integraci on - apuntes, ejercicios y demás.. · se llama suma inferior de f correspondiente a la...
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
Integracion
Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga
M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion
andaluciatech
IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Resumen
1 IntegracionDefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
2 Aplicaciones de la integral definidaAreasVolumenesLongitudes y superficies
M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Motivacion
Calculo de areas planas limitadas por la grafica de una funcionacotada positiva y el eje OX en un cierto intervalo [a, b].
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Aproximacion al area
Si se divide el intervalo [a, b] ensubintervalos, se obtienen unosrectangulos inscritos dentro de laregion y unos rectanguloscircunscritos que se extienden fuerade la region.
El area de la region es un numeroreal comprendido entre la suma delas areas de los rectangulosinscritos y la suma de las areas delos rectangulos circunscritos.
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Particion de un intervaloDado un intervalo [a, b], se llama particion de [a, b] a uncoleccion finita de puntos del intervaloP = {a = x0, x1, . . . , xn = b} tales quea = x0 < x1 < · · · < xn = b.Es usual denotar por ∆xk a la longitud del k-esimosubintervalo determinado por la particion, esto es,
∆xk = xk − xk−1
Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada. Entonces, para cadaparticion P = {a = x0, x1, . . . , xn = b} y para cadak = 1, 2, . . . , n, existen, por estar f acotada en cada[xk−1, xk ], los elementos
f¯k
= inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]} y
fk = sup{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Sumas inferioresDefinicion
Se llama suma inferior de f correspondiente a la particion P y sedesigna por L(P, f ) al numero real
L(P, f ) =n∑
k=1
f¯k∆xk
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Sumas superioresDefinicion
Se llama suma superior de f correspondiente a la particion P y sedesigna por U(P, f ) al numero real
U(P, f ) =n∑
k=1
fk∆xk
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Integral inferior y superior
El conjunto {L(f ,P) : P es particion de [a, b]} esta acotadosuperiormente por cualquier suma superior.
El conjunto {U(f ,P) : P es particion de [a, b]} esta acotadoinferiormente por cualquier suma inferior.
Definicion
La integral inferior de f en [a, b]∫ ba f es la mayor de las sumas
inferiores
Definicion
La integral superior de f en [a, b];∫ ba f es la menor de las sumas
inferiores.
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DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Funcion integrable
Definicion
Se dice que una funcion f acotada sobre [a, b] es integrable en elsentido de Riemann en [a, b] si la integral inferior y la integralsuperior de f en [a, b] coinciden.
En tal caso, a este numero comun se le denomina integral de f en[a, b] y se representa por
∫ ba f .∫ b
af =
∫ b
af =
∫ b
af
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DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Integral como lımite de sumas de Riemann
Definicion
Dada una funcion continua f : [a, b]→ R, se considera unaparticion P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} y una eleccion depuntos en ella E = {x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n} donde cada x∗k ∈ [xk−1, xk ].Se llama suma de Riemann de f asociada a la particion P y a laeleccion de puntos E a
S(f ,P,E ) =n∑
k=1
f (x∗k )∆xk
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DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
Integral como lımite de sumas de Riemann
Una suma de Riemann supone unaaproximacion al area limitada por lagrafica de f y el eje OX , pues cadasumando representa el area de unrectangulo de base ∆xk y altura f (x∗k ).
Para una particion P de [a, b] en n subintervalos, la norma||P|| de la particion es el maximo de las longitudes de lossubintervalos ∆x1, . . . ,∆xn.Al considerar particiones cuyas normas sean cada vez maspequenas, intuitivamente, las correspondientes sumas deRiemann se acercan al area
A = lim||P||→0
S(f ,P,E ) =
∫ b
af (x) dx
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Funciones integrables
Toda funcion continua en un intervalo cerrado y acotado esintegrable
Toda funcion con un numero finito de discontinuidades en unintervalo cerrado y acotado es tambien integrable
Toda funcion monotona (creciente o decreciente) en unintervalo cerrado y acotado es integrable.
