Download - Integral 2008
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
CJS v2008
−10
0
10
−10−5
05 100
50
100
150
200
x
z
y
1
2
3
4
5
x
y
g(x)
f(x)-g(x)
f(x)
Cálculo integral en © Carlos J. Sánchez de Merás, noviembre 2007
2 CJS v2008
CJS v2008 3
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
1. Primitiva de una funciónSea f (x) una función definida en el intervalo [a, b ]. Se dice que una función F (x) es una primitiva de
f (x) en [a, b ] cuando F (x) tiene por derivada la función f (x) en [a, b ]:
F x f x a b F x f x x a b( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ,es de en primitiva ⇔ ′ = ∀ ∈
Si una función f (x) tiene una función primitiva, F (x), entonces f (x) admite infinitas primitivas, cuya
expresión general puede escribirse F (x)+C. Como se observa, las infinitas primitivas que puede admitir una
función se diferencian en una constante arbitraria, C , que se llama constante de integración. A la expresión
F (x)+C se le denomina integral indefinida de f (x), y se escribe:
f x dx F x C( ) ( )∫ = +
1.1. Propiedades
➊ La derivada de la integral de una función f (x) es la propia función f (x):
ddx
f x dx f x( ) ( )∫
=
➋ Linealidad de la integral:
λ µ λ µ⋅ ± ⋅ = ±∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )
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Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
2. Primitivas inmediatas
CJS v2008 7
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
3. Integración de funciones racionales
3.1. Raíces reales
Nos encontramos ante integrales de la forma P xQ x
dx( )( )∫ , con P(x) y Q(x) polinomios, tales que el grado de
P(x) es menor que el grado de Q(x). Si no se cumple esta condición, efectuaremos la división correspondiente,
y reduciremos el problema original a una integral polinómica y otra del tipo bajo consideración, según se
muestra a continuación:
F xG x
F x G x
F xG x
H xP xQ x
( )( )
gr ( ) gr ( )
( )( )
( )( )(
tales que { } > { } ⇒
⇒ = +))
gr ( ) gr ( ) , con P x Q x{ } < { }
Factoricemos entonces el polinomioQ(x). Sea Q x x x x x x xa b z
( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ − ⋅ ⋅ −α β ξ dicha
factorización del polinomio Q(x), y xa , xb , …, xz las raíces reales del polinomio con multiplicidades α, β, …, ξ,
respectivamente. El cociente de P(x) y Q(x) podrá escribirse como
P xQ x
P x
x x x x x x
A
x x
A
x x
a b z
a a
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=− − −
=
=−
+− −
α β ξ
α α
1 21
++ +−
+−
+ +−− +
=− +
=∑ ∑
A
x x
B
x x
Z
x xa
i
bi
i
i
zi
i
αβ
β
ξ
ξ
( ) ( ) ( )1
1
1
1
[ 1 ]
por lo que, integrando miembro a miembro, obtendremos
P xQ x
dxA
x x
A
x xA x x
a a
a
( )( ) ( ) ( )
ln∫ =−
− −+
−− −
+ + − +
+
− −1
12
211
21
α αα α α
−−− −
+−
− −+ + − +
+−
−
− −
B
x x
B
x xB x x
Z
x
b b
b1
12
2
1
11
21
11
β β
ξ
β β β( ) ( )ln
(
−−+
−− −
+ + − +− −x
Z
x xZ x x C
z z
z) ( )ln
ξ ξ ξξ12
221
que se puede escribir de forma más compacta como
P xQ x
dxA
i x x
B
i x xi
i ai
i
i
( )( ) ( ) ( ) ( ) (∫ =
−− −
+−
− −=
−
−=
−
∑ ∑α β
α
α
β
1
1
1
11 1
bbi
i
i zi
a b
Z
i x x
A x x B x x Z
) ( ) ( )
ln ln
β
ξ
ξ
α β ξ
ξ−=
−
−+ +
−− −
+
+ − + − + +
∑
1
11
lln x x Cz
− +
El único problema que nos queda por resolver es el de la determinación de las constantes Ai , Bi , …, Zi .
Teniendo en cuenta la relación [ 1 ], y efectuando las sumas correspondientes, podemos escribir
8 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
P x x x x x x x A x x
x x
b c z i ai
i
a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − +
+ − ⋅
−
=∑β γ ξ
α
α
1
1
xx x x x B x x
x x x x Z
c z i bi
i
a b i
− ⋅ ⋅ − ⋅ − +
+ − ⋅ − ⋅ ⋅
−
=∑) ( ) ( )
( ) ( )
γ ξβ
α β
1
1
(( )x xz
i
i
− −
=∑ 1
1
ξ
EjEmplo
Calcular la integral x
x x x x xdx
2
5 4 3 210 39 74 68 24− + − + −∫En este caso, no hace falta dividir los polinomios, ya que el grado del numerador es inferior al grado del denominador.
Procederemos entonces a factorizar el denominador. Aplicando el método de Ruffini,
1 -10 39 -74 68 -24
1 1 -9 30 -44 24
1 -9 30 -44 24 0
2 2 -14 32 -24
1 -7 16 -12 0
2 2 -10 12
1 -5 6 0
2 2 -6
1 -3 0
3 3
1 0
x x x x x
x x x
5 4 3 2
3
10 39 74 68 24
1 2 3
− + − + − == − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
podemos identificar las raíces a =1, b =2, c =3 , con sus respectivas multiplicidades α=1, β=3, γ=1.
