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Introducción

n el siglo XX, la probabilidad y la estadística fueron dos de las ramas de las matemáticas con mayor desarrollo y aplicaciones. Sus métodos se utilizan en la actualidad prácticamente en todas las ciencias y los negocios para interpretar

datos numéricos que se relacionan con fenómenos que presentan una gran variación, con el fin de transmitir información y tomar decisiones.

ELa estadística provee herramientas para recolectar, organizar, presentar, analizar,

interpretar y obtener conclusiones de datos. Existen tres ideas asociadas con la palabras “estadística”. Una tiene que ver con las cantidades numéricas que dan noticia de un evento, como los porcentajes de personas con SIDA en el mundo; la segunda idea se relaciona con la descripción y el descubrimiento de peculiaridades a partir de datos, y se asocia a la estadística descriptiva; la tercera idea tiene que ver con la ciencia, cuyo objetivo es extraer conclusiones probabilísticas de datos. En conjunto, las cuestiones relacionadas con las dos últimas abarcan desde el diseño de gráficos sencillos hasta modelos matemáticos que permiten la descripción, la explicación, la predicción y el control de situaciones en que los datos varían ampliamente.

Este es un libro de texto y a la vez un cuaderno de trabajo para estudiantes de nivel de bachillerato. Esto es, se ofrecen al estudiante diferentes ayudas didácticas para trabajar directamente en las páginas del libro. Ha sido escrito de manera formal y con un estilo tutorial: las ideas vertidas se explican y se argumentan; cuando es necesario, algunas se demuestran. A lo largo del libro se incluyen ejercicios y actividades de aprendizaje para que el alumno las resuelva trabajando con sus compañeros y adquiera así experiencia y conocimiento mediante diferentes ideas y situaciones estadísticas y aleatorias que induzcan su pensamiento al descubrimiento y uso de los conceptos elementales de la estadística descriptiva y la probabilidad elemental. Conforme se avanza, las actividades van incrementando su complejidad. Los datos generalmente son ficticios.

En la primera unidad del libro se desarrollan y aplican algunos procedimientos numéricos tabulares y gráficos de la estadística descriptiva, útiles para transformar y representar datos, así como para descubrir características relevantes que no son evidentes en ellos. Al resolver las actividades propuestas, el estudiante estará en posición de precisar lo esencial de los conceptos estudiados más allá de lo que es meramente evidente. Estas actividades se plantean en forma de problemas con guía para su resolución. Es decir, el planteamiento de un problema está seguido de preguntas estructuradas para facilitarles a los alumnos su avance hacia una solución a la vez que realizan algunos descubrimientos elementales. Esto permite culminar con problemas cuya resolución requiere la integración de diversos conceptos.

La probabilidad constituye el tema de la segunda unidad. Esta rama de las matemáticas construye modelos para explicar el comportamiento de fenómenos aleatorios, que son utilizados como descripciones matemáticas provisionales de tales fenómenos y se construyen con suposiciones acerca de ellos para realizar anticipaciones. El tratamiento de las actividades es equivalente al de la primera parte del texto: se usa la forma de resolución de problemas con guía. En esta unidad el alumno explorará usando

ideas y reglas básicas de la probabilidad, incluyendo las de independencia y probabilidad condicional.

A lo largo de este libro de texto y cuaderno de trabajo se presentan alrededor de 90 ejercicios relacionados inmediata y directamente con el desarrollo de los temas tratados. Se incluyen además 175 actividades de aprendizaje útiles para consolidar la aprehensión de los conceptos. Generalmente, las actividades de fin de unidad y las que aparecen al final del texto son integradoras: requieren del uso de varios conceptos para resolverlas; algunas de ellas se presentan con sugerencias de resolución para que el alumno puedo autoevaluarse. Se recomienda ante una duda al aplicar determinado concepto, recurrir a estas actividades y estudiar su aplicación y sus resultados. Una buena cantidad de situaciones experimentales acompañan a las actividades. Estas situaciones ayudarán al alumno a comprender cómo se aplican los conceptos que estudia y le proveerán de información para contestar preguntas relevantes relacionadas con el fenómeno bajo estudio. Es imprescindible que los alumnos las realicen para que profundicen en los significados de las ideas.

Los ejemplos en la obra son elementos importantes que se han incluido cuando son más relevantes. El alumno debe leerlos y estudiarlos, al igual que los pasajes escritos en todo el libro. Las matemáticas que no se leen no se llegan a comprender.

En la parte donde se estudia la estadística descriptiva se define una cantidad significativa de situaciones con datos estadísticos que no se aprovechan completamente en su momento, a causa de que se plantean cuando el alumno todavía no posee un conocimiento amplio de conceptos y procedimientos. El maestro puede usar los datos de esas situaciones al tratar temas más avanzados.

En el texto se destacan en letra itálica los conceptos más importantes, que se definen casi inmediatamente y también al final en un glosario. Pueden consultarse en cualquier momento para resolver dudas específicas sobre algún término.

La enseñanza de la estadística debe atender principalmente al análisis y la interpretación de datos. El maestro debe procurar que los alumnos entiendan los conceptos y les den sentido en la resolución de una actividad aprendizaje. Dejar la enseñanza de esta materia en el mero cálculo la hace trivial. La creación de gráficos permite la visualización y la posibilidad de describir y entender los fenómenos que se plantean; su utilización se convierte en un medio heurístico que debe propiciarse. En consecuencia, en el texto, sobre todo cuando es posible generalizar, se ha tratado de ejemplificar al respecto.

Desea agradecer el apoyo recibido por la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial para la elaboración de este texto. Mi más sincero agradecimiento a Ana Gema Moreno Rivera por el aliciente de sus comentarios y a Eduardo Mayorga Rodríguez por la revisión acuciosa del manuscrito original y las atinadas sugerencias que realizó para mejorar el texto.

Miguel Ángel Márquez Elías

Estadística descriptiva

Variables y representaciones

Distribuciones de frecuencias

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Propósito

o A identificar a la estadística como una ciencia aplicada.

o A desarrollar procesos de investigación donde se generan datos estadísticos.

o A organizar datos numéricos por medio de la distribución de frecuencias y a representarlos numérica y gráficamente.

o A analizar y entender la variación de los datos estadísticos y su interpretación para obtener conclusiones

o Desarrollando experimentos, actividades de investigación y ejercicios relacionados con datos estadísticos.

o Construyendo tablas de frecuencias y gráficos de datos numéricos.

o Redactando informes.

o Para comprender y resolver problemas de diferentes ámbitos de la actividad humana, donde los datos estadísticos numéricos requieren ser transformados en información o conocimiento, como en la administración,

la química, la física, la ingeniería, la medicina y otras áreas de desarrollo humano.

¿Qué aprenderás?

¿Cómo lo lograrás?

¿Para qué te va a servir?

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

VARIABLES Y REPRESENTACION

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE DISPERSION

Variables Toma de datos Promedios Rango

Medición Datos agrupados Media aritmética Percentiles

Escalas de medición

Tabla de frecuencias; clasificación de datos

La mediana Cuartiles

Estadística Construcción de una tabla de distribución de frecuencias

La moda Rango entre percentiles

Población y muestra

Gráficos y contexto Propiedades de la media, la mediana y la moda

Rango semiintercuartílico

Dato e información

Histograma de frecuencias y gráfico de espigas

Regresión lineal como promedio

Desviación media

Parámetro y estadístico

Polígono de frecuencias Relación entre “S” y

la simetría de una distribución de frecuenciasLa variación y los

problemas estadísticos

Ojiva menor que

Medida de asimetría

Posibilidad y evento

Sesgo y simetría

Análisis estadístico

Varianza y desviación estándar

1.1Variables y representaciones

1.1.1VariablesLee y analiza los siguientes dos textos.

1 En la física, el tiempo que tarda un objeto para recorrer la distancia al ser arrojado en caída libre con velocidad inicial v0 está dado por

t=√−2 yg

donde “y” es la altura desde la cual se lanza, y ”g” es la constante de gravedad en la Tierra. En un experimento, se lanzan por separado 10 piedras de 1 kg de peso desde una altura de 100 m y se mide el tiempo que tarda en caer una.

2 Una empresa de seguros quiere saber tanto la proporción de personas que viven en 4 diferentes regiones del país, las cuales padecen una enfermedad de los pulmones y fuman, como la medida en que lo hacen. Para ello, en varios hospitales de la república toman una muestra aleatoria de 950 individuos que padecen enfermedad de los pulmones. Los datos para la investigación los recaban respondiendo lo siguiente acerca del paciente:

a Edad: _____ años.

b ¿Padece una enfermedad pulmonar? Sí ___ No ___

c ¿Fuma? Sí ___ No ___

d Si fuma y padece de los pulmones, en promedio, ¿cuántos cigarrillos consumía al día? Más de 9___ Entre 9 y 4___ Menos de 4___

En los dos textos existe algo que se desea conocer, y que se refiere a características de interés correspondientes a un fenómeno en estudio. Esas características pueden medirse y, al hacerlo, toman diferentes valores. En el primer caso se observa y se mide el tiempo que tarda en caer cada piedra. En el segundo, las características que se estudian son varias: edad del paciente, si padece enfermedad de los pulmones, si fuma y cuánto fuma. A estas características se les llama variables.

Variable: Es una característica que pertenece a un ser u objeto y asume diferentes valores al ser medida o controlada en una investigación o experimento.

La estadística es la ciencia que nos permite aprender a partir de datosJON KETTENRING, American statistical association.

Ahora bien, las variables son de varios tipos. Observa las siguientes variables del segundo texto:

Edad: 56 años. ¿Padece una enfermedad pulmonar? Sí _x_ No ___ ¿Fuma? Sí _x_ No ___ Si fuma y padece de los pulmones, en promedio, ¿cuántos cigarrillos consumía al

día? Más de 9 ___ Entre 9 y 4 _x_ Menos de 4 ___

¿Qué hace diferente a estas variables?

TIPOS DE VARIABLES

La ciencia y la investigación generalmente centran su interés en algunas variables, de las cuales existen varios tipos. Así, tenemos que pueden ser según se define la figura 1.1.

Figura 1.1 Tipos de variables

Revisa los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.1

Cada año en la Feria Nacional de San Marcos en Aguascalientes, las autoridades municipales cuentan el número de espacios comerciales rentados a comerciantes. Esta variable es cuantitativa discreta.

Ejemplo 1.2

Para la ciudad de Mérida el turismo es muy importante. La nacionalidad de los turistas se observa constantemente. Esta variable es de tipo cualitativo, con categorías: alemán, francés, italiano, estadounidense, canadiense, etcétera.

Ejemplo 1.3

Las toneladas producidas por la cosecha anual de tomate en Sinaloa es una variable cuantitativa según su tipo, y según su densidad es continua, por que la cantidad de toneladas puede tomar cualquier valor de un intervalo.

Actividades de aprendizaje

Analiza los planteamientos en los siguientes dos casos y después contesta lo que se te pide. Compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. En caso de tener alguna duda, consulta a tu profesor(a).

1 ENCUESTA EN JALAPA

Se realiza una encuesta en las afueras de la presidencia municipal de Jalapa, Veracruz, para conocer la opinión de los ciudadanos acerca de la calidad del servicio municipal. El cuestionario indaga sobre lo siguiente.

Sexo de quien contesta: M ___ F ____ Edad: ____ años. Casa: Propia ___ Pagándola ___ Rentada ___ Tiempo de residencia en Jalapa: ____ años. Calidad de servicio recibido en las oficinas del municipio:

Excelente ___ Muy bueno ___ Bueno ___ Regular ___ Malo ___

a Tres de las variables anteriores son cualitativas. ¿Cuáles son?

b ¿Qué categorías corresponden a la variable sexo?

c ¿Cuáles son las variables cuantitativas?

d ¿Qué valores puede tomar la variable tiempo de residencia en Jalapa?

2 MONITOREO DEL MONÓXIDO DE CARBONO

Diariamente se mide la concentración del monóxido de carbono en el aire de la ciudad de México. Los registros se realizan en mg/m3. La máxima concentración permitida del gas en el aire es de 10 mg/m3. Los últimos 17 registros del mes de agosto de 2005 fueron los siguientes.

8.5 7.3 9.4 6.2 10.1 3.8 4.2 10.3 7.89.3 8.1 9.8 4.1 3.5 9.7 8.4 7.6

a ¿Cuál es la pregunta del observador?

b ¿Cuál es la variable que se observa?

c ¿En qué unidad se mide la variable?

d ¿De qué tipo y densidad es la variable? ¿Por qué?

e ¿Qué valores tomo la variable los días sábado y domingo?

1.1.2 Medición

Se desea conocer la temperatura en grados centígrados a la cual hierve el agua en la ciudad de México, que se ubica a una gran altitud y donde la presión atmosférica es de unos 450 mm Hg. Para ello, se coloca agua en un recipiente y se somete a calentamiento hasta que hierve. El experimento se repite 50 veces, lo que arroja los datos que se han ordenado de menor a mayor y por columnas en la siguiente tabla.

Tabla 1.1 Registros de temperatura a la que hierve el agua en la ciudad de México (en ºC)87.41 87.75 87.81 87.86 87.90 88.01 88.08 88.12 88.28 88.3187.60 87.76 87.82 87.86 87.93 88.02 88.09 88.15 88.29 88.3187.69 87.77 87.84 87.87 87.96 88.04 88.09 88.17 88.30 88.3487.71 87.77 87.85 87.89 88.00 88.05 88.11 88.19 88.30 88.3587.73 87.79 87.86 87.89 88.01 88.08 88.12 88.21 88.30 88.45

De este ejemplo, se instituye que las conclusiones de las ciencias y la toma de decisiones se basan en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas y cualitativas de variables. Las mediciones se usan para establecer hipótesis o hacer cálculos que permitan predecir cantidades, resolver problemas o tomar decisiones económicas.

Las cantidades físicas que se usan en la ciencia y el trabajo tecnológico o administrativo se describen en términos de una comparación o medición con un patrón ya definido, como el metro, el kilogramo, el litro, el segundo, el amperio, la mol, etcétera.

Medición: Es el proceso por el cual se obtiene una medida para una propiedad de un elemento de muestreo, o un conjunto de ellos con el objeto de compararlos.

Medida: Es el número de unidades que posee una característica en estudio.

TIPOS DE MEDICIÓN

Para medir se utilizan instrumentos de medición, los cuales, según su capacidad, determinan una medida quizás con varios decimales. Las medidas comparadas con patrones estándares son aproximaciones, ya que diversos factores pueden producir un error, como el instrumento con que se mide, las condiciones ambientales al medir, el número de mediciones hechas, la experiencia de quien mide y la uniformidad de lo que se mide, entre otros. Estos valores obtenidos mediante medición se conocen solamente dentro de unos límites de incertidumbre, por una aproximación, con más o menos precisión.

Las medidas se obtienen por medición directa o indirecta, redondeando números a una determinada cantidad de cifras significativas. En la figura 1.2 se describen estos tipos de medición.

Figura 1.2 Tipos de medición

Cabe aclarar que las únicas medidas exactas podrían obtenerse por conteo en un sistema que no cambie. Por consiguiente, una medición se considera como un acercamiento a la

medida exacta. Para que sea útil una medida aproximada, debe informarse a quien la usa lo cerca que está de ser exacta.


