INSTITUCIONAL 3

PRESENTADO POR:MARIA HELENA MUOZ NIETOCOD: 358987

DOCENTE: JUAN GABRIEL SABOGAL ORJUELA

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIAFACULTAD DERECHOIBAGUE-2015

CONJUNTOS

Definicin: Unconjuntoes un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupacin. Para denotar a los conjuntos, se usan letras maysculas.

Cuando un elementopertenece a un conjuntose expresa de forma simblica como:. En caso de que un elementono pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notacin:

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Porextensino enumeracin: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Porcomprensin: los elementos se determinan a travs de una condicin que se establece entre llaves. En este caso se emplea el smbolo | que significa tal que". En forma simblica es:

Que significa que el conjuntoes el conjunto de todos los elementostales que la condicin esverdadera, como, etc.3)Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.4)Por descripcin verbal: Es un enunciado que describe la caracterstica que es comn para los elementos.EjemploDada la descripcin verbal el conjunto de las letras vocales, expresarlo por extensin, comprensin y por diagrama de Venn.SolucinPorextensin:Porcomprensin:Pordiagrama de Venn:

EjemploExpresar de las tres formas escritas al conjunto de los planetas del sistema solar.SolucinPor extensin:Por comprensin:Por diagrama de Venn

Si cada elemento de un conjuntoes tambin un elemento del conjunto, se dice quees unsubconjuntode. La notacinsignifica queest incluido eny se lee: es subconjunto de o est contenido en.Si no todos los elementos de un conjuntoson elementos del conjunto, se dice queno es subconjunto de. En este caso la notacinsignifica queno es un subconjunto de.Grficamente, esto es:

En los ejemplos anteriores, sies el conjunto de las vocales fuertes yes el conjunto de planetas que no poseen satlites, entonces se cumple que:y que. De la misma forma, ntese como:,,y.

Lacardinalidadde un conjunto se define como el nmero de elementos que posee. Se denota por medio de los smboloso # .De los conjuntos anteriores:,,y.

NUMEROS RACIONALESDefinicin:un nmero racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dosnmeros enteroso ms precisamente, un nmero entero y un nmero natural positivo. Es decir que es un nmero racional, es un nmero que se escribe mediante una fraccin.Los nmeros racionales son nmeros fraccionarios, sin embargo los nmeros enteros tambin pueden ser expresados como fraccin, por lo tanto tambin pueden ser tomados como nmeros racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el nmero entero y el nmero 1 como denominador.Al conjunto de los nmeros racionales se lo denota con la letra, que viene de la palabra anglosajona Quotient traduccin literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los nmeros reales y junto a los nmeros enteros cuya denotacin es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los nmeros racionales como nmeros .Un nmero racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificacin de los nmeros racionales dependiendo de su expresin decimal, estos son:Los nmeros racionales limitados, cuya representacin decimal tiene un nmero determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.Los nmeros racionales peridicos, de los cuales sus decimales tienen un nmero ilimitado de cifras, pero se diferencian de los nmeros irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrn definido mientras que en los nmeros irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-peridicas.A su vez los nmeros racionales peridicos se dividen en dos, los peridicos puros, cuyo patrn se encuentra inmediatamente despus de la coma, por ejemplo 0,6363636363 y los peridicos mixtos, de los cuales el patrn se encuentra despus de un nmero determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363.

Ejemplos de nmeros racionalesLos nmeros racionales son nmeros fraccionarios, es decir que podramos escribir cualquier cociente entre dos nmeros enteros y llamarlo nmero racional, aqu un ejemplo57Aunque tambin podra ser expresado de esta manera:5/7Sin embargo, los nmeros enteros tambin pueden ser incluidos dentro de los nmeros Q, al formar un cociente con un nmero neutro, es decir de este modo:3=31Aunque tambin podramos expresar el nmero entero 3, en forma de fraccin, en el caso de necesitarlo en alguna operacin matemtica, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:155=3Tambin encontramos nmeros racionales enteros negativos, por ejemplo:6=610,2424242424 tambin puede ser tomado como un nmero racional, pues sus decimales son peridicos, y podemos expresarlo en forma de fraccin, as:2499

