Ideal (teora de anillos)

En lgebra moderna, un ideal es una subestructura alge-braica denida en la teora de anillos. Los ideales genera-lizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad en-tre los nmeros enteros hacia otros objetos matemticos.De este modo, es posible enunciar versiones muy genera-les de teoremas de la aritmtica elemental, tales como elteorema chino del resto o el teorema fundamental de laaritmtica, vlidos para los ideales. Se puede comparartambin esta nocin con la de subgrupo normal para laestructura algebraica de grupo en el sentido de que facili-ta denir la nocin de anillo cociente como una extensinnatural de la nocin de grupo cociente [1].

1 Aspecto histricoLa teora de los ideales es relativamente reciente, puestoque fue creada por el matemtico alemn, Richard Dede-kind, a nes del siglo XIX. En dicha poca, una parte de lacomunidad matemtica se interes en los nmeros alge-braicos y, ms concretamente, en los enteros algebraicos.La cuestin consiste en saber si los enteros algebraicos secomportan como los enteros relativos, particularmente,en lo que respecta a su descomposicin en factores pri-mos. Pareca claro, desde el comienzo del siglo XIX queeste no era siempre el caso. Por ejemplo, el entero 6 pue-de descomponerse, en el anillo Z[i

p5] , en la forma 23

o en la forma (1 + ip5)(1 ip5)

Ernst Kummer dice entonces que lo anterior va a depen-der de los nmeros en cuestin e inventa la nocin decomplejos ideales.La idea es hacer que sea nica la descomposicin enfactores primos aadiendo articialmente otros nmeros(del mismomodo que se aade i a los nmeros reales sien-do i2 = 1 con el n de disponer de nmeros para loscuadrados negativos). En el ejemplo de ms arriba, se vaa inventar cuatro nmeros ideales a, b, c y d tales que:

2 = a b3 = c d1 + i

p5 = a c

1 ip5 = b d

As, 6 se descompondr de manera nica en:

6 = a b c d

Dedekind en 1871 vuelve a usar la nocin de nmeroideal de Kummer y crea la nocin de ideal en un ani-llo. Se interesa principalmente por los anillos de los en-teros algebraicos, es decir, anillos conmutativos unitariose ntegros. En este dominio se encuentran los resultadosms interesantes sobre los ideales. Cre el conjunto de losideales de un anillo conmutativo, unitario e ntegro paraoperaciones semejantes a la adicin y a la multiplicacinde los enteros relativos.La teora de los ideales no solo permiti un avance signi-cativo en el lgebra general, sino tambin en el estudiode las curvas algebraicas (geometra algebraica).

2 DenicinUn subconjunto I no vaco de un anilloA es un ideal porla izquierda de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.2. 8(a; x) 2 A I : a x 2 I (El producto por la

izquierda de un elemento de I por un elemento de Apertenece a I).

y es un ideal por la derecha de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.2. 8(x; a) 2 I A : x a 2 I (El producto por la

derecha de un elemento de I por un elemento de Apertenece a I).

Un ideal biltero es un ideal por la derecha y por la iz-quierda. En un anillo conmutativo, las nociones de idealpor la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilterocoinciden y simplemente se habla de ideal.

2.1 Ejemplos Para todo entero relativo k , kZ es un ideal de Z . Si A es un anillo, {0} y A son ideales triviales deA. Estos dos ideales tienen un inters muy limitado.Por esta razn se llamar ideal propio a todo idealno trivial.

Si A es un anillo unitario y si I es un ideal que con-tiene a 1 entonces I = A . De modo ms general, si,I contiene un elemento inversible, entonces I = A

1

2 4 CASOS PARTICULARES

Los nicos ideales en un cuerpo K son los idealestriviales.

3 Operaciones con ideales

3.1 SumaSi I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puedecomprobar que el conjunto I+J = fx+y : x 2 I e y 2Jg es un ideal.

