ii concurso de verano "lógicomatesy+"

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II CONCURSO DE VERANO "LÓGICOMATESY+"

Patrocinado por Editorial Graó:

BASES:

1. Pueden participar todos los visitantes de nuestra Web, estén

registrados o no.

2. Desde el 20 de septiembre hasta el 2 de octubre, se publicarán

en la Web cinco problemas, adivinanzas, acertijos, ... que habrá

que resolver antes del 4 de octubre.

3. Cuando el concursante tenga la solución a un acertijo, deberá

enviar un correo a matesymasarrobagmail.com (sustituya la

palabra arroba por @), indicando en el asunto "II Concurso de

verano Lógicomatesy+" y en el contenido del mensaje deberá

escribir el número de acertijo y la solución, de forma razonada.

También deberá escribir su nombre, profesión (docente,

estudiante, ...) y lugar de residencia (pueblo o ciudad y país).*

4. Si la respuesta enviada es correcta, desde Mates y +,

responderemos a la dirección de correo de donde haya venido la

respuesta y en este correo enviaremos una PISTA de la

PALABRA MÁGICA, que será la clave para ganar el concurso.

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5. Si el concursante contesta correctamente a los 4 primeros

acertijos y con las cuatro pistas que se envíen cree conocer la

"PALABRA MÁGICA", puede mandar un correo con la

respuesta antes de que se publique el quinto acertijo. En este caso

los 3 primeros que acierten serán los ganadores, pero si se

equivocan de palabra quedarán eliminados.

6. En el momento que se publique el último acertijo, el día 2 de

octubre, todos los acertantes para poder ser ganadores tendrán que

participar en el sorteo final. Se mandará a las respuestas correctas

la última pista y tendrán que enviar la "PALABRA MÁGICA"

antes de las 23:55 horas del martes 4 de octubre, hora española.

7. Entre todas las respuestas correctas, se hará un sorteo el 5 de

octubre para ver quiénes son los tres ganadores, dos o uno,

dependiendo de si hubiera algún participante que hubiera acertado

la palabra antes de la publicación del quinto acertijo.

8. A partir del segundo acertijo, sólo se analizarán las respuestas

de aquellos participantes que hayan acertado todos los acertijos

anteriores.

9. El concursante que llegue hasta el final autoriza a que se

publique en la Web su nombre, apellidos y lugar de residencia en

una tabla con un número asignado que será el que sirva para el

sorteo final del premio.

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10. La editorial Graó patrocina este concurso y obsequia a los 3

ganadores con una suscripción digital a la revista UNO durante un

año. Si alguno de los ganadores fuera un estudiante, "Mates y +"

regalará un libro de divulgación de las Matemáticas.

11. En el momento que un participante incumpla alguna norma de

estas bases, será dado de baja del concurso.

12. Para cualquier duda, mandarnos un e-mail y os

responderemos. O bien a través de Facebook. La organización se

reserva el derecho de poder cambiar alguna de las bases si fuera

necesario para el buen desarrollo del concurso.

*En cumplimiento de la Ley Orgánica 15/1999, de 13 de diciembre de Protección de Datos de Carácter Personal (LOPD), Mates y +, como responsable de los datos que sean enviados para participar en este concurso, hace las siguientes consideraciones:

Los datos suministrados por el concursante quedarán incorporados en un fichero automatizado, el cuál será procesado exclusivamente para contactar con el concursante". Los datos serán tratados con el grado de protección adecuado.

Queda igualmente informado de la posibilidad de ejercitar los derechos de acceso, rectificación, cancelación y oposición, de sus datos personales enviando un e-mail a la dirección que aparece en la base nº 3.

Los datos suministrados por el concursante, serán eliminados en el momento que termine el concurso.

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ACERTIJOS:

Acertijo nº 1: LOS CUATRO CUATROS

Existen una gran cantidad de números que podemos expresar,

utilizando todo tipo de operaciones, como combinación de cuatro

cuatros exclusivamente.

