MÉTODO GRÁFICO

El gráfico es un método de solución de problemas deprogramación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).EL PROBLEMALa fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEALVARIABLES XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar RESTRICCIONES 0,12XT + 0,2XT’ <= 500              Hilo “a”0,15XT + 0,1XT’ <= 300              Hilo “b”0,072XT + 0,027XT’ <= 108        Hilo “c” Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas. FUNCIÓN OBJETIVO ZMAX = 4000XT + 5000XT’ LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO

PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONESPara iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables XT = xXT' = y Igualamos las restricciones, 0,12X + 0,2y = 500            0,15X + 0,1y = 300      0,072X + 0,027y = 108 Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda. Por ejemplo, para un x = 0 0,12(0) + 0,2y = 5000,2y =  500500/0,2 = y2500 = y y para un y = 0 0,12x + 0,2(0) = 5000,12x = 500x = 500/0,12x = 4167  

Bryan Antonio Salazar LópezSeguimos con la segunda restricción, 0,15X + 0,1y = 300

Bryan Antonio Salazar LópezTercera restricción, 0,072X + 0,027y = 108

Bryan Antonio Salazar LópezEn el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.

Bryan Antonio Salazar López

Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos). La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones). Función objetivo, ZMAX = 4000x + 5000y luego igualamos a 0. 4000x + 5000y = 0 luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).

Bryan Antonio Salazar LópezUna vez se ha esbozado la función objetivo (línea negra) sacamos replicas perpendiculares a esta que se encuentren con cada vértice, y solo en el caso en que la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no corte el polígono solución se ha encontrado la solución óptima. En otras palabras trasladamos la función objetivo por todo el polígono conservando la perpendicularidad con la original, la detenemos en los vértices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solución.

Bryan Antonio Salazar López  Claramente solo en el punto "B", es decir en el vértice formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este punto el correspondiente a la coordenada óptima. Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2x2, y se pueden considerar varios métodos de solución entre ellos: - Método por sustitución- Método por igualación- Método por reducción o Eliminación- Método por eliminación Gauss- Método por eliminación Gauss - Jordán- Método por determinantes La riqueza de las matemáticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el método de reducción o eliminación es muy sencillo de aplicar. El método por reducción o eliminación consiste en igualar los coeficientes de una de las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden iguales pero con signos contrarios. Ecuación 1                        0,12x + 0,2y = 500Ecuación 2                        0,15x + 0,1y = 300  multiplicamos por (-2)

Ecuación 3 (2*(-2))         -0,30x -  0,2y = -600Sumamos 1 y 3               -0,18x = -100Despejamos "x"               x = -100 / (-0,18)                                        x = 555,55 luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con el objetivo de despejar "y". Ecuación 1                     0,12x + 0,2y = 500Reemplazamos "x"        0,12(555,55) + 0,2y = 500Despejamos "y"            66,666 + 0,2y = 500                                     0,2y = 500 - 66,666                                     0,2y = 433,334                                     y = 433,334 / 0,2                                     y = 2166,67 De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y". Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT' x = XTy = XT' XT = 555,55XT' = 2166,67 y la contribución obtenida (reemplazando las variables en la función objetivo) es de: Zmax = 4000XT + 5000XT'Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)Zmax = 13.055.550 Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolución por Solver - Excel, sin embargo recuerden que el método de búsqueda de la solución óptima en el método gráfico que utilizamos es el geométrico y que existe una posibilidad mucho más engorrosa pero igualmente efectiva, este es el método de iteración por vértice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de los vértices y luego en cada coordenada se evalúa la función objetivo, (cada coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos valores en la función objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados seleccionando la mayor cantidad). Una herramienta muy útil al momento de resolver ejercicios mediante el método gráfico es una calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta (disponible aquí).