La integral queda por tanto
x
x x x x xdx
x
x x xdx
A
x
2
5 4 3 2
2
3
1
10 39 74 68 24 1 2 3
1
− + − + −=
− − −=
=−
∫ ∫ ( )( ) ( )
++−
+−
+−
+−∫ B
x
B
x
B
x
C
xdx1
32
23 1
2 2 2 3( ) ( )
cuyo resultado es
I A xB
i xB x C x C
A x
ii
i
= − +−
− −+ − + − + =
= −
−=
∑1 3
1
2
3 1
1
13 2
2 3
1
ln( )( )
ln ln
ln ++−
−+
−−
+ − + − +B
x
B
xB x C x C1
22
1 3 121
2 11
22 3
( ) ( )ln ln
donde las constantes se calculan mediante
CJS v2008 9
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
x x x A x x C
x x B x B x
2 31
31
10
2
2 3 1 2
1 3 2 2
= - - + - - +
+ - - - + -
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )113
22+ -éëê
ùûúB x( )
sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se puede resolver
⇨ desarrollando el polinomio del segundo miembro, igualando coeficientes y aplicando algún método conocido de
resolución
⇨ sustituyendo x por valores adecuados: las raíces (que proporcionan las constantes con subíndice 1) y números con los que
sea fácil operar (0, por ejemplo).
3.2. Raíces complejas
Si Q (x) tiene raíces complejas (simples), además de raíces reales (simples o múltiples) la descomposición
en fracciones simples del cociente nos lleva a
P xQ x
P x
x a x k
A
x a
A
x a
A
x aMx( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )=
− +=
−+
−+ +
−+ +
−α α αα
2 21 2
1
NN
x k2 2+
donde, por comodidad, hemos considerado una única raíz real (x =a ) de multiplicidad α, y una única raíz compleja
–imaginaria– (x k= ± = −i i, 1 ). El término debido a la raíz compleja proporciona dos nuevas integrales: una
del tipo logaritmo neperiano,
Mx
x kdx
Mx k
2 2
2 2
2+= +∫ ln
y otra del tipo arcotangente,
N
x kdx
N
k
dx
xk
Nk
xk2 2 2 2
1+
=
+
=
∫ ∫ arctg
Las constantes se calculan como en el caso anterior, igualando los coeficientes de los polinomios tras
realizar las sumas correspondientes.
3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x
Nos encontramos ahora ante integrales del tipo R x x dx(sen , cos )∫ , donde R es una función racional
cualquiera.
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3.3.1. Método general
Este tipo de integrales se resuelven utilizando el cambio de variable tgx
t2
=
Utilizando los resultados conocidos de trigonometría
11 1
1
11
2
2 2
2 2
2
+ = ⇒ =+
= − ⇒ =+
tgcos
costg
sen cos sentg
tg
αα
αα
α α α α
α
→
=
+
=+
=α x
x
x
x
t
t
x
2
222
2
12
1
2
sen
tg
tg
cos
=
+
=+
1
12
1
122
tgx t
sen sen cos
cos cos sen
sen
c
2 2
2
2
12 2
2
2α α αα α α
α= ⋅= −
→
=+= x
xt
t
oosxt
t= −
+
1
1
2
2
y como
x t dxt
dt= ⇒ =+
22
1 2arctg
entonces la integral puede reescribirse como
R x x dx Rt
t
t
t tdt(sen , cos ) ,=
+−+
+∫∫ 2
1
1
1
2
12
2
2 2
racional en t, fácil de resolver, aplicando descomposición en fracciones simples como hemos visto
anteriormente.
3.3.2. Casos particulares
3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno
Si la función racional cumple R x x R x x( sen , cos ) (sen , cos )- = y R x x R x x(sen , cos ) (sen , cos )- =
simultáneamente, es decir, es par (simétrica con respecto al eje OY ), efectuaremos el cambio de variable tg x t= ,
más sencillo que el cambio general tgx
t2
= . Con este cambio se tiene
11 1
1
11
2
2 2
2 2
2
+ = ⇒ =+
= − ⇒ =+
tgcos
costg
sen cos sentg
tg
αα
αα
α α α α
α
⇒= ±
+
= ±
+
cos
sen
xt
xt
t
1
1
1
2
2
2
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Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
x t dxt
dt= ⇒ =+
arctg1
1 2
y entonces reducimos la integral a
R x x dx Rt
t t tdt
Rt
t
(sen , cos ) ,
,
= ±
+
±
+
+
=
=+
∫∫ 1
1
1
1
1
1
1
2 2 2
2
21 11
1
12 2+
+∫ t tdt
siendo R1 una función racional distinta de R.
3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno
Si la función racional cumple R x x R x x( sen , cos ) (sen , cos )- =- , es decir, si es impar en sen x, haremos
el cambio de variable cosx t= . Si por el contrario se cumple que R x x R x x(sen , cos ) (sen , cos )- =- (esto
es, la función racional es impar en cos x ) efectuaremos el cambio sen x t= .
EjEmplo
Calcular la primitiva de sen sen
cos
x x
xdx
++∫
3
21 2
En este caso, el integrando es claramente impar en sen x, por lo que haremos
cos sensen
x t xdx dt dxdt
x= ⇒ − = ⇒ = −
Aplicando este cambio, la integral queda
sen sen
cos
sen ( sen )
cos sen
cox x
xdx
x x
x
dt
x
++
= ⋅ ++
− = − −∫ ∫3
2
2
21 2
1
1 2
2 ss
cos
2
2
2
2
1 22
1 2
x
xdt
t
tdt
+=
= − −+
∫∫
racional en t, de resolución sencilla.
3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x
En este caso, la función racional únicamente presenta términos en seno o en coseno, es decir, la integral
es del tipo R x dx(sen )∫ o bien R x dx(cos )∫ . Lo más conveniente en estos casos es realizar la división, y
12 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
descomponer el resultado en fracciones simples. En definitiva, lo que haremos será tratar la función racional
trigonométrica correspondiente como si fuera una función racional polinómica, asimilando sen x t= o bien
cosx t= .