Analiza los siguientes dos casos de medición y después contesta lo que se te pide. Compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. En caso de tener alguna duda, consulta con tu profesor(a).

1 EL DIÁMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

a En seguida se muestra una circunferencia. Por medición directa, obtén la magnitud aproximada de su diámetro en centímetros.

Para calcular el perímetro de la circunferencia, debes sustituir la medida hallada del diámetro d en la ecuación

P = πd.El perímetro así encontrado se obtiene por medición indirecta.

b El radio promedio del Sol es de 6.96 X 108 m. ¿Puede obtenerse esta magnitud por medición directa? ¿Por qué?

c El número de estrellas en una galaxia, ¿sólo puede calcularse por observación indirecta? ¿Por qué?

2 “¿CUÁNTOS SON?”

El conteo es una forma de medición. En tu grupo cuenta el número total de alumnos según su sexo, incluyéndote. Utiliza la tabla siguiente para dar la respuesta.

Sexo CantidadMasculinoFemenino

a ¿El conteo fue directo o indirecto?

b El resultado del conteo, ¿es exacto? ¿Por qué? Explica.

c ¿Es posible contar el número de alumnos por sexo de forma indirecta? ¿Cómo?

ERRORES EN LA MEDICIÓN

El error es un concepto fundamental en la ciencia, y se asocia a los factores que inciden en una medición, los cuales provocan pérdida de exactitud en las conclusiones. Desde el punto de vista de la medición:

Error: Es la diferencia entre una medida aproximada y la exacta.

Puede haber dos tipos de errores en la medición, los cuales se describen en la figura 1.3.

Figura 1.3 Tipos de errores en la medición

En seguida se ejemplifican estas definiciones:

Ejemplo 1.4

Al aterrizar un avión sobre la pista de un aeropuerto, es deseable que el cuerpo del avión descienda alineado sobre la línea central que divide la pista; sin embargo, esto es casi imposible. El error es aleatorio, pues ocurre por causas que no puede controlar el piloto, quien por ejemplo no puede ver la línea o controlar la velocidad del viento en el exterior.

Ejemplo 1.5

Se trazan cuadrados de 10 centímetros de lado sobre un cartón y se cortan con tijeras con poco filo. Se mide el área de los cuadrados. El error puede considerarse sistemático, porque depende del filo de las tijeras.


Lee y analiza los siguientes ejemplos y determina el tipo de error al que hacen referencia; argumenta tu respuesta. Comenta con tus compañeros de grupo. Si tienen dudas, pide asesoría a tu profesor(a).

1 Se lee en la escala de un instrumento de medición y se toma siempre una medida por exceso o por defecto ¿Qué tipo de error se representa en este ejemplo?

2 En un juego se lanzan dos dados al aire y se suman los puntos de las caras que caen hacia arriba. Gana quien obtiene 7 puntos.

a ¿Se pueden controlar los factores que influyen en el resultado?

b ¿Es posible que la suma siempre sea 7?

c ¿ Qué tipo de error se da cuando la suma no es 7?

3 Se siembran semillas de plantas genéticamente iguales en cuatro macetas que tienen tierras diferentes: una más nutritiva que otra. Se mide el crecimiento de las plantas. ¿Qué tipo de error representa?

4 Se calientan tortillas sobre un comal calentado por carbón ardiente. Se mide con un cronómetro el tiempo que tarda una tortilla en calentarse a 50 grados. No siempre se obtiene el mismo tiempo. ¿Qué tipo de error ocurre?

5 Se observan las calificaciones finales de los estudiantes de un grupo escolar de educación secundaria. Lo deseable es que todo alumno obtenga 10. ¿Qué tipo de error ilustra este ejemplo?

6 Se cuenta el número de fallas en un lienzo de tela blanca que se inspecciona para determinar su calidad. Ese lienzo pasa sobre una pantalla de luz a una velocidad que conviene al supervisor. A veces no se cuentan todas las fallas. ¿Qué tipo de error se comete?

7 Se levantará una encuesta en una zona rural del estado de Guerrero. Los encuestadores realizarán algunas preguntas a los encuestados, pero no fueron preparados para ello. ¿Qué tipo de error pueden tener los resultados de las encuestas?

En el proceso de medición importa calcular la medida con su error. La medida del error se llama incertidumbre experimental.

Analiza la siguiente situación.

Ejemplo 1.6

Si se mide el tiempo que tarda la masa de maíz en convertirse en tortilla al exponerla al calor en una máquina, se notará que ese tiempo varía; se puede obtener el tiempo promedio con una incertidumbre o precisión que depende de la calidad del instrumento de medición. Por ejemplo, (1.20±0.05) min.

Entonces, la incertidumbre es de 0.05 min, lo cual significa que la masa de maíz en esa máquina con “gran probabilidad” se convierte en tortilla entre 1.15 min y 1.25 min. El resultado del experimento se registra con un número, indicando adicionalmente la incertidumbre. Si la incertidumbre es pequeña, quiere decir que se han obtenido resultados altamente significativos, precisos. Sin embargo, aun en resultados que presentan algún grado de incertidumbre, varias de las cifras pueden considerarse exactas.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

El concepto de exactitud está relacionado con la medición e implica un uso técnico. Las medidas expresadas con cifras decimales son muy comunes en la ciencia, ya que permiten aproximarse a la medida exacta que se desea conocer. Por ejemplo, al medir el largo de una mesa con una regla, se registra una magnitud de 93.76 cm (véase la figura 1.4); este número se aproxima a la medida real.

Las cifras 9,3 y 7 son exactas porque no hay incertidumbre al respecto. Se manifiestan por la medición directa. La otra cifra podría ser 5 o 7, el mismo 6, pues este dígito sólo representa una aproximación a la medida real. Sin embargo, todas estas cifras se consideran significativas. Estudia los siguientes ejemplos.

Figura 1.4 Cifras exactas y aproximadas al medir el largo de una mesa directamente

Ejemplo 1.7

En un laboratorio de química se mide el contenido de hidroxilo de sodio, NaOH, en una solución acuosa. Una vez realizada la medición, se escribe el resultado: 209.3485 gr. En este caso las cifras 2, 0, 9, 3, 4 y 8 son exactas. El 5 es incierto, al igual que en el caso anterior es una aproximación a la medida real. Nuevamente, el instrumento de medición permite establecer esta medida no a causa de que sea inexacto, sino a que posee gran precisión, hasta 0.0001 g.

Ejemplo 1.8

Se registraron cuatro tiempos que tardó un velocista en recorrer 100 metros; una de las lecturas que se obtuvieron fue 10.0 segundos, donde el 0 de los 10 segundos es exacto. En cambio, si se tuviera 9.807 segundos, el 7 no necesariamente es exacto, pero sí es significativo. Por tanto, es aproximado.

Ejemplo 1.9

Este caso permitirá mostrar la importancia de los ceros para entender lo referente a las cifras significativas. En un laboratorio se mide el peso de una disolución de adrenalina con un carbonato y se obtiene 0.0003400 g. En este caso las cifras significativas son el 3, el 4 y los dos ceros a la derecha del 4. Los ceros a la izquierda del 3 no son significativos porque no añaden cantidad alguna a la medición.

Observa que la cantidad 10 mililitros de agua pesada puede expresarse como 0.010 litros. Es obvio que el cero entre el punto decimal y el 1 no representa cantidad alguna. Los ceros como últimas cifras de una lectura física son importantes en la significación de la medida.

Cifras significativas de una medición: Son todas las cifras exactas y la última a la derecha de una cantidad que se considera aproximada.

No obstante, las lecturas o registros aproximados que se hacen en las mediciones tienen una variación de error relativo, que se puede calcular y determinar.

ERROR RELATIVOUn trozo de papel se pesa en una balanza cuya precisión es de 0.01 g. – esto es, una centésima de gramo, no más -, por lo que el peso del papel es de 8.54 0.01 g, donde 0.01 g indica con cuanta precisión se realiza la medida, lo cual, relacionado con el último digito del peso anunciado, o sea el 4, indica que se tiene una incertidumbre de al menos una unidad. Así, el 8 y el 5 son cifras exactas y significativas, en tanto que el 4, aunque incierto, es significativo. De esta forma la notación anterior indica que existe un error relativo en la medición, en el cual se calcula en porcentaje como sigue, usando la fórmula

Error Re lativo= ErrorAbsolutoMedida

x 100

Así pues, tomando los datos del ejemplo:

Error absoluto: 0.01 g Medida: 8.54 g Error relativo: x

Se tiene que el error relativo de la medida anterior es

Error Re lativo=0 . 018 .54

x100=11.70 %


En equipos de cuatro integrantes, lean el enunciado del siguiente ejercicio y resuelvan los cuestionamientos que se les plantean. Posteriormente intercambien y revisen sus respuestas con los demás compañeros del grupo.

1 ESTATURAS DE ALUMNAS Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Se tiene interés en conocer las estaturas de las 48 alumnas de los grupos de 1º A y 1º B de la carrera de técnico laboratorista clínico en el CBTis 168. Para ello se utiliza un instrumento que permite medir con exactitud hasta milímetros. Las mujeres no usan zapatos cuando se les mide. Se obtienen los resultados anotados en la siguiente tabla. Las estaturas se obtienen en centímetros.

Tabla 1.2 Estaturas en centímetros de las alumnas de los grupos 1º A y 1º B. Datos ordenados del menor al mayor por columnas.

150.91 154.32 156.59 157.97 159.19 159.71 160.38 161.69152.60 154.44 156.75 158.14 159.32 159.76 160.72 162.24153.50 155.44 156.75 158.53 159.43 159.82 161.28 162.81153.66 155.45 157.62 158.90 159.45 159.84 161.44 162.83154.06 155.67 157.67 158.95 159.66 159.91 161.51 162.92154.30 156.55 157.73 159.09 159.67 160.21 161.52 167.62

a ¿Cuál es la variable que se observa?

b ¿Cuántas cifras significativas tiene cada medida? ¿Por qué? Explica.

c Si se suman todas las medidas, ¿cuántas cifras significativas tendrá el resultado? ¿Por qué?

NOTACIÓN SISTEMATIZADA

Al trabajar con mediciones, debe saberse que existen reglas de escritura para los números que representan medidas de magnitudes. Dichas magnitudes tienen tanto una representación simbólica convencional y sistematizada así como implicaciones en el cálculo o medición indirecta.

El adjetivo convencional quiere decir que la representación es aceptada generalmente por quienes usan esos números. Por lo que la escritura aceptada de las medidas se puede resumir en varias reglas.

Reglas para determinar y escribir las cifras significativas de una medición

1) Todas las cifras diferentes de cero son significativas: 93.78, 544.1252) Los ceros entre cifras diferentes de cero son significativos: 205.3485, 0.10005.3) Un número entero que termina en ceros implica que no se sabe si el cero o los

ceros son significativos (10, 13700), a menos que se especifique (10.0, 54.20).4) Los ceros en una cantidad menor que 1, entre un punto decimal y una cifra

diferente de cero, no son significativos: 0.0003400, 0.0985) Los ceros a la derecha de una cifra diferente de cero que esté después del punto

decimal son significativos: 0.0003400.

La notación exponencial permite evitar ambigüedades respecto a los ceros en que termina una medida. Considera los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.10

La masa del Sol se estima en 2.0 x 10 30 kg. Sólo hay dos cifras significativas: 2 y 0.

Ejemplo 1.11

La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es 12.0763 x 10 5 km. Existen seis cifras significativas en esta cantidad: 1, 2, 0, 7, 6 y 3.

Ejemplo 1.12

La velocidad en carrera de un ácaro del trébol es de 8.5 x 10 –1 cm/s. Las cifras significativas son el 8 y el 5.

OPERACIONES CON MEDIDAS APROXIMADAS

Dado que se obtienen medidas no sólo para compararlas directamente (ordenarlas) si no para efectuar operaciones con ellas al hacer mediciones indirectas, es necesario seguir normas.

Adición y sustracción de medidas aproximadas

El resultado de una adición o de una sustracción de medidas aproximadas tendrá tantas cifras decimales como la medida que menos tenga, por lo que frecuentemente habrá que redondear. Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.13

12 + 6.4 = 18 (el signo = se le “aproximadamente igual a”).

Ejemplo 1.14

12 + 6.7 = 19

En los dos casos anteriores se anotan los resultados sin decimales porque 12 no tiene decimales.

Ejemplo 1.15

18.095 + 12.3 = 30.395, pero se redondea a 30.4 porque 12.3 sólo tiene una cifra decimal.

Ejemplo 1.16

100.003 – 0.050 = 99.953, aunque 100.003 tenga seis cifras significativas y 0.050 dos.

Ejemplo 1.17

30.145 - 12.16 = 17.985, que se redondea a 17.99.

Multiplicación y división

Al multiplicar o dividir dos medidas aproximadas, el resultado tendrá tantas cifras significativas como haya en aquella medida que tenga menos. Analiza los siguientes ejemplos y responde las preguntas que se te plantean.

Ejemplo 1.18

5.4 x 6.5 = 35. ¿Por qué?

Ejemplo 1.19

12.16 m x 4.1 m x 0.50 m = 24.928 m3, pero se redondea a 25 m3. ¿Por qué?

Ejemplo 1.20

14 . 30 .012 = 1191.66666... Pero se escribe 1.1 x 10 3. Porque 0.012 tiene sólo dos cifras significativas.

Ejemplo 1.21

0 .50812 . 40 = 0.0409. ¿Por qué?


En pareja con un compañero de tu grupo, realiza las siguientes operaciones y expresa las respuestas con el número correcto de cifras significativas. De ser necesario, usa potencias de 10 para obtener la respuesta.

10.240 + 0.086

2 20.004 – 12-06

3 100 + 0.5

4 0.1004 – 0.03054

5 2.09 x 1.5

6 20.01 x 5.03

7 0.00004 x 0.0005

8 (2.05 x 10 4) (1.5 x 10 4)

9

0 .041 .2

10

150 .55030 . 456

1.1.3Escalas de Medición

La sismología es una ciencia reciente. En el siglo XIX el inglés John Milne (1859 – 1913) fue a Japón a estudiar terremotos, lo que le permitió predecir que éstos podrían detectarse en cualquier lugar de la Tierra con un péndulo sensible a las vibraciones de la corteza terrestre. Así, construyo los primeros sismógrafos.

Luego, para medir la intensidad de un sismo se crearon escalas. En 1935 surgió la llamada escala de Richter, que se universalizó pronto. Consta del siguiente formato numérico y matemático:

0.0: Ausencia de ondas sísmicas provocadas por un terremoto 2.5: Sismo apenas predecible, pero registrado por sismógrafos 3.5: Sismo percibido por mucha gente 4.5: Sismo que puede provocar daños menores 6.0: Sismo destructivo 8.0 o mayor: Terremoto devastador

En teoría, puede haber sismos con magnitud 5.670318... Esto sólo depende de la exactitud con que pueda medir el instrumento.

El terremoto que asoló a la ciudad de México en 1985 tuvo una magnitud de 8.1 en la escala de Richter.

Escala: Es una organización de cualidades o de cantidades determinadas por unidades predefinidas que denotan o no una intensidad.

