integraciรณn por fรณrmulas 05a
TRANSCRIPT
๐๐
๐๐
Fรณrmulas de integraciรณn
G. Edgar Mata Ortiz
เถฑ๐ ๐ ๐ ๐
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช, ๐ โ โ๐
๐๐
๐๐
Funciรณn elevada a un exponente constante
Esta fรณrmula se emplea cuando la expresiรณn que se va a integrar es una expresiรณn, generalmente entre parรฉntesis, elevada a un exponente constante.
Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1.
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช, ๐ โ โ๐
๐๐
๐๐
Fรณrmula para el cociente de dos funciones
La fรณrmula se lee:
La integral de ๐ a la ๐, diferencial de
๐ es igual a:
๐ elevada a la ๐ + ๐, entre ๐ + ๐
Mรกs la constante de integraciรณn C
Se emplean colores para identificar la funciรณn y el exponente.
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช, ๐ โ โ๐
๐๐
๐๐
Ejemplo
Resolver
La fรณrmula es:
Es necesario identificar claramente la funciรณn ๐, el
exponente ๐ y revisar si estรก completo el diferencial ๐ ๐
เถฑ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐ =
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช, ๐ โ โ๐
๐๐
๐๐
Ejemplo
Resolver
Es evidente que, para aplicar la fรณrmula, serรก necesario reordenar el integrando para que se ajuste a la fรณrmula que vamos a aplicar.
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
เถฑ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐ =
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
๐๐
๐๐
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable ๐ para calcular el ๐ ๐
El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
๐๐
๐๐
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable ๐ para calcular el ๐ ๐
El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral.
Para poder integrar, el diferencial โdebe estar completoโ, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales.
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐๐
๐๐
Resolver
A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial:
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
Ejemplo เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ โ๐๐ + ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐
๐๐
๐๐
Resolver
A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial:
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
Ejemplo เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ โ๐๐ + ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐
Solamente falta el -6 que
estรก multiplicando
๐๐
๐๐
Resolver
Para no afectar la expresiรณn original con este -6, es necesario compensarlo agregando su inverso multiplicativo fuera de la integral
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐โ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
Ejemplo เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ โ๐๐ + ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐
Agregamos el -6 para
completar el diferencial
๐๐
๐๐
Resolver
Es necesario agregar el -6, pero estamos afectando el valor de la expresiรณn original.
เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐๐โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
Ejemplo เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ โ๐๐ + ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐
Agregamos el -6 para completar el diferencial, y compensamos con -1/6 fuera de la integral
โ๐
๐
๐๐
๐๐
Ejemplo
Resolver
El โmenos un sextoโ que se agregรณ, se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran.
Y entonces se aplica la fรณrmula de integraciรณn.
La fรณrmula indica โsumar unoโ al exponente y dividir entre ese mismo valor.
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
โ๐
๐เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐
๐โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ =
= โ๐
๐
๐๐๐ โ ๐๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
๐๐
๐๐
Ejemplo
Resolver
Se efectรบan operaciones:
Simplificando:
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
เถฑ ๐โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐ = โ
๐
๐เถฑ ๐๐๐ โ ๐๐
๐โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐
๐ = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ โ๐๐ + ๐ ๐ ๐
๐ ๐ = โ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐= โ
๐
๐
๐๐๐ โ ๐๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
= โ๐
๐
๐๐๐ โ ๐๐๐
๐+ ๐ช
= โ๐
๐๐๐๐๐ โ ๐๐
๐+ ๐ช
Soluciรณn
๐๐
๐๐
Graciashttp://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.spundge.com/@licmata
https://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata
Email: [email protected]