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Filtros Activos, Conceptos Bsicos y DiseoJ.I.Huircn

Abstract Se revisan los conceptos bsicos de ltrosactivos, presentando procedimientos bsicos de imple-mentacin mediante Ampli cadores Operacionales y distin-

tas formas de diseo basado en los ltros clsicos Butter-worth y Chebyshev.Index Terms Filtros Activos

I. Introduction

Los ltros juegan un importante rol en la electrnica ac-tual, tanto en reas de comunicaciones y procesamiento deimgenes como control automtico. Estos se pueden clasi- car en ltros anlogos, digitales y de capacitor conmutado(hbrido, el cual contiene elementos anlogos y digitales).

Un ltro es un dispositivo de dos puertas capaz de trans-mitir una banda de frecuencias limitada. Estos pueden serpasivos o activos. Los primeros, estn construidos en basea resistencias, bobinas y condensadores, mientras los ac-tivos estn conformados por resistencias, condensadores yAmpli cadores Operacionales, los que adems tienen lassiguientes caractersticas:

Pequeo tamao y peso. Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz) Valores de resistencias y condensadores razonables a

frecuencias muy bajas. Tiene elevadas caractersticas de aislamiento. Puede proveer ganancia si se requiere.A continuacin se dar un marco terico para los ltros

activos, sus especi caciones y diseo.

II. Tipos de Filtros y Especificaciones deRespuesta en Frecuencia

Los ltros se pueden representar mediante la funcin detransferenciaH (s), la cual se expresa en trminos de suganancia o atenuacin, as se tiene

H (s) =V o (s)V i (s)

(1)

+ H(s) V (s)oV (s)i

_

+

_

Fig. 1. Red de dos puertas, ltro activo.

DondeV i (s) es la entrada de ltro y V o (s), la salida.La transmisin del ltro se encuentra evaluando

H (s)|s = j , as en trminos de magnitud y fase se tiene

H ( j ) = |H ( j )| ej ( ) (2)

Documento preparado en el Departamento de Ingeniera Elctrica,Universidad de La Frontera para la asignatura Circuitos ElectrnicosII. Versin Preliminar 2.1.

El espectro de la seal de salida ser obtenido por

|V o ( j )| = |H ( j )| | V i ( j )| (3)De acuerdo al criterio de seleccin de frecuencia de pa

o de rechazo, existen cuatro tipos de ltros.

A. Pasa Bajos (BandPass Filter)Son aquellos que tienen ganancia a frecuencias menor

que la frecuencia de cortec . As, la banda de paso estdada para 0 < < c , dondec se expresa en [rad/seg] oHertz y corresponde a la frecuencia en la cual la ganances dividida por 2 (cae en3dB ). La ganancia disminuyea medida que se supera a dicha frecuencia, de acuerdo aFig. 2, esta zona se conoce como banda de rechazo.

G2

[rad/seg]

H(j )

G

c

Fig. 2. Respuesta en frecuencia de un ltro pasabajos.

La funcin de transferencia para un ltro pasabajos deorden n de gananciaG es

H (s) =Gbo

sn + bn 1sn 1 + .. + bo (4)

B. Pasa Altos (HighPass Filter)Permite el paso de frecuencias superiores ac . Su fun-

cin de transferencia se puede obtener a partir de (4) reemplazandos = 1 /s , es decir

H (s) =Gbo

sn + bn 1sn 1 + .. + bo

| s = 1s (5)

Luego se tiene

H (s) =Gs n

sn

+ an 1sn

1

+ .. + ao(6)

Dondebn = 1 , an i =bibo , i = 1 , 2,...,n. La respuesta en

frecuencia se indica en la Fig. 3.

C. Pasa Banda (BandPass Filter)Este ltro deja pasar las frecuencias que se encuentra

dentro una de bandaB (expresado en rad/seg o en Hertz),centrado eno , atenuando todas las otras frecuencias. LaFig. 4 muestra la respuesta en frecuencia del ltro centradoen o cuyo ancho de banda est de nido por

B = 2 1 (7)

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2

G2

[rad/seg]

H(j )

G

c

Fig. 3. Respuesta en frecuencia de un ltro pasaaltos.

La funcin de transferencia se obtiene de (4) como

H (s) =Gbo

sn + bn 1sn 1 + .. + bo

|s = s

2 + 2oBs

(8)

[rad/seg]

H(j )

o 21

GG

2

B

Fig. 4. Respuesta en frecuencia de un ltro pasabandas.

As, el orden del ltro pasabanda se incrementar aldoble. Se de ne el factor de calidadQ, (9) el cual midela selectividad del ltro (un Q muy alto indica que el ltroes muy selectivo con banda de paso muy pequea) como

Q =oB

=f oB

(9)

La ganancia ser la amplitud de la funcin de transferen-cia a la frecuenciao = 2 1 . Note queo correspondea la media geomtrica, pues est en escala logartmica.