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Propiedades de la integral
1) Si f y g son integrables en [a, b], entonces f + g es integrableen [a, b] y ∫ b
a(f + g) =
∫ b
af +
∫ b
ag .
2) Si f es integrable en [a, b], para cualquier α ∈ R, se tiene queαf es integrable en [a, b] y∫ b
aαf = α
∫ b
af .
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Propiedades de la integral
3) Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b],entonces ∫ b
af ≥ 0.
4) Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b],entonces ∫ b
af ≤
∫ b
ag .
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Propiedades de la integral
5) Sean a < c < b ∈ R. Una funcion f es integrable en [a, b] si ysolo si f es integrable en [a, c] y f es integrable en [c , b]. Ental caso, ∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf .
6) Para toda funcion f integrable,∫ aa f = 0 para todo a ∈ R
7)∫ ba f = −
∫ ab f para cualesquiera a, b ∈ R
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Integral indefinida
Dada f una funcion integrable en [a, b], se sabe que f esintegrable en [a, x ] para todo x ∈ [a, b], por tanto existe
∫ xa f .
Se define la integral indefinida de f en [a, b] como la funcionF : [a, b]→ R dada por
F (x) =
∫ x
af
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Teorema fundamental del Calculo
Teorema (Primer teorema fundamental del Calculo)
Sea f una funcion integrable en [a, b] y sea F (x) =∫ xa f . Si f es
continua en x ∈ [a, b], entonces F es derivable en x y ademas
F ′(x) = f (x)
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Primitiva de una funcion
Se dice que g es una primitiva de f en [a, b] si g es continuaen [a, b], derivable en (a, b) y g ′(x) = f (x) para todox ∈ (a, b).
Toda funcion continua en [a, b] tiene una primitiva que esF (x) =
∫ xa f , segun el Teorema Fundamental del Calculo.
Si g es una primitiva de f en [a, b], entonces otra funcion h esprimitiva de f si y solo si h = g + K siendo K un numero real.
Se designa por∫f (x)dx = g(x) + K
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Regla de Barrow
Teorema
Si f es una funcion continua en [a, b] y g es una primitiva de f en[a, b] entonces ∫ b
af (x)dx = g(b)− g(a).
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Integrales inmediatas
Para α 6= −1,∫xαdx = xα+1
α+1 + K ;∫1x dx = ln |x |+ K ;∫exdx = ex + K ;
Para a > 0, a 6= 1,∫axdx = ax
ln a + K ;∫senx dx = − cos x + K ;∫cos x dx = senx + K ;∫
11+x2 dx = arctan x + K ;∫
1√1−x2
dx = arcsenx + K ;∫ −1√1−x2
dx = arccos x + K ;∫(1 + tan2x)dx =
∫1
cos2xdx = tanx + K ;
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Metodo de sustitucion
Sea φ una funcion derivable y con derivada continua y f continua.Si F es una primitiva de f , entonces F ◦ φ es una primitiva de(f ◦ φ) · φ′. Como consecuencia,∫ b
af (φ(x))φ′(x)dx =
∫ φ(b)
φ(a)f (u)du = F (φ(b))− F (φ(a))
Dicho de otro modo, si se denota por t = φ(x), se tiene que∫f (φ(x))φ′(x)dx =
∫f (t)dt
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Metodo integracion por partes
Dadas f , g derivables y con derivada continua, se tiene que∫f ′g = fg −
∫fg ′.
Tomando la notacion diferencial, es decir, du = u′(x)dx , laformula de integracion por partes se puede escribir∫
udv = uv −∫
vdu
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Integracion de funciones racionales
Calculo de primitivas de cocientes de polinomios, es decir∫ p(x)
q(x)
donde p(x), q(x) son polinomios con coeficientes reales.
