informe de física nº 02

“Año de la inversión para el desarrollo rural y la seguridad alimentaria”

UNIVERSIDAD NACIONAL

SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE CIENCIA FISICO-MATEMATICAS

CURSO: Física I (MA-241)

PROFESOR: Lic. Lorenzo Delgado Saire.

INTEGRANTES:

- Ríos Suárez, Juan Carlos

- Conde Flores, Jefferson Cesar

AYACUCHO-2013

PRESENTACIÓN

La física, es una ciencia que tiene como objetivo capacitarnos para comprender los componentes básicos de la materia y sus interacciones mutuas y explicar así los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Gracias a la física, se ha logrado un gran avance en la ciencia y la tecnología de la humanidad.

El presente trabajo sobre Mediciones Indirectas y Cálculo de Errores fue realizado por los estudiantes del curso Física I de la escuela de formación profesional Ciencias Físico Matemáticas con el fin de compartir las diferentes experiencias de estudio en el laboratorio y la discusión sobre las diferentes formas de medir diversos fenómenos.

Como ya sabemos la Física, es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las otras ciencias y el laboratorio es el elemento más distintivo de la educación científica, pues en ella podemos conocer al estudiante en su integridad (sus conocimientos, actitudes y desenvolvimiento) y tiene gran relevancia en el proceso de formación, cualquiera que vaya ser la orientación profesional y el área de especialización.

“LABORATORIO Nº 02”

MEDICIONES INDIRECTAS Y CÁLCULO DE ERRORES

1.- OBJETIVOS:

- Familiarizarse con el uso de los instrumentos de medida.

- Cálculo de errores en mediciones directas.

2.-EQUIPOS Y MATERIALES:

Para las diferentes mediciones se hizo uso de los siguientes materiales, cinta métrica o regla, un vernier, un tronco de cono, un paralelepído y una esfera metálica. También usamos la calculadora científica para los diferentes cálculos matemáticos.

Cinta métrica o regla:

La regla graduada es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, por ejemplo centímetros o pulgadas; es un instrumento útil para trazar segmentos rectilíneos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido, semirrígido o flexible, construido de madera, metal, material plástico, etc.

Su longitud total rara vez supera el metro de longitud. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida, como milímetros, centímetros, y decímetros, aunque también las hay con graduación en pulgadas o en ambas unidades.

Vernier:

El vernier, también llamado pie de rey, es un instrumento de medición parecido a la forma de una llave stillson, sirve para medir con mediana precisión hasta 128 de pulgada y hasta diezmilésimas de metro. Este instrumento funciona de la siguiente manera, primero haces una aproximación de la medida con el cero (ya sea de pulgadas o CMS), si queda exactamente el cero en una rayitas, esa es la medida exacta, si no, tienes que ver cuál de las siguientes rayitas coincide exactamente y esa medida se la tienes que agregar a la aproximada al cero (próxima inferior, no próxima superior), en las pulgadas cada rayita a la derecha del cero equivale a 1/128, en el caso de los CMS. cada rayita equivale a 1/10000 de metro o una décima de Mm.).

Paralelepípedo:

Un paralelepípedo es un poliedro de seis caras, en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene doce aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro y ocho vértices.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.

Esfera:

La esfera es un sólido limitado por una superficie en la que todos sus puntos equidistan de un punto interior denominado centro O. La superficie que limita a una esfera se llama superficie esférica y cualquier segmento OP que une el centro O con un punto P de la superficie esférica se denomina radio de la esfera.

Tronco De Cono:

El tronco de cono, cono truncado o tronco de Garófalo es un volumen de revolución generado por un trapecio rectángulo al tomar como eje de giro el lado perpendicular a las bases.

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción e cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje.

Queda determinado por los radios de las bases, y , la altura, , y la generatriz, .

3.- FUNDAMENTO TEORICO:

a) ¿Qué es medir?

La medición es la determinación de la proporción entre la dimensión o suceso de un objeto y una determinada unidad de medida. La dimensión del objeto y la unidad deben ser de la misma magnitud. Una parte importante de la medición es la estimación de error o análisis de errores.

b) ¿Para qué experimentamos?

