INTEGRAL DE LÍNEATeoría:

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo

de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos

vectoriales) que actúen sobre el mismo.

El teorema fundamental del cálculo puede escribirse como:

Donde   es continua en  . El teorema del cambio total también se llama ecuación 1,

La integral de una razón de cambio es el cambio total.

Si pensamos que el valor gradiente   de una función   de dos ó tres variables es una

especie de derivada de  , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una

versión del Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.

Teorema principal:

Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial . Sea "f" una

función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente   es continuo sobre C.

Entonces

:

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial

conservativo (el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el

valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de

línea de   es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una

curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2, Y2), entonces el teorema se

convierte en:

Si "f" es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que

une   con   , entonces tenemos:

Ejemplo 1

Demuestre que   es conservativo

Dado que las derivadas cruzadas son iguales el campo es conservativo. Ahora

encontremos la función f que cumpla que el campo es igual al gradiente de f. Para esto

integraremos P respecto de x, y Q respecto de y e igualaremos las funciones para

encontrar la función f.

Ejemplo 2

Demuestre que el campo es conservativo

 No es conservativo

Ejemplo 3

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas   del

punto   a 

Verificamos si es el campo es conservativo.

Con esto demostramos que si es conservativo.

Integramos con respecto a   y a 

Evaluamos en el punto inicial y final.

Teoremas:

Integral curvilínea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar

Para f: R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral

de trayectoria), parametrizada como r (t)=x (t) i+y (t) j con t   [a, b], está definida como:

Donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal

manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son

independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco,

también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F: Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada

como r (t) con t   [a, b], está definida como:

Donde   es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria

de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización

siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la

curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las

integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos

contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al

par   donde

, es una 1- forma .