ESPECIALIZACIÓN EN PEDAGOGÍA

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS

DOBLES Y MEDIOS

OSCAR EDUARDO ARIAS BONILLA

ETICA II

ESPECIALIZACIÓN EN PEDAGOGÍA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

ESPECIALIZACIÓN EN PEDAGOGÍA

• Seno del ángulo doble• Coseno del ángulo doble• Tangente del ángulo doble• Seno del ángulo medio• Coseno del ángulo medio • Tangente del ángulo medio

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS

DOBLES Y MEDIOS

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x+ x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente).

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SENO DEL ÁNGULO DOBLE

Para cualquier Angulo x:

Demostración:

sen2 x = sen(x + x)

sen2 x = senx cosx + cosx senx

sen2 x = 2 senx cos x

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COSENO DEL ÁNGULO DOBLE

• Para cualquier Angulo x:

• Demostración:

cos2x = cos(x + x)

cos2x = cosx cosx –sen x senx

cos2x = cos2

x -sen2 x

cos2x = cos2

x -(1 -cos2

x)

cos2x = cos2

x -1 + cos2

x)

cos2x = 2 cos2

x - 1

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TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE

Para cualquier Angulo x:

Demostración:

tan 2 x = tan (x + x)

tan x + tan x

1 –tan x tan x

2 tan x

1 –tan 2 x

tan 2 x =

tan 2 x =

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SENO DEL ÁNGULO MEDIO

2

a cos21

2

xsen

2

a)2

sen - a 2

(cos1

2

xsen

2

a2

sen a 2

cos1

2

xsen

2

a2

sen a 2

2

xsen

sen

Para cualquier Angulo x:

Demostración:

Sustituyendo x = 2ª en el segundo

miembro:

Sustituyendo cos2 a por

2cos2a –1:

Eliminando los signos de

agrupación:

Aplicando la identidad pitagórica:

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SENO DEL ÁNGULO MEDIO

2

a2sen 2

2

xsen

asen 2

xsen

asen2

2

xsen

22

xsen

xsen

Sumando términos semejantes:

Simplificando el 2:

Calculando la raíz cuadrada:

Como a = x / 2, se obtiene:

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COSENO DEL ÁNGULO MEDIO

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TANGENTE DEL ÁNGULO MEDIO