EjEmplo
Calcular 1
4 4
4
3 2
++ − −∫ cos
cos cos cos
x
x x xdx
Haciendo la división, y descomponiendo en fracciones simples,
cos
cos cos cos(cos )
cos
cos cos c
4
3 2
2
3 2
1
4 41
5 3
4
x
x x xx
x
x x
++ - -
= - +-
+ - oos
cos cos cos (cos )(cos )(cos )
cos
x
x x x x x x
x
-
+ - - = - + + Þ
Þ
4
4 4 2 2 1
5
3 2
2 --+ - -
=-
++
++
3
4 4 2 2 13 2cos cos cos cos cos cosx x x
Ax
Bx
Cx
con lo que la integral puede escribirse de la forma
1
4 41
5 3
4
4
3 2
2
3 2
++ − −
= − + −+ −∫ cos
cos cos coscos
cos
cos cos
x
x x xdx x
x
x x ccos
sencos cos cos
xdx
x xAx
Bx
Cx
dx
−
=
= − +−
++
++
∫
∫
4
2 2 1
Estas últimas integrales se resuelven mediante el cambio general tgx
t2
= .
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Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
4. Integración por partes
Se utiliza este método de integración en integrales del tipo u dv⋅∫ , siendo tanto u (x) como v (x) funciones
de x. Su cálculo se basa en el hecho conocido de que la derivada del producto de funciones viene dada por
d[ ( ) ( )]d
d ( )d
( ) ( )d ( )d
u x v xx
u xx
v x u xv xx
⋅ = ⋅ + ⋅
Integrando miembro a miembro la anterior expresión, obtenemos
d u v v du u dv( )⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫donde encontramos en el segundo miembro la integral buscada. Simplificando y despejando, hallamos la
solución
u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫
EjEmplo
Calcular la primitiva de x x dxsen∫Tomando
u x du dx
dv xdx v x
= ⇒ == ⇒ =−sen cos
y por aplicación directa de la fórmula se tiene
x x dx x x x dx x x x Csen cos cos cos sen∫ ∫= − + = − + +
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Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
5. Integral definidaLa integral definida proporciona la solución al problema del cálculo del área bajo una curva. En efecto,
sea una función f (x) positiva, continua y monótona creciente en un intervalo [a, b]. Dividiremos dicho intervalo
en n partes, que supondremos iguales por comodidad, mediante los puntos x1, x2, …, xn-1.
Llamaremos partición del intervalo al conjunto P de puntos
P x a x x x x b
P x x ib a
ni n
n n
i
= = ={ }= = + − =
−0 1 2 1
01 2
, , , , ,
, , , ,
Una partición P’ es más fina que la partición P (lo que se escribe P’ P ) cuando la anchura de los
subintervalos de P’ es menor que la de los subintervalos de P . Esto equivale a incluir más puntos en dicha
partición.
Podemos calcular ahora el área bajo la gráfica de f (x) de manera aproximada, como suma de las áreas
de los rectángulos que tienen como base los subintervalos de la partición, y como altura, bien el valor máximo
de la función en dicho subintervalo, Mi (área por exceso), o bien el valor mínimo de la función en dicho
subintervalo, mi (área por defecto). Evidentemente, el área exacta bajo la curva, S, está entre estos dos valores.
Así las cosas, tenemos:
s m x x
S M x x
i i i i
i
n
i i i i
i
n
= ⋅ −
= ⋅ −
−=
−=
∑∑
( )
( )
1
1
1
1
área por defecto
área ppor exceso
s S Si i
≤ ≤
Ahora bien, si reducimos la anchura de los
subintervalos (es decir, si refinamos la partición),
puede apreciarse que la diferencia entre los
valores máximo y mínimo de la función en dichos
subintervalos se va haciendo progresivamente menor.
En el límite, cuando el número de subintervalos tiende a infinito, el intervalo tiene una anchura diferencial y los
valores máximo Mi y mínimo mi coinciden con el valor de la función en dicho punto. En dichas condiciones,
el área por exceso y el área por defecto coinciden. Al estar el valor exacto de área acotado por dos sucesiones
que tienden al mismo valor, necesariamente entonces
S f x x x f x dxn i i i
i
n
a
b
= ⋅ − =→+∞ −
=∑ ∫lim ( ) ( ) ( )
1
1
x
y
si º área por defecto
M2
Si º área por excesoM3
m2M1
m3
m1
16 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
En definitiva,
Sea f (x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral
definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] como el área S de la región R del
plano limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.
S f x dxa
b
= ∫ ( )
5.1. Propiedades
➊ Si los límites de una integral definida son iguales, la integral definida es nula:
f x dx f xa
a
( ) ( )∫ = ∀0
➋ Aditividad: si f (x) es una función continua en [a,b] y c Î]a,b[:
f x dx f x dx f x dx c a ba
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( ) [ , ]∫ ∫ ∫= + ∀ ∈
➌ Si se intercambian los límites de integración, la integral definida cambia de signo:
f x dx f x dxa
b
b
a
( ) ( )∫ ∫= −
➍ Linealidad de la integral:
α β α β α βf x dx g x dx f x g x dxa
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) ,∫ ∫ ∫+ = + ∀ ∈
➎ Si f (x) y g (x) son continuas en [a,b] y si f (x)³g (x) "x Î]a,b[:
f x dx g x dxa
b
a
b
( ) ( )∫ ∫≥
➏ Signo de la integral:Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)>0 "x Î]a,b[ :
f x dxa
b
( )∫ > 0
Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)<0 "x Î]a,b[:
f x dxa
b
( )∫ < 0
CJS v2008 17
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Por tanto, si f (x) cambia de signo en [a,b], la integral definida proporciona la suma
algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje de abscisas, cada
una con su signo. Si quisiéramos calcular el área en términos absolutos, tendríamos
que calcular el área de cada recinto y, antes de sumar, cambiar de signo las negativas,
es decir, hemos de realizar una suma de los valores absolutos de las áreas de cada
uno de los recintos.
