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MB0003 _M2AA2L1_Identidades Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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Identidades y Ecuaciones Trigonométricas
por Oliverio Ramírez Juárez
En la actividad de aprendizaje anterior, se definieron las funciones trigonométricas como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y se mencionó, por ejemplo, que el seno y la cosecante son funciones recíprocas, esto es:
sen(x) =1
csc(x)o sen(x) csc(x) = 1
cos(x) =1
sec(x)o cos(x)sec(x) = 1
tan(x) =1
cot(x)o tan(x) cot(x) = 1
Tabla 1. Identidades y ecuaciones Trigonométricas En esta actividad de aprendizaje, se profundizará el estudio de dos tipos de ecuaciones que implican funciones trigonométricas: ecuaciones idénticas y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones trigonométricas son aquellas ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y se denominan, de acuerdo con Ayres y Moyer (1991, p. 181): Ecuaciones idénticas o identidades, si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidas. Ecuaciones condicionales, o ecuaciones, si se satisfacen solamente con valores particulares de los ángulos desconocidos. Las identidades son utilizadas generalmente para simplificar expresiones, o para hacer comprobaciones en expresiones más complejas, y las ecuaciones nos permiten encontrar ángulos desconocidos en diferentes aplicaciones. Existen identidades que han sido comprobadas y que son utilizadas para comprobar otras identidades más complejas. En la siguiente tabla se muestran las identidades trigonométricas más utilizadas.
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Identidades trigonométricas básicas.
Recíprocas
1cottan1seccos1csc
=
=
=
AAAAAsenA
De razón
senAAA
AsenAA
coscot
costan
=
=
Pitagóricas
1cotcsc1tansec1cos
22
22
22
=−
=−
=+
AAAAAAsen
Tabla 2. Identidades trigonométricas más usadas.
Otras identidades
Ángulo doble
AAA
AsenAAAsenAAsen
2
22
tan1tan22tan
cos2coscos22
−=
−=
=
Ángulo mitad
AAA
AA
AAsen
cos1cos1
2tan
2cos1
2cos
2cos1
2
+−
±=
+±=
−±=
Suma de dos ángulos
( )( )
( )BABABA
senAsenBBABAAsenBBsenABAsen
tantan1tantantan
coscoscoscoscos
−+
=+
−=+
+=+
Diferencia de dos ángulos
( )( )
( )BABABA
senAsenBBABAAsenBBsenABAsen
tantan1tantantan
coscoscoscoscos
+−
=−
+=−
−=−
Productos de senos y cosenos ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]BABAsenAsenB
BABABA
BAsenBAsenAsenB
BAsenBAsenBsenA
−−+−=
−++=
−−+=
−++=
coscos21
coscos21coscos
21cos
21cos
Suma y diferencia de senos y cosenos ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )BAsenBAsenBA
BABABA
BAsenBAsenBsenA
BABAsensenBsenA
−+−=−
−+=+
−+=−
−+=+
21
212coscos
21cos
21cos2coscos
21
21cos2
21cos
212
Tabla 3. Otras identidades.
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Método para comprobar Identidades de un solo ángulo Observa la siguiente expresión:
AAA cotcsccos = Es una identidad trigonométrica, debido a que es verdadera para cualquier valor de un ángulo. Para comprobar puedes sustituir el valor de un ángulo cualquiera. Por ejemplo: si °= 60A y lo sustituyes en la identidad trigonométrica AAA cotcsccos =
°=°° 60cot60csc60cos Como:
2160cos =°
, 3260csc =°
y 3160cot =°
Al sustituir valores:
°=°° 60cot60csc60cos
31
32
21
=
Simplificando el lado izquierdo de la ecuación, comprobamos que es la misma cantidad en ambos lados
de la ecuación: 31
31
=
Simplificación de Identidades Para poder simplificar una identidad trigonométrica, se hace uso de las identidades mencionadas en la tabla anterior, y en algunas ocasiones, de las operaciones algebraicas como son: suma, resta, multiplicación, división y factorización. Observa cómo se puede comprobar la identidad anterior:
AAA cotcsccos =
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Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación, y demuestra que el producto de las dos funciones es igual a la cotangente.