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

Fijándote en los ejemplos anteriores, nuestro primer acertijo

consiste en que consigas expresar los números 15, 40, 80 y 90

utilizando solamente cuatro cuatros.

¡SUERTE!

Envía la respuesta siguiendo las bases del concurso. Si aciertas

recibirás en tu correo la primera pista de la PALABRA

MÁGICA".

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Acertijo nº 2: UNA PAREJA DE MATEMÁTICOS

Una pareja de matemáticos del siglo XX, marido y mujer, están

conversando:

Pronciano: ¿Te das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la

tuya una vez?

Dafrosia: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos

entonces, porque no volverá a suceder.

Pronciano: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común

divisor de las nuestras.

Dafrosia: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el

año en el que estamos.

¿En qué años nacieron él, ella y su hijo?


recibirás en tu correo la segunda pista de la PALABRA

MÁGICA".

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Acertijo nº 3: COMPLETA LA TABLA

En la siguiente tabla 6x6, tienes que colocar en las casillas vacías

los números necesarios para hacer un camino desde el número 1

hasta el 36, donde cada número se coloca en la celda contigua

horizontalmente o verticalmente del número anterior.

Aquí tienes un ejemplo en una tabla 4x4 y al lado su solución.

La solución sería: 1ª fila: 16,15,14,13; 2ª fila: 1,2,11,12; 3ª fila:

4,3,10,9. 4ª fila: 5,6,7,8.


recibirás en tu correo la tercera pista de la "PALABRA

MÁGICA".

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Acertijo nº 4: LISTA DE NÚMEROS

Escribimos una lista de todos los números enteros entre 1 y 30

inclusive. Luego, tachamos algunos de éstos de tal manera que en

la lista restante no haya ningún número que sea el duplo de otro.

¿Cuál es la máxima cantidad de enteros que pueden

pertenecer a la lista restante?

Razona tu respuesta.


recibirás en tu correo la cuarta pista de la "PALABRA

MÁGICA".

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Acertijo nº 5: CUENTA LOS TRIÁNGULOS

Determina el número de triángulos que aparecen en la siguiente

figura. Explica el procedimiento que has seguido para contarlos.


recibirás en tu correo la quinta pista de la "PALABRA

MÁGICA".

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PISTAS DE LA PALABRA MÁGICA: Pista nº 1: El número de letras de la palabra MÁGICA es un

cuadrado perfecto.

Pista nº 2: En la PALABRA MÁGICA se cumple:

(nº de vocales = nº de consonantes - 1).

Pista nº 3: “En la PALABRA MÁGICA, no por ser mala

estudiante, sino más bien por estar un poco alterada, aparece

repetida una vocal y una consonante".

Pista nº 4: "Cuando descubras la PALABRA MÁGICA,

empezará resultándote familiar para terminar en una pequeña

localidad almeriense".

Pista nº 5: .--./.-./../--/.-/...-/./.-./.-

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SOLUCIONES ENVIADAS POR LOS PARTICIPANTES:

Acertijo 1:

15 = 4 · 4 - 4 / 4 = (44/4) + 4

40 = 4!· 4 - 4 - 4 = 44 - 4 - 4 = 4!· 4 - 4 · 4 = 4! + 4! – 4 - 4

80 = 4! · 4 - 4 x 4 = 4 ·(44 - 4) = 4·(44- 4!)

90 = 44 · 4 + 4 = 4!·4 – 4 - 4 = 4 (4! - 4 ) + 4

Acertijo 2:

Concursante 1.- Sea P la edad de Pronciano, D la edad de Dafrosia y H la edad del hijo. Una edad es múltiplo de otra tantas veces como divisores tiene su diferencia, si solamente fueron múltiplos una vez, quiere decir que su diferencia tiene un solo divisor, es decir que su diferencia es igual a 1, con esto podemos afirmar que tienen edades consecutivas: D=P-1. El problema dice "el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos". Como son edades consecutivas y la pareja es del siglo XX, probamos con diferentes valores de números enteros. 43 · 44=1892, 44 · 45=1980, 45 · 46=2070. Los únicos valores posibles son 44 y 45 cuyo producto da 1980 y a la vez es el mínimo común múltiplo. P=45 y D=44.

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"Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras" Sabemos que mcm(P,D)=P·H/mcd(P,H), por lo que mcd(P,H)=P·H/mcm(P,D); H=1980/1980=1. Teniendo en cuenta las edades y el año en que ocurrió la conversación, 1980, podemos saber los años en que nacieron los miembros de la familia. Año de nacimiento de Pronciano=1980-45=1935. Año de nacimiento de Dafrosia=1980-44=1936. Año nacimiento del hijo=1980-1=1979.

Concursante 2.- 1) La edad de Pronciano fue múltiplo de la de Dafrosia una y sólo una vez. Vale, ya sabemos que Pronciano es mayor que Dafrosia. Esta pista parece una tontería, pero es la clave del problema. Al igual que la burocracia, consideraremos la edad una variable discreta, se pasa de tener 17 años a tener 18, no contamos meses ni cualquier otro tipo de fracción de año. Asimismo, consideraremos la definición estricta de múltiplo, limitándonos a números enteros (es más, naturales): claro que 1,5 x 2 = 3, pero eso no son múltiplos, es "otra cosa". ¿Qué implica esta restricción? Hagamos un análisis sencillo: - Una diferencia de edad de 0 años ya queda descartada. - Supongamos que la diferencia de edad entre ambos es de 1 año. En ese caso sus edades fueron múltiplo (una de la otra, se entiende) cuando él tenía 2 años y ella 1. - Ahora supongamos que la diferencia de edad entre ambos es de 2 años. En ese caso sus edades fueron múltiplo en dos ocasiones: cuando él tenía 3 años y ella 1, y cuando él tenía 4 años y ella 2.

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- Ahora supongamos que la diferencia de edad entre ambos es de 3 años. En ese caso sus edades fueron múltiplo en dos ocasiones: cuando él tenía 4 años y ella 1, y cuando él tenía 6 años y ella 3. Mmm, interesante... Parece que ya podemos sacar una conclusión: A una diferencia de edad n, las edades son múltiplo (como mínimo) en dos ocasiones: - Ella tiene 1 año y él n+1 -> Obvio, cualquier número entero es múltiplo de uno, ¡incluso los primos! :-P - Ella tiene n años y él 2n -> Es obvio que 2n es múltiplo de n. No he comprobado formalmente que vuelvan a ser múltiplo en más ocasiones, pero esto nos da igual. Entonces... cualquier número que tomamos nos va a dar demasiados múltiplos "coetáneos", es decir, que las edades son múltiplo más de una vez. Pues sólo queda una opción: Pronciano tiene un año más que Dafrosia. Hemos dado muchas vueltas con el primer paso pero, sabiendo esto, el resto "sale solo". Es más, de aquí sale otra conclusión más: la edad "actual" (no hoy, sino en el misterioso año del siglo XX que buscamos) de Pronciano y la de Dafrosia son primas entre sí. 2) El mínimo común múltiplo de sus edades es el año en el que estamos. Sabiendo que sus edades son primas entre sí, tenemos que: año actual = mcm(P, D) = P · D, donde P y D son sus respectivas edades. 3) Pronciano y Dafrosia viven/vivían/vivieron durante el siglo XX. Interesante... ¿podemos utilizar este dato? Por supuesto, nos dará cotas superior e inferior para las edades de Pronciano y Dafrosia.

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El siglo XX empieza en el año 1900 y termina en el año 2000. Vale, volvemos al eterno debate de si el año 1900 pertenece al siglo XIX o al XX, y si el año 2000 pertenece al siglo XX o al XXI. Como atribuyen a Clark Gable en Lo que el viento se llevó, "francamente, querida, eso me importa un bledo", es decir, que no importa para este problema (aunque, por supuesto, tengo mi posición al respecto). Enésima aproximación/redondeo (qué vergüenza de método, redondeando por todas partes...): Como las edades de Pronciano y Dafrosia son tan similares, "supondremos" que son iguales y usaremos la raíz cuadrada:

1900 = 43,588... 2000 = 44,721...

¡Ajá! Esto estrecha mucho "el cerco". ¿Qué combinaciones de edad posibles nos quedan? - (42, 43) -> Ni lo calculo, 42 · 43 tiene que ser menor de 1900 (ya que 43^2 también lo es) - (43, 44) -> 43 · 44 = 1892, casi, pero tampoco nos vale - (44, 45) -> 44 · 45 = 1980, bien, ¡tenemos un candidato! - (45, 46) -> 45 · 46 = 2070, hala, ya nos hemos pasado ¡Genial! De cuatro posibilidades nos queda sólo una. Citando en este ocasión a sir Arthur Conan Doyle, en boca de su personaje Sherlock Holmes: "Una vez descartado lo imposible, lo que queda, por improbable que parezca, debe ser la verdad". Vale, tenemos una solución: Pronciano tiene 45 años y Dafrosia tiene 44 años, en 1980, claro está. Sabiendo esto, ¿qué edad tiene su hijo? 4) La edad de su hijo es el máximo común divisor de las suyas. 44 = 22 · 11

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45 = 32 · 5 Su hijo sólo puede tener un año. Pues ya está, ahora hay que entregar el resultado en el "formato" que nos piden: - Pronciano: 1980 - 45 = 1935 - Dafrosia: 1980 - 44 = 1936 - Hijo: 1980 - 1 = 1979 Antes de lanzarnos a contestar, contrastemos con la realidad (a ver si estamos diciendo una tontería): ¿Pronciano y Dafrosia fueron padres con 44 y 43 años, respectivamente? Sí, es perfectamente posible que ambos fueran fértiles a esa edad. SOLUCIÓN: Pronciano, Dafrosia y su hijo nacieron, respectivamente, en los años 1935, 1936 y 1979.

Concursante 3.- Al ser la edad de él múltiplo de la de ella sólo una sola vez éstas deben diferenciarse solo en un año (así serían múltiplo sólo cuando tuvieran 2 y 1 año respectivamente). El máximo común divisor de dos números consecutivos es 1, así que su hijo debe tener 1 año. El mínimo común múltiplo de dos números consecutivos es igual al múltiplo de ellos mismos, así que el año en el que están debe ser la única cifra que corresponde a un año del siglo XX que sea a su vez resultado de multiplicar dos cifras consecutivas, 1980= 44·45. Con esos datos podemos deducir que él nace en 1935, ella en 1936 y su retoño en 1979. Concursante 4.- Si solamente la edad del hombre fue múltiplo de la de la mujer una vez, como todos los números son múltiplos de si mismos y de la unidad la edad de la mujer cuando esto sucedió sería 1. Así, el único par de números que podríamos escoger serían cuando tenían respectivamente 2 y 1 años, en cualquier otro

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caso, al ir creciendo serían de nuevo múltiplo. O sea que tienen una diferencia de edad de 1 año. Como son del siglo XX, los años de nacimiento estarían entre el 1900 y el 2000. Así que buscamos dos edades consecutivas cuyo mcm sea un año del siglo XX y cuyo mcd sea 1. Sabemos que el producto de 2 números es igual al producto de su mcd por el mcm. Como dos números consecutivos son primos entre sí su mcd es el 1 y el mcm el producto de los mismos. Para que el producto de 2 números consecutivos dé un número comprendido entre 1900 y 2000, tiene que estar próximo a su raíz cuadrada aproximada (entre 43 y 45). Probamos y los únicos que cumplen la condición serían 45 y 44 (edades de los padres) con mcd 1 (edad del hijo) y mcm 1980. Así que él nació en 1980-45 = 1935 Ella nació en 1980-44 = 1936 El hijo nació en 1980-1 = 1979 Acertijo 3:

1ra fila: 34 33 32 31 30 29 2da fila: 35 36 5 6 27 28 3ra fila: 2 3 4 7 26 25 4ta fila: 1 12 11 8 23 24 5ta fila: 14 13 10 9 22 21 6ta fila: 15 16 17 18 19 20

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Acertijo 4:

Concursante 1.- El máximo número que queda en la lista restante es 20. - Empezamos tachando por el principio de la lista, es decir, tachamos el 2 que es el duplo del 1. - El siguiente duplo que nos encontramos es el 6, el doble del 3, luego lo tachamos. - El siguiente que tachamos es el 8, que es el doble del 4, y éste no lo hemos tachado. - Seguimos así con todos los duplos de los números que todavía nos queda en la lista. De este modo, los números que han quedado sin tachar son: 1 - 3 - 4 - 5 - 7 - 9 - 11 - 12 - 13 - 15 - 16 - 17 - 19 - 20 - 21 - 23 - 25 - 27 - 28 - 29. Concursante 2.- Empezamos eliminando los pares, así nos quedan los impares: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 19, ahora agregamos algunos números pares de tal forma que no sean dobles entre ellos y que no vayan a ser los dobles de los impares que están en nuestra lista primaria, lo que la lista final quedaría asi: 1 3 4 5 7 9 11 12 13 15 16 17 19 20 21 23 25 27 28 29. Ahora tenemos 20 números y ninguno es el duplo del otro. Concursante 3.- Puede haber como máximo 20 enteros. De los 30 que hay, 17, 19, 21, 23, 25, 27 y 29 pueden estar porque no son el doble de ninguno. El resto, lo separamos por grupos, como sigue: 1, 2, 4, 8, 16 3, 6, 12, 24 5, 10, 20 7, 14, 28 9, 18 11, 22 13, 26 15, 30

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De cada grupo, hay que eliminar uno o dos para conseguir que no haya ningún doble, eliminando el mínimo posible. Si se quitan los 10 que hay en negrita, mantenemos 20 que cumplan las condiciones del acertijo. Concursante 4.- Quedarían 20 como máximo. Los números impares no pueden ser el duplo de ningún número, pero pueden ser doblados. Al considerar hasta el número 30, los impares a partir del 17 (inclusive) estarían en la lista. Esto nos daría por ahora 7 números. Escribo las series de duplos que estarían: 1-2-4-8-16. Si elimino el 2 y el 8, el 1, el 4 y el 16 no serían duplo de ningún número. De aquí saco 3 números más. 3-6-12-24. Aquí tendría que eliminar 2, o bien el 3 y el 12 o el 6 y el 24. De aquí saco 2 números. 5-10-20. Eliminando el 10 me quedarían 2 números. 7-14-28. Eliminando el 14 me quedarían 2 números. 9-18. Daría 1 número 11-22. Daría 1 número 13-26 daría 1 número 15-30 daría 1 número. 7+ 3+2+2+2+1+1+1+1= 20. Concursante 5.- Se nos pide dar una lista lo más grande posible de números del 1 al 30 (ambos inclusive), tal que ninguno de ellos sea duplo de otro. Mejor dicho, se nos pide decir el tamaño máximo posible de dicha lista. No hay por qué listarla. Veamos: - Tenemos un total de 30 números, del 1 al 30. - 15 de ellos son impares, y otros 15 son pares. Los impares no son duplo de ningún otro. ¡Acabáramos! Pues hala, ya tenemos una lista de 15 elementos: los 15 números impares entre 1 y 30.