D. Rechaza Banda (BandReject Filter)Tambin llamado elimina banda y para algunas situa-

ciones ltro Notch, deja pasar todas las frecuencias ex-cepto una nica banda, la cual est de nida porB , comose indica en la Fig. 5.

[rad/seg]o1 2

G

G

2

H(j )

B

Fig. 5. Respuesta en frecuencia de un ltro rcehaza banda.

La funcin de transferencia se obtiene haciendo la susti-tucin indicada en (10) donde las caractersticas de bandason iguales al ltro pasabanda.

H (s) =Gbo

sn + bn 1 sn 1 + .. + bo

|s = Bs

s 2 + 2o

(10)

III. Especificaciones de un Filtro

A. Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia de un ltro se representa enescala lineal o logaritmica. Esta se expresa en funcin su ganancia o atenuacin (dB en escala logaritmica) versla frecuencia cuya escala est en dcadas u octavas (escalogaritmica).

[rad/seg]

H(j )

0

c

G2

-3

[rad/seg]

H(j )

G

1

[dB]

Fig. 6. (a) Respuesta Normalizada en ganancia Logaritmica. (bRepresentacin Lineal.

Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia mima, se tiene una curva de ganancia1 0 [dB ]. La frecuen-cia de cortec , se establece para muchos anlisis igual1[rad/seg ], tambin como referencia para diseo.

B. Polos y Respuesta En La Regin De Transicin

En la prctica, la respuesta ideal del ltro no existe, puesaparece una zona llamadaregin de transicin (banda detransicin). Para lograr una aproximacin que representun ltro ideal, debe incrementarse el nmero de polos, sembargo, esta cantidad no puede ser in nita dado que nopuede implementarse prcticamente. Cada polo deH (s)introduce una pendiente de 20 dB/Dcada o 6 dB/Octavaluego, si laH (s) tiene dos polos tendr una pendiente de

40dB/Dcada en la regin de transicin, lo que determinel orden del ltro (Fig. 7).

[rad/seg]

H(j )

G

c

n=2

n=4n=8

1 c

2

G2

Banda de Paso

Banda de Rechazo

Banda de Transicin

Fig. 7. Polos en la regin de transicin.

C. Especi cacin bsica de un ltro

En los ltros anlogos, las especi caciones estn dadaspor rangos de valores. Se tienen cinco parmetros basaden las caractersticas de atenuacin (Sansen y Laker 199los cuales son mostrados en la Fig. 8:

Mxima atenuacin en la banda de paso (AP B ) Ripple de la banda de paso o Ancho de ripple (RW ) Mnima atenuacin de la banda de rechazo (ASB ) Frecuencia de esquina de la banda de paso (P B ) Frecuencia de esquina de la banda de rechazo (SB )

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FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO

[rad/seg]

G(j )

0

-A

SB

PB

-ASB

ripple ( RW )

PB

Banda de paso

Banda de rechazo

Atenuacin

[dB]

Fig. 8. Ventana de diseo para un ltro pasabajos.

Las respuestas pueden presentar una variacinG() G(), dado que los componentes siempre varan, lo queobliga a hablar de una ventana de especi cacin o ventanade diseo. Cuando el diseo cae fuera de esta ventana,ste es descartado. Existe una gran cantidad de herramien-tas computacionales que permiten trasladar las especi ca-ciones de la Fig. 8 a una funcin de transferenciaH . Paradistintas especi caciones existen numerosas funciones quesatisfacen las respuestas de ganancia o fase, luego se debeconsiderar los objetivos de prestacin y costo para reducireste nmero de funciones a una.

Un mtodo para obtenerH es usar funciones prototi-pos (tambin llamadas funciones de aproximacin), talescomo, Chebyshev (equal-ripple), Butterworth (mxima-nente plana) y elpticos. Estas funciones permiten deter-minar H (s) mediante una aproximacin en el dominio de lafrecuencia, para esto|H ( j )| se aproxima a la caracters-tica de un ltro pasabajos ideal de acuerdo a un criteriode error predeterminado.

D. Funciones de Aproximacin

Las funciones de aproximacin en el dominio de la fre-cuencia pueden ser expresadas como

|H ( j )| =1

p 1 + 2S 2n ()(11)

DondeS n () representa un clsico polinomio de ordenn, ya sea Butterworth o Chebyshev.

E. Escalamiento

Es fundamental para el diseo de ltros, debido a quepermite plantear los desarrollos en torno una frecuencia dereferencia, y luego trasladar el ltro y los componentes paraotros diseos. Esto se consigue haciendos = p, dondep esla variable compleja de la funcin original ys es la variablede la nueva funcin. SeaH o ( p) la funcin de transferenciaoriginal, entonces la nueva funcin de transferencia ser

H (s) = H o ( p) | p= s = H o s (12)Sea la redRC de la Fig. 9, donde su funcin de trans-

ferencia est dada por(13) .

H (s) =1

1 + sRC (13)

V (s)i

R

sC

V (s)o1

Fig. 9. Filtro RC.

