integral 2008

Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato

CJS v2008

−10

0

10

−10−5

05 100

50

100

150

200

x

z

y

1

2

3

4

5

x

y

g(x)

f(x)-g(x)

f(x)

Cálculo integral en © Carlos J. Sánchez de Merás, noviembre 2007

�[email protected]

2 CJS v2008

mailto:[email protected]?Subject=Integral%202008

CJS v2008 3


1. Primitiva de una funciónSea f (x) una función definida en el intervalo [a, b ]. Se dice que una función F (x) es una primitiva de

f (x) en [a, b ] cuando F (x) tiene por derivada la función f (x) en [a, b ]:

F x f x a b F x f x x a b( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ,es de en primitiva ⇔ ′ = ∀ ∈

Si una función f (x) tiene una función primitiva, F (x), entonces f (x) admite infinitas primitivas, cuya

expresión general puede escribirse F (x)+C. Como se observa, las infinitas primitivas que puede admitir una

función se diferencian en una constante arbitraria, C , que se llama constante de integración. A la expresión

F (x)+C se le denomina integral indefinida de f (x), y se escribe:

f x dx F x C( ) ( )∫ = +

1.1. Propiedades

➊ La derivada de la integral de una función f (x) es la propia función f (x):

ddx

f x dx f x( ) ( )∫

=

➋ Linealidad de la integral:

λ µ λ µ⋅ ± ⋅ = ±∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )

CJS v2008 5


2. Primitivas inmediatas

CJS v2008 7


3. Integración de funciones racionales

3.1. Raíces reales

Nos encontramos ante integrales de la forma P xQ x

dx( )( )∫ , con P(x) y Q(x) polinomios, tales que el grado de

P(x) es menor que el grado de Q(x). Si no se cumple esta condición, efectuaremos la división correspondiente,

y reduciremos el problema original a una integral polinómica y otra del tipo bajo consideración, según se

muestra a continuación:

F xG x

F x G x

F xG x

H xP xQ x

( )( )

gr ( ) gr ( )

( )( )

( )( )(

tales que { } > { } ⇒

⇒ = +))

gr ( ) gr ( ) , con P x Q x{ } < { }

Factoricemos entonces el polinomioQ(x). Sea Q x x x x x x xa b z

( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ − ⋅ ⋅ −α β ξ dicha

factorización del polinomio Q(x), y xa , xb , …, xz las raíces reales del polinomio con multiplicidades α, β, …, ξ,

respectivamente. El cociente de P(x) y Q(x) podrá escribirse como

P xQ x

P x

x x x x x x

A

x x

A

x x

a b z

a a

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=− − −

=

=−

+− −

α β ξ

α α

1 21

++ +−

+−

+ +−− +

=− +

=∑ ∑

A

x x

B

x x

Z

x xa

i

bi

i

i

zi

i

αβ

β

ξ

ξ

( ) ( ) ( )1

1

1

1

[ 1 ]

por lo que, integrando miembro a miembro, obtendremos

P xQ x

dxA

x x

A

x xA x x

a a

a

( )( ) ( ) ( )

ln∫ =−

− −+

−− −

+ + − +

+

− −1

12

211

21

α αα α α

−−− −

+−

− −+ + − +

+−

−

− −

B

x x

B

x xB x x

Z

x

b b

b1

12

2

1

11

21

11

β β

ξ

β β β( ) ( )ln

(

−−+

−− −

+ + − +− −x

Z

x xZ x x C

z z

z) ( )ln

ξ ξ ξξ12

221

que se puede escribir de forma más compacta como

P xQ x

dxA

i x x

B

i x xi

i ai

i

i

( )( ) ( ) ( ) ( ) (∫ =

−− −

+−

− −=

−

−=

−

∑ ∑α β

α

α

β

1

1

1

11 1

bbi

i

i zi

a b

Z

i x x

A x x B x x Z

) ( ) ( )

ln ln

β

ξ

ξ

α β ξ

ξ−=

−

−+ +

−− −

+

+ − + − + +

∑

1

11

lln x x Cz

− +

El único problema que nos queda por resolver es el de la determinación de las constantes Ai , Bi , …, Zi .

Teniendo en cuenta la relación [ 1 ], y efectuando las sumas correspondientes, podemos escribir

8 CJS v2008

Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en

P x x x x x x x A x x

x x

b c z i ai

i

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − +

+ − ⋅

−

=∑β γ ξ

α

α

1

1

xx x x x B x x

x x x x Z

c z i bi

i

a b i

− ⋅ ⋅ − ⋅ − +

+ − ⋅ − ⋅ ⋅

−

=∑) ( ) ( )

( ) ( )

γ ξβ

α β

1

1

(( )x xz

i

i

− −

=∑ 1

1

ξ

EjEmplo

Calcular la integral x

x x x x xdx

2

5 4 3 210 39 74 68 24− + − + −∫En este caso, no hace falta dividir los polinomios, ya que el grado del numerador es inferior al grado del denominador.

Procederemos entonces a factorizar el denominador. Aplicando el método de Ruffini,

1 -10 39 -74 68 -24

1 1 -9 30 -44 24

1 -9 30 -44 24 0

2 2 -14 32 -24

1 -7 16 -12 0

2 2 -10 12

1 -5 6 0

2 2 -6

1 -3 0

3 3

1 0

x x x x x

x x x

5 4 3 2

3

10 39 74 68 24

1 2 3

− + − + − == − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )

podemos identificar las raíces a =1, b =2, c =3 , con sus respectivas multiplicidades α=1, β=3, γ=1.

