~ 1 ~

Las funciones en el contexto de los problemas de máximos y mínimos

La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le cortan cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa, como lo muestra el dibujo de la derecha. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados que se quitan para que la caja tenga el máximo volumen posible?

PROPÓSITO

~ 2 ~

Antes de que revises el contenido de esta unidad, es muy importante de que conozcas: que aprenderás y para que aprenderás.

étodos del precálculo para aproximarte a la solución de los

problemas de máximos y mínimos.

¿Qué aprenderás? Conceptos de función, variables, dominio, rango, así como un método aritmético-

geométrico para graficar funciones. Utilizar la computadora para resolver problemas de máximos y mínimos.

Resolviendo problemas de la vida cotidiana

en los que realizarás en equipo un trabajo sistemático y ordenado, que tiene dos momentos: en el primero, tu equipo trabajará para proponer sus ideas y alternativas de solución a los problemas planteados; después, en un segundo momento, en el grupo cada equipo expondrá sus resultados y argumentará sobre cómo los obtuvieron.

¿Cómo lo lograras?

Como producto de este trabajo se llegará a la solución de los problemas. También utilizarás la computadora y la calculadora.

Para conocer la

utilidad de la matemática en la resolución de problemas de máximos y mínimos, así como para contextualizar el concepto función. Además se pretende que con esta forma de trabajo se cumplan los propósitos generales de nuestro bachillerato, como son:

¿Para qué aprenderás?

Desarrollar tu creatividad y tu habilidad para resolver problemas y que aprendas a trabajar en equipo.

Aprender a escuchar con propiedad a tus compañeros y desarrollar tu habilidad para la lectura y comprensión, tu expresión oral y escrita, así como tu capacidad para tu crítica propositiva y la crítica constructiva.

Propiciar valores como tu autoestima, la valoración de tu trabajo, tenacidad, tu sentido de responsabilidad, la solidaridad, la libertad y justicia.

~ 3 ~

Introducción

Es muy común encontrarse en la vida con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible; es decir, la decisión óptima. Tales problemas abundan en las distintas ramas de la ciencia y la tecnología, como la economía y la ingeniería. Para resolver estos problemas es indispensable elaborar un modelo matemático que se llama función del problema. Por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas pérdidas de material, o de fabricar piezas que sean lo más resistentes posible y al mismo tiempo lo más ligeras que sea posible; de reducir los gastos de producción, economizando no solamente materia prima sino también combustible, energía eléctrica, tiempo y otros factores. Estos problemas que se reducen a obtener un efecto máximo (máxima producción, máxima resistencia, etc.) o un mínimo (mínimas pérdidas, mínimo peso, mínimos costos, etc.) que se conocen con el nombre de problemas de optimización (también se les llama problemas sobre máximos y mínimos o problemas sobre extremos).La experiencia ha mostrado que enfrentar situaciones de este tipo con ayuda de las matemáticas resulta útil y, en la mayoría de los casos, imprescindible.El empleo de las matemáticas en la resolución de problemas de maximización empezó aproximadamente hace 25 siglos. Al principio no hubo un enfoque único en la solución de problemas de optimización. Fue hasta el siglo XVII cuando se creó un método general que permitió resolver problemas de máximos y mínimos de la más diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron ilustres sabios y científicos de todas las épocas como: Euclides, Arquímedes, Apolonio, Herón, Tartaglia, Torricelli, Johann y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz y muchos otros.

Este método general, complementado con los conceptos que le sirven de sustento: función, límite, y derivada, se constituyó en una rama del conocimiento matemático a la que se le ha dado el nombre ya clásico de cálculo referencial.

El método de cálculo diferencial resultó ser una poderosa herramienta para la resolución de problemas de optimización de las más variadas ramas de la ciencia y de la técnica; también proporcionó una comprensión más profunda de la naturaleza y de las leyes que la rigen, porque pueden ser formuladas como problemas de optimización. Los sistemas mecánicos, la luz, la electricidad, los líquidos y los gases, etc., se comportan de un modo tal que su evolución minimiza o maximiza ciertas cantidades físicas. Fermat encontró que la refracción de la luz se explica por el hecho de que, al propagarse de un punto a otro en un medio heterogéneo, la trayectoria de refracción es precisamente la que requiere el tiempo mínimo.

1.1

~ 4 ~

La evolución paulatina de la ciencia y de la técnica, particularmente vertiginosa en el siglo xx, planteó toda una serie de nuevos problemas de optimización que, a pesar de su aparente simplicidad, no se pudieron resolver con el método de cálculo diferencial. La necesidad de dar respuesta a tales problemas condujo a la creación de nuevas ramas de la matemática, como el cálculo variacional, la programación lineal, el análisis convexo y la Teoría de la Dirección Óptima.Se pueden distinguir diferentes niveles sobrados de complejidad de los problemas de optimización, y a cada uno le corresponde un método de solución y su respectiva teoría de la matemática. En nuestro curso sólo analizaremos el método de solución de los problemas elementales de optimización, cuya teoría es el cálculo diferencial. Pero el calificativo de elementales no es sinónimo de fáciles o de poco interesantes, pues abordaremos problemas importantes desde el punto de vista de su sentido práctico y también con un cierto grado de complejidad.

ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 1

Este esquema muestra lo que estudiaremos en esta unidad; su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso.

Resolverás problemas de máximos y mínimos

Con la herramienta matemática del precálculo

Estudiarás la estrategia de resoluciónde estos problemas

En este contexto estudiarás las funciones

~ 5 ~

~ 6 ~

Resolución de problemas de máximos y mínimos con el precálculo

Actividades de aprendizaje 1 El gallinero. Doña Josefa, habitante de Ures, ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas

cautivas, pero esto le ha ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa; sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de material para cercarlo. Si el terreno donde desea construir es de 20 metros por 40 metros, ¿qué dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compró) para que este abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas?

Recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro.

[a][a] Con tu equipo lee el problema y anota lo que se te pide encontrar.[b][b] Has un dibujo en el que representes el gallinero, con la condición de que incluyas la

información que se te proporciona en el problema. Coloca la base del gallinero paralela al lado del terreno de 20 metros. Antes de hacer el dibujo, con tu equipo elaboren la lista de información contenida

en el enunciado del problema.[c][c] A continuación dibuja cuatro rectángulos distintos ( que simulen el gallinero) donde la

longitud de la cerca sea de 50 metros.[d][d] De estas opciones, ¿cuál es la mejor? ¿por qué?[e][e] ¿Son las únicas opciones posibles? ¿Cuántas mas existen?

Para responder estas preguntas toma en cuenta lo siguiente:Como lo observaste en la actividad del inciso [d], puedes construir al menos cuatro gallineros: significa que existen al menos cuatro medidas para la base, que vamos a llamar b. Consideremos que se le puede asignar a b el valor de 1 metro y después se le puede asignar cada entero consecutivo hasta llegar a 20 metros; esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 formas distintas.Ahora tomemos en cuenta que la base puede tomar valores numéricos que tengan décimos, del 1 al 20, entonces b adquiere los siguientes valores: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5... hasta el 20. Significa que se puede hacer gallinero de 200 formas distintas. Si le asignamos a la base valores que tengan centésimos del 1 al 20, se pueden hacer 2000 gallineros.

También la base puede tomar valores numéricos que tengan milésimos, del 1 al 20, entonces se pueden hacer 20000 gallineros de formas distintas. Y así sucesivamente.

[f][f] como ya te diste cuenta, existen muchas posibilidades de construir el gallinero. Anota y ordena la información de los rectángulos en el cuadro 1.1, que se muestra a continuación. Si hay casillas que no se puedan llenar con valores numéricos, argumenta por qué.

1.2

~ 7 ~

En las celdas del último renglón del cuadro escribe las fórmulas que utilizaste para calcular altura, largo del cerco y área.