Si R = 1 [ ] y C = 1 [F ], se tiene queC = 1 [ r/s ] ,escalando para una nueva frecuenciaC = 10 [r/s ] ,se tieneque s = C p

H (s) =1

1 + pRC | p= s C =

11 + s C RC

=1

1 + s RC C=

11 + s R C C

=1

1 + sR C C

Lo que implica dividirR o C por 10, lo cual asegura undesplazamiento de la frecuencia.

IV. Funciones Prototipos

A. Butterworth Este ltro tiene una respuesta plana en la banda de paso

(llamadamximamente plana ), a expensas de la respuestaen la regin transicin, la cual es de 20 dB/Dcada ppolo. El mdulo de la respuesta en frecuencia del ltropasabajos, para gananciaG, y frecuencia de cortec estadado en (14).

|H ( j )| =G

r 1 +

c

2n

(14)

Donde n = 1 , 2,...,k . es el orden. La Fig. 10 indicarespuestas de este ltro para distintosn .

[rad/seg]

H(j )G

c

n=2

n=4n=8

G

2

Fig. 10. Respuesta del Filtro Butterworth.

A.1 Propiedades del FiltroUna respuesta mximamente plana tiene mucha

derivadas que son cero en el origen, = 0 . Para gananciaunitaria y una frecuencia = c , se tiene que

|H ( j )| h1

2 (15)Tambin llamada3[dB ]. Para >> c , se tiene que

|H ( j )| h1

n(16)

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4

o

|H ( j )|dB h 20log1n = 20n log() (17)As, la variacin ser de20n [dB ] por dcada, dondenes el orden del ltro.

A.2 Determinacin de las funciones de transferenciaSea (14) conG = 1 y c = 1 , haciendos = j , entonces

= s/j , reemplazando se tiene

|H ( j )|2 =1

1 + sj 2n =

11 + ( 1)

n s2n(18)

Los polos de la funcin de transferencia se obtienen para

(1)n s2n = 1 (19)

Pero comoej (2 k 1) =

1, entonces

(1)n s2n = ej (2 k 1) (20)

As, los polos parak = 1 , 2,...,n, estarn dados por

sk = ej (2 k + n 1)

2 n (21)

Los polinomios que se obtienen, son de la forma

H (s) =1

(s s1) ( s s2) ...(s sn )(22)

Para n = 2 se tiene ques1 = ej 3

4 y s2 = ej 5

4 , luego

H (s) =1

s e j 3 4 s e j 5 4 =

1s2 + 2s + 1 (23)

El denominador de (23) corresponde a un polinomio deButterworth indicado en la Tabla I.

TABLE IPolinomios de Butterworth en forma factorizada.

n Polinomios de Butterworth1 s + 12 s2 + 2s + 13 s2 + s + 1(s + 1)4 s2 + 0 .7653s + 1s2 + 1 .8477s + 15 s2 + 0 .6180s + 1s2 + 1 .6180s + 1(s + 1)6 s2 + 0 .5176s + 1s2 + 2s + 1s2 + 1 .9318s + 1De la misma forma son determinados los polinomios para

orden superior. Al determinar el mdulo deH (s) basadaen estos polinomios, se obtiene (14).

B. Chebyshev

Este ltro tiene una ondulacin (ripple) en la banda dpaso. Mientras mayor es el orden, mayor es la pendiente la regin de transicin, pero mayor es el ripple y el nmde ondulaciones en la banda de paso. El mdulo de funcin de transferencia est dado por (24), dondeK 1 y ,son valores constantes yC n (x) es el polinomioChebyshev

(en primera aproximacin) de gradon . La Fig. 11 muestrala respuesta en frecuencia para diferentesn y la tabla II,los polinomios correspondientes.

|H ( j )| =K 1

q 1 + 2C 2n ( c )(24)

C n () est dados por

C n () = cos n cos 1 () 0 1 (25)C n () = cosh

n cosh 1 ()

> 1 (26)

De (25) se determina una ecuacin de recurrencia paencontrar los polinomios.

C n +1 () 2C n () + C n 1 () = 0 (27)Con C 1 () = y C 2 () = 2 2 1.

TABLE IIPolinomios de Chebyshev.

n Polinomios de Chebyshev1

2 22

14 84 82 + 16 326 484 + 18 2 1

[rad/seg]

H(j )k

k

2

c

n=2

n=4n=8

1

1

RW

Fig. 11. Respuesta del ltro Chebyshev Pasabajos.

RW ser la distancia1 1

1+ 2 , tomando la diferenciarespecto de0 [dB ], queda

RW |dB = 20 log p 1 + 2 (28)As, elRW queda determinado por la eleccin de, el

cual ucta entre 0 y 1. Si =1, entoncesRW = 1 1

2 ,es decir,3 [dB ] . En la Fig. 11, cuando = c la gananciano cae en3 [dB ] respecto del mximo, esto ocurrir slcuandoRW = 3 [dB ].