La integral queda por tanto

x

x x x x xdx

x

x x xdx

A

x

2

5 4 3 2

2

3

1

10 39 74 68 24 1 2 3

1

− + − + −=

− − −=

=−

∫ ∫ ( )( ) ( )

++−

+−

+−

+−∫ B

x

B

x

B

x

C

xdx1

32

23 1

2 2 2 3( ) ( )

cuyo resultado es

I A xB

i xB x C x C

A x

ii

i

= − +−

− −+ − + − + =

= −

−=

∑1 3

1

2

3 1

1

13 2

2 3

1

ln( )( )

ln ln

ln ++−

−+

−−

+ − + − +B

x

B

xB x C x C1

22

1 3 121

2 11

22 3

( ) ( )ln ln

donde las constantes se calculan mediante

CJS v2008 9


x x x A x x C

x x B x B x

2 31

31

10

2

2 3 1 2

1 3 2 2

= - - + - - +

+ - - - + -

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )113

22+ -éëê

ùûúB x( )

sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se puede resolver

⇨ desarrollando el polinomio del segundo miembro, igualando coeficientes y aplicando algún método conocido de

resolución

⇨ sustituyendo x por valores adecuados: las raíces (que proporcionan las constantes con subíndice 1) y números con los que

sea fácil operar (0, por ejemplo).

3.2. Raíces complejas

Si Q (x) tiene raíces complejas (simples), además de raíces reales (simples o múltiples) la descomposición

en fracciones simples del cociente nos lleva a

P xQ x

P x

x a x k

A

x a

A

x a

A

x aMx( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )=

− +=

−+

−+ +

−+ +

−α α αα

2 21 2

1

NN

x k2 2+

donde, por comodidad, hemos considerado una única raíz real (x =a ) de multiplicidad α, y una única raíz compleja

–imaginaria– (x k= ± = −i i, 1 ). El término debido a la raíz compleja proporciona dos nuevas integrales: una

del tipo logaritmo neperiano,

Mx

x kdx

Mx k

2 2

2 2

2+= +∫ ln

y otra del tipo arcotangente,

N

x kdx

N

k

dx

xk

Nk

xk2 2 2 2

1+

=

+

=

∫ ∫ arctg

Las constantes se calculan como en el caso anterior, igualando los coeficientes de los polinomios tras

realizar las sumas correspondientes.

3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x

Nos encontramos ahora ante integrales del tipo R x x dx(sen , cos )∫ , donde R es una función racional

cualquiera.

10 CJS v2008


3.3.1. Método general

Este tipo de integrales se resuelven utilizando el cambio de variable tgx

t2

=

Utilizando los resultados conocidos de trigonometría

11 1

1

11

2

2 2

2 2

2

+ = ⇒ =+

= − ⇒ =+

tgcos

costg

sen cos sentg

tg

αα

αα

α α α α

α

→

=

+

=+

=α x

x

x

x

t

t

x

2

222

2

12

1

2

sen

tg

tg

cos

=

+

=+

1

12

1

122

tgx t

sen sen cos

cos cos sen

sen

c

2 2

2

2

12 2

2

2α α αα α α

α= ⋅= −

→

=+= x

xt

t

oosxt

t= −

+

1

1

2

2

y como

x t dxt

dt= ⇒ =+

22

1 2arctg

entonces la integral puede reescribirse como

R x x dx Rt

t

t

t tdt(sen , cos ) ,=

+−+

+∫∫ 2

1

1

1

2

12

2

2 2

racional en t, fácil de resolver, aplicando descomposición en fracciones simples como hemos visto

anteriormente.

3.3.2. Casos particulares

3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno

Si la función racional cumple R x x R x x( sen , cos ) (sen , cos )- = y R x x R x x(sen , cos ) (sen , cos )- =

simultáneamente, es decir, es par (simétrica con respecto al eje OY ), efectuaremos el cambio de variable tg x t= ,

más sencillo que el cambio general tgx

t2

= . Con este cambio se tiene

11 1

1

11

2

2 2

2 2

2

+ = ⇒ =+

= − ⇒ =+

tgcos

costg

sen cos sentg

tg

αα

αα

α α α α

α

⇒= ±

+

= ±

+

cos

sen

xt

xt

t

1

1

1

2

2

2

CJS v2008 11


x t dxt

dt= ⇒ =+

arctg1

1 2

y entonces reducimos la integral a

R x x dx Rt

t t tdt

Rt

t

(sen , cos ) ,

,

= ±

+

±

+

+

=

=+

∫∫ 1

1

1

1

1

1

1

2 2 2

2

21 11

1

12 2+

+∫ t tdt

siendo R1 una función racional distinta de R.

3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno

Si la función racional cumple R x x R x x( sen , cos ) (sen , cos )- =- , es decir, si es impar en sen x, haremos

el cambio de variable cosx t= . Si por el contrario se cumple que R x x R x x(sen , cos ) (sen , cos )- =- (esto

es, la función racional es impar en cos x ) efectuaremos el cambio sen x t= .

EjEmplo

Calcular la primitiva de sen sen

cos

x x

xdx

++∫

3

21 2

En este caso, el integrando es claramente impar en sen x, por lo que haremos

cos sensen

x t xdx dt dxdt

x= ⇒ − = ⇒ = −

Aplicando este cambio, la integral queda

sen sen

cos

sen ( sen )

cos sen

cox x

xdx

x x

x

dt

x

++

= ⋅ ++

− = − −∫ ∫3

2

2

21 2

1

1 2

2 ss

cos

2

2

2

2

1 22

1 2

x

xdt

t

tdt

+=

= − −+

∫∫

racional en t, de resolución sencilla.

3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x

En este caso, la función racional únicamente presenta términos en seno o en coseno, es decir, la integral

es del tipo R x dx(sen )∫ o bien R x dx(cos )∫ . Lo más conveniente en estos casos es realizar la división, y

12 CJS v2008


descomponer el resultado en fracciones simples. En definitiva, lo que haremos será tratar la función racional

trigonométrica correspondiente como si fuera una función racional polinómica, asimilando sen x t= o bien

cosx t= .