5.2. Regla de Barrow
Si f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F (x) es una primitiva de
f (x) [cfr. §1 ] ,entonces
f x dx F b F aa
b
( ) ( ) ( )∫ = −
5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas
El área comprendida entre dos curvas f (x) y g (x) es igual al área comprendida entre la función diferencia,
f (x) – g (x), y el eje de abscisas.
Por consiguiente, el proceso que deberemos
seguir para calcular el área es:
➊ Calcular los puntos de corte entre las
funciones f (x) y g (x), es decir, resolver
la ecuación
f x g x( ) ( )− = 0
➋ Estudiar el signo de la función f (x) – g (x) en los distintos intervalos generados por las raíces de la
ecuación anterior
➌ Aplicar la propiedad de aditividad de la integral definida, teniendo en cuenta el signo de cada integral
EjEmplo
Calcular el área comprendida entre las funciones y x= −2 5 e y x= − − 5
1
2
3
4
5
x
y
g(x)
f(x)-g(x)
f(x)
18 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
f x g x x x x x
x x x x x x
( ) ( ) ( )
( ) ;
− = − − − − = ++ = ⇒ + = ⇒ = = −
2 2
21 2
5 5
0 1 0 0 1
Para cualquier valor entre 0 y -1, que es el intervalo de integración,
f (x) < g (x), por lo que podremos calcular el área mediante la
expresión
S x x dx= − +−∫ 2
1
0
Calculando la primitiva y aplicando la regla de Barrow se obtiene
Sx x= − +
= − + −
= − + =
−
3 2
1
03 2
3 213
12
13
12
16
( ) ( )u.d.s.
5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva
De la misma forma que calculamos el área contenida entre el eje OX, las rectas x = a y x = b y una función
f (x), podemos calcular el volumen de revolución que genera una función al girar en torno al eje OX. En este
caso, los distintos subintervalos de la partición
generan cilindros de altura igual al ancho del
subintervalo y radio igual al máximo (volumen
por exceso) o al mínimo (volumen por defecto)
que toma la función en dicho subintervalo, como
puede apreciarse en la figura.
En el límite, cuando la partición se ha
refinado hasta obtener infinitos subintervalos
de anchura diferencial, el volumen por exceso
y el volumen por defecto convergen al valor del
volumen exacto, ya que los valores máximo y mínimo coinciden. Podremos afirmar, por tanto, que
El volumen de revolución generado por una función f (x) al rotar alrededor del
eje OX, y limitado por las rectas x = a y x = b se calcula según
V f x dxa
b
= ∫π ( )2
-5
-4
-3
-2
x
y
f(x)
g(x)
S=1/6 u.d.s.
CJS v2008 19
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
6. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
e e ex x
f x f x dx
xdx Ccos sen
( )cos ( )
∫′∫
= +
Ejercicio 2
x x x dx x x x dx
f x f x dxn
23 232 112
2 2 1− − = − −
∫∫ ∫
′
( ) ( )
[ ( )] ( )
=−
+3 2
8
2 43 ( )x xC
Ejercicio 3
x
xdx x x dx x x dx
f x f x dxn1
112
2 12
212 2
12
−= − = − − −
∫∫ ∫ ∫− −
′
( ) ( )
[ ( )] ( )
= − − +1 2x C
Ejercicio 4
2 1
1 2 1 2
x
xdx
++ +∫ ( )
En primer lugar, podríamos pensar que se trata de una integral inmediata de tipo arcotangente, pero
desechamos esta opción puesto que el numerador no puede transformarse en la derivada del término cuadrático
del denominador. Si optamos por calcular la derivada del denominador, sin embargo, comprobaremos que con una
sencilla transformación la integral se convierte en una inmediata de tipo logaritmo neperiano. En concreto,
1 2 1 4 2 12 1
1 2 1
14
4 2 1
1 2 12
2 2+ +
′ = + ⇒ ++ +
= ++ +∫( ) ( )
( )
( )
( )x x
x
xdx
x
xddx∫
Una vez llegados a este punto, podemos concluir
2 1
1 2 1
14
4 2 1
1 2 12 2
x
xdx
x
xdx
f xf x
dx
++ +
= ++ +
∫
∫ ∫′
( )
( )
( )( )( )
= + + +14
1 2 1 2ln ( )x C
20 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 5
cos sen3 4x x dx∫Como el integrando es claramente impar en cosx, efectuaremos el cambio sen x =t :
sen coscos
sen cos cos sen
x t xdx dt dxdt
xx x x x t
= ⇒ = ⇒ =
+ = ⇒ = − = −2 2 2 2 21 1 1
con lo que la integral se transforma en
cos sen ( )3 4 2 4 4 65 7
15 7
x x dx t t dt t t dtt t
C∫ ∫ ∫= − = − = − +
Y deshaciendo el cambio llegamos al resultado final
cos sensen sen3 4
5 7
5 7x x dx
x xC∫ = − +
Ejercicio 6
tg tgtg
3
1 2x x
xdx
+−∫
Nos encontramos ante una integral racional con funciones trigonométricas. Además, como el integrando
es una función impar aplicaremos el cambio tgx = t :
tg
tg tgtg
( )
x t dxdt
t
x xx
dxt t
tdt
t
t t
= ⇒ =+
+−
= +− +
=+−∫ ∫
1
1 2 1 2 1
1
1
2
3 3
2
2
22 1 1 22tdt
t
ttdt
+=
−∫ ∫Con este cambio hemos transformado la integral en una racional polinómica. Ahora bien, como los grados
del numerador y denominador coinciden, habremos de efectuar la correspondiente división polinómica:
tt t t1 2
12
12
1 212
11
1 2−= − +
−= − −
−
La integral queda por tanto
ttdt
tdt dt
tdt
f xf x
dx
1 212
11
1 212
12
11 2−
= − −−
= − +−
∫
∫ ∫ ∫ ∫′( )( )
= − − − +tt C
214
1 2ln
CJS v2008 21
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
y deshaciendo el cambio de variable,
tg tgtg
tgln tg
3
1 2 214
1 2x x
xdx
xx C
+−
= − − − +∫
Ejercicio 7
x
x xdx
2
3 2
1−−∫
La integral bajo consideración es racional polinómica, por lo que deberíamos efectuar la descomposición
del integrando en fracciones simples, previa factorización del polinomio del denominador. Sin embargo, resulta
mucho más cómodo en este caso factorizar tanto el denominador como el denominador. En efecto,
x
x xdx
x x
x xdx
x
xdx
xdx
xdx
2
3 2 2 2 2
1 1 1
1
1 1 1−−
=− +
−= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫( )( )
( )
Ahora ya es inmediato realizar el cálculo de la integral:
x
x xdx x
xC
2
3 2
1 1−−
= − +∫ ln
Comprobemos ahora cómo la descomposición en fracciones simples propor
x
x xdx
x
x xdx
Ax
B
x
Dx
dx A xBx
D x2
3 2
2
2 2
1 1
1 11
−−
= −−
=−
+ + = − − + +∫ ∫ ∫( )ln ln CC
Nos queda ahora calcular las constantes A , B y D de la descomposición, para lo que tendremos que
resolver la ecuación
Ax B x Dx x x
x A D x B D B x
2 2
2 2
1 1 1
1
+ − + − = −+ + − − = −
( ) ( )
( ) ( )
que se traduce, identificando coeficientes, en el sistema
A D
B D
B
A
B
D
+ =− ==
⇒===
1
0
1
0
1
1
y nos lleva, finalmente a
x
x xdx A x
Bx
D x C xx
C2
3 2
11
1−−
= − − + + = − +∫ ln ln ln
resultado que coincide, como se observa claramente, con el obtenido inicialmente.
22 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 81
4 52x xdx
− +∫La integral que se nos presenta es racional polinómica. En este caso, además, el numerador es una constante
y el denominador es de segundo grado. Todos los integrandos de estas características conducen a soluciones de
la forma arcotangente, y la primitiva se calcula utilizando el método conocido como completar cuadrados (si
la integral no viene expresada en su forma canónica).
En concreto, intentaremos transformar el polinomio completo de segundo grado de forma que pueda
escribirse como el cuadrado de un binomio más una constante. Para ello:
➀ Dividiremos el polinomio por el coeficiente del término de segundo grado (si es necesario)
➁ El binomio buscado tomará la forma (x +k ), donde k es el coeficiente del término de grado
uno dividido por dos (y por el coeficiente del término de segundo grado, si hemos efectuado
el paso anterior)
➂ Completaremos la transformación sumando una constante p para que se cumpla que p +(x +k )2
coincida con el polinomio
Con los datos del problema, la transformación es
x x x2 24 5 2 1− + = − +( )
lo que convierte la integral en
1
4 5
1
1 22 2
1 2
x xdx
xdx
f x
f xdx
− +=
+ −
∫
=∫ ∫′
+
( )arctg(
( )
[ ( )]
xx C− +2)
Ejercicio 9
tg2 x dx∫Para calcular esta integral podriamos pensar en aplicar el método de integración por partes, puesto que no
se corresponde con ningún tipo de integral inmediata. La aplicación de dicho método, sin embargo, no conduce
a resultado satisfactorio.
Emplearemos un camino algo más creativo: la adición y sustracción de la misma constante en el integrando
transforma el problema en la suma de dos integrales inmediatas:
tg tg tg tg2 2 21 1 1x dx x dx dx x dx x x C∫ ∫ ∫ ∫= − + + = − + + = − + +
CJS v2008 23
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Ejercicio 10
x x dxln∫Para resolver esta integral es necesario aplicar el método de integración por partes:
x x dxx
xx dx
x
x
u x dudxx
dv x dx vx
ln ln
ln
ln
∫ ∫= = − =
=
= ⇒ =
= ⇒ =2 3
3
3 3
3
23
23
23
xxx
dxx
xx
xx C
− = − =
= − +
∫ 23
23
23
23
23
23
3 3
3
ln
(ln )
Ejercicio 113 1
4 52
x
x xdx
+− −∫
Puesto que se trata de una integral racional polinómica, procederemos a factorizar el denominador y
descomponer el integrando en fracciones simples:
3 1
4 5
3 11 5 1 5
12
x
x xdx
xx x
dxA
xB
xdx A x B x
+− −
= ++ −
=+
+−
= + + −∫ ∫ ∫( )( )ln ln 55 +C
Sólo nos queda calcular las constantes de integración, a partir de
3 1 5 1 5
3
5 1
x A x B x x A B B A
A B
A B
+ = − + + = + + −+ =
− + =
( ) ( ) ( ) ( )
Sin embargo, cuando las raíces son simples, es más cómodo sustituir x por dichas raíces, lo que proporciona
directamente
3 1 5 1
1 6 213
5 6 1683
x A x B x
x A A
x B B
+ = − + +
= − − = − ⇒ =
= = ⇒ =
( ) ( )
]
]
En definitiva,
3 1
4 5
13
183
52
x
x xdx x x C
+− −
= + + − +∫ ln ln
24 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Una vez llegados a este punto, podemos simplificar el resultado
3 1
4 5
13
183
5 1 5
1
2
13
83x
x xdx x x C x x C
x
+− −
= + + − + = + + − + =
= + ⋅
∫ ln ln ln ln
ln xx C−
+5
83
Ejercicio 12
cos2 x dx∫Apliquemos el método por partes:
coscos sen
cos sensen cos sen2 2x dx
u x du xdx
dv xdx v xx x x d∫ =
= ⇒ = −= ⇒ =
= + xx∫ [ 1 ]
Llegamos a una integral que es formalmente análoga a la primera, por lo que si aplicamos el método por
partes a esta última integral
sensen cos
sen cossen cos cos2 2x dx
u x du xdx
dv xdx v xx x x∫ =
= ⇒ == ⇒ = −
= − + ddx∫ [ 2 ]
Llevando el resultado de [ 2 ] a [ 1 ],
cos sen cos sen cos cos2 2x dx x x x x x dx∫ ∫= − +
y obtenemos una identidad (‽‽). Es evidente entonces que hemos deseguir otro camino. En concreto, podemos
aplicar la conocida igualdad trigonométrica cos sen sen cos2 2 2 21 1x x x x+ = ⇒ = − en [ 1 ], y así llegar a
cos sen cos ( cos ) sen cos cos
sen
2 2 21x dx x x x dx x x dx x dx
x
∫ ∫ ∫ ∫= + − = + − =
= ccos cosx x x dx+ − ∫ 2 [ 3 ]
A partir de [ 3 ] es inmediato calcular el valor de la integral
I x dxx x x
C= = + +∫ cossen cos2
2
Existe, sin embargo, un método más elegante para calcular la integral, que consiste en manipular el
integrando utilizando las igualdades trigonométricas apropiadas, y transformar la integral en inmediata. Veámoslo
con algo más de detalle. Partiendo de
CJS v2008 25
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
cos sen
cos sen cos
coscos
sen
2 2
2 2
2
2
1
2
1 22
1
x x
x x x
xx
x
+ =− =
⇒
= +
= − ccos22
x
podemos escribir la integral como
coscos
cos
( )cos ( )
2 1 22
12
2x dxx
dx dx x dx
f x f x dx
∫ ∫ ∫ ∫= + = +
∫
′
= + +x xC
22
4sen
Si además tenemos en cuenta que sen sen cos2 2x x x= , podemos comprobar que la primitiva obtenida
por los dos métodos es idéntica.
Ejercicio 13
1 2−∫ x dx
Para resolver esta integral necesitaremos hacer un cambio de variable, puesto que no es inmediata ni
racional, y el método por partes no proporciona un camino viable. El cambio de variable viene condicionado
por la forma del integrando. Si recordamos que sen cos2 2 1x x+ = , parece lógico pensar que hay dos posibles
cambios de variable, x =sen t o bien x =cos t . Cualquiera de ellos, en principio, nos elimina el problema de la raíz
cuadrada, y reduce la integral a una trigonométrica. En concreto, utilizando el cambio x =sen t se obtiene
x t dx tdt
x dx t tdt tdtt
= ⇒ =
− = − =∫ ∫ ∫sen cos
sen cos coscos
1 12 2 2
integral que ya hemos resuelto en el ejercicio 12. Si optáramos por utilizar el otro cambio de variable,
x t dx tdt
x dx t tdt tt
= ⇒ = −
− = − − = −∫ ∫cos sen
cos sen sensen
1 12 2 2
ddt∫y llegamos a una integral formalmente análoga a la anterior y que se resuelve de la misma manera.
Ejercicio 14
Dadas las curvas y x= −( )1 3 e y x= −5 2 , calcular razonadamente:
a) Su punto de corte
26 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
b) El área encerrada por ellas y el eje OY
El punto de intersección de las curvas se obtiene resolviendo la ecuación ( )x x− = −1 53 2 . Desarrollando
y simplificando términos, se obtiene la ecuación x x x3 22 3 6 0− + − = , ecuación de tercer grado que podemos
resolver utilizando la regla de Ruffini,
1 -2 3 -6
2 2 0 6
1 0 3 0
x x x x x3 2 22 3 6 2 3− + − = − +( )( )
por lo que se tiene
x x1 2 3
2 3= = ±;,
i
El punto de corte es entonces
x P1
2 2 1= ⇒ ( , )
Con el fin de calcular el área pedida haremos un croquis de las curvas:
El área que se nos pide calcular es la
sombreada en verde. Es evidente entonces que
puede calcularse como
S x x dx= − − − ∫ ( ) ( )5 12 3
0
2
Sin embargo, y teniendo en cuenta
la simetría de la función cúbica alrededor
del punto x =1, resulta mucho más cómoda
calcularla según
S x dx= −∫ 5 2
0
2
El cálculo de esta primitiva es trivial, ya que se trata de una integral inmediata de tipo polinómico:
5 53
1083
223
7 32
0
2 3
0
2
− = − = − = =∫ x dx xx
.
En definitiva,
S = =223
7 3.
u.a.
