i que hace realmente es equivalente a dar ponderaciones ...haciendo política económica. el...

Capiacutetulo 9 AnaacutelisIS Costo-beneficio

I

en el proceso de redistribucioacuten sino que la mayoriacutea de las veces dicho proceshyso simplemente no se lleva a cabo Esto uacuteltimo es equivalente a actuar como si el paraacutemetro aw laW

n fuera igual a uno En otras palabras es imposible

emitir un juicio de valor respecto a la distribucioacuten del ingreso cuando se estaacute haciendo poliacutetica econoacutemica El economista puro al no explicitar el efecto sobre la distribucioacuten del ingreso de las medidas que estaacute recomendando lo que hace realmente es equivalente a dar ponderaciones iguales a uno a la disshy

I tribucioacuten del ingreso lo cual de por siacute es un juicio de valor similar al que se hariacutea cuando se da cualquier otro valor a dichas ponderaciones Por lo tanto ya que es imposible eliminar los juicios de valor es preferible mencionarlos en fonna expliacutecita en vez de esconderlos

I 921 La inclusioacuten expliacutecita de los efectos distributivos

Para medir la contribucioacuten de un proyecto al bienestar social se requiere entonces estimar sus efectos sobre la distribucioacuten del ingreso Cabe recalcar una vez maacutes que eacutesta es una tarea que corresponde estrictamente al terreno

I 1 de la economiacutea positiva rechazando la afinnacioacuten falsa de que todo lo relashy

cionado con la distribucioacuten del ingreso pertenece al terreno normativo Saber quieacutenes pierden ante una accioacuten especiacutefica del gobierno pertenece estrictashymente al terreno de la teoriacutea econoacutemica positiva y requiere conocer coacutemo se ajustan los distintos agentes de la economiacutea ante los cambios producidos por la accioacuten del proyecto

Lo anterior es soacutelo un aspecto relacionado con las cuestiones distributivas y tiene que ver con la identificacioacuten de beneficiarios y perdedores El segundo aspecto siacute entra en el terreno de lo nonnativo ya que las ponderaciones por distribucioacuten del ingreso constituyen efectivamente un juicio de valor Esto se puede ver maacutes claramente si regresamos la ecuacioacuten de bienestar social a que nos referiacuteamos antes Supusimos que la funcioacuten de bienestar W dependiacutea de las funciones de bienestar individual W) hasta W

nbull El bienestar de cada indishy

viduo a su vez era funcioacuten de lo que podiacutea tener disponible para su consumo presente y futuro

Si un proyecto agrega en teacutenninos netos al consumo de la economiacutea esto va afectar la utilidad de cada individuo en la medida que el consumo de cada individuo se haya alterado y ello afecta el bienestar social en la medida que el bienestar de cada individuo contribuye a dicho bienestar Esto uacuteltimo obshyviamente es un juicio de valor

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblico I Luis Diego Veacutelez Goacutemez

En otras palabras 10 que nos interesa medir al hacer evaluacioacuten social de proshyyectos es el cambio en el bienestar social que se produce al cambiar en una unidad el consumo que agrega el proyecto Esto se puede ver volviendo a la funcioacuten de bienestar social

nrvvl

En que

W = bienestar social

W = bienestar del individuo i I

C iexcl = consumo del bien por el Individuo ii

Ahora bien si un proyecto o poliacutetica agrega una cantidad del bien Ciexcl el bienshyestar social se veraacute afectado de manera diferente dependiendo de eoacutemo se reparte ese bien e entre los distintos individuos Efectivamente lo que se

I

quiere medir es

dW dW dW dW2 dW dWnx +--X--+ +--x-shyde i drfiexcl dCI i dW2 dC2 dWn dCn

La ecuacioacuten anterior indica que el cambio en el bienestar social al cambiar en una unidad la disponibilidad del bien C depende de dos tipos de evaluaciones

i

diferentes

En primer lugar la valoracioacuten que cada individuo hace de su propio consumo

dWiexcl dCij

es decir la utilidad marginal del consumo del bien por el individuo iacute que indica en cuaacutento aumenta la utilidad del individuo i al aumentar en una unidad su consumo del bienj Esta utilidad marginal en general estaacute aproximadamenshyte bien medida por lo que se conoce por precio de la demanda el cual muestra la disposicioacuten a pagar del consumidor por cada bien Con todo el precio de la demanda obviamente depende de la cantidad de compra que el individuo haga El precio domeacutestico de mercados que los consumidores efectivamente pagan al hacer sus compras es una primera aproximacioacuten al valor de esta disposicioacuten a pagar Si se consideraran estos precios sin embargo como la

I 1 I 1

Capiacutetulo 9 AnaacutelisIs Costo-beneficio

uacutenica valoracioacuten en teacuterminos de bienestar social se estariacutea impliacutecitamente aceptando la distribucioacuten del ingreso actual como si fuera la distribucioacuten coshyrrecta desde el punto de vista sociaL Por ello la valoracioacuten que cada individuo da a los bienes que consume la cual depende del ingreso que tenga en uacuteltima instancia tiene que ser corregida por una ponderacioacuten por distribucioacuten del mgreso

Segundo la importancia que los cambios en la utilidad del individuo i tienen en el cambio del bienestar social dW I dWiexcl Este paraacutemetro indica en cuaacutento aumenta el bienestar social al aumentar en una unidad el bienestar del indishyviduo n como ya se dijo es un juicio de valor inevitable El no hacer pondeshyraciones por distribucioacuten del ingreso vale decir al pretender no dar ninguacuten valor diferente dependiendo de si el consumo de un determinado bien va a manos del rico o del pobre equivale a hacer que estas ponderaciones dW I dWiexcl sean todas iguales a uno

En suma la contribucioacuten del consumo del bien al individuo o al bienestar social termina siendo un producto del paraacutemetro que vimos en la seccioacuten anterior (aW I Wa) multiplicado por la valoracioacuten que el individuo hace eacutel mismo de ese consumo aW I ae

n niexcl

Analicemos esos tres elementos sucesivamente quieacuten gana y quieacuten pierde en cuaacutento evaluacutea la sociedad esos resultados individualmente y cuaacutel es el resulshytado neto en teacuterminos de beneficios y costos globales

922 La identificacioacuten de beneficiarios y perdedores

Aunque esta es una tarea que le corresponde uacutenicamente al economista en la cual no hay juicio de valor normativo es impresionante ver coacutemo las evaluashyciones sociales de proyectos casi nunca calculan los efectos redistributivos de los mismos los cuales en algunos casos son bastante importantes Esto tiene dos explicaciones por un lado el sesgo de muchos economistas que creen que calcular efectos redistributivos significa meterse en poliacutetica y por otro lado la complejidad del anaacutelisis que hay que hacer para poder identificar a los beneficiadores y perdedores

El proceso de identificacioacuten de quieacutenes ganan y quieacutenes pierden como resulshytado de una inversioacuten es un proceso difiacutecil de realizar La tarea es especiacutefica a cada proyecto y no es posible generalizar Sin embargo trataremos de ilusshytrar los problemas que hay que resolver en cada caso mediante un ejemplo muy sencillo en el que se produce un bien exportable TI que requiere insumo

Aspectos econoacutemICos de los proyectos del sector puacuteblico Luis Diego Veacutelez Goacuternez

importado de un bien T2

y algunos insumas de bienes no comerciables N N2

Y mano de obra Veremos que en otro caso incluso exageradamente sencillo que las dificultades para identificar a los beneficiarios del proyecto son enorshymes2bull Esto es asiacute porque la identificacioacuten de los beneficiarios del proyecto dependeraacute no solo de la estructura de costos de dichos proyectos sino tamshybieacuten de todos los mccanismos de ajustes de los diferentes mercados para los cuales se ha calculado precio sombra La naturaleza misma de dichos precios sombra indica que la economiacutea se ajusta de modo diferente en distintas cirshycunstancias lo cual afecta a muy diferentes grupos

Los beneficiarios del proyecto en teacuterminos sociales estariacutean dados por la siguiente ecuacioacuten

Be (PT aTT PT ) P aN1TIPN-aN TPN -aLTPL (1)2 2 s 2 2

Donde

Be = Beneficios del proyecto en teacuterminos de bienes de consumo

PT1

Valor de las exportaciones generadas por el proyecto

PT2

= Valor de los insumos importados del producto T2

requeridos para proshyducir Ti

P = Precio sombra de las divisas s

PSN = Precio sombra del bien no comerciable N

pSN = Precio sombra del bien no comerciable N2

2

aij

Requerimientos del insumo i para producir el bienj

P = Precio sombra de la mano de obra L

No solo la estructura de costos del proyecto vale la magnitud de los coefishycientes a afecta la distribucioacuten del ingreso sino tambieacuten la naturaleza de lau distribucioacuten de los precios sombra que se han usado Asiacute por ejemplo los efectos distributivos van a ser diferentes dependiendo de la naturaleza de los precios sombra del bien N del bien N

2 y de la mano de obra

En un caso simplificado se podriacutea suponer que ambos bicncs no comerciables

N N se producen en la economiacutea a costos marginales constantes Quiere z

2 No quiere decir que la larca no debe realizarse por ser difiacutecil Todo lo contriexcliexclrio maacutes economistas deberiacutean dedicarse a ello precisamente debido a la complejidad dellcma

f28q


decir que al aumentar la demanda por estos insumos la economiacutea reaccionaraacute automaacuteticamente produciendo maacutes de ellos Los precios sombra pSNiexcl y pSN representan entonces costos marginales Para conocer los eHxtos distribushytivos debe estudiarse la estructura de estos costos marginales Por ejemplo para producir el bien Niexcl es probable que se necesite del insumo comerciable T del bien no comerciable N su costo marginal puede estar compuesto del

2

bien comerciable T2

y de mano de obra Eso quiere decir que

pSNiexcl a T2TiexclPT

2 + aN2N 1 pSN2+ aLNlL = Costo marginal de producir Niexcl

(2)

PSN2 a T + aLN2PL Costo marginal de producir N (3)2N I PT

2 2

Reemplazando pSNI y pSN2 en la ecuacioacuten (1) factorizando y valorando los costos comerciales con el precio sombra de las divisas se obtiene

Be = (PTiexcl - aTiexclT PT) P - AT2TlP l - ALTiexclPL (4)2 s r s

En que

AT2T I a T T I + a T N a NiexclTiexcl + a T N a N T I + a T N a N N I a NITiexcl (5)2 2 2 2 2 2 2 2

= Costo directo e indirecto de la cantidad del bien T2

que se requiere para producir una unidad del bien TI

AUI = a LTI+ a LNiexcl a NT I + a LN2 a N2T + a LN2 a N 2N a NITI (6)

= Costo directo e indirecto de la cantidad total de mano de obra necesaria para producir una unidad del bien TI

El flujo anual de costos y beneficios generados por la ecuacioacuten (4) produce una distribucioacuten funcional del ingreso tan complicada como complicada sean los paraacutemetros ~2lI AIII Y Ps Donde ~2TI representa el costo directo o inshydirecto necesario para producir la cantidad total de T

2 que se requiere para

producir una unidad de TI (se deriva de la estructura de la matriz insumoshyproducto) Este coeficiente indica que cuando se expande la produccioacuten de TI se necesita inmediatamente una expansioacuten de las exportaciones del bien T

2 lo

cual depende del tamantildeo del coeficiente de la matriz insumo-producto ami La existencia de desequilibrios y distorsiones en los distintos mercados de la economiacutea implica que las utilidades hechas por los importadores del bien T

2

los salarios de los empleados que trabajan con eacutel y los impuestos que ambos pagan se ven todos en forma distinta de sus posibles costos de oportunidad con lo cual se altera la distribucioacuten del ingreso Por otra parte las importacioshy

~811

2

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblico Luis Diego Veacutelez Goacutemez

nes de Tcvan a tener que aumentar maacutes todaviacutea de lo que indica el coeficiente ATcTiexcl debido a que este bien es tambieacuten requerido para aumentar la producshycioacuten de los bienes no comerciales Niexcl y Nc El tamailo de estos efectos depende de la magnitud de los coeficientes de la matriz insumo-producto corresponshydiente a NiexclTiexcl ya NTiexcl La expansioacuten de las industrias que producen Niexcl y N

a su vez produciraacute efectos sobre la distribucioacuten del ingreso dependiendo de la estructura de costos de estas industrias Todo lo anterior tiene relacioacuten con los efectos que tiene la estructura del coeficiente Ar2Tiexcl Lo mismo se puede repetir cuando se habla del coeficiente Alliexcl Todo esto nos da una idea de la compleshyjidad a la que se puede llegar al tratar de establecer los efectos redistributivos ya que un aumento en una parte de la economiacutea repercute en todos los otros sectores hasta que se obtiene nuevamente el equilibrio

Ademaacutes de lo anterior los efectos redistributivos tambieacuten tienen que ver con la naturaleza del valor P s en la ecuacioacuten (4) Es necesario establecer queacute es lo que crea la diferencia entre el valor del mercado y el precio sombra de las divisas con el objeto de saber queacute grupos se estariacutean beneficiando con la produccioacuten adicional (o consumo adicional) de moneda extranjera creada por el proyecto Esto puede ser de una naturaleza bastante compleja puesto que depende del mecanismo de ajuste del mercado de las divisas Asiacute por ejemshyplo si las tarifas fueran la uacutenica distorsioacuten en este mercado y si al mismo tiempo la absorcioacuten de las divisas adicionales generadas por un proyecto se produjera uacutenicamente viacutea un aumento en las importaciones de bienes de conshysumo la diferencia entre el precio nominal de las divisas y el precio sombra representariacutea ingresos arancelarios para el gobierno y este seriacutea el uacutenico otro grupo afectado excepto que en proceso de aumentar las importaciones puede que haya algunos importadores y sus empleados que tambieacuten reciban parte de los ingresos adicionales generados en el proceso

Por otra parte si la economiacutea reacciona ante cambios en la disponibilidad de divisas con un cambio en los precios relativos por ejemplo mediante revashyluaciones o devaluaciones ello afectariacutea tanto a importadores como a exporshytadores Las utilidades y los ingresos generados por la estructura de costos de ellos tambieacuten tendriacutean quc scr determinadas para saber cuaacuteles son los grupos de ingresos finalmente afectados Por otra parte si en vez de devaluaciones y reevaluaciones la economiacutea reaccionara con cambios en el nivel total de deshymanda efectiva o actividad econoacutemica ante un cambio en la disponibilidad de divisas entonces toda la estructura de la cconomiacutea se expandiriacutea o contraeriacutea y tambieacuten afectariacutea la distribucioacuten dcl ingrcso

Capiacutetulo 9 Anaacutelisis Costo-beneficio

Lo anterior solo pretende dar una idea de las complejidades del tema En parshyticular se necesita conocimiento de la distribucioacuten funcional del ingreso que implica una expansioacuten a traveacutes de toda la matriz insumo-producto Poco han hecho los economistas en este sentido J

923 La valoracioacuten relativa interindividual

La forma en que los cambios de la utilidad de cada individuo afectan el bienshyestar social depende de un juicio de valor con respecto a las ponderaciones que la sociedad quiere establecer para los paraacutemetros redistributivos Aunque el economista no posee conocimientos teacutecnicos poliacuteticos ni socioloacutegicos que le ayuden a establecer estas ponderaciones su trabajo en contacto directo con los gobernantes y liacutederes poliacuteticos de la economiacutea le puede permitir ayudar a explicitar los juicios de valor de dichos gobernantes

Por ejemplo al trabajar cerca de los poliacuteticos y legisladores a cargo de escrishybir o modificar la legislacioacuten tributaria en especial con relacioacuten a la ley del impuesto progresivo al ingreso se podriacutea dar cuenta de la intensidad con que los legisladores piensan que las personas de mayor ingreso relativo deben pagar impuestos progresivamente mayores solamente por razones de justicia separando estas razones del resultado final de las tasas del impuesto que son tambieacuten afectadas por consideraciones de elasticidad en la recoleccioacuten tribushytaria Ello proveeriacutea automaacuteticamente las ponderaciones que se estaacuten buscanshydo Del mismo modo al actuar cerca a los hombres que toman las decisiones finales puede darse cuenta de que muchas veces los poliacuteticos prefieren ciertas acciones por razones estrictamente redistributivas4 Si el economista llevara un reacutecord de estas decisiones podriacutea ayudar a relevar en forma consistente y rigurosa las ponderaciones impliacutecitas en las decisiones de sus jefes lo cual ayudariacutea a que la toma de decisiones fuera maacutes consistente y evitariacutea el juicio de valor impliacutecito de ponderar con valores iguales a cero

Pese a los problemas que ello tiene y considerando que cualquier nuacutemero esshytablecido en forma expliacutecita es preferible a una ponderacioacuten impliacutecita de uno

3 El profesor Lanee Taylor de MIT constituye una excepcioacuten Veacutease Macromodels in Developing Counlriacutees Mc Graw HiII 1979

4 Por ejemplo el reglamento de operaciones del Plan Nacional de Pequentildeo Riesgo en Meacutexico tiene una claacuteusula que indica que no se construiraacuten obras de pequentildeo riesgo en aquellas zonas donde el inshygreso promedio familiar sin riesgo fuera mayor de cierta suma (aproximadamente Me$20000 de 1970) Ello implica una operacioacuten por distribucioacuten de ingresos igual a cero para dichas obras

Aspectos econoacutemico ce 105 proyectos del sector plbllCO I Luis DIEgo Veacutelel Goacutemez

expondremos a continuacioacuten en queacute forma el Banco Mundial ha trabajado aunque auacuten sea tentativa para realizar ajustes por distribucioacuten del ingreso en sus proyectos de inversioacuten

El sistema consiste en aceptar el supuesto de que la utilidad marginal del inshygreso es decreciente vale decir que mientras mayor sea el ingreso de una pershysona o sociedad menor seriacutea la utilidad o valor social de una unidad adicioshynal de ingreso La magnitud en que esta utilidad marginal caeriacutea al aumentar el ingreso dependeriacutea de la elasticidad E de la utilidad marginal del ingreso Si E fuera igual a -2 indicariacutea que al aumentar el ingreso en 1 la utilidad marginal de dicho ingreso caeriacutea en dos por ciento

El simple conocimiento de este nuacutemero (el cual fue calculado por R Frisch para Estados Unidos) permitiriacutea inmediatamente obtener ponderaciones de distribucioacuten del ingreso de la siguiente manera

Supongamos que la funcioacuten utilidad marginal del ingreso tuviera la forma UI

KI-E

En que

U Utilidad marginal del ingreso I

K Una constante cualquiera

1 Nivel de ingreso per caacutepita

E Elasticidad de la utilidad marginal del ingreso

Para obtener las ponderaciones por distribucioacuten de ingresos bastariacutea con exshypresar Uf de cualquier nivel de ingresos con relacioacuten al valor de U

I bull (P ingreshy

so promedio) que corresponderiacutea al de una persona de ingreso promedio P

(UU) (KI-E I KI-E) (PIIY

De este modo si E tuviera un valor igual a -2 implicariacutea que los beneficios de un proyecto de inversioacuten que favoreceriacutea a personas con ingresos equivashylentes al doble del ingreso per caacutepita promcdio deberiacutea ser ponderado por 025 Del mismo modo los beneficios que favoreceriacutean a personas con ingreshysos equivalentes al 75 del ingreso promedio tendriacutean que ser ponderados por 177

La tabla 91 muestra las ponderaciones quc corresponderiacutean ante posibles disshytintos valores de E tomando eomo base 100 el ingreso promedio per caacutepita

f284


Tabla 91 Ponderaciones ante posibles valores de E

rmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot Ingreso per caacutepita ifmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot _

20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006

Fuente Documento interno Banco Interamericano de Desarrollo BID 1987

La contribucioacuten del proyecto al consumo global puede entenderse de la sishyguiente forma

Como la sumatoria de todos los Cnj

producidos por el proyecto representa

consumo global (LLcacn) al = acal)) es necesario estimar cuaacutel es n j

efectivamente la contribucioacuten que el proyecto hace al total de consumo gloshybal

Estos ponderadores distributivos no tienen otro propoacutesito que hacer conciente al gobierno de los efectos distributivos con que los proyectos puacuteblicos pueden abonar sus medidas de poliacutetica econoacutemica En otro caso el beneficio de un proyecto puacuteblico que produce un bien meritorio puede ser captado a traveacutes del efecto sobre la funcioacuten de bienestar para desde ahiacute observar el impacto distributivo del bien

f28~

CAPIacuteTULO 10

EL CRITERIO DEL COSTO MIacuteNIMO

Objetivo Presentar los aspectos teoacutericos y metodoloacutegicos de este particular criterio evaluador de inversiones en el sector puacuteblico y maacutes especiacuteficamente su cashypacidad de asignacioacuten