Cabe mencionar que las diferentes variables (cualitativas o cuantitativas) que pueden ser parte de una investigación o de un experimento son tratadas con escalas o medidas para

estudiarlas estadísticamente. Por lo mismo, las escalas se utilizan para expresar variables por su magnitud o por su cualidad.ESCALAS DE MEDICIÓN DE CUALIDADES

Las escalas de medición de cualidades se aplican mucho en las ciencias sociales, por ejemplo en la sociología, la educación y la administración. Se tienen dos tipos de escalas de medición de cualidades: nominal y ordinal.

Escalas nominales

Una escala nominal se construye con categorías que constan de nombres o letras, las cuales se excluyen unas a otras, son exhaustivas y no determinan intensidad. En una investigación, una observación deberá corresponder a una categoría. Se pueden contar y construir frecuencias relativas o porcentajes con los elementos de muestreo pertenecientes a cada categoría para determina su magnitud. En la tabla 1.3 se ilustra la construcción de categorías nominales para diversas variables.

Tabla 1.3 Escalas de medición categóricas nominales VARIABLE CATEGORÍAS

Sexo Femenino, masculinoEstado civil Soltero, casado, viudo,

divorciado, unión libreColor de la piel Negra, blanca, morena, amarillaCalidad de un objeto Pasa, no pasa

Escalas ordinales

Una escala ordinal consta de categorías ordenadas que señalan la intensidad de la variable. Se asignan los elementos de muestreo a ellas, según su cualidad. Por conteo, se precisa la magnitud o presencia de cada categoría. Igual que en la nominal, los conteos pueden transformarse en frecuencias relativas o porcentajes. En la tabla 1.4 se ilustra la construcción de categorías ordinales para diversas variables.

Tabla 1.4 Escalas de medición de categorías ordinalesVARIABLE CATEGORÍAS

Tamaño de la frente Grande, mediana, pequeñaCalidad del servicio Excelente, bueno, regular, maloNivel de las prestaciones Elevado, satisfactorio, suficiente, bajoIntensidad de un sismo (escala de Mercalli)

Grado I, grado II, ..., grado XII

Escalas de medición por magnitud

Las escalas de medición por magnitud generalmente se utilizan en las ciencias naturales y aplicadas con la física, la química, la ingeniería y la biología. Se tienen dos tipos de escalas de medición por magnitud: de intervalo y de relación.

Escalas de intervalo

En las escalas de intervalo se utilizan números para determinar la intensidad de una variable y reflejar desigualdad entre características. Se construyen partiendo de un origen arbitrario, con una unidad de medida convencional. La variable puede asumir valores a la derecha y a la izquierda del origen, aun si es un 0. Se puede operar aritméticamente con los valores admitidos para efectuar cálculos. En la tabla 1.5 se presentan algunas variables que se miden usando rangos de magnitud.

Tabla 1.5 Escalas de medición por intervaloVARIABLE RANGO

Calificaciones finales de los estudiantes de un grupo de bachillerato

0 < x < 10, y 6 es aprobatoria

Cociente intelectual (CI) 0 < CI < 200, y 100 es normalTemperatura (T) sobre la Tierra - 90 ºC < T < 50 ºC, y 0 es la temperatura a

la cual se congela el agua

Escalas de relación

Las escalas de relación utilizan números para señalar la intensidad de una variable. Existe un cero absoluto determinado por la naturaleza de las variables; esto es, las medidas sólo pueden ser mayores que 0. Con los resultados se pueden efectuar operaciones aritméticas. En la tabla 1.6 se presentan algunas variables que se miden en un rango de relación.

Tabla 1.6 Escalas de medición por relaciónVARIABLE RANGO

Peso de un elefante (E) 0 kg < E < 7000 kgVelocidad a la que corre un caballo (C) 0 km/h < C < 90 km/hIngresos familiares mensuales (I) I 0 pesosVentas en unidades de un periódico de circulación diaria (D)

0 D 100 000


Trabaja con uno de tus compañeros de grupo; lean y analicen el siguiente planteamiento. Después, contesten las preguntas que se les presentan. Para cualquier duda o aclaración consulta con tu profesor(a).

1 Realizarán el siguiente experimento en clase. Los alumnos del grupo contestarán el siguiente cuestionario de manera individual, subrayando la opción que coincida con su opinión. Deberán contestar con honestidad. Se levanta la encuesta con el objetivo de conocer su percepción acerca de la calidad de determinado servicio que se les ofrece en su escuela. Los datos se contarán y se recopilarán en la tabla que se da enseguida. Después, contesten las preguntas presentadas a continuación de la tabla.

a En general, el servicio administrativo esExcelente Muy bueno Bueno Regular Malo

b El estado del campus esExcelente Muy bueno Bueno Regular Malo

c La preparación de los maestros esExcelente Muy bueno Bueno Regular Malo

d El servicio de las bibliotecas esExcelente Muy bueno Bueno Regular Malo

PREGUNTA

EXCELENTE MUY BUENO BUENO REGULAR MALO TOTAL

a b c d

¿Cuál es la pregunta que se plantea indirectamente? ¿Cuáles variables se utilizan para medir a la variable más general: “calidad del

servicio”? ¿En qué escala se miden las variables? ¿De qué tipo son las variables? Según su densidad, ¿cómo se definen las variables? De acuerdo con los resultados, ¿cuál parece ser el nivel de la calidad del servicio para

los integrantes de tu grupo, según cada categoría estudiada?

1.1.4Estadística

En una escuela secundaria, después de que se aplicaron los primeros exámenes del año escolar, la directora desea saber el grado de conocimiento académico de los jóvenes estudiantes de nuevo ingreso, según su sexo y turno. Para ello, de los 800 alumnos inscritos en el primer grado toma una muestra al azar de 160 y calcula el promedio de sus calificaciones, obteniendo los resultados que se observan en la tabla 1.7.

Tabla 1.7 Promedio de calificaciones

SEXOTURNO

MATUTINO (80) VESPERTINO (80)Masculino (80) 8.1 7.7Femenino (80) 8.4 8.2

a ¿Qué poblaciones se estudian?

b ¿Qué variable se mide? ¿De qué tipo y densidad es?

c ¿En qué escala se mide la variable?

d ¿Por qué se tomó una muestra al azar?

e ¿Por qué se organizaron los datos?

f ¿Qué significado pueden tener los resultados obtenidos?

El inquirir – es decir, el preguntarse acerca del estado de una situación o cosa -, la medición de variables, la clasificación de datos numéricos y la comparación de ellos son imprescindibles en la búsqueda de información con la cual se obtenga una conclusión y se tome alguna decisión. Los datos numéricos asociados a variables de interés en una investigación requieren ser tratados científicamente para originar resultados útiles.

La estadística es una rama de las matemáticas que contribuye a otras ciencias con métodos que hacen posibles conclusiones correctas con una precisión deseada a partir de datos numéricos que presentan variación y que se asocian a una o varias variables. Por tanto, la naturaleza y calidad de los datos hacen factible incrementar la certidumbre en las conclusiones estadísticas.

En la actualidad es imposible pensar que en la actividad intelectual humana relacionada con la investigación y la toma de decisiones no se utilicen datos estadísticos que deban obtenerse y analizarse correctamente.

La estadística permite obtener información a partir de datos.

Estadística: Es la ciencia de 1) la recopilación, 2) la organización, 3) el análisis y 4) la extracción de conclusiones a partir de datos.

La palabra estadística tiene dos significados que relacionan conjuntos de conceptos y métodos para tratar datos. Esos significados se ilustran en la figura 1.5.

Figura 1.5 Significados actuales de la palabra estadística

Los datos numéricos que estudia la estadística corresponden a un fenómeno o ámbito de interés y se caracterizan porque varían, esto es, al obtenerlos de cuando se observa un fenómeno natural o artificial adquieren valores diferentes. Como consecuencia de esto, deben organizarse para comprender su comportamiento.

Los datos organizados hacen posible una descripción adecuada del fenómeno y la respectiva interpretación y comprensión que incluye conjeturas o conclusiones definitivas acerca de él y que representan la información deseada. Ésta representa un estado de comprensión acerca del fenómeno (véase la figura 1.6).

Figura 1.6 Diagrama de la obtención de información

En un proceso de investigación estadística se suele utilizar las herramientas de la estadística descriptiva y de la inferencial. Dicho proceso está formado por los siguientes componentes característicos de los que depende en gran medida la calidad de las conclusiones.

1) Una o más preguntas acerca de un fenómeno natural o un proceso artificial.2) La definición de las variables de interés.3) La definición del universo o población que comprende a las mediciones o conteos

de interés relacionados con las variables.4) La determinación de un plan para obtener los datos numéricos (mediciones).5) La toma de una muestra o censo.6) El análisis de los datos: indagación de la forma de la distribución de frecuencias de

los datos o variables mediante tabulación, graficación o cálculos.7) La conclusión acerca del probable comportamiento de las variables en el universo

o población.8) La aplicación de los resultados: decisión.

Estos componentes constituyen una situación estadística (véase la figura 1.7) de la que se desea obtener información acerca del comportamiento de un fenómeno caracterizado por una población o universo de mediciones, mediante una muestra o censo.

Figura 1.7 Esquema de una situación estadística


Lee y analiza lo siguiente. Luego contesta lo que se te pide. Puedes trabajar con un compañero. Si tienes alguna duda, consulta a tu maestro(a).

1 ESTADÍSTICAS DE LA DISTANCIA DE LA TIERRA AL SOL

El astrónomo Johannes Kepler (1571 – 1630) descubrió que los planetas del sistema solar se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, pero las cuales son casi circunferencias. En un observatorio astronómico se ha decidido medir la distancia en kilómetros de la Tierra al Sol: se obtienen diez datos al azar en un periodo de cinco meses. Enseguida se muestran los datos en el orden en que fueron tomados: 149 900 000; 149 800 000; 149 600 000; 149 400 000; 148 900 000; 148 600 000; 148 500 000; 148 400 000; 148 200 000; 148 050 000.

Trayectoria elíptica de la Tierra alrededor del Sol

a) ¿Cuál es el fenómeno que se estudia en el observatorio?b) ¿Qué preguntas se plantearía Kepler en su investigación? Externa dos posibles.

c) ¿Cuál es la variable que se estudia en el observatorio?d) ¿Qué unidad tiene esa variable?e) ¿De qué tipo y densidad es la variable?f) ¿En qué escala se mide esa variable?g) ¿El universo o población de las mediciones de la distancia de la Tierra al Sol

comprende sólo estos 10 datos? ¿Cuántos datos pueden obtenerse de esa distancia?

h) ¿En qué hecho percibes que existe variabilidad en los datos?i) ¿Crees que las distancias obtenidas son medidas exactas o aproximadas? ¿Por

qué?j) Al observar los datos, ¿qué puede inferirse acerca del desplazamiento de la Tierra

alrededor del Sol?k) ¿Cuál fue la conclusión de Kepler?l) ¿Kepler realizaría un procedimiento como el descrito en una situación estadística?

¿Por qué? Explica.

1.1.5Población y muestra

Población y muestra son conceptos y tienen que ver directamente con la materia prima de la estadística: las variables y las mediciones o datos numéricos. Para explicar sus diferencias y definirlos, tomaremos como referencia la siguiente situación.

En la Sierra Madre Occidental, en los estados de Colima, Jalisco, Nayarit y Zacatecas, viven los indígenas de la etnia Huichol. Una socióloga desea averiguar el peso y la altura de las niñas entre 1 y 8 años inclusive; define tres poblaciones o universos diferentes tomando en cuenta distintos factores:

A. El peso y la altura de las niñas huicholas con edades desde un año hasta inclusive ocho años cumplidos.

B. El peso en kilogramos y la altura en metros de las niñas huicholas con edades desde un año hasta inclusive ocho años cumplidos pero no más de nueve, que viven en la Sierra Madre Occidental.

C. El peso en kilogramos y la altura en metros de las niñas huicholas con edades desde un año cumplido hasta menos de nueve años cumplidos, que no padecen alguna enfermedad; hijas de padres huicholes que en el año 2007 formen parte de comunidades indígenas enclavadas en la Sierra Madre Occidental en los estados de Zacatecas y Nayarit.

Consideraciones:

1) Observemos que en la tercera definición de población se incluyen más factores, lo cual la hace muy específica.

2) En la población A, ¿podría incluirse a las niñas que viven en las ciudades? ¿Por qué?

3) En la población B, ¿podrían incluirse niñas huicholas de cualquier estado de la República Mexicana? ¿Por qué?

POBLACIÓN

Una población debe especificarse correctamente antes de iniciar un proceso de indagación sobre ella. Esto implicará un conocimiento preciso de la ubicación de la misma, sus integrantes, la variable que se desea estudiar y su relación con el tiempo, entre otros aspectos que permitirán tomar decisiones correctas sobre diferentes elementos que intervienen en la calidad de los datos. Esto quiere decir que entre más factores se incluyan en la definición de una población, disminuirá la variación de las mediciones; esto es, los datos numéricos se parecerán más.

Por ejemplo, si se estudia el grado de conocimientos de matemáticas de los alumnos de tu bachillerato al terminar el quinto semestre, mediante un mismo examen (eliminando que cualquier grupo de estudiantes sea favorecido de alguna forma) parece obvio que definir a la población como “los alumnos del bachillerato que acaban de terminar el quinto semestre”, la diferencia entre la calificación mayor y la menor será más grande que si se define a la población como “los alumnos de bachillerato del sexo masculino que acaban de terminar el quinto semestre con un promedio académico igual o mayor que 8.5”. Esta segunda población conforma un grupo de estudiantes más homogéneo y con promedios de calificación más parecidos que en la primera.

En la figura 1.8 se describen cinco factores esenciales que generalmente se utilizan para definir una población o universo de investigación. No siempre se utilizan todos, pero la variable, la unidad de medida y los objetos o individuos que poseen la característica son imprescindibles.

Figura 1.8 Factores con que se construye la definición de una población

En la tabla 1.8 hemos identificado cuáles de los factores que se muestran en el esquema de la figura 1.8 se incluyeron en las poblaciones A y C de nuestro ejemplo.

Tabla 1.8 Factores de definición de las poblaciones A y CFACTOR POBLACIÓN A POBLACIÓN C

Qué: la variable o variables

El peso y la altura El peso y la altura

Unidades de medida Kilogramo y metrosQuiénes Niñas huicholas desde un

año hasta inclusive ocho años cumplidos

Niñas huicholas de un año cumplido a menos de nueve años

Dónde En comunidades indígenas enclavadas en la Sierra Madre Occidental en los estados de Zacatecas y Nayarit

Cuándo Año 2007

Como puedes observar, para la población C se consideran más factores que para la población A. Cuando se incluyen más factores en la definición de una población, ésta tiene menor grado de generalidad. Así, la población A tiene mayor grado de generalidad que la población C.

................................................................................................................................................

...Población: Es el total de mediciones o conteos de una característica común asociada a un conjunto bien definido de individuos u objetos....................................................................................................................................................

Una población puede estar compuesta por un número finito de mediciones o ser infinita (véase la figura 1.9).

Figura 1.9 Significado de población finita e infinita

Podemos ejemplificar lo anterior cono sigue.

Ejemplo 1.22

En el bachillerato “Lic. Benito Juárez”, con sede en la ciudad de Querétaro, hay 1 500 estudiantes. Un investigador deseaba tener una idea acerca del tiempo diario en horas que dedican al estudio los alumnos. Seleccionó 40 alumnos al azar y los entrevistó. Luego ordenó los datos como se muestra en la tabla 1.9.

