COLEGIO DE B ACHILLERES

PLANTEL 1

CÁLCULO

I N T E G R A L

MC. MIGUEL ANGEL GOMEZ BARBOSA

I N D I C E

UNIDAD I

Diferenciales e integral indefinida 1.1 La diferencial

1.2 Definiciones de ∆x y f’(x) ∆x.

1.1.2 Reglas de la diferenciación

1.2La integral indefinida.

1.2.1 Antiderivadas., Constante de integración.

1.2,2 Significado geométrico de la constante de integración.

1.2.1 La integral indefinida y las reglas para la integración inmediata de diferenciales algebraicas, exponenciales y trigonométricas.

1.2.2 Integración por sustitución trigonométrica

1.2.3 Aplicaciones en administración y economía: costo total,

ingreso total y utilidad total.

UNIDAD II

Integral definida y los métodos de integración 2.1 2.1 Integral definida.

• La notación de sumatoria.

• Área limitada por la gráfica de una función continua y=f(x) en un intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0.

• Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemann.

2.2 Técnicas de integración

• Cambio de variable.

• Integración por partes.

• Fracciones parciales.

2.2.1 Denominadores con factores lineales.

2.2.2 Denominadores con factores cuadráticos.

UNIDAD III

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida

3.1. El teorema fundamental del cálculo y sus aplicaciones.

Integración aproximada: regla trapecial y regla de Simpson. Área y área entre dos gráficas.

3.2 Aplicaciones de la Integral definida. En situaciones de las ciencias naturales y sociales

OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO.

Aplicará los conceptos de integrales definidas e indefinidas, a partir del

conocimiento de las reglas de integración inmediata; mediante el uso de los

métodos de integración más comunes (integración por sustitución, integración por

partes, integración por sustitución trigonométrica e integración por fracciones

parciales), en la resolución de problemas relacionados con el cálculo integral de

áreas y volúmenes vinculados con las ciencias naturales y problemas relacionados

con el cálculo de los conceptos marginales de las ciencias sociales y

administrativas, mostrando una actitud de respeto y tolerancia en un ambiente de

aprendizaje colaborativo

METODOLOGÍA DE TRABAJO

Exposición teórica por parte de profesor de cada uno de los temas con los

correspondientes ejercicios de aplicación. Trabajo por parte de los alumnos en la

solución de problemas propuestos.

El desarrollo de la materia es 30% teórico y 70% práctico.

RECURSOS

Básicamente para el desarrollo de la materia se utiliza el pintarrón y calculadoras

científicas de preferencia Cassio, página de internet:

http://www.paginasprodigy.com.mx/migoba.tec/calculobachi.htm

Los talleres se entregan en el siguiente correo electrónico:

calculo.bachi@gmail.com

EVALUACION

Las evaluaciones son escritas e individuales. Cada evaluación busca medir el

grado en que el estudiante alcanzó los logros propuestos.

Participación activa en ejercicios en pintarrón. 10% Participación activa en ejercicios en clase.10% Taller en clase.10% Taller extraclase (tareas) 10% Trabajos de investigación.10% Examen.50%

Portafolio de evidencias.Productos: Delineación de conceptos, formularios, ejercicios y problemas resueltos. Desempeño: Resolución de ejercicios y problemas. Conocimiento: Prueba objetiva sobre los contenidos de la unidad.

FUENTES DE INFORMACION

1. Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson,2. Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009.3. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometria Analítica. Grupo Editorial

iberoamericana,1998.4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford

University Press, 2009.5. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.6. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.7. Hasser, Norman B. Análisis Matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.

Daría todo lo que sé, por la mitad de lo que ignoro.

Descartes

INTRODUCCIÓN

Uno de los primeros logros del cálculo, fue predecir la posición futura de un objeto,

a partir de una ubicación conocida y la función que representa su velocidad.

Además hemos podido, en muchas ocasiones encontrado una función a partir de

valores conocidos y una fórmula para su razón de cambio. En nuestros días,

calcular la rapidez que necesita un cohete en cierto punto para poder salir del

campo gravitacional de la Tierra o predecir el tiempo de vida útil de un objeto a

partir de su nivel de actividad y su razón de decrecimiento, son procesos

rutinarios, gracias al cálculo, mediante el uso de las derivadas. De aquí, podemos

concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un punto

móvil, podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curva

podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que

denominan como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de

este, que denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar

toda una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben

el nombre de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el

proceso contrario al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En

forma análoga podemos concluir que el problema de esta es, que si tenemos la

velocidad de un punto móvil, podemos hallar su trayectoria o si tenemos la

pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos, podemos calcular dicha

curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de integración, pero esta

es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos encontrar toda la

familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora, veremos de

qué se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real de

este trabajo.

