INTEGRALES CON FUNCIONES LOGARÍTMICAS

• RECORDANDO QUE LA PARTE MEDULAR DE LA INTEGRACIÓN ES ENCONTRAR FUNCIONES QUE

AL SER DERIVADAS SEAN LAS FUNCIONES QUE SE ENCUENTRAN EN EL INTEGRANDO,

PODEMOS DEDUCIR FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN A PARTIR DE LAS DE DERIVACIÓN.

• EN CÁLCULO DIFERENCIAL SE ABORDÓ LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

EJEMPLO

EJEMPLO

FUNCIONES EXPONENCIALES

• LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN LA FORMA F(X) = AX, DONDE A > 0 Y A ≠ 1. AL

IGUAL QUE CUALQUIER EXPRESIÓN EXPONENCIAL, A SE LLAMA BASE Y X SE

LLAMA EXPONENTE.

• CON LA DEFINICIÓN F(X) = AX Y LAS RESTRICCIONES DE A > 0 Y A ≠ 1, EL DOMINIO DE LA

FUNCIÓN EXPONENCIAL ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES. EL RANGO ES EL

CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES POSITIVOS.

• EJEMPLOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES:

LA SIGUIENTE GRÁFICA MUESTRA F(X) = 2X.

PROPIEDADES

• 𝑎 = 𝑎 𝑎

• 𝑎 =

• 𝑎 =

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

EJEMPLOS

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

PROPIEDADES

FUNCIÓN EXPONENCIAL: F(X) =

• LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, ES CONOCIDA FORMALMENTE COMO LA FUNCIÓN REAL F(X) = EX, ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE “E” DONDE ”E” ES EL NÚMERO DE EULER.

• EL NÚMERO “E”, TAMBIÉN CONOCIDO COMO NÚMERO DE EULER O CONSTANTE DE NAPIER ES UNO DE LOS NÚMEROS REALES MÁS RELEVANTES, CONSIDERADO COMO EL NÚMERO DEL CÁLCULO POR EXCELENCIA.

• SU VALOR APROXIMADO ES:

• E ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995

• EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚMERO E SE LE ACREDITA A JAKOB BERNOULLI, QUE ESTUDIABA UN PROBLEMA LLAMADO INTERÉS COMPUESTO.

• “E” ES UN NÚMERO IRRACIONAL QUE PUEDE EXPRESARSE CON CUALQUIER GRADO DE EXACTITUD USANDO UNA SERIE INFINITA.

• A LA FUNCIÓN EXPONENCIAL SE SE SUELE LLAMAR FUNCIÓN EXPONENTE NATURAL.

• SE DENOTA COMO F(X)=EX O EXP(X), DONDE E ES LA BASE DE LOS LOGARITMOS NATURALES Y

CORRESPONDE A LA FUNCIÓN INVERSA DEL LOGARITMO NATURAL.

• UNA DEFINICIÓN HABITUAL ES:

LN E = 1

• ESTA FUNCIÓN TIENE POR DOMINIO DE DEFINICIÓN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES,

Y TIENE LA PARTICULARIDAD DE QUE SU DERIVADA ES LA MISMA FUNCIÓN.

FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL• SE DENOMINA LOGARITMO NATURAL AL LOGARITMO CUYA BASE ES EL NÚMERO E.

• EL LOGARITMO NATURAL SE DENOTA COMO LN(X), COMO LOGE(X).

• EL LOGARITMO NATURAL DE UN NÚMERO X ES ENTONCES EL EXPONENTE AL QUE DEBE SER

ELEVADO EL NÚMERO E PARA OBTENER X. POR EJEMPLO, EL LOGARITMO NATURAL DE

7,38905... ES 2, YA QUE E2=7,38905... EL LOGARITMO NATURAL DE E ES 1, YA QUE E1=E.

• EL LOGARITMO NATURAL, LN(X), ES EL INVERSO DE LA FUNCIÓN

EXPONENCIAL E DEFINIDO EN X SÓLO PARA NÚMEROS REALES POSITIVOS.

• EL LOGARITMO NATURAL ES UNA FUNCIÓN REAL CON DOMINIO DE DEFINICIÓN LOS

NÚMEROS REALES POSITIVOS.

• EL LOGARITMO NATURAL CORRESPONDE A LA FUNCIÓN INVERSA DE LA FUNCIÓN

EXPONENCIAL NATURAL:

PROPIEDADES

• 𝑛𝐿𝑛𝑥 = 𝐿𝑛𝑥

• DESDE EL PUNTO DE VISTA ANALÍTICO, PUEDE DEFINIRSE PARA CUALQUIER NÚMERO REAL

POSITIVO X>0 COMO EL ÁREA BAJO LA CURVA Y=1/T ENTRE 1 Y X.

• FUE LLAMADO FORMALMENTE COMO LOGARITMO HIPERBÓLICO,4 PUESTO QUE SUS VALORES

CORRESPONDÍAN CON LOS DEL ÁREA HALLADA BAJO LA HIPÉRBOLA.

INTEGRALES CON FUNCIONES LOGARÍTMICAS