Tabla 1.9 Tiempo en horas diarias que dedican al estudio 40 alumnos seleccionados al azar (datos ordenados del menor al mayor por columna)

0.05 0.24 0.55 1.20 2.10 2.52 3.48 6.210.11 0.38 0.86 1.60 2.12 2.55 3.83 7.560.18 0.42 0.88 1.90 2.19 2.56 5.12 7.680.21 0.44 0.92 1.98 2.21 3.03 5.20 8.150.24 0.53 1.02 2.06 2.23 3.34 5.56 8.75

1) La pregunta del investigador es “¿Cuánto tiempo diario en horas dedican a estudiar los alumnos y alumnas del bachillerato?”

2) La variable en estudio es “el tiempo diario de estudio”; es continua y puede tomar infinidad de valores.

3) La unidad de medición es la “hora”.4) Las mediciones poseen tres cifras significativas.

5) Se puede definir la población de la siguiente manera: El tiempo diario en horas que estudian los alumnos en el bachillerato “Lic. Benito Juárez” establecido en la ciudad de Querétaro.

6) La población o universo de las mediciones tiene en total 1500 mediciones.7) El investigador no estudia las 1500 mediciones posibles, sino sólo una porción de

ellas; esto puede ser por economía o rapidez.8) El porcentaje de alumnos entrevistados que dedica al estudio más de 2 horas

diarias es:

2140 x 100% = 52.5 %.

9) La selección al azar quiere decir que el investigador seleccionó a los alumnos sin preferencia alguna, utilizando un recurso como el que se usa en cualquier lotería.

10)Si se incluyen más factores en la definición de la población, ésta es más preciosa y limita más claramente lo que debe observarse. Por ejemplo, pudo haberse definido la población anterior como sigue: El tiempo diario en horas que estudian los alumnos de sexo masculino inscritos en el primer semestre del bachillerato “Lic. Benito Juárez” establecido en la ciudad de Querétaro. Esta población tiene menor grado de generalidad.


En equipos de cuatro integrantes, lean y analicen los siguientes ejemplos y contesten lo que se pide. Aclara tus dudas con tu profesor(a).

1 DEFINICIÓN DE UNA POBLACIÓN

a. Definan la población estudiada en el ejemplo 1.22 con un menor grado de generalidad, identificando las nuevas características o factores implicados.

b. Den una nueva definición de la población anterior pero ahora con mayor grado de generalidad.

2 DIÁMETRO DE VÁLVULAS

La empresa Margolius desde el año 1980 produce válvulas de cobre circulares para el drenaje de calentadores de agua. Produce alrededor de 100 mil válvulas al año. Esas válvulas se producen en una línea automática que procesa tubos de cobre doblándolos y enroscándolos. Las especificaciones indican que el diámetro debe ser de 2.54 cm 0.02 cm. Las válvulas que no cumplen con la especificación se desperdician. Para verificar la calidad de las válvulas, se toman 10 válvulas cada media hora, se mide el diámetro y se observa la rosca. En un día de producción se toman 140 datos de la variable “diámetro de la válvula” en cm, como se muestran en la siguiente tabla.

Diámetro de válvulas para drenaje. Catorce muestras de tamaño 10 (12 de mayo de 2007)DATOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 142.567 2.566 2.566 2.544 2.574 2.574 2.513 2.552 5.549 2.567 2.542 2.540 2.559 2.5322.503 2.541 2.541 2.552 2.531 2.531 2.499 2.565 2.543 2.552 2.520 2.531 2.544 2.5272.549 2.540 2.540 2.561 2.552 2.552 2.540 2.541 2.513 2.525 2.536 2.550 2.507 2.5542.520 2.553 2.553 2.522 2.555 2.555 2.537 2.579 2.524 2.538 2.536 2.516 2.556 2.5452.548 2.538 2.538 2.546 2.534 2.534 2.576 2.587 2.530 2.538 2.554 2.570 2.530 2.5292.529 2.561 2.561 2.547 2.548 2.548 2.535 2.548 2.569 2.520 2.529 2.580 2.551 2.5672.527 2.523 2.523 2.532 2.527 2.527 2.507 2.525 2.537 2.526 2.555 2.523 2.558 2.5052.545 2.513 2.513 2.562 2.513 2.513 2.550 2.556 2.576 2.548 2.552 2.571 2.516 2.557

2.593 2.557 2.557 2.536 2.530 2.530 2.583 2.539 2.550 2.535 2.536 2.546 2.550 2.4852.557 2.531 2.531 2.554 2.561 2.561 2.567 2.509 2.552 2.538 2.564 2.533 2.541 2.549

a. ¿Cuántas mediciones se hicieron en el día?b. El total de observaciones hechas ese día, ¿es una población? ¿Por qué?c. ¿Podría medirse en un momento dado toda la población? ¿Por qué?d. Definan la población bajo estudio en dos versiones: la versión dada en el

enunciado y una versión con menor grado de generalidad.e. ¿De qué tamaño puede considerarse la población? ¿Finita o infinita? ¿Por qué?f. ¿Cuáles dimensiones del diámetro de la válvula hacen que ésta se desperdicie?g. ¿Qué porcentaje de las válvulas resultó defectuosa en la porción de mediciones

tomada para el estudio?

3 MAESTROS ALBAÑILES

Una compañía constructora paga por destajo el pegado de ladrillos. La constructora contra 12 maestros que pegan ladrillo para construir una biblioteca. Al final de la obra, que duró 20 días, calculan las ganancias en pesos por maestro. Analicen la siguiente tabla para estimar el precio de la obra total.

Ganancias en pesos de los 12 maestros albañilesMAESTRO ALBAÑIL

ART BEN CAR DAV ERN FER GIL HUM IGN JOS KRI LUI8500 7900 9900 8700 7900 8300 10700 9200 8600 8500 8200 9900

a. ¿Cuál es la variable que se observa?b. ¿En qué escala se mide esa variable?c. ¿Cuál es la población que se estudia? Defínanla.d. ¿De qué tamaño es la población? ¿Es finita o infinita’ ¿Por qué?e. ¿Cuánto ganaron en total los maestros albañiles?f. ¿Quién puede decirse que es el albañil más eficiente? ¿Por qué?

En estas actividades has tenido que considerar la definición y elementos de una población o un universo en algunos contextos. Ahora bien, imagina que el investigador de la empresa Margolius (Actividad 2) decidiera medir cada una de las 100 000 válvulas que se producen al año para verificar la calidad. ¿Qué sucedería? ¿Qué fue lo que hizo el investigador? En la siguiente sección se estudia ese caso.

MUESTRA

La muestra y los datos numéricos que de ella se obtienen son los elementos fundamentales en la estadística inferencial. De la muestra se obtienen conclusiones acerca de la población. En el caso de la empresa Margolius de la actividad 2 anterior, el investigador tomó una parte de las mediciones posibles de la población porque le sería imposible medirlas todas. Se dice que tomó una muestra. Esto es, los investigadores generalmente no miden a toda la población porque es imposible o muy costoso.

................................................................................................................................................

...Muestra: Es una porción de medidas o conteos tomados de una población....................................................................................................................................................

En una situación estadística, generalmente se sigue la pista del comportamiento de la variabilidad de las mediciones de una o varias características de interés en una población utilizando unos pocos datos contenidos en una muestra. Por diversas razones, sean éstas de economía, por necesidades de tiempo o porque la población es infinita, no se miden o cuentan las características de interés de todos los individuos u objetos de una población. En lugar de esto, se toman algunos elementos de ella y se conforma una muestra.

Ya que las mediciones en una muestra provienen de individuos u objetos, a éstos se les designa como elementos de muestreo.

................................................................................................................................................

...Elemento de la muestra o elemento de muestreo: Es una unidad en la muestra de la que se obtienen una o varias mediciones....................................................................................................................................................

Como de la muestra se obtienen los datos que nos llevan a las conclusiones acerca del comportamiento de una población, es muy importante obtener una muestra representativa para que las conclusiones sean confiables.

En una investigación son muchos los factores que pueden afectar una conclusión; entre ellos están los instrumentos de medida, las cifras significativas usadas, las variables o componentes no incluidas en la definición de una población, las causas no controladas, el tipo de datos usados y la forma en que se toma la muestra, entre otros. Así que debe cuidarse cada uno de estos factores para producir, con una probabilidad considerable, una muestra que se confíe que puede representar a la población. Una manera de lograrlo es tomar la muestra y cada una de las mediciones o conteos de individuos u objetos seleccionados al azar, o sea, elegidos sin predilección y, por ejemplo, con igual probabilidad.

Para lograr una selección al azar o aleatoria, se utilizan tablas de números aleatorios o bien mecanismos de azar, como papeletas numeradas con los elementos de una población que se toman a la suerte o utilizando computadoras. Sin este procedimiento no se puede suponer que una muestra sea aleatoria.

................................................................................................................................................

...Muestra aleatoria: Es aquella en la cual cada medición o conteo tiene igual probabilidad de ser tomada dentro de la población....................................................................................................................................................

Ejemplifiquemos lo anterior con el siguiente caso.

Ejemplo 1.23

Se pretende conocer la proporción de personas adultas mayores de 30 años que viven en la ciudad de Chihuahua, las cuales muestren síntomas de hipertensión arterial pero declaren que no lo saben si la tienen (aproximadamente unas 400 mil), a fin de acercarse a la magnitud probable de las enfermedades asociadas. Se obtuvieron primero los datos de una muestra piloto al azar de 100 personas, a las que se les midió la tensión diastólica. Una tensión mayor de 90 mm Hg indica que es probable la presencia de hipertensión. Los resultados aparecen en la tabla 1.10.

Tabla 1.10 Tensión diastólica en mm Hg de 100 adultos mayores de 30 años residentes de la ciudad de Chihuahua, Méxcio.86.48 87.83 88.94 88.77 86.72 90.36 87.01 88.21 88.78 87.5589.39 86.96 86.27 86.71 92.11 89.74 91.28 87.92 87.87 89.8488.91 88.52 84.43 85.82 90.37 88.22 89.44 87.55 94.00 89.0091.30 92.73 88.15 87.64 88.57 85.58 88.84 93.30 88.68 88.9084.66 88.78 87.46 88.23 85.93 85.96 87.56 89.96 88.64 89.9190.16 91.19 88.32 89.95 90.05 90.35 86.21 89.28 88.65 89.9787.74 92.41 88.26 89.04 85.69 88.62 86.08 90.02 89.18 89.2389.53 91.99 88.34 88.61 87.82 90.18 91.76 84.97 90.49 90.7591.82 91.55 86.80 92.10 83.78 84.89 88.39 87.37 91.25 89.8087.17 86.20 90.19 86.65 88.62 93.22 88.83 89.15 87.80 85.72

1) La pregunta de los investigadores será probablemente: ¿Qué proporción de personas en la ciudad de Chihuahua, supuestamente sin hipertensión arterial, la tiene? O bien: ¿Qué porcentaje de personas que no saben que tienen hipertensión, la tienen?

2) La variable que se mide es “la tensión diastólica en mm Hg”. Mediante la medición de esta variable se quiere conocer la proporción de personas con síntomas de hipertensión.

3) La variable “tensión diastólica” es cuantitativa y continua; se mediría en una escala de relación. El número de personas que tiene síntomas o la enfermedad, es una variable discreta.

4) En esta muestra hay 100 mediciones.5) Las mediciones no están ordenadas.6) La población de la cual provienen las mediciones es aproximadamente de tamaño

400 mil.7) La definición de la población de interés puede describirse así: La proporción de

personas mayores de 30 años, que viven en la ciudad de Chihuahua y que muestran síntomas de hipertensión arterial. En consecuencia, cuando se entrevista a cada persona, se le debe preguntar si vive en la ciudad y si tiene más de 30 años.

8) Al tomarse la muestra al azar, se indica que se tomó sin preferencia alguna. En teoría cada individuo y tensión diastólica tuvo la misma probabilidad de ser tomada.

9) En la muestra, 25 de 100 personas (25%) tienen tensión diastólica mayor a 90 mm Hg. Si padecen hipertensión, supuestamente no lo saben.

10)En la muestra, 75 de 100 personas (75%) no tienen tensión elevada.11)Si la muestra es representativa de la población, cabría esperar que 25% de los

adultos en la población (40 000 x 0.25 = 100 000= tuvieran hipertensión.

Ejemplo 1.24

Enseguida se muestra una población de 100 mediciones de peso en kilogramos de jóvenes con edades de 15 a 18 años cumplidos, quienes viven en las calles de la ciudad de México.

Tabla 1.11 Peso en kg de jóvenes de 15 a 18 años en situación de la calle en el DFDATO 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

1 48.1 50.5 52.2 53.3 54.5 55.2 56.8 57.4 59.0 60.02 48.4 50.6 52.6 53.3 54.5 55.4 56.8 57.4 59.1 60.03 49.0 50.7 52.6 53.6 54.6 55.7 56.9 57.6 59.1 60.14 49.2 50.7 52.7 53.8 54.8 55.7 57.1 58.0 59.2 60.35 49.2 50.9 52.7 53.9 55.0 55.8 57.1 58.0 59.2 60.56 49.4 51.8 52.8 54.0 55.0 55.8 57.2 58.3 59.2 60.87 49.4 51.8 52.9 54.1 55.1 56.0 57.2 58.5 59.5 61.48 49.8 52.1 52.9 54.1 55.1 56.4 57.2 58.6 59.5 61.89 49.9 52.2 53.2 54.2 55.1 56.4 57.3 58.9 59.6 61.910 50.5 52.2 53.3 54.4 55.2 56.7 57.4 59.0 59.9 62.0

Se tomará una muestra aleatoria de tamaño 10, utilizando números aleatorios obtenidos con una calculadora.

En tu calculadora hay una tecla llamada RND. Es una abreviación de la palabra random en inglés, que significa aleatorio. Usando esta tecla, se pueden obtener números al azar entre 0 y 1, con tres o cuatro decimales. Esto es, se producirán diez números al azar, pero se hará que su valor esté entre 1 y 100 (porque la población tiene 100 datos) multiplicando por 100 y redondeando al entero más cercano. Por ejemplo, enseguida se eligen al azar dos valores de la población:

RND = : 0.496 x 100 = 49.6; dato: 50.

Se toma entonces el valor del dato 50: 55.2 kilogramos.

RND = : 0.426 x 100 = 42.6; dato: 43.

El valor del dato 43 es 54.6 kilogramos.

Si un dato se repite, no se toma, se obtiene otro número aleatorio. Esta es una muestra sin remplazo. Este procedimiento no es tendencioso, depende sólo del azar.


Junto con algunos de tus compañeros, contesta, resuelve y comenta lo que se te pide en las siguientes actividades. En caso de duda, revisa el contenido o consulta a tu profesor(a).

1 Determinen las principales diferencias entre una población y una muestra.

2 Los siguientes números representan el número de llamadas telefónicas realizadas diariamente desde el teléfono de la familia Bau, en los últimos dos meses, desde que tiene el teléfono:

3, 5, 7, 2, 5, 7, 8, 5, 4, 7, 5, 3, 2, 6, 8, 3, 1, 3, 4, 0, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 6, 7, 8,2, 5, 4, 6, 7, 3, 1, 0, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 2, 0, 1, 4, 5, 6, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 3, 2.