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FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO

B.1 Propiedades del ltroSea K 1 = 1 , para = c

|H ( j )| =1

p 1 + 2C 2n (1)=

1 1 + 2 (29)

ComoC 2n (1) = 1 de acuerdo a la tabla II, la magnitud esigual al ancho del ripple. Para >> c 2C 2n () >> 1,se tiene

|H ( j )| w1

C n ()(30)

o

|H ( j )|dB = 20 log 20log C n () (31)Para >> c , C n () se puede aproximar a2n 1 n , as

|H ( j )|dB = 20 log 20log2n 1n = 20 log 6 (n 1) 20 log (32)De acuerdo a (32), la atenuacin para un mismo orden

en la regin de transicin es mayor que20 [dB/Dec ] , estodebido al trmino20 log 6 (n 1). Como es menorque 1, el valor obtenido resulta ser negativo luego paracompensarlo, se puede escoger un valor den ms grande.

B.2 Determinacin de funciones de transferenciaComos = j, entonces = s/j,

|H ( j )| =1

q 1 + 2C 2n ( sj )(33)

Luego los polos deH (s) se obtienen haciendo2C 2n (

s j

) = 1 C n (s j

) = j (34)

Usando la forma trigonomtrica dada en (25)

cos(n arccos(sk j

)) = j (35)

Dondesk son las raices buscadas. Seapk = arccos( s kj ) =uk + jv k , entonces,cos(npk ) = cos( nu k + jnv k ), as

cos(np k ) = cos( nu k ) cos( jnv k )

sin(nu k ) sin( jnv k )

= cos( nu k ) cosh( nvk ) j sin(nu k ) sinh( nvk )Luego

cos(nu k ) cosh( nvk ) = 0 (36)

sin(nu k )sinh( nvk ) = 1 (37)

Comocosh(nvk ) 6= 0 , entonces,cos(nu k ) = 0 , para todouk = 2n ,

32n ,...,

2n (2k 1), por otro lado,sin(nu k ) = 1, as, vk = 1n arcsin h( 1 ).

Los polinomios dependen de los valores de, as, paraun ltro de n = 2 y RW = 1 [dB ], = 0 .50884.

vk = 12 sinh1

10.50884 = 0 .714uk = 4 , 34cos2cos 1 s 1j = cos 24 + j 0.714cos2cos

1

s 2j = cos 2

34 + j 0.714De lo que se desprende que

cos 1 s1 j = 4 + j 0.714cos 1 s2 j = 34 + j 0.714

s1 = j cos4 + j 0.714s2 = j cos34 + j 0.714

Luego los polos deH (s) son s1 = 0 .549 + j 0.895 y s2 =0.549 j 0.895, reemplazando en (22), queda

H (s) =1

(s + 0 .549 + j 0.895)(s + 0 .549 j 0.895)=

1s2 + 1 .098s + 1 .1024

=1

1.10240.907s2 + 0 .995s + 1

De esta forma es posible obtener la Tabla III.

TABLE IIIPolinomios de Chebyshev.

n Polinomios de Chebyshev (1 dB)2 0.907s2 + 0 .995s + 14 (1.0137s2 + 0 .2829s + 1) 3.5792s2 + 2 .4114s + 16 1.0094s2 + 0 .1256s + 11.7731s2 + 0 .6093s + 18.0192s2 + 3 .7209s + 1

V. Implementacin de FiltrosLa implementacin de los ltros requiere de un circuitoactivo que permite la construccin en forma prctica duna funcin de transferencia. A partir de (4), (5), (6) (7), se obtienen las funciones de 2o orden pasabajos (38),pasaaltos (39), pasabandas (40) y rechazabandas (41).

H (s) =G2c

s2 + cQ s + 2c(38)

H (s) =Gs 2

s2 + cQ s + 2c(39)

H (s) =G oQ s

s2 + oQ s + 2o(40)

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6

H (s) =G s2 + 2os2 + oQ s + 2o (41)

Donde G representa la ganancia del ltro, Q, factor decalidad yc la frecuencia de corte inferior o superior yorepresenta la frecuencia central.

A. Implementacin con Ampli cadores Operacionales

Las funciones de transferencia de 2o orden se implemen-tan con Ampli cadores Operacionales, Resistores y Capac-itores, como lo indica Hilburn y Johnson (1975), Sedra ySmith (1998). Existen dos circuitos clsicos, el VCVS oSallen-Key (SK) y el deMltiple Realimentacin (MFB),tambin llamadaRauch (Dede y Espi, 1983).

A.1 Circuitos PasabajosLa Fig. 12 muestra los circuitos SK y MFB, donde (42)

y (43) representan las funciones de transferencia.

_

+R R

C

RBR A

C vo

vi1 2

1

2

_

+

R1 R

C

C

1

2

R

2vi

vo

(a)

(b)

Fig. 12. (a) Pasabajos SK. (b) Pasabajos MFB.

