1. ∫1

∞

(1−x )e− xdx

limx→∞

∫1

∞

(1−x ) e−x dx

limx→∞

(1− x2

2 )(−1ex )

limx→∞

[F ( x )−F (1)]

limx→∞ [−(1−∞2

2 )( 1e∞ )+(1−12

2 )( 1e1 )]

2. ∫−∞

∞e x

1+e2x dx

∫−∞

0e x

1+e2x dx+∫0

∞ex

1+e2 x dx

Se utiliza el criterio de comparación por paso al límite

limx→∞

ex

1+e2x

1ex

= limx→∞

e2x

1+e2x = 0

La integral es convergente

3. ∫0

1dx3√ x

∫0

1dx3√ x

=3 x2/3

2=[ 3 (1)2 /3

2−3 02/3

2 ]=32

lim

x→0+¿ 3x23

2=0¿

¿

La integral es convergente

4. ∫0

π2

cos (X )√1−sen(x )

dx

Haciendo el cambio de variable t = sen x tenemos una r-integral para x=1 con r=12

,

por tanto es convergente.

∫0

π2

cos (X )√1−sen(x )

dx=| t=senxdt=cosx dxx=0↔t=1x=0↔t=0

|¿− ∫

1−¿¿

01

√1−tdt= ∫

0

1−¿ 1√1−t

dt ¿

¿

5. ∫ x3 (x4+3 )2dx

u=x4+3du=4 x3dxdu4

=x3dx

14∫ u

2du

14 ( 1

3u3)

¿ 112

(x4+3 )3

6. ∫0

13

( 4+√ x )dx

¿3∫0

1dx

( 4+√x )

¿3[ 12arctg

x2 ]=3([ 1

2arctg

12 ]−[ 1

2arctg

02 ])

¿3,25

7. ∫ dx

x2√4+x2

¿12

ln [ x

2+√4+ x2 ]

8. ∫ x2

√ x2−4dx

[ x=2coshtdx=2 senht dt ]

¿2∫ cosh2t dt=22∫ cosh (2 t )+1dt=∫cosh (2 t )+1dt

¿ 12senh (2t+t )+C=1

2senh (2 arccoshx )+ 1

2arccoshx+C

9. ∫ x2 sen (x)dx - Integración por Partes

u=x2 dv=sen x dxdu=2 xdx v=−cos x

∫ x2 sen ( x )dx=−x2 cos x+2∫ x cos x dx

Integrando de nuevo por partes, la segunda integral

∫ x cos x dx

u=x dv=cos x dx

du=dx v=sen x

∫ x2 sen ( x )dx=−x2 cos x+2 [ x sen x−∫ sen x dx ]

¿−x2cos x+2 x sen x+2cos x+C

10. ∫ 3 x+5

x3−x2−x+1 Integración por Fracciones Parciales

x3−x2−x+1→ ( x+1 ) (x−1 )2

3x+5

x3−x2−x+1= A

( x+1 )+ B(x−1)

+ C

( x−1 )2

3 x+5=A (x−1)2+B ( x−1 ) (x+1 )+C (x+1)

3 x+5=A (x2−2 x+1 )+B (x2+x−x−1 )+Cx+C

3 x+5=A x2−2 Ax+A+B x2−B+Cx+C

x2 ( A+B )=0 x (−2 A+C )=3 A−B+C=5 A=−B−2 A+C=3 A−B+C=5

−2 (−B )+C=3 (−B )−B+C=5

2B+C=3 −2B+C=5

C=3−2B −2B+ (3−2B )=5

−2B+3−2B=5

−4B=5−3

−4B=2

B=−12

A=−(−12 ) C=3−2(−1

2 )A=1

2C=4 B=−1

2

∫ 3 x+5

( x+1 ) ( x−1 )2dx=∫

12

(x+1 )dx−∫

12

(x−1 )dx+∫ 4

(x−1)2 dx

∫ 3 x+5

( x+1 ) ( x−1 )2dx=1

2∫dx

( x+1 )−1

2∫dx

(x−1 )+4∫ dx

(x−1)2

∫ 3 x+5

( x+1 ) ( x−1 )2dx=1

2ln|x+1|−1

2ln|x−1|+ 4

x−1+C

11. ∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx Integración de Funciones Trigonométricas

∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx

como : sen2 (2x )=1−cos2(2 x )

∫0

π4

sen (2 x )cos4 (2 x ) (1−cos2(2 x)) dx

∫0

π4

sen (2 x ) (cos4 (2 x )−cos6(2 x))dx

∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx=¿∫0

π4

cos4 (2 x ) sen (2x )dx−∫0

π4

cos6 (2x ) sen (2x )dx¿

u=cos(2x );du=−2 sen (2 x)

∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx=¿−12∫0

π4

u4du+ 12∫0

π4

u6du¿

∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx=¿−12 [ 1

5u5]+ 1

2 [ 17u7]¿

∫0

π4

sen3 (2 x )cos4 (2x )dx=¿ [−110

cos5 (2x )+ 114

cos7 (2x )+C ]{π40 ¿

12. ∫ (excosh ( x )+ln ( x ) )dx

∫ (excosh ( x ) )dx+∫ ln ( x )dx

Para la primera integral tenemos:

u=ex dv=cosh x dx

du=ex dx v=senh x

∫ (excosh ( x ) )dx=[ex senhx−∫e xsenh xdx ]

Para la segunda integral tenemos:

u=ln xdv=dx

du=1xdx v=x

∫ ( ln ( x ))dx=¿[ x lnx−∫ x ( 1x )dx ]¿

∫ ( ln ( x ))dx=¿ [x lnx−∫ dx ]¿

∫ ( ln ( x ))dx=¿ [x lnx−x+C ]¿

De nuevo como en el anterior despeje, para la primera integral tenemos:

u=ex dv=senh x dx

du=ex dx v=cosh x

∫ excosh xdx=[ex senhx−[e xcosh x−∫ ex cosh x dx ]]∫ excosh xdx=ex senh x−e xcosh x−∫ ex cosh x dx

De donde podemos despejar a la integral

2∫ ex cosh x dx=ex senh x−excosh x

Y en consecuencia

∫ excosh xdx=exsenh x−ex cosh x

2+c