EjEmplo

Calcular 1

4 4

4

3 2

++ − −∫ cos

cos cos cos

x

x x xdx

Haciendo la división, y descomponiendo en fracciones simples,

cos

cos cos cos(cos )

cos

cos cos c

4

3 2

2

3 2

1

4 41

5 3

4

x

x x xx

x

x x

++ - -

= - +-

+ - oos

cos cos cos (cos )(cos )(cos )

cos

x

x x x x x x

x

-

+ - - = - + + Þ

Þ

4

4 4 2 2 1

5

3 2

2 --+ - -

=-

++

++

3

4 4 2 2 13 2cos cos cos cos cos cosx x x

Ax

Bx

Cx

con lo que la integral puede escribirse de la forma

1

4 41

5 3

4

4

3 2

2

3 2

++ − −

= − + −+ −∫ cos

cos cos coscos

cos

cos cos

x

x x xdx x

x

x x ccos

sencos cos cos

xdx

x xAx

Bx

Cx

dx

−

=

= − +−

++

++

∫

∫

4

2 2 1

Estas últimas integrales se resuelven mediante el cambio general tgx

t2

= .

CJS v2008 13


4. Integración por partes

Se utiliza este método de integración en integrales del tipo u dv⋅∫ , siendo tanto u (x) como v (x) funciones

de x. Su cálculo se basa en el hecho conocido de que la derivada del producto de funciones viene dada por

d[ ( ) ( )]d

d ( )d

( ) ( )d ( )d

u x v xx

u xx

v x u xv xx

⋅ = ⋅ + ⋅

Integrando miembro a miembro la anterior expresión, obtenemos

d u v v du u dv( )⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫donde encontramos en el segundo miembro la integral buscada. Simplificando y despejando, hallamos la

solución

u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

EjEmplo

Calcular la primitiva de x x dxsen∫Tomando

u x du dx

dv xdx v x

= ⇒ == ⇒ =−sen cos

y por aplicación directa de la fórmula se tiene

x x dx x x x dx x x x Csen cos cos cos sen∫ ∫= − + = − + +

CJS v2008 15


5. Integral definidaLa integral definida proporciona la solución al problema del cálculo del área bajo una curva. En efecto,

sea una función f (x) positiva, continua y monótona creciente en un intervalo [a, b]. Dividiremos dicho intervalo

en n partes, que supondremos iguales por comodidad, mediante los puntos x1, x2, …, xn-1.

Llamaremos partición del intervalo al conjunto P de puntos

P x a x x x x b

P x x ib a

ni n

n n

i

= = ={ }= = + − =

−0 1 2 1

01 2

, , , , ,

, , , ,

Una partición P’ es más fina que la partición P (lo que se escribe P’ P ) cuando la anchura de los

subintervalos de P’ es menor que la de los subintervalos de P . Esto equivale a incluir más puntos en dicha

partición.

Podemos calcular ahora el área bajo la gráfica de f (x) de manera aproximada, como suma de las áreas

de los rectángulos que tienen como base los subintervalos de la partición, y como altura, bien el valor máximo

de la función en dicho subintervalo, Mi (área por exceso), o bien el valor mínimo de la función en dicho

subintervalo, mi (área por defecto). Evidentemente, el área exacta bajo la curva, S, está entre estos dos valores.

Así las cosas, tenemos:

s m x x

S M x x

i i i i

i

n

i i i i

i

n

= ⋅ −

= ⋅ −

−=

−=

∑∑

( )

( )

1

1

1

1

área por defecto

área ppor exceso

s S Si i

≤ ≤

Ahora bien, si reducimos la anchura de los

subintervalos (es decir, si refinamos la partición),

puede apreciarse que la diferencia entre los

valores máximo y mínimo de la función en dichos

subintervalos se va haciendo progresivamente menor.

En el límite, cuando el número de subintervalos tiende a infinito, el intervalo tiene una anchura diferencial y los

valores máximo Mi y mínimo mi coinciden con el valor de la función en dicho punto. En dichas condiciones,

el área por exceso y el área por defecto coinciden. Al estar el valor exacto de área acotado por dos sucesiones

que tienden al mismo valor, necesariamente entonces

S f x x x f x dxn i i i

i

n

a

b

= ⋅ − =→+∞ −

=∑ ∫lim ( ) ( ) ( )

1

1

x

y

si º área por defecto

M2

Si º área por excesoM3

m2M1

m3

m1

16 CJS v2008


En definitiva,

Sea f (x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral

definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] como el área S de la región R del

plano limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

S f x dxa

b

= ∫ ( )

5.1. Propiedades

➊ Si los límites de una integral definida son iguales, la integral definida es nula:

f x dx f xa

a

( ) ( )∫ = ∀0

➋ Aditividad: si f (x) es una función continua en [a,b] y c Î]a,b[:

f x dx f x dx f x dx c a ba

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( ) [ , ]∫ ∫ ∫= + ∀ ∈

➌ Si se intercambian los límites de integración, la integral definida cambia de signo:

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) ( )∫ ∫= −

➍ Linealidad de la integral:

α β α β α βf x dx g x dx f x g x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ,∫ ∫ ∫+ = + ∀ ∈

➎ Si f (x) y g (x) son continuas en [a,b] y si f (x)³g (x) "x Î]a,b[:

f x dx g x dxa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫≥

➏ Signo de la integral:Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)>0 "x Î]a,b[ :

f x dxa

b

( )∫ > 0

Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)<0 "x Î]a,b[:

f x dxa

b

( )∫ < 0

CJS v2008 17


Por tanto, si f (x) cambia de signo en [a,b], la integral definida proporciona la suma

algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje de abscisas, cada

una con su signo. Si quisiéramos calcular el área en términos absolutos, tendríamos

que calcular el área de cada recinto y, antes de sumar, cambiar de signo las negativas,

es decir, hemos de realizar una suma de los valores absolutos de las áreas de cada

uno de los recintos.