El objetivo fundamental de experimentar es probar y examinar la eficacia de una o varias hipótesis relacionadas con un fenómeno físico. La experimentación constituye uno de los elementos claves de la investigación científica y es fundamental para ofrecer explicaciones causales.

c) ¿Qué es una magnitud física?

Es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se pueda asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón.

¿Qué es una magnitud escalar?

Son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, un número.

¿Qué es una magnitud vectorial?

Son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido.

d) Notación Científica:

También llamada notación índice estándar. Es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

e) Clasificaciones de errores:

- Error Aleatorio. No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final. Para conocer este tipo de errores primero debemos realizar un muestro de medidas.

- Error Sistemático. Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo de medir una magnitud en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que la causan. Para determinar un error sistemático se deben de realizar una serie de medidas sobre una magnitud, se debe calcular la media aritmética de estas medidas y después hallar la diferencia entre la media y la magnitud.

f) Cálculo de errores en mediciones indirectas:

Cuando el cálculo de una medición se hace indirectamente a partir de otras que ya conocemos, que tienen su propio margen de error, tendremos que calcular

junto con el valor indirecto, que suele llamarse también valor derivado, el error de éste, normalmente empleando el diferencial total. A la transmisión de errores de las magnitudes conocidas a las calculadas indirectamente se le suele llamar propagación de errores.

Partiendo de unas medidas directas y de los errores de esas medidas, y conociendo una ecuación por la que a partir de las medidas conocidas podemos calcular el valor de una medida indirecta, un método de cálculo del error de esta medida indirecta es el cálculo diferencial, equiparando los diferenciales a los errores de cada variable.

4.- PROCEDIMIENTO:

- Medir con regla métrica el ancho y largo de la mesa de laboratorio (realice 6 mediciones en todo el contorno del salón y anote los datos en la tabla Nº 01)

- Con el vernier, medir la altura, el ancho y el largo de un paralelepípedo de madera (realice 6 mediciones y anote sus datos en la tabla Nº 02)

- Con el vernier, medir el diámetro de una esfera de hierro (realice 6 mediciones y anote sus datos en la tabla Nº 03) y luego medir su peso en la balanza.

- Con el vernier, medir el diámetro mayor, menor y altura de un tronco de cono (realice 6 mediciones y anote sus datos en la tabla Nº 04)

5.- ANÁLISIS DE DATOS:

En cada caso determinar el error absoluto, relativo, porcentual y exprese el resultado de su medición.

- Para la mesa de laboratorio determine su área. (Tabla Nº01)

- Para el paralelepípedo determine su área total y volumen. (Tabla Nº02)

- Para la esfera determine el área y volumen. (Tabla Nº03)

- Para el tronco de cono determine su área y volumen. (Tabla Nº04)

Tabla Nº 01:

n Largo Ancho L : δ i A: δ i L : δ i2 A: δ i

2

1 200.5 96.9 0.32 0.28 0.1024 0.07842 199.8 96.6 0.38 0.02 0.1444 0.00043 200.5 96.5 0.32 0.12 0.1024 0.01444 199.9 96.7 0.28 0.08 0.0784 0.00645 200 96.4 0.18 0.22 0.0324 0.04846 200.4 96.6 0.22 0.02 0.0484 0.0004

Donde:

L: δ i es la desviación o fluctuación del largo de la mesa.

A: δ i es la desviación o fluctuación del ancho de la mesa.

L: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del largo de la mesa.

A: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del ancho de la mesa.

Ahora analizaremos la tabla, tenemos:

x=∑ x in

Viene a ser el promedio de todas las mediciones realizadas.

δ i=|x i−x| Viene a ser la desviación o fluctuación.

Ahora determinaremos la desviación estándar que viene dado por:

σ=√∑ δi2

n−1

Recordemos que la desviación estándar se aproxima al error absoluto, es decir

σ=∆ x. Ahora hallaremos la desviación estándar tanto para el largo y ancho de

la mesa.