AAA cotcsccos =
De la identidad reciproca: 1csc =AsenA
Despeja la cosecante: senAA 1csc =
Y la sustituyes en el lado izquierdo de la ecuación:
=senA
AAA 1coscsccos
Efectuando la multiplicación:
senAAAA coscsccos =
Si observas la identidad de razón: senAAA coscot =
Puedes comprobar que:
AsenAAAA cotcoscsccos ==
Como puedes darte cuenta, utilizando las identidades trigonométricas básicas, puedes comprobar que al multiplicar el coseno de un ángulo por la cosecante del mismo ángulo, es lo mismo calcular solamente el ángulo de la cotangente.
Ecuaciones utilizando Identidades Trigonométricas Ahora observa la siguiente expresión:
3csccos =AA
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En este caso se trata de una ecuación trigonométrica, ya que debes encontrar un valor para el ángulo A que cumpla con la igualdad anterior. Observa cómo encontrar este valor: Comienza por simplificar la expresión, recuerda que acabas de comprobar en el ejercicio anterior que:
AAA cotcsccos =
Por lo tanto, se puede decir que:
3csccos =AA es lo mismo que 3cot =A Como la calculadora no solamente puede calcular los valores de asen A, acos A y atan A, es necesario sustituir la función cotangente con otra identidad, para ello, utilizamos:
1cottan =AA
Despejando: AA
tan1cot =
Sustituyendo en: 3cot =A
3
tan1
=A
Despejando nuevamente:
Atan31
=
Reacomodando: 31tan =A
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Para calcular el valor del ángulo A , utiliza la calculadora y la función atan:
°=
= 30
31tanaA
, Recuerda que el valor obtenido en la calculadora es el valor del ángulo que se encuentra en el primer cuadrante, ya que el valor de la tangente es positiva, sin embargo, también es positiva en el tercer cuadrante, por lo que el ángulo A también puede ser °=°+°= 21030180A Por lo tanto, los ángulos para los cuales la ecuación 3csccos =AA es verdadera, son:
°°= 21030 yA
Comprobación de Identidades Trigonométricas Anteriormente mencionamos que para comprobar una identidad trigonométrica, además de utilizar las identidades trigonométricas, es necesario utilizar algunos procedimientos algebraicos. A continuación se muestran algunos ejemplos:
1. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:
AAAsen
senAA csc
cos22cos
=+
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Solución Sustituyendo el seno y el coseno, del ángulo doble, en el lado izquierdo de la identidad:
AsenAA
AsenAAsen22cos2cos
cos22
−=
=
AAAsenA
senAAsenA csc
coscos2cos 22
=+−
Sustituyendo A2cos por la identidad pitagórica despejada AsenA 22 1cos −=
AAsenA
senAAsenAsen
AAsenA
senAAsenA
coscos21
coscos2cos 2222
+−−
=+−
Simplificando:
AAsenA
senAAsen
AAsenA
senAAsenA
coscos221
coscos2cos 222
+−
=+−
Separando términos:
AAsenA
senAAsen
senAAAsenA
senAAsenA
coscos221
coscos2cos 222
+−=+−
Simplificando:
SenAsenA
senAAAsenA
senAAsenA 221
coscos2cos 22
+−=+−
Sumando términos semejantes, se simplifica como:
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senAAAsenA
senAAsenA 1
coscos2cos 22
=+−
Sustituyendo la identidad recíproca senAA 1csc =
queda comprobada la identidad:
A
AAsenA
senAAsenA csc
coscos2cos 22
=+−
2. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:
BsenABABA 22cos)cos()cos( −=−+ Solución: Sustituyendo las identidades ( ) senAsenBBABA −=+ coscoscos ( ) senAsenBBABA +=− coscoscos
( )( ) BsenAsenAsenBBAsenAsenBBA 22coscoscoscoscos −=+− Resolviendo por binomios conjugados:
( )( ) BAsensenBAsenAsenBBAsenAsenBBA 2222 coscoscoscoscoscos −=+−
Sustituyendo de la identidad pitagórica:
BsenB 22 1cos −= AAsen 22 cos1−=
( ) ( )ABsenBsenABAsensenBA 22222222 cos11coscoscos −−−=−
Multiplicando:
( ) ( ) ABsenBsenABsenAABsenBsenA 2222222222 coscoscoscos11cos +−−=−−−
Simplificando:
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( ) ( ) BsenAABsenBsenA 222222 coscos11cos −=−−− Queda comprobado que:
( )( ) BsenAsenAsenBBAsenAsenBBA 22coscoscoscoscos −=+−
Aplicaciones de las Identidades Trigonométricas Las identidades trigonométricas pueden ayudar a hacer transformaciones de fórmulas ya establecidas, a partir de otras. Por ejemplo: La fórmula para encontrar el área de cualquier triángulo establecida por Harón de Alejandría, se puede obtener con la fórmula de área establecida, a partir de la ley de cosenos. ¿Quieres ver cómo? La fórmula para obtener el área de cualquier triángulo, a partir de la ley de cosenos, es la siguiente:
αbcsenA21
=
Si esta ecuación la elevas en ambos lados al cuadrado, quedaría de la siguiente forma:
α2222
41 sencbA =
Si sustituyes la identidad pitagórica AAsen 22 cos1−=
( )α2222 cos141
−= cbA
Observa que la identidad es una diferencia de cuadrados que se puede separar:
( ) ( ) ( )ααα cos121cos1
21cos1
41 2222 −⋅+=−= bcbccbA
Si de la ley de cosenos:
αcos2222 bccba −+=
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Sustituyes: bcacb
2cos
222 −+=α
( ) ( )
−+−⋅
−++=−⋅+
bcacbbc
bcacbbcbcbc
21
21
21
21cos1
21cos1
21 222222
αα
Realizando operaciones:
+−−⋅
−++=
−+−⋅
−++
bcacbbcbc
bcacbbcbc
bcacbbc
bcacbbc
22
21
22
21
21
21
21
21 222222222222
Simplificando:
Reacomodando:
+−−⋅
−++4
24
2 222222 acbbcacbbc
−+−⋅
−++=
42
42 222222 cbcbaacbcb
Factorizando:
( ) ( )
−−⋅
−+=
−+−⋅
−++444
24
2 2222222222 cbaacbcbcbaacbcb
Separando por diferencia de cuadrados:
( ) ( )
−+
+−
−+
++=
+−⋅
−+222244
2222 cbacbaacbacbcbaacb
Si se dice que el semiperímetro es la suma de todos los lados del triángulo entre dos, es decir:
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2cbas ++
=
Entonces puedes establecer las siguientes expresiones:
222cbacsycbabsacbas −+
=−+−
=−−+
=−
Si regresas a la expresión inicial y sustituyes las expresiones anteriores, tienes:
( )( )( )csbsasssencbA −−−== α2222
41
Es decir, el área de cualquier triángulo puede ser expresada como sigue:
( )( )( )csbsassA −−−=
Donde el semiperímetro está representado por: 2cbas ++
=
A la expresión anterior se le denomina Fórmula de Harón y permite conocer el área de cualquier triángulo, si conoces la longitud de sus lados. Como puedes darte cuenta, las identidades trigonométricas, así como las operaciones algebraicas, son herramientas que nos permiten hacer expresiones equivalentes, las cuales pueden ser de gran ayuda cuando sólo tenemos ciertos datos. Las ecuaciones trigonométricas permiten encontrar los valores de los ángulos, que hacen verdadera una expresión. Observa algunos ejemplos, donde además se hace el uso de las identidades trigonométricas.
3. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen:
12cos3 =− AsenA
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Solución: En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:
AsenAA 22cos2cos −=
( ) 1cos3 22 =−− AsenAsenA Quitando paréntesis:
1cos3 22 =+− AsenAsenA Ahora tienes una expresión con senos y cosenos, por lo que es conveniente dejarla en función de una, sólo una de ellas, en este caso la dejaremos en función del seno sustituyendo la identidad pitagórica:
AsenA 22 1cos −= Sustituyendo:
( ) 113 22 =+−− AsenAsensenA
113 22 =++− AsenAsensenA Reacomodando:
0232 2 =−+ senAAsen Observa que en este caso se forma una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver utilizando la ecuación para resolver ecuaciones cuadráticas:
aacbbsenA
242 −±−
= donde: 23,2 −=== cyba
Sustituyendo:
453
41693
)2(2)2)(2(493 ±−
=+±−
=−−±−
=senA
21
453=
+−=senA
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248
453
−=−
=−−
=senA *El seno de un ángulo no puede ser mayor a 1, por lo tanto, este valor no
está permitido. Por lo tanto, los valores de los ángulos en los que:
21
=senA
Por lo tanto:
°=
= 3021asenA
Como el seno es positivo únicamente en el primer y segundo cuadrante, los valores de los ángulos son:
°=°= 15030 AyA
4. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen:
0tan2tan =+ AA
Solución: En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:
AAA 2tan1
tan22tan−
=
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Queda como:
0tantan1tan2
2 =+−
AAA
En este caso se puede factorizar: Atan
01tan12tan 2 =
+− A
A
Igualando a cero los dos factores, tienes:
0tan =A
01tan12
2 =
+− A
Para el primer factor:
°== 0)0tan(aA , la tangente es cero en °=°= 1800 AyA
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Para el segundo factor:
01tan12
2 =+− A
Se realiza la operación:
0tan1tan122
2
=−−+
AA
( )AA 22 tan10tan12 −=−+
3tan2 =A
3tan ±=A
Para 3tan =A
°== 603tanaA la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante por lo tanto:
°=°= 24060 AyA
Para 3tan −=A
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la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto:
°=°= 300120 AyA Por lo tanto, las soluciones a la ecuación 0tan2tan =+ AA son:
°===°=°=°= 300,240,180,120,60,0 AyAAAAA Problemas de aplicación En algunas ocasiones es necesario resolver una ecuación trigonométrica para resolver algún problema en específico, y a pesar de que la ecuación pueda tener varias soluciones, se debe escoger la que sea más congruente con el problema. Analiza el siguiente problema: Se ha demostrado que la altura de una montaña se puede calcular mediante la siguiente ecuación:
BsenAsensenBsenAdh
22 −
⋅⋅=
donde ByA son los ángulos de elevación de dos observadores separados a una distancia d
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Figura 1 Si se quiere iluminar la parte más alta de una montaña de 4.688 millas y se colocan dos reflectores, uno con un ángulo de elevación de 20° ¿Qué ángulo de elevación debe tener el otro reflector, si se encuentran separados a una distancia de 10 millas? Solución:
De la ecuación: BsenAsensenBsenAdh
22 −
⋅⋅=
Conoces:
a. La distancia de separación millasd 10=
b. La altura de la montaña millash 688.4=
c. El ángulo de elevación del reflector 2 °= 20B Sustituyendo los valores en la ecuación:
=−
⋅⋅=
BsenAsensenBsenAdh
22
A
h=4.688 mi
d=10 mi B=20º
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)20(
)20()10(688.4
22 °−
⋅°⋅=
senAsen
senAsen
Haciendo operaciones:
1169.042.3688.42 −
⋅=
AsensenA
Despejando:
688.442.31169.02 senAAsen ⋅
=−
( )22 7295.01169.0 senAAsen =−
1169.05322.0 22 =− AsenAsen
1169.04677.0 2 =Asen
sen A =0.1169
0.4677=0.4999
Despejando el ángulo:
°≈°== 3099.29)2499.0(asenA A pesar de que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, para este problema el ángulo que tiene sentido es el de 30°, ya que el de 150° no apuntaría a la cima de la montaña. Como pudiste darte cuenta en esta lectura, el uso de las identidades trigonométricas generalmente se utiliza para hacer simplificaciones o transformaciones, y son muy utilizadas como estrategia para resolver, ya sea ecuaciones trigonométricas, o simplemente para encontrar una expresión equivalente, que nos permita hacer una operación más fácilmente. En cambio, las ecuaciones permiten encontrar los valores de los ángulos para los cuales se hace verdadera la ecuación.
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Referencias
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Pérez, M.A. (2007). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. [Versión electrónica]. Recuperado el 7 de marzo de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=4YOfMzU5bCUC&pg=PA209&dq=f%C3%B3rmula+de+her%C3%B3n+de+alejandr%C3%ADa&cd=3#v=onepage&q=f%C3%B3rmula%20de%20her%C3%B3n%20de%20alejandr%C3%ADa&f=false
Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false
Swokowski, E.; Swokowski, E. W.; Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 25 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=Eql‐YeKsO8EC&printsec=frontcover&dq=%C3%A1lgebra+con+trigonometr%C3%ADa+swokowski&cd=1#v=onepage&q=%C3%A1lgebra%20con%20trigonometr%C3%ADa%20swokowski&f=false