transformadas dobles

Ing. Fernando

Montesinos Andreses

CICLO 2013-I Módulo: II Unidad: 03 Semana: 06

MÉTODOS NUMÉRICOS Y

PROGRAMACIÓN DIGITAL

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=ecuaciones+diferencialesintegraci%C3%B3n+num%C3%A9rica+&source=images&cd=&cad=rja&docid=mieoYlLCMsdTQM&tbnid=1vPIN1J69aq4FM:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.zweigmedia.com%2FMundoReal%2FCalcsumm7.html&ei=ynkyUY7iHZLiqAGG34C4Cg&bvm=bv.43148975,d.dmQ&psig=AFQjCNGnKwNut0b83fFs817bfLv1MdQgZA&ust=1362348829437192

ORIENTACIONES

Para llegar a donde deseas necesitas una

meta, que tu meta sea pasar este curso con

un buen resultado, es decir que puedas

lograr aprender a aprender. Para llegar a

ello debes tener un plan, el cual debe

incluir los puntos siguientes:·

• Prepararse para la clase.

• Asistir a clase.

• Solicitar ayuda especial cuando la

necesites·

CONTENIDOS TEMÁTICOS

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

• Particularidades de la derivación numérica.

• Fórmulas elementales de la integración numérica.

• Fórmula de Newton-Cotes.

• Fórmulas compuestas de integración numérica.

Motivación

• Definición del diccionario de diferencias: marcar por diferencias,

distinguir, percibir la diferencia en o entre

• En el contexto de las matemáticas, LA DERIVADA que sirve

como vehículo fundamental para la diferenciación, representa la

razón de cambio de una variable dependiente con respecto a

una independiente

• La definición matemática de la derivada empieza con una

aproximación por diferencias

• Si se permite que Δx se aproxime a cero la diferencia se

convierte en una derivada

x

xfxxf

x

y ii

x

xfxxf

dx

dy ii

x

0lim

Motivación

• En cálculo el proceso inverso de la diferenciación es la

integración

• Definición del diccionario de integrar: llevar junto, como partes,

en un todo; unir; indicar la cantidad total

• Matemáticamente, la integración se representa por

integral de la función f(x) con respecto a la variable

independiente x, evaluada entre los límites a y b

• La integral es el valor total, o sumatoria de f(x)dx sobre el rango

x=a hasta b

• Para funciones que están por encima del eje x, la integral

corresponde al área bajo la curva de f(x) en a y b

b

a

dxxfI

Motivación

• La discriminación de la diferenciación y el llevar junto de la

integración se vinculan en forma estrecha con procesos que

están inversamente relacionados

• Por ejemplo, si se tiene una función dada y(t) que específica la

posición de un objeto como función del tiempo, la

diferenciación proporciona un medio para determinar su

velocidad,

• De manera inversa, si se tiene la velocidad como función del

tiempo, la integración se usará para determinar su posición

dt

tdytv

t

dttvty0

Motivación

• De esta manera, podemos generalizar que la evaluación de la

integral

es equivalente a resolver la ecuación diferencial

para una y(b) dada la condición inicial y(a) = 0

xfdx

dy

b

a

dxxfI

Métodos empleados antes de la era de las

computadoras

• La función que será diferenciada o integrada estará usualmente

en una de las siguientes tres formas:

1. Una función simple continua tal como un polinomio, una

exponencial, o trigonométrica

2. Una función continua complicada que es difícil o imposible de

diferenciar o integrar de manera directa

3. Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados

en un número de puntos discretos (datos experimentales)

• En los casos 2 y 3 se deben usar métodos aproximados


computadoras

Diferenciación gráfica por áreas desiguales

• Se tabulan los datos (x,y), para cada intervalo se calcula una

diferencia dividida simple Δy/Δx para estimar la pendiente

• Estos valores se grafican como una curva de paso contra x

• Luego, se dibuja una curva suave que intenta aproximar el área

bajo la curva de pasos, equilibrando las áreas negativas y

positivas

• Las derivadas para valores dados de x pueden leerse de la

curva


computadoras x Y Δy/Δx

0 0 66,7

3 200 50

6 350 40

9 470 30

15 650 23.3

18 720 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

10

20

30

40

50

60

70

x Δy/dx

0 76.5

3 57.5

6 45

9 36.25

15 25

18 21.5


computadoras

Integración gráfica

• Se gráfica la función sobre una cuadricula y se cuentan el

número de cuadros que aproximan el área

• En número de cuadros multiplicado por el área de los cuadros es

una aproximación del área bajo la curva

Barras

• Se divide el área en barras verticales, con una altura igual al

valor de la función en el punto medio de cada barra. La suma del

área de los rectángulos es una aproximación del área bajo la

curva

Diferenciación numérica

• De la expansión de la serie de Taylor hasta el término de primer

orden

• Se puede obtener la primera diferencia hacia delante

• Esta diferencia dividida hacia delante no es sino una de tantas que

se pueden desarrollar mediante serie de Taylor para la aproximación

de derivadas numéricas

111 ' Rxxxfxfxf iiiii

ii

ii

iii xxO

xx

xfxfxf

1

1

1'


Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás

• La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular

un valor anterior a partir de un valor actual

• Truncando la expansión después de la 1ra derivada y

ordenando

2

1!2

''' h

xfhxfxfxf i

iii

h

xfxfxf ii

i1'

f(b)

xi-1 xi


Aproximación a la primera derivada con diferencias centrales

• Una tercera forma de aproximar la 1ra derivada es restando la

expansión de serie de Taylor hacia atrás de la expansión hacia

delante para obtener

• Despejando

3

11!3

''''2 h

xfhxfxfxf i

iii

23

11

62' h

xf

h

xfxfxf iii

i

La diferencia central es la representación más

exacta de la derivada

f(b)

xi-1 xi


Aproximaciones por diferencias finitas de derivadas de orden

superior

• Escribiendo la expansión en serie de Taylor hacia delante para

f(xi+2) en términos de f(xi)