Usando la division de polinomios, se puede reducir el problema alcaso en que el grado de p(x) es menor que el grado de q(x).
1)∫
1(x−a)dx = log |x − a|+ K
2)∫
1(x−a)n dx = 1
(1−n)(x−a)1−n + K , para n > 1.
3) In =∫
1(x2+1)n
dx = 2n−32n−2 In−1 + x
2(n−1)(x2+1)n−1 + K , utilizando
el metodo de sustitucion y la integracion por partes.
4)∫
dx((x−r)2+s2)n
=∫
1(t2+1)n
dx con el cambio de variable
t = x−rs .
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Integracion de funciones racionales
Sea∫ p(x)
q(x) donde el polinomio q(x) solo posee raıces realesr1, r2, . . . , rn de multiplicidades α1, α2, . . . , αn respectivamente.
Descomponer la funcion racional en fracciones simples:
p(x)
q(x)=
A11
x − r1+
A12
(x − r1)2+ · · ·+ A1α1
(x − r1)α1+ · · ·
· · ·+ An1
x − rn+ · · ·+ Anαn
(x − rn)αn
Utilizar 1) y 2) y la aditividad de la integral respecto de lasuma.
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Integracion de funciones racionales
Sea∫ p(x)
q(x) donde el polinomio q(x) posee raıces complejasconjugadas z1, z1, . . . , zm, zm con multiplicidades β1, . . . , βm.
Como cada termino del tipo(x − zi )(x − zi ) = x2 − 2Re(zi )x + |zi |2 = (x − bi )
2 + ciEntonces,
p(x)
q(x)=
B11x + C11
(x − b1)2 + c1+
B12x + C12
((x − b1)2 + c1)2+· · ·+
B1β1x + C1β1
((x − b1)2 + c1)β1+
+ · · ·+Bmβmx + Cmβm
((x − bm)2 + cm)βm.
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Integracion de funciones racionalesPara resolver
∫Ax+B
((x−r)2+s2)ndx , se procede del siguiente modo:
Para n = 1:∫Ax + B
(x − r)2 + s2dx =
∫Ax
(x − r)2 + s2dx+
∫B
(x − r)2 + s2dx =
=A
2ln((x − r)2 + s2) +
Ar + B
sarctan
x − r
s
Para n > 1,∫Ax + B
((x − r)2 + s2)ndx =
∫A(x − r) + Ar + B
((x − r)2 + s2)ndx =
=−A
2(n − 1)((x − r)2 + s2)n−1+ (Ar + B)
∫dx
((x − r)2 + s2)n
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Integracion de funciones trigonometricas
Integrales del tipo∫R(senx cos x)dx con R una funcion racional,
se reducen a una integral racional con el cambio tan x2 = t.
Con dicho cambio, se realizan las siguiente sustituciones:
senx = 2t1+t2
cosx = 1−t2
1+t2
dx = 2dt1+t2
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Integracion de funciones trigonometricas
Otros cambios de variable que tambien reducen la integral a unaintegral racional:
Si R es una funcion impar en sen x se resuelve con el cambiocos x = t.
Si R es una funcion impar en cos x , se resuelve con el cambiosen x = t.
Si R es una funcion par en sen x y en cos x , se resuelve con elcambio tan x = t.
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Generalizaciones de la integral
Se han considerado funciones acotadas definidas en intervaloscerrados y acotados. No obstante, se presentan situaciones en lasque no se verifican algunas de estas condiciones:
Que el dominio de integracion sea una semirrecta.
Que el dominio de integracion sea un intervalo acotado,peroque en cualquier entorno de uno de los extremos del intervalola funcion no este acotada.
En cualquier otro caso que no este incluido en los dosanteriores, subdividiendo convenientemente el intervalo deintegracion se llega a alguno de los dos tipos anteriores.