Recomendaciones para el alumno.

A diferencia de la diferenciación (basta conocer las derivadas de las funciones

elementales básicas y las reglas de derivación para las funciones que resultan de

realizar operaciones aritméticas y de composición sobre tales funciones) en la

integración indefinida no existen reglas generales para el cálculo de integrales.

No obstante lo expresado anteriormente el integrando y sobre todo la práctica

sistemática sugiere aplicar tal método de integración según sea el integrando.

De lo que se trata es de tener disponibles nuestros recursos aritméticos y

heurísticos para descubrir cuál debe ser la clave de éxito.

¿A cuáles recursos me refiero?

o Reglas de integración. o Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

o Uso de tablas

¿Qué metodología te recomendó seguir?

1. Analiza si la integral está incluida en la lista de integrales declaradas como inmediatas. De ser así pues halla el resultado en la tabla y si no pues valora la posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna transformación algebraica o simplificación del integrando.

2. Clasifica el integrando en racional (a su vez en propia o impropia) o no racional.

Si es una fracción propia y es una fracción simple pues procedes como

corresponda según el tipo de fracción simple.

Si es una fracción racional propia no simple pues (excepto en casos

excepcionales) procede a descomponer en fracciones simples y luego como en el

inciso anterior.

Si la fracción es racional impropia efectúa la división para transformarla en la suma

de un polinomio y una fracción racional propia.

3. Si el integrando no es racional(es algebraico irracional o en caso contrario, trascendente) valora la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.

Historia

Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800

a.C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula

para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática

documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de

Eudoxo (circa 370 a.C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de

partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el

volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes,

que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del

círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China

alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo.

Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una

esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del

matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el

método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con

su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se

empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo

XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli,

que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la

derivación.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el

descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera

independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la

integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad,

comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular

integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una

clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural

alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El

llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con

dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo

moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de

Leibniz.

Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración,

su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo

Berkeley calificando los infinitesimales como los "los fantasmas de las cantidades

que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo

de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación

adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por

primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones

continuas fragmentadas y acotadas son Riemann integrables en un intervalo

acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no

se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de

la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras

definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.

Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para

indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se

confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y

además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello,

estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried

Leibniz en 1675 Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo

integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral

definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez

Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20,

reimpresa en su libro de 1822.

1.1 La diferencial

Definición

La diferencial de una función es el producto de la función por el incremento de la

variable independiente.

Dada la función y=x5

La primera derivada es y´=5x4

La diferencial es dy =5x5 x

Calcular la diferencial de la función

y= 2x3 para x=5 y el x=1.2

Obtenemos la derivada

y´= 6x2

Sustituimos

d(2x3) = 6x2x

d(2x3) = 6(5)(1.2)= 36

Recordemos que para expresar la derivada de una función podemos utilizar

cualquiera de las formas:

Df(x)= Cauchy

f´(x)= Lagrange

y´=Lagrange

dydx

=Leibnitz

(Se lee “derivada de y con respecto a x)

La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división y la

multiplicación, lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer su raíz

correspondiente.

En el Cálculo Diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f´(x) de

una función f(x).

Una de las nociones fundamentales de la integral, representa el área bajo la

forma:

¿Cómo podríamos calcular el área bajo esa curva?

Una noción sería de la siguiente manera:

Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando con círculos de los

cuales sabemos el área.

Sin embargo, existen espacios que no

han sido cubiertos y que podría

resultar impráctico llenarlos con

círculos más pequeños.

También podríamos intentar llenar el área bajo la curva con triángulos, pero al

igual que el llenado con círculos resulta impráctico, en el sentido que tendríamos

que calcular el área con diferentes triángulos o cualquier cosa y calcular su área

en particular.

Como podemos ver el área que falta por cubrir es menor, aunque sigue impráctico

este método.

Método de Arquímedes para cálculo del área limitada por una

circunferencia.

¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figura regular, como lo es

un rectángulo?

Materiales: Colores, juego de geometría.

Manera de proceder.

a) Traza una circunferencia de 5 cm de radio.

b) Traza en la circunferencia tantos rectángulos interiores y exteriores cuya base

sea igual a 1 cm.

c) Calcula el área de cada rectángulo midiendo la altura de cada uno; concentra tu

información en la tabla siguiente.

