones.

A partir de este momento, la forma analítica de las funciones se irá abriendo camino y llegaráa ser la que más se presente en la actividad matemática.



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Notación

Como la variable dependiente (el volumen en el caso analizado) es función de la variableindependiente (el lado del cuadrado que representamos con la letra x) es frecuente escribir:

xfV que se lee “V es igual a f de x”. También suele escribirse: xfy .

Con lo cual, tenemos diferentes notaciones para el mismo objeto, en el caso analizado:

xxxV 12001404 23 ; xxxy 12001404 23 ; xxxxf 12001404 23 .

Esta última expresión es muy útil al momento de calcular el valor numérico de la función.Determinar, por ejemplo, 1f (se lee “f de 1”) es equivalente a realizar los cálculos: cuando

1x , 106411200114014 23 xf . Así, decimos que 10641 f .

Actividad:

1. Dada la función xxxf 85 2 , calcular 3f , 100f y 8f .

2. Escribir la expresión analítica de una función g tal que 122 g .

DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Las funciones se pueden clasificar atendiendo a la forma de su gráfica o al tipo de expresiónanalítica, lo cual permite estudiar “familias de funciones” de modo que los resultados de esteestudio sean válidos para todas las funciones de cada familia.

Funciones polinómicas de grado 1: Rectas

Hemos visto, algunos ejemplos de funciones cuya expresión analítica corresponde a unaexpresión de primer grado (el mayor exponente de la variable independiente es 1)

- La relación entre la profundidad y lapresión al sumergirnos en agua dulce.



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- El área de los rectángulos de lado fijo3cm, en función del otro lado.

la 3

Todas las expresiones de primer grado darán lugar a rectas cuyas características se hallanasociadas a la expresión analítica.

Actividad:

Graficar las siguientes funciones de primer grado y extraer conclusiones.

xy 2 , 12 xy , 32 xy , xy 2 , xy2

1 , xy 3 , 13 xy ,

3y , 2x

Funciones polinómicas de grado 2: Parábolas

Hemos visto algunos ejemplos de funciones de este tipo, entre otras podemos mencionar:

- Relación entre el área de un cuadrado y la medida de sulado.

2lA



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- Relación entre la distancia recorrida y el tiempotranscurrido si se deja rodar una bola por un tobogán.

210td

Todas las expresiones de segundo grado dan lugar a parábolas cuyas características se hallanasociadas a la expresión analítica.

Actividad:

Graficar las siguientes funciones de segundo grado y extraer conclusiones.

2xy , 32 xy , 12 xy , 22 xy , 23 xy , 21 xy ,

2

2

1xy , 23xy

Funciones con otro tipo de expresión algebraica

En los ejemplos considerados han aparecido otras funciones cuya expresión algebraica noresponde a ninguno de los modelos anteriores

- Volumen de una caja en función dellado de los cuadrados que hay querecortar para construirla.

xxxV 12001404 23



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- Relación entre la altura y la base en los rectángulos de2144cm de área.

ba

144

- Número de amebas en un cultivo en función del tiempotranscurrido.

xN 5,14

El estudio de cada una de estas familias de funciones se realizará en espacios específicos.



BLOQUE 3: Funciones. Trabajo Práctico

1. Hacemos una excursión en bicicleta a un bosque que está a 40km de nuestro pueblo, parallegar al cual hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Estamos allí un rato yvolvemos. Mirando la gráfica, contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica tiempo → espacio? ¿Yen el eje vertical?

b) ¿A qué hora salimos?c) ¿Cuántos kilómetros hay aproximadamente desde el comienzo de la primera cuesta

hasta la cima? ¿Cuánto tiempo tardamos en subirla? d) ¿Cuántos kilómetros hay de bajada? ¿Qué tiempo se tarda?e) ¿Qué distancia hay desde a hondonada hasta el bosque? ¿Cuánto tardamos en

recorrerla?f) ¿Cuánto tiempo estamos descansando en el bosque?g) ¿Cuánto hemos tardado en ir del pueblo al bosque?¿Y del bosque al pueblo?¿A qué

puede deberse la diferencia?

2. Inventar otra excursión en bicicleta. Dibujar el itinerario y representar la gráfica espacio→ tiempo correspondiente.

3. La siguiente gráfica describe la evolución de latemperatura de un paciente con el paso deltiempo:a) ¿Qué variables se relacionan?, ¿qué unidades

se toman para cada variable?b) ¿Cuántos días ha estado enfermo el paciente?

(se considera normal una temperatura de36,5°C )

c) ¿Qué ocurre entre los días 2 y 5?, ¿qué ocurreel 6to día?

d) ¿Cuándo es máxima la temperatura?, ¿ymínima?

e) ¿En qué períodos ha sido estable?

Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico Pág. 1


4. Las siguientes gráficas muestran la marcha de seis montañistas. Describir el ritmo de cadauno. ¿Cuáles de estas gráficas parecen menos realistas?

Al observar que los ejes no están graduados, es importante considerar únicamente lascaracterísticas globales.