5.2. Regla de Barrow

Si f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F (x) es una primitiva de

f (x) [cfr. §1 ] ,entonces

f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )∫ = −

5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas

El área comprendida entre dos curvas f (x) y g (x) es igual al área comprendida entre la función diferencia,

f (x) – g (x), y el eje de abscisas.

Por consiguiente, el proceso que deberemos

seguir para calcular el área es:

➊ Calcular los puntos de corte entre las

funciones f (x) y g (x), es decir, resolver

la ecuación

f x g x( ) ( )− = 0

➋ Estudiar el signo de la función f (x) – g (x) en los distintos intervalos generados por las raíces de la

ecuación anterior

➌ Aplicar la propiedad de aditividad de la integral definida, teniendo en cuenta el signo de cada integral

EjEmplo

Calcular el área comprendida entre las funciones y x= −2 5 e y x= − − 5

1

2

3

4

5

x

y

g(x)

f(x)-g(x)

f(x)

18 CJS v2008


f x g x x x x x

x x x x x x

( ) ( ) ( )

( ) ;

− = − − − − = ++ = ⇒ + = ⇒ = = −

2 2

21 2

5 5

0 1 0 0 1

Para cualquier valor entre 0 y -1, que es el intervalo de integración,

f (x) < g (x), por lo que podremos calcular el área mediante la

expresión

S x x dx= − +−∫ 2

1

0

Calculando la primitiva y aplicando la regla de Barrow se obtiene

Sx x= − +

= − + −

= − + =

−

3 2

1

03 2

3 213

12

13

12

16

( ) ( )u.d.s.

5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva

De la misma forma que calculamos el área contenida entre el eje OX, las rectas x = a y x = b y una función

f (x), podemos calcular el volumen de revolución que genera una función al girar en torno al eje OX. En este

caso, los distintos subintervalos de la partición

generan cilindros de altura igual al ancho del

subintervalo y radio igual al máximo (volumen

por exceso) o al mínimo (volumen por defecto)

que toma la función en dicho subintervalo, como

puede apreciarse en la figura.

En el límite, cuando la partición se ha

refinado hasta obtener infinitos subintervalos

de anchura diferencial, el volumen por exceso

y el volumen por defecto convergen al valor del

volumen exacto, ya que los valores máximo y mínimo coinciden. Podremos afirmar, por tanto, que

El volumen de revolución generado por una función f (x) al rotar alrededor del

eje OX, y limitado por las rectas x = a y x = b se calcula según

V f x dxa

b

= ∫π ( )2

-5

-4

-3

-2

x

y

f(x)

g(x)

S=1/6 u.d.s.

CJS v2008 19


6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

e e ex x

f x f x dx

xdx Ccos sen

( )cos ( )

∫′∫

= +

Ejercicio 2

x x x dx x x x dx

f x f x dxn

23 232 112

2 2 1− − = − −

∫∫ ∫

′

( ) ( )

[ ( )] ( )

=−

+3 2

8

2 43 ( )x xC

Ejercicio 3

x

xdx x x dx x x dx

f x f x dxn1

112

2 12

212 2

12

−= − = − − −

∫∫ ∫ ∫− −

′

( ) ( )

[ ( )] ( )

= − − +1 2x C

Ejercicio 4

2 1

1 2 1 2

x

xdx

++ +∫ ( )

En primer lugar, podríamos pensar que se trata de una integral inmediata de tipo arcotangente, pero

desechamos esta opción puesto que el numerador no puede transformarse en la derivada del término cuadrático

del denominador. Si optamos por calcular la derivada del denominador, sin embargo, comprobaremos que con una

sencilla transformación la integral se convierte en una inmediata de tipo logaritmo neperiano. En concreto,

1 2 1 4 2 12 1

1 2 1

14

4 2 1

1 2 12

2 2+ +

′ = + ⇒ ++ +

= ++ +∫( ) ( )

( )

( )

( )x x

x

xdx

x

xddx∫

Una vez llegados a este punto, podemos concluir

2 1

1 2 1

14

4 2 1

1 2 12 2

x

xdx

x

xdx

f xf x

dx

++ +

= ++ +

∫

∫ ∫′

( )

( )

( )( )( )

= + + +14

1 2 1 2ln ( )x C

20 CJS v2008


Ejercicio 5

cos sen3 4x x dx∫Como el integrando es claramente impar en cosx, efectuaremos el cambio sen x =t :

sen coscos

sen cos cos sen

x t xdx dt dxdt

xx x x x t

= ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ = − = −2 2 2 2 21 1 1

con lo que la integral se transforma en

cos sen ( )3 4 2 4 4 65 7

15 7

x x dx t t dt t t dtt t

C∫ ∫ ∫= − = − = − +

Y deshaciendo el cambio llegamos al resultado final

cos sensen sen3 4

5 7

5 7x x dx

x xC∫ = − +

Ejercicio 6

tg tgtg

3

1 2x x

xdx

+−∫

Nos encontramos ante una integral racional con funciones trigonométricas. Además, como el integrando

es una función impar aplicaremos el cambio tgx = t :

tg

tg tgtg

( )

x t dxdt

t

x xx

dxt t

tdt

t

t t

= ⇒ =+

+−

= +− +

=+−∫ ∫

1

1 2 1 2 1

1

1

2

3 3

2

2

22 1 1 22tdt

t

ttdt

+=

−∫ ∫Con este cambio hemos transformado la integral en una racional polinómica. Ahora bien, como los grados

del numerador y denominador coinciden, habremos de efectuar la correspondiente división polinómica:

tt t t1 2

12

12

1 212

11

1 2−= − +

−= − −

−

La integral queda por tanto

ttdt

tdt dt

tdt

f xf x

dx

1 212

11

1 212

12

11 2−

= − −−

= − +−

∫

∫ ∫ ∫ ∫′( )( )