Para el ltro SK se tiene

H (s) = R BR A + 1 1R 1 R 2 C 1 C 2s2 + n1C 1 1R 1 + 1R 2 1R 2 C 2 R BR A os + 1R 1 R 2 C 1 C 2(42)

DondeG = R BR A +1 , 2c = 1R 1 R 2 C 1 C 2 . Luego, para el ltro

MFB, la funcin de transferencia ser

H (s) = RR 1 1RR 2 C 1 C 2s2 + n1C 1 1R + 1R 1 + 1R 2 os + 1RR 2 C 1 C 2

(43)

DondeG = RR 1 y 2c = 1RR 2 C 1 C 2 . Note que la clula MFB

tiene un desfase de 180o .

A.2 Circuitos PasaaltosLas estructuras SK y MFB se muestran en la Fig. 13,

donde las funciones sern (44) y (45) respetivamente.

(a)

(b)

_

+

R

R

C C

RBRA

vivo

1

1

2

2

_

+R

C C

1

R

C 3

21 2

v ivo

Fig. 13. (a) Pasa alto SK. (b) Pasa alto MFB.

H (s) = R BR A + 1s2s2 + n1R 1 1C 1 + 1C 2 1R 2 C 2 R BR A os + 1R 1 R 2 C 1 C 2(44)

DondeG = R BR A + 1 , 2c = 1R 1 R 2 C 1 C 2 .

H (s) = C 1C 3 s

2

s2 + C 1 + C 2 + C 3C 2 C 3 R 2 s +1

R 1 R 2 C 2 C 3

(45)

DondeG = C 1C 3 , 2c = 1R 1 R 2 C 2 C 3 .

A.3 Circuitos Pasabandas

Las versiones SK y MFB se muestran en la Fig. 14 yfuncin de transferencia SK est dada por (46) y la MFpor (47).

(a)

(b)

_

+R

R

C

RBR A

C vo

vi1

2

R3

_

+

R1R

C

C

3

Rvo

vi2

Fig. 14. (a) Pasabanda SK. (b) Pasabanda MFB.

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FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO

H (s) = R BR A + 1 1R 1 C n1C 1R 1 + 2R 2 1R 3 R BR A oss2 + n1C 1R 1 + 2R 2 1R 3 R BR A os + 1R 2 C 2 1R 1 + 1R 3 (46)

Donde G = R BR A + 1, B = 1C 1R 1 + 2R 2 1R 3 R BR A y2o = 1R 2 C 2 1R 1 + 1R 3 . Para el ltro MFB se tiene

H (s) = R 32R 1 2R 3 C ss2 + 2R 3 C s +

1R 3 C 2 1R 1 + 1R 2

(47)

DondeG = R 32R 1 , B = 2R 3 C y 2o = 1R 3 C 2 1R 1 + 1R 2 .A.4 Circuitos Rechaza Banda

La Fig. 15 corresponde a un VCVS rechaza banda conganancia unitaria, dondeR3 = R1 || R2 .

_

+

R

R

C C vi

vo

3

2R1

2C

Fig. 15. Filtro Rechaza Banda.

Luego su funcin de transferencia ser

H (s) = s2 + 1R 1 R 2 C 2 s

2

+2

R 2 C s +1

R 1 R 2 C 2

(48)

Donde,G = 1 y 2o = 1R 1 R 2 C 2 . La Fig.16 es una modi -cacin paraG 6= 1 , de altoQ.

_

+

R/2

R

C C vi

voR

2C

_

+

R

R

R21R

Fig. 16. Filtro Rechaza Banda de AltoQ .

H (s) = R 2R + 1R 1R + 1s2 + 1R 2 C 2 s2 + 2RC 1 R 1R s + 1R 2 C 2(49)

Para esta situacinG = R 2R + 1R 1R + 1y 2o = 1R 2 C 2VI. Diseo Simple de Filtros Activos

Si los requerimientos no son tan exigentes es posible imple-mentar los ltros de 2o orden usando clulas SK y MFB.para lo cual se prescinde de las tablas.

A. Pasabajo y Pasaalto

El ltro equal component , pasabajo o pasaalto, usadopor Jung (1974) sugiere tomar la celda SK paraR1 = R2 =R y C 1 = C 2 = C , as la funcin dada en (42) queda

H (s) = R BR A + 1 1R 2 C 2s2 +

2RC

1RC

R BR A s +

1R 2 C 2

(50)

Luego se desprende que

c =1

RC (51)

G = RBRA + 1 (52)Finalmente, parac , G, C, R B dados se determinaR

y RA . Esta situacin es vlida para el tro pasaalto SK,considerando la igualacin de componentes.

B. Filtros Pasabanda

Usando el ltro pasabanda MFB de la Fig.14b, con-siderando unQ bajo que satisfaga los requerimientos dganancia, ancho de banda y frecuencia central, determnando de (47) las expresioneso = 1C r 1R 3 1R 1 + 1R 2 ,G = R 32R 1 y

oQ =

2R 3 C , se tiene que

R1 =R32G

=Q

o GC (53)

R3 = 2Qo C (54)

FinalmenteR2 =

Qo C (2Q2 G)

(55)

Considerando que se debe cumplir

Q > G2 12

(56)

DadosG, C , Q y o el diseo queda concluido.