• La expansión en serie de Taylor hacia delante para f(xi+1) puede

multiplicarse por dos y restarse a esta ecuación para obtener

• Despejando

2

2 2!2

''2' h

xfhxfxfxf i

iii

hOh

xfxfxfxf iii

i

2

12''

2

12 ''2 hxfxfxfxf iiii

2da diferencia finita

hacia adelante


• 2da diferencia finita hacia atrás

• 2da diferencia finita central

hOh

xfxfxfxf iii

i

2

212''

2

2

11 2'' hO

h

xfxfxfxf iii

i

Métodos numéricos de integración

• fórmulas de Newton-Cotes

– Regla trapezoidal

– Regla 1/3 de Simpson

– Regla 3/8 de Simpson

• Cuadratura de Gauss

Fórmulas de Newton-Cotes

• Se basan en la estrategia de reemplazar una función

complicada o datos discretos con una función

aproximada que sea fácil de integrar

donde fn(x) es un polinomio de la forma

• La integral se puede también aproximar mediante

una serie de polinomios aplicada por pedazos a la

función o datos sobre segmentos de longitud

constante

b

a

n

b

a

dxxfdxxfI

n

n

n

nn xaxaxaxaaxf

1

1

2

210


• Se dispone de formas cerradas y abiertas de

fórmulas de Newton-Cotes

• FORMAS CERRADAS: son aquellas donde los

datos al inicio y al final de los limites de integración

son conocidos

• FORMAS ABIERTAS: tienen limites de integración

que se extienden más allá del rango de los datos

– No se usan por lo general para integración definida

– Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales

impropias y en la solución de ecuaciones

diferenciales ordinarias

Regla Trapezoidal

• Corresponde al caso donde el polinomio es de primer orden

• El área bajo esta línea recta es un estimado de la integral de f(x)

entre los limites a y b

• El resultado de la integración es

b

a

b

a

dxxfdxxfI 1

axab

afbfafxf

1

b

a

dxaxab

afbfafI

2

bfafabI

Regla Trapezoidal

Regla Trapezoidal • Geométricamente, la regla trapezoidal es

equivalente a aproximar el área del

trapezoide bajo la línea que conecta f(a) y

f(b)

• La fórmula para calcular el área de un

trapezoide es la altura por el promedio de

las bases. En nuestro caso el trapezoide

esta de lado y la integral se representa

como

I = ancho x altura promedio

o

I = (b - a) x altura promedio

• Todas las fórmulas cerradas de Newton-

Cotes pueden expresarse en el formato

general de la ecuación anterior, y sólo

difieren con respecto a la formulación de

la altura promedio

2

bfafabI

f(a)

f(b)

a b

Error de la regla Trapezoidal

• Una estimación para el error de truncamiento local de una sola

aplicación de la regla trapezoidal es

• donde está en algún lugar en el intervalo de a hasta b

• Esta ecuación indica que si la función sujeta a integración es

lineal, la regla trapezoidal es exacta

• Para funciones con curvatura puede ocurrir un error

3''

12

1abfEt

Aplicación múltiple de la regla

Trapezoidal • Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es

dividir el intervalo de integración [a,b] en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos

• Las integrales de los segmentos se suman para obtener la integral de la función en [a,b]

• Si hay n+1 puntos base igualmente espaciados (x0, x1, x2,… xn), entonces hay n segmentos de igual anchura; h = (b-a)/n

• Si a y b son designados como x0 y xn, respectivamente la integral total se representa como

n

n

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfI

1

2

1

1

0


Trapezoidal • Sustituyendo la regla trapezoidal se obtiene

• Agrupando términos se obtiene

• También se puede expresar como

222

12110 nn xfxfh

xfxfh

xfxfhI

n

n

i

i xfxfxfh

I1

1

0 22

n

xfxfxf

abIn

n

i

i

2

21

1

0


Trapezoidal • Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se

puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento para dar

• Este resultado se puede simplificar al estimar la media de la segunda derivada para todo el intervalo como

• Quedando el error de truncamiento como

• Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto

n

i

it fn

abE

13

3

''12

n

f

f

n

i

i 1

''

''

''

12 2

3

fn

abEa

Conclusiones - Regla Trapezoidal

• Para aplicaciones individuales con buen comportamiento de las

funciones, la regla trapezoidal de múltiples segmentos es casi

fina para obtener el tipo de exactitud requerido en muchas

aplicaciones de ingeniería

• Si se requiere de alta exactitud, la regla trapezoidal demanda un

gran esfuerzo computacional

• Los errores de redondeo presentan una limitación en nuestra

habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la

precisión de la máquina como a los diversos cálculos

involucrados en técnicas simples como la regla trapezoidal de

múltiples segmentos

Seudo código para la regla trapezoidal

FUNCTION Trapezoidal(h,n,f)

sum = f0

DO i = 1,n-1

sum = sum + 2*fi

END DO

sum = sum + fn

integral = h * sum / 2

END Trapezoidal

Reglas de Simpson

• Otra forma de obtener una estimación más

exacta de un integral es con el uso de

polinomios de orden superior para

conectar puntos

Regla de Simpson 1/3

• Usa interpolación polinomial de segundo orden

• Si a y b se designan como x0 y x2, y f2(x) es representada por un

polinomio de Lagrange de 2do orden, la integral se transforma en

• Integrando se obtiene

donde a = x0; b = x2 y x1 = punto a la mitad de camino entre a y b

b

a

b

a

dxxfdxxfI 2

2

0

2

1202

201

2101

200

2010

21

x

x

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

210 43

xfxfxfh

I

6

4 210 xfxfxfabI

2

abh

Error de la regla de Simpson 1/3

• La regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de

• La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal

• El error es proporcional a la cuarta derivada

• El término del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la

integración de la interpolación polinomial

• En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una precisión de

tercer orden aún cuando se basa en sólo tres puntos

• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún cuando se

deriva de una parábola

45

90

1fhEt

4

5

2880f

abEt

Aplicación múltiple de la regla de

Simpson 1/3 • La regla de Simpson 1/3 se puede mejorar al dividir el intervalo de

integración en un número de segmentos de igual anchura,

h = (a-b)/n

• La integral total se puede representar como

• Sustituyendo la regla de Simpson 1/3

• Combinando términos

n

n

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfI

2

4

2

2

0

6

42

6

42

6

42 12432210 nnn xfxfxf

hxfxfxf

hxfxfxf

hI

n

xfxfxfxf

abI

n

n

j

j

n

i

i

3

242

6,4,2

1

5,3,1

0

Se debe usar un

número par de

segmentos para

implementar el

método

Aplicación múltiple de la regla de

Simpson 1/3 • La regla de Simpson 1/3 está limitada a casos en los que los

valores son igualmente espaciados

• Además, está limitada a situaciones donde hay un número par

de segmentos y un número impar de puntos

• Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson 1/3

se obtiene sumando los errores individuales de los segmentos

y sacando el promedio de la derivada,

4

4

5

180f

n

abEa

Seudo código para la regla de

Simpson 1/3

FUNCTION Simpson13(h,n,f)

sum = f0

DO i = 1,n-1,2

sum = sum + 4*fi + 2*fi+1

END DO

sum = sum + 4*fi + 2*fi+1

integral = h*sum/3

END Simpson13


• Se ajusta un polinomio de Lagrange de tercer orden

a cuatro puntos y se integra

para obtener

• La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

b

a

b

a

dxxfdxxfI 3

3210 338

3xfxfxfxf

hI 3

abh

8

33 3210 xfxfxfxfabI

45

80

3fhEt

4

5

6480f

abEt

Esta regla es más exacta que la de 1/3


• La regla de Simpson 1/3 es a menudo el método de

preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer

orden con tres puntos más que los cuatro puntos

requeridos para la versión 3/8

• Sin embargo, la regla 3/8 tiene la utilidad cuando el

número de segmentos es impar

• Una estrategia para mantener precisión de 3er

orden a través de todo el intervalo de integración es

usar la regla de Simpson 1/3 en los primeros

segmentos y la regla de Simpson 3/8 en los últimos

tres

Seudo código para la estrategia de

integración usando la Regla de Simpson 1/3

y 3/8 FUNCTION SimpsonT(a,b,n,f)

H = (b - a)/n

IF n = 1 THEN

sum = trapezoidal(h,fn-1,fn)

ELSE

m = n

odd = n/2 – INT(n/2)

IF odd > n/2 AND n > 1 THEN

sum = sum + Simp38(h,fn-3,fn-2,fn-1,fn)

m = n - 3

END IF

IF m > 1 THEN

sum = sum + Simpson13(h,m,f)

END IF

END IF

integral = sum

END SimpsonT

Seudo código para la estrategia de

integración usando la Regla de Simpson 1/3

y 3/8

FUNCTION Simp38(h,f0,f1,f2,f3)

Simp38 = 3*h*(f0 + 3*(f1 + f2) + f3)/8

END Simp38

Integración con segmentos desiguales

• Para los casos donde los datos están separados por segmentos

desiguales un método para la integración es aplicar la regla

trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados

hi = ancho del segmento i

• Si alguno de los segmentos adyacentes son de igual anchura, se

puede evaluar la integral aplicando las reglas de Simpson a estos

segmentos

222

1212

101

nnn

xfxfh

xfxfh

xfxfhI

Integración de ecuaciones

• Se estudiarán dos métodos para el cálculo de integrales cuando

se dispone de la función

1. INTEGRACIÓN DE ROMBERG: se basa en la extrapolación de

Richardson, el cual es un método que combina dos estimaciones

numéricas de la integral para obtener una tercera, que tiene un

valor más exacto. Puede usarse para generar una estimación de

la integral dentro de una tolerancia de error especificada

2. CUADRATURA DE GAUSS: las fórmulas de cuadratura de Gauss

emplean valores de x que están posicionados entre a y b de

forma tal que resulta una estimación de la integral mucho más

exacta

Integración de Romberg

• Está basada en aplicaciones sucesivas de la regla

trapezoidal

• Sin embargo, se alcanzan mejores resultados con

menos esfuerzo


EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON

• Usa dos estimaciones de la integral para calcular una tercera más

exacta

• El error estimado y asociado con una aplicación múltiple de la

regla trapezoidal puede representarse de manera general como

• Si hacemos dos estimaciones por separado usando los pasos h1

y h2 y considerando valores exactos del error, se tiene

hEhII I: valor exacto de la integral

I(h): estimación de I con n segmentos de la

regla trapezoidal

E(h): error de truncamiento

2211 hEhIhEhI



• El error de la regla trapezoidal puede representarse de manera

aproximada como

• Suponiendo f’’ constante sin importar el tamaño del paso, se

puede determinar la razón de los dos errores,

• Reordenando

• Sustituyendo,

''12

2 fhab

E

2

2

2

1

2

1

h

h

hE

hE De esta forma se remueve f’’

2

2

2

121

h

hhEhE

222

2

2

121 hEhI

h

hhEhI



• Luego,

• Esta estimación de error se puede sustituir en

2

2

1

212

1

hh

hIhIhE

Estimación del error de truncamiento en

términos de las estimaciones de la

integral y del tamaño de segmento

22 hEhII Para obtener una estimación mejorada de

la integral

122

2

1

2

1

1hIhI

hh

hII



• Se puede demostrar que el error de dicha estimación es O(h4).

La estimación de la regla trapezoidal era O(h2)

• Para el caso especial donde el intervalo es la mitad, 2

12

hh

122212

1hIhIhII

123

1

3

4hIhII


Ejemplo

• Calcule la integral de

a = 0, b = 0.8 5432 400900675200252,0 xxxxxxf

3674.11728.03

10688.1

3

4I

6405.1vI

n h I

1 0.8 0.1728

2 0.4 1.0688

4 0.2 1.4848

6235.10688.13

14848.1

3

4I


• En este ejemplo calculamos dos integrales mejoradas con error

O(h4) sobre la base de tres estimaciones de la regla trapezoidal

• Esos dos cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para

obtener un mejor valor con error O(h6)

• Para el caso especial donde las estimaciones del trapezoide

original están basadas sobre sucesivas mitades de tamaño de

segmento, la ecuación para obtener la exactitud de O(h6) es,

lm III15

1

15

16

Im: estimación mayor

Il: estimación menor

Integración de Romberg • De manera similar dos resultados O(h6) pueden combinarse

para calcular una integral que es O(h8),

• Se puede observar que los coeficientes en las ecuaciones de

extrapolación van aumentando hasta 1. Estos representan

factores ponderados que al aumentar la exactitud dan un peso

relativamente mayor sobre la estimación de la integral superior

• Estas formulaciones se pueden expresar en una forma general,

lm III63

1

63

64

Ij+1,k-1: integral más exacta

Ij,k-1: integral menos exacta

Ij,k: integral mejorada

k: el nivel de la integración

14

41

1,1,1

1

,

k

kjkj

k

kj

III k = 1 Regla trapezoidal O(h2)

k = 2 O(h4)

k = 3 O(h6)

Seudo código para la integración de

Romberg FUNCTION Romberg (a,b,maxit,es) LOCAL I(10,10) n = 1 I1,1 = TrapEq(n,a,b) iter = 0 DO iter = iter + 1 n = 2iter Iiter+1,1 = TrapEq(n,a,b) DO k = 2, iter+1 j = 2 + iter – k Ij,k = (4k-1 * Ij+1,k-1 – Ij,k-1)/(4k-1 – 1) END DO ea = ABS(I1,iter+1 – I1,iter)/I1,iter+1)*100 IF(iter ≥ maxit OR ea ≤ es) EXIT END DO Romberg = I1,iter+1 END Romberg TrapEq es una función que evalúa la integral de la función usando la regla trapezoidal

Cuadratura de Gauss

• Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x

que están posicionados entre a y b de forma tal que resulta una

estimación de la integral muchas más exacta

• Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss se

denominan fórmulas de Gauss-Legendre

Fórmula de Gauss-Legendre de dos

puntos • El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los

coeficientes de una ecuación de la forma

donde: c0 y c1 son coeficientes desconocidos

x0 y x1 son valores de x posicionados entre a y b, desconocidos

• Tenemos un total de 4 incógnitas que deben ser evaluadas,

por lo que se requieren 4 condiciones para determinarlas con

exactitud

1. La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral de una constante, f(x) = 1

2. La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral de una función lineal, f(x) = x

3. Supongamos que también ajusta la integral de una función cuadrática , f(x) = x2

4. Supongamos que también ajusta la integral de una función cúbica, f(x) = x3

1100 xfcxfcI (I)


puntos • Para hacer esto, determinamos las 4 incógnitas y en la

condición derivamos una fórmula de integración lineal que es

exacta para cúbicas

• Las 4 ecuaciones que habrán que resolverse son

• Resolviéndose simultáneamente se obtiene

1

1

1100 21dxxfcxfc

1

1

1100 0xdxxfcxfc

1

1

2

11003

2dxxxfcxfc

1

1

3

1100 0dxxxfcxfc

5773503.03

1

5773503.03

1

1

1

0

10

x

x

cc Sustituyendo se obtiene la fórmula de Gauss-

Legendre de dos puntos

3

13

1 ffI


puntos

• Así, llegamos a un resultado interesante en que la simple

suma de los valores de la función en dan una

estimación de la integral que tiene una exactitud de tercer

orden

• Observe que se usaron los limites de integración desde -1 a 1,

con el objetivo de hacer la formulación tan general como sea

posible

• Se emplea un cambio de variable para trasladar otros límites

de integración a esta forma

31x

Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos • Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona con la

variable original x en una forma lineal, dada por

• Si el límite inferior, x = a corresponde a xd = -1, sustituyendo se

obtiene

• Si el límite superior, x = b corresponde a xd = 1, sustituyendo se

obtiene

• Resolviendo

• Sustituyendo

dxaax 10

110 aaa

110 aab

20

aba

21

aba

2

dxababx

ddx

abdx

2

Estas dos últimas ecuaciones podrán sustituirse para x y dx, respectivamente,

en la ecuación que se habrá de integrar


puntos Ejemplo

• Integre

entre 0 y 0.8

• Primero se realiza el cambio de variable

5432 400900675200252,0 xxxxxxf

dxx 4.04.0 ddxdx 4.0

1

1

5432

8.0

0

5432

4.04.04.04004.04.09004.04.06754.04.02004.04.0252,0

400900675200252,0

dddddd dxxxxxx

dxxxxxx

822578.1305867.1516741.0

305867.13

13

1

516741.03

13

1

I

fxxf

fxxf

dd

dd

Fórmulas de Gauss-Legendre de punto

superior • Más allá de la fórmula de dos puntos descrita en la sección

anterior, se puede desarrollar versiones de punto superior en

la forma general

donde n = número de puntos

• Los valores de las c y las x incluyendo la fórmula con seis

puntos se resumen en la siguiente tabla

111100 nn xfcxfcxfcI

Factores de peso c y argumentos de la función

x usados en las fórmulas de Gauss-Legendre

Puntos Factores de peso Argumentos de la función Error de truncamiento

2 c0 = 1.0 x0 = -0.577350269

≈ f(4)(ξ) c1 = 1.0 x1 = 0.577350269

3

c0 = 0.5555556 x0 = -0.774596669

≈ f(6)(ξ) c1 = 0.8888889 x1 = 0.0

c2 = 0.5555556 x2 = 0.774596669

4

c0 = 0.3478548 x0 = -0.861136312

≈ f(8)(ξ) c1 = 0.6521452 x1 = -0.339981044

c2 = 0. 6521452 X2 = 0. 339981044

c3 = 0. 3478548 X3 = 0. 861136312

5

c0 = 0.2369269 x0 = -0.906179846

≈ f(10)(ξ)