101 El criterio del costo miacutenimo en los proyectos del sector puacuteblico

Preguntar cuaacutendo es pertinente o relevante utilizar un criterio de evaluacioacuten es un asunto central de toda la seleccioacuten de alternativas pues no siempre son pertinentes todos los criterios de evaluacioacuten para todos los proyectos

Es el marco de la realidad econoacutemica e instituciolial vigente en un paiacutes el que define en mayor o menor grado el criterio para eacute aluar un proyecto en un momento determinado Sin embargo cualquieacuteiacute Lle sea el marco en que esteacute inscrito el proyecto siempre seraacute posible medir los costos de las diferentes alternativas (proyectos) para conocer en forma definida las ventajas y desvenshytajas de asignarle recursos econoacutemicos

El criterio maacutes usual de seleccioacuten de alternativas es el criterio de costo-beneshyfleio pues esta teacutecnica permite identificar cuantificar y valorar los costos y beneficios en forma precisa lo cual minimiza el margen de error en la toma de decisiones

Para el caso de los proyectos del sector puacuteblico es posible que los costos scan estimables con mucho rigor pues la efectividad de muchas acciones posteriores sobre todo del financiamiento se basa en ellos Sin embargo los beneficios no siempre pueden expresarse cuantitativamente en eifras concreshytas en tal caso la forma de tomar una decisioacuten eficaz deberaacute basarse en la aplicacioacuten del costo miacutenimo como criterio de eleccioacuten de alternativas Se enshytiende por costo miacutenimo el nivel de costos en que incurre la empresa cuando su eleccioacuten de factores de produccioacuten es miacutenimizadora de costos

Habruacute que aclarar que en ocasiones puede presentarse el caso de proyectos que tienen diferentes vidas uacutetiles pero atienden una misma necesidad o sushy

f287


plen un mismo objetivo En esta situacioacuten es obvio que la alternativa de costo miacutenimo es la de menor vida uacutetil Por eso cabe advertir que en estas ocasiones debe tenerse en cuenta que al final de la vida uacutetil de la alternativa se hace necesario volver a montar la inversioacuten hasta que iguale la vida uacutetil del proyecto maacutes prolongado Por ejemplo si una necesidad de energiacutea eleacutectrica tiene solucioacuten mediante dos alternativas (proyectos) la primera mediante una planta diesel que prestariacutea servicios a 5000 habitantes durante 12 horas al diacutea y la segunda mediante una interconexioacuten que sirve las 24 horas del diacutea las alternativas seriacutean comparables viacutea costo miacutenimo si y soacutelo si se duplica la inversioacuten en la planta diesel (primera alternativa)

Otros casos en los que se vislumbra la aplicacioacuten del costo miacutenimo pueden ser las inversiones en servicios puacuteblicos por los cuales no se paga en forma directa y cuya oferta se determina generalmente por decisiones poliacuteticas Estas inversiones se han excluido de la evaluacioacuten tradicional mediante la teacutecnica del costo-beneficio puesto que carecen de precio ya que son suminisshytradas por el Estado como bienes preferentes es decir aquellos que el Estado estaacute obligado a consumir ya que si se deja a la libre eleccioacuten del consumidor eacuteste puede tomar una decisioacuten no correcta tal es el caso de la educacioacuten elemental campantildeas contra el consumo de droga y otros bienes donde el consumidor no tiene conciencia de 10 que es conveniente Sin embargo se equivocan quienes afirman que estos servicios a pesar de carecer de precio no tienen demanda y en consecuencia la asignacioacuten de recursos para estos servicios en forma oacuteptima es imposible

El ciudadano que habla con un poliacutetico para solicitar seguridad una escuela un hospital un acueducto o un alcantarillado para su comunidad estaacute deshymandando servicios a traveacutes de inversiones gubernamentales aunque luego ofrezca resistencia a pagar estas inversiones a traveacutes de la tributacioacuten t Los servicios puacuteblicos que se proveen gratuitamente por el Estado con el objetivo de garantizar cobertura a comunidades marginadas o a grupos de

I Jpoblacioacuten incapaces de cubrir su costo tambieacuten pueden disponer del criterio

de costo miacutenimo para la asignacioacuten de inversiones en forma oacuteptima De esta manera estos recursos pueden cubrir necesidades socialmente establecidas y a la vez se toma en cuenta su escasez relativa y su uso alternativo (valor econoacutemico)

El problema como se pretende mostrar en este trabajo es un asunto de tashymantildeo oacuteptimo y costo de oportunidad de los recursos es decir un asunto de

~88

Capiacutetulo 101 El criterio del costo miacutenimo

cuaacutento invertir y cuaacutendo hacerlo (periodos de disentildeo) y con queacute tipo de renshydimientos tecnoloacutegicos (economiacuteas de escala)

Una exploracioacuten de los elementos que constituyen el criterio del costo miacutenishymo pennitiraacute mostrar la bondad de este criterio de evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten no solo para seleccionar inversiones puacuteblicas en poblaciones con incapacidad de pago como son casi la totalidad de los municipios rurales del paiacutes sino tambieacuten para seleccionar tecnologiacuteas que solucionen de manera similar un mismo problema Aquiacute se encuentra la verdadera utilidad de este criterio de decisioacuten

102 Las circunstancias de aplicacioacuten

Las metodologiacuteas sectoriales del Banco de Proyectos y Programas de Invershysioacuten Nacional BPPIN (DPN 1995) han ofrecido claridad sobre el hecho de que la decisioacuten de adoptar un criterio de evaluacioacuten depende maacutes de la informacioacuten que se posea al momento de evaluar las alternativas de inversioacuten para posteriormente decidir sobre ellas (seleccionar) Dicen textualmente esshytas metodologiacuteas En proyectos en los que la cuantificacioacuten f1sica y la valoshyracioacuten monetaria de los beneficios se pueden conocer o se pueden estimar se deberaacute realizar una evaluacioacuten costo-beneficio

Sin embargo existen situaciones en las cuales tanto la cuantificacioacuten como la valoracioacuten de los beneficios es incompleta tal es el caso de proyectos de seguridad investigacioacuten ciertos proyectos de salud y educacioacuten (campantildeas o proyectos en aacutereas de reducidos ingresos) Para estos casos se hace necesaria la aplicacioacuten del criterio de costo miacutenimo el cual como se va a demostrar permite una adecuada asignacioacuten de los recursos del Estado

Efectivamente este criterio como veremos luego pennitiraacute una mejor decishysioacuten sobre la eleccioacuten de alternativas donde se procura optimizar el tamantildeo mejor que aquellos tradicionales estaacutendares donde para determinar el tamantildeo de un hospital por ejemplo se recurriacutea a un estaacutendar que indicaba por cada cierto nuacutemero de habitantes una cama o un profesor por cada cierto nuacutemero de nintildeos de edad escolar o ciertos m3 de agua por habitante o sea la metoshydologiacutea basada en el meacutetodo de requerimientos Llegado el momento esta metodologiacutea no profundiza en las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten beshyneficiaria ni tampoco en las condiciones de flexibilidad de la tecnologiacutea para un desarrollo por tramos

Aspectos econoacutemicos de 105 proyectos del sector puacuteblico Luis Diego Veacutelez Goacutemez

Lo cierto del caso es que al proveer servicios puacuteblicos gratuitamente o subshysidiados siempre se encuentran maacutes opciones teacutecnicas que econoacutemicas y en tal caso la formacioacuten de un juicio que permita adoptar una decisioacuten eficienshyte debe pasar por la explicacioacuten del criterio del costo miacutenimo Debe ser asiacute cuando la eleccioacuten se hace entre alternativas tecnoloacutegicas que reporten los mismos beneficios durante una igual vida uacutetil por ejemplo una explotacioacuten subterraacutenea de agua y una de superficie que tengan ambas el mismo tiempo de duracioacuten produciendo m3 de agua o una hidroeleacutectrica y una planta teacutermica que genere el mismo nuacutemero de kilovatios a lo largo del tiempo (capacidad) tendriacutean los mismos beneficios pero a diferentes costos O sea las circunsshytancias de aplicacioacuten del costo miacutenimo estariacutean dadas cuando el evaluador de proyectos se encuentre ante alternativas de inversioacuten que tengan iguales beshyneficios como las mencionadas anteriormente o cuando el mercado de) bien no configure su demanda por la viacutea de los precios 10 cual hace no estimables los beneficios tal es el caso de proyectos de investigacioacuten baacutesica seguridad nutricioacuten campantildeas de salud o suministro de bienes preferentes a poblacioshynes de bajos ingresos e igualmente situaciones en las que los proyectos en general apunten hacia un mismo objetivo (mutuamente excluyentes) es deshycir cuando al seleccionar uno dejan de construirse los demaacutes y muy particushylarmente cuando existen varios proyectos para alcanzar un mismo objetivo

En siacutentesis dos proyectos podriacutean ser excluyentes por tres motivos

Porque cada uno por su cuenta agota el presupuesto disponible para inversioacuten y por tanto si se realiza uno no se puede realizar el otro

Tambieacuten pueden ser excluyentes debido al hecho de que cada uno utililA un insumo de oferta fija y si efectuacutea un proyecto no habriacutea insumas necesarios para producir el segundo tal es el caso de la tierra o de mano de obra califishycada o en ciertos casos equipos especiales

La condicioacuten de excluyente puede atribuirse tambieacuten a dos proyectos que sushyplen la misma necesidad (educacioacuten salud electricidad nutricioacuten y otras) y en tal caso representan alternativas a la misma necesidad Por ejemplo teacutermishyca VS hidroeleacutectrica para producir los mismos kilovatios sistema de bombeo o de gravedad para producir la misma cantidad de agua

El anaacutelisis de costo miacutenimo presupone ademaacutes que el nivel de beneficios derivados de los proyectos que se excluyen entre siacute seraacute el mismo aunque variacuteen considerablemente los costos relacionados con cada uno de ellos

29q


Por lo tanto una de las diferencias entre el anaacutelisis de costo miacutenimo y el anaacutelisis de costo-beneficio es que el primero se basa en el supuesto de que los beneficios son constantes para todos los posibles proyectos y los costos variables mientras en el segundo tanto los costos como los beneficios pueshyden variar