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Integrales impropias de primera especie
Definicion
Sea f : [a,+∞)→ R donde a ∈ R y f integrable en [a, t] paratodo t ∈ R. Se llama integral impropia de f en [a,+∞)∫ +∞
af (x)dx = lim
t→+∞
∫ t
af (x)dx
cuando exista y sea finito.
Si el lımite anterior no existe o es +∞ o −∞, se dice que laintegral impropia es divergente o que no converge.
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Integrales impropias de primera especie
Definicion
Sea f : (−∞, b]→ R, b ∈ R y f integrable en [t, b] para todot ∈ R. Se llama integral impropia de f en (−∞, b]∫ b
−∞f (x)dx = lim
t→−∞
∫ b
tf (x)dx
cuando exista y sea finito.
Si el lımite anterior no existe o es +∞ o −∞, se dice que laintegral impropia es divergente o que no converge.
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Integrales impropias de primera especie
Definicion
Sea f : R→ R integrable en [A,B] para todo A,B ∈ R, siendoA < B. Se dice que existe
∫ +∞−∞ f , cuando, para todo c ∈ R
existen∫ c−∞ f (x)dx y
∫ +∞c f (x)dx .
En tal caso,∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx
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Integrales impropias de segunda especie
Definicion
Sea f : [a, b)→ R integrable en [a, t], para todo t ∈ R tal quea < t < b.Se define la integral impropia de f en [a, b) como∫ b
af (x)dx = lim
t→b−
∫ t
af (x)dx
cuando exista y sea finito.
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Integrales impropias de segunda especie
Definicion
Sea f : (a, b]→ R integrable en [t, b], para todo t ∈ R tal quea < t < b.Se define la integral impropia de f en (a, b] por∫ b
af (x)dx = lim
t→a+
∫ b
tf (x)dx
cuando exista y sea finito.
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Integrales impropias de segunda especie
Definicion
Sea f : (a, b)→ R integrable en [A,B] para todo A,B ∈ R tal quea < A < B < b.Se dice que existe la integral impropia de f en (a, b) cuando paratodo c ∈ R existan las integrales impropias en (a, c] y [c, b).En tal caso se define∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
AreasVolumenesLongitudes y superficies
Resumen
1 IntegracionDefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias
2 Aplicaciones de la integral definidaAreasVolumenesLongitudes y superficies
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Area bajo una curva
Area: lımite de suma de Riemann.
El incremento de area debido alrectangulo representativo en x es:
∆A = f (x) ∆x
El area total es aproximadamente la suma de los rectangulos:
A ≈x=b∑x=a
∆A =x=b∑x=a
f (x) ∆x
Al llevar la suma al lımite, aparece la integral:
A = lim∆x→0
x=b∑x=a
f (x) ∆x =
∫ b
af (x) dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Area entre dos curvas
Area del rectangulo negro:
∆A1 = (g(x)− f (x)) ∆x
Area del rectangulo verde:
∆A2 = (f (x)− g(x)) ∆x
Hallar el corte x = c y sumar por separado las dos regiones:
A ≈x=c∑x=a
(g(x)− f (x)) ∆x +x=b∑x=c
(f (x)− g(x)) ∆x
Al llevar la suma al lımite, aparece la integral:
A =
∫ c
a(g(x)− f (x)) dx +
∫ b
c(f (x)− g(x)) dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Area entre tres curvas
Tener en cuenta las dos regiones:
A =
∫ 1
0x2 dx +
∫ 2
1(2− x) dx
Tambien se pueden tomar rectangulos horizontales:
∆A = ((2− y)−√y) ∆y
Al llevar la suma al lımite, aparece la integral sobre y :
A =
∫ 1
0((2− y)−√y) dy
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Volumenes elementalesVolumen con:
Seccion de area A constante.
Altura h.
V = (A) h
Casos particulares:
Cilindro: V =(π r2
)h Ortoedro: V = (l d) h
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Secciones conocidas
En cada x hay un area conocida A(x).