Rectángul

o

1 2 3 4 5 6 7 8 suma

Interiores

A(i)

Exteriores

A(s)

Rectángulos interiores

d) Promedia las áreas de los rectángulos interiores A(i) y los exteriores A(s)

obtenidos en la tabla.

e) A continuación se trazarán rectángulos de base menor a los anteriores ¿qué

objeto tiene esto?

f) Traza una circunferencia de 5 cm de radio.

g) Traza en la circunferencia tantos rectángulos interiores de base 0.5 cm.

h) Calcula el área de cada rectángulo midiendo la altura de cada uno; concentra

tu información en la tabla siguiente.

Rectángul

o

1 2 3 4 5 6 7 8 suma

Interiores

i) Escribe una expresión para el cálculo de todas las áreas de los rectángulos

interiores.

j) Si puedes simplifícala.

Explica con tus palabras como calculas el área interior.

k) Traza en una circunferencia tantos rectángulos exteriores de base 0.5 cm.

l) Calcula el área de cada rectángulo midiendo la altura de cada uno; concentra tu

información en la tabla siguiente.

Rectángul

o

1 2 3 4 5 6 7 8 suma

Exteriores

Promedia las áreas interiores y exteriores obtenidas en las tablas.

¿Cómo es el área del círculo obtenida por el método de Arquímedes en

comparación con la fórmula?

También se puede trabajar el rectángulo

de la siguiente forma.

Sabemos que resulta práctico calcular el área de un rectángulo, quedando algunas

sin llenar, y algunos rectángulos han sobrepasado el margen de la curva, por lo

que quedaría el área de la curva así:

Observamos que el área del rectángulo de lado x1 y f (x1) esta descrita como:

Áreadel primer rectángulo=x1 y f (x1)

Para el segundo rectángulo tendríamos un lado ∆ x2 y f (x2) está descrita como:

Áreadel segundorectángulo=x2 f (x2)

Si sumamos todas las áreas de los

rectángulos tendremos:

Áreaapro ximadadebajo de la curva=∑i=1

n

f ( x1¿)(∆ x i)¿

A medida que hacemos crecer el número de rectángulos bajo la curva, tendremos

una mejor aproximación al igual que sucedería con círculos y triángulos. Al hacer

crecer el número de rectángulos implicaría que los incrementos sean más

pequeños a fin de obtener una mejor aproximación.

Recordemos del cálculo diferencial, que los elementos diferenciales se generan de

los incrementos pequeños, por lo que podríamos pensar que a medida que

hacemos crecer la recta tendremos:

Á rea aproximadadebajode lacurva= lim∆ x →0

∑i=1

∝

f (x1)△ x1=¿∑

i=1

∝

f ( x1)dx i

¿

x1

Esta fue la forma clásica en que surge el concepto de integral, posteriormente a

esta aproximación se le fue modificando su notación hasta llegar a adquirir la

siguiente simbología:

∑ evolucionó→∫.

Por lo que una aproximación más acorde para el área debajo de la curva lo

podemos representar como:

Área aproximada debajo de la curva = ∑i=1

∝

f ( x1 ) d x1=∫ f (x ) dx

Este símbolo es conocido como la integral

Definición.

A una función F se le llama antiderivada de una función f(x), en un intervalo I, sí F

´(x)=f(x) para todo valor de x en el intervalo.

Por comodidad este concepto se expresa con la frase: “F(x) es una antiderivada

de f(x)”.

Las expresiones “integral definida” y “función primitiva” son sinónimos de la

palabra antiderivada.

Así para obtener una integral, se realiza la operación inversa a la diferencial, o sea

que si se obtiene la diferencial de una función se busca la función primitiva.

En otras palabras, si queremos calcular la integral de una función f(x), la estrategia

pasa por pensar qué función F(x) tiene por derivada la función original

Ejemplo:

Observa lo que sucede con la constante y completa la siguiente tabla

La diferencial es la misma en todos los casos, porque la derivada de la constante

es cero y la antidiferencial o antiderivada de 2x dx es x²+C, donde C es una

constante cualquiera.

Ejemplo.

Observa lo que sucede con la constante y completa la siguiente tabla.

.

La diferencial es la misma en todos los casos, pues la derivada de la constante es

cero.

La antidiferencial de

1x

dx es Ln x + C, donde c es una constante cualquiera.

Aquí C representa la constante que al derivar la función se vuelve cero. Como no

conocemos el valor de la constante que se derivó, se escribe C.

Ejemplo.

Sea F(x)= x, G(x)= x+2, H(x)= x + c, donde c es una constante.

Mostrar que F, G y H son primitivas de la función f, definida por f(x)=1.

Se ve que F,G,H son primitivas de f.

F(x) = x+C, (c es una constante) son las funciones que representan esta familia de

líneas rectas.

Grafica de algunas primitivas de la función f(x)=x

Integral indefinida o primitiva

El proceso de determinar todas las antiderivadas de una función se

denomina antiderivación o integración.

El símbolo ∫ se llama signo de integral, se derivó del signo ∑ (suma), indica que la

operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así:

y= ∫ f(x) dx = F(x) +c

La cual se lee: “la integral indefinida de f(x) con respecto de x es igual a F(x)

+c”. La expresión ∫ f(x) dx, es la antiderivada de la función f(x), en donde:

f(x)= integrando

dx= diferencial de la variable.

x= variable de integración

F(x)= función primitiva (antiderivada)

c= constante de integración

Reglas básicas de Integración

De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de

integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función

primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación

que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

La naturaleza inversa de la integración y derivación puede verificarse sustituyendo

f por F´ en la definición de integral indefinida con la que se obtiene:

∫F´(x) dx= F(x)+c

Además si ∫F´(x) dx= F(x)+c, entonces:

ddx [∫ f (x ) dx ]=f ( x )

Estas dos ecuaciones permiten obtener la integración directamente de las

fórmulas de derivación.

Esquema para encontrar la primitiva:

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

∫ 1

x3dx ∫ x

−3dx x−2

−2+c

−12x2

+c

∫√x dx ∫ x12 dx x

32

32

+c23

x32+c

∫2 sen xdx 2∫ sen xdx 2(−cos x)+c −2cos x+c

Nota:

Se puede comprobar si una primitiva es correcta sin más que derivarla.

La siguiente tarea es desarrollar algunas reglas para hallar la integral indefinida de

una función dada f.

Regla 1. Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la

integral

∫ k f ( x ) dx=k∫ f ( x ) dx ,k es una constante

∫ 2dx= 2x+c

∫ π ² dx= π2 +C

Regla 2 Regla de la potencia

∫ x3 dx= x4

4+c=1

4x4+c

∫ x32 dx= x

52

52

=25

x52+c

∫ 1

x32

dx=∫ x−32 dx= x

−12

−12

+c=−2x−12 +c

Regla 3, integral indefinida de un múltiplo constante de una función.

∫ c f(x) dx =c ∫ f(x) dx c= constante.

∫ 2t 3 dt=2∫ t3dt=2 [t44 +c ]=t4

2+c=1

2t4+c

∫−3x−2 dx=−3∫ x−2dx=(−3 ) x−1+c−1

=3x

+c

Regla 4, regla de la suma y resta.

∫ [f(x)± g(x) dx]= ∫ f(x) dx± ∫ g(x) dx

∫ (3x5+4x32 −2x

−12 )dx=3∫ x5dx+4∫ x

32 dx−2∫ x

−12 dx

=3(16 )x6+4 (25 )x52−2(x

12 )

12

+c

=12

x6+85

x52−4x

12 +c

Regla 5. Integral de una función exponencial.

∫ ex dx=ex+c

∫

Regla 6. Integral de la función f(x)=x-1

∫ x−1dx=∫ 1x dx=ln | x |+c x≠0

∫(2x+3x+4

x2 )dx=∫ 2xdx+∫3x

dx+¿∫ 4x2

dx ¿ ¿∫ ¿

=2∫ x dx+3∫1x dx+4 ¿∫1x2

dx ¿ ¿∫ ¿ ¿ =2 (12 )x2dx+3 ln |x|+4x−1

−1+c ¿ ¿ =x2+3ln|x|−4

x+c ¿¿

Tips de Integración

a) Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.

∫ x ( x2−1 )3dx=∫ ( x2−1 )3 xdx

b) En algunos casos la integración se facilita si se afectan previamente las

operaciones indicadas (productos de cocientes o polinomios).

∫ ( 2x+1 ) (x−3 ) dx=∫( 2x2−6x+x−3)dx

=¿∫ ( 2x2−5x−3 ) dx ¿ ¿∫ ¿ ¿ ¿ =2∫ x2dx−5∫ xdx−3¿∫ dx ¿ ¿∫ ¿¿ ¿ ¿ =2

3x3−5

2x2−3x+c ¿¿

c) Otras integrales se pueden

resolver al sumar o restar al

integrando una misma cantidad.