5. En las escuelas de conducción tienen precios fijos que se aplican a todo aquel que requierasus servicios. En la autoescuela Ramírez las tarifas son las siguientes

TarifasPrecio de cada clase……………………. $200 Precio matrícula de carnet………………$2500

a) Se han utilizado los servicios de Ramírez y con 5 clases se obtuvo el carnet. ¿Cuántose ha pagado?

b) ¿Cuánto se hubiese pagado con 6 clases? ¿Y con siete?c) Realizar la gráfica en la que se relacione el costo para obtener el carnet según el

número de clases recibidas.

6. En el contrato de trabajo de un vendedor de libros ofrecen dos alternativas:Contrato tipo A: Sueldo fijo mensual de $100000Contrato tipo B: Sueldo fijo mensual de $80000 más el 20% del valor de las ventas quehaga de libros.a) Hacer una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes este vendedor según la

modalidad del contrato que eligiera tomando como variable independiente el valor delas ventas que haga, y como variable dependiente el sueldo.

b) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para que gane lo mismo con cualquiera delas dos modalidades de contrato? ¿Cuáles son esas ganancias?



7. Una empresa de automóviles dispone de 200 obreros para fabricar 100 coches al día, peroquiere aumentar la producción. Para ello, tiene que contratar más obreros de manera quecada 10 nuevos obreros produzcan 5 coches más.a) Dibujar la gráfica que relaciona el número de obreros con los coches fabricados al

día. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua?b) ¿Cuántos obreros se necesitaban antes para construir un auto al día? ¿Cuántos coches

fabricaba un obrero al día? ¿Y con la nueva contratación?

8. Se deja caer una piedra desde una torre de 245m. En la tabla siguiente se indica ladistancia recorrida por la piedra en distintos tiempos:

Tiempo transcurrido (en segundos) 0 1 2 3 4 5Distancia (en metros) 0 5 30 45 80 125

Realizar una gráfica de esta función, ¿se observa alguna regularidad en los datos de la tabla?

9. Para cada una de las siguientes gráficas, indicar cuál es el dominio de definición, dóndecrece y decrece la función; los máximos y mínimos, la continuidad; y si tiende a algúnvalor fijo. ¿Alguna de ellas es periódica? En caso afirmativo, decir cuál es el período.

10. Relacionar cada una de estas gráficas con una de las siguientes expresiones analíticas.

1) y = x+12) y = x3

3) y = x2



11. En un libro de pesca hemos encontrado la siguientegráfica que relaciona la resistencia de un tipo de hilosegún su grosor:

a) ¿Qué grosor debe tener el hilo de pesca (o sedal) deun pescador que quiera pescar salmones cuyo pesoesté comprendido entre 1000 y 1500 g?

b) ¿Con cuántos gramos se podría romper un sedal de0,2mm de grosor? ¿Y de 0,5mm?

12. Se sabe que el peso es proporcional al volumen. Las siguientes gráficas muestran larelación Peso Volumen para algunas sustancias.a) Consideremos la recta correspondiente a la

madera. Sobre ella podemos leer que 1 dm3

pesa 1,8kg . ¿Cuánto pesan 5 dm3 y 10 dm3?b) ¿Cuál es el peso por unidad de volumen?c) A aumentos iguales de volumen

¿corresponden aumentos iguales de peso?d) ¿Cuál será la ecuación que relacione el peso

con el volumen? Observar ahora las otrasgráficas y con el mismo planteamiento de laspreguntas anteriores llegar a las expresiones delas rectas que representan al granito y alcorcho sintético. ¿Cuál es la pendiente de estasrectas y qué significado tienen esas cantidades?

13. Dada la función 586 23 xxxxf , calcular 3f , 1f y

2

1f .

14. Escribir la expresión analítica de una función h tal que 21 h y 82 h .15. La energía eléctrica E consumida por un aparato eléctrico (bombita, televisión, lavarropas,

etc.) viene dada por la fórmula:tiempoPotenciaEnergía

si la potencia de cierto aparato es de 0,35 amperios, construir una tabla de valores y lagráfica correspondiente dando al tiempo valores de 0 a 10hs.

16. Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan el espacio (s)y el tiempo (t) son, en cada caso:

Viajero: tSv 400 Tren: 230500 tSt

Representar las gráficas correspondientes, ¿llega a producirse el alcance?, ¿en quémomento?



17. Dibujar un triángulo rectángulo isósceles ABC en el que el cateto AB mida 10cm. Marcarun punto P cualquiera sobre la hipotenusa y dibujar el rectángulo PEAD.a) Comprobar que el perímetro del rectángulo es

20cm cualquiera que sea el punto P elegido.b) Llamar x a la distancia PE y construir una tabla

dando valores a x y calculando el área delrectángulo.

c) Dibujar la gráfica correspondiente, ¿cuándo esmáxima el área?, ¿cuándo es mínima?

18. Representar las siguientes funciones y señalar dos puntos que pertenezcan a cada una deellas:

a) xy

b) xy 2

c) 2

2

1xy

d) 32 2 xy

e) 13 xyf) 22

2

1 xy

g) 175,0 xy

h) 22xy

19. Escribir la expresión analítica de alguna función que pase por los puntos:

a) 1,1 y 1,5 b) 0,0 y 4,2 c) 5,1 y 1,3


introducciÓn a la matemÁtica 2017 - facultad de ciencias

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