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- Pero esto no podía ser tan fácil, porque si somos cucos podemos hacer unos cuantos fichajes de última hora, por ejemplo: 16 es duplo de 8, pero 8 ¡no está en la lista! con lo que el 16 nos valdría. Vale, vamos a revisar esta idea con más cuidado: - ¿Qué hace que un par sea el doble de otro par? ¡Que sea múltiplo de 4! Antes de mirar la tabla del 4, vamos a ver los números pares que NO son múltiplos de 4: 2 6 10 14 18 22 26 30. Todos ellos son el doble de un número impar (1 3 5 7 9 11 13 15), con lo que van "emparejados", es decir, si metemos uno de éstos tenemos que quitar uno y sólo uno de nuestros impares "ideales de la muerte" (su mitad), con lo que cumpliríamos con los requisitos (pero qué lío, con lo bonito que quedaba con impares, mejor no tocamos nada). - Volviendo a la idea, vamos a ver qué pasa con los múltiplos de 4, que son los siguientes: 4 8 12 16 20 24 28. Puedo meter el 4, porque el 2 no está en la lista, pero entonces no puedo meter al 8... Ufff, vamos a agruparlos, que así no me dicen nada: - 4 8 16 - 12 24 - 20 - 28 ¿Pero qué clase de grupos has hecho, hijo mío? Sencillo, un número y sus consecutivos dobles. Mira, ya tenemos dos números de regalo: el 20 y el 28 (que son válidos, ya que el 10 y el 14 no están entre los "elegidos"). Y ahora... ¿12 ó 24, cuál cogemos? Lo mismo me da, que me da lo mismo. Pero eso sí, sólo uno de los dos. Vale, apunto. Y la familia del 4, el 8 y el 16... cada uno es el doble del anterior... Pues rompemos la cadena. Si quitamos el 8... ¡nadie es doble de nadie!

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Y con esto ya hemos terminado. Ahora, por educación, deberíamos recopilar un poco todas estas notas que hemos escrito: - Números impares (un total de 15). - Múltiplos de 4 (4, 12, 16, 20, 28, un total de 5 números más). Recordemos que el 12 y el 24 son intercambiables. Venga, que viene lo difícil: ¿15 + 5? ¡20! Podemos hacer un subconjunto de 20 números del 1 al 30 tal que ninguno sea duplo de otro: {1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29} {1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29} Parece que, al igual que con el acertijo número 3, hay dos soluciones posibles, pero no es así. Lo que nos piden es el cardinal de ese conjunto, y eso sí que es único: 20. Acertijo 5:

Concursante 1.- Paso 1: Entender el problema. Tenemos que contar cuántos triángulos tiene la figura. Paso 2: Configurar un plan. Vamos a resolver el problema a una figura más sencilla y vamos complicándola. Paso 3: Ejecutar el plan. Dibujamos el par de triángulos que están en el interior de la figura original. Contamos 8 triángulos. Ahora añadimos los triángulos medianos: Contamos: los 8 anteriores más 6 + 6 + 2. Lo que hace un total de 22 triángulos. Finalmente añadimos los triángulos más exteriores:

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Contamos los triángulos que ahora tenemos: 22 + 6 + 6 + 2 = 36. Paso 4: Mirar hacia atrás. Observamos que cada vez que añadimos un par de triángulos el número de triángulos totales se incrementan en 12. Podemos sacar una fóormula general: 14n - 6 donde n es 1 si tenemos 2 triángulos, 2 si tenemos 4 triángulos, ... Así, comprobando nuestros resultados: Un par de triángulos: 14 " 1 - 6 = 8 triángulos. Dos pares de triángulos: 14 " 2 - 6 = 22 triángulos. Tres pares de triángulos: 14 " 2 - 6 = 36 triángulos. Concursante 2.- Solución 36. Cada triángulo se corta con otro de igual tamaño invertido formando 6 nuevos. En total 8. Esto ocurre tres veces dando 24 triángulos. Cada triángulo intercepta a uno menor e invertido dando 3 triángulos que no teníamos contados. Esto ocurre dos veces entre cada triángulo grande y el siguiente menor invertido, por lo que tenemos que sumar 2x2x3 a los 24 dando un total de 36. Concursante 3.- Hay 36 triángulos. Los grupos de 2 triángulos que forman una estrella de 6 puntas tienen 6 triángulos. Como tengo 3, tendría: 6·3 = 18 Los triángulos que forman las estrellas son 2+2+2= 6 Los triángulos que forman un triángulos grande y uno inscrito invertido son 3 y de estos hay 4 (los grandes y los medianos) 3·4=12 18+6+12= 36. También podría ir pintando cada triángulo de un color y contar los triángulos.