Análisis para L (largo):

Promedio: x=∑ x in

=200.18mm

Desviación Estándar: σ=√∑ δi2

n−1=√ 0.515 =¿0.32mm

Error Relativo: er=∆xx

= 0.32200.18

=¿0.0016mm

Error Porcentual: e%=er∗100%=0.0016∗100=0.16%

Resultado de su mediación: x=( x ±∆ x )=(200.18±0.32 )mm

Análisis para A (ancho):


=¿ 96.62mm

Desviación Estándar): σ=√∑ δi2

n−1=√ 0.155 =0.17mm


= 0.1796.62

=¿0.0018mm



Área de la mesa:

El área de la mesa se halla de a multiplicación del largo con el ancho de todas las mediciones y el resultado final es el promedio de todos estos resultados.

A= (largo)*(ancho) = 200.18∗96.62=19341.39u2

Tabla Nº 02:

n Altura Largo Ancho H: δ i2 L : δ i

2 A: δ i2

1 20.34 70.4 36.76 413.7156 4956.16 1351.29762 20.14 70.38 36.8 405.6196 4953.3444 1354.243 20.3 70.3 36.7 412.09 4942.09 1346.894 20.2 70.35 36.78 408.04 0.0001 1352.76845 20.17 70.32 36.74 406.8289 4944.9024 1349.82766 20.32 70.3 36.8 412.9024 4942.09 1354.24

Donde:

H: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado de la altura del paralelepípedo.

L: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del largo del paralelepípedo.

A: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del ancho del paralelepípedo.


x=∑ x in




σ=√∑ δi2

n−1


σ=∆ x. Ahora hallaremos la desviación estándar tanto para la altura, el largo y

ancho del paralelepípedo.

Análisis para H (altura):


=¿20.25mm


n−1=√ 2459.205

=¿0.085mm


=0.08520.25

=¿0.004mm



Análisis para L (largo):


=¿ 70.34mm


n−1=√ 0.0095 =¿0.04mm


= 0.0470.34

=¿0.0006mm


Resultado de su mediación: x=( x ±∆ x )=(70.34 ±0.04 )

Análisis para A (ancho):


=¿ 36.76mm


n−1=√ 0.0085 =¿0.04mm


= 0.0436.76

=¿0.001mm



Área Total:

Recordemos que el área total del paralelepípedo se halla de la siguiente

manera:

AT=2ab+2ac+2bc . En nuestro caso tenemos.

C: altura; b: ancho y a: largo

Entonces:

AT=2ab+2ac+2bc=2 (70.34∗36.76 )+2 (70.34∗20.25 )+2(36.76∗20.25)

AT=9508.9468mm2

Volumen del paralelepípedo:

Recordemos que el volumen de un paralelepípedo lo hallamos de la siguiente

manera: V=abc. Entonces:

V= (70.34 ) (36.76 ) (20.25 )=52360.3926mm3

Tabla Nº 03:

n Diámetro Peso D : δ i D : δ i2

1 28.52 94.84 0.008 0.000072 28.5 94.84 0.012 0.000143 28.55 94.84 0.038 0.001474 28.48 94.84 0.032 0.001005 28.52 94.84 0.008 0.000076 28.5 94.84 0.012 0.00014

Donde:

D: δ i es la desviación o fluctuación del diámetro de la esfera.

D: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del diámetro de la esfera.


x=∑ x in




σ=√∑ δi2

n−1


σ=∆ x. Ahora hallaremos la desviación estándar tanto para el largo y ancho de

la mesa.

Análisis para D (diámetro):


=28.51mm


n−1=√ 0.002885

=¿0.024mm


=0.02428.51

=¿0.00084mm


Resultado de su mediación: x=( x ±∆ x )=(28.51±0.024)mm

Área de la Esfera:

Sabemos que el área de una esfera se determina por: A=4 π r2

Pero también sabemos que r=D2

entonces nuestra fórmula quedaría.

A=4 π D2

4=π D2. Entonces tenemos previamente.

A=π D2= (3.14 ) (812.82 )=2552.255mm2

Luego tenemos: ∆ A=∂ A∂D

∆ D=∂ (π D2)∆ D

∂D=2πD∗∆ D

Dividiendo por A tenemos: ∆ AA

=2π ∆ DA

⟹ ∆ AA

=2πD ∆Dπ D2

⟹ ∆ AA

=2∆ DD

Entonces ∆ A=2(∆ D)AD

=2 (0.024 ) (2552.255 )

28.51=4.297mm2

Por lo tanto: A=A ±∆ A⟹ A=(2552.255± 4.297)mm2

Volumen de la Esfera:

Recordemos que el volumen de una esfera se determina mediante: V= 43π r3

Pero para nuestro caso r=D2

entonces nuestra fórmula quedaría: V=D3π6

Entonces. V=D3π6

=(28.51 )3(3.14 )

6=12127.47mm3

Luego tenemos: ∆V=∂V

∂D∆ D=

∂( D3π6

)∆ D

∂D⟹∆V=

1(3 π D2)∆ D6

=D2π (∆ D)

2

Dividiendo por V tenemos:

∆VV

=

D2π (∆ D)2D3 π6

⟹ ∆VV

=3∆ DD

⟹∆V=3 ∆ DD

V=3 (0.024 )∗12127.47

28.51=30.627mm3

Entonces. ∆V=30.627mm3 Por lo tanto: V=(12127.47±30.627)mm3

Tabla Nº 04:

n Diámetro mayor Diámetro Menor Altura M: δ i2 N: δ i

2 H: δ i2

1 34.12 29.92 30.16 0.08 0.09 0.00092 34.6 29.22 30.12 0.04 0.16 0.0049

3 34.72 29.72 30.26 0.10 0.01 0.00494 34.12 29.22 30.24 0.08 0.16 0.00255 34.16 29.72 30.12 0.06 0.01 0.00496 34.72 29.92 30.24 0.10 0.09 0.0025

Donde:

M: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del diámetro mayor.

N: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado del diámetro menor.

H: δ i2es la desviación o fluctuación al cuadrado de la altura.


x=∑ x in




σ=√∑ δi2

n−1


σ=∆ x. Ahora hallaremos la desviación estándar tanto para el diámetro mayor,

menor y la altura.

Análisis para M (diámetro mayor):


=¿34.41mm


n−1=√ 0.465 =0.30mm


= 0.3034.41

=¿0.009mm



Análisis para N (diámetro menor):


=¿ 29.62mm


n−1=√ 0.525 =¿0.32mm


= 0.3229.62

=¿0.011mm


Resultado de su mediación: x=( x ±∆ x )=(29.62±0.32)mm

Análisis para H (altura):


=¿ 30.19mm


n−1=√ 0.025 =¿0.06mm


= 0.0630.19

=¿0.002mm



Área del Tronco de Cono:

Sabemos que el área de un tronco de cono está determinada por la siguiente

fórmula: A=πg (R+r )+π (R2+r2) siendo g la generatriz con la siguiente fórmula

g=√(R−r)2+h2 y en nuestro caso tenemos que R=D2

y r=d2

entonces con esto

nuestra fórmula quedaría de la siguiente manera:

A=πg (D2 + d2 )+π (( D2 )

2

+( d2 )2)⟹ A=

π (D 2+2 gD+d2+2gd )4

Y

g=12

√D2−2dD+d2+4h2 Previamente tenemos:

g=12

√34.412−2 (29.62 ) (34.41 )+29.622+4 (30.19)2=30.28

A=(3.14 )(34.412+2 (30.28 ) (34.41 )+29.622+2 (30.28)(29.62))

4=4664.52mm2

Luego tenemos lo siguiente:

∆ A=∂ A ∆ D∂D

+ ∂ A∆d∂d

=∂π (D 2+2 gD+d2+2gd )

4∆ D

∂D+∂π (D2+2 gD+d2+2gd )

4∆d

∂d

Entonces nos queda:

∆ A=π (D+g)∆ D

2+π (d+g)∆d

2 Ahora dividimos por A y obtenemos:

∆ AA

=

π (D+g)∆D2

π (D2+2 gD+d2+2gd )4

+

π (d+g)∆d2

π (D2+2 gD+d2+2gd )4

=(2D+2 g)∆ D

D2+d2+2gD+2 gd+

(2d+2 g)∆ dD2+d2+2gD+2 gd

Entonces

∆ A=( (2D+2g)∆ DD2+d2+2 gD+2gd

+(2d+2g)∆d

D2+d2+2 gD+2gd ) A=( (129.38 )(0.30)5939.05

+(119.8 )(0.32)5939.05 ) (4664.52 )

⟹∆ A=60.593mm2 Por lo tanto A=(4664.52±60.593)mm2

Volumen del tronco de cono:

Sabemos que el volumen de un tronco de cono está representado por la

siguiente fórmula: V=π h3(R2+r2+Rr) pero para nuestro caso R=D

2 y r=

d2

tendríamos V= πh12

(D2+d2+Dd) entonces previamente hallamos V , es decir:

V=(3.14 ) (30.19 )

12(1184.05+877.35+1019.22 )⟹V=24335.999mm3

Luego tenemos lo siguiente:

∆V=∂V ∆ h∂h

+ ∂V ∆ D∂ D

+ ∂V ∆d∂d

Entonces tendríamos:

∆V=∂( πh12

(D2+d2+Dd))∆h

∂h+∂( πh12

(D2+d2+Dd))∆ D

∂D+∂ ( πh12

(D2+d2+Dd))∆ d

∂d

∆V= π12

(D2+d2+Dd )∆h+ π12

(2hD+hd )∆ D+ π12

(2hd+hD)∆ d

A este resultado lo dividimos por V entonces obtenemos:

∆VV

=

π12

(D 2+d2+Dd )∆h

πh12

(D2+d2+Dd)+

π12

(2hD+hd )∆ D

πh12

(D 2+d2+Dd)+

π12

(2hd+hD)∆ d

πh12

(D2+d2+Dd)=∆ hh

+(2D+d )∆ DD2+d2+Dd

+(2d+D)∆dD2+d2+Dd

∆V=(∆ hh +(2D+d )∆DD2+d2+Dd

+(2d+D )∆dD2+d2+Dd )V Entonces

∆V=( 0.0630.19+

(98.44 ) (0.30 )3080.62

+(93.65 ) (0.32 )3080.62 ) (24335.999 )=518.3983mm3

⟹∆V=518.3983mm3 Por lo tanto V=(24335.999±518.3983)mm3

6.- CUESTIONARIO:

¿Qué son cifras significativas?

Las cifras significativas (o dígitos significativos) representan el uso de una o más escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Se dice que 2,7

tiene 2 cifras significativas, mientras que 2,70 tiene 3. Para distinguir los ceros que son significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias de 10.

¿Qué tipo de errores ah podido observar en los experimentos realizados?

Existen tres tipos de errores que se observo durante el trabajo, los cuales son, el error absoluto, el error relativo y el error porcentual.

Dadas las medidas directas x=(5.12±0.30)mm, y=(17.04±0.10)mm, y una magnitud física G=x3 y2. Determinar el error absoluto, porcentual y exprese el resultado de G.

Analizamos la medida directa de x=(5.12±0.30)mm:

Podemos deducir que x=5.12mm y ∆ x=0.30mm

Entonces sabemos que el error relativo es er=∆xx

=0.305.12

⟹er=0.06 entonces el

error porcentual será: e%=0.06∗100%=6%

Ahora analizaremos la medida directa de y=(17.04±0.10)mm siguiendo un

procedimiento análogo que usamos en x. Entonces:

er=∆ yy

= 0.1017.04

⟹ er=0.0059 Por tanto e%=0.0059∗100%=0.59%

Por último hallamos G=x3 y2=5.123∗17.042=38971.67

7.- CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS:

El cálculo diferencial es sin duda una herramienta matemática de mucha

utilidad e importancia para facilitar la obtención de resultados.

En las diferentes mediciones que se hacen en los distintos experimentos

siempre hay márgenes de errores, y al parecer es algo que es inherente al

realizar experimentos.

Una de las sugerencias más naturales que uno deduce es que al momento de

medir ya sea la longitud, la altura o diámetro se debe de realizar con mucha

precisión para así reducir el margen de error.

7.- BIBLIOGRAFÍA:

Alonso-Finn Física Vol.1

Serway Raymond Física Tomo 1

Félix Cernuschi y Emilio Signorini Enseñando física mediante experimentos

Louis Leithold El Cálculo

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

Albert Einstein

informe de física nº 02

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