Propiedades de los nmeros racionalesExisten para la suma y resta, y para la multiplicacin y divisin, distintas propiedades de los nmeros racionales, estos son:Entre las propiedades de la suma y resta estn:Propiedad interna.- segn la cual al sumar dos nmeros racionales, el resultado siempre ser otro nmero racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mnima expresin si el caso lonecesitara.ab+cd=efPropiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguir siendo un nmero racional. Veamos:(ab+cd)ef=ab+(cdef)Propiedad conmutativa.- donde en la operacin, si el orden de los sumando vara, el resultado no cambia, de esta manera:ab+cd=cd+abElemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier nmero racional, la respuesta ser el mismo nmero racional.ab+0=abInverso aditivooelemento opuesto.- es la propiedad de nmeros racionales segn la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.abab=0Por otro lado, existen tambin las propiedades de los nmeros racionales por parte de la multiplicacin y la divisin, y estas son:Propiedad interna.- en razn de que al multiplicar nmeros racionales, el resultado tambin es un nmero racional.abcd=efEsta adems aplica con la divisinabcd=efPropiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupacin, no altera el producto.(abcd)ef=ab(cdef)Propiedad conmutativa.- aqu se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los nmeros racionales tambin funciona.abcd=cdabPropiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:ab(cd+ef)=abcd+abefElemento neutro.- en la multiplicacin y la divisin de nmeros racionales, existe un elemento neutro que es el nmero uno, cuyo producto o cociente con otro nmero racional, dar como resultado el mismo nmero. ab1=ab ,ab1=ab.

PROPIEDADES DE LA RADICACION La radicacin es en realidad otra forma de expresar unapotenciacin: la raz de cierto orden de un nmero es equivalente a elevar dicho nmero a la potencia inversa. Por esto, laspropiedadesde la potenciacin se cumplen tambin con la radicacin. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las races sea positivo.Raz de un productoLa raz de un producto es igual al producto de las races de los factores:

Ejemplo ==Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

Raz de un cocienteLa raz de una fraccin es igual al cociente de la raz del numerador entre la raz del denominador:

Ejemplo Raz de una razPara calcular la raz de una raz se multiplican los ndices de las races y se conserva el radicando:

Ejemplo =

a Potenciacin Y Sus Propiedades.La potenciacin es una multiplicacin de varios factores iguales, al igual que la multiplicacin es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciacin se considera una multiplicacin abreviada).

En la nomenclatura de la potenciacin se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por s misma.

Por ejemplo:

En general:

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa ser la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el nmero se multiplica por s mismo cuantas veces indique el exponente.

Propiedades de la potenciacin.

Las propiedades de la potenciacin son las que permiten resolver por diferentes mtodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

si se cumple que

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base

Ejemplo:

Producto de potencias de igual base

Para el producto de dos o ms potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo:

Divisin de potencias de igual base

En la divisin de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de un producto

La potencia de un producto de base (ab) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.

Potencia de una divisin

En la potencia de una divisin de base "a/b" y exponente "n" se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a "n".

Potencia de una potencia

Para resolver la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

Propiedad distributiva

La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Distributiva con respecto a la multiplicacin y divisin:

No es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin:

RECTA NUMERICA

Larecta numricaorecta real es un grfico unidimensional olnea rectala cual contiene todos losnmeros realesya sea mediante unacorrespondencia biunvocao mediante unaaplicacin biyectiva, usada para representar losnmeroscomo puntos especialmente marcados, por ejemplo losnmeros enterosmediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia:

Est dividida en dos mitades simtricas por elorigen, es decir el nmerocero. En la recta numrica mostrada arriba, los nmeros negativos se representan en rojo y los positivos en violeta.Topologas sobre la recta realSobre la recta real se pueden definir diferentestopologasbajo las cuales la recta real tiene propiedades topolgicas y geomtricas, diferentes de la topologamtrica usual.Topologa usualPunto interiorSea H un subconjunto de . Un punto y0de H se denomina unpunto interiorde H, si existe r real positivo tal que A. Al conjunto de los puntos interiores de H se nombrainteriorde H, se denota por int(a). Si el punto y0est en el interior de A, se dir que A esentornode dicho punto.2Ejemplo: Si H = {1}[3,5] [6, 8> . Los puntos 1, 3, 5 y 6 no son puntos interiores de H. Mientras int(H) = .Tener presente que si H es parte de J entonces el interior de H es parte de del interior de J. Tambin que el interior de H es parte de H.2Conjunto abiertoUn subconjunto K de se llamaabierto, si todo punto de K es punto interior de K. Esto es, K Int(K).Es obvio que y son conjunto abiertos.Cualquier intervalo abierto es un subconjunto abierto de La interseccin de con es un subconjunto abierto de , para cualquier n entero positivo - [4, 6] es un subconjunto abierto de .Para cualquier conjunto de nmeros reales su interior es un conjunto abierto.2Propiedades topolgicas1. La unin de una familia de abiertos de es un abierto.2. La interseccin de dos abiertos de es un abierto de ( considerando el conjunto vaco como abierto ).3. La interseccin arbitraria de infinitos abiertos no tiene por que ser un abierto.4. Los intervalos son conjuntos abiertos; para el caso, el primero es la unin de los abiertos , n recorre todo +.2Punto adherenteDados el subconjunto M de nmeros reales y el punto real y0, diremos que este punto es adherente a M si la interseccin de M con cualquier intervalo simtrico que contiene a y0es no vaca. Al conjunto de puntos adherentes a M se llamaadherencia(clausura) de M y se denota adh(M) o Cl(M)34