El area A(x) da lugar a un volumenelemental de altura infinitesimal:
∆V ≈ A(x) ∆x
Volumen total aproximado: suma.
V ≈x=b∑x=a
A(x) ∆x
Lımite de la suma: integral.
V =
∫ b
aA(x) dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Metodo de discos
⇓
Volumenes de revolucion
Se crean al girar una region en torno a uneje: las secciones son cırculos.
Para un rectangulo representativo en x , elincremento de volumen es un fino disco:
∆V ≈ π r2 ∆x r = f (x)
El volumen total es el lımite de la sumade los volumenes:
V =
∫ b
aπ(f (x)
)2dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Metodo de arandelas
⇓
Si el eje de giro no limita la region, seforma una cavidad.
Para un rectangulo representativo en x , elvolumen es una corona circular:
∆V ≈(π R2 − π r2
)∆x
R = f (x) r = g(x)
El volumen total es el lımite de la sumade los volumenes:
V =
∫ b
aπ
((f (x)
)2−(g(x)
)2)
dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Volumenes de revolucion en torno al eje y
∆V ≈ π r2 ∆y
r = x = f −1(y)
V =
∫ b
aπ(f −1(y)
)2dy
∆V ≈ π(R2 − r2
)∆y
R = x = f −1(y) r = x = g−1(y)
V =
∫ b
aπ
((f −1(y)
)2−(g−1(y)
)2)
dy
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
AreasVolumenesLongitudes y superficies
Eje de giro distinto de los ejes coordinados
EJE: y = c
∆V ≈ π r2 ∆x
r = f (x)− c
V =
∫ b
aπ (f (x)− c)2 dx
EJE: x = c
∆V ≈ π(R2 − r2
)∆y
R = x = f −1(y) r = c
V =
∫ b
aπ
((f −1(y)
)2−(c)2)
dy
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IntegracionAplicaciones de la integral definida
AreasVolumenesLongitudes y superficies
Metodo de capas
⇓
Al girar el rectangulo representativo entorno a un eje paralelo, genera un tubohueco.
Al rectificar la pared del tubo, se tiene unortoedro de volumen:
∆V ≈ 2π r h∆x r = x h = f (x)
El volumen total es el lımite de la sumade los volumenes:
V =
∫ b
a2π x f (x) dx
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AreasVolumenesLongitudes y superficies
Volumenes de revolucion1 Esboza graficamente la region y el eje.2 Determina variable de integracion y rectangulo caracterıstico:
Rectangulo vertical, variable x , region con techo y suelo biendefinidos.Rectangulo horizontal, variable y , si la region tiene paredeslaterales bien definidas.A veces son posibles las dos.
3 Determina el metodo:Discos si el eje y el rectangulo son perpendiculares.Capas si el eje y el rectangulo son paralelos.A veces son posibles los dos.
4 Etiqueta en el grafico las longitudes de interes:Radios en el metodo de discos.Radio y altura en el metodo de capas.
5 Plantea la integral y resuelve.
M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion
andaluciatech
IntegracionAplicaciones de la integral definida
AreasVolumenesLongitudes y superficies
Longitud de una curva
Para un segmento recto representativoen x , el incremento de longitud es:
∆s ≈√
(∆x)2 + (∆y)2
=
√1 +
(∆y
∆x
)2
∆x
El lımite de la fraccion ∆y∆x es la
derivada:
s =
∫ b
a
√1 + (f ′(x))2 dx
M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion
andaluciatech
IntegracionAplicaciones de la integral definida
AreasVolumenesLongitudes y superficies
Superficie de revolucion
⇓
Al girar el rectangulo, genera untronco de cono.
Al rectificar la pared del tronco, setiene un rectangulo de area:
∆A ≈ l ∆s
l = 2π r r = f (x)
∆s =
√1 +
(∆y
∆x
)2
∆x
El lımite de la suma es la integral:
A =
∫ b
a2π f (x)
√1 + (f ′(x))2dx
M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion