IN4301IN4301Análisis y Matemáticas Análisis y Matemáticas

FinancierasFinancieras

Objetivo

Momento óptimo de reemplazo

Momento óptimo para liquidar una inversión

Momento óptimo para iniciar el proyecto

Tamaño óptimo de la inversión

Contenidos OptimizaciónContenidos Optimización

Maximizar el aporte a la riqueza de un proyecto en particular seleccionando las mejores alternativas de inicio, tamaño, localización y momento óptimo de liquidar la inversión, reemplazo de equipos, selección de proyectos dentro de una cartera con restricciones de capital, proyectos independientes e interdependientes.

CRITERIO GENERAL:VAN = VAN1- VAN0

MAX VAN (t)VAN/ t = 0 VPN = 0

ObjetivoObjetivo

Hay que maximizar el VAN de un proyecto que se repite indefinidamente, lo que es equivalente (ver capítulo X) a maximizar el Beneficio Anual Uniforme Equivalente (BAUE), o minimizar el CAUE si los beneficios no dependen del ciclo óptimo de reemplazo.

Es decir se debe elegir como momento óptimo de reemplazo:

n

tt

tn

n

nn r

F

r

rrBAUEMaxnN

1 )1(*

1)1(

*)1( /*

n

tt

tn

n

nn r

C

r

rrCAUEMinnN

1 )1(*

1)1(

*)1( /*

Momento Óptimo de Momento Óptimo de ReemplazoReemplazo

Inversión anualizada

Costos deoperaciónanualizados

C.A.E

Años ("n")

APLICACIONES: REEMPLAZO DE APLICACIONES: REEMPLAZO DE EQUIPOSEQUIPOS

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA LIQUIDAR UNA INVERSIÓNPARA LIQUIDAR UNA INVERSIÓN

Hay inversiones que tienen implícita una determinada tasa de crecimiento del stock del capital invertido (plantaciones de árboles, añejamiento de vinos, cría de animales, etc.)

Surge el problema de determinar entonces cual es el momento óptimo para liquidar la inversión.

Analicemos a través de un ejemplo numérico. Supongamos que la tasa de interés del

mercado es del 5% y que la inversión inicial es de $ 100 para comprar un bosque que crecerá a una tasa Ki% por año.

Se puede demostrar que: La riqueza del inversionista se

maximiza cuando la tasa de crecimiento del valor del producto se iguala con la tasa de descuento.

Si el inversionista reinvierte sus fondos en el mismo proyecto el momento óptimo de liquidar el proyecto cambia (proyecto repetible).

¿Cuándo se debería vender el bosque si el proyecto no es repetible? (momento óptimo de liquidar la inversión).

¿Cada cuántos períodos es más conveniente repetir el proyecto?

AñoAño

Valor de Venta del Valor de Venta del Bosque si se Bosque si se cosecha en tcosecha en t

00 100100

11 106106

22 112,35112,35

33 123,59123,59

44 139,65139,65

55 153,85153,85

66 167,7167,7

77 181,12181,12

88 191,98191,98

99 201,58201,58

1010 210,65210,65

1111 218,79218,79

1212 225,22225,22

Para tomar la decisión de cortar el Para tomar la decisión de cortar el bosque debemos maximizar el VAN bosque debemos maximizar el VAN

Año

Valor de Venta del Bosque si se cosecha en i

Ki=ritmo al cual crece el bosque en el año i

VAN en el año i

TIR en el año i

0 1001 106 6,00% 0,95 6,0%2 112,35 5,99% 1,90 6,0%3 123,59 10,00% 6,76 7,3%4 139,65 12,99% 14,89 8,7%5 153,85 10,17% 20,55 9,0%6 167,7 9,00% 25,14 9,0%7 181,12 8,00% 28,72 8,9%8 191,98 6,00% 29,94 8,5%9 201,58 5,00% 29,94 8,1%10 210,65 4,50% 29,32 7,7%11 218,79 3,86% 27,92 7,4%12 225,22 2,94% 25,41 7,0%

tt

t

VBVBVPN

05,10 1

1

0

tt

t VB

VBTIR

11

t

tt VB

VBTIRMg

Luego, el momento óptimo de cortar el bosque es en el año 9, donde el VAN es máximo, eso sucede cuando TIRMg=r

¿Qué pasa si el valor de reventa es ¿Qué pasa si el valor de reventa es reinvertido en plantaciones reinvertido en plantaciones

forestales?, forestales?, es decir se continúa en el negocio.es decir se continúa en el negocio.

En este caso estaríamos hablando de un proyecto repetible, por lo tanto podemos utilizar el BAUE.

Año

Valor de Venta del Bosque si

se cosecha en i

Ki=ritmo al cual crece el bosque en el año i

VAN en el año i

TIR en el año i

BAUE en el año i

0 1001 106 6,00% 0,95 6,000% 12 112,35 5,99% 1,90 5,995% 1,0243902443 123,59 10,00% 6,76 7,315% 2,482950044 139,65 12,99% 14,89 8,708% 4,1992691635 153,85 10,17% 20,55 8,998% 4,7454928796 167,7 9,00% 25,14 8,999% 4,9530825917 181,12 8,00% 28,72 8,856% 4,9631436728 191,98 6,00% 29,94 8,494% 4,6323124179 201,58 5,00% 29,94 8,100% 4,21229832410 210,65 4,50% 29,32 7,735% 3,7971812211 218,79 3,86% 27,92 7,377% 3,3614964212 225,22 2,94% 25,41 7,000% 2,866997843

1)1(

*)1(

t

t

tt r

rrVPNBAUE

Además se cumple que en el año 6, la TIR es máxima e igual a TIRMg

Puede ocurrir que un proyecto tenga VAN positivo, pero aun siendo rentable hoy convenga postergar su inversión.

Ejemplo de esto puede ser una carretera cuya evaluación depende del número de vehículos que circulan y estos son función del tiempo.

años

Benef.

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA INICIAR UNA INVERSIÓNPARA INICIAR UNA INVERSIÓN

Supongamos un proyecto de vida útil infinita y que no cambia el monto de la inversión independiente de cuando se realice.

Sea una inversión de I, una tasa de descuento r y los beneficios aumentan 1 cada año:

Si invierto ahora el VAN del proyecto será:VANo = -I + F1/(1+r) + F2/(1+r)2 + ………. (1)

Si postergo 1 año la inversión el VAN será:

VAN1 = -I/(1+r) + F2/(1+r)2 + F3/(1+r)3 + …….. (2)

La ganancia de VAN de postergar la inversión se obtiene restando (2) menos (1).

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA INICIAR UNA INVERSIÓNPARA INICIAR UNA INVERSIÓN

(2) - (1) se obtiene:

VAN1 - VANo = I - (I+F1)/(1+r)

De esto se desprende que el resultado seguirá siendo positivo hasta que Bi = r * I. En este punto la diferencia de VAN se hace 0.

Por lo tanto en el caso de un proyecto de vida útil infinita que no cambia el monto de su inversión debe realizarse cuando los beneficios del primer año son iguales al costo de capital de la inversión comprometida en el proyecto.

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA INICIAR UNA INVERSIÓNPARA INICIAR UNA INVERSIÓN

Ejemplo:Supongamos que la construcción de la carretera requiere una inversión de I=$200, que existe una tasa de descuento del 10%, que los beneficios dependen únicamente del tiempo, que la inversión dura permanentemente. Supongamos también que los beneficios anuales crecen a razón de 1$ por año indefinidamente, o sea, año 1:F1=1; año 2: F2=2,...…; año n: Fn=n

Comparemos en VAN de invertir hoy con el de invertir mañana. El VAN de invertir hoy es:

.....

1,1.....

1,1

3

1,1

2

1,1

1200

320 n

nVAN

El VAN de invertir en un año más:

.....

1,1.....

1,1

3

1,1

2

1,1

200321

n

nVAN

La ganancia en VAN de invertir en un año más versus hoy:

1,1

120020001

VANVANVAN

Claramente el resultado es positivo; seguirá siendo

positivo hasta que Ft=$20=r*I

Supongamos ahora que el proyecto tiene vida útil finita y que no cambia el monto de la inversión independiente de cuando se realice. Se asume que la vida útil del proyecto no cambia si se posterga la inversión.

Si invierto ahora el VAN del proyecto será:

VANo = -I + B1/(1+r) + B2/(1+r)2 + ...Bn/(1+r)n (1)

Si postergo 1 año la inversión el VAN será:

VAN1 = -I/(1+r) + B2/(1+r)2 +…..+Bn+1/(1+r)n+1 (2) La ganancia de VAN de postergar la inversión se

obtiene restando (2) menos (1).

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA INICIAR UNA INVERSIÓNPARA INICIAR UNA INVERSIÓN

(2) - (1) se obtiene:

VAN1 - VANo = (r * I - B1)/(1+r) + Bn+1/(1+r)n+1

El momento óptimo de inversión se produce cuando el delta VAN es igual a 0

Surgen otras variantes a analizar para este caso como son: La inversión tiene una vida útil finita y los beneficios son

función del tiempo y del momento en que se realiza la inversión

El período de construcción dura más de un año ( caso de proyectos eléctricos por ejemplo)

El monto de inversión cambia dependiendo del momento en que se realice.

APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO PARA INICIAR UNA INVERSIÓNPARA INICIAR UNA INVERSIÓN

APLICACIONES: TAMAÑO OPTIMO DE APLICACIONES: TAMAÑO OPTIMO DE LA INVERSIÓNLA INVERSIÓN

El problema surge en este caso para aquellos proyectos en que sus beneficios dependen de la inversión que se realice.

Nuevamente el problema lo resolvemos planteando el problema para dos tamaños diferentes y haciendo la diferencia.

El VAN para una inversión I1 es:

VAN1 = -I1 + BNi1/(1+r)i

El VAN para una inversión I2 es:

VAN2 = -I2 + BNi2/(1+r)i

El tamaño óptimo se obtiene cuando VAN2 - VAN1 = 0

Un apoyo al análisis: Ecuaciones Un apoyo al análisis: Ecuaciones de escala. de escala.

α : Factor de escala

Costo 1/Costo 2 = (capacidad 1/capacidad 2) α

ONUDI:Sector αMinería, agricultura 0,5 – 0,6Tecnologías de Informacióny comunicaciones 0,61 – 0,67Normativas y seguridad 0,55 – 0,6

 

En general: Ajuste de En general: Ajuste de PotenciasPotencias

La técnica de ajuste de potencias, o modelo exponencial, se utiliza con frecuencia para desarrollar estimaciones de inversiones de capital para plantas y equipos industriales.

Supone que el costo varía en función del cambio de capacidad o tamaño, elevado a una potencia.

X

S

SCC

1

212

Ci: costo de la planta iSi: tamaño de la planta iX: factor de capacidad

de costo

X depende del tipo de planta o equipo. Si X<1, existen economías de escala (cada unidad

cuesta menos que la anterior) Si X>1, existen deseconomías de escala. (cada

unidad cuesta más que la anterior) Si X=1, existe una relación lineal entre costo y

capacidad.

Solución para evitar el análisis combinatorio: IR = VP de beneficios netos / Inversión

Se utiliza indicador equivalente al IR denominado IVAN = VPN / I

Solución exacta del problema de optimización: Solver (Excel)

Priorización de inversiones con Priorización de inversiones con restricción de capitalrestricción de capital