Don Isaac Bau, el padre, quiere saber cuántas llamadas en promedio se hacen por día; para ello, decide tomar una muestra de tamaño 6 para estimar el valor del promedio.

a) ¿Cuál es la variable que se observa?b) ¿Cuántos elementos tiene la población?c) Tomen una muestra aleatoria de estos datos mediante un muestreo utilizando

números aleatorios.

3 MUESTRA DUDOSA

En un censo económico, se pregunta a los empresarios sobre el promedio de las ganancias netas mensuales en los últimos cinco años. La pequeña empresa Aléctrica, que comercializa material eléctrico, posee las estadísticas que se muestran en la siguiente tabla, que corresponden a los últimos 60 meses, aunque tienen datos desde hace 20 años.

Utilidad neta mensual en miles de pesos de la empresa Aléctrica por los últimos 60 meses (2000 – 2004; datos ordenados del menor al mayor por columna)

0.17 1.85 2.90 6.18 7.85 10.68 12.75 16.58 20.34 28.380.25 1.87 3.22 6.33 8.32 10.84 14.15 16.77 20.39 34.210.40 2.00 3.55 6.44 9.17 10.96 14.64 18.23 22.45 35.960.51 2.35 3.57 6.84 9.85 11.02 15.77 18.27 24.83 39.170.71 2.49 4.33 7.06 10.01 11.70 15.82 18.39 25.55 48.670.79 2.50 4.60 7.54 10.67 11.97 15.89 18.63 27.42 80.71

Para obtener un promedio de ingresos mensuales, el gerente de la empresa duda en utilizar todos los datos. Él concluye que usar como muestra los primeros 30 será conveniente.

a) ¿Cuál es la población? Defínala.b) ¿Cuántas mediciones tiene la población de la empresa?c) ¿Cuál es la variable que se quiere conocer en el censo?d) La muestra que quiere utilizar el gerente, ¿sería representativa? ¿Por qué?e) Aproximadamente, de acuerdo con los datos, ¿cuál un valor de los ingresos en el

centro de ellos que podría representarlos como promedio?

4 MUESTRA ALEATORIA DE TORTUGAS

Un grupo de biólogos desea estimar la longitud de las tortugas gigoteas elegantes adultas (mayores de 5 años) que habitan en el lago de Chapala y sus inmediaciones. Para ello, deciden tomar una muestra representativa de la población. Los hábitos de las tortugas implican que unas se concentran frecuentemente en los alrededores del lago, en ríos y riachuelos o en el lago mismo. La razón es de 1 a 3; o sea, se sabe que

aproximadamente una de cada cuatro tortugas viven en los ríos. Se ha concluido que para los fines prácticos deseados, una muestra de tamaño 100 es suficiente. Los investigadores toman entonces las medidas de 25 tortugas en ríos y 75 en el lago, localizadas al azar. Obtienen los resultados que se muestran en la tabla siguiente.

Longitudes en centímetros de muestras de tortugas gigoteas elegantes adultas (Lago de Chapala; datos ordenados por hábitat, del menor al mayor por columna)

HÁBITATLAGO DE CHAPALA RÍOS

18.94 23.03 24.19 25.33 26.38 20.25 23.9720.50 23.22 24.22 25.37 26.38 20.83 24.2320.60 23.37 24.23 25.45 26.40 21.79 24.3121.11 23.58 24.24 25.47 26.45 22.17 24.6221.79 23.63 24.33 25.58 26.65 22.27 25.1521.93 23.69 24.37 25.62 26.91 22.73 25.1622.38 23.70 24.50 25.65 27.08 22.82 25.3922.44 23.77 24.79 25.85 27.19 223.98 25.9122.53 23.78 25.05 25.86 27.20 23.20 25.9522.55 23.88 25.14 26.10 27.45 23.28 27.4722.78 23.89 25.14 26.15 27.80 23.3022.81 23.96 25.25 26.21 27.87 23.6122.88 23.98 25.28 26.21 28.01 23.6722.95 24.02 25.28 26.22 28.10 23.6923.01 24.12 25.33 26.31 28.49 23.96

a) ¿Cuál es la pregunta de los investigadores?b) ¿Cuál es la variable que se estudia?c) ¿Cuál es la población? Defínanla.d) ¿De qué tamaño es la muestra?e) ¿Cuál es el elemento de la muestra?f) ¿Es probable que la muestra sea representativa de la población? ¿Por qué?g) Cuando se localiza una tortuga, ¿puede predecirse su tamaño con exactitud? ¿Por

qué?h) ¿En qué hábitat parece haber mayor variación en las longitudes de las tortugas?

¿Cómo lo sabes?i) ¿Cuál es la longitud promedio de las tortugas que viven en el lago?j) ¿Cuál es la longitud promedio de las tortugas que habitan en los ríos?k) ¿Cuál es la longitud mayor de 50% de las tortugas más pequeñas que viven en el

lago?l) Del total de la muestra de las tortugas más pequeñas que viven en los ríos, ¿cuál

es la longitud mayor de 50%?m) ¿Cuáles tortugas parecen tener en general mayor longitud?

1.1.6 Dato e información

Para obtener conclusiones en una situación estadística acerca del comportamiento de una población bajo estudio, se usan datos, generalmente numéricos. Los datos numéricos que estudia la estadística corresponden a alguna o varias variables o características que

definen una población de interés y, desde luego, se distinguen porque varían, esto es, los resultados numéricos que se obtienen no son iguales. Por este motivo, deben organizarse para comprender su comportamiento.

................................................................................................................................................

...Dato: Es un símbolo (palabra, oración, número, imagen, olor, color, etcétera) utilizado para llegar a una conclusión; en estadística, generalmente los datos son numéricos....................................................................................................................................................

Un proceso lleva del dato – que surge en una investigación y en un contexto – a la información. Ésta se obtiene buscando, racionalmente, relaciones entre las preguntas que dieron lugar a la investigación, a las representaciones de los datos y su significado en el contexto. Cuando se encuentran esas relaciones se obtiene una conclusión, es decir, la información.

................................................................................................................................................

...Información: Es una conclusión que se extrae mediante la representación de un conjunto de datos o mediciones del comportamiento de un fenómeno en un contexto....................................................................................................................................................

La información representa un estado de comprensión acerca del fenómeno estudiado. Las palabras, los datos calculados y organizados y representados en tablas o gráficos, permiten un eficiente proceso de reflexión para llegar a las conclusiones y comunicar con eficiencia sus significados.

Ejemplo 1.25

Juan se traslada de su casa a la escuela en camión urbano. En una esquina ve pintadas en la pared las letras OCT, y luego la palabra “Nedes”. Estos signos no tienen significado para él. Son meros datos sin sentido. Él no encuentra en ellos propósito alguno.

Ejemplo 1.26

Juan estudia la materia de geometría analítica. Su maestra le pide que investigue qué significa la palabra “asíntota”. Él se dirige a la biblioteca y encuentra una definición y un gráfico que representa una asíntota. Ambos, la definición y el gráfico, son datos porque le ayudan a obtener una conclusión, información, acerca de lo que se le pide conocer.


Resuelve o contesta lo que se te pide en los siguientes ejercicios. Puedes reunirte con algunos de tus compañeros para trabajar.

1 Establece las diferencias entre dato e información y coméntalas con tus compañeros de grupo.

2 SIGNOS, DATOS E INFORMACIÓN

Un día Silvia observa varios signos que llaman su atención. Algunos de ellos son los siguientes:

Unas letras dibujadas sobre la tapa de una libreta: MEM. Ella tiene una amiga de nombre María Esparza Muñoz.

Un letrero a la entrada de la biblioteca que dice: “No entrar con alimentos”. Unas flechas que sabe que la conducen a una escalera de emergencia. 23/02/05 Una fórmula: A = R2

a) ¿Por qué éstos pueden ser datos para Silvia? Explica.b) ¿Qué información puede sacar de las letras MEM dibujadas sobre la tapa de la

libreta?c) ¿Qué información puede extraer de la fórmula?

3 En la siguiente tabla se observa la asistencia diaria a 12 conferencias que se dictaron en El Colegio de México en abril de 2005. Las primeras seis se realizaron a las 18:00 horas; las otras , a las 20:00 horas. Las impartieron las mismas personas en ambos horarios. Se desea saber si el horario afectó a la concurrencia.

Asistencia a 12 conferencias en El Colegio de México (abril de 2005)Conferencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Asistencia 90 100 108 100 105 85 200 120 170 145 165 130

a) ¿Cuántos datos relativos a la asistencia se tienen?b) ¿Cómo pudo efectuarse la medición acerca de la asistencia a cada conferencia?c) El hecho de que las primeras seis conferencias se hayan efectuado a las 18:00

horas, ¿es un dato? ¿Por qué? ¿Para quién?d) ¿El horario afecta la asistencia? ¿Por qué? ¿Cómo se obtiene la conclusión?

REDONDEO DE CIFRAS

Los datos numéricos se adquieren mediante la experimentación, la observación circunstancial de un fenómeno o en archivos; son producto de mediciones o conteos y su representación depende de la exactitud o precisión requerida para resolver un problema. De tal manera que aunque en la medición o los cálculos se pueden lograr cifras con muchos decimales, no siempre es necesario utilizarlos todos para conseguir un resultado correcto. El redondeo y el uso de cifras significativas son una práctica común en el cálculo.

Ejemplifiquemos el redondeo de cifras con la siguiente situación. En el año 1969 el Apolo XI trasladó a la Luna a los primeros hombres. Antes, en 1957, el Sputnik I fue el primer satélite artificial que orbitó la Tierra, y por lo tanto fue el primer objeto construido por el hombre en vencer la atracción terrestre. Para que una nave espacial abandone la atmósfera es necesario conocer la velocidad de escape del objeto. Esa velocidad debe

calcularse con exactitud y precisión. Ahora bien, ¿cuántos decimales se requiere tomar en los cálculos de la velocidad de escape para que la nave abandone la Tierra?

En el cálculo de dicha velocidad interviene el numero es un número irracional – no puede escribirse como el cociente de dos números enteros –, lo cual significa que después del punto decimal sigue una infinidad de dígitos sin un patrón. Enseguida aparece el número con sus primeras 65 cifras decimales:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230…

Esta pasmosa cifra se suele redondear a diezmilésimos como 3.1416 (el signo se lee: “aproximadamente igual a”), lo que permite calcular bastante bien la velocidad de escape de cualquier nave espacial, su recorrido alrededor de la Luna y su regreso a la Tierra. El área de cualquier círculo también se puede calcular usando 3.1416, con un error despreciable.

Analicemos otra situación. Una jefa de enfermeras calcula el tiempo que tarda una de sus colaboradoras en colocar un suero. Con un cronómetro digital tomó una muestra aleatoria de 10 colocaciones, y obtuvo los resultados siguientes, dados en minutos.

1.344, 1.786, 1.658, 1.675, 1.260, 2.000, 1.389, 1.437, 1.550, 1.890

Para calcular el tiempo promedio, redondeó los datos, primero al centésimo más cercano y después al décimo, como se muestra a continuación:

Tabla 1.12 Redondeo de cifras a centésimos y a décimosDATOS 1.344 1.786 1.658 1.675 1.260 2.000 1.389 1.437 1.550 1.890REDONDEO A CENTÉSIMOS

1.34 1.79 1.66 1.68 1.26 2.00 1.39 1.44 1.55 1.89

REDONDEO A DÉCIMOS

1.3 1.8 1.7 1.7 1.3 2.0 1.4 1.4 1.6 1.9

Ella calculó el promedio de cada uno de estos tres conjuntos de datos. ¿Qué resultados obtuvo?

................................................................................................................................................

...Redondear: Es aproximar un número a una cifra entera o decimal al respectivo entero o decimal que produce el menor error....................................................................................................................................................

El redondeo de cifras numéricas se realiza de la siguiente manera:

1) Si los decimales que se tienen que redondear terminan en 4 o en un número menor, hasta 1, se deja la cifra anterior como está.

Ejemplo 1.27

1.43 1.4; 2.502 2.50.

2) Si los decimales terminan en 6 o en un número mayor, hasta 9, se incrementa en una unidad la cifra anterior.

Ejemplo 1.28

12.6 13; 4.209 4.21

3) Si los decimales terminan en 5 se incrementa en una unidad la cifra anterior si ésta es impar, y se deja la misma si ésta es par.

Ejemplo 1.29

79.835 79.84; 79.845 79.84

Para el redondeo de cantidades enteras se siguen las mismas reglas. Enseguida se dan ejemplos de redondeo de cantidades enteras.

Ejemplo 1.30

3459 a decenas: 3460

Ejemplo 1.31

289 504 a centenas: 289 500

Ejemplo 1.32

340 453 a millares: 340 000


Realiza los siguientes redondeos de cifras trabajando con algún compañero. Comprueben sus respuestas con las de otros. En caso de duda, revisen nuevamente la sección anterior sobre redondeo de números o consulten a su profesor(a).

1. 8.08 a décimos2. 34.984 a centésimos3. 0.4395 a milésimos4. 70.0345 a milésimos5. 0.0984 a centésimos6. 10 985 a decenas7. 2 098 a centenas8. 349 056 a centenas9. 200 455 a unidades de millar10.398 432 a decenas de millar

ERROR DE REDONDEO

En la década de 1960 Edward Lorenz, un meteorólogo del Tecnológico de Massachussets, investigó por medio de una simulación en computadora el efecto que tiene el redondeo en cifras en la predicción del clima. Utilizó determinadas condiciones numéricas iniciales relacionadas a la temperatura ambiente y a la velocidad del viento. En lugar de usar cifras con muchos decimales en las ecuaciones, esto es, cifras con mucha precisión, las redondeó a dos decimales. Lorenza iba a comparar el efecto del redondeo en la evolución de la predicción del clima con un patrón del clima.

El resultado que obtuvo fue sorprendente (véase la figura 1.10). En los primeros días los resultados de la predicción diferían poco del patrón, lo que significaba la posibilidad de efectuar buenos vaticinios acerca del clima; sin embargo, posteriormente “explotaron” las variables y la traza pronosticada se alejó mucho de la del patrón.

Un redondeo, tan aparentemente insignificante, había tenido un efecto devastador en los resultados. La conclusión era que no importara cuántos decimales usara, tarde o temprano la predicción fallaría.

Figura 1.10 Separación del pronostico del clima respecto del patrón (efecto del redondeo)

El error del redondeo se mide por la diferencia siguiente:

Error = Número redondeado – Número exacto.

Si el signo del error es positivo, se ha redondeado por exceso, si es negativo, por defecto.


Trabaja con un compañero y resuelvan el siguiente ejercicio.

1 El encargado de una ladrillera ha tomado la temperatura máxima en grados centígrados a que han estado expuestos para su cocción los ladrillos de 12 diferentes lotes. Los datos son los siguientes:

135.83, 143.75, 120.67, 130.09, 118.51, 105.81,

107.34, 128.46, 130.14, 102.97, 140.32, 138.56

a. Redondeen las cantidades a décimos.b. ¿Cuáles se han redondeado por exceso y cuáles por defecto?c. Obtengan la suma de los datos originales y la de los datos redondeaos, ¿En qué

cantidad difieren?¿Cuál es el porcentaje del error respecto a la suma de cantidades originales?

Otra forma de obtener datos estadísticos es mediante experimentos. Por ejemplo, a principios del siglo XX, el físico Robert A. Millikan (1898 – 1953) efectuó el llamado experimento de la gota de aceite para calcular la carga eléctrica del electrón. Repitió el experimento muchas veces, obtuvo datos numéricos y utilizó métodos estadísticos para llegar a sus resultados.

El experimento requirió un aparato con dos placas paralelas, entre las cuales Millikan creó un campo eléctrico vertical que eliminaba o restablecía (véase la figura 1.11). En la placa superior había unos orificios pequeños por los cuales pasaban pequeñas gotas de aceite, enviadas desde un atomizador, que se cargaban eléctricamente al friccionarse con la boquilla. Al eliminar el campo eléctrico, las gotas caían.

Figura 1.11 Condensador de Millikan

Millikan midió la velocidad de muchas gotas que caían entre las placas. Al repetir el experimento con diferentes gotas, pudo tomar varias medidas numéricas; obtuvo el promedio “de todos los datos individuales de los voltajes necesarios para equilibrar las diversas gotas y de los tiempos de caída cuando el campo eléctrico era desconectado”. Millikan usó los hechos en una muestra para producir sus resultados.

................................................................................................................................................

...

Experimento: Es una actividad de observación ordenada y generalmente repetitiva de la que se obtienen datos. En un experimento se suelen controlar factores que influyen en los resultados, sobre la base de alguna hipótesis....................................................................................................................................................

El experimento realizado por Millikan fue uno de los primeros en la física del siglo XX que permitió introducir la estadística inferencial como método para obtener conclusiones. La estadística inferencial estudia las características de una población (parámetros) a partir de los datos de una muestra (estadísticos). Millikan realizó una inferencia a partir de unos cuantos datos de una muestra cuyos valores de las mediciones ocurrían al azar (no podía predeterminar los resultados). Los métodos estadísticos que conducen a una inferencia implican generalmente el uso de datos de experimentos aleatorios.

................................................................................................................................................

...Experimento aleatorio: Es un experimento que al repetirlo y observarlo bajo idénticas condiciones no es posible predecir un resultado con exactitud....................................................................................................................................................

1.1.7 Parámetro y estadístico

Hace miles de años que se practican censos de poblaciones humanas. Los primeros fueron en la antigüedad en Babilonia, Egipto y Jordania; después, durante el Imperio Romano. Se efectuaban para definir y aplicar impuestos a los hombres, reclutarlos para la guerra, repartirles la tierra o forzarlos a trabajar. A partir del siglo XVII los censos también se aplicaron al comercio, la agricultura, la ganadería y la industria.

El censo moderno implica la total enumeración de una población, a fin de entender su constitución plena y las tendencias de la sociedad. La idea de Graunt, “servir para el buen gobierno”, adquirió sentido en el conteo total de poblaciones.

Cuando se toma un censo, de personas o cosas, la información que se obtiene es absoluta: contiene toda la información de interés. Los resultados numéricos que se obtienen de un censo, ya sea como totales o promedios, se llaman parámetros. En cambio, cuando se toma una muestra de la población se parcializan los resultados y no se conocen los valores absolutos. A los resultados numéricos que se consiguen de una muestra se les llama estadísticos.

................................................................................................................................................

...Parámetro: Es el resultado de un cálculo que se obtiene de un censo. Esto es, al utilizar todos los datos de una población....................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...Estadístico: Es un cálculo numérico que resulta de los datos de una muestra.

................................................................................................................................................

...

Ejemplo 1.33

Se desea conocer el ingreso mensual promedio de las familias de donde provienen los 30 estudiantes becados de la carrera de técnico en computación de un CBTis de la ciudad de Tapachula. Se levanta una encuesta que se aplica a sus padres y se obtienen los datos que se muestran en la tabla 1.13.

Tabla 1.13 Ingresos mensuales, en pesos, de las familias de 30 estudiantes de un CBTis de Tapachula, Chiapas (datos ordenados ascendentemente por columna)

1034.46 1181.47 1250.13 1418.75 1521.01 1521.011049.88 1202.37 1292.84 1460.25 1526.42 1526.421073.01 1203.77 1313.85 1462.12 1546.09 1546.091155.57 1217.59 1360.48 1465.84 1552.89 1552.891172.87 1238.82 1370.48 1495.60 1557.24 1557.24

La población estudiada se puede definir así: Los ingresos mensuales en pesos de las familias de las que provienen los 30 estudiantes becados de la carrera de técnico en computación del CBTis.

1) La población consta de 30 estudiantes, es finita y muy pequeña.2) Los ingresos mensuales mayor ($ 1 557.24) y menor ($ 1 034.46) son parámetros,

pues corresponden a la población estudiada.3) El ingreso promedio mensual o media aritmética por familia es un parámetro

porque se utilizan todos los datos de la población. Su valor es:

Promedio =

SumaDeLos30 IngresosMensuales30 = 1 361.048 pesos por mes

4) La variable de estudio es la característica que se estudia de la población: los ingresos mensuales en pesos por familia.

5) El elemento de muestreo es cada familia de la que se adquiere el dato de su ingreso.

1.1.8 La variación y los problemas de la estadística descriptiva e inferencial

Los contenidos que se han abordado hasta este punto, como los de población, muestra, medición, parámetro, variable y estadístico conforman conceptos con los que se estudia y obtiene información en una situación estadística, cuyos componentes esenciales son:

1) Una pregunta acerca del fenómeno.

2) La toma de una muestra o censo de la población asociada con el fenómeno de interés.

3) El análisis de los datos.4) La conclusión o inferencia acerca de la población.

La estadística inferencial y la estadística descriptiva se relacionan en el momento del análisis de los datos. La estadística descriptiva provee a la inferencia de medios tabulares, gráficos y numéricos que permiten construir conjeturas provisionales y apoyar a las inferencias. Los instrumentos de la estadística descriptiva son medios de análisis de datos con alta variación.

La conclusión estadística que se obtiene del estudio de la variación de los datos de una población es la descripción numérica o gráfica: al conocer toda medida en una población automáticamente se conocen los parámetros y la forma como se distribuyen los datos. Sin embargo, cuando se parte de una muestra que se toma al azar de una población y se deducen conclusiones generales mediante el estudio de los números y gráficos relacionados con la variación de los datos en esa muestra utilizando la teoría de probabilidad, se entra al terreno de la estadística inferencial: se plantean inferencias o conclusiones probables acerca de los parámetros de la población o de la forma como se distribuyen los datos que la conforman utilizando unos pocos datos muestrales.

................................................................................................................................................

...Inferencia estadística: Consiste en producir una conclusión probable acerca de una característica de una población sobre la base de una muestra....................................................................................................................................................

En consecuencia, una inferencia estadística no concluye en una verdad absoluta, como las que se obtienen por medio de la deducción matemática: sus conclusiones, al apoyarse en las posibilidades que dictan los datos en una muestra, implican sólo resultados probables. Esto puede intuirse observando el proceso de la inferencia según se resume en el esquema de la figura 1.12.

Figura 1.12 El problema de la estadística inferencial

Una analogía acerca del significado de inferencia de tipo estadístico es la siguiente. Galileo Galilei, al observar los cielos con el primer telescopio que fue usado con ese fin, descubrió que no sólo el Sol y la Luna son esféricos, sino que Júpiter y sus cuatro lunas también lo son, al igual que Marte y Venus. Todos estos cuerpos celestes pertenecen a las clases de los soles, planetas y las lunas en el Universo. Él descubrió además que la Vía Láctea está llena de estrellas, tan lejanas que no podía ver su forma geométrica. Con la muestra de Galileo – unos pocos cuerpos celestes – se puede inferir que es probable que en el Universo los soles, los planetas y las lunas sean esféricos. Esta conclusión es probable y no absoluta, porque no hemos visto todos los cuerpos celestes de esas clases en el universo: cabe la posibilidad de que existan planetas no esféricos (lo cual sería un contraejemplo).

Figura 1.13 Fobos, una de las lunas de Marte, presenta una forma muy irregular.

Por otra parte, cuando se hace una inferencia o inducción en matemáticas, se obtiene un resultado absoluto o verdadero siempre. Contrasta lo siguiente con la situación anterior. Un matemático estudia la adición.

12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+. . .

Esta es una especie de muestra de fracciones que se suman. Al matemático le es imposible escribirlas todas, pues la adición tiene infinidad de sumandos. Sin embargo, él idea una manera de calcular esa suma: construye un cuadrado de lado igual a 1, como se ve en la figura 1.14, y lo parte en cada una de las fracciones de la adición.

Figura 1.14

De esta manera, el valor de la suma de la serie sólo puede ser

12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+. . .

= 1

Este resultado es inobjetable y absoluto, no hay contraejemplo posible. Es una verdad matemática.

En el proceso de resolución de un problema estadístico, la descripción es importante porque al narrar el comportamiento de los datos de una muestra se obtienen hipótesis. Con ello se implica el descubrimiento. Por consiguiente, el problema de la estadística descriptiva es diseñar medios de descripción de los datos que faciliten la producción de hipótesis e información.

................................................................................................................................................

...Describir: Es representar mediante el lenguaje las peculiaridades que se observan en un conjunto de datos numéricos o en un gráfico....................................................................................................................................................

El promedio más usado en la estadística se llama media aritmética. Por este motivo, la media aritmética de un conjunto de datos es llamada el promedio y se define como sigue:

Media aritmética = x =

Suma de los valores de los datosTotal de dtos

=

valor 1 + valor 2 +. ..+ valor nn

El objetivo es percibir si los valores se parecen o no.


Es conveniente que el grupo se distribuya en equipos para realizar las siguientes actividades.

1 ESTIMACIÓN DEL PROMEDIO DIARIO DE EXPORTACIONES

De las exportaciones mexicanas a los Estados Unidos de Norteamérica que pasan generalmente por la frontera vía terrestre, se considera la población de 360 exportaciones del año 2004, que representan ingresos a la aduana mexicana en millones de dólares por día. Los datos se distribuyeron al azar en la siguiente tabla. Cada columna representa una muestra al azar de tamaño 30 de las exportaciones.

Monto en millones de dólares de las exportaciones mexicanas a los Estados Unidos de Norteamérica (2004)

DATO 1-30 31-60

61-90

91-120

121-150 151-180 181-

210211-240

241-270

271-300

301-330

331-360

1 314.66 300.99 304.91 335.2

6 324.70 331.90 344.74 338.23 322.56 323.1

8 309.04 338.14

2 312.36 285.19 325.40 321.9

3 311.93 308.38 340.06 302.01 322.23 312.4

2 327.74 291.11

3 318.28 309.07 317.22 316.5

1 312.48 313.45 316.32 338.49 315.66 295.9

2 301.04 335.34

4 297.82 338.64 304.08 330.7

5 303.96 347.91 293.12 316.74 335.24 353.2

9 311.70 338.57

5 293.03 344.79 313.39 342.1

6 302.56 331.99 316.66 299.92 355.50 343.9

4 322.71 323.35

6 323.05 292.57 297.36 335.7

3 325.62 2611.12 310.76 294.35 324.18 305.7

3 323.22 353.20

7 316.44 303.28 334.05 298.0

4 296.62 310.27 348.30 317.04 324.91 312.9

2 351.41 287.74

8 314.76 318.42 332.36 338.9

3 336.32 331.56 310.72 287.78 327.61 320.5

5 321.95 324.72

9 344.28 324.64 336.38 324.3

1 314.77 336.77 300.46 305.02 368.92 362.1

0 332.67 326.84

10 325.34 297.02 295.18 331.9

1 331.86 282.05 308.76 289.83 314.25 310.6

6 339.59 295.36

11 303.65 323.98 321.34 341.5

1 320.50 358.06 327.24 344.98 306.77 331.6

9 329.74 305.88

12 305.65 311.82 333.20 330.5

1 337.81 340.02 293.59 360.49 321.87 300.8

9 285.87 324.68

13 332.65 356.77 333.44 316.5

1 308.91 312.50 308.82 303.02 334.35 333.8

8 349.34 337.79

14 339.98 327.43 321.81 298.3

0 313.58 284.00 344.87 292.70 329.74 309.4

9 305.02 302.69

15 302.26 345.23 320.23 337.5

3 324.55 319.76 313.52 304.53 306.97 310.1

0 314.15 329.98

16 316.09 316.45 355.14 331.3

5 304.44 308.47 279.94 311.69 312.07 308.0

9 334.54 301.65

17 313.32 321.49 338.72 334.2

9 330.11 316.44 329.37 313.57 311.54 334.8

0 317.94 302.49

18 288.77 291.69 361.23 314.6

9 301.96 292.81 278.27 318.79 279.23 333.8

0 346.28 336.34

19 302.01 298.23 305.67 319.2

3 281.66 324.51 310.67 321.79 344.04 302.9

7 330.47 343.98

20 313.2 307.78 333.90 355.1 345.14 334.05 304.8 301.30 282.89 324.1 318.63 323.64

1 8 5 1

21 301.61 343.49 300.53 294.0

8 295.64 318.15 313.12 291.45 349.69 317.3

8 325.33 305.67

22 303.98 327.96 334.84 315.1

2 323.47 317.20 322.57 334.57 305.82 336.5

5 315.03 338.25

23 289.65 330.68 305.23 310.3

4 308.45 316.82 313.48 315.28 339.14 277.6

8 321.70 313.64

24 303.60 324.04 332.41 343.0

0 340.80 300.54 321.80 304.39 314.82 312.7

9 316.25 316.55

25 300.06 323.40 327.28 334.2

7 308.22 288.61 281.59 332.73 339.43 314.7

3 325.47 305.60

26 316.52 315.73 365.82 334.8

6 358.75 296.16 312.57 334.00 323.79 301.3

4 346.96 311.93

27 311.33 325.15 281.47 299.6

7 322.56 338.82 335.33 335.75 353.12 307.1

6 348.53 317.50

28 323.18 276.61 308.95 285.5

8 312.77 297.68 307.30 336.18 289.88 320.5

0 327.22 307.22

29 341.74 291.10 307.22 293.7

0 318.98 309.01 302.80 336.98 319.48 357.6

2 331.41 306.06

30 317.42 310.11 308.06 335.5

2 317.49 318.93 340.96 312.95 334.75 321.8

8 356.15 339.04

a. Estimen un valor promedio diario en dólares de esas exportaciones en el año 2004 por medio de una muestra aleatoria de tamaño 30. Usen números aleatorios para elegir los datos.

b. Obtengan el dato mayor y el dato menor de la muestra trabajada.c. Comparen los resultados encontrados. ¿Son los resultados parecidos? ¿Existe

variación en los resultados? ¿A qué puede deberse lo anterior? Expliquen.d. ¿Se puede decir que las muestras son representativas de la población? ¿Por qué?e. ¿Cuál es el elemento de muestreo?f. ¿Cuál es la población? Defínanla.g. ¿Cuántas medidas tiene la población?

2 Las 360 mediciones de las exportaciones mexicanas a los Estados Unidos de Norteamérica en el año 2004 se muestran enseguida, resumidas en un gráfico llamado histograma de frecuencias.

a. Según esta figura, un promedio como el que calcularon para los 360 datos en la población es de unos 315 millones de dólares por día. Compárenlo con el encontrado por ustedes. ¿Se parece? Calculen el error relativo.

b. Describan el comportamiento de la variación de las exportaciones apoyándose en la guía siguiente.

¿Cuáles son los datos mayor y menor encontrados? ¿Qué distancia hay entre esos datos? ¿Dónde son mayores las frecuencias? Observen la figura. ¿Dónde son menores las frecuencias? ¿Dónde se ubica el promedio aproximado de las exportaciones (315 millones)? ¿Entre cuáles valores se dan las frecuencias mayores?

En estadística, los fenómenos que se estudian están sujetos a variación de los datos. Aun así, a partir de ellos se espera obtener una conclusión, que es la información sobre la variable del fenómeno investigado. Esta conclusión se compone con premisas que son hechos referenciales de la población estudiada, las cuales se relacionan lógicamente para establecer las deducciones de un fenómeno. Por lo que la estadística inferencial y la estadística descriptiva permiten realizar deducciones e inferencias de un fenómeno estudiado por medio de datos.

................................................................................................................................................

...Deducción: Es una cadena de razones lógicas apoyadas en una o varias premisas para obtener una conclusión cierta....................................................................................................................................................

1.1.9 Posibilidad y evento

Para comprender el significado de los términos posibilidad y evento, como se usan en estadística y probabilidad, consideremos los siguientes tres ejemplos.

Ejemplo 1.34

En un juego cada jugador lanza los dados, se observa la suma de los puntos y gana quien obtiene la suma mayor. Algunos de los eventos que pueden suceder son:

A: “Cae una suma igual a 4”.B: “Cae una suma igual a 7”.C: “Caen 12 puntos”.

Un evento imposible es:

D:”Caen 15 puntos”.

Ejemplo 1.35

En el siglo XIX, el astrónomo Urbain Le Verrier (1811 – 1877) estudió el desplazamiento del planeta Urano y encontró algunas perturbaciones que le sugirieron que era posible la existencia de un planeta cercano a aquél, el cual influía en su trayectoria. En 1846 predijo que ese planeta existía, determinó su posición y ese mismo año varias observaciones astronómicas lo ubicaron en el lugar predicho.

Ejemplo 1.36

En la República Mexicana existe un corredor volcánico que va del occidente al oriente. Es posible que alguno de esos volcanes haga erupción. Actualmente el volcán de Colima está en actividad. Un evento posible al respecto es:

“El volcán de Colima hará erupción en el año 2008”.

De estos tres ejemplos, se identifica como característica común “la posibilidad” de que ocurra un evento. En el primer ejemplo n ose puede predecir quién obtendrá la suma mayor; en el segundo, las leyes de la física clásica predecían la existencia de una masa que provocaba el fenómeno observado (las perturbaciones en el desplazamiento del planeta Urano), quizás otro planeta; en el tercero, un volcán en actividad es posible que colapse.

................................................................................................................................................

...Posible: Es aquello que puede ocurrir en relación a un fenómeno....................................................................................................................................................

En cuanto al término evento, éste es muy importante en la estadística y la probabilidad: se refiere a aquello que es posible que ocurra cuando se estudia un fenómeno y permite concentrar la atención de un investigador. En el Diccionario de la lengua española, de la Real Academia Española, se define como “hecho imprevisto, o que puede acaecer”, esto es, algo posible. Para nuestros propósitos, se relaciona a un suceso posible en un experimento.

................................................................................................................................................

...Evento: Es algo que puede o no suceder en el ámbito de un experimento o de una investigación....................................................................................................................................................

Actividades generales 1.1

A continuación se plantean diversas actividades de aprendizaje con la finalidad de que reafirmes tus conocimientos adquiridos sobre el tema de variables y sus

representaciones. En el primer grupo de actividades se incluyen ejercicios de asociación de situaciones y conceptos. En el segundo, se plantean situaciones para las cuales debes identificar una respuesta conceptual verosímil de varias posibles. El tercer grupo de actividades se compone de varias situaciones estadísticas prácticas en diferentes contextos, con datos que te permitirán aplicar una combinación de los conceptos aprendidos. Haz lo que se te pide en cada grupo de actividades. Si tienes alguna duda, acude con tus compañeros o con tu maestro(a).

I. Situaciones y conceptos

En cada uno de los casos siguientes, relaciona los campos 1 y 2. En el campo 1 se describen situaciones, cada una de las cuales se asocia con alguno de los conceptos estadísticos dados en el campo 2. En la columna de respuestas, anota entre los paréntesis la letra correspondiente al concepto relacionado a la situación planteada. Sólo darás una respuesta para cada situación.

1

RESPUESTA CAMPO 1 CAMPO 2( ) a. Juan obtiene, usando

un recipiente y una regla, y haciendo un cálculo, una medida en milímetros de la lluvia que cae en el mes de julio en Poza Rica, Veracruz, para comparar con la lluvia que caerá en ese mismo mes el próximo año.

A. Información

B. Muestra

C. Variable

D. Medida

E. Medición indirecta

( ) b. La población consta de 100 000 bacterias en un cultivo. María sólo toma 120 de ellas.

( ) c. José redactó la conclusión que obtuvo sobre los datos recogidos en su investigación.

( ) d. La presión arterial en los ancianos mayores de 65 años.

2

RESPUESTA CAMPO 1 CAMPO 2

( ) a. En un experimento se mide con cronómetro el tiempo de reacción en segundos de una sustancia química al ponerla en contacto con el agua. Se redondean los datos y se obtiene la diferencia entre el número redondeado y el número exacto.

A. Evento

B. Estadístico

C. Error relativo

D. Dato numérico

E. Parámetro

( ) b. Un investigador midió todos los datos de una población y observó el valor del dato mayor.

( ) c. En un experimento, un laboratorista observó “la cantidad en gramos obtenida del residuo X”

( ) d. Un técnico laboratorista calculó el porcentaje de sodio en una muestra de sangre.

3

RESPUESTA CAMPO 1 CAMPO 2( ) a. En una encuesta se

incluyó la pregunta sobre el color de los ojos. La variable se mide en escala:

A. Ordinal

B. Numérica

C. De relación

D. Nominal

E. De intervalo

( ) b. En una investigación se estudia la densidad de la población de aves por kilómetro cuadrado en Valle de Bravo. Esta variable se mide en escala:

( ) c. A Lourdes se le pide que establezca el nivel de la cultura de salud pública en el estado de Colima. La variable que se va a estudiar se mide en escala:

( ) d. Se propone medir la intensidad de una relación entre individuos en un grupo social, partiendo de -5 hasta 5, tomando cualquier valor. Esta variable se mide en escala:

4

RESPUESTA CAMPO 1 CAMPO 2( ) a. Se midió la

temperatura en cada uno de 20 pacientes que integran una muestra. Cada uno de ellos es un:

A. Elemento de muestreo

B. Error aleatorio

C. Error sistemático

D. Dato

E. Experimento

( ) b. El estudio de la venta de gas licuado en cada expendio arrojó: 23 000 l, 19 500 l y 27 000 l. Cada una de estas cantidades es un:

( ) c. Para su investigación, un científico repitió el fenómeno bajo estudio controlando tres factores: humedad, presión y altura; observó con cuidado los resultados. Se trata de un:

( ) d. Un investigador hizo mediciones con un reloj que se atrasaba 7/100 de segundo cada minuto. Cometió entonces un:

5

RESPUESTA CAMPO 1 CAMPO 2( ) a. La distancia entre dos

estrellas se obtiene por:A. Medición directa

B. Medición aleatoria

C. Medición indirecta

D. Medición característica

( ) b. Un juez deportivo utiliza la cinta de medir para determinar la longitud del salto de un atleta. Su medición es una:

( ) c. Mediante sorteo para no emitir un juicio tendencioso, se seleccionó un animal cuyo peso se prefirió registrar en kilogramos. Se obtuvo una:

II. Situaciones y planteamientos

A continuación se presentan cuestiones que pondrán en duda tu aprendizaje. Debes reflexionar cuál de las cuatro proposiciones, relacionadas con la situación, es verosímil. Subraya la que elijas.

1 En su investigación, Carlos tomó una muestra de los ingresos diarios en pesos en las tiendas escolares de 50 escuelas primarias en Campeche. En todas ellas el ingreso es de $ 2 800.00.

a. La muestra es representativa de la poblaciónb. Los datos recogidos son aleatorios.c. El evento “en cada una de las 50 tiendas los ingresos diarios son de $2 800.00” es

improbable.d. Debe usar la estadística inferencial para obtener una conclusión correcta.

2 Georgina explicó en su conferencia el proceso de investigación estadística que siguió para obtener su conclusión, la cual a partir de una muestra muy pequeña, generalizaba los resultados a una población grandísima. Sus explicaciones acerca de por qué la generalización era válida fueron aceptadas.

a. Sus conjeturas eran correctas.b. Su defensa se basó en la estadística descriptiva.c. Aplicó técnicas de la estadística inferencial.d. Su conclusión era exacta.

3 Cuando Juan lanzó una moneda al aire 100 veces para divertirse, no se trataba de un experimento aleatorio porque:

a. Esto es una investigación, pero no un experimento.b. No hay una pregunta y una intención planteadas.c. Todo experimento aleatorio se refiere a fenómenos en los cuales no se puede

predecir un resultado.d. No se sabe si los resultados se comportarán con una proporción exacta.

4 Cuando se divide 2 entre 7, todas las cifras decimales que se obtienen no son aleatorias, porque:

a. No aparecen todos los dígitos.b. Empiezan con un dígito par.c. Ninguna es aleatoria.d. Se puede predecir cualquiera de las cifras decimales del cociente de esta división.

5 Susana, que es modista, tiene problemas porque las 100 blusas “untadas” al cuerpo que le pidieron no han satisfecho a sus clientas por la forma en que les quedan en la parte de la cintura. Le han dicho que siempre comete un error sistemático.

a. Toma medidas sobre la blusa que llevan puesta.b. Cambia de cinta de medir.c. Las clientas van a que se les tomen medidas el día que se les da la gana.d. No cobra lo que le deben.

6 Se tiene una población de datos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Neeman escribe los números en papeletas iguales, introduce éstas en un sombrero, y toma a la suerte dos de ellas. Obtiene 0 y 3.

a. La muestra no es aleatoria ni representativa porque los números son de los más pequeños.

b. La muestra es tendenciosa.c. La muestra debe ser desechada y se debe tomar otra hasta que sea

representativa.d. La muestra es aleatoria y representativa porque el proceso seguido es aleatorio,

como el de una lotería.

7 Al trabajar tecleando en la computadora, Sheviit, quien se dedica a transcribir largos documentos legales, se equivoca. Ella determina que los errores que comete son de tipo aleatorio porque:

a. La computadora es de un modelo antiguo.b. Son escasos y no repetitivos.c. Trabaja de noche.d. La luz de la lámpara es insuficiente.

8 El número de granos de arena en la Tierra es una variable que se puede medir porque:

a. Basta contarlos.b. Mediante las mediciones de una muestra se puede obtener una medida indirecta.c. Se puede redondear su número.d. Se conoce la longitud y profundidad de las playas de todo el mundo.

III. Contextos y conceptos

Las siguientes actividades implican la aplicación de los diferentes conceptos estudiados y aprendidos en este tema. Lo ideal es trabajar en equipo. Reúnete con algunos de tus compañeros de grupo para realizar el trabajo.

1 En un centro experimental agropecuario del estado de Guanajuato se crían cerdos. Se separa una camada de 30 de ellos en dos grupos, A y B. A los cerdos del grupo A se les prepara un alimento especial que se supone puede engordarlos mucho más en 6 meses, sin alterar las propiedades alimenticias ni el sabor de su carne. A los del grupo B se les da el alimento habitual. El científico que estudiará el efecto del alimento diseña un procedimiento de investigación y plantea las siguientes preguntas antes de iniciar el estudio, las cuales tú debes contestar.

a. ¿Cuál es la pregunta que se debe plantear acerca del proceso que voy a estudiar?b. ¿Cuál es la variable de interés respecto a cada grupo de cerdos?c. ¿Cuáles son las poblaciones bajo estudio?d. ¿Qué otras componentes características serán necesarias después en la

investigación?e. ¿Es éste un experimento? ¿Por qué?

2 El precio de los combustibles y aceites para embarcaciones pesqueras es un factor importante en los gastos que se realizan en cada temporada de pesca. El dueño de una embarcación en Sonora quiere estimar el gasto, en pesos, de energéticos y lubricantes para su salida en la próxima temporada. Se va de pesca todas las veces que puede. En la siguiente tabla se muestra el registro de los gastos en pesos de combustible y aceites en las últimas 6 temporadas.

1 2 3 4 5 63600 3790 3980 4200 4400 4490

a. ¿Cuál es la variable bajo estudio?b. ¿Cuál es la unidad de la variable bajo estudio?c. ¿En qué escala se mide la variable?d. Los datos del dueño de la embarcación, ¿corresponden a una muestra? ¿Por qué?e. ¿Por qué se les llama datos a estos números que representan gastos en

combustible y aceite?f. ¿De qué tipo y densidad es la variable bajo estudio?g. Analiza los datos. Aproximadamente, ¿cuántos pesos gastará el pescador en

aceites y combustible en la próxima temporada?

3 En un centro meteorológico en el estado de Veracruz, se mide la velocidad del viento en kilómetros por hora. Antes de la llegada de un huracán en un mes de septiembre, las 10 mediciones máximas son las que se muestran a continuación.

65.05 68.59 69.92 73.76 78.87 78.94 83.75 89.85 92.08 95.57

a. ¿Qué se pregunta el investigador si obtiene datos como éstos?b. ¿Para qué podrían ser útiles estos datos?c. ¿Cuál es el elemento de la muestra?d. ¿Serán estas velocidades representativas de cualesquiera velocidades de los

vientos antes de la llegada de un huracán a cualquier costa? ¿Por qué?e. ¿En qué escala se mide la variable? ¿Por qué?f. En este caso, ¿cuál es la diferencia entre un dato y la información que se obtiene?

4 La familia Castilla se cambió a su nueva casa en la ciudad de Oaxaca a principios del año 2002. El señor Castilla sospecha que se gastó más agua potable en el año 2003. Para comparar los consumos mensuales de agua potable en metros cúbicos en su casa habitación correspondientes a los años 2002 y 2003, los anota como se muestran en la siguiente tabla

Mes E F M A M J J A S O N DAño2002 30 33 36 40 41 45 48 38 38 36 35 332003 32 34 40 50 52 57 57 42 38 36 36 32

a. ¿Cuál es la variable que estudia el señor Castilla? ¿En qué escala se mide?b. Para los fines del señor Castilla, los datos de cara año, ¿son una población o una

muestra? ¿Por qué?c. Describe la población que estudia el señor Castilla.d. El señor Castilla suma los metros cúbicos de agua gastados cada año. Cada uno

de esos nuevos números, ¿es un estadístico o un parámetro? ¿Por qué?e. Observa el comportamiento del consumo. ¿Qué información o conclusión puede

extraer el señor Castilla de los datos que posee?f. ¿Cuáles razones pueden darse a los resultados observados?g. ¿Cuál es la diferencia entre dato e información?

5 En el centro comercial Meridian en la ciudad de Mérida, el supervisor del área de lácteos revisa en el sistema computarizado el nivel de inventario al fin de semana de toda la leche que se vende en el establecimiento. Para la leche en envase de cartón, las últimas 10 semanas arrojaron los siguientes datos en litros, considerando las 4 marcas a la venta: A, B, C y D.

1200 1540 1470 1300 1100 1350 1290 1320 1370 1050

a. ¿Cuál es la población que se estudia? Defínela.b. Construye otra definición de la población que se tiene que estudiar, con un menor

grado de generalidad.c. Construye otra definición de la población que se tiene que estudiar, con un mayor

grado de generalidad.d. ¿Cuál es el inventario promedio semanal (media aritmética) de la leche en envase

de cartón? ¿Es este dato un estadístico o un parámetro? ¿Por qué?e. ¿Qué tipo de medición practica el supervisor? ¿Directa? ¿Indirecta? Explica.f. ¿Cuán posible es el evento “el inventario semanal de leche en encase de cartón

está por debajo de los 1 100 litros”? ¿Por qué?

6 La administración de una mina de plata en el estado de Hidalgo practica una encuesta a sus 800 trabajadores. Se les piden datos sobre cuestiones relacionadas con su trabajo. La encuesta tiene varias preguntas; entre ellas, las siguientes:

1) Edad: ___ años.2) Estado civil

Casado Soltero Viudo Divorciado

3) ¿Tiene hijos? Si____ No ____

4) Si contestó afirmativamente a la pregunta anterior, ¿cuántos hijos tiene?5) ¿Cuál es el estado de las instalaciones de seguridad?

Excelentes Buenas Regulares Malas

6) La capacitación en materia de seguridad esExcelente Buena Regular Mala

a. ¿Es éste un experimento o una investigación? Indaga y explica cuáles son las diferencias o coincidencias de ambos conceptos.

b. ¿Se estudia la población o una muestra? Explica.c. Ochenta y cinco por ciento de los trabajadores contestaron que sí tienen hijos. ¿Es

éste un parámetro o un estadístico? ¿Por qué?d. ¿De qué tipo y densidad es la variable “número de hijos”?e. ¿En qué escala se mide la variable “estado civil”?f. ¿En qué escala se mide la variable “la capacitación en materia de seguridad es…”?

7 El ingreso per cápita de México en el año 2004 fue aproximadamente 2040 dólares estadunidenses. Esto es, cada habitante del país ingresó en promedio esa cantidad de dólares al país en ese año. Esta cantidad, ¿cuántas cifras significativas tiene? ¿Por qué?

8 Los representantes del Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) practican exámenes de conocimientos y habilidades a estudiantes de tercer grado de secundaria en toda la República Mexicana, para conocer su nivel de aprovechamiento. Un día llegaron a una secundaria en una ciudad del estado de San Luis Potosí, y le indicaron al director que debían aplicar un examen a 30 de los estudiantes de tercer grado. Para ello, tomaron las listas de grupos y seleccionaron a 30 estudiantes mediante un sorteo. En todas las secundarias donde el INEE practica exámenes se procede así. Los puntajes que obtuvieron los 30 jóvenes seleccionados, en una escala de 0 a 10, se dan ordenados del menor al mayor en la siguiente tabla.

2.26 4.26 4.63 5.41 5.79 6.233.25 4.40 5.06 5.41 5.81 6.323.65 4.49 5.12 5.54 5.88 6.353.93 4.53 5.17 5.63 5.99 6.534.04 4.53 5.39 5.64 6.18 6.62

a. ¿Los datos obtenidos son los de una población o los de una muestra? ¿Por qué?b. ¿El INEE practica un experimento aleatorio? ¿Por qué?c. ¿Qué información quieren conocer los investigadores del INEE?d. Los datos obtenidos en esta secundaria, ¿les permitirán conocer lo que buscan?e. ¿Cuáles fueron la mayor y la menor calificación? ¿Son parámetros o estadísticos?

¿Por qué?f. La medición hecha, ¿fue directa o indirecta? ¿Por qué?g. ¿Cuántas cifras significativas tienen las calificaciones?h. ¿De qué tipo y densidad es la variable que se mide? ¿Por qué?i. Redondea las calificaciones a décimos.j. ¿La muestra tomada es representativa de los estudiantes de esa secundaria? ¿Por

qué?

9 Los siguientes datos son mediciones del peso en gramos de 10 papas tomadas al azar de diferentes sacos de un cargamento procedente de Pinos, Zacatecas, y puede ser comprado por un comerciante. Las papas se seleccionaron para tener idea de su peso y consistencia física (buena, regular, mala).

148.54 166.80 159.62 140.81 175.79 165.00 149.36 156.94 152.87 170.65

a. ¿Cuáles son las variables que observa el comerciante?b. ¿En qué tipo de escala se mide cada variable?c. ¿De qué tipo y densidad son las variables que se observan?d. ¿Cuál es el elemento de la muestra y qué dato proporciona?e. ¿Cuántas cifras significativas tiene cada dato? ¿Por qué?f. Redondea los pesos a décimos y ordénalos del menor al mayor.g. ¿Cuál es el rango de los pesos de las papas (rango = dato mayor – dato menor)?h. Si los datos son una muestra representativa de todas las papas, ¿cuán posible es

que existan en gran cantidad papas de 140 gramos? ¿Por qué?i. ¿Qué es una muestra representativa?

10 El diámetro de la base de un poste de concreto para cableado eléctrico debe ser igual a 30 cm 0.5 cm. Toda remesa de postes se revisa, antes de enviarla al cliente, mediante un muestreo de 10% de los postes y se mide su diámetro. Si más de tres postes sobrepasan o tienen menor diámetro que el esperado, se revisan otros 20 postes del mismo lote; si nuevamente se encuentran tres o más postes fuera del rango establecido, se revisa todo el lote de 200 postes. Los datos obtenidos de una muestra son los siguientes.

30.06 29.98 29.61 29.94 30.4428.53 29.98 29.80 29.48 30.6029.78 29.48 30.12 30.13 30.3730.15 29.97 29.71 30.25 29.72

a. ¿Cuál es la medida de la incertidumbre máxima esperada?b. ¿Cuál es la medida del error relativo esperado?c. ¿La medición es directa o indirecta? ¿Por qué?d. ¿Qué información es la importante para tomar una decisión?e. ¿Deberán revisarse otros 20 postes? ¿Por qué?f. Redondea las cantidades y determina ahora cuántos postes con cumplen las

especificaciones. Obtén una conclusión al respecto.g. Calcula el error de redondeo de los cuatro datos en la primera columna.h. ¿La variable que se estudia es continua o discreta? ¿Por qué?

11 El dueño de un puesto de revistas en el centro de la ciudad de Morelia registra las ventas semanales en pesos de las últimas 10 semanas por concepto de periódicos y revistas. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ventas

revista(s) 9800 8600 8900 6700 9600 7900 8700 5600 9300 8600

Ventas periódico(s) 7500 7650 7350 7430 7680 7550 7590 7670 7620 7540

a. ¿Cuáles variables estudia el dueño del negocio?b. ¿Qué tipo de variables son? ¿Y por su densidad?c. Define las dos poblaciones que observa el dueño del local.d. Escribe una historia de las ventas observadas para cada caso.e. ¿Cuáles ventas muestran más variación? ¿A qué crees que se deba? Da dos

razones.f. De acuerdo con los datos, ¿cuántas cifras significativas tiene cada serie de datos?

¿Por qué?

12 El gerente de una gasolinera lleva un registro de las ventas diarias de gasolina en litros. Las ventas de la última semana, las cuales se muestran en la tabla siguiente, fueron superiores a las de otras semanas.

Día 1 2 3 4 5 6 7Ventas 3590.28 4678.95 3998.24 4005.74 3880.63 6792.67 5824.33

a. Redondea los datos a décimas.b. Calcula el error de redondeo para cada dato, y explica si se redondeó por exceso o

por defecto.c. ¿Es posible que suceda el evento “las ventas del día son mayores de 6 800 litros”?

¿Por qué? ¿Cuál es la base de tu respuesta?d. ¿Es posible que el evento “las ventas semanales son menores de 28 000 litros”?

¿Por qué? Justifica tu respuesta.

13 En el laboratorio de química de una escuela se utiliza un termómetro analógico para medir temperaturas. La encargada sabe que da medidas con 0.5 °C de más. En una práctica, se calentó un litro de agua durante 4 minutos y se tomó la temperatura con ese termómetro. El experimento se repitió 8 veces. Los datos obtenidos se muestran a continuación.

Experimento 1 2 3 4 5 6 7 8Temperatura(ºC) 59.67 60.03 59.49 58.64 59.39 60.18 59.10 60.08

a. Calcula las temperaturas reales.}

Experimento 1 2 3 4 5 6 7 8Temperatura(ºC)

b. ¿Qué tipo de error ocurre en las observaciones hechas con el termómetro?c. ¿Qué factores en el laboratorio pueden incidir en la variación de las mediciones,

que sean causa de errores aleatorios? Menciona tres de ellos.d. Observa los datos. ¿Crees que varían mucho? ¿Cuál puede ser la causa?e. Según su densidad, ¿de qué tipo es la variable?f. ¿En qué escala se mide la variable?

14 Un biólogo mide con un instrumento de alta precisión la longitud en milímetros de 12 hormigas podadoras, tomadas al azar de una colonia en estudio, la cual ha sido alimentada con una bacteria poseedora de un gen que se supone puede reducir la talla. Las mediciones se registran en la siguiente tabla.

4.200 3.980 4.210 4.500 4.034 4.1094.408 3.990 4.004 4.305 4.220 4.209

a. ¿Cuántas cifras significativas tienen los resultados de las mediciones? ¿Por qué?b. ¿Cuál es el promedio, o media aritmética, del tamaño de las hormigas?

Recordemos que

Media aritmética =x =suma de las medicionesnúmero de mediciones

Respeta las reglas de operación estudiadas y da el resultado.

c. ¿Qué tipo de medición realizó el biólogo?d. Redondea las mediciones a centésimas, y vuelve a calcular la media aritmética de

las longitudes. Compara los dos resultados y explica lo que ocurre.e. La longitud promedio de las hormigas, antes de alimentarlas con la bacteria, era de

4.3 cm. ¿Qué inferencia puede hacerse al respecto? En promedio, ¿ha disminuido la longitud de las hormigas?

f. Días después, el biólogo midió dos hormigas más; obtuvo los datos en milésimas y los redondeó a centésimas: 4.23 cm y 4.04 cm. ¿Cuáles pudieron ser los datos que obtuvo en milésimas?

15 En un experimento físico, se mide la masa de 5 protones para aproximarla a su valor de masa promedio.

1.58x10-24 1.61 x10-24 1.63 x10-24 1.59 x10-24 1.60 x10-24

a. ¿Cuántas cifras significativas tiene cada medida?b. ¿Cuál es la masa promedio estimada de los protones?c. ¿Qué tipo de medición debió hacerse para obtener la masa de cada protón en la

muestra?

16 El volumen de un pequeño robot en forma de prisma rectangular, construido en un centro de investigación en robótica en la ciudad de México, es una variable que ocurre al azar. Las medidas de los lados de uno de ellos, en milímetros, son: 0.052, 0.0405 y 0.03876.

a. ¿Cuántas cifras significativas posee cada una de las medidas?b. ¿Cuál es el volumen del robot?

17 Estudiantes de medicina de una universidad en Aguascalientes miden la velocidad en metros por minuto del caminar en ancianos mayores de 65 años que hacen ejercicio diariamente en diferentes parques públicos de la ciudad, a diferentes horas del día y en distintas estaciones del año. Además, les practican un estudio médico. Los resultados de 40 paseos de otros tantos ancianos se muestran en la tabla siguiente.

51.5 55.1 58.5 60.7 61.9 63.5 64.5 67.352.8 55.6 58.6 60.8 62.1 63.7 65.4 68.654.0 56.7 58.7 61.1 62.2 63.9 65.9 68.854.0 58.1 59.0 61.4 62.6 64.1 66.0 69.6

54.8 58.1 60.6 61.6 63.2 64.3 66.7 69.9

a. ¿Qué elementos conforman la muestra?b. ¿Cuál es la población en estudio? Defínela de nuevo reduciendo su grado de

generalidad-c. ¿La muestra es representativa de la población? ¿Por qué?d. Redefine la población, esta vez con menor grado de generalidad.e. ¿Para qué podría ser útil la información recabada?f. ¿En qué escala de medición se mide la variable estudiada?g. Si se calcula la velocidad promedio, ¿cuántas cifras significativas tendrá? ¿Por

qué?h. De acuerdo con los datos, ¿cuán posible es el evento “la velocidad promedio en

una caminata en los ancianos mayores de 65 años es menor a 50 metros por hora”?

18 El tiempo de vida promedio en segundos de diferentes partículas de la física se muestra en la siguiente tabla. (Tomada de R. Resnick y D. Halliday (1989), Física, Editorial Continental, México, p. 604)

Muón 2.197x10-6

Lambda 2.578x10-10

Omega 1.3x10-10

Compara mediante un cociente la vida de las diferentes partículas y escribe los resultados con las cifras significativas que correspondan.

Resumen

La estadística es una ciencia que crea métodos para estudiar el comportamiento de conjuntos de datos, especialmente su variación. Esos datos proceden de poblaciones o de muestras. Cuando provienen de una población, se efectuó un censo. Los resultados numéricos obtenidos de los datos numéricos se llaman parámetros.

La estadística descriptiva es la que se ocupa de crear procedimientos para representar y describir masas de datos numéricos con variación; la estadística inferencial tiene como objetivo obtener conclusiones acerca de una población con base en las mediciones de una muestra. Los resultados numéricos que provienen de muestras se llaman estadísticos.

La información es un producto de los datos; es una conclusión que se obtiene a partir de las medidas de una muestra o de una población, o bien de gráficos o esquemas que las resumen. De esta manera, distinguimos dato de información.

Los experimentos permiten obtener mediciones y datos de otros tipos. Los aleatorios se distinguen porque no es posible predecir un resultado al efectuarlos. Estos experimentos proporcionan a la estadística su valor, porque las mediciones que de ellos se obtienen tienen variabilidad. La observación en un experimento o en una investigación se refiere a una o varias variables.

Las variables son características que se miden y pueden asumir diferentes valores. En un experimento las variables pueden controlarse. Por su tipo son cualitativas o cuantitativas. Por su densidad son discretas o continuas. La medición de las variables se hace utilizando una escala. Las más comunes son nominal, ordinal, de intervalo, y de razón.

La medición y la representación de las medidas aproximadas es sumamente importante porque determinan la calidad de la información (conclusiones). Al medir se cometen errores, por lo que ninguna medición es exacta. Hay dos tipos de errores de una medida: sistemáticos y aleatorios. El error de una medición se define como

Error = número redondeado – número exacto.

En la ciencia, la notación sistematizada de una medida es convencional: se representa por cifras significativas. Éstas determinan cómo se realizan las operaciones de multiplicación y división de mediciones. Una cifra significativa es relativa a la precisión del instrumento de medición.

Las operaciones de suma y resta dependen de las cifras decimales en las cantidades. El resultado se redondea a la cantidad de decimales de la cifra con menos decimales.

Lo que es posible cuando se observa un fenómeno se llama evento. Los eventos son importantes en la estadística porque permiten enfocar la atención de un investigador en una posibilidad particular.

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