= − − − +tt C

214

1 2ln

CJS v2008 21


y deshaciendo el cambio de variable,

tg tgtg

tgln tg

3

1 2 214

1 2x x

xdx

xx C

+−

= − − − +∫

Ejercicio 7

x

x xdx

2

3 2

1−−∫

La integral bajo consideración es racional polinómica, por lo que deberíamos efectuar la descomposición

del integrando en fracciones simples, previa factorización del polinomio del denominador. Sin embargo, resulta

mucho más cómodo en este caso factorizar tanto el denominador como el denominador. En efecto,

x

x xdx

x x

x xdx

x

xdx

xdx

xdx

2

3 2 2 2 2

1 1 1

1

1 1 1−−

=− +

−= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫( )( )

( )

Ahora ya es inmediato realizar el cálculo de la integral:

x

x xdx x

xC

2

3 2

1 1−−

= − +∫ ln

Comprobemos ahora cómo la descomposición en fracciones simples propor

x

x xdx

x

x xdx

Ax

B

x

Dx

dx A xBx

D x2

3 2

2

2 2

1 1

1 11

−−

= −−

=−

+ + = − − + +∫ ∫ ∫( )ln ln CC

Nos queda ahora calcular las constantes A , B y D de la descomposición, para lo que tendremos que

resolver la ecuación

Ax B x Dx x x

x A D x B D B x

2 2

2 2

1 1 1

1

+ − + − = −+ + − − = −

( ) ( )

( ) ( )

que se traduce, identificando coeficientes, en el sistema

A D

B D

B

A

B

D

+ =− ==

⇒===

1

0

1

0

1

1

y nos lleva, finalmente a

x

x xdx A x

Bx

D x C xx

C2

3 2

11

1−−

= − − + + = − +∫ ln ln ln

resultado que coincide, como se observa claramente, con el obtenido inicialmente.

22 CJS v2008


Ejercicio 81

4 52x xdx

− +∫La integral que se nos presenta es racional polinómica. En este caso, además, el numerador es una constante

y el denominador es de segundo grado. Todos los integrandos de estas características conducen a soluciones de

la forma arcotangente, y la primitiva se calcula utilizando el método conocido como completar cuadrados (si

la integral no viene expresada en su forma canónica).

En concreto, intentaremos transformar el polinomio completo de segundo grado de forma que pueda

escribirse como el cuadrado de un binomio más una constante. Para ello:

➀ Dividiremos el polinomio por el coeficiente del término de segundo grado (si es necesario)

➁ El binomio buscado tomará la forma (x +k ), donde k es el coeficiente del término de grado

uno dividido por dos (y por el coeficiente del término de segundo grado, si hemos efectuado

el paso anterior)

➂ Completaremos la transformación sumando una constante p para que se cumpla que p +(x +k )2

coincida con el polinomio

Con los datos del problema, la transformación es

x x x2 24 5 2 1− + = − +( )

lo que convierte la integral en

1

4 5

1

1 22 2

1 2

x xdx

xdx

f x

f xdx

− +=

+ −

∫

=∫ ∫′

+

( )arctg(

( )

[ ( )]

xx C− +2)

Ejercicio 9

tg2 x dx∫Para calcular esta integral podriamos pensar en aplicar el método de integración por partes, puesto que no

se corresponde con ningún tipo de integral inmediata. La aplicación de dicho método, sin embargo, no conduce

a resultado satisfactorio.

Emplearemos un camino algo más creativo: la adición y sustracción de la misma constante en el integrando

transforma el problema en la suma de dos integrales inmediatas:

tg tg tg tg2 2 21 1 1x dx x dx dx x dx x x C∫ ∫ ∫ ∫= − + + = − + + = − + +

CJS v2008 23


Ejercicio 10

x x dxln∫Para resolver esta integral es necesario aplicar el método de integración por partes:

x x dxx

xx dx

x

x

u x dudxx

dv x dx vx

ln ln

ln

ln

∫ ∫= = − =

=

= ⇒ =

= ⇒ =2 3

3

3 3

3

23

23

23

xxx

dxx

xx

xx C

− = − =

= − +

∫ 23

23

23

23

23

23

3 3

3

ln

(ln )

Ejercicio 113 1

4 52

x

x xdx

+− −∫

Puesto que se trata de una integral racional polinómica, procederemos a factorizar el denominador y

descomponer el integrando en fracciones simples:

3 1

4 5

3 11 5 1 5

12

x

x xdx

xx x

dxA

xB

xdx A x B x

+− −

= ++ −

=+

+−

= + + −∫ ∫ ∫( )( )ln ln 55 +C

Sólo nos queda calcular las constantes de integración, a partir de

3 1 5 1 5

3

5 1

x A x B x x A B B A

A B

A B

+ = − + + = + + −+ =

− + =

( ) ( ) ( ) ( )

Sin embargo, cuando las raíces son simples, es más cómodo sustituir x por dichas raíces, lo que proporciona

directamente

3 1 5 1

1 6 213

5 6 1683

x A x B x

x A A

x B B

+ = − + +

= − − = − ⇒ =

= = ⇒ =

( ) ( )

]

]

En definitiva,

3 1

4 5

13

183

52

x

x xdx x x C

+− −

= + + − +∫ ln ln

24 CJS v2008


Una vez llegados a este punto, podemos simplificar el resultado

3 1

4 5

13

183

5 1 5

1

2

13

83x

x xdx x x C x x C

x

+− −

= + + − + = + + − + =

= + ⋅

∫ ln ln ln ln

ln xx C−

+5

83

Ejercicio 12

cos2 x dx∫Apliquemos el método por partes:

coscos sen

cos sensen cos sen2 2x dx

u x du xdx

dv xdx v xx x x d∫ =

= ⇒ = −= ⇒ =

= + xx∫ [ 1 ]