c1 = 0.4786287 x1 = -0.538469310

c2 = 0.5688889 x2 = 0.0

c3 = 0.4786287 x3 = 0.538469310

c4 = 0.2369269 x4 = 0.906179846

6

c0 = 0.1713245 x0 = -0.932469514

≈ f(12)(ξ)

c1 = 0.3607616 x1 = -0.661209386

c2 = 0.4679139 x2 = -0.238619186

c3 = 0.4679139 x3 = 0.238619186

c4 = 0.3607616 x4 = 0.661209386

c5 = 0.1713245 X5 = 0.932469514

Fórmulas de Gauss-Legendre de punto

superior • Debido a que la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de

la función en puntos espaciados uniformemente dentro del

intervalo de integración, no es apropiada para casos donde la

función se desconoce

• Así, no es adecuada para problemas con datos tabulados

• Sin embargo, cuando se conoce la función, su eficiencia

puede ser una ventaja decisiva, en particular cuando se deben

realizar muchas evaluaciones de la integral

Análisis de error para la cuadratura de

Gauss • El error para las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica por

lo general con

donde n = número de puntos menos uno

y f(2n+2)() = la (2n+2)-ésima derivada de la función después del

cambio de variable con localizada en algún lugar sobre el

intervalo desde -1 a 1

• Al comparar esta ecuación con la tabla queda expuesta la

superioridad de la cuadratura de Gauss sobre las fórmulas de

Newton-Cotes, contando con que las derivadas de orden

superior no aumenten sustancialmente con un incremento en n

22

432

!2232

!12

n

n

t fnn

nE

Integración Numérica

• Justificación del problema y conceptos

generales

• Fórmulas de cuadratura con paso

adaptativo

• Cuadratura de Gauss

• Integración sobre intervalos finitos

• Integración sobre intervalos infinitos

• Integración en varias variables

Introducción

• Justificación del problema

– Integral elíptica de segunda clase

– Definición de funciones especiales:

• Función de Bessel

• Función error

– Discretización de ecuaciones integrales

J z z n dn ( ) cos( sen ) 1

0

erf x e dttx

( )

2 2

0

• Partición del intervalo [a,b,

a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b

x0,x1,x2,...,xn-1,xn nodos

b0, b1, b2,,..., bn coeficientes o pesos

• Error de integración.

– Grado de precisión: mayor n N tal que

En(xk)=0, k=0,1,...,m

En(xm+1) 0

Conceptos generales

I f f x dxa

b

( ) ( )

I f f xn j j

j

n

( ) ( )

b 0

E f I f I fn n( ) ( ) ( )


• Fórmulas de cuadratura cerradas

• Fórmulas de cuadratura abiertas

• Fórmula de Trapecios para N subintervalos

• Fórmula de Simpson para N subintervalos

Fórmulas de cuadratura cerradas

Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xj=a+jh,

j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces $ h ]a,b[ tal que

– n par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h

– n impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h

dsnsssfn

h

xfdxxf

nn

n

n

j

jj

b

a

)()1()()!2(

)( )(

0

2)2(3

0

b

dsnsssfn

h

xfdxxf

nn

n

n

j

jj

b

a

)()1()()!1(

)( )(

0

)1(2

0

b

• n=1 Regla del Trapecio

• n=2 Regla de Simpson

• n=3 Regla de Simpson 3/8

• n=4 Newton-Cotes (5 puntos)

10

''3

10

)(12

)()(2

)(

xxfh

xfxfh

dxxfb

a

20

)(5

210

)(90

)()(4)(3

)(

xxfh

xfxfxfh

dxxf

iv

b

a

30

)(5

3210

)(80

3

)()(3)(3)(8

3 )(

xxfh

xfxfxfxfh

dxxf

iv

b

a

40

)(5

43

210

)(945

8)(7)(32

)(12)(32)(745

2 )(

xxfh

xfxf

xfxfxfh

dxxf

vi

b

a

Fórmulas de cuadratura abiertas

• Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xj=a+(j+1)h,

j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces $ h ]a,b [ tal que

– Si n es par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h

– Si n es impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h

dsnsssfn

h

xfdxxf

nn

n

n

j

jj

b

a

)()1()()!2(

)( )(

1

1

2)2(3

0

b

dsnsssfn

h

xfdxxf

nn

n

n

j

jj

b

a

)()1()()!1(

)( )(

1

1

)1(2

0

b

• n=0 Regla del Punto Medio

• n=1

• n=2

• n=3

11

''3

0 )(3

)( 2 )( xxfh

xfhdxxfb

a

21

)(3

10

)(4

3)()(

2

3 )(

xx

fh

xfxfh

dxxf iib

a

41

)(5

3210

)(144

95

)(11)()()(1124

5 )(

xxfh

xfxfxfxfh

dxxf

iv

b

a

31

)(5

210

)(45

14

)(2)()(23

4 )(

xxfh

xfxfxfh

dxxf

iv

b

a

• Fórmula de Trapecios para N subintervalos

h=(b-a)/N, xk=a+kh k=0,1,2,...,N

• Fórmula de Simpson para N subintervalos

h=(b-a)/(2m), xk=a+kh k=0,1,2,...,2m

)('')(12

)()(2)(2

)(

2

1

1

0

fabh

E

xfxfxfh

dxxf

T

N

k

Nk

b

a

)()(180

)()(4)(2)(3

)(

)(4

1

1

2

1

1220

iv

S

m

k

m

m

k

kk

b

a

fabh

E

xfxfxfxfh

dxxf

• Error de la Fórmula de Simpson

• Extrapolación de Richardson

Eh

b a f ChS

IV

4

4

180( ) ( )

