definición de la integral de riemann (esto forma parte...

Definicion dela integral

RodrigoLopez Pouso

Introduccion

Particiones

Sumasinferiores ysuperiores

Definicion

Interpretaciongeometrica

Definicionalternativa

Definicion de la integral de Riemann (Estoforma parte del Tema 1)

Rodrigo Lopez Pouso

Departmento de Analise Matematica

Facultade de Matematicas

Universidade de Santiago de Compostela

Santiago, 2011


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Introduccion

Particiones


Definicion



Esquema

Objetivos del tema:

1) Presentar una definicion de la integral de Riemann;2) Interpretar geometricamente dicha definicion;3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicacionesde la integral definida (calculo de longitudes, volumenes, etc.)Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptosfundamentales:

1.a) Particion de un intervalo;1.b) Suma inferior de una funcion relativa a una particion;1.c) Suma superior de una funcion relativa a una particion.


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Objetivos del tema:1) Presentar una definicion de la integral de Riemann;

2) Interpretar geometricamente dicha definicion;3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicacionesde la integral definida (calculo de longitudes, volumenes, etc.)Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptosfundamentales:



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Objetivos del tema:1) Presentar una definicion de la integral de Riemann;2) Interpretar geometricamente dicha definicion;

3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicacionesde la integral definida (calculo de longitudes, volumenes, etc.)Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptosfundamentales:



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Objetivos del tema:1) Presentar una definicion de la integral de Riemann;2) Interpretar geometricamente dicha definicion;3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicacionesde la integral definida (calculo de longitudes, volumenes, etc.)

Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptosfundamentales:



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Objetivos del tema:1) Presentar una definicion de la integral de Riemann;2) Interpretar geometricamente dicha definicion;3) Usar lo aprendido en 1) y 2) para justificar otras aplicacionesde la integral definida (calculo de longitudes, volumenes, etc.)Para completar el punto 1) utilizaremos tres conceptosfundamentales:



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1.a) Particion de un intervalo;

1.b) Suma inferior de una funcion relativa a una particion;1.c) Suma superior de una funcion relativa a una particion.


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1.a) Particion de un intervalo;1.b) Suma inferior de una funcion relativa a una particion;

1.c) Suma superior de una funcion relativa a una particion.


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MotivacionEl problema del calculo de un area

Problema. Dada una funcion acotada f : [a, b] −→ R tal que

f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]

¿como podemos asignar un valor de area al recinto del planodelimitado por la grafica de f , el eje de abscisas, y las rectasverticales x = a y x = b?

En principio, vamos a aproximar dicho recinto medianteuniones de rectangulos que no se solapen.


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MotivacionEl problema del calculo de un area

Problema. Dada una funcion acotada f : [a, b] −→ R tal que

f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]

¿como podemos asignar un valor de area al recinto del planodelimitado por la grafica de f , el eje de abscisas, y las rectasverticales x = a y x = b?En principio, vamos a aproximar dicho recinto medianteuniones de rectangulos que no se solapen.


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Particiones(Las usaremos para construir las bases de los rectangulos)

Definicion. Una particion de un intervalo I = [a, b] es unafamilia finita de puntos de I , pongamos P = {x0, x1, . . . , xn}con n ∈ N, tal que a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

Cualquier particion P = {x0, x1, . . . , xn} del intervalo I permitesubdividir dicho intervalo en n subintervalos:

I = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−1, xn]

(cada uno de los cuales sera la base de un rectangulo).La longitud del intervalo [xk−1, xk ] es xk − xk−1 (esta sera, portanto, la longitud de la base del rectangulo correspondiente).


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Definicion. Una particion de un intervalo I = [a, b] es unafamilia finita de puntos de I , pongamos P = {x0, x1, . . . , xn}con n ∈ N, tal que a = x0 < x1 < · · · < xn = b.Cualquier particion P = {x0, x1, . . . , xn} del intervalo I permitesubdividir dicho intervalo en n subintervalos:

I = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−1, xn]

(cada uno de los cuales sera la base de un rectangulo).

La longitud del intervalo [xk−1, xk ] es xk − xk−1 (esta sera, portanto, la longitud de la base del rectangulo correspondiente).


