Download - Integración Por Partes (Virtual)
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INTEGRACION POR PARTES.
Por regla de producto, se sabe que:
dxdu
.vdxdv
.u)uv(dxd
+=
Si esta expresin se modifica a diferenciales, se tiene que: duvdvu)uv(d += Despejando el primer trmino del miembro derecho, se tiene: dvuduv)uv(d =
duv)uv(ddvu = Aplicando integracin a ambos lados, se obtiene:
=
=
duvuvdvu
duv)uv(ddvu
Frmula de integracin por partes.
Adems, se hace necesario tener una forma prctica de definir, entre las dos funciones que intervienen en una determinada integral, la que ser identificada como u, y la que ser identificada como dv.
Para esto, entonces, se puede hacer uso de la palabra ILATE, la cual se detalla de la siguiente manera:
I : Inversa trigonomtrica. L: Logartmica. A: Algebraica. T: Trigonomtrica. E: Exponencial.
La funcin cuya inicial aparezca ms a la izquierda en la palabra ILATE ser u. Luego, la otra funcin ser dv.
NOTA: En este mtodo servirn, en gran medida, las siguientes frmulas de integracin:
ca
)ax(sendx)ax(sen += ca)ax(cosdx)ax(cos += ca
edxeax
ax +=
Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales.
1. dxxcosx
Solucin:
* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin trigonomtrica ( T ). De ILATE se deduce que u = x y dv = cos x dx , dando total cobertura en la integral.
* Ahora, se plantea: u = x dv = cos x dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = x dv = cos x dx
-
du = dx v = sen x
la derivada de x es 1
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
c x cos x sen x
c ) x cos ( x sen x
dx xsen x sen xdxxcosx
++=
+=
=
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
c x cos x sen xdxxcosx ++=
2. dxxln
Solucin:
* La integral tiene una funcin logartmica ( L ) y una funcin algebraica ( A ). De ILATE se deduce que u = ln x y dv = dx , dando total cobertura en la integral.
* Ahora, se plantea: u = ln x dv = dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = ln x dv = dx
du = x
1 dx v = x
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
=
=
dx xlnx
dxx
1.x x. x lndxxln
-
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
cxx lnxdxxln +=
3. dxex x2
Solucin:
* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin exponencial ( E ). De ILATE se deduce que u = x y dv = e2x , dando total cobertura en la integral.
* Ahora, se plantea: u = x dv = e2x dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = x dv = e2x dx
du = dx v = 2
e x2
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
c2
e
21
xe21
dxe21
xe21
dx2
e
2e
.xdxex
x2x2
x2x2
x2x2x2
+=
=
=
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
ce41
xe21dxex 2x2x2x += o tambin c2
1xe
21dxex 2x2x +
=
4. dx)x3(sene x
Solucin:
* La integral tiene una funcin trigonomtrica ( T ) y una funcin exponencial ( E ).
-
De ILATE se deduce que u = sen ( 3x ) y dv = xe dx , dando total cobertura en la integral.
* Ahora, se plantea: u = sen ( 3x ) dv = xe dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = sen ( 3x ) dv = xe dx
du = 3 cos ( 3x ) dx v = xe
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
+=
=
dx)x3(cose3)x3(sene
dx)x3(cos3.)e()e(.)x3(sendx)x3(sene
xx
xxx
* La integral del lado derecho, como tiene caractersticas similares a la integral inicial, no tiene solucin inmediata. Por lo tanto, se hace necesario aplicar nuevamente el proceso de integracin por partes.
Ahora, se plantea: u = cos ( 3x ) dv = xe dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = cos ( 3x ) dv = xe dx
du = 3 sen ( 3x ) dx v = xe
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
+= dx))x3(sen3()e()e(.)x3(cos3)x3(senedx)x3(cose xxxx
Como puede verse, la aplicacin del proceso anterior de integracin por partes, ha sido la base sobre la cual se ha sustituido los datos del nuevo proceso.
+=
+=
dx)x3(sene9)x3(cose3)x3(sene
dx)x3(sene3)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene
xxx
xxxx
-
Puede observarse, ahora, de que la integral del lado derecho tiene caractersticas similares a las de la integral inicial. Entonces, la integral del lado derecho se puede trasladar al otro, para operarse como integral semejante, con la integral del lado izquierdo.
)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene10
)x3(cose3)x3(senedx)x3(sene9dx)x3(sene
xxx
xxxx
=
=+
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
c10
)3x(cose3)3x(senedx)3x(senexx
x +
=
O tambin:
c10
)3x(cose3)3x(senedx)3x(senexx
x ++
=
O tambin:
c10
))3x(cos3)3x(sen(edx)3x(senex
x ++
=
5. dxxlnx3
Solucin:
* La integral tiene una funcin logartmica ( L ) y una funcin algebraica ( A ). De ILATE se deduce que u = ln x y dv = dx , dando total cobertura en la integral.
* Ahora, se plantea: u = ln x dv = x3 dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = ln x dv = x3 dx
du = x
1 dx v =
4x4
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
-
c4
x
41
xln4
x
dxx41
xln4
x
dxx
1.
4x
4x
. x lndxxln
44
34
44
+=
=
=
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
c16x
x ln4
xdxxln44
+=
O tambin: c)41
x ln(4
xdxxln4
+=
6. dx)x3(senx2
Solucin:
* La integral tiene una funcin algebraica ( A ) y una funcin trigonomtrica ( T ). De ILATE se deduce que u = x2 y dv = sen ( 3x ) dx , dando total cobertura en la
integral.
* Ahora, se plantea: u = x2 dv = sen ( 3x ) dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = sen ( 3x ) dv = xe dx
du = 3x3
v = 3
)x3(cos
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
+=
=
dx)x3(cosx32)x3(cosx
31
dxx2.3
)x3(cos3
)x3(cosxdx)x3(senx
2
22
-
* La integral del lado derecho, como tiene caractersticas similares a la integral inicial, no tiene solucin inmediata. Por lo tanto, se hace necesario aplicar nuevamente el proceso de integracin por partes.
Ahora, se plantea: u = x dv = cos ( 3x ) dx
du = v =
de u a du se deriva de dv a v se integra
Entonces, quedar: u = x dv = cos ( 3x ) dx
du = 2x2
dx v = 3
)x3(sen
* Sustituyendo en la frmula = duvuvdvu se tiene:
c3
)x3(cos92)x3(senx
92)x3(cosx
31
dx)x3(sen92)x3(senx
92)x3(cosx
31
dx3
)x3(sen3
)x3(sen.x
32)x3(cosx
31dx)x3(senx
2
2
22
+
+=
+=
+=
Como puede verse, la aplicacin del proceso anterior de integracin por partes, ha sido la base sobre la cual se ha sustituido los datos del nuevo proceso.
* Finalmente, se obtiene, como resultado:
c)3x(cos272)3x(senx
92)3x(cosx
31dx)3x(senx 22 +++=