Llegamos a una integral que es formalmente análoga a la primera, por lo que si aplicamos el método por

partes a esta última integral

sensen cos

sen cossen cos cos2 2x dx

u x du xdx

dv xdx v xx x x∫ =

= ⇒ == ⇒ = −

= − + ddx∫ [ 2 ]

Llevando el resultado de [ 2 ] a [ 1 ],

cos sen cos sen cos cos2 2x dx x x x x x dx∫ ∫= − +

y obtenemos una identidad (‽‽). Es evidente entonces que hemos deseguir otro camino. En concreto, podemos

aplicar la conocida igualdad trigonométrica cos sen sen cos2 2 2 21 1x x x x+ = ⇒ = − en [ 1 ], y así llegar a

cos sen cos ( cos ) sen cos cos

sen

2 2 21x dx x x x dx x x dx x dx

x

∫ ∫ ∫ ∫= + − = + − =

= ccos cosx x x dx+ − ∫ 2 [ 3 ]

A partir de [ 3 ] es inmediato calcular el valor de la integral

I x dxx x x

C= = + +∫ cossen cos2

2

Existe, sin embargo, un método más elegante para calcular la integral, que consiste en manipular el

integrando utilizando las igualdades trigonométricas apropiadas, y transformar la integral en inmediata. Veámoslo

con algo más de detalle. Partiendo de

CJS v2008 25


cos sen

cos sen cos

coscos

sen

2 2

2 2

2

2

1

2

1 22

1

x x

x x x

xx

x

+ =− =

⇒

= +

= − ccos22

x

podemos escribir la integral como

coscos

cos

( )cos ( )

2 1 22

12

2x dxx

dx dx x dx

f x f x dx

∫ ∫ ∫ ∫= + = +

∫

′

= + +x xC

22

4sen

Si además tenemos en cuenta que sen sen cos2 2x x x= , podemos comprobar que la primitiva obtenida

por los dos métodos es idéntica.

Ejercicio 13

1 2−∫ x dx

Para resolver esta integral necesitaremos hacer un cambio de variable, puesto que no es inmediata ni

racional, y el método por partes no proporciona un camino viable. El cambio de variable viene condicionado

por la forma del integrando. Si recordamos que sen cos2 2 1x x+ = , parece lógico pensar que hay dos posibles

cambios de variable, x =sen t o bien x =cos t . Cualquiera de ellos, en principio, nos elimina el problema de la raíz

cuadrada, y reduce la integral a una trigonométrica. En concreto, utilizando el cambio x =sen t se obtiene

x t dx tdt

x dx t tdt tdtt

= ⇒ =

− = − =∫ ∫ ∫sen cos

sen cos coscos

1 12 2 2

integral que ya hemos resuelto en el ejercicio 12. Si optáramos por utilizar el otro cambio de variable,

x t dx tdt

x dx t tdt tt

= ⇒ = −

− = − − = −∫ ∫cos sen

cos sen sensen

1 12 2 2

ddt∫y llegamos a una integral formalmente análoga a la anterior y que se resuelve de la misma manera.

Ejercicio 14

Dadas las curvas y x= −( )1 3 e y x= −5 2 , calcular razonadamente:

a) Su punto de corte

26 CJS v2008


b) El área encerrada por ellas y el eje OY

El punto de intersección de las curvas se obtiene resolviendo la ecuación ( )x x− = −1 53 2 . Desarrollando

y simplificando términos, se obtiene la ecuación x x x3 22 3 6 0− + − = , ecuación de tercer grado que podemos

resolver utilizando la regla de Ruffini,

1 -2 3 -6

2 2 0 6

1 0 3 0

x x x x x3 2 22 3 6 2 3− + − = − +( )( )

por lo que se tiene

x x1 2 3

2 3= = ±;,

i

El punto de corte es entonces

x P1

2 2 1= ⇒ ( , )

Con el fin de calcular el área pedida haremos un croquis de las curvas:

El área que se nos pide calcular es la

sombreada en verde. Es evidente entonces que

puede calcularse como

S x x dx= − − − ∫ ( ) ( )5 12 3

0

2

Sin embargo, y teniendo en cuenta

la simetría de la función cúbica alrededor

del punto x =1, resulta mucho más cómoda

calcularla según

S x dx= −∫ 5 2

0

2

El cálculo de esta primitiva es trivial, ya que se trata de una integral inmediata de tipo polinómico:

5 53

1083

223

7 32

0

2 3

0

2

− = − = − = =∫ x dx xx

.

En definitiva,

S = =223

7 3.

u.a.

-1 1 2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y=(x -1)3

y=5-x2

P(2,1)

CJS v2008 27


Ejercicio 15

Calcular los valores reales z que verifican −

− −=∫ 16

2 1525

20 x x

dxz

ln

Calculemos en primer lugar la primitiva. Se aprecia claramente que se trata de una función racional, de

raíces x1

3= − y x2

5= , lo que indica que la factorización correspondiente es

−− −

=+

+−

16

2 15 3 52x x

Ax

Bx

Los valores de las constantes A y B se hallan a partir de la ecuación

A x B xB B

A A

x

x( ) ( )− + + = − ⇒

= − ⇒ =−− = − ⇒ =

=

=−

5 3 168 16 2

8 16 2

5

3

y entonces se tiene

−− −

= + − − = +−

+∫ 16

2 152 3 2 5

352

2

x xdx x x

xx

Cln( ) ln( ) ln

Aplicando la regla de Barrow, podemos calcular la integral definida,

−− −

= +−

−

−

= − +∫ 16

2 15

35

35

5 332

0

2 2

x xdx

zz

zz

z

ln ln ln( )( −−

5

2

)

La ecuación propuesta se convierte entonces en

ln( )( )

ln( )

( )

( ) ( )

− +−

= ⇒ − +

−=

− + = − ⇒

5 33 5

255 33 5

5

3 3 5 4

2zz

zz

z z zz = 12

y, finalmente,

z = 3

La interpretación geométrica del

problema puede verse en la figura:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f (x)

28 CJS v2008


Ejercicio 16

Calcular el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de la función y f x x= = +( ) 2 4

alrededor del eje OY y limitado por las rectas y =4 e y =8

Como sabemos, el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de una función alrededor

del eje OX puede calcularse a partir de la expresión

V f x dxa

b

= ∫π ( )2

Ahora bien, como en este caso la rotación tiene lugar alrededor del eje OY , deberemos calcular la forma

que toma la función x f y= ( ) . En concreto,

y x x y= + ⇒ = ± −2 4 4

Tomando únicamente la función positiva, el volumen se calcula

V y dx y dxy

y= −

= − = −

= − − ∫ ∫π π π π4 42

4 0 82

4

8

4

8 2

4

8

( ) ( )

es decir,

V = 8π u.d.v.

−100

10−10 −5 0 5 10

0

50

100

150

200

x

z

y

CJS v2008 29


Ejercicio 17

Calcular el área de una elipse de semieje mayor a y semieje menor b , centrada en el origen, mediante

cálculo integral

La ecuación de una elipse centrada en el origen de semiejes a y b toma la forma x

a

y

b

2

2

2

21+ = , y su

representación gráfica es la de la figura.

Es evidente entonces que podremos calcular el área

de la elipse como el cuádruple del área S1, siendo dicha

área S1 la que hay bajo la función y bx

a= −1

2

2 y entre

las rectas x =0 y x =4:

S bx

adx

a

1

2

20

1= −∫El problema se reduce por consiguiente a calcular esta integral. Por simple inspección comprobamos que

no es inmediata ni racional. El método por partes tampoco proporciona ninguna solución aceptable. Hemos de

pensar entonces en efectuar un cambio de variable. En concreto, si escribimos la integral como

S bxa

dxa

1

2

0

1= −

∫

podemos constatar que se trata de la misma integral del ejercicio 13. En efecto,

S bxa

dx

xa

t dx a tdt

x t

x a t

a

1

2

0

10 0

2

= −

=

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

∫sen cos

π

= ∫ab tdtcos2

0

2π

Recordando el resultado cossen cos2

2x dx

x x xC∫ = + + y aplicando la regla de Barrow obtenemos

el resultado final

S ab tdt abt t t

ab1

2

0

2

0

2

2 4= = + =∫ cos

sen cosπ π

π

y por tanto

S S ab= =41

π u.d.s.

x

y

S1

a

30 CJS v2008


Ejercicio 18

Dibujar el recinto limitado por y x x= − + −2 4 3 , su recta tangente en el punto P (0,–3) y la recta

y x= − + 3 . Calcular su área

La ecuación de la recta tangente a la función f (x) que pasa por el punto P (xP ,yP) se escribe como

y y f x x xP P P

− = ′ ⋅ −( ) ( )

En nuestro caso, se tiene

y x x y x f xx

PP= − + − ⇒ ′ = − + → ′ ==2 04 3 2 4 4( )

por lo que la recta tangente pedida será

y x= −4 3

La representación gráfica de la parábola y las dos rectas queda por tanto

Calculemos ahora los puntos de intersección A, B y C :

y x x

y xx x x

x x A

A A A

A AA A A

A A

= − + −= −

⇒ − + − = −

− = ⇒ = ⇒

22

2

4 3

4 34 3 4 3

0 0 0( ,, )−3

CJS v2008 31


y x

y xx x

x x B

B B

B BB B

B B

= − += −

⇒ − + = −

= ⇒ = ⇒ =

3

4 33 4 3

5 665

65

95

1 2( , ) ( . ,, . )1 8

y x x

y xx x x

x xx

C C C

C CC C C

C CC

= − + −= − +

⇒ − + − = − +

− + − = ⇒

22

2

4 3

34 3 3

5 6 0== ⇒= ⇒

2 2 1

3 3 02 2

C

x CC

( , )

( , )

Una vez calculadas las intersecciones en inmediato calcular el área del recinto limitado por las tres

gráficas,

S x x x dx x x x dx

x dx

x

x

x

x

A

B

B

C

= − − − + − + − + − − + − =

=

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )4 3 4 3 3 4 32 2

2

0

665 2

65

2 3

0

65 3 2

65

2

3

5 63 3

52

6

65

3

∫ ∫+ − + = + − +

=

=

x x dxx x x

x

++ − +

−

−

+

=83

10 12

65

35

65

26

65

3 2

883

23610

365

40 30 5415

1615

+ + − =

= + − = u.d.s.

CJS v2008 33


7. Ejercicios propuestosEjercicio 1

Calcular las siguientes integrales:

