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INTEGRAL DE LÍNEATeoría:
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo
de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos
vectoriales) que actúen sobre el mismo.
El teorema fundamental del cálculo puede escribirse como:
Donde es continua en . El teorema del cambio total también se llama ecuación 1,
La integral de una razón de cambio es el cambio total.
Si pensamos que el valor gradiente de una función de dos ó tres variables es una
especie de derivada de , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una
versión del Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.
Teorema principal:
Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial . Sea "f" una
función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente es continuo sobre C.
Entonces
:
El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial
conservativo (el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el
valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de
línea de es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una
curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2, Y2), entonces el teorema se
convierte en:
Si "f" es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que
une con , entonces tenemos:
Ejemplo 1
Demuestre que es conservativo
Dado que las derivadas cruzadas son iguales el campo es conservativo. Ahora
encontremos la función f que cumpla que el campo es igual al gradiente de f. Para esto
integraremos P respecto de x, y Q respecto de y e igualaremos las funciones para
encontrar la función f.
Ejemplo 2
Demuestre que el campo es conservativo
No es conservativo
Ejemplo 3
Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas del
punto a
Verificamos si es el campo es conservativo.
Con esto demostramos que si es conservativo.
Integramos con respecto a y a
Evaluamos en el punto inicial y final.
Teoremas:
Integral curvilínea de un campo escalar
Integral de línea de un campo escalar
Para f: R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral
de trayectoria), parametrizada como r (t)=x (t) i+y (t) j con t [a, b], está definida como:
Donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal
manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son
independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco,
también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).
Integral curvilínea de un campo vectorial
Para F: Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada
como r (t) con t [a, b], está definida como:
Donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria
de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización
siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la
curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las
integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos
contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que
Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al
par donde
, es una 1- forma .