El aacuterea de maacutes aplicacioacuten del criterio de costo miacutenimo ha sido la de los proshyyectos de abastecimiento de agua y saneamiento Esta teacutecnica se ha utilizado por ejemplo para escoger entre un sistema de bombeo o uno de gravedad siempre que ambos suministren la misma cantidad y calidad de agua

103 El esquema metodoloacutegico para aplicar el costo miacutenimo

El objetivo de este numeral es la exposicioacuten de las fases requeridas para el caacutelculo econoacutemico de los costos a partir del reconocimiento de la demanda del proyecto

1031 La estimacioacuten de la demanda

Como en la mayoriacutea de los proyectos la metodologiacutea para iniciar el anaacutelisis de costo miacutenimo comienza con la identificacioacuten de la demanda futura que deberaacute atender el proyecto

En consecuencia para proyectos de abastecimiento de agua de salud de inshyvestigacioacuten de alfabetizacioacuten u otro proyecto el primer paso del anaacutelisis de costo miacutenimo seraacute tambieacuten proyectar la demanda futura que deberaacute atender el proyecto En el ejemplo que se pretende seguir (proyecto de abastecimiento de agua) el graacutefico 101 muestra que la demanda de agua en una comunidad aumentaraacute constantemente con el correr del tiempo

Graacutefico 101 Evolucioacuten de la demanda

DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS

Fuente elaborado por el autor

[2911


El segundo paso seriacutea identificar la demanda insatisfecha que es igual al mercado futuro - capacidad instalada Ello implica comparar la capacidad existente del sistema actual con los niveles de demanda futura En el graacutefico 102 el sector que se destaca muestra la demanda insatisfecha que el proyecto deberaacute atender Los beneficios que produciraacute un proyecto estaacuten representados entonces por la satisfaccioacuten de esta demanda (aacuterea bajo la curva de demanda)

Graacutefico 102 Demanda insatisfecha

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS


El tercer paso seraacute identificar los distintos proyectos mutuamente excluyentes que podriacutean satisfacer la demanda futura En el graacutefico 103 se demuestra que una opcioacuten el proyecto A cumpliraacute el cometido aumentando pronunciadashymente la capacidad que no es maacutes que una sola expansioacuten sobre la capacidad instalada

Otra posibilidad se observa en el graacutefico lOA es el proyecto B que aumenshytariacutea la capacidad de forma maacutes gradual en etapas progresivas Ambos proshyyectos el A y el B atenderiacutean la demanda futura y por lo tanto produciriacutean el mismo tipo de beneficios

~9~


Graacutefico 103 Capacidad proyecto A

~777777wh0 ~ROYECTO Aiacute-~DEMANDA

ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS


Graacutefico 104 Capacidad proyecto B

PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS


El cuarto paso en el anaacutelisis de costo miacutenimo seraacute calcular los costos econoacuteshymicos relacionados con cada uno de los posibles proyectos para poder comshypararlos Uacutenicamente los costos econoacutemicos son pertinentes en este caso los financieros no lo son Los costos econoacutemicos cuantifican los beneficios que se dejan de recibir en otras actividades cuando se usan determinados recursos en un proyecto (costos de oportunidad) Los costos financieros representan meramente los gastos de una empresa como la que se ocupa en este caso de los servicios de agua

El quinto paso seraacute seleccionar el proyecto que satisfaga la demanda al menor costo posible es decir la opcioacuten que produce los mismos beneficios con el

l29~


menor costo de tiempo las mayores economiacuteas de escala y el menor costo de oportunidad

032 Caacutelculo de los costos econoacutemicos

Para ilustrar la forma de calcular los costos econoacutemicos se utilizaraacuten como ejemplo los proyectos A y B de los graacuteficos 103 Y 104 Ambos produciraacuten los mismos beneficios pero sus costos son diferentes

El criterio baacutesico para comparar estas opcioncs es el valor neto presente de cada proyecto que se obtiene restando los costos a valor presente del proyecshyto de sus beneficios tambieacuten a valor presente A continuacioacuten se examinaraacute una ecuacioacuten que ilustra la forma de calcular el valor neto presente de un proyecto

La ecuacioacuten comienza con la suma de los beneficios anuales (B) La letra i representaraacute el antildeo especiacutefico del proyecto Los beneficios de cada antildeo se expresaraacuten en teacuterminos del valor presente descontaacutendolos mediante un factor apropiado El factor es (1 +r)iacute La tasa de descuento que determina el factor para cada antildeo se indica con r Luego se calcula la suma de los costos anuales (e) en cada antildeo del proyecto i Los costos anuales se descuentan seguacuten el factor apropiado para cada antildeo de manera que eacutestos esteacuten expresados tamshybieacuten en teacuterminos de valor presente

VALOR NETO ACTUAL =i(( B ) i(( C ) J FO 1+ r 1=0 1+ r

Beneficios Costo Actuales Actuales

Donde (1+r)i es un factor de actualizacioacuten

Por uacuteltimo para calcular el Valor Presentc Ncto del proyecto se resta la suma de los costos a su valor presente de la suma de los beneficios a su valor preshysente

Pero se dijo antes que en el anaacutelisis de costo miacutenimo se supone que los beneshyficios derivados de posibles proyectos mutuamente excluyentes se mantienen constantes son equivalentes o no son valorablcs Si los beneficios de todas las opciones son los mismos se deduce que la de menor valor neto presente de los costos es la maacutes baja

Por lo tanto en el anaacutelisis de costo miacutenimo se comparan los proyectos coteshyjando el valor presente de sus costos puesto que los beneficios son constantes

[2941


para todos los posibles proyectos o en otros casos son inestimables Podemos simplificar la ecuacioacuten de manera que soacutelo incluya los costos Entonces la ecuacioacuten es costo a valor presente igual a la suma de los costos anuales C

j

descontados seguacuten el factor correspondiente a cada antildeo i

n

COSTOS A VALOR PRESENTE L( Y=0 1+ r

En efecto los costos a valor presente de un proyecto se calculan sumando los costos descontados de cada antildeo del proyecto desde el antildeo cero hasta el uacuteltimo en el que haya costos

Como lo muestra esta ecuacioacuten hay tres variables que deben considerarse al calcular los costos a valor presente

La primera es la tasa de descuento r

La segunda representada por i es la fecha de los costos es decir el antildeo o periodo en que ocurriraacuten

La tercera variable C es la magnitud de los costos que corresponderaacuten a alshyguacuten periodo del proyecto

Del anaacutelisis en detalle de estas tres variables se veraacute como cada una de ellas afecta el valor presente de los costos de un proyecto

Se concluye entonces que la minimizacioacuten de los costos de una alternativa depende de la tasa de descuento el nuacutemero de expansiones o sea cada cuaacutenshyto tiempo se deciden y la escala o rangos del tamantildeo lo que a su vez depende de la flexibilidad de la tecnologiacutea y el comportamiento de las economiacuteas de escala (factor de escala)

La primera variable que se va a analizar es la tasa de descuento r la cual deshytermina el factor de descuento

104 La tasa de descuento

El objetivo de este numeral es el reconocimiento de la tasa de descuento en la valoracioacuten de los costos

Aspectos econoacutemiacutecos de los proyectos del sector puacuteblico LUIS Diego Veacutelez Goacutemez

1041 La funcioacuten de la tasa de descuento en el caacutelculo de los costos a valor presente

Los costos en que incurre un proyecto cada antildeo o periodo se reducen por un porcentaje fijo que se denomina tasa de descuento Por lo tanto la tasa de descuento debe ser igual al costo de oportunidad del capital

Este costo --que se expresa general mente como un tipo de intereacutes porcenshytual- mide el rendimiento que habriacutean tenido Jos recursos usados en el proshyyecto si se hubieran empleado en el proyecto que se considera la segunda mejor opcioacuten El descuento es necesario entonces porque los costos ocurren en el futuro

Puesto que los costos se producen en el futuro su valor disminuiraacute con el tiempo Al descontar costos futuros que ocurren en distintos antildeos todos los costos pueden compararse usando una base comuacuten de medicioacuten Esta base comuacuten es el valor presente que en este caso es el valor de los costos en el antildeo cero El descuento es una forma de hacer que los costos futuros sean compashyrables expresaacutendolos en teacuterminos de valor presente

Por ejemplo la tierra utilizada para una nueva planta de tratamiento pudo haberse dedicado a cultivos de productos alimenticios La mano de obra y los equipos utilizados para construir la planta pudieron haber sido usados para instalar un sistema de saneamiento en otra comunidad

En ambos casos el rendimiento que pudieron haber logrado los recursos inshyvertidos en la segunda opcioacuten determina el costo de oportunidad del capital para la sociedad y por lo tanto la tasa de descuento que se usaraacute para calcular los costos del proyecto

Aunque generalmente se incurre en el error de pensar la tasa de descuento como el costo de financiamiento o el tipo de intereacutes actual esto no es correcto a la luz de la teoriacutea econoacutemica porque no siempre la alternativa de un proyecshyto es invertir los recursos en el sector financiero Habraacute que aclarar que existe esta confusioacuten porque no se picnsa que los recursos de inversioacuten pueden obtenerse de diversas fuentes entre otras levantando empresas ineficientes

En el caso colombiano las empresas privadas y las personas naturales tienen que pagar tipos de intereacutes elevados cuando se presentan coyunturas especulashytivas por la estrechez del mercado de capitales mientras que los organismos gubernamentales tal vez pueden recibir recursos en condiciones de fomento con lo cual el intereacutes es bajo En todos los casos hay que aclarar que un comshy

Capiacutetulo 10 I El criterio del costo miacutenimo

portamiento tan erraacutetico de la tasa de intereacutes no puede significar la tasa de descuento

Aunque el costo de oportunidad del capital o la tasa de descuento variariacutea de una eacutepoca a otra y de un paiacutes a otro hay que tener siempre presente que el empleo de una tasa de descuento exige estabilidad o sea que no puede ser tomada en periodo de especulacioacuten del capital financiero o de riesgo o de crishysis En muchos paiacuteses en desarrollo este costo es del 10 o maacutes en precios constantes Para el caso colombiano el costo de oportunidad del capital de los recursos puacuteblicos es el 12 quiere decir que el rendimiento marginal de los recursos puacuteblicos seriacutea del 12 si no se utilizaran en la financiacioacuten del proshyyecto del sector puacuteblico (DNP 1986) Esto es asiacute porque en todos los casos cada vez que se acepta un proyecto nuevo se sacrifica otro el que se rechaza es su costo de oportunidad

1042 Un caso representativo del empleo de la tasa de descuento

A continuacioacuten se examinaraacute coacutemo se emplean las tasas de descuento para calcular el valor presente de los costos o su valor equivalente en el antildeo cero

En el siguiente ejemplo se enumeran los costos de cuatro antildeos de un proyecto en millones de pesos

Graacutefico 105 Costos de un proyecto

o 2 3 4

iexcl iexcl iexcl iexcl 600 500 400 300


bull Ejemplo del uso de la tasa de descuento

El factor de descuento que debe aplicarse a los costos de cada antildeo 10 detershymina la tasa de descuento En este caso se supondraacute que la tasa es del 10

Los costos de cada antildeo se descuentan por el factor apropiado para ese antildeo con el fin de obtener el valor presente En este ejemplo los costos del antildeo uno se multiplicaron por el factor de descuento de 091 y su valor se redujo de 600 millones de pesos a 546 millones En el antildeo dos se descontaron de 400 milloshy

-- --------

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblICo LUIS Diego Veacutelez Goacutemez

nes a 332 miilones de pesos en el antildeo tres de 400 millones a 300 millones de pesos yen el antildeo cuatro de 300 millones a 204 millones de pesos

Los factores de descuento en constante disminucioacuten y los valores decrecienshytes de los costos que se destacan en el graacutefico 101 demuestran que cuanto maacutes tarde se produzca un costo menor seraacute su valor presente

Cuadro 101 Factores de descuento pCoo IF de dc~Io ~ bull(milloflt~j)l~Jta~l de descuento 011

O bull -- middotmiddot-691middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot I ~-600-~---------shy ~----00

c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_

Fuente Manual del participante en Ingenieriacutea Econoacutemica Facultad de Minas 1995

105 El tiempo y su efecto econoacutemico

El objetivo de este numeral es la estimacioacuten de la fecha que puede minimizar los costos al sentildealar el momento oacuteptimo de la expansioacuten

lO5l La fecha oacuteptima para el costo miacutenimo

Al analizar las variables que determinan el costo de un proyecto se plantea la necesidad de considerar el comportamiento futuro de la demanda como una forma de referenciar las respuestas de los componentes de la planta inicial de un proyecto a su virtual dinamismo esto significa que a largo plazo todos los componentes de una planta inicial requeriraacuten una capacidad adicional pero a corto plazo soacutelo la necesitaraacuten algunos de estos componentes y en fechas distintas

El estudio de mercado ademaacutes de permitir proyectar la demanda en un nuacuteshymero de periodos (antildeos) en que se desarrolla el mercado desde que se inicia la produccioacuten del proyecto permite el caacutelculo de una tasa de crecimiento de mercado (R) de tal manera que uno puede decir que la demanda oacuteptima (Djj es igual a la magnitud del mercado actual (0 multiplicada por el desarrollo

01

porcentual de la demanda (1 + R)

Factor de Crecimiento de la Demanda = (1 + R) ~ D = D (1 + R)iacuteI ()

a valor presente

546 332300

Capiacutetulo 101 El entena del costo miacutenimo

A esta demanda en el periodo i (oacuteptimo) deberaacute e I proyecto responder con una capacidad de produccioacuten para impedir llegar al punto de demanda insashytisfecha lo cual plantea el segundo problema de la ecuacioacuten de costo miacutenimo o sea el cuaacutendo deberaacute hacerse la expansioacuten

La consideracioacuten que habraacute que hacer es que si se conoce el grado de flexibishylidad tecnoloacutegica (expresado en la vida uacutetil de los diferentes componentes de la planta) y el crecimiento de la demanda (R) la fecha oacuteptima para hacer los ajustes (ampliaciones) de la planta deberaacute ser aquella que permita mantener al miacutenimo los costos totales de inversioacuten durante el horizonte del proyecto o sea se deberaacute ajustar la planta cada que la demanda lo exija y la tecnologiacutea 10 permita En consecuencia cada cierto tiempo i se deberaacute hacer un ajuste de planta que se expresa en un e (Costo de ajuste en el afio i) de manera que

Por tanto la fecha econoacutemicamente oacuteptima (i) para los costos del proyecto deberaacute ser tan tarde como sea posible mientras se atienda la demanda sin recurrir al racionamiento (demanda insatisfecha) Esto porque cuanto maacutes tarde se produzcan [os costos mayor seraacute su descuento y por consiguiente menos seraacute su valor presente Por ejemplo un milloacuten de pesos que se iriacutean a gastar hoy prematuramente si se pospone para el periodo 1 5 cuando la deshymanda lo exija soacutelo seraacuten $ 240000 (a una tasa de descuento del 10)

Se admite luego que una inversioacuten prematura haraacute que los recursos pemlashynezcan improductivos y entre tanto se impediraacute que estos recursos produzcan beneficios en otra parte de la economiacutea

En conclusioacuten son varios los beneficios de diferir las inversiones hasta una lecha oacuteptima el menor valor presente de los costos El aprovechamiento de los costos en un mayor nuacutemero de all0s lo cual alivia la carga de flnanciacioacuten La distribucioacuten maacutes uniforme de las inversiones en un periodo maacutes prolonshygado del proyecto

Invertir prematuramente para prevenir las alteraciones de costos que produce la inflacioacuten es ignorar que es maacutes va[orizadora la tasa de intereacutes real creando que la inflacioacuten destruyendo

299


052 Un ejemplo sobre tiemport de expansioacuten

La comunidad delmuniacutecipio de Agua Blanca ha venido creciendo y tiene un consumo inicial de agua de 20000 ldiacutea Se ha supuesto que este consumo creceraacute a una tasa de 010 anual acumulativo

El analista del proyecto ha pensado en instalar una planta de tratamiento doshytada con un exceso de capacidad del 025 sobre la demanda inicial Se supone que la curva de demanda es monoacutetonamente creciente en el tiempo y tiene una longitud temporal de 10 antildeos

Pregunta

iquestEn queacute periodo la capacidad inicial se hace insuficiente de tal manera que se deba realizar un nuevo ensanche

Respuesta

La curva de demanda estaacute dada por la expresioacuten Di = Do (1 + R)i

Donde

D =Demanda en el antildeo i I

Do Demanda inicial (20000 IIdiacutea)

R = Tasa de crecimiento anual acumulativo 010

Por lo tanto la capacidad inicial seraacute

Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea

Estos 25000 litros diarios seraacuten insuficientes a partir del antildeo n donde

25000 = Do (1 + 010) (En este punto la oferta seraacute igual a la demanda del antildeo i)

25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234

o sea que a los 234 es la fecha oacuteptima para realizar la segunda expansioacuten porque a partir de esa fecha el crecimiento de la demanda supera la capacidad inicial de la planta

[3oq


Graacutefico 106 Demanda e incremento de capacidad

20000 Itsldiacutea 14023 = 25000 Itsldiacutea

20000 Itsldiacutea --1----shy

05 1 15 2 25 3 35


106 Las economiacuteas de escala

El objetivo de este numeral es indicar el efecto que tiene la seleccioacuten de la tecnologiacutea en la minimizacioacuten de los costos

1061 Dimensioacuten de los costos y el tamantildeo del ajuste

Es importante indicar que la comparacioacuten de la capacidad existente con la demanda proyectada soacutelo indica cuaacutendo deberaacute hacerse la ampliacioacuten pero no revela nada en cuanto a la escala de la ampliacioacuten requerida

La escala o dimensioacuten de los costos exige una decisioacuten sobre el grado en que se ampliaraacute la planta existente mejor dicho la pregunta central es iquestcuaacutel es el tamantildeo de la nueva expansioacuten Esta pregunta es clave porque el tamantildeo del ajuste afectaraacute los costos de inversioacuten La respuesta a esta pregunta exige que se defina primero queacute es una funcioacuten de produccioacuten porque dependiendo del caraacutecter de esta funcioacuten habraacute o no economiacuteas de escala

En forma simple podemos decir que una funcioacuten de produccioacuten es una relashycioacuten entre una cantidad de producto (Y) y una cantidad de factores XI X 2bull

X los cuales al variar dentro de una teacutecnica determinada alteran el nivel de produccioacuten

Ahora si el resultado Y = f(X I X ) suponiendo que los factores de producshy2

cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos

se multiplica por 1 siempre y cuando se multipliquen por t los factores deshycimos que existen rendimientos constantes a escala pero si el resultado del nivel de produccioacuten (Y) no crece en la misma proporcioacuten que los factores habraacute rendimientos decrecientes a escala y en caso contrario habraacute rendishymientos crecientes o sea

Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2

) =gt Rendimientos constantes a escala

Si f (tXiexcl tX2) lt t x f (Xiexcl X2

) =gt Rendimientos decrecientes

Si f (tXiexcl tX) gt t x f (Xl X2) =gt Rendimientos crecientes a escala

Estos uacuteltimos rendimientos significan que se obtiene una produccioacuten mayor al multiplicar los factores de produccioacuten por 1 que t veces el producto este es el caso de los oleoductos los cuales al duplicar su diaacutemetro maacutes que dushyplican su capacidad lo cual quiere decir en teacuterminos de costos de inversioacuten que al duplicar triplicar eacutestos la capacidad responde maacutes que duplicaacutendose o triplicaacutendose o en otros teacuterminos que el costo unitario (costo medio) de proshyduccioacuten CJ Q disminuye siendo C

t Costo total y Q Nivel de produccioacuten

Graacuteficamente seriacutea

Graacutefico 3 Economiacuteas de escala

700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r

- shyCAPACIDAD (QM3seg)


130~


Sin embargo esto no quiere decir que los proyectos deban concluirse con la mayor escala posible para obtener costos unitarios maacutes bajos porque en las mayores escalas pueden existir costos de oportunidad que arruinen las economiacuteas de escala El quid del asunto estaacute en ampliarse siempre cuando el ahorro en los costos de produccioacuten unitarios producidos por la escala de produccioacuten sean maacutes altos que los costos de oportunidad unitarios generados por las grandes escalas de produccioacuten

Para entender mejor esta compensacioacuten entre economiacuteas de escala y costos de oportunidad habraacute que examinar las funciones de costo que se derivan poniendo precio a los factores de produccioacuten en las funciones de produccioacuten

O sea Costo de inversioacuten C = f (PXiexcl PX PX) quiere decir que la dishymensioacuten de la capacidad de planta determina el costo de inversioacuten Esto se expresa en una ecuacioacuten de comportamiento que puede ser C KQu donde

C Costo de inversioacuten

Q Dimensioacuten o capacidad que se mide en unidades fiacutesicas por tiempo (m2hora Itssegundo)

a = Factor de escala o sea coacutemo variacutean los costos al variar la capacidad o lo que es lo mismo

Quiere decir coacutemo variacutean Jos costos cuando variacutea la capacidad eacuteste es un nuacutemero mayor o menor que uno que indica la elasticidad de los costos

K Constante cuyo valor depende de las unidades en que se miden costos y capacidad como pesos m2hora lsegundo

La ecuacioacuten permite inferir lo siguiente Cuando a Factor de escala es mashyyor que 1 hay deseconomiacuteas de escala o sea que suben maacutes los costos que la produccioacuten en una eventual ampliacioacuten Si el factor de escala es 1 existen rendimientos constantes y si a es menor que 1 se presentan economiacuteas de escala o rendimientos crecientes de la ampliacioacuten En fonna equivalente esto significa que cuando existen economiacuteas de escala resulta que toda ampliashycioacuten reduce los costos medios = costos totales de inversioacuten Q cantidades producidas


En resumen diferentes factores de escala pueden producir diferentes funcioshynes de costo total por ejemplo cuando el factor es 2 al duplicar la capacidad se cuadruplica el costo si el factor es 1 duplicar la capacidad implica duplishycar el costo de inversioacuten y cuando el factor es 05 significa que al duplicar la capacidad los costos de inversioacuten soacutelo se incrementaraacuten en OAO

Donde C Costo de inversioacuten

Q Capacidad

Los factores de escala son el resultado de disentildeos tecnoloacutegicos del caraacutecter de la industria y del tipo de expansiones que se hagan (por tramos por unishydades etc) tambieacuten pueden variar de un paiacutes a otro por factores culturales e institucionales

Ejemplo Caso planta eleacutectrica

Este ejemplo mostraraacute coacutemo se presenta una economiacutea de escala por la evoshylucioacuten lenta de los costos en comparacioacuten con la capacidad en el caso de un ensanche de la planta

Problema Cuaacutel seriacutea el costo de una planta de 800 megavatios (MW) si la funcioacuten de costos de las plantas de energiacutea es

e 13 x K07 donde el factor de escala es 07 y K es la capacidad

lnversJOn

e = 13 X (800)degmiddot7lnverSlOn

log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000

Ahora si la planta se expande 375 iquestCoacutemo se expandiraacuten los costos

C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000

Los costos soacutelo crecieron 25

Capiacutetulo 101 El cnterio del costo miacutenimo

1062 Ejemplo

Puede demostrarse que los tanques de almacenamiento (depoacutesito) tienen un factor de escala de 066 con lo cual su ampliacioacuten puede representar econoshymiacuteas de escala

Solucioacuten

Capacidad del tanque K= U

Donde

L Lado

L = KI3

Costo de construccioacuten e = U (porque el costo de produccioacuten es proporcional al aacuterea construida)

De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66

Factor de escala = 066 lt 1 representa economiacutea de escala

107 Modelo para la optimizacioacuten de la expansioacuten

El objetivo de este numeral es la construccioacuten de un modelo que sintetice vashyriables econoacutemicas y teacutecnicas en la definicioacuten del periodo oacuteptimo de disentildeo

El periodo oacuteptimo de disentildeo

Se trata ahora de identificar la escala oacuteptima de incrementos de inversioacuten del proyecto (o ajustes de capacidad) que minimizaraacuten los costos a valor preshysente y atenderaacuten la demanda futura es decir cuaacuten grande deberaacute ser cada incremento

Por desconocimiento de la programacioacuten dinaacutemica se trabajaraacute con funcioshynes lineales en tal caso se supondraacute que

La curva de demanda es lineal y por ello su crecimiento se puede medir en mhora lsegundo m3antildeo o sea en una tasa determinada por el estudio de mercado (R)

pOS

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblICo Luis Diego Veacutelez Goacutemez

La capacidad existente seraacute igual a la demanda del antildeo O que se mide en las mismas unidades

Cada que se incrementa la capacidad se tendraacute que hacer la inversioacuten respecshytiva

Los costos de operacioacuten no se toman en cuenta porque dependen del nivel de produccioacuten y no de la capacidad instalada

La capacidad de produccioacuten se aumentaraacute en una serie de incrementos iguashyles que pueden extenderse indefinidamente Estos incrementos de la capacishydad de produccioacuten constituyen lo que se denominaraacute el periodo de disentildeo o sea el nuacutemero de antildeos durante los cuales este incremento de capacidad atenshyderaacute la demanda Dicho de otra manera determinar la escala oacuteptima de los incrementos de capacidad es lo mismo que determinar el periodo de disentildeo oacuteptimo

Consecuente con estos supuestos llamaremos O al quantum de crecimiento de la demanda por periodo (mes antildeo semestre diacutea) o sea que en X periodos la demanda aumentaraacute XxD unidades Asiacute en el periodo O se deberaacute increshymentar la capacidad en XxD unidades para que atienda la demanda durante X periodos Una vez llegue al periodo X la demanda coparaacute la capacidad deberaacute en este periodo efectuarse un nuevo incremento de la capacidad XxD unidades a fin de atender la demanda hasta el periodo 2X En este periodo se deberaacute hacer otra expansioacuten de XxD unidades que sea suficiente hasta llegar al periodo 3X y asiacute sucesivamente

Con cada ajuste de capacidad se entiende que ocurre un nuevo costo de inshyversioacuten De esta manera la primera inversioacuten deberaacute hacerse en el antildeo O en que se hace el primer montaje de capacidad la segunda inversioacuten seraacute en el periodo X la tercera en el periodo 2X y asiacute indefinidamente Simplificando la ecuacioacuten que representa estos ajustes de inversioacuten seriacutea

e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r

Siendo Ciexcl Costo de inversioacuten a ajuste en el antildeo i

Pero cuando se mostroacute el comportamiento de las economiacuteas de escala se vio que la relacioacuten entre costos de inversioacuten y capacidad del proyecto estaba representada por una ecuacioacuten de este tipo C = KxQ

x


Donde

K = Constante

Q = Capacidad del proyecto

a = Factor de escala

Ademaacutes ya se ha mostrado que la capacidad Q se forma por rangos de exshypansioacuten (XxD unidades) siendo X el periodo de disentildeo y D el incremento de la demanda

Por lo tanto es posible reemplazar la capacidad Q por XxD que son los ranshygos de expansioacuten que ocurren para X periodos (periodos de disentildeo)

Para calcular entonces el valor presente de los costos habraacute que sumar los costos de inversioacuten descontados de cada periodo de disentildeo asiacute

VPCOSTOS = ~ (K x (X x D) )lt ij _~ -rX )

Donde por supuesto

XxD = Rango de expansioacuten de la capacidad

a Factor de escala

r Tasa de descuento

Nuacutemero de ajustes

Se sorprenderaacute el lector por el nuacutemero (1 e-rx) pero recordaraacute que cada costo de inversioacuten que representa un ajuste se hace cada periodo X (periodo de dishysentildeo) y como los ajustes son indefinidos X tiende a con lo cual el factor de descuento (1 (1 + r)) ya no representa una funcioacuten discreta sino continua que queda convertida en la representacioacuten de una serie convergente

Mediante teacutecnicas de derivacioacuten es ahora posible calcular el periodo oacuteptimo de disentildeo (X) o de otra forma la escala de expansioacuten que minimiza los costos a valor presente Tenemos entonces que

30~


1e (Kx (Xx D ))x ij _e-rx )

de K Da [xa-I 1 Xa 1 (_-rX ~ - = X X ax xij -x)- x( JX~ XrdX -e r ~_e-rx

Ahora si

u dY dUy e =gt-xshydU dX

dY u -=e xr dX

SiY=f(X)

a I rx de _ K DO [axx - rxX xe- ]-- x x dX 1- e-rX rX r~ _eshy

de = [ampxxa-)x~_e-rx))-~xxaxe-rx)~_KxD

a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX

de rXxmiddot-) X ~ - axe- - rX X xe-rx ]= O dX

rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt

aX ~ - e-rx )= rX X xe-rX


X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r

La derivada no tiene solucioacuten analiacutetica lo que obliga a una solucioacuten por meacuteshytodos numeacutericos cuyo resultado l es

26 f 12X=-xl-a gt1

r Lo que se vislumbra es que el periodo de disentildeo oacuteptimo X es funcioacuten de la tasa de descuento r y del factor de escala a los cuales una vez conocidos penniten calcular el periodo de disentildeo oacuteptimo para todas las combinaciones de tasas de descuento y factores de escala

Supongamos una tasa de descuento del 10 Y un factor de escala del 07 el periodo oacuteptimo resultante seriacutea de 7 antildeos Quiere decir entonces que la capacidad se aumentariacutea cada 7 antildeos para atender la demanda en los 7 antildeos siguientes En el cuadro 102 se pueden ver los periodos de disentildeo oacuteptimos para diferentes factores de escala y tasas de descuento

Cuadro 102 Periodos de disentildeo oacuteptimos

Tasa de descuento 8 10 12- +~

03 22 17 05 15

1 A este resultado llegoacute mediante una tabulacioacuten por meacutetodos numeacutericos el profesor Sergio Restrepo del postgrado de Matemaacuteticas de la Universidad Nacional en julio de 1995

130Q


La conclusioacuten que puede sacarse de este cuadro es que a menores factores de escala (que significan mayores economiacuteas) es maacutes razonable disentildear para periodos largos siempre y cuando la tasa de descuento sea baja Obseacutervese que el mayor periodo de disentildeo es de 22 antildeos justamente porque el factor de escala es 03 y la tasa de descuento 8 lo cual significa que por ampliarse no sc tiene un castigo grande con los costos de oportunidad representados en la tasa de descuento