C. Filtro Rechaza Banda Para el diseo de ltros rechazabanda puede utilizarse

la con guracinNotch , con la red doble-T.de frecuenciacentral o = 1RC y ganancia unitaria.

VII. Mtodo Propuesto por Steven W. Smith

Smith (1997), propone una tabla con los coe cientes deButterworth y Chebyshev junto con circuitos SKequal com-ponent , de ganancia distinta de uno. Se disean los mdulos de segundo orden por separado y se conectan en cascapara obtener ltros de orden superior.

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8/11

8

_

+vov

iR R

2C

C C

R 2

Fig. 17. Filtro Rechaza Banda.

A. Obteniendo las ecuaciones de diseo

Sea la funcinH (s) pasabajosequal component dada en(42), modi cada de acuerdo a (57)

V oV i

= R BR A + 1R2C 2s2 + RC 2 R BR A s + 1

(57)

La tabla para el diseo de ltros se obtiene haciendo

b2 = R2C 2 (58)

b1 = RC 2 RBRA (59)bo = 1 (60)

Sea el polinomio den = 2 , s2 + 2s + 1, igualando loscoe cientes1 = R2C 2 (61)

2 = RC 2 RBRA (62)Como

c =1

RC (63)

Se obtieneRBRA

= 0 .586 (64)

R =1

2f c C =

0.1592f c C

(65)

Para el polinomio den = 4 , en su forma factorizada,

s2 + 0 .7653s + 1s2 + 1 .8477s + 1, cada factor repre-sentar una etapa, as, para la etapa 1 se tiene1.8477 = RC 2 RBRA (66)

RBRA

= 0 .1523 (67)

Para la etapa 2

0.7653 = RC 2 RBRA (68)RBRA

= 1 .2347 (69)

Se mantiene la misma relacin entreR y C dada en (65).Los clculos se repiten para orden 6 y 8. Finalmente, lecuaciones para el diseo, dadosRA , C y f c son

RB = k2RA (70)

R =k1

f c C (71)

TABLE IVCoeficientes para Filtros de Butterworth y Chebyshev (6%

ripple).

Butterworth Chebyshev (6%)# polos k1 k2 k1 k22 etapa 1 0.159 0.586 0.1293 0.842

4 etapa 1 0.159 0.152 0.2666 0.582etapa 2 0.159 1.235 0.1544 1.660

6 etapa 1 0.159 0.068 0.4019 0.537etapa 2 0.159 0.586 0.2072 1.448etapa 3 0.159 1.483 0.1574 1.846

8 etapa 1 0.159 0.038 0.5359 0.522etapa 2 0.159 0.337 0.2657 1.379etapa 3 0.159 0.889 0.1848 1.711etapa 4 0.159 1.610 0.1582 1.913

B. Procedimiento de DiseoDadosRA , C y f c , se tiene: Se determina el orden del ltro n Se escogen de la tabla IV los coe cientesk1 y k2 Con cadaki se calculan losRB y R usando (70) y (71)

VIII. Mtodo propuesto por Savant y RodenSavant (1992) usa circuitos SK de 2o orden (pasa bajosy pasa altos) con ganancia unitaria, frecuencia de corte1[r/s ] y R1 = R2 = R = 1 [ ] , para el ltro pasabajos(C = C 1 = C 2 = 1 [F ], para el ltro pasaalto). Adems,una tabla con coe cientes C i /C o R i /R , asociados a lasrespuestasButterworth y Chebyshev .

A. Determinacin del orden del ltro

Sea la ventana de diseo de la Fig. 8, se propone el ude P B , SB , AP B y ASB , para ltros Butterworth

nB =log( 1

2)

log( f P Bf SB )(72)

donde 1 = 100.1A P B 1 y 2 = 100 .1A SB 1 .DondenB es el orden del ltro a disear.Para ltros deChebyshev se tiene

nC =log(2 1

2)

q 2( f P Bf SB 1)(73)

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FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO

Donden C , es el orden del ltro.

B. Determinacin de tablas

B.1 Coe cientes de para ltros ButterworthSea la funcin de transferencia SK de (42) conR = 1 [ ]

H (s) =1

12 C 1 C 2

s2 + 21C 1 s +1

12 C 1 C 2

= 1C 1C 2s2 + 2 C 2 s + 1

(74)

Para n = 2 , s2 + 2s + 1, igualando coe cientesb2 = 1 = C 1 C 2 (75)

b1 = 2 = 2 C 2 (76)De esta forma,

C 2 =

b12 (77)

C 1 =b2C 2

(78)

As C 1 = 1 .4142 y C 2 = 0 .7071.Para n = 4 , se tiene

s2 + 0 .7653s + 1s2 + 1 .8477s + 1, se calcularn dospares de coe cientes, para el primer y segundo polinomio.As se tiene queC 2 = 0.76532 = 2 .613 y C 1 = 1C 2 = 0 .382,luego C 2 = 1.84772 = 1 .082 y C 1 = 1C 2 = 0 .924. Con-siderando el polinomio de orden 6 y 8 se puede construirla tabla V.