][14

]2[][4

]2[][16)116(

][

)2(]2[

2

2

4

4

hIhIhI

I

hIhII

ChhII

hChII

Rdef

SS

SS

S

S


• Expresión general:

• Error de orden h2j

• Exacta para polinomios de grado 2j-1

II I

kj

j

k j k j

j

4

4 1

1

1 1 1

1

, ,

Tabla de Romberg

I h

I h I h

I h I h I h

I h I h I h I h

T

T S

T S R

T S R Q

[ ]

[ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]

2 2

4 4 4

8 8 8 8

Algoritmo ROMBERG

Datos de entrada: a, b, n, tol

• Proceso: Construcción de la tabla de Romberg

k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n);% Fila 1

mientras error > tol

k = k+1 % Fila k

I(k,1) = trapiter(a,b,2k-1n)

para j = 2 : k % Aplica el método de

Romberg

I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) /

/(4^(j -1) -1)

fin para

error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))

fin mientras

Fórmulas de cuadratura con paso adaptativo

• Métodos adaptativos de cuadratura: Regla

compuesta de Simpson

• Algoritmo de cuadratura adaptativa

implementado en MATLAB (quad.m)

Métodos adaptativos

• Variaciones funcionales irregulares en el intervalo de

integración

• Combinamos la Regla compuesta de Simpson, h=(b-

a)/2, con la Regla de Simpson para m=2, de paso

h/2=(b-a)/4:

)()(4)(3

:),(

,

)(90

)()(4)(3

)( )(5

bfhafafh

baS

ba

fh

bfhafafh

dxxf ivb

a

)()2

3(4)(

6,

2

)()2

(4)(62

,

, )(180

)(

16

)()2

3(4)(2)

2(4)(

6 )(

)(4

bfh

afhafh

bba

S

hafh

afafhba

aS

bafabh

bfh

afhafh

afafh

dxxf

iv

b

a

Estimación del error: si

Si

entonces

y será una buena

aproximación a I.

En otro caso, se aplica reiteradamente a los

subintervalos [a,(a+b)/2[ y [(a+b)/2,b[ (tolerancia TOL/2.)

bba

Sba

aSbaS

bba

Sba

aSdxxfb

a

,22

,),(15

1

,22

, )(

f fiv iv( ) ( )( ) ( )

f x dx S aa b

Sa b

b TOLa

b

( ) , ,

2 2

S a b S aa b

Sa b

b TOL( , ) , ,

2 215

S aa b

Sa b

b, ,

2 2

Simpson con paso adaptativo function I = adapsimp(f,a,b,tol,nivel)

% Integra f en [a,b] por el método de

% Simpson de paso adaptativo

% tol: error admitido (estimación)

% nivel: profundidad máxima de la recursión

h = (b-a)/2; % Paso inicial

c = a+h; % Punto medio

fa = feval(f,a);

fc = feval(f,c);

fb = feval(f,b);

int = h/3*(fa+4*fc+fb); % Simpson simple

tol = 10*tol;

I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);

Recursión sobre los intervalos function I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);

h = (c-a)/2;

d = a+h; e = c+h; % Puntos medios

fd = feval(f,d);

fe = feval(f,e);

int1 = h/3*(fa+4*fd+fc); % Simpson %

intervalo izq.

int2 = h/3*(fc+4*fe+fb); % Simpson %

intervalo der.

if abs(int-int1-int2)<tol

I = int1+int2;

elseif nivel = = 0

error('Nivel excedido')

else

I = refina(f,a,d,fa,fd,fc,int1,tol/2,nivel-1) +

refina(f,c,e,fc,fe,fb,int2,tol/2,nivel-1);

end

Cuadratura de Gauss

• Elección de nodos apropiados

• Casos particulares

– Gauss-Legendre

– Gauss-Chebyshev

– Gauss-Laguerre

– Gauss-Hermite

Cuadratura de Gauss

OBJETIVOS:

• Elección de nodos x1 , x2 ,..., xn para aumentar el grado de precisión.

• Máximo grado de exactitud.

CONCLUSIONES:

• Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta

para polinomios de grado 2n-1 si y sólo si:

– la fórmula es interpolatoria, y

– los nodos son las raices del n-esimo polinomio

ortogonal respecto del producto escalar inducido

por w(x) en [a,b.

• No existe ninguna fórmula con n nodos exacta para

todos los polinomios de grado 2n.

)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f)x(w nn2211

b

a

Fórmula de cuadratura

w x f x dx c f xa

b

i i

i

n

( ) ( ) ( )

1

n,1,2,=i

b

ai

n

in

i dx)x(wxx

)x(T

)x('T

1c

<ba<

dx)x(w)x(T)!n2(

)(f)f(E

b

a

2

n

)n2(

CUADRATURA INTERVALO F. PESO

Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1

Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2

Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b

Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+[ w(x)=xae-x

Gauss-Hermite [a,b]=]- , +[2

)( xexw

Gauss-Legendre

• En [-1,1], los polinomios de Legendre forman una

familia ortogonal:

pn(x) tiene n raices reales distintas,

y los coeficientes de la fórmula de cuadratura,

)x(pn)x(px1n21n

1)x(p

,2,1nx)x(p1)x(p

1nn1n

10

n,1,2,=k

4

32k nO2n4

1k4cos

n8

1

n8

11x

n,,2,1i

)x(px1

2dx

xx

xxc

2

i

'

n

2

i

1

1

n

ij1j ji

j

i

n nodos coeficientes

2 0.5773502692 1.0000000000

3 0.7745966692 0.5555555556

0.0000000000 0.8888888889

4 0.8611361159 0.3478548451

0.3399810436 0.6521451549

Polinomios de Legendre

Si [a,b [-1,1, el cambio de variable es:

y la fórmula de cuadratura queda:

xb a

tb a

dxb a

dt

2 2 2,

b

a

n

1i

ii )f(E2

abx

2

abfc

2

abdx)x(f

• EJEMPLO:

– cambio de variable a [-1,1

– Gauss-Legendren=2

– Gauss-Legendre n=3

I f e dxx( ).