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Definicion. Una particion de un intervalo I = [a, b] es unafamilia finita de puntos de I , pongamos P = {x0, x1, . . . , xn}con n ∈ N, tal que a = x0 < x1 < · · · < xn = b.Cualquier particion P = {x0, x1, . . . , xn} del intervalo I permitesubdividir dicho intervalo en n subintervalos:

I = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−1, xn]

(cada uno de los cuales sera la base de un rectangulo).La longitud del intervalo [xk−1, xk ] es xk − xk−1 (esta sera, portanto, la longitud de la base del rectangulo correspondiente).


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Sumas inferiores y superiores(Son sumas de areas de rectangulos si f ≥ 0)

Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion acotada (nonecesariamente de signo constante).Definicion. La suma inferior de f relativa a la particionP = {x0, x1, . . . , xn} es el numero

L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.

¡L(f ; P) consta de n sumandos! Uno por cada subintervalodefinido por la particion P.¿Por que exigimos que f este acotada?


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L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.¡L(f ; P) consta de n sumandos!

Uno por cada subintervalodefinido por la particion P.¿Por que exigimos que f este acotada?


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L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.¡L(f ; P) consta de n sumandos! Uno por cada subintervalodefinido por la particion P.

¿Por que exigimos que f este acotada?


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L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.¡L(f ; P) consta de n sumandos! Uno por cada subintervalodefinido por la particion P.¿Por que exigimos que f este acotada?


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La suma inferior L(f ; P) =∑n

k=1 mk(xk − xk−1), tiene lasiguiente interpretacion geometrica si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I :

La suma inferior es la suma de las areas de los rectangulos (y elarea bajo la grafica de f deberıa ser un numero mayor queL(f ; P)).


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Definicion. La suma superior de f relativa a la particionP = {x0, x1, . . . , xn} es el numero

U(f ; P) =n∑

k=1

Mk(xk − xk−1),

donde Mk = sup{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.

Interpretacion geometrica si f ≥ 0 en I :

La suma superior es la suma de las areas de los rectangulos (yel area bajo la grafica de f deberıa ser un numero menor queU(f ; P)).


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Definicion. La suma superior de f relativa a la particionP = {x0, x1, . . . , xn} es el numero

U(f ; P) =n∑

k=1

Mk(xk − xk−1),

donde Mk = sup{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Interpretacion geometrica si f ≥ 0 en I :

La suma superior es la suma de las areas de los rectangulos (yel area bajo la grafica de f deberıa ser un numero menor queU(f ; P)).


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Volviendo al problema de la definicion del area bajo la graficade una funcion no negativa podemos afirmar que

Las sumas inferiores dan aproximaciones por defecto del areaque buscamos...

...y las sumas superiores dan aproximaciones por exceso


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Volviendo al problema de la definicion del area bajo la graficade una funcion no negativa podemos afirmar queLas sumas inferiores dan aproximaciones por defecto del areaque buscamos...

...y las sumas superiores dan aproximaciones por exceso


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Definicion de la integral de RiemannNo sera la unica que veremos este curso...

Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada

(si no lo fuera nopodrıamos hablar de sumas inferiores o superiores).Definicion. La integral de Riemann de la funcion f en elintervalo I = [a, b] es, si existe, el unico numero real A tal que

L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier particion P de I .

Si tal numero A existe entonces se denota por

A =

∫ b

af (x) dx ,

y se dice que la funcion f es integrable (en el sentido deRiemann) en el intervalo I .


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Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada (si no lo fuera nopodrıamos hablar de sumas inferiores o superiores).

Definicion. La integral de Riemann de la funcion f en elintervalo I = [a, b] es, si existe, el unico numero real A tal que



A =

∫ b

af (x) dx ,



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Sea f : [a, b] −→ R una funcion acotada (si no lo fuera nopodrıamos hablar de sumas inferiores o superiores).Definicion. La integral de Riemann de la funcion f en elintervalo I = [a, b] es, si existe, el unico numero real A tal que



A =

∫ b

af (x) dx ,



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Interpretacion geometrica de la integral de Riemann¡Solamente cuando f ≥ 0!

Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion integrable y no negativaen I , es decir, f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I .