Cuadro 1..1 Información de

algunos gallineros de este

problemaBase (m)

Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m2)

58101418202530b

[g][g] De los valores que se enlistan en el cuadro 1.1, ¿cuál gallinero representa la mejor opción?

[h][h] De todos los posibles gallineros que existen, ¿el que seleccionaste en la actividad anterior representa el de mayor área posible?

[i][i] Si piensas que existe una mejor opción, ¿entre que valores de la base se encuentra? Para que tengas más claridad de donde buscar colorea en el cuadro 1.1 las tres mejores opciones.

[j][j] Utiliza el cuadro 1.2 para encontrar mejores aproximaciones, si es que las hay. Si lo consideras necesario aumenta el número de renglones que se proponen.

Cuadro 1.2 Mejores aproximaciones a la solución del problemaBase (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m)

[k][k] De los valores enlistados en el cuadro 1.2, ¿cuál es la mejor opción? ¿Es esta la mejor opción de todos los gallineros que existen?

[l][l] Hasta el momento podemos concluir cual es la mejor opción de números enteros. Pero de la actividad del inciso [e] se desprende que existen gallineros en números que no son enteros. Elabora una tabla con mejores aproximaciones en los números con décimos. Posteriormente elabora un cuadro con mejores aproximaciones en los números con centésimos.

Comentario

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Cuando resuelves un problema, por lo general esperas con facilidad que su solución se encuentre en los números enteros positivos; sin embargo, no siempre es así. El tipo de numero que se obtiene en la resolución de los problemas es variada: es decir, la solución de un problema puede expresarse con números cuya escritura y operación son mucho más complejas que los números enteros positivos.Por esta razón, a continuación encontrarás una lectura para proporcionarte información del tipo de números que has manejado hasta aquí, en el estudio de las matemáticas a lo largo de tu carrera escolar.

Lectura complementaria: números reales

Con tu equipo lee y subraya las ideas más importantes de cada párrafo. Posteriormente coméntalas con tu grupo.

Los números naturalesSon considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. Inicialmente su representación fue hecha por medio de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII, IIIIIIII....... Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente; intenta de esta manera representar el numero 68. Esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII,IIII , IIII I, IIII II ....Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números. El antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω

Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar más cerca del método de las marcas.

Para agrupar emplean un solo símbolo para representar alguna cantidades (IIIII viene e ser V) e introducen la convención de que IV denota “uno antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI.....En nuestro sistema numérico también se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11......Se puede argumentar, y con razón, que cualquiera de los sistemas anteriores es más razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En los primeros dos ejemplos la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestado al alfabeto. Los números romanos se construyen de una forma muy natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como V, X, L, C, D, M, etc., los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distintos símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo

~ 9 ~

parece por completo ajeno y sin relación con el número que presenta.La primera ventaja considerable de nuestro sistema la encontramos cuando contamos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un número. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.

Los números enterosLos números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos (naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos. La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.C. y siempre se les rechazó por que se pensaba que no correspondían a la solución de problemas prácticos. Fueron llamados “absurdos” por Diofanto en el siglo III d.C., y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso de álgebra del siglo XIV; Cardano los llamó ”ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de 2° grado, para Descartes eran “raíces falsas”.Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; estas la enunciaron de forma indirecta porque no usaban los signos + y -.

Los números racionalesUn número racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por

ejemplo: 3, 12 ,

29100 , 2.157. Cuando

se escriben en su forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en honor de su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros o con razones de números enteros. Por ejemplo, asociaron al 2 con el hombre, al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que en un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la razón 3 a 2, una quinta: y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías más agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física- matemática. Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triangulo rectángulo cuyos cateos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación:

c2 = 12 + 12 =2

Entonces descubrieron que c no puede ser un número racional. Esto causo una grave crisis en la filosofía griega de aquel momento.

Los números irracionalesComo ya se dijo, sí; c2 = 12 + 12 =2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser numero racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que posen una cadena de decimales que no tiene

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fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: √2=1.41421356..., e, etcétera.Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en cursos de

matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico. Al conjunto de todos estos números se les conoce como números reales.

Actividades de aprendizaje Hasta aquí realizaste un trabajo numérico para aproximarte a la solución del problema anterior; este método es laborioso y con el no siempre podemos obtener la solución de los problemas. Por esta razón, ahora recurriremos a un método gráfico para ver si es posible resolver este tipo de problemas.Continuemos trabajando con el problema. El gallinero

[a] localiza los puntos del cuadro 1.1 en el plano cartesiano representando la base del rectángulo en el eje x y su área en el eje y.

[b] En el mismo plano incluye los valores del cuadro 1.2.[c] ¿Son todos los puntos que se puedan graficar? ¿Por qué? [d] Traza la curva sobre los puntos que localizaste.[e] Señala las columnas de los cuadros que se utilizaron para hacer la gráfica.[f] ¿Que representa cada punto de la gráfica en el problema del gallinero?[g] Señala con color rojo el punto de la gráfica que representa la solución que hará feliz a

doña Josefa.[h] Utilizando la gráfica, estima (valor aproximado) las coordenadas de ese punto y con

ellas elabora una propuesta de solución al problema. Redáctala de manera breve, clara y sencilla.

ComentarioEn el problema anterior se te presentaron dos procedimientos para aproximarte a la solución del problema: el método numérico y el método gráfico. Para obtener la aproximación con el método gráfico necesitas hacer la gráfica del problema. Para esto es importante que recuerdes los conocimientos necesarios de la geometría analítica.

A propósito de esta importante rama de las matemáticas, se te ofrece una lectura complementaria del ilustre matemático René Descartes, en la que se describe el nacimiento de la geometría analítica.

Lectura complementaria: René Descartes:

Con tu equipo lee y subraya las ideas más importantes de cada párrafo y con estas elabora un comentario y léelo con tu grupo.

La geometría analítica, mucho más que cualquiera de sus especulaciones metafísicas, inmortaliza el nombre de René Descartes y constituye el

máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas.

JHON STUART MILL.

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Este brillante matemático nació en Giras, Francia, el 31 de marzo de 1596. Fue el tercer hijo de una familia noble. Se aplazó su educación formal por ser un niño débil y enfermizo. A los 8 años ingreso al colegio jesuita La Fleche. Su condición enfermiza hizo que tuviera algunas concesiones en la escuela, como levantares tarde si él lo deseaba. Esta costumbre la siguió a lo largo de su vida, tiempo que utilizaba para la meditación; quizás esto influyó para que siempre tratara de conocer la causa de todo lo que lo rodeaba. En este colegio conoció a Mersenne; famoso aficionado a la ciencia y a la matemática, quien fue su más antiguo compañero y llegó a ser su agente científico y protector en jefe. Dejó la escuela en 1612 y se dirigió a Paris. Ahí volvió a encontrarse con Mersenne, con quien consagró dos años al estudio de la matemática. Posteriormente, conoció a Isaac Beeckman, uno de los matemáticos más eminentes de su época, quien reconoció al instante su genio y reavivó el interés del joven por los problemas matemáticos. Durante aquel invierno, Beeckman le propuso a Descartes que encontrara la ley matemática que rige la aceleración de los cuerpos que caen. Ninguno de ellos sabía que Galileo había resuelto ya dicho problema. Su solución apareció en su obra Dialogi de 1632. Descartes estableció diversas soluciones.