3.2 InterseccinToda interseccin de ideales es un ideal.El conjunto de los ideales de A con estas dos operacio-nes forma una cadena. De esta segunda ley se permite lanocin de ideal generado. Si P es un subconjunto de unanillo A, se llama ideal generado por P a la interseccinde todos los ideales de A que contienen a P, notado usual-mente como hP i . Se puede comprobar que:

1. hP i = fa1x1 + + anxn : a1; : : : ; an 2P; x1; : : : ; xn 2 Ag

2. I + J = hI [ Ji = TkfGk :Gk en ideal es A y (I [ J) Gkg

Ejemplos:

Para un anillo A , a A engendra el ideal aA (porejemplo n engendra nZ , ideal de Z )

Si I y J son dos ideales de A, el ideal I + J estengendrado por el subconjunto I [ J de A.

3.3 ProductoSi I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto deI y J al ideal IJ engendrado por todos los elementos dela forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Setiene que IJ I \ J .Como ejemplo, en el anillo Z , el producto de los idealesnZ y pZ es el ideal npZ y este ltimo est incluido ennZ \ pZ .

3.4 Anillo cocienteSi I es un ideal biltero del anillo A, la relacin xRy ,xy 2 I es una relacin de equivalencia compatible conlas dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobreel conjunto de las clases _x = x + I una estructura deanillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por elideal I. La construccin se realiza sobre la base del grupoaditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las

clases adjuntas a + I( llamadas clases de restos respectoal mdulo del ideal I).Como suma de clases se dene por (a +I) + (b+ I) =(a+b)+ L; el opuesto -(a+I) = -a + I.Como producto de clases (a+I) (b+I)= ab + I. [2]

4 Casos particularesIdeal principal: es un ideal generado por un nico ele-mento.Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, unideal I es primario si y solo si para todo a y b tales queab 2 I , si a /2 I entonces existe un entero natural n talque bn 2 I .Ideal primo: en un anillo conmutativo unitario, I es unideal primo si y solo si I es distinto de A y, para todo a yb pertenecientes a A tales que ab 2 I , si a /2 I entoncesb 2 I .

P es un ideal primo de A, A/P es dominiode integridad.

Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, unideal I es irreducible si no se puede escribir como inter-seccin de dos ideales J y K diferentes de I.Ideal maximal : Un idealM es maximal, existen exac-tamente dos ideales que contienen a M , a saber, A y elmismoM .

En un anillo conmutativo unitario, un ideal ma-ximal es necesariamente primo.el ideal M es un ideal maximal de A si y solosi A/M es un cuerpo.

Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmu-tativo A, se llama radical de I, y se escribe

pI , al con-

junto de los elementos x de A tales que existe un enteronatural n para el cual xn 2 I . Es un ideal de A.

Ejemplo: 30Z es el radical de 360ZSi A es un anillo conmutativo, entonces tienelas propiedades siguientes:

pI Ipp

I =pI

pIJ = pI \ J = pI \pJ Si, adems, A es unitario, pI = A ,I = A

35 Referencias[1] A.I. Kostrikin. Introduccin al lgebra Editorial Mir,

Mosc (1983)

[2] Kostrikin. Op. cit.

6 Vase tambin Estructura algebraica Anillo

7 Enlaces externos

Portal:Matemtica. Contenido relacionado conMatemtica.

Weisstein, Eric W. Ideal. En Weisstein, Eric W.MathWorld (en ingls). Wolfram Research.

4 8 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

8 Origen del texto y las imgenes, colaboradores y licencias8.1 Texto

Ideal (teora de anillos) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teor%C3%ADa_de_anillos)?oldid=84699967 Colaboradores: Fibo-nacci, Sabbut, Elwikipedista, Tano4595, Digigalos, Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Yrbot, YurikBot, Martingala, Wewe, Knigh-tRider, Eskimbot, Carlos Alberto Carcagno, Laura Fiorucci, Davius, JAnDbot, TXiKiBoT, VolkovBot, Arcos43, AlleborgoBot, Muro Bot,BotMultichill, SieBot, PaintBot, Loveless, Correogsk, Mafores, HUB, PixelBot, Juan Mayordomo, Raulshc, SilvonenBot, UA31, Luckas-bot, DiegoFb, ArthurBot, Xqbot, RedBot, KamikazeBot, Dinamik-bot, EmausBot, WikitanvirBot, Migduroli, KLBot2, JuanManwell, Ro-gerafv, X2y3 y Annimos: 13

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Aspecto histrico Definicin Ejemplos

Operaciones con ideales Suma Interseccin Producto Anillo cociente

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