TABLE VCoeficientes para Filtros de Butterworth.

Butterworth# polos C 1 = C o R1 = R C 2 = C o R2 = R2 etapa 1 1.414 0.7071

4 etapa 1 1.082 0.9241etapa 2 2.613 0.3825

6 etapa 1 1.035 0.9660etapa 2 1.414 0.7071etapa 3 3.863 0.288

8 etapa 1 1.020 0.9809etapa 2 1.202 0.8313etapa 3 1.800 0.5557etapa 4 5.125 0.1950

Si la funcin es pasaalto, los coe cientes sern idnticos,esto tomandoC = C 1 = C 2 = 1[F ]. Para esta situacin,los coe cientes sonR i /R .

TABLE VICoeficientes para Filtros de Chebyshev 1 dB.

Chebyshev (1dB)# polos C 1 = C o R1 = R C 2 = C o R2 = R2 etapa 1 2.218 0.6061

4 etapa 1 3.125 1.269etapa 2 7.546 0.1489

6 etapa 1 4.410 1.904etapa 2 6.024 0.3117etapa 3 16.46 0.06425

C. Ecuaciones de DiseoDado el ordenn , se obtienen los coe cientes C 1 /C y

C 2 /C respectivos. Como la Tabla V esta construida parfrecuencia1 [r/s ] y R = 1 [ ] , entonces parac 6= 1 [ r/s ]y R 6= 1 [ ], se debe escalar la frecuencia. As se has = c p, se reemplaza en (42) y se igualan coe cientes,luego

b2 = R22c C 1C 2 (79)

b1 = 2 R c C 2 (80)entonces

C 2 =b12

1R c

(81)

C 1 =b2C 2

1R22c =

2b2b1

1R c (82)

Para el polinomio deButterworth de n = 2 , se tieneC 1 = 1 .414 1R c y C 2 = 0 .707

1R c . Lo mismo ocurrir para

n = 4 , se mantienen los coe cientes de la Tabla V, peroaparece un factor en funcin deR y c . Finalmente, loscapacitores paraf c 6= 0 y R 6= 1 [ ] estarn dados por

C n = C i1

R c= C i

12f c R

(83)

D. Procedimiento de DiseoPara una frecuencia de corte dadaf c y un R 6= 1 [ ]: Se determina el orden del ltro n Se escogen de la tabla los coe cientesC i /C o R i /R Con cada coe ciente se calculaC n o Rn usando (83)

IX. Diseo propuesto por Dede y EspiEl mtodo propuesto por Dede y Espi (1983) usa una tabde datos asociada a la respuesta del ltro y un circuitobsico. Usando los polinomios deButterworth de orden par(2 a 6) en su forma factorizada, considerando el polinomde la formab2s2 + b1s + bo , se elabora la Tabla VII. Cadapar de coe cientes representa una etapa de 2o orden. Loscoe cientes del ltro Chebyshev de la tabla III conripple de 1 dB, se usan para la construccin de la Tabla VIII.

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TABLE VIICoeficientes de Butterworth.

n Celula 1 Celula 2 Celula 3b1 b2 b1 b2 b1 b2

2 1.4142 14 0.7654 1 1.8478 1

6 0.5176 1 1.4142 1 1.9319 1

TABLE VIIICoeficientes de Chebyshev 1 dB.

n Celula 1 Celula 2 Celula 3b1 b2 b1 b2 b1 b2

2 0.9957 0.90704 0.2829 1.0137 2.4114 3.57926 0.1256 1.0094 0.6093 1.7731 3.7209 8.0192

A. Diseo de Filtros Pasabajos Se usar un circuito SK deG = 1 en la banda de paso o

el MFB (Rauch), para ganancias mayores que la unidad.

A.1 Usando Circuitos SKSea la clula SK de la Fig. 12a, haciendoR1 = R2 = R

y RA = y RB = 0 en (42), se obtieneH (s) =

1R2 C 1C 2s2 + 2 RC 2s + 1

(84)

A.1.a Obtencin de la ecuaciones de diseo. Para deter-minar las ecuaciones se debe reescalar paras =

c p

H (s) =1

R2 C 1C 2(c p)2 + 2 RC 2(c p) + 1(85)

Ajustando de acuerdo al polinomiob2s2 + b1s + bo

b2 = R2C 1C 22c (86)

b1 = 2 RC 2c (87)Para R dado se determinan los valores paraC 1 y C 2.

C 1 =b2

b1Rf c(88)

C 2 = b14Rf c (89)

A.1.b Procedimiento de diseo. Para una frecuenciaf c(Hertz) dada, para un ltro de ganancia unitaria:

Determinar el tipo de ltro (Butterworth o Cheby-shev)

Determinar el orden del ltro (n). Obtener b1 y b2 de las Tablas VII y VIII. ElegirR y evaluar las ecuaciones (88) y (89)Si C 1 y C 2 son pequeas, se haceR, diez veces ms

pequeo. El criterio de eleccin paraR considera la TablaIX para frecuencias prximas af c .

TABLE IXValores de R y C para rangos de frecuencia.

f c R C 100[Hz ] 100 [K ] 100 [nF ]1 [KH z ] 10 [K ] 10 [nF ]10 [KH z ] 1 [K ] 1 [nF ]

A.2 Usando Circuitos RauchSea la clula Rauch de la Fig. 12b, la funcin de trans-

ferencia dada en (43).

H (s) = R

R 1

RR 2C 1C 2s2 + RR 2C 1C 2 n1C 1 1R + 1R 1 + 1R 2 os + 1(90)A.2.a Obtencin de las ecuaciones de diseo. Reesclando (90), haciendos = c p

H (s) = R

R 1

RR 2C 1C 2 (c p)2 + RR 2C 2 1R + 1R 1 + 1R 2 c p + 1(91)

De aqu se desprende que la ganancia

G =RR1

(92)

Ajustando respecto del polinomio de segundo orden, tiene

b2 = RR 2C 1C 2 2c (93)

b1 = RR 2C 2 1R + 1R1 + 1R2 c (94)R = GR 1 (95)

Luego, de (93), (94) y (95) se llega

C 1 =b2

c b1GR 1 (1 + G) + GR 1 1R2 (96)C 2 =

b1

c GR 1 {R2 (1 + G) + GR 1}

(97)

ConsiderandoR2 =

R1G10(1 + G)

(98)

Entonces

C 1 =1.7507b2f c b1R1

(G + 1)G

(99)

C 2 =0.14468b1

f c R1G(100)

Ahora paraR1 y G dados, el diseo est completo.

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FILTROS ACTIVOS, CONCEPTOS BSICOS Y DISEO 1

A.2.b Procedimiento de diseo usando clulas Rauch.Para ganancia distinta de 1, sea staA y n es el orden del ltro, se calcula la ganancia de cada clulaG de modo quela ganancia totalGn = A. Luego para una frecuencia decorte f c , se eligeR1 de acuerdo usando la Tabla IX:

Determinar el tipo de ltro (Butterworth o Cheby-shev)

Determinar el orden del ltro (n). Obtener b1 y b2 de las Tablas VII y VIII. ElegirR1 y evaluar (95), (98), (99) y (100)

B. Diseo de Filtros Pasa Alto

B.1 Usando Circuitos SKSea la funcin de transferencia conG = 1 (44) cuya Fig

13a, haciendoC 1 = C 2 = C, se evalua

R1 =b1

4b2f c C (101)

R2 =1

b1f c C (102)

C se elige de acuerdo a la tabla IX

B.2 Usando Circuitos RauchEn forma anloga al ltros pasabajos, sea el circuito de

la Fig. 13b, luego

C 1 =C G

(103)

C 2 =10 (G + 1) C

G(104)

R1 = Gb122b2Cf c (105)

R2 =G

5.712b1Cf c(106)

Para G, C y f c dados el diseo est completo.

C. Diseo de Filtros Pasa Banda y Rechaza Banda

C.1 Pasa BandaSe usa un circuitoresonador de banda angosta, con

ganancia G en la banda de paso, unQ > 5 y f o dado.Utilizando (9) para el encontrarB .

R =1

2f o C (107)

R1 =1

f o C (108)

R2 =1

2CB(109)

R3 =1

2CBG(110)

Para un C conocido el diseo queda completo.

_

+

_

+

R2

R3

R1

R

R

R R

C

C

vo

vi

Fig. 18. Filtro pasabanda Resonador.

C.2 Rechaza BandaUsado el circuito de la Fig. 16, parao y G 6= 1 dado,

eligiendoR , el diseo queda completo.

C =1

2Rf o(111)

R1 = R2Q 1

2Q(112)

R2 = R 2Q (G 2) + 14Q 1 (113)X. Conclusiones

El diseo de ltros activos bsicamente se traduce enespeci car adecuadamente la respuesta deseada, posterior

mente en elegir la funcin aproximacin que satisface requerimientos y nalmente elegir el circuito activo quepermita en la forma ms simple la implementacin de n-itiva. Existen distintos mtodos para la implementacidel ltro, sin embargo la eleccin del mtodo depender la precisin del ltro.

References[1] Savant, C., Roden, M., Carpenter, G. 1992Diseo Electrnico

Circuitos y sistemas . Adisson-Wesley[2] Smith, S.W. 1997.The Scientist and Engineers Guide to Digital

Signal Processing .California Technical Publishing[3] Dede, E., Espi, J. .1983.Diseo de circuitos y sistemas Elec-

trnicos . Marcombo[4] Malik, R.1996.Circuitos Electrnicos. Anlisis, Diseo y Simu-

lacin . Prentice-Hall[5] Sedra, A. Smith, K.1998.Microelectronics Circuits . Oxford Press