Pero iquestQueacute sucede si la tecnologiacutea no es tan flexible para disentildear en periodos cortos que son el resultado de tasas de descuento altas y factores de escala altos (deseconomiacuteas de escala) En este caso obseacutervese que el periodo de 6 antildeos correspondiente al factor de escala 07 y la tasa de descuento 012 tendraacute que ampliarse a 7 antildeos con el consiguiente sobrecosto del 2 en razoacuten de que a este periodo le corresponde una tasa de descuento del 10 La magnitud de este sobrecosto (2) se evidenciaraacute seguacuten la magnitud del capital a invertirse Al contrario si el periodo de disentildeo es muy largo (22 antildeos) en razoacuten a bajos factores de escala y bajas tasas de descuento (03 y 008 respectivamente) y el inversionista carece de financiacioacuten para periodos tan largos de su planta tendraacute que reducir el tiempo de disentildeo en este caso 17 antildeos lo cual indica que perderiacutea economiacuteas de escala (ahorro de costos medios) durante 5 antildeos El impacto se visualizariacutea en el valor presente de los costos seguacuten como caiga el costo medio

e r Costo de inversioacuten

Q Cantidad producida

Esto equivale a decir que se tendriacutea capacidad ociosa durante cinco antildeos a un costo de oportunidad del 8 La magnitud exacta sobre el valor presente de los costos se veriacutea seguacuten la magnitud de la inversioacuten Lo que siacute es cierto es que cuando el impacto no es tan grande se puede reducir el periodo de diseshyntildeo para acomodarse a las exigencias de la financiacioacuten del capitaL

Seleccionar el valor presente miacutenimo de los costos es seleccionar la escala que permita aprovechar los ahorros de costos de las economiacuteas de escala deshycidir hacer la inversioacuten tan tarde como lo permita la atencioacuten de la demanda ya una tasa de descuento (costo de oportunidad) que permita minimizar los costos improductivos de la capacidad ociosa Por ejemplo como se ve en el cuadro 102 seleccionar un factor de escala de 070 y una tasa de actualizashycioacuten de 010 daraacute un periodo oacuteptimo de 8 antildeos a un valor presente de los cosshy

B1q

Capitulo lO El criterio del costo miacutenimo

tos de $7K Este seraacute un costo miacutenimo obtenido de reemplazar en la ecuacioacuten

e K Da 1de = x x XA

x ij _e-rx r pero se tiene que reducir el periodo de disentildeo

de 8 a 4 antildeos por escasez de recursos de inversioacuten o cuando las disponibilishydades son altas se puede ampliar el periodo de disentildeo a 16 antildeos por inftexishybilidades tecnoloacutegicas las consecuencias sobre los costos a valor presente se incrementariacutean hasta 8K lo que da un margen de maniobra muy alto al inversionista en razoacuten al pequentildeo impacto sobre los costos esto seriacutea graacutefishycamente asiacute

Graacutefico 8 Periodo de disentildeo y costos

8K COSTOSA 7KVALOR PRESENTE

164 8

ANtildeOS


Pero aun si por escasez de fondos solo podemos hacer expansiones en perioshydos cortos (4 antildeos en este ejemplo) podemos ver coacutemo progresan los costos e = KxQ entonces

e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606

Para ver la diferencia de costos entre periodos de ampliacioacuten de 4 antildeos y de 16 antildeos se observa que

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblico I Luiacutes Diego Veacutelez Goacutemez

Costos =246 =040 Costos (16) 606

Lo cual significa que los costos de 4 antildeos son 040 de los costos de 16 antildeos Se concluye entonces que el proyectista tomariacutea este periodo de ampliacioshynes dado el lento progreso de los costos o sea hariacutea tres ampliaciones y sus costos no se multiplicariacutean por tres todo como resultado de las economiacuteas de escala

Conclusiones

En el anaacutelisis del costo miacutenimo los costos deben expresarse en precios consshytantes estos precios se obtienen deflactando los precios corrientes (que inshycluyen un monto por inflacioacuten) mediante un iacutendice de precios apropiado Nuestra costumbre es emplear el iacutendice de los precios de consumo para conshyvertir precios corrientes a precios constantes El proyecto que tenga el valor presente maacutes bajo de costos es la alternativa que se prefiere Sin embargo las preferencias podriacutean cambiar si se emplearan tasas diferentes de descuento para calcularlos De alli la importancia de escoger con cuidado la tasa de descuento Es igualmente importante probar los efectos que tendriacutean las difeshyrentes tasas sobre los costos a valor presente

Una vez descontados los costos es faacutecil ver las ventajas de diferirlos tanto como sea posible pues su valor disminuye con el tiempo Ya es faacutecil calcular factores de descuento sobre la base de diversas tasas de descuento utilizando las tablas de valores presentes que se encuentran en cualquier texto de ingeshynieriacutea econoacutemica

Se concluye entonces que cuando dos proyectos tienen capacidad para solushycionar un problema o alcanzar un objetivo en forma equivalente en condicioshynes de una alta tasa de descuento es preferible aquel proyecto de tecnologiacutea liviana (costo operativo alto) puesto que liberando recursos de inversioacuten inishycial se entra en la senda del costo miacutenimo Si la tasa de descuento es baja reshysulta provechoso emplear tecnologiacuteas que tengan un gran costo de capacidad inicial (inversioacuten alta) y bajo costo operativo todo esto dependiendo del nivel de produccioacuten porque las opciones tecnoloacutegicas son a mayor capacidad inishycial menores costos operativos Matemaacuteticamente seriacutea

Capiacutetulo 10 El criterio del costo mfnimo

Valor actualizado de los costos = lo Ln

( j iexcl=o 1+ r

Ciexcl Costo de inversion en el antildeo i

Si r es alta es preferible reducir la inversioacuten inicial y siacute r es baja es deseable aumentarla porque no se sacrifIcariacutean ingresos en otras alternativas que es justamente el costo de oportunidad Es decir la recomendacioacuten es que si el costo de oportunidad es bajo no es muy dantildeino excederse en el tamantildeo de planta inicial representado por ler

De acuerdo con el cuadro 102 es preferible disentildear para periodos maacutes proshylongados cuando las economiacuteas de escala son mayores Lo cual significa a su vez factores de escala menores (factor de escala menor que 1) que produshycen ahorros en los costos operativos a mayores niveles de produccioacuten dada la mayor intensidad en el uso de la planta Una combinacioacuten deseable seriacutea economiacuteas de escala altas y costos de oportunidad b~os lo cual tendriacutea como consecuencia largos periodos de disentildeo y obviamente alta inversioacuten inicial de capacidad El efecto contrario se produciriacutea con menores economiacuteas de escala (factor de escala mayor que 1) Y altas tasas de descuento

Conocer el periodo oacuteptimo de disentildeo es la base para calcular los periodos de disentildeo que minimizaraacuten los costos a valor presente de un nuacutemero infinito de ampliaciones estos son los Ciexcl pero igualmente es importante conocer la tasa de descuento apropiada para esa escala de costos (r) y tambieacuten el perioshydo (i) de la expansioacuten no sea que lo que nos trae la economiacutea de escala en ahorros nos lo quite el costo de oportunidad (r) o la fecha inapropiada de la expansioacuten (i)

El resultado final seriacutea entonces

Costo miacutenimo =L e I =F(r j e) (Valorpresenled los costos) (1 + r)

81~

Aspectos econoacutemiacutecos de los proyectos del sector puacuteblico Luiacutes Diacuteego Veacutelez Goacutemez

Apeacutendice al capiacutetulo 10

Como se estaacute pasando de anaacutelisis discreto a anaacutelisis continuo el proceso de descuento para actualizar el valor presente de los costos no se haraacute por medio del factor (discreto)

1

(1 +rY Siendo r Tasa de descuento y t Tiempo discreto o lo que es lo mismo (1 + r)-t

Si se utiliza el factor de descuento continuo el factor de valor actual se expresashyraacute en la forma e-rl

bull Esto seraacute uacutetil para nuestro caso en que la funcioacuten de costo variacutea con el tiempo y por tanto puede tener opciones de optimizacioacuten en la medida en que con expansiones infinitas escale costos

En realidad los beneficios y costos no se vuelven tangibles el uacuteltimo diacutea del mes como se supone cuando se utilizan tasas de intereacutes discretas En teoriacutea el intereacutes y el descuento continuos parecen ser maacutes apropiados que el proceso discreto aunque cuando por razones de simplicidad y comodidad se utilice el proceso discreto en lugar del continuo

La cuestioacuten es que entre uno y otro meacutetodo si produce un cierto margen de error

Veaacutemoslo i

(1 + r y Cuando el intereacutes se cobra una vez al mes

r J21 Cuando el intereacutes se cobra en periodos maacutes cortos (2 veces al mes)(1 +

2

(1 + r Cuando el intereacutes se cobra por semanas (4 veces al mes)

(l+~r Intereacutes compuesto n veces al mes

1__ diexclJllUi) 1 c)

1 dlcellU uelloslo ITllrllrlO

La expansioacuten de este binomio seriacutea

1+(H +(ntx~-I)lt Hntx(nt 1)x (nt - 2) xe)+ 3 n

Es decir 1 + rl

Luego descontando y dejando que n tienda a l la expresioacuten resultante seriacutea

(r X t)3---------- + +

31

Que es la expansioacuten de la serie ert que equivale al factor discreto de acumulashycioacuten discreta del intereacutes compuesto

Si se utiliza el descuento continuo el factor de valor actual se expresariacutea e~rt que equivale al factor discreto de valor actual

((1 L) ) o sea (I+rt

verificacioacuten se encuentra en el Manual delIDE Manualon Hiacuteghway Proyect Appraiacutesal Willard Weiss 1985 p 67

1315

CAPIacuteTULO 11

LA EJECUCiOacuteN Y EL CONTROL DEL PROYECTO

A continuacioacuten se expondraacuten las guiacuteas maestras para configurar el proyecto en una red de actividades que permitan establecer los indicadores de seguishymiento y los indicadores ex-post de su ejecucioacuten Con esta guiacutea tomada del curso de Gerencia de Proyectos dictado por el profesor Heacutector Saniacuten Aacutengel en el ILPESI no se pretende sustituir un curso formal de gerencia de proyecshytos sino maacutes bien caracterizar esta eta a del ciclo de los ro eetos

Una vez aprobada la realizacioacuten del proyecto se procede a contratar los dishysentildeos dcfinitivos lo cual implica que en esta sub-etapa puede presentarse una revisioacuten del presupuesto del proyecto aunque en forma de ajuste Esto significa tambieacuten que deberuacute procederse con los informes de financiamiento para tener claramente definidos tanto los componentes de creacutedito del proyecto como los montos originados en fuentes patrimoniales () recursos propios