1 xx

xdx+

∫ 1 3 2 sen

cosx

xdx

3 +∫ 3 ln2 xx

dx∫

4 sen cos2 3 3x xdx∫ 5 7 22

+∫ tg

cos

x

xdx 6 1 2+∫ sen

sen cosx

x xdx

7 tg( )2 1x dx+∫ 8x

xdx

2 1+∫ 9 x x dx2 1+∫

10 32x x

dxln∫ 11

xdx

x

x

+

+∫ e

e112 x x dx2 sen∫

13 ( )senx x dx2 1 2+∫ 14 x x dx2 2 1ln( )+∫ 15 dx

x x2 2+ −∫

16dx

x x( ) ( )+ −∫ 2 12 17 2 3

2 52

x

x xdx

++ +∫ 18 x x

xdx

2

2

6

4

+ ++∫

19 dx

x 3 1−∫ 203 2

1 3 12 2

x

x xdx

−− + −∫ ( ) ( ) 21 2

1

3

8

x

xdx

+∫

22 2

1 4

x

xdx

+∫ 23 2

2

e

e

−

−+∫x

xdx 24 arcsen x

xdx

1 2−∫

25dx

x x( )+∫ 1 2 26dx

x x( )+∫ 1 2 27e

e

2

1

x

xdx

+∫

28 2 5

4 92

x

x xdx

+− +∫ 29 1

4 92x xdx

− +∫ 30 x

xdx

3

2 21( )−∫

31 x

x xdx

−− +∫ 2

4 52 32 x x dx2 4cos∫ 33 x dxx5 3

e−∫

34 ln xx

dx2

∫ 35 cos

sen

22

x

xdx∫ 36 x

x xdx

3

2 3cos∫

34 CJS v2008


Ejercicio 2

Calcular las siguientes integrales, utilizando los cambios de variable que se indican:

1 e

e

x

xdx

1 +∫ ex t= 23

1 2+ −∫ e xdx e− =x t 2

31

1 2 3( )−∫ xdx x t= sen 4

1

12 2x xdx

−∫ xt

= 1cos

5 sensen cos

xx

dx+∫ tg x t= 6

e

e

2

1

x

xdx

+∫ 1 2+ =ex t

72

3 2x xdx

+∫ x t= 8x

xdx

−∫ 1x t− =1 2

91

1 13 − −∫ x xdx 1 6− =x t 10 3 27

1 9

x x

xdx

++∫ 3x t=

11 1

1

+−∫ x

xdx t x= 12

13x x

dx−∫ x t= 6

Ejercicio 3

Calcular la función f (x) si sabemos que f (0)=0, f ’(0)=2 y f ’’(x)=3x

Ejercicio 4

Encontrar la primitiva de la función f xx

( ) =−

1

1 4 2 que se anula en x = π

4

Ejercicio 5

Hallar el área limitada por la curva y x x= − +3 23 1 y la recta tangente a la misma en el punto en que

alcanza su máximo relativo. Dibujar el recinto

Ejercicio 6

Considerar la figura plana encerrada entre las curvas y x= 23 e y x= 2 , cuando 0≤x ≤1. Hallar el volumen

que genera cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX

CJS v2008 35


Ejercicio 7

Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1 11

1

+−∫ x dx 2 2

1 21

1 x

xdx

+−∫ 3 x x dx2 3 2

1

0

2( )+−∫

4 cos

sen

x

xdx

1 20

2

+∫π

5 1

3 21

3

+∫ xdx 6 ln3

1

xx

dxe

∫

7 x x dx2 2 2

1

+−∫1

8 sen cosx x dx2

0

π

∫ 9 ctg x dxπ

π

4

2∫

10 sec ( )2

4

2x dx+

−∫ ππ

π

11 1

114

34

x xdx

( )−∫ 12 1

122

1

x xdx

+ +−∫

131

143

2

x xdx

−∫ 14 x x dx2

0

senπ

∫ 15 arcsen x dx0

1

∫

16 sen(ln )xx

dx1

e

∫ 17 1

130 x

dx+∫

2

18 (sen sen )cos3 2

0

x x x dx+∫π

19 11

2

2

+−∫ cosxdx

π

π

20 2 32 10

2 xx

dx++∫ 21 1 2

0

1

−∫ x dx

22 1 2

3

1

−−∫ x dx 23 ln x

xdx

1

e

∫ 24 sen cos3 2

0

x x dxπ

∫

25 2 5

220

1 x

x xdx

+− −∫ 26 ln x dx

1e

e

∫ 27 1

1

3 +∫ xx

dx

28 xx

dx2

0

2

1 +∫ 29 e

e

x

xdx

−+∫ 1

10

1

30 x x dx2

0

24cos

π

∫

31 ( )t dtx

2 4

3

1+∫ 32 1 2

0

1

+∫ e x dx 33 cossen

tt

dtx

2 30 +∫

34 t

tdt

x 2

23

4

3 1

−−−∫ 35 x x dx2

1

4

2+ −−∫ 36 1

2

+∫ t dtx

xsen

36 CJS v2008


Ejercicio 8

Encontrar el valor de k, k >0, tal que el volumen del cuerpo de revolución generado por la curva y kx= 2 ,

con 0≤x ≤1, al girar en torno al eje OX sea igual a 1

Ejercicio 9

Encontrar la recta vertical x =k, tal que divide en dos partes iguales el área del recinto limitado por las

curvas y x= 2 , x = 2 e y = 0

Ejercicio 10

Calcular el valor de a para que el área delimitada por la curva y ax= sen2

y las rectas y = 0 y x = π ,

sea igual a 4

Ejercicio 11

Se sabe que la gráfica de una función pasa por el punto A (1,1) y que f ’(1)=2. Se conoce también que

su derivada segunda es la función g (x)=2. Calcular razonadamente la función f (x)

Ejercicio 12

¿Existe alguna función y =f (x) tal que ′′ =−

f xx

( )1

1 y que f (0)=2 y f (3)=3? ¿Y que f (2)=2 y f (3)=3?

Justificar la respuesta. En el caso de que exista y =f (x) en alguna de estas situaciones, calcularla

CJS v2008 39


Contenido1. Primitiva de una función 3

1.1. Propiedades

2. Primitivas inmediatas 5

3. Integración de funciones racionales 73.1. Raíces reales3.2. Raíces complejas3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x

3.3.1. Método general3.3.2. Casos particulares

3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno

3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x

4. Integración por partes 13

5. Integral definida 155.1. Propiedades5.2. Regla de Barrow5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva

6. Ejercicios resueltos 19

7. Ejercicios propuestos 33

CJS v2008

integral 2008

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