VARIANTES EN EL MÉTODO GRÁFICOComo en la mayoría de los casos el ejemplo con el que aquí se explicó el método gráfico es el ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solución óptima única, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y que vale la pena analizar:SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLEUna de las variantes que puede presentar un ejercicio de programación lineal consiste en la cantidad de soluciones óptimas, gran cantidad de ellos presenta más de una solución óptima, es decir una solución en la cual la función objetivo es exactamente igual en una combinación cuantitativa de variables diferente. Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el análisis de sensibilidad, es decir una vez encontradas múltiples soluciones iguales se debe proceder al comportamiento del consumo de los recursos y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto de productividad de los recursos más limitados y costosos.Un ejemplo de este caso es el siguiente: La ebanistería "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de producción enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de producción para esta semana. X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semanaY = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana Restricciones 2X + Y <= 10        "Horas de ensamble"X + 2Y <= 8          "Horas de pintura"X, Y => 0              "De no negatividad" Función objetivo Zmax = 20000X + 10000Y La gráfica resultante sería: 

Bryan Antonio Salazar LópezComo nos podemos dar cuenta mediante la geometría en dos vértices la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no atraviesa el conjunto solución, por ende en dos puntos se presentan soluciones óptimas, que son los puntos B y C. Observemos la solución óptima múltiple Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000 Existen entonces dos soluciones óptimas Solución óptima 1 X = 4        Y = 2 Solución óptima 2 X = 5       Y = 0 La pregunta siguiente es ¿cual decisión tomar?, pues depende de factores tales como una análisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de determinados recursos (horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al modelo

como lo puede llegar a ser en este caso una necesidad de espacio de almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se elaboran más mesas que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar los resultados pues requerirá de la capacidad de quien toma las decisiones.SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADAOtra de las variantes que presentan los modelos de programación lineal corresponde a los modelos de solución óptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones óptimas. Hay que reconocer que en la vida real gran parte de estos problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es común que este tipo de problemas sean evaluados en la vida académica. Un ejemplo: La compañía comercializadora de bebidas energéticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo. Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1800 pesos. Determine la cantidad de unidades que deben venderse!! Variables X = Cantidad de bebidas tipo A a venderY = Cantidad de bebidas tipo B a vender Restricciones X => YX + Y => 1500 Función Objetivo Zmax = 1800X + 1800Y La gráfica resultante sería:

Bryan Antonio Salazar LópezEs claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando indefinidamente la función objetivo, en estos casos se dice que la solución óptima no es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.SOLUCIÓN INFACTIBLEEl caso de la solución infactible es más típico de lo pensado, y corresponde a los casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones. Es muy común ver este fenómeno producto de inviables proporciones de oferta y demanda. Un ejemplo: La compañía de galletas "CAROLA" desea planificar la producción de galletas que tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía "CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con 480 horas de horneado. Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades. 

Variables X = Cantidad de cajas de galletas presentación D a producir en 2 semanasY = Cantidad de cajas de galletas presentación N a producir en 2 semanas Restricciones 2X + 3Y <= 5503X + Y <= 480X + Y => 300 Función Objetivo Zmax = 8500X + 8100Y La gráfica resultante es la siguiente:

Bryan Antonio Salazar LópezEvidentemente no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende se concluye que no existe solución factible.REDUNDANTES O SOBRANTESExisten en los modelos de programación lineal un tipo de restricciones que no juegan rol alguno en la determinación del conjunto solución (de igual manera en la solución óptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes.

 Por ejemplo: La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente. La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades. Las variables: X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmenteY = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente Las restricciones: 2X + 3Y <= 3003X + 6Y <= 8404X + 5Y <= 450 Función Objetivo: Zmax = 102000X + 98000Y La gráfica resultante es la siguiente,

Bryan Antonio Salazar LópezLa solución óptima corresponde a: X = 150Y = 0 y la función objetivo quedaría. Zmax = $15300000Claramente podemos observar como la restricción 1 y la restricción 2 no determinan el conjunto solución, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes.