INTEGRACION POR PARTES.

Por regla de producto, se sabe que:

dxdu

.vdxdv

.u)uv(dxd

+=

Si esta expresin se modifica a diferenciales, se tiene que: duvdvu)uv(d += Despejando el primer trmino del miembro derecho, se tiene: dvuduv)uv(d =

duv)uv(ddvu = Aplicando integracin a ambos lados, se obtiene:

=

=

duvuvdvu

duv)uv(ddvu

Frmula de integracin por partes.

Adems, se hace necesario tener una forma prctica de definir, entre las dos funciones que intervienen en una determinada integral, la que ser identificada como u, y la que ser identificada como dv.

Para esto, entonces, se puede hacer uso de la palabra ILATE, la cual se detalla de la siguiente manera:

I : Inversa trigonomtrica. L: Logartmica. A: Algebraica. T: Trigonomtrica. E: Exponencial.

La funcin cuya inicial aparezca ms a la izquierda en la palabra ILATE ser u. Luego, la otra funcin ser dv.

NOTA: En este mtodo servirn, en gran medida, las siguientes frmulas de integracin:

ca

)ax(sendx)ax(sen += ca)ax(cosdx)ax(cos += ca

edxeax

ax +=

Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales.

1. dxxcosx

Solucin:

* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin trigonomtrica ( T ). De ILATE se deduce que u = x y dv = cos x dx , dando total cobertura en la integral.

* Ahora, se plantea: u = x dv = cos x dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = x dv = cos x dx

du = dx v = sen x

la derivada de x es 1

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

c x cos x sen x

c ) x cos ( x sen x

dx xsen x sen xdxxcosx

++=

+=

=

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

c x cos x sen xdxxcosx ++=

2. dxxln

Solucin:

* La integral tiene una funcin logartmica ( L ) y una funcin algebraica ( A ). De ILATE se deduce que u = ln x y dv = dx , dando total cobertura en la integral.

* Ahora, se plantea: u = ln x dv = dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = ln x dv = dx

du = x

1 dx v = x

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

=

=

dx xlnx

dxx

1.x x. x lndxxln

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

cxx lnxdxxln +=

3. dxex x2

Solucin:

* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin exponencial ( E ). De ILATE se deduce que u = x y dv = e2x , dando total cobertura en la integral.

* Ahora, se plantea: u = x dv = e2x dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = x dv = e2x dx

du = dx v = 2

e x2

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

c2

e

21

xe21

dxe21

xe21

dx2

e

2e

.xdxex

x2x2

x2x2

x2x2x2

+=

=

=

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

ce41

xe21dxex 2x2x2x += o tambin c2

1xe

21dxex 2x2x +

=

4. dx)x3(sene x

Solucin:

* La integral tiene una funcin trigonomtrica ( T ) y una funcin exponencial ( E ).

De ILATE se deduce que u = sen ( 3x ) y dv = xe dx , dando total cobertura en la integral.

* Ahora, se plantea: u = sen ( 3x ) dv = xe dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = sen ( 3x ) dv = xe dx

du = 3 cos ( 3x ) dx v = xe

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

+=

=

dx)x3(cose3)x3(sene

dx)x3(cos3.)e()e(.)x3(sendx)x3(sene

xx

xxx

* La integral del lado derecho, como tiene caractersticas similares a la integral inicial, no tiene solucin inmediata. Por lo tanto, se hace necesario aplicar nuevamente el proceso de integracin por partes.

Ahora, se plantea: u = cos ( 3x ) dv = xe dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = cos ( 3x ) dv = xe dx

du = 3 sen ( 3x ) dx v = xe

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

+= dx))x3(sen3()e()e(.)x3(cos3)x3(senedx)x3(cose xxxx

Como puede verse, la aplicacin del proceso anterior de integracin por partes, ha sido la base sobre la cual se ha sustituido los datos del nuevo proceso.

+=

+=

dx)x3(sene9)x3(cose3)x3(sene

dx)x3(sene3)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene

xxx

xxxx

Puede observarse, ahora, de que la integral del lado derecho tiene caractersticas similares a las de la integral inicial. Entonces, la integral del lado derecho se puede trasladar al otro, para operarse como integral semejante, con la integral del lado izquierdo.

)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene10

)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene9dx)x3(sene

xxx

xxxx

=

=+

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

c10

)3x(cose3)3x(senedx)3x(senexx

x +

=

O tambin:

c10

)3x(cose3)3x(senedx)3x(senexx

x ++

=

O tambin:

c10

))3x(cos3)3x(sen(edx)3x(senex

x ++

=

5. dxxlnx3

Solucin:

* La integral tiene una funcin logartmica ( L ) y una funcin algebraica ( A ). De ILATE se deduce que u = ln x y dv = dx , dando total cobertura en la integral.

* Ahora, se plantea: u = ln x dv = x3 dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = ln x dv = x3 dx

du = x

1 dx v =

4x4

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

c4

x

41

xln4

x

dxx41

xln4

x

dxx

1.

4x

4x

. x lndxxln

44

34

44

+=

=

=

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

c16x

x ln4

xdxxln44

+=

O tambin: c)41

x ln(4

xdxxln4

+=

6. dx)x3(senx2

Solucin:

* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin trigonomtrica ( T ). De ILATE se deduce que u = x2 y dv = sen ( 3x ) dx , dando total cobertura en la

integral.

* Ahora, se plantea: u = x2 dv = sen ( 3x ) dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = sen ( 3x ) dv = xe dx

du = 3x3

v = 3

)x3(cos

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

+=

=

dx)x3(cosx32)x3(cosx

31

dxx2.3

)x3(cos3

)x3(cosxdx)x3(senx

2

22

* La integral del lado derecho, como tiene caractersticas similares a la integral inicial, no tiene solucin inmediata. Por lo tanto, se hace necesario aplicar nuevamente el proceso de integracin por partes.

Ahora, se plantea: u = x dv = cos ( 3x ) dx

du = v =

de u a du se deriva de dv a v se integra

Entonces, quedar: u = x dv = cos ( 3x ) dx

du = 2x2

dx v = 3

)x3(sen

* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:

c3

)x3(cos92)x3(senx

92)x3(cosx

31

dx)x3(sen92)x3(senx

92)x3(cosx

31

dx3

)x3(sen3

)x3(sen.x

32)x3(cosx

31dx)x3(senx

2

2

22

+

+=

+=

+=

Como puede verse, la aplicacin del proceso anterior de integracin por partes, ha sido la base sobre la cual se ha sustituido los datos del nuevo proceso.

* Finalmente, se obtiene, como resultado:

c)3x(cos272)3x(senx

92)3x(cosx

31dx)3x(senx 22 +++=