∫ x dx

( x+5 )2

Realizar la división de x3-1

entre x-2

Del denominador tomamos el 5, mismo que se

suma y se resta al numerador; la integral

obtenida se descompone en dos integrales.

∫ x3−1x−2

dx=¿∫(x2+2x+4+7x−2 )dx ¿ ¿ ¿∫ ¿ ¿ =∫ x2dx+2∫ xdx+4∫dx+7∫dx

x−2¿ ¿ =1

3x3+ 2x 2

2+4x+7ln|x−2|+c ¿ ¿ =1

3x3+x2+4x+7ln|x−2|+c ¿ ¿ ¿ ¿¿

∫ x dx

( x+5 )2=¿∫ ( x+5−5 )

( x+5 )2dx ¿ ¿ ¿∫ ¿ ¿ =∫ ( x+5 )

( x+5 )2dx+∫−5 dx

( x+5 )2¿ ¿ =∫ dx

x+5−5¿∫ ¿ dx

( x+5 )2¿ ¿¿¿∫ ¿ ¿ ¿ =∫ dx

x+5−5¿∫ ( x+5 )−2dx ¿ ¿ ¿¿¿∫ ¿ ¿ ¿ =ln (x+5 )− 5

−1( x+5 )−1+c ¿ ¿ =ln|x+5|+ 5

x+5+c ¿¿

Método de sustitución o cambio de variable.

Existen varias técnicas para aplicar una sustitución, pero el propósito de todas es

identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la diferencial de

esa función, y así poder aplicar una fórmula de integración.

En el método de sustitución llamado también cambio de variable se escoge una

literal. En nuestro caso, se eligió “u” que se iguala a la función que incluye el

integrando, por ello, es necesario señalar que está en función de la variable de

dicha función.

Identificar la función y su diferencial únicamente.

• ∫ sen 7x (7xd) realizamos el cambio de variable

Nueva función Obtenemos la Diferencial

u=7x du(x)= 7 dx

u(x)=7x

• ∫ (cos 5y) dy Nueva función Diferencial

u=5y du(y)= 5dy

u(y)=5y

Nota: Si u=f(x) la diferencial de u, que se escribe du =f`(x) dx

Regla de la sustitución.

Si u= g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua

sobre I, entonces:

∫ f ( g ( x ) ) g` ( x ) dx=∫ f (u ) du

Pasos para la Integración por Sustitución

Paso 1. Sea u=g(x), donde g(x) es la parte del integrando que por lo general es la “función interior”, de la función compuesta f(g(x)).

Paso 2, se calcula du= g´(x)dx.

Paso 3, se usa la sustitución u= g(x), y du=g´(x)dx. Para convertir toda la integral solo en una que solo utilice u.

Paso 4, se evalúa la integral resultante.

Paso 5, se reemplaza u con g(x), para obtener la solución final como función de x.

Nota: en algunas ocasiones se tienen que intentar diversas opciones de g en la

sustitución u=g(x), para realizar los pasos 3 ó 4.

Evaluar ∫ 2x ( x2+3 )4dx =

Paso 1. La función compuesta es (x2+3)4, y su” función interior” g(x)=x2+3; se elige

u=x2+3

Paso 2. Se calcula du.

du= 2x dx

Paso 3.Al hacer la sustitución u=x2+3 , du=2x dx se obtiene

∫ 2x ( x2+3 )4dx=∫ ( x2+3 )4 ( 2x dx ) Se reescribe

= ∫u4 du

La integral que solo comprende la variable u

Paso 4. Se evalúa.

∫u4=15

u5+c

Paso5. al reemplazar u por x2+3, se obtiene .

∫ 2x ( x2+3 ) dx=15

( x2+3 )5+C

Evaluar ∫3√ 3x+1 dx

Paso 1. Función compuesta √ 3x+1 , “función interior”; g(x)=3x+1

Paso 2. Se calcula du=3 dx.

Paso 3. Sustituir du=3x+1, y du=3 dx se obtiene.

∫3√ 3x+1 dx=∫ √3x+1 (3 dx ) se reescribe.

= ∫ √u du

Paso4. Se evalúa.

∫√u du=¿∫u12 du ¿=2

3u32+C ¿∫ ¿

Paso 5. Reemplazar u con 3x+1 se obtiene.

∫3√ 3x+1 dx=23

( 3x+1 )32+C

Aplicaciones en administración y economía: costo total,

ingreso total y utilidad total.