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Concursante 4.- Como en cualquier concurso de la TV (están de moda en la TV los concursos de contar figuritas), la clave es ser ordenado para no contar ningún triángulo dos veces, ni dejarse ninguno. Vamos al grano: En mi caso, yo veo la figura como tres estrellas de David inscritas una dentro de otra. Cada estrella de David puede verse como dos triángulos cruzados uno sobre otro, que a su vez generan las seis puntas. Eso hace un total de ocho triángulos por estrella. Ya que tenemos tres estrellas, eso nos da un total de 24 triángulos. ¿Eso es todo? ¡No, ni de lejos! Veamos qué triángulos adicionales se han generado al cruzarse las estrellas: Como buen aficionado a los videojuegos, veo trifuerzas por todas partes. Otros verán el emblema del clan Hojo o, hablando de Matemáticas, cómo no acordarnos del triángulo de Sierpinski... En fin, tras esta digresión tan lúdico-festiva ya creo que ha quedado clara la figura a la que me refiero. Venga, vamos a contarlas. Vamos con la estrella grande que, por tamaño, es la más fácil de ver: Si a cada uno de los dos triángulos "generadores" le quitamos el de enmedio (al estilo Sierpinski), tenemos cuatro más, los cuatro pequeñitos (el grande que los contiene a todos ya lo hemos contado). Bueno, en realidad no, porque el triángulo pequeño del centro también lo hemos contado ya (es el generador de la estrella siguiente). ¿Entonces? Tres triángulos nuevos, punto. Sí, pero hay dos generadores por estrella. Ah, pues entonces seis. Ajá... esto ya huele a patrón. Parece ser que cada vez que inscribimos una estrella de David dentro de otra generamos dos

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"Sierpinskis" (o dos trifuerzas, según gustos), es decir, seis triángulos nuevos que antes no existían. Bueno, vamos resumiendo que parece que ya no salen muchos más triángulos: - Teníamos 24 triángulos originarios de las tres estrellas de David. - Al cruzarse esas tres estrellas, han generado seis por cruce, es decir, un total de doce. Sí, son dos cruces, la estrella grande con la mediana y la mediana con la pequeña. Ni más ni menos. Pues ya está, 24 + 12 = 36, tenemos un total de 36 triángulos en la figura. Y ya que una explicación verbal no vale ni la mitad que un gráfico que no me veo capaz de hacer en unos minutos, para compensar añado la fórmula para n estrellas de David:

8 triángulos por estrella + 6 triángulos por cruce = = 8 · n + 6 · (n - 1) = 14n - 6 triángulos.

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PALABRA MÁGICA Solución: PRIMAVERA Pista nº 1: El número de letras de la palabra MÁGICA es un cuadrado perfecto. Efectivamente la palabra PRIMAVERA tiene 9 letras que es un cuadrado perfecto, 32. Pista nº 2: En la PALABRA MÁGICA se cumple: (nº de vocales=nº de consonantes-1). Nº de vocales=4; nº de consonantes=5. Se cumple 4=5-1. Pista nº 3:" En la PALABRA MÁGICA , no por ser mala estudiante, sino más bien por estar un poco alterada, aparece repetida una vocal y una consonante". La vocal que aparece repetida es la “A” y la consonante la “R”. En la pista aparece la palabra alterada, para dar psitas sobre la palabra mágica, ya que “La primavera la sangre altera”. Pista nº 4:" Cuando descubras la PALABRA MÁGICA , empezará resultándote familiar para terminar en una pequeña localidad almeriense". Empezará resultándote familiar: PRIMA. Termina en una pequeña localidad almeriense: VERA. Pista nº 5: .--./.-./../--/.-/...-/./.-./.- En código Morse, aparece PRIMAVERA.

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ERRORES COMETIDOS POR LOS PARTICIPANTES A LA HORA DE AVERIGUAR LA PALABRA MÁGICA

ANTES DE LA PISTA 5 Concursante 1 He buscado las localidades de Almería y la que cumple todas las pistas es: ALBOLODUY. 1. Tiene 9 letras, cuadrado perfecto. 2. Tiene 4 vocales = 5 consonantes - 1. 3. La "o" se repite 2 veces y la "l" también. 4. Alboloduy es una localidad de Almería. Concursante 2 Teniendo en cuenta las pistas: el número de letras es un cuadrado perfecto, el número hay una consonante más que el número de vocales, aparece una vocal y una consonante repetida, y resultara familiar terminar en una localidad de Almeria (soy colombiano y me toco buscar en un mapa que bajé de internet) Me arriesgo a decir que la palabra es: F E L I C I D A D: tiene 9 letras (cuadrado perfecto), tiene 5 consonantes y 4 vocales, se repite la "D" y la "I", y con mucha felicidad terminaría en unas Tabernas (localidad almeriense) celebrando.

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GANADORES DEL CONCURSO

Antes de nada, queremos agradecer a todos los que habéis participado en esta edición del concurso de verano y esperamos volver a contar con vosotros y vosotras en próximas ediciones.

También queremos agradecer a la editorial Graó que siga apoyando este concurso y ofrezca como premio estas tres suscripciones digitales a la revista Uno.

En esta edición hemos tenido la novedad de que se podía uno arriesgar con la PALABRA MÄGICA antes de esperar al último acertijo, esto ha hecho que hayan llegado al final un número menor de concursantes y también que, como ha ocurrido en esta edición, tengamos antes del sorteo a dos ganadores.

Los dos primeros ganadores son:

1ª Isabel Varela de Girona.

2º Rafael García de Murcia.

Para el tercer premio tenemos a cuatro concursantes que han llegado hasta el final con todos los acertijos contestados correctamente y han acertado la PALABRA MÁGICA.

A cada uno de ellos se les han asignado dos números del 1 al 8 y el jueves 6 de octubre de 2011, habrá que estar atentos al sorteo de la ONCE y si la última cifra coincide con uno de sus números asignados, será el tercer premiado.

En el caso de que saliera como última cifra el 0 ó el 9, se mirará la penúltima cifra y así sucesivamente hasta que haya un ganador.

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Los concursantes que han llegado al final son:

a) Cristina Blanco de Vilanova i la Geltrú (Barcelona). Números asignados: 1 y 2.

b) Francisco Miguel González de Málaga. Números asignados: 3 y 4.

c) Nieves Salas de Madrid. Números asignados: 5 y 6.

d) Raúl López de San Sebastián de los Reyes (Madrid). Números asignados: 7 y 8.

SORTEO DE LA ONCE del 6 de octubre. Nº premiado: 80639 Como termina en 9, miro la penúltima cifra que es un 3, luego el tercer ganador es: 3º Francisco Miguel González de Málaga. ¡NOS VEMOS EL AÑO QUE VIENE EN LA III EDICIÓN!

GANADORES II EDICIÓN

1ª: ISABEL VARELA LÓPEZ – Girona. Premio: Una suscripción digital durante un año a la revista Uno, gentileza de la editorial Graó y un libro de divulgación matemática gentileza de Mates y +. 2º: RAFAEL GARCÍA - Murcia Premio: Una suscripción digital durante un año a la revista Uno, gentileza de la editorial Graó. 3º: FRANCISCO MIGUEL GONZÁLEZ TERNERO – Málaga Premio: Una suscripción digital durante un año a la revista Uno, gentileza de la editorial Graó.

ii concurso de verano "lógicomatesy+"

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