2

1

1 5

e dx e dxx

t

2

2

1

1 55

16

1

11

4

.( )

1094003.0ee4

1)f(I 16

)55773.0(

16

)55773.0( 22

1093642.0

e555556.0e888889.0

e5555556.04

1)f(I

16

)5774596.0(

16

)50(

16

)5774596.0(

22

2

Gauss-Chebyshev

• En [-1,1], los polinomios de Chebyshev forman una

familia ortogonal,

y Tn(x) tiene n raices reales distintas,

,3,2 )()(T 2)(

)(

1)(

21

1

0

nxTxxxT

xxT

xT

nnn

1-n,0,1,2,=k

2

12cos

n

kxk

f x

xdx

nf xi

i

n( )( )

1 21

1

1

En [0,+[, los polinomios de Laguerre son una familia

ortogonal,

Tn(x) tiene n raices reales y distintas,

,2,1n

)x(Ln)x()x1n2()x(L

x1)x(L1)x(L

1n

2

n1n

10

L

Gauss-Laguerre

1,n-,2,1,0k=

)O(n

2

1n48

j21

2

1n4

jx 5-

2

2

k0

2

2

k0

k

+

e f x dx c f xx

i i

i

n

( ) ( ) 1

0

ni

xL

xnc

in

ii ,,2,1

)(

!2

1

2

Gauss-Hermite

En ,, los polinomios de Hermite forman una

familia ortogonal,

Hn(x) tiene n raices reales y distintas en - ,+[, y

los coeficientes son:

,2,1,0n

)x(H)1n(2)x(x2)x(H

x2)x(1)x(H

n1n2n

10

H

H

n

i

ii

x xfcdxxfe1

)()(2

ni

xH

nc

in

n

i ,,2,1 )(n

!22

1

2

1

Integrales impropias

• Carácter de las integrales impropias.

• Resolución numérica.

• I. impropias I. propias

– cambio de variable,

– desarrollo por series,

– eliminación de la singularidad.

Integrales Impropias

• Sea f(x) una función contínua con una

asíntota vertical en [a,b]. La integral

es una integral impropia

Si entonces

)(xflimbx

b

adxxf )(

b

b-e

f(x)

a

)(xflimbx

e

e

b

a

b

adxxflimdxxf )()(

0

Si entonces

Cuando estos límites existen, decimos que la integral impropia es convergente.

En otro caso, se dice que es divergente.

)x(flimax

b a a+e

)(xflimax

b

a

b

adxxflimdxxf

ee)()(

0

• EJEMPLO

e =0.01

aplicando cuadratura de Gauss, n=5:

e =0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:

no tiende a cero cuando e 0 , luego

2

0dx)x(tanI

56666746051534 2

00102

00102

0102

2

0102

..dx)x(tan

dx)x(tandx)x(tan

.

.

..

e2

2

dx)x(tan

2

0dx)x(tan

2

0102

2

0102

0102

0

6051874.

.

.

dx)x(tan.

dx)x(tandx)x(tanI

5666504

12

010010

22

010 1

1

2

0102

.

dtt.

.tan.

dx)x(tan.

• EJEMPLO

e =0.01

aplicando cuadratura de Gauss, n=5:

e =0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:

1

0

1dx

xI

8.1111 01.0

0

1

01.0

01.0

0 dx

xdx

xdx

xI

1841600

10050

1

2

0101 5

1

010

0

.

)t(.c

.dx

x i i

i

.

1800184160

111 010

00010

00010

0

010

0

..

dxx

dxx

dxx

.

.

..

9984616181180018416011

0....dx

x

I. Impropias I.Propias

• Cambio de variable

• Desarrollo por series

• Eliminación de la singularidad

1

0

2

1

0

1

2

dt)t(ftnI

tx

ndx)x(fxnn

n

n

1

00010

23

1

00010

23

1

00010

3

21

21

.

x

..

x

dxx

xex

dxx

xxdxex

x

t

t

edx

x

xcos

0

1

0 1

Integrales Infinitas

• Integrales infinitas convergentes y

divergentes.

• Métodos de aproximación:

– Descomposición en suma de integrales

– Cambio de variable

Integrales Infinitas:

Métodos de Aproximación

• Integrales sobre intervalos no acotados: [a,+[, -

,b, -,+[.

Convergencia existe el límite y es un número real.

b b

aa

a

b

ab

dx)x(flimdx)x(f

dx)x(flimdx)x(f

Descomposición en suma de integrales

Resulta conveniente doblar el intervalo en cada iteración: rn=2n

TOLdx)x(f

rrrra

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

n

n

r

r

n

r

r

r

aa

1

2

1

1

I

n

321

n In

0 0.57202582

1 0.62745952

2 0.63043990

3 0.63047761

4 0.63047766

Valor exacto 0.63047783

• EJEMPLO

n

n

rx

n rdxx

eI

n

2 10 4

0 4

1dx

x

eI

x

• Cambio de variable

– Depende de la función a integrar.

– El cambio transforma el intervalo

en .

• EJEMPLO

cambio

aplicando cuadratura de Gauss, n=5.

tex t0 1t0

0

dxexI x

886240862649002327300003190

1

1

1

1

1

010

010

00010

00010

0

1

0

1

00

....

dtt

logdtt

logdtt

log

dtt

logdttlogdxexI

.

.

.

.

x

dtt

dxtlogx1

• EJEMPLO

cambio

aplicando Romberg.

1

2 2

dxexI x

dttdxt

x 23

2

1

1

0.25364

0

2

1

2

11

0

25

1

1

0 25

1

1

0

231

1

2 2

I

t

e)t(g

dtt

e

dttet

dxexI

tt

t

tx

Integración Indefinida

• Integral definida sobre un rango

variable

– Subdividir el intervalo de integración y

aplicar cuadraturas

• Solución del problema de valor inicial

asociado

x

abxadttfxF )()(

0)( , )( aFxfdx

dF

Ejercicio

• Calcúlese la función error como la integral

de la función de distribución gaussiana de

0 a x:

y como solución del problema de valor

inicial:

xt dte

xxerf

0

22)(

0)0( ,2

)('2

yexy x

Integración Múltiple

• Integración múltiple sobre recintos

rectangulares

• Integración múltiple sobre regiones

no rectangulares

• Algoritmo de Integración Múltiple

Integracion Múltiple

sobre recintos rectangulares

Aplicamos la Regla de Simpson a la integral

considerando x como parámetro.

b

a

d

cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(

d

cdyyxf ),(

b

a

b

am

m

j

b

aj

m

j

b

aj

b

a

b

a

d

c

dxy

),x(fk

)cd(dx)y,x(f

k

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dxdy)y,x(f

4

44

2

1

12

1

1

2

0

180

3

3

4

3

2

3

Aplicamos Simpson a cada una de estas integrales:

)y,x(f)y,x(f

)y,x(f)y,x(fh

dx)y,x(f

jn

n

i

ji

b

a

n

i

jijj

2

1

12

1

1

20

4

2 3

4

4

4

180 x

)y,(fh

ab jj

m,n

n

i

m,i

n

i

m,im,

m

j

m

j

j,n

n

i

j,i

m

j

n

i

j,i

m

j

j,

m

j

j,n

m

j

n

i

j,i

m

j

n

i

j,i

m

j

j,,n

n

i

,i

n

i

,i,

b

a

d

c

ffff

ff

fff

ffff

fffhk

dxdy)y,x(f

22

1

212

1

1

2220

1 1

122

1

1212

1

1

1

122

1

120

1

1

22

1

1 1

212

1

1

1

1

22

1

1

20 02

1

012

1

1

0200

4 2 2

4 16

84 2

842

4 2 9

Expresión del error:

R

180 4

44

4

44

ˆ,ˆ,,

ˆ,ˆy

fk,

x

fh

)ab)(cd(E

Coeficientes de la fórmula de cuadratura:

m

dck

n

abh

m,,,,jjkcy

n,,,,iihax

i

i

2

2

2210

2210

b=x2n

d=y2m y2m-1

y2

y1

c=y0 a=x0 x1 x2 x3 x4 x2n-2 x2n-1

1

1 1 2 2 2

2 2 2 1

4 4 4

4 4 4

4 4

4 4 4

4 4

2

8 8 8

8 8 8

8

16 16 16

16 16 16

2 8 8

Integración Múltiple

sobre recintos no rectangulares

h=(b-a)/2 k=k(x)

d

c

xb

xa

b

a

xd

xcdxdyyxfdydxyxf

)(

)(

)(

)( ),( ),(

))(,())()(,(4))(,(3

)(

))(,())(

)(,(4))(,(3

)(4

))(,( ))()(,(4))(,(3

)(

3

h

))(,())()(,(4))(,(3

)(

),()(

)(

bdbfbkbcbfbcbfbk

hadhafhak

hachafhachafhak

adafakacafacafak

dxxdxfxkxcxfxcxfxk

dydxyxfI

b

a

b

a

xd

xc

Algoritmo de la

integral múltiple

• Entrada: f(x,y), c(x), d(x), a, b, m, n.

• Salida: aproximación I

– PASO 1: dividir [a,b] en 2n subintervalos

– PASO 2: en cada nodo xi,

• evaluar la función

• calcular (d(xi )-c(xi ))/(2m)

– PASO 3: aplicar la regla compuesta de Simpson respecto a

y

– PASO 4: sobre el resultado obtenido del PASO 3 aplicar

Simpson respecto a la variable x I

b

a

xd

xcdydxyxf

)(

)( ),(

Integrales de Contorno

• Casos Particulares

• Método de MonteCarlo

Integrales de Contorno

• Llamamos integral de contorno a una integral de

la forma:

siendo C una curva en el plano XY.

• Si C está parametrizada, es posible transformar

una integral de contorno en una integral

ordinaria de una variable.

),(

,),( , ),(

C

CC

dsyxf

dyyxfdxyxf

Método de Monte Carlo

• El valor medio de la función f(x) en el

intervalo [a,b] es

• Sean x1, x2, …xn n puntos cualesquiera en

[a,b], resulta previsible que

Cuando los valores de xi son aleatorios, éste

método es conocido como Método de Monte

Carlo

)(1

b

adxxf

ab

)(1

)(1ˆ

1

b

a

n

i

in dxxfab

xfn

f

Ejemplo

a b Valor aprox. Valor exacto

1.0 0.8 1.4180830 1.4180834

1.0 0.4 1.1506554 1.1506556

1.0 0.2 1.0505019 1.0505022

1.0 0.1 1.0159888 1.0159935

Calculamos el perímetro de elipses de distintas excentricidades utilizando

en todos los casos 60 puntos.

GRACIAS

transformadas dobles

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