Por definicion,∫ ba f (x) dx es el unico numero real A tal que

(∗) L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier particion P de I .

Ya que f ≥ 0 en I , para cualquier particion P de I sabemos queL(f ; P) es menor que el area bajo la grafica de f ,y U(f ; P) es mayor que el area bajo la grafica de f .Ası pues, el area bajo la grafica de f coincide conA =

∫ ba f (x) dx.


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Ya que f ≥ 0 en I , para cualquier particion P de I sabemos que

L(f ; P) es menor que el area bajo la grafica de f ,y U(f ; P) es mayor que el area bajo la grafica de f .Ası pues, el area bajo la grafica de f coincide conA =

∫ ba f (x) dx.


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Ya que f ≥ 0 en I , para cualquier particion P de I sabemos queL(f ; P) es menor que el area bajo la grafica de f ,

y U(f ; P) es mayor que el area bajo la grafica de f .Ası pues, el area bajo la grafica de f coincide conA =

∫ ba f (x) dx.


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Ya que f ≥ 0 en I , para cualquier particion P de I sabemos queL(f ; P) es menor que el area bajo la grafica de f ,y U(f ; P) es mayor que el area bajo la grafica de f .

Ası pues, el area bajo la grafica de f coincide conA =

∫ ba f (x) dx.


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Ya que f ≥ 0 en I , para cualquier particion P de I sabemos queL(f ; P) es menor que el area bajo la grafica de f ,y U(f ; P) es mayor que el area bajo la grafica de f .Ası pues, el area bajo la grafica de f coincide conA =

∫ ba f (x) dx.


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Norma de una particion

Se define la norma de una particion P = {x0, x1, . . . , xn} como

‖P‖ = max{ xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n}.

Es decir, ‖P‖ es la mayor de las distancias entre dos puntosconsecutivos de la particion.Ejemplo. La particion {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; laparticion {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3.Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P ⊂ Qentonces

‖P‖ ≥ ‖Q‖.

Ejercicio. Si ‖P‖ ≥ ‖Q‖ ¿entonces P ⊂ Q?


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‖P‖ = max{ xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n}.

Es decir, ‖P‖ es la mayor de las distancias entre dos puntosconsecutivos de la particion.

Ejemplo. La particion {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; laparticion {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3.Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P ⊂ Qentonces

‖P‖ ≥ ‖Q‖.



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‖P‖ = max{ xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n}.

Es decir, ‖P‖ es la mayor de las distancias entre dos puntosconsecutivos de la particion.Ejemplo. La particion {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; laparticion {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3.

Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P ⊂ Qentonces

‖P‖ ≥ ‖Q‖.



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‖P‖ = max{ xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n}.

Es decir, ‖P‖ es la mayor de las distancias entre dos puntosconsecutivos de la particion.Ejemplo. La particion {0, 1/2, 1} de [0, 1] tiene norma 1/2; laparticion {0, 2/3, 1} tiene norma 2/3.Si P y Q son dos particiones de un intervalo [a, b] y P ⊂ Qentonces

‖P‖ ≥ ‖Q‖.



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Sumas de RiemannTambien son sumas de areas de rectangulos si f ≥ 0

Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion acotada.Definicion. La suma de Riemann de f relativa a la particionP = {x0, x1, . . . , xn} y a los puntos intermediosyk ∈ [xk−1, xk ] (k = 1, 2, . . . , n) es el numero

S(f ; P) =n∑

k=1

f (yk)(xk − xk−1).

Si f ≥ 0 entonces...

...la suma de Riemann es una suma de areas de rectangulos conbase xk − xk−1 y altura f (yk).


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Segunda definicion de integralUsando sumas de Riemann en lugar de sumas inferiores y superiores

Teorema. Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion acotada. Lossiguientes enunciados son equivalentes:

1 La funcion f es integrable en I y su integral vale A;

2 Existe A ∈ R tal que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal quesi P es una particion de I con ‖P‖ < δ entonces

|S(f ; P)− A| < ε,

con independencia de los puntos intermedios escogidospara construir S(f ; P);

3 Existe A ∈ R tal que

lim‖P‖→0

S(f ; P) = A,

con independencia de los puntos intermedios escogidospara construir S(f ; P).

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