En 1649 viajo a Suecia, en donde finalmente murió, en Estocolmo, el 11 de febrero de 1650 a causa de una inflamación en los pulmones.A René Descartes se le atribuye la invención de la Geometría Analítica; en ella reine los métodos de Álgebra y de la Geometría, dando pie a un poderoso instrumento con el que se pueden resolver problemas de matemáticas y describir muchos fenómenos de la naturaleza. La Geometría Analítica permitió solucionar muchos problemas geométricos que los griegos no habían podido resolver e hizo posible abordar problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos, dando lugar al nacimiento de la Mecánica.Descartes publicó en 1637 uno de sus libros más famosos: discurso del método para guiar la razón y encontrar la verdad de las ciencias. Incluyó como un apéndice una de las obras matemáticas más brillantes de todos los tiempos: La Geometría, en la cual expuso su nueva teoría, que fue determinante para el nacimiento del Cálculo Diferencial e Integral unos 50 años más tarde.En la Geometría Analítica la herramienta básica es el plano cartesiano, en el que puedes representar puntos utilizando coordenadas rectangulares, llamadas también cartesianas en honor a su creador. El primer valor de las coordenadas se llama abscisa y el segundo valor es la ordenada.

Actividades de aprendizaje 2 La llantera. En un lote baldío de 50 metros por 100 metros, una compañía llantera

requiere colocar la barda a un terreno rectangular de 550 metros cuadrados de superficie,

~ 12 ~

dejando sin barda el lado que da al norte por que será utilizado como entrada. ¿Qué dimensiones deberá tener el terreno para que la longitud de la barda sea la mínima?

Recomendación: anota el problema y cada uno de los incisos en tu cuaderno. Asegúrate de comprender lo que vas hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro.

[a] Con tu equipo lee el problema y haz un croquis con la información que se proporciona.[b] Escribe lo que se te pide encontrar.[c] ¿Cuántos rectángulos de 550 metros cuadrados como los dos del croquis se pueden

obtener? [d] Enlista algunas de esas opciones en el cuadro 1.3. Si consideras necesario, aumenta el

número de renglones. En las celdas del último renglón del cuadro escribe las fórmulas que utilizaste para calcular altura, largo de la barda y área.

[e] Con los valores del cuadro, elabora una gráfica en el plano cartesiano.

Cuadro 1.3 Información de algunas llanteras de este problemaBase (m) Altura (m) Área cercada (m2) Largo de la barda

(m)

b

Representada en el eje x la base del terreno a bardear y en el eje y la longitud bardeada. Une los puntos localizados trazando una curva. Señala con color las columnas del cuadro que utilizaste para hacer la gráfica.

[f] En la gráfica, ¿qué representa cada punto?[g] ¿En qué punto de la gráfica se encuentra la solución de este problema? Señálalo con

rojo.[h] Utilizando la gráfica, estima las coordenadas de ese punto y con ellas elabora tu

propuesta de solución al problema ( remárcala). Redáctala de manera breve, clara y sencilla.

[i] ¿Cómo quedaría trazada una recta tangente a la curva en ese punto? Dibújala con color azul. Si tienes problemas para resolver esta actividad lee la siguiente lectura complementaria al final de este problema.

A partir de este momento se te solicitará dibujar una recta tangente en el punto más alto o más bajo de la gráfica del problema. En la siguiente unidad los problemas te plantearán el trazo de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

~ 13 ~

En la secundaria y el bachillerato tecnológico has estudiado a la recta tangente en los cursos de geometría. Para mejorar las ideas que has adquirido sobre este tema a continuación se presenta una lectura.

Lectura complementaria: recta tangenteCon tu equipo lee y subraya las ideas más importantes del párrafo y con estas elabora un comentario y léelo en el grupo.La definición que estudiaste en los cursos anteriores de matemáticas de la recta tangente para curvas suaves y cerradas es:

Figura 1.2 Circunferencia con la recta tangente p en el punto m

Figura 1.3 La gráfica de la izquierda muestra una recta que no es tangente y toca la curva en un solo punto; la derecha muestra una recta tangente en el punto m que toca a la curva en dos puntos.

~ 14 ~

1. Una recta p es tangente a una curva en un punto m si m es el único punto de contacto de la recta con la curva.

Como lo muestra la figura 1.2, esta idea de la recta tangente se ajusta perfectamente a lo que estudiaste en los cursos de geometría de la secundaria y el bachillerato.Debes entender la insuficiencia de tal definición para curvas no cerradas. La figura 1.3 ayuda a que lo comprendas. Considerando la primera definición podemos concluir que en la figura 1.3 la gráfica de la izquierda muestra una recta tangente a la curva en el punto m y la gráfica de la derecha muestra una recta

que no es tangente a la curva en el punto m. Ambas afirmaciones son incorrectas.La siguiente es la versión mejorada de la anterior definición:

2. Una recta p es tangente a una curva en el punto m si la recta p toca a la curva en el punto m, pero no la toca en ningún otro punto “cercano” a m.Aunque la definición es un poco más precisa, aun no es todo correcta; averigua por qué. (En la siguiente unidad mejoremos esta definición). ¿Tú, tu equipo y el grupo pudieron resolver los problemas anteriores? Si es así, ¡felicidades!

Enseguida se incluye un problema resuelto con el objetivo de que lo revisen en clase y reafirmen algunas cuestiones que trabajamos hasta aquí.

Actividades de aprendizaje 3 La jaula del zoológico. Se desea construir una jaula rectangular para encerrar a un león.

Para ello sólo se cercarán tres lados, ya que se utilizará la barda poniente del zoológico como cuarto lado. Si el material disponible para el cerco son 30 metros lineales, halla las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la mayor área posible.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN [a][a] de la lectura del enunciado obtenemos que lo planteado es: encontrar las dimensiones

de una jaula rectangular que ocupe la mayor área posible. [b][b] En la figura 1.4 se muestra el dibujo del problema.[c][c] Como observaste en los problemas anteriores, hacer una grafica del problema resulta

útil para establecer una aproximación de la solución. Para elaborar la grafica, primero es necesario contar con un cuadro de valores (trabajo que se muestra a continuación).

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Figura 1.4 Dibujo del problema de la jaula del zoológico

Cuadro 1.4 Algunas opciones del problema de la jaula del zoológico

Base (m) Altura (m) Largo del cerco (m) Área cercada ( m2 )1 28 30 283 24 30 725 20 30 1007 16 30 1129 12 30 10811 8 30 8813 4 30 5215 0 30 0

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En el problema anterior te diste cuenta de que para llenar el cuadro de valores primero tenemos que determinar los valore que puede tomar la base. Esto se hace considerando las condiciones establecidas en el enunciado, en este caso: El valor de la base tiene que ser mayor que cero (b> 0) y menor que 15 (b<15). Entonces en el cuadro 1.4 habrá valores de la base del 1 al 15.Enseguida elaboramos ejemplos de los cálculos de la altura y el área cercada para que tengas claro como se obtuvieron estos valores:

Ejemplos de los cálculos:

Llamaremos L al largo del cerco; se sabe que: L = 30m y L = 2b + h.Despejando h obtenemos h =30- 2 b.Además, si A es el área de la jaula que es rectangular, tenemos: A = bh

Cálculos: para b=1 para b=3m h= 30-2(1)=28 m y h= 30-2(3)= 24m y A= 1 (28)= 28m2 y A=3 (24)=72 m2

[d][d] Representamos en el plano cartesiano el área de la jaula en el eje vertical y la base en el eje horizontal.

[e][e] Localizamos en el plano cartesiano todas las parejas de valores (b,A) que se encuentran en el cuadro.

[f][f] Localizados los puntos, los unimos con una línea curva sin despegar el lápiz del papel.

[g][g] La curva que resulta es la gráfica de la fórmula del problema ( véase la figura 1.5).[h][h] A continuación localiza el punto de la gráfica que representa la jaula de mayor área.

Para esto tendremos que localizar el punto más alto de la curva (véase la figura 1.5). la gráfica nos indica que este punto tiene coordenadas (7.5, 112.5). Verifícalo. Estos valores dependen de qué tan bien elaboramos nuestra gráfica y por lo tanto pueden variar.

[i][i] Con esta información se puede establecer una buena aproximación de la solución del problema.

Figura 1.5 Gráfica del problema de la jaula delzoológico

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Solución: las dimensiones de la jaula rectangular de mayor área son:

Base de 7.5m. La altura se determina: h= 30-2(7.5)=15m El área máxima es: 112.5 m2.

COMENTARIOS DEL TRABAJO REALIZADO HASTA AQUÍ

1. Cada uno de los problemas anteriores te mostró que se puede tener un “número muy grande” (gigantesco) de posibilidades, ya sean gallineros, corrales, llanteras, jaulas, tantas como puntos tiene la gráfica del problema.

2. Dependiendo del problema, la solución la encontraste en el punto más alto de la gráfica si el problema es de máximos y en el punto más bajo de la gráfica si es de mínimos.

3. En el trabajo de los problemas anteriores observaste que; a pesar de elaborar cuadros con cálculos numéricos de cuatro columnas, al momento de hacer la gráfica del problema solo se utilizan dos columnas.

4. De las columnas utilizadas para elaborar la gráfica del problema, en el eje horizontal del plano cartesiano representarte los valores de la primera columna y en el eje vertical los valores de la cuarta columna. Por ejemplo, en el problema de la llantera representarse los valores de la base en el eje horizontal (primera columna) y en el eje vertical los valores de la longitud bardeada (cuarta columna). En el problema del gallinero, en el eje horizontal se pueden representar los valores de la bases (primera columna) y en el eje vertical su área (cuarta columna). En el problema de la jaula del zoológico se representó en el eje horizontal los valores de la base (primera columna) y en el eje vertical su área (cuarta columna).

5. Lo anterior significa que cuando queramos elaborar la gráfica del problema es necesario hacer cuadros con dos columnas. De aquí en adelante, cuando tracemos la gráfica de un problema utilizaremos cuadros con dos columnas.

6. Es importante señalar que cuando se realiza el trabajo de elaboración de cuadros con dos columnas, los valores de la primera columna se escogen de acuerdo con las condiciones que establece el problema, pero los de la segunda columna dependen de los de la primera y tienen que calcularse utilizando una fórmula.

7. Como pudiste observar, realizar un dibujo con toda la información de un problema resulta muy útil porque nos ayuda a comprenderlo mejor. Pero existen otras

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posibilidades, como el siguiente problema, en el cual, además del dibujo se puede fabricar un “modelo físico“ del objeto de estudio con papel, cartón, cartulina, etc. Siempre que el problema lo permita, se te sugiere que elabores un modelo físico y anotes en el toda la información que se te proporciona en el enunciado.

Actividades de aprendizaje 4 La caja. Un fabricante desea hacer cajas sin tapa para envasar un producto. Para esto, hará

uso de piezas rectangulares de cartón de 50 por 30 centímetros, cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas y doblando como la ilustra el profesor al construir el problema físico del problema. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será cortado en cada esquina, si se quiere obtener que encierre el mayor volumen posible.

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Recomendación: En tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro....................................................................................................................................................

[a][a] Escribe lo que el problema te pide hallar.[b][b] Encuentra la fórmula para calcular el volumen de una caja como la planteada del

problema.Con el trabajo que has realizado hasta aquí, en tu equipo ya comprendieron el problema. Los siguientes dos incisos son para elaborar la fórmula con la que tienes que calcular los valores de la segunda columna del cuadro.Si tu equipo tiene dificultades para entender cómo se elabora la fórmula del problema, se te sugiere que realices: los ejemplos numéricos suficientes para que observes la figura geométrica que está presente en el problema, así como sus dimensiones y conceptos geométricos que ésta involucra. Por ejemplo, en este problema elabora ejercicios, en los que, conociendo el valor del lado del cuadrado que cortaste en cada esquina, calcules largo, ancho, alto y volumen de la caja. Recuerda esta recomendación siempre que tengas dificultades para hacer la función del problema.

[c][c] Si le llamamos x a la longitud del lado del cuadrado que se va a cortar, escribe las dimensiones de la caja, es decir, largo, ancho y altura, expresadas en términos de x.

[d][d] Encuentra una expresión que calcule el volumen de la caja que solo dependa de x y llámale V (x). Esta fórmula se conoce como la función del problema. Para que comprendas el significado de función y la lectura correcta de V (x) lee el apartado 1.3 titulado: las funciones. Después de hacer esta lectura prosigue este problema.

[e][e] En el plano cartesiano realiza la gráfica de la relación anterior, representando en el eje horizontal la longitud x y en el eje vertical el volumen de la caja.

[f][f] Localiza el punto de la gráfica donde se encuentre representada “la caja de mayor volumen”, señálalo con color diferente al de la gráfica y con esta información elabora una propuesta de solución al problema planteado.

[g][g] Traza una recta tangente a la curva en el punto anterior.

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PARA DISCUTIR EN EQUIPOo Revisa el proceso que se siguió para resolver los problemas anteriores, con la

finalidad de que puedan observar la estrategia empleada en la resolución. Después escribe en tu cuaderno los pasos que pudiste apreciar en esta discusión.

o Considerando esta estrategia, resuelve los problemas que se te plantean a continuación en los problemas extraclase. Antes lee y comenta el problema resuelto que se te presenta para que puedas apreciar el dominio que has adquirido de este tema. Si tienes dificultades acude con tu profesor.

Actividades de aprendizaje 5 La lata sin tapa. Un fabricante desea construir latas de forma cilíndrica y sin tapa para

envasar su producto. Encuentra las dimensiones para que la lata resulte lo mas económica posible; es decir, para que el área de hojalata empleada en cada bote sea mínima, sabiendo que el volumen de cada lata será de un decímetro cúbico (un litro).ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN

[a][a] como has observado en los problemas anteriores, es importante comprender el problema para obtener la resolución. Para esto realizamos lo siguiente:

o Leemos, discutimos y analizamos el enunciado del problema.o Elaboramos un dibujo o modelo físico con toda la información importante del

enunciado. Un dibujo de este problema es como el de la figura 1.6.

Figura 1.6 Dibujo del problema de la lata sin tapa

[b][b] Con tu equipo elabora el modelo físico del problema.

~ 20 ~

[c][c] Enseguida anotamos lo del problema pida hallar: las dimensiones de la lata sin tapa de menor área. Si eres capaz de hacer todo lo que se ha descrito hasta este momento, con seguridad tendrás una idea bastante clara del problema y estarás en condiciones de salir adelante. Si no es así, se te sugiere que vuelvas a hacer todo lo anterior, reiniciando desde la lectura del enunciado, y donde tengas dificultases plantéaselas a su profesor.

[d][d] Para continuar con la resolución de nuestro problema es fundamental elaborar la función del problema. Recuerda que si esta actividad te resulta difícil, se te sugiere realizar ejemplos numéricos en los que calcules el área de la lata sin tapa.Con tu equipo realiza cuando menos dos ejemplos numéricos del problema. Si el volumen es de 1 dm3, asígnale dos valores al radio y calcula la altura y el área de la lata.o Como la función se obtiene con las fórmulas del problema, revisamos que

relaciones existen en el problema de la lata sin tapa.De los ejemplos numéricos que realizaste observaste que se calcula el área de la lata sin tapa con la formula: A = π r2 + 2 π r. También se involucra el volumen de la lata; como lo recordarás, este se determina con la fórmula: V= π r2 h.Si observas el enunciado del problema, dice: “Buscamos la lata de área mínima”. Esto significa que en nuestro problema debemos elaborar una función que exprese el área de la lata, es decir, la variable dependiente es el área de la lata. La variable independiente la seleccionaremos del resto de las variables del problema, r o h.

o para elaborar la función de nuestro problema partimos de :A = π r2 + 2 π r. ( 1 )

Como queremos que solo dependa de r, necesitamos buscar un valor para h y sustituirlo en 1. Esto hace utilizando la fórmula de volumen:

V= π r2 h. ( 2 )

Como V= dm3, entonces despejando h de (2) y obtenemos h = 1π r2 .

Sustituimos este valor en (1) y obtenemos la función del problema:

A(r) = = π r2 + 2 π r (1π r2 )

Realizando las operaciones indicadas obtenemos:

A(r) = = π r2 + (2r)

Que llamaremos la función del problema.

[e][e] Enseguida elaboramos la gráfica del problema para obtener una aproximación de su solución.o Para poder hacer la gráfica necesitamos realizar un cuadro de dos columnas con

valores numéricos. De la elaboración de la función del problema sabemos que:

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La variable independiente es r y la variable dependiente es A. o Para el llenado de la primera columna necesitamos obtener el dominio de la función,

en este caso es: r >0. De aquí seleccionamos valores para la primera columna del cuadro (véase el cuadro 1.5).

o Con la función calculamos los valores de la segunda columna (véase el cuadro 1.5).o Representamos los puntos del cuadro 1.5 en el plano cartesiano y los unimos para

obtener la gráfica del problema (véase la figura 1.7).

Cuadro 1.5

Figura 1.7 Gráfica del problema de y cuadro 1.5

[f][f] A continuación se obtiene la aproximación a la solución del problema.oo Para poder obtener la aproximación deseada utilizamos la gráfica del problema. En

ella localizamos el punto que representa la lata de menos área. Este punto será el más bajo de la grafica (véase la figura 1.7).Con la gráfica localizamos las coordenadas del punto más bajo (véase la figura 1.7). Estos valores pueden variar dependiendo de lo bien que hayas hecho la gráfica.Con las coordenadas obtenidas elaboramos nuestra propuesta de solución:

Sr. Empresario: La lata que te conviene hacer, es decir la lata de menor área, es aquella que tiene las dimensiones siguientes:Un radio de 0.7 dm. Este valor se localiza en el punto más bajo de la gráfica.

Una altura de 0.65 dm. Este valor se determina con la fórmula: h = 1π r2 .

Con un área de 4.365 dm3.

r A(r)0.1 20.03140.2 10.12560.3 6.94940.4 5.50260.5 4.78540.6 4.46430.7 4.39650.8 4.51060.9 4.76691 5.1416

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Recuerda que estos valores son una aproximación y pueden variar dependiendo de lo bien que elabores la gráfica del problema. Para saber si tienes una mejor aproximación que la que se te plantea en este problema, solo revisa que el área de tu propuesta sea menos que 4.3965 dm3.

[g][g] Por último, realizaremos dos actividades:oo Trazaremos una recta tangente a la gráfica del problema en el punto más bajo (véase

la figura 1.7).oo Revisaremos que la aproximación que planteamos es congruente con las

condiciones establecidas en el problema. Para esto revisa si:1)1) Se puede elaborar una lata cilíndrica sin tapa. 2)2) El radio esta en el dominio de la función del problema.3)3) Se obtiene la lata sin tapa de menor área.

Problemas extraclase 1 El corral del granjero. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por

una valla paralela a la altura del rectángulo. El granjero dispone de 240 metros lineales para el cerco, incluyendo la valla. Encuentra las dimensiones del corral de área máxima que puede construir

2 Un corral para el perro. Dos personas poseen lotes vecinos de 50 metros de largo por 25 de ancho. El primer vecino ha construido una barda alrededor de su terreno. El segundo quiere construir un corral rectangular de área tan grande como sea posible para encerrar a su perro; para esto dispone de 38 metros lineales de material para cercar y utilizará la barda como un lado del corral , es decir que solo cercara tres lados del corral ( véase en la figura 1.8).

Figura 1.8 Figura del

problema de un corral para el perro

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[a] si x representa la longitud del lado del corral que quedará en la barda del primer vecino, encuentra, en términos de x, la función del problema.

[b] ¿Qué valores pueden tomar x (como dominio de la función)?[c] Encuentra las dimensiones del corral que abarca la mayor área posible.

3 La alberca. Una persona tiene en su casa un patio rectangular que mide 20 por 30 metros y desea construir una alberca de forma rectangular, cuya área sea de 40 metros cuadrados. Determina las dimensiones del rectángulo para que la cantidad de material que use en las paredes sea la mínima.

4 La barra de margarina. Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de un prisma de base cuadrada, cuyo volumen es de 108 centímetros cúbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel (las dimensiones con las que se gastaría menos papel).

5 La caja para empacar harina. Se pretende empacar harina en cajas con tapadera, las cuales se fabrican usando laminas de cartón rectangulares de 40 cm de largo por 24 cm de ancho, cortando cuadrados iguales y doblando como se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9 Figura del problema de la caja para empacar harina

[a] ¿Cuánto mide el lado de los cuadrados que se cortan y que se hacen que el volumen de la caja sea máximo?

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[b] ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen?[c] ¿Cuál es el volumen de dicha caja?

6 La lata para envasar chocolate. Una compañía usa latas de forma cilíndrica para envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata (área mínima de la hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos.

7 La lata para envasar aceite. Una compañía fabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de un litro de capacidad para envasar el producto. Encuentra las dimensiones que debe tener la lata que requiera la mínima cantidad de material en su construcción.

8 Los postes. Dos postes, uno de 15 metros y otro de 10, se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas a una distancia de 20 metros. Calcula la longitud mínima de un cable que vaya de desde la punta de uno de los postes hasta el suelo y luego vuelva a subir hasta la punta del otro poste.

9 El libro. Cada una de las páginas de un libro debe tener 600 centímetros cuadrados de área, con márgenes de dos centímetros a los lados y tres centímetros arriba y abajo. Encuentra las dimensiones de la página que permitan la mayor área impresa posible.

10 El canalón. Si tienes asignado el trabajo de construir un canalón para transportar agua de lluvia de una hoja de metal de 15 centímetros de ancho, y a un tercio del ancho de la hoja se dobla esta hacia arriba un ángulo C para formar los lados del canalón ( tal y como se muestra en la figura 1.10), ¿Qué tan grande debe hacerse el ángulo C para maximizar el área de la sección transversal del canalón y por lo tanto su capacidad de acarreo?

Figura 1.10 Dibujo del problema del canalón

11 El

canalón (segunda versión). De una larga pieza de lámina de valor conocido (asígnale el valor que quieras) galvanizada de 51.5 cm de ancho, se va hacer un canalón para que conduzca agua, doblando hacia arriba las orillas de largo hasta formar ángulos rectos (véase la figura 1.11). Encuentra las medidas de ancho y la altura del canalón que permita que fluya el mayor volumen de agua.

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Figura 1.11 Figura del problema del canalón (segunda versión)

12 La ventana. Un arquitecto desea diseñar cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un triángulo equilátero (véase la figura 1.12). Si cada ventana tiene un área de tres metros cuadrados, ¿cuáles deben ser sus dimensiones para que el perímetro sea el menor posible?

Figura 1.12 Figura del problema de la ventana

Resumen:

En este tema tuviste la oportunidad de trabajar con problemas de máximos y mínimos, muchos de ellos enmarcados en tu realidad. Para aproximarte a su solución utilizaste el

~ 26 ~

precálculo, es decir la matemática que has estudiado hasta antes de este curso: aritmética, álgebra y geometría. Fue necesario recordar los tipos de números que has estudiado en la escuela: naturales, enteros, racionales e irracionales, así como algunas cuestiones elementales de geometría analítica como el plano cartesiano y la localización de puntos en este.Recordarás que cuando se resuelve un problema de máximos y mínimos es importante considerar una primera parte en la que se tiene que leer, discutir y analizar hasta llegar a comprender el problema. Enseguida, haces la función para llenar un cuadro de valores con el que elaboras su gráfica. Con la gráfica localizas aproximadamente las coordenadas del punto más alto o más bajo, según sea el caso, y con estos valores redactas tu aproximación del problema. Finalmente verificas si tu propuesta es congruente con la información del problema.

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Las funciones

Cuando resuelves problemas de máximos y mínimos como los anteriores aparecen lineamientos matemáticos que son comunes en estos problemas, tales como el uso de variables y fórmulas. Por ejemplo, en el problema de la caja determinamos que su volumen se calcula con la formula V(x)= (50-2x)(30-2x) (x); donde al escribir V(x) nos referimos al hecho de que V depende de x (V esta escrita en términos o en función de x). En el problema

de la lata sin tapa determinaste que su área se calcula con la formula A(r) = π r2 + (2r) ,

aquí A (r) significa que A depende de r (A esta escrita en función o en términos de r). De la misma manera, en el problema de la llantera, la longitud de la barda (L) está determinada

por L (b) = b + 2 ( 550b ) , donde L (b) expresa que L depende de b (L está en función o en

términos de b). En el problema del gallinero, su área está determinada por A (b) = b

( 50−2b2

) , con A (b) nos referimos al hecho de que A depende de b (A esta en función o

en términos de b).

1.3.1 ǀ Las variables de una función

En las fórmulas anteriores se distinguen dos tipos de variables: una se llama variable dependiente porque su valor depende de otra variable; en el caso del problema de la caja V(x) depende de x, de la misma forma que en el problema de la lata sin tapa A (r) depende de r, así como en el problema de la llantera L (b) depende de b. A la otra variable de una función se le conoce como variable independiente; en el problema de la llantera y en el gallinero dicha variable es b.

1.3.2 ǀ La definición de función

Usualmente una función se describe por medio de una fórmula que dice explícitamente como calcular los valores de la variable dependiente a partir de los valores de la variable independiente. Pero este no es siempre el caso, ya que algunas funciones son difíciles o imposibles de describir con fórmulas y deben ser representadas por otros medios. De acuerdo con esto, el concepto de función es más amplio, mas general que el concepto de fórmula.A las relaciones o fórmulas mencionadas en este apartado los matemáticos le llaman funciones. En 1755 Leonhard Euler definió a la función de la siguiente manera “si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se las llaman funciones de las últimas”. Desde entonces a la fecha este concepto ha ido evolucionando hasta llegar a la definición actual: “Si a cada valor que puede tomar la variable independiente le corresponde un valor y solo uno de la variable dependiente diremos que dicha correspondencia es una función”.

1.3

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1.3.3 ǀ Dominio y rango de una funciónA todos los valores que puede tomar la variable independiente en una función se la conoce como dominio de la función y lo denotaremos con D. Por otro lado, a los valores que toma la variable dependiente se la llama rango, contradomino o imagen de la funciona y lo denotaremos con I. Por ejemplo, en el problema de la caja, los valores que toma la variable independiente (x) son: 0< x < 15; esto es, el dominio de la función. Todos los valores que en este problema toma la variable dependiente, V ( x ), Se denomina rango o imagen de la función. En el problema de la llantera, las valores que puede tomar la variable dependiente (b) son 5.5 ≤b≤ 50 (dominio de la función) y los valores que toma la variable dependiente, L ( b ), es el rango o imagen.Los valores de la variable independiente (dominio de la función) normalmente son establecidos por las condiciones del problema y cuando estas condiciones están escritas en una relación, los matemáticos las llaman restricciones.Cuando se quiere escribir el intervalo que construye el dominio y el rango de una función, los matemáticos utilizan primero el valor más pequeño de todos, llamado extremo inferior, y lo denotan con a. Después toman al valor más grande de todos, llamado extremo superior, lo denotan con b. y emplean la simbología que se describe a continuación:Intervalo abierto. Representa todos los valores numéricos entre a y b, sin incluir a a ni b, y se escribe (a, b). Una manera grafica de representar este intervalo es:Figura 1.14 Gráfica que representa un intervalo abierto

Intervalo cerrado. Representa todos los valores numéricos entere a y b, incluyendo a a y b y se escribe [a, b]. Se representa así:

Figura 1.15 Gráfica que representa un intervalo cerrado

Intervalo semiabierto. Existen dos posibilidades y representa todos los valores numéricos entre a y b, incluyendo a o b. Se escribe (a, b] o [a,b). Se representa:

Figura 1.16 Gráfica que representa

intervalos semiabiertos

~ 29 ~

Por ejemplo, cuando se habló en este apartado del dominio y el rango de la función, hicimos notar que en el problema de la llantera el dominio de la función es 5.5 < b< 50. Si utilizamos la notación recién descrita, diríamos que el dominio de la función es [5.5, 50] y gráficamente se representa:Figura 1.17 Ejemplo de un intervalo carrado

Otro ejemplo de esta notación es el problema de la jaula del zoológico, en el que el dominio de la función es 0< b < 15 o (0, 15) y gráficamente se representa:Figura 1.18 Ejemplo de un intervalo abierto

Un tercer ejemplo en el que podemos ilustrar esta notación es el problema del gallinero, en el que se puede establecer que el dominio de la función es 0< b ≤ 20 o (0, 20] y gráficamente se representaría.Figura 1.19 Ejemplo de un intervalo semiabierto

1.3.4 ǀ La gráfica de una función

Una manera muy útil de expresar una función es con su gráfica. Dibujar la gráfica de una función es un trabajo que realizaste cuando resolviste los problemas de máximos y mínimos de esta unidad. Para esto hiciste lo siguiente:

o Elaboraste un cuadro de valores con dos columnas.

~ 30 ~

o En la primera columna colocaste los valores de la variable independiente. Éstos los obtuviste del dominio de la función.

o En la segunda columna colocaste los valores de la variable dependiente. Éstos los calculaste con la función.

o Posteriormente, representaste cada pareja de los valores del cuadro (coordenadas) en el plano cartesiano; en el eje horizontal, los valores de la variable independiente y en el eje vertical de la variable dependiente. Con esto obtuviste algunos valores de la gráfica.

o Finalmente uniste los puntos con un lápiz o color para dibujar la gráfica.Ya que una función es una relación en la que una cantidad variable depende de otra, podemos aplicar un criterio geométrico bastante simple para decidir si una gráfica representa o no una función.

Criterio de la recta verticalSi toda recta vertical cruza la gráfica siempre en un solo punto, dicha gráfica representa una función.

Figura 1.20 Gráficas que ilustran el criterio de la recta verticalResumen:

En este apartado estudiaste uno de los conceptos fundamentales del cálculo: la función. Aquí, te presentamos una de las primeras definiciones de función dadas por Leonhard Euler en 1755, así como una de sus versiones actuales.Se enunciaron los conceptos inherentes a una función como son: sus variables (variable independiente y dependiente), su dominio y rango, y su gráfica. Se mostraron los diferentes intervalos que se utilizan para describir el dominio y el rango de una función.Este trabajo se inscribe en el contexto de los problemas de máximos y mínimos que resolviste en esta unidad para darles significado a cada uno de estos conceptos.

~ 31 ~

Resolución de problemas de máximos y mínimoscon ayuda de la computadora.

Lectura complementaria: ¿ Qué es una computadora?.

Lee con tu equipo y elabora un resumen. Coméntalo en el grupo.

Una computadora es un aparato electrónico que procesa diversa información. Actualmente existen computadoras capaces de realizar operaciones simultáneamente.El uso de este aparato se extiende en la actualidad a las empresas, hogares e instituciones educativas y no existe un lugar prácticamente ajeno a ellas. Las más conocidas son las llamadas PC y las lap-top (tienen forma de portafolio y se puede transportar a cualquier parte).A una computadora se les suministran instrucciones y datos; la máquina los procesa y produce un resultado.La computadora se utiliza para manipular muchas formas de información: datos numéricos, textos, gráficas, música, sonidos, videos, etc. Estos aparatos pueden realizar operaciones matemáticas con gran rapidez, trazar gráficas, dibujar figuras geométricas y moverlas en la pantalla.Los datos y las instrucciones originales se introducen en la computadora en un lenguaje especial de computación, llamado lenguaje de computación;

existen muchos de estos lenguajes, como Basic, Logo y Lenguaje C, entre otros.Un programa de computación es una lista de instrucciones que la computadora debe seguir en orden al procesar los datos. A quienes se encargan de escribir estos programas de computación se les conoce como programadores. Sin embargo, el usuario común de una computadora no necesita conocer ningún lenguaje especializado. Seguramente tú conoces algunos problemas: hay juegos, libros interactivos, enciclopedias y otros para facilitar el estudio de algunas materias escolares. En un primer paso, las instrucciones que aparecen en el programa se descodifican y ejecutan una por una en una unidad de procesamiento central conocida como CPU (central processing unit); la información y los resultados del proceso aparecen en la pantalla. Esta información se puede almacenar en discos magnéticos que pueden estar fijos, dentro de la computadora (conocidos como discos duros), o bien pueden ser portátiles, como los discos flexibles, discos compactos, etcétera.

1.4.1 ǀ Resuelve problemas de máximos y mínimos

1.4

~ 32 ~

con ayuda de la computadora

Los problemas que resolveremos a continuación son como los que resolviste en el apartado 1.2 y están diseñados para utilizar la computadora como auxiliar. En particular, se hace uso del paquete CALCULA©, aprovechando su rapidez para elaborar gráficas y trazar rectas tangentes a una curva en un punto dado de esta. Entre las actividades poder realizar para la resolución del problema, algunas te orientaran en el uso de la computadora con el paquete CALCULA. si tu plantel no cuenta con este programa para elaborar graficas, puedes recurrir al Excel que ya viene instalado en las computadoras que tienen Microsoft office. Si no conoces el uso de Excel. Recurre al anexo A, en el que se proporciona un pequeño manual de instrucciones básicas y prácticas para elaborar tablas y graficas. Si tienes dificultades para utilizar la computadora acude a tu maestro.

Actividades de aprendizaje 1 La siembra de hortalizas. Un granjero quiere sembrar hortalizas en un terreno

rectangular. Para proteger el sembrado lo cercará, disponiendo para ello de 21 metros lineales de material para la cerca. ¿Cuánto deberán medir los lados del terreno que abarquen la mayor área posible para sembrar la mayor cantidad de hortalizas?

[a][a] Considerando el trabajo que ya realizaste en los problemas de máximos y mínimos de esta unidad, con tu equipo realiza el trabajo necesario para elaborar la función del problema y establece su dominio.En este momento te dabas a la tarea de elaborar la gráfica del problema, ahora este trabajo la hará la computadora utilizando el paquete CALCULA.En caso de no tener este programa de cómputo puedes utilizar cualquier otro.

[b][b] Enciende la computadora e inicia el paquete CALCULA.[c][c] para que la computadora te auxilie en él la elaboración de la gráfica, necesitas

proporcionarle el dominio de la función. Con el mouse selecciona el icono a la izquierda de la pantalla que tiene los símbolos Xi Xf (también lo puedes hacer presionando ALT-X). Te pide el valor inicial; dáselo y oprime la tecla ENTER. Ahora te pide el valor final, dáselo y presiona ENTER.

[d][d] En tu cuaderno elabora un bosquejo de la gráfica del problema. Verifica en la actividad del inciso [ e ] si es correcto. En el bosquejo señala el punto que representa la solución del problema y dibuja una recta tangente a la curva en ese punto (verifica esto en la actividad [ h ] ).

[e][e] En la esquina inferior izquierda aparece: y= f(x); posiciona el cursor utilizando el mouse delante de esta expresión, introduce la fórmula del problema y coloca el cursor en el icono con la letra f. oprime ENTER para que la computadora elabore la gráfica.La computadora sólo reconoce como variable independiente a y o f (x) y como variable independiente a x. Recuerda esto para que hagas los cambios pertinentes en tu función al momento de introducirla al paquete CALCULA. Si no aparece la gráfica esperada, con el mouse activa el icono de escala que viene a la derecha de la pantalla y asígnale al eje horizontal y el eje vertical una escala adecuada para que al computadora te dibuje la gráfica.

[f][f] ¿Que representa cada punto de la gráfica?

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[g][g] ¿En qué punto de la gráfica esta el corral de mayor área? ¡Localízalo![h][h] ¿Cómo es la recta tangente a la curva en este punto? ¡Obsérvalo tecleando F4!

También lo puedes hacer con el mouse, presiona el icono f ‘(x) que está a la derecha de tu pantalla.En el caso de que no aparezca la recta tangente horizontal, utiliza las flechas izquierda y derecha del teclado para desplazar el punto sobre el eje de las x. De manera automática, tu cursor se desplaza sobre el eje x, avanzando un décimo a la vez; si quieres que el avance esa de un centésimo presiona una vez el signo de (-); si quieres que el avance sea un milésimo oprime una vez más el signo de (-) y así sucesivamente. En caso presionar el signo (+), tu avance retrocederá, por ejemplo, de los milésimos a centésimos o de los centésimos a decimos, etc..

[i][i] Con toda la información que tienes del problema, redacta tu propuesta de solución.[j][j] Verifica si tu propuesta de solución es congruente con la información que se

proporciona en el problema.[k][k] Si el granjero dispone de material para cercar 42 metros lineales, ¿cuáles son las

dimensiones que maximizan el área del terreno rectangular? Y ¿cuáles son las medidas de la base y la altura si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar son L metros lineales, ¿cuáles son las dimensiones que maximizan el área del terreno rectangular?

Actividades de aprendizaje

Con el proceso de solución discutido anteriormente y utilizando al computadora resuelve los siguientes problemas.

2 La lata sin tapa. ¿Cuál es la menor cantidad posible de material que se debe utilizar para construir una lata sin tapa de base cuadrada de 20 litros de capacidad? (recuerda que un litro equivale a un decímetro cúbico.) Es necesario minimizar la superficie de la lata.

3 La caja para cerillos. En una industria cartonera se planea construir una caja sin tapa para empacar cerrillos, para esto utilizará láminas de cartón de 8 centímetros por 6 centímetros, cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados como lo muestra la figura 1.21. Encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen.

Resumen

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En este apartado resolviste problemas de máximos y mínimos con ayuda de la computadora. Observaste la rapidez de la máquina para laborar la gráfica de la función. Esto resulta útil porque te libera del trabajo laborioso, tedioso, repetitivo y puedes emplear este tiempo para llevar a cabo con detenimiento las demás etapas del proceso. De aquí en adelante, cuando tengas oportunidad de hacerlo puedes utilizar la computadora para elaborar la gráfica de la función del problema.En este contexto, nuevamente trabajaste con las funciones, sus variables, su dominio y rango su gráfica. Una vez más aplicaste el proceso estudiando en el tema 2 para resolver problemas de optimización.

Recapitulación Unidad 1

En esta unidad resolviste problemas de máximos y mínimos con el precálculo, utilizando el lápiz, papel y calculadora o la computadora en este contexto:o Vinculaste a la matemática como

herramienta que resuelve situaciones reales y cotidianas en tu entorno.

o Se le dio significado a uno de los conceptos fundamentales del cálculo: la función, así como sus variables (dependiente e independiente), su dominio y rango, y su gráfica.

o Observaste las limitaciones del precálculo para resolver estos problemas propiciando la búsqueda de una herramienta matemática más efectiva; es decir, se motivó el estudio del cálculo.

o Utilizaste la computadora por su extraordinaria rapidez para elabora tablas o gráfica, liberándote así del trabajo laborioso tedioso y repetitivo.

Aplicaste tus conocimientos previos de aritmética: los números naturales, enteros, racionales e irracionales y sus operaciones básicas de álgebra (suma, resta, multiplicación y división). De geometría; la recta tangente y las fórmulas para calcular el área, perímetro y volumen de figuras elementales (cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo, circunferencia, cilindro, prisma de base cuadrada y rectangular). Y de geometría analítica: la localización de puntos en el plano cartesiano.

Para hacerte más ameno y facilitarte el recordatorio de algunos conocimientos previos se te plantearon las siguientes lecturas complementarias: los números reales; René Descartes; la recta tangente, y ¿qué es una computadora? Estudiaste el proceso para resolver máximos y mínimos: recordarás que el primer paso es, con tu equipo, leer, discutir, analizar, acordar, y comentar hasta llegar a comprender el problema.Resolviste los problemas utilizando primero un método numérico que resultó laborioso, por lo cual, después empleaste un método geométrico que consiste en elaborar la gráfica de la función del problema y te ofrece la posibilidad de acercarte más al método empleado en el cálculo para resolver este tipo de situaciones.Para finalizar este apartado, se te muestra un esquema que recoge lo más importante de lo descrito anteriormente.

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Actividades de confirmación de conocimientos

Para revisar si comprendiste lo trabajado en esta unidad, resuelve los siguientes problemas. Se te recomienda que si necesitas elaborar una gráfica utilices la computadora.

1 A continuación se te dan las siguientes tablas de valores. Utiliza la definición actual y de Euler del concepto de función y di en que tabla la relación es una función o no.

x y x y x y x y4 9 4 2 -10 0 -3 123 5 3 2 -8 6 -2 72 7 2 2 -8 -6 -1 41 3 0 2 -6 8 0 30 1 -1 2 -6 -8 1 4-1 -1 -3 2 0 10 2 7-2 -3 -5 2 0 -10 3 12

2 Con las tablas de valores del problema anterior, realiza lo siguiente:

[a] Escribe la fórmula que relaciona las variables independiente y dependiente.[b] Elabora la gráfica y con el criterio de la recta vertical verifica tu respuesta del

problema anterior.

3 Se retomó de un curso pasado de Cálculo el problema que se escribe a continuación. El cuaderno del que se copió presentaba deterioro y algunas partes del problema estaban borradas. Lee el escrito de lo que se recuperó y realiza el trabajo necesario para completar las partes que le faltan:

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Problema. Elabora la gráfica de la función A (b)= b( -b) en el dominio (0,50).

Proceso de resolución

Este trabajo fue realizado en equipo y como primer paso leímos, discutimos y analizamos la información proporcionada por el problema para comprenderlo.Comprendido el problema elaboramos el siguiente cuadro de valores.

b A(b)0 30 6008 33617 400

600 45 22525 50

1.1. Establecemos las variables: (la respuesta se borró).2.2. Del dominio seleccionamos 10 valores para la variable independiente (véase el

cuadro).3.3. Con la función calculamos los valores de la variable dependiente (los ejemplos se

borraron).4.4. 4.-representamos en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener

10 puntos de la gráfica. Unimos los puntos para dibujarla (este trabajo se borró).

4 El café Internet. En un lote baldío de 100 x 200 mts se construirá un café Internet. Su dueño tiene recursos suficientes para colocar 391.5 mts lineales de pared. Hallar las dimensiones del terreno rectangular del café internet de área máxima (que utilice todos los metros de pared disponibles).

5 El taller. En un lote baldío de 30 x 60 metros un mecánico requiere colocar la barda de un terreno rectangular de 200mts cuadrados de área que utilizará como taller; dejará sin barda la mitad del lado que da al oriente porque será utilizado como barda. Hallar las dimensiones del terreno rectangular cuya suma de longitud de barda sea la mínima.

6 El envase. Una compañía refresquera desea envasar su bebida. Para esto hará uso de una lata de forma de prisma rectangular (incluida la tapa superior). El volumen de la lata será

de 12 litro (500 cm cúbicos) y su largo será del doble de su ancho. Hallar las dimensiones

de la lata que minimizan la cantidad de material empleada en su construcción (la lata de menor área posible).

Auto evaluación

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Para que tengas oportunidad de retroalimentar en los temas estudiados en esta unidad, compara tus resultados de los problemas que resolviste en las actividades de confirmación de conocimientos con los que se te presente en este apartado. Si detectas algún aspecto que te hace falta comprender, regresa al texto y repásalo.Par resolver el problema 1 utilizaste la definición de función: la actual y la que dio Euler en 1755. Considerando lo que dice este concepto decidiste que cuando presenta una relación de función entre las variables independiente y dependiente.En el problema 2 hiciste lo siguiente: observando la relación que existe entre las variables del cuadro determinaste la fórmula que la relaciona. Para elaborar su gráfica representaste en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener puntos de la gráfica. Finalmente uniste los puntos para dibujarla (aquí aplicaste el criterio el área vertical para comprobar tus respuesta del problema 1

En el problema 3 aplicaste el proceso para elaborar la gráfica de función (que estudiaste en esta unidad) y completaste las partes borradas del texto.Para la resolución correcta de los problemas 4 , 5 y 6 con tu equipo debiste de hacer los siguiente:

1.1. Leer, discutir, analizar, acordar, aclarar dudas de lo que se plantea en el enunciado. Esto para comprender el problema. Con este trabajo:

a) Ubicaste lo que el problema te pide hallar o hacer.b) Elaboraste un dibujo o modelo físico del problema que contenga toda la

información del enunciado.2.2. Enseguida empleaste el precálculo para obtener una aproximación de la solución del

problema realizando lo siguiente:a) Los ejemplos numéricos necesarios para que tengas claro la figura

geométrica que aparece en tu problema y comprendas como se determina cada uno de los elementos de esta figura.

b) Un cuadro de valores para hacer la gráfica del problema( si tienes oportunidad, elabora la gráfica con la computadora) donde:o Definiste la variable independiente y dependiente de tu problemao Estableciste el dominio de la función (los valores que toma la variable

independiente)o Elaboraste la función del problema para determinar los valores de la

variable dependiente.c) En el plano cartesiano representaste las coordenadas del cuadro para

localizar puntos de la gráfica. Finalmente los uniste para dibujarlos.

3.3. Con la gráfica del problema localizaste las coordenadas del punto más alto o más bajo, según sea el caso y con esta información elaboraste tu propuesta de solución. Por último dibujaste una recta tangente a la gráfica del problema en el punto que representa la solución y revisaste si tu propuesta en congruente con la información del problema.

Solución de los problemas

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Una buena aproximación de tu propuesta de solución en cada problema debió ser la siguiente:

Señor empresario: Las dimensiones del café internet de mayor área posible son: la base de 97 mts y

una altura de 98.75 metros, con el área de 9578.75 metros cuadrados.

Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor de los que aquí se propone. Para saber si tu propuesta es mejor que la del texto solo verifica que tu área sea mayor.

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Señor mecánico: Las dimensiones del taller de menor longitud de barda son: la base de 12 metros y

una altura de 100

6 metros. Con una longitud de barda de 49 metros.

Nota. Estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor de la que aquí se propone. Si es mejor, la longitud de la barda será menor.

Señor empresario: Las dimensiones de la lata de mejor área posible son: su largo de 11 centímetros,

su ancho de 5.5 centímetros y su alto de 8.26 centímetros, con una área de 393.58 centímetros cuadrados.

Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor que la que aquí se propone. Si es mejor, tu área será menor.

Esperamos que hayas tenido éxito con el trabajo realizado hasta aquí, si es así ¡felicidades¡ te invitamos a seguir trabajando con más ahínco. Recuerda que el trabajo con tu equipo es fundamental.