-1 1 2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=(x -1)3
y=5-x2
P(2,1)
CJS v2008 27
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Ejercicio 15
Calcular los valores reales z que verifican −
− −=∫ 16
2 1525
20 x x
dxz
ln
Calculemos en primer lugar la primitiva. Se aprecia claramente que se trata de una función racional, de
raíces x1
3= − y x2
5= , lo que indica que la factorización correspondiente es
−− −
=+
+−
16
2 15 3 52x x
Ax
Bx
Los valores de las constantes A y B se hallan a partir de la ecuación
A x B xB B
A A
x
x( ) ( )− + + = − ⇒
= − ⇒ =−− = − ⇒ =
=
=−
5 3 168 16 2
8 16 2
5
3
y entonces se tiene
−− −
= + − − = +−
+∫ 16
2 152 3 2 5
352
2
x xdx x x
xx
Cln( ) ln( ) ln
Aplicando la regla de Barrow, podemos calcular la integral definida,
−− −
= +−
−
−
= − +∫ 16
2 15
35
35
5 332
0
2 2
x xdx
zz
zz
z
ln ln ln( )( −−
5
2
)
La ecuación propuesta se convierte entonces en
ln( )( )
ln( )
( )
( ) ( )
− +−
= ⇒ − +
−=
− + = − ⇒
5 33 5
255 33 5
5
3 3 5 4
2zz
zz
z z zz = 12
y, finalmente,
z = 3
La interpretación geométrica del
problema puede verse en la figura:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f (x)
28 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 16
Calcular el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de la función y f x x= = +( ) 2 4
alrededor del eje OY y limitado por las rectas y =4 e y =8
Como sabemos, el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de una función alrededor
del eje OX puede calcularse a partir de la expresión
V f x dxa
b
= ∫π ( )2
Ahora bien, como en este caso la rotación tiene lugar alrededor del eje OY , deberemos calcular la forma
que toma la función x f y= ( ) . En concreto,
y x x y= + ⇒ = ± −2 4 4
Tomando únicamente la función positiva, el volumen se calcula
V y dx y dxy
y= −
= − = −
= − − ∫ ∫π π π π4 42
4 0 82
4
8
4
8 2
4
8
( ) ( )
es decir,
V = 8π u.d.v.
−100
10−10 −5 0 5 10
0
50
100
150
200
x
z
y
CJS v2008 29
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Ejercicio 17
Calcular el área de una elipse de semieje mayor a y semieje menor b , centrada en el origen, mediante
cálculo integral
La ecuación de una elipse centrada en el origen de semiejes a y b toma la forma x
a
y
b
2
2
2
21+ = , y su
representación gráfica es la de la figura.
Es evidente entonces que podremos calcular el área
de la elipse como el cuádruple del área S1, siendo dicha
área S1 la que hay bajo la función y bx
a= −1
2
2 y entre
las rectas x =0 y x =4:
S bx
adx
a
1
2
20
1= −∫El problema se reduce por consiguiente a calcular esta integral. Por simple inspección comprobamos que
no es inmediata ni racional. El método por partes tampoco proporciona ninguna solución aceptable. Hemos de
pensar entonces en efectuar un cambio de variable. En concreto, si escribimos la integral como
S bxa
dxa
1
2
0
1= −
∫
podemos constatar que se trata de la misma integral del ejercicio 13. En efecto,
S bxa
dx
xa
t dx a tdt
x t
x a t
a
1
2
0
10 0
2
= −
=
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
∫sen cos
π
= ∫ab tdtcos2
0
2π
Recordando el resultado cossen cos2
2x dx
x x xC∫ = + + y aplicando la regla de Barrow obtenemos
el resultado final
S ab tdt abt t t
ab1
2
0
2
0
2
2 4= = + =∫ cos
sen cosπ π
π
y por tanto
S S ab= =41
π u.d.s.
x
y
S1
a
30 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 18
Dibujar el recinto limitado por y x x= − + −2 4 3 , su recta tangente en el punto P (0,–3) y la recta
y x= − + 3 . Calcular su área
La ecuación de la recta tangente a la función f (x) que pasa por el punto P (xP ,yP) se escribe como
y y f x x xP P P
− = ′ ⋅ −( ) ( )
En nuestro caso, se tiene
y x x y x f xx
PP= − + − ⇒ ′ = − + → ′ ==2 04 3 2 4 4( )
por lo que la recta tangente pedida será
y x= −4 3
La representación gráfica de la parábola y las dos rectas queda por tanto
Calculemos ahora los puntos de intersección A, B y C :
y x x
y xx x x
x x A
A A A
A AA A A
A A
= − + −= −
⇒ − + − = −
− = ⇒ = ⇒
22
2
4 3
4 34 3 4 3
0 0 0( ,, )−3
CJS v2008 31
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
y x
y xx x
x x B
B B
B BB B
B B
= − += −
⇒ − + = −
= ⇒ = ⇒ =
3
4 33 4 3
5 665
65
95
1 2( , ) ( . ,, . )1 8
y x x
y xx x x
x xx
C C C
C CC C C
C CC
= − + −= − +
⇒ − + − = − +
− + − = ⇒
22
2
4 3
34 3 3
5 6 0== ⇒= ⇒
2 2 1
3 3 02 2
C
x CC
( , )
( , )
Una vez calculadas las intersecciones en inmediato calcular el área del recinto limitado por las tres
gráficas,
S x x x dx x x x dx
x dx
x
x
x
x
A
B
B
C
= − − − + − + − + − − + − =
=
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )4 3 4 3 3 4 32 2
2
0
665 2
65
2 3
0
65 3 2
65
2
3
5 63 3
52
6
65
3
∫ ∫+ − + = + − +
=
=
x x dxx x x
x
++ − +
−
−
+
=83
10 12
65
35
65
26
65
3 2
883
23610
365
40 30 5415
1615
+ + − =
= + − = u.d.s.
CJS v2008 33
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
7. Ejercicios propuestosEjercicio 1
Calcular las siguientes integrales:
1 xx
xdx+
∫ 1 3 2 sen
cosx
xdx
3 +∫ 3 ln2 xx
dx∫
4 sen cos2 3 3x xdx∫ 5 7 22
+∫ tg
cos
x
xdx 6 1 2+∫ sen
sen cosx
x xdx
7 tg( )2 1x dx+∫ 8x
xdx
2 1+∫ 9 x x dx2 1+∫
10 32x x
dxln∫ 11
xdx
x
x
+
+∫ e
e112 x x dx2 sen∫
13 ( )senx x dx2 1 2+∫ 14 x x dx2 2 1ln( )+∫ 15 dx
x x2 2+ −∫
16dx
x x( ) ( )+ −∫ 2 12 17 2 3
2 52
x
x xdx
++ +∫ 18 x x
xdx
2
2
6
4
+ ++∫
19 dx
x 3 1−∫ 203 2
1 3 12 2
x
x xdx
−− + −∫ ( ) ( ) 21 2
1
3
8
x
xdx
+∫
22 2
1 4
x
xdx
+∫ 23 2
2
e
e
−
−+∫x
xdx 24 arcsen x
xdx
1 2−∫
25dx
x x( )+∫ 1 2 26dx
x x( )+∫ 1 2 27e
e
2
1
x
xdx
+∫
28 2 5
4 92
x
x xdx
+− +∫ 29 1
4 92x xdx
− +∫ 30 x
xdx
3
2 21( )−∫
31 x
x xdx
−− +∫ 2
4 52 32 x x dx2 4cos∫ 33 x dxx5 3
e−∫
34 ln xx
dx2
∫ 35 cos
sen
22
x
xdx∫ 36 x
x xdx
3
2 3cos∫
34 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 2
Calcular las siguientes integrales, utilizando los cambios de variable que se indican:
1 e
e
x
xdx
1 +∫ ex t= 23
1 2+ −∫ e xdx e− =x t 2
31
1 2 3( )−∫ xdx x t= sen 4
1
12 2x xdx
−∫ xt
= 1cos
5 sensen cos
xx
dx+∫ tg x t= 6
e
e
2
1
x
xdx
+∫ 1 2+ =ex t
72
3 2x xdx
+∫ x t= 8x
xdx
−∫ 1x t− =1 2
91
1 13 − −∫ x xdx 1 6− =x t 10 3 27
1 9
x x
xdx
++∫ 3x t=
11 1
1
+−∫ x
xdx t x= 12
13x x
dx−∫ x t= 6
Ejercicio 3
Calcular la función f (x) si sabemos que f (0)=0, f ’(0)=2 y f ’’(x)=3x
Ejercicio 4
Encontrar la primitiva de la función f xx
( ) =−
1
1 4 2 que se anula en x = π
4
Ejercicio 5
Hallar el área limitada por la curva y x x= − +3 23 1 y la recta tangente a la misma en el punto en que
alcanza su máximo relativo. Dibujar el recinto
Ejercicio 6
Considerar la figura plana encerrada entre las curvas y x= 23 e y x= 2 , cuando 0≤x ≤1. Hallar el volumen
que genera cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX
CJS v2008 35
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Ejercicio 7
Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:
1 11
1
+−∫ x dx 2 2
1 21
1 x
xdx
+−∫ 3 x x dx2 3 2
1
0
2( )+−∫
4 cos
sen
x
xdx
1 20
2
+∫π
5 1
3 21
3
+∫ xdx 6 ln3
1
xx
dxe
∫
7 x x dx2 2 2
1
+−∫1
8 sen cosx x dx2
0
π
∫ 9 ctg x dxπ
π
4
2∫
10 sec ( )2
4
2x dx+
−∫ ππ
π
11 1
114
34
x xdx
( )−∫ 12 1
122
1
x xdx
+ +−∫
131
143
2
x xdx
−∫ 14 x x dx2
0
senπ
∫ 15 arcsen x dx0
1
∫
16 sen(ln )xx
dx1
e
∫ 17 1
130 x
dx+∫
2
18 (sen sen )cos3 2
0
x x x dx+∫π
19 11
2
2
+−∫ cosxdx
π
π
20 2 32 10
2 xx
dx++∫ 21 1 2
0
1
−∫ x dx
22 1 2
3
1
−−∫ x dx 23 ln x
xdx
1
e
∫ 24 sen cos3 2
0
x x dxπ
∫
25 2 5
220
1 x
x xdx
+− −∫ 26 ln x dx
1e
e
∫ 27 1
1
3 +∫ xx
dx
28 xx
dx2
0
2
1 +∫ 29 e
e
x
xdx
−+∫ 1
10
1
30 x x dx2
0
24cos
π
∫
31 ( )t dtx
2 4
3
1+∫ 32 1 2
0
1
+∫ e x dx 33 cossen
tt
dtx
2 30 +∫
34 t
tdt
x 2
23
4
3 1
−−−∫ 35 x x dx2
1
4
2+ −−∫ 36 1
2
+∫ t dtx
xsen
36 CJS v2008
Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en
Ejercicio 8
Encontrar el valor de k, k >0, tal que el volumen del cuerpo de revolución generado por la curva y kx= 2 ,
con 0≤x ≤1, al girar en torno al eje OX sea igual a 1
Ejercicio 9
Encontrar la recta vertical x =k, tal que divide en dos partes iguales el área del recinto limitado por las
curvas y x= 2 , x = 2 e y = 0
Ejercicio 10
Calcular el valor de a para que el área delimitada por la curva y ax= sen2
y las rectas y = 0 y x = π ,
sea igual a 4
Ejercicio 11
Se sabe que la gráfica de una función pasa por el punto A (1,1) y que f ’(1)=2. Se conoce también que
su derivada segunda es la función g (x)=2. Calcular razonadamente la función f (x)
Ejercicio 12
¿Existe alguna función y =f (x) tal que ′′ =−
f xx
( )1
1 y que f (0)=2 y f (3)=3? ¿Y que f (2)=2 y f (3)=3?
Justificar la respuesta. En el caso de que exista y =f (x) en alguna de estas situaciones, calcularla
CJS v2008 39
Cálculo integral en Matemáticas – 2º Bachillerato
Contenido1. Primitiva de una función 3
1.1. Propiedades
2. Primitivas inmediatas 5
3. Integración de funciones racionales 73.1. Raíces reales3.2. Raíces complejas3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x
3.3.1. Método general3.3.2. Casos particulares
3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno
3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x
4. Integración por partes 13
5. Integral definida 155.1. Propiedades5.2. Regla de Barrow5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva
6. Ejercicios resueltos 19
7. Ejercicios propuestos 33
CJS v2008