El proceso de ejecucioacuten del proyecto comprende la construccioacuten o montaje y la operacioacuten del mismo a traveacutes de todos los antildeos de su vida uacutetil Geneshyralmente comprende dos sub-etapas 1) El montqje de las inversiones o sea la adquisicioacuten de la infraestructura baacutesica la instalacioacuten de los equipos la creacioacuten de la organizacioacuten que va a operar el proyecto y la capacitacioacuten del personal y 2) La operacioacuten y el mantenimiento sin embargo estas etapas no son mutuamente excluyentes porque tambieacuten se pueden hacer ampliaciones o reposiciones una vez montado el proyecto En estas sub-etapas se presenta el proceso de interventoriacutea que se hace a nombre de los duentildeos de la inversioacuten

Al iniciar el mOlltaje y construccioacuten del proyecto la supervisioacuten deberaacute enshycargarse de que se satisfagan las metas propucstas con anterioridad y que se respeten los presupuestos Ademaacutes deberaacuten coordinarse las diferentes activishydades del proyecto con los organismos participantes en el mismo

Hay que entender que tanto en la etapa de ejecucioacuten como de operacioacuten deshyberaacute continuarse con el proceso de evaluacioacuten pues pueden ocurrir cambios que afecten los flujos del proyecto En estas condiciones se procede con una evaluacioacuten para ver si se atienden las metas acordadas hasta la etapa ejecutashyda mediante el caacutelculo de la rentabilidad de las inversiones hasta ese momenshy

317

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblico Luis Diego Veacutetez Goacutemez

to esta evaluacioacuten equivale a un seguimiento que puede entregar lecciones para el futuro En otro caso habraacute que defInir si se continuacutea o se replantea el proceso de ejecucioacuten o en uacuteltimo teacutermino si se abandona el proyecto Esto uacuteltimo ocurre cuando los cambios son muy radicales y adversos Una vez realizada la evaluacioacuten del seguimiento se deberaacute realizar una evaluacioacuten exshyante que toma en cuenta solo los costos y los beneficios de continuar con el proyecto o sea que nace un nuevo proyecto que es propiament~ el proyecto de la continuacioacuten

Terminada la etapa de montaje comienza la etapa de operacioacuten que se enshytiende como la etapa en que el proyecto empieza a rendir los beneficios espeshyrados en forma de bienes o servicios Esto supone que los duentildeos del proyecto deberaacuten garantizar los fondos suficientes y el personal adecuado para una operac ioacuten eficaz (capital de trabajo)

111 Programacioacuten de actividades y control de la programacioacuten

El objetivo de la programacioacuten de recursos y la conversioacuten de estos en actishyvidades es asegurar que la estuctura organizacional del proyecto responda debidamente a su despliegue e implementacioacuten

Aunque desde tiempos remotos la programacioacuten se hizo intuitivamente con base en la experiencia a principios del siglo XX se disentildearon los programas de barras o de Gantt que son una representacioacuten graacutefica de la programacioacuten en barras localizadas en una escala de tiempo Maacutes adelante en 1957 se dishysentildearon las redes CPM y PERT

El CPM (Critical Path Method) es un meacutetodo desarrollado en Dupont para programar el mantenimiento de sus equipos de tal forma que no se afectara la produccioacuten Consiste en actividades representadas por flechas conectadas por nodos que indican la precedencia formando una red Es un sistema deshyterminiacutestico

El PERT (Program Evaluation and Review Technique) se desaITolloacute en forma paralela al CPM con el fin de organizar las actividades necesarias para proshyducir los proyectiles Polarix por la Armada de los Estados Unidos de forma probabiliacutestica

Capiacutetulo 11 La ejecucioacuten y el control del proyecto

I l l I Funciones de un programa de obra

Entre las funciones maacutes importantes estaacuten las siguientes

bull Modelacioacuten y planeacioacuten de un proceso cualquiera

bull Consecucioacuten de recursos a tiempo

bull Planeamiento financiero de costos y de tiempos

bull Comunicacioacuten y coordinacioacuten entre los diferentes participantes del proshyyecto

bull Definicioacuten de responsabilidades

bull Instrumental izacioacuten del control

bull Registros histoacutericos para litigios de diferente iacutendole documentacioacuten y plashyneacioacuten de proyectos futuros

1112 Establecimiento de niveles de detalle

La programacioacuten de actividades puede tener diferentes niveles de detalle deshypendiendo de la magnitud del proyecto y de quieacuten solicite la programacioacuten No obstante la programacioacuten de actividades deberaacute tener como punto de partida la descomposicioacuten del proyecto en sus componentes principales y a partir de ahiacute por medio de una organizacioacuten de las actividades ganar niveles de detalle

Un nivel de detalle gerencial es aquel en donde se esbozan las actividades principales por lo tanto la programacioacuten debe tener la cobertura de todo el proyecto que puede ser de diferente tiempo 23 5 antildeos o maacutes En este nivel de detalle se manejan multiproyectos por tanto el nivel de las programacioshynes debe ser muy general

Un nivel de detalle para el director de un proyecto debe ser en cambio maacutes detallado pueden tenerse del orden de 100 a 200 actividades dependiendo de la magnitud del proyecto

Debe reconocerse que el nivel de detalle de un Residente debe ser todaviacutea maacutes detallado porque debe hacerse una programacioacuten semanal o quincenal de la obra junto con el contratista para proponer metas que cumplir en cortos plazos

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacutebliacuteco I luis Diego Veacutelez Goacutemez

13 Identificacioacuten y secuencia de actividades

Los factores que deben tenerse en cuenta tanto en la secuencia como en la identificacioacuten de actividades son

11131 Responsabilidad

Tiene que ver directamente con cada uno de los sistemas de los que se comshypone un proyecto Por ejemplo para el caso de un edificio seriacutean excavacioacuten cimentacioacuten hidraacuteulicas y eleacutectricas etc Cada una de las actividades debe tener un responsable en el proyecto

11132 Areas de trabajo

Como su nombre lo indica tienen que ver con el aacuterea flsica donde se desarroshyllan las labores Un buen programa interrelaciona el factor de responsabilidad con el factor de responsabilidad de aacuterea de trabajo

11133 Secuencia

Tiene por objeto definir la loacutegica en la ejecucioacuten del proyecto es decir queacute se hace primero y queacute se hace despueacutes o la dependencia de las actividades entre sIacute Algunas relaciones de secuencia son maacutes flexibles que otras pero en general todas son flexibles Sin embargo al menos una de las actividades deshyberaacute estar desprovista de precedencias para poder iniciar el proyecto Las reshylaciones de secuencia pueden darse por muchos factores los principales son

a Gravedad Cuando un elemento soporta otro el elemento que estaacute soporshytando debe ser predecesor del soportador Esta es una relacioacuten de preceshydencia poco flexible Ejemplo las columnas de cada piso deben ir primero que la placa ya que son las columnas los elementos que las sostienen

b Servicio Si un elemento presta un servicio a otro el que presta el servicio debe ser predecesor del que lo usa Ejemplo el servicio de energiacutea debe ser instalado primero que el ascensor para que eacuteste pueda funcionar

c Espacio Para acometer una actividad se necesita espacio entonces debe realizarse una actividad anterior que abra ese espacio

d Seguridad Antes de realizar una actividad que implique cierto peligro debe realizarse otra actividad que 10 anule o 10 minimice

e Inspeccioacuten Antes de realizar una actividad debe estar revisada su predeshycesora

132Q

Capitulo 11 I La eJecuCioacuten y el controi del proyecto

f Competencia de recursos Cuando un recurso se usa para varias actividashydes al mismo tiempo deben establecerse relaciones de precedencia Ejemshyplo si una gruacutea estaacute transportando concreto ladrillo y casetoacuten deben esshytablecerse unas prioridades con unas relaciones de precedencia porque no se pueden hacer todas las cosas al mismo tiempo

g Distancia relativa al acceso Cuando se va a realizar una actividad debe tenerse en cuenta el acceso para llegar maacutes raacutepido al sitio deseado o para poder salir y no quedarse encerrado

112 Meacutetodos de representacioacuten de los programas

Se han desarrollado varios sistemas graacuteficos para representar la programacioacuten de actividades los maacutes usados son

1121 Diagrama de barras

Conocidos tambieacuten con el nombre de diagramas de Gantt son muy intuitishyvos faacuteciles de entender comunican toda la informacioacuten en un solo vistazo Tienen una desventaja y es que no estaacuten muy expliacutecitas las secuencias de las actividades

Posteriormente se desarrollaron los diagramas de Gantt modificados en los cuales se especifican las procedencias conectando las barras con las flechas se conocen como diagramas de barras con flechas

Se desarrollaron posteriormente otros diagramas de barras con bardas o Fenshyced bar chart que indican queacute pasa con una actividad sucesora cuando se retrasa una actividad predecesora Graacuteficamente seriacutea asiacute

A

e

I

Diagrama de barras con Fenced bar chart

flechas

p21


1122 Diagrama dejlechas

Es otro meacutetodo de representacioacuten graacutefica de la programacioacuten de un proyecto donde los nodos representan eventos y no tienen una duracioacuten las flechas representan las actividades y tienen relacionada una duracioacuten diferente de cero la precedencia se indica a traveacutes de los nodos y con la orientacioacuten de las flechas En este meacutetodo existen actividades ficticias o dummy las cuales son actividades que se ponen para indicar una precedencia

1123 Diagrama de nodos

En este caso los nodos representan actividades con duraciones diferentes de cero y las flechas representan las precedencias

Para entender la diferencia entre estos dos uacuteltimos meacutetodos la representacioacuten de una situacioacuten igual en cada uno seriacutea de la siguiente forma

0) 8 l lmiddot I8 X 8

DIAGRAMA DE NODOS DIAGRAMA DE FLECHAS

1124 Meacutetodo de la ruta criacutetica

El meacutetodo de la ruta criacutetica se basa en la deteccioacuten de las actividades que no pueden moverse dentro de la programacioacuten del proyecto es decir su ejecushycioacuten es criacutetica ya que si se retrasan o se adelantan se atrasa o se adelanta todo el proyecto

El meacutetodo de la ruta criacutetica se basa en los siguientes algoritmos

1 Algoritmo de pase adelante

a Inicializar tiempo temprano de iniciacioacuten de las actividades iniciales igual a cero

Titerfin O

b Para todas las actividades en orden topoacuteloacutegico

f322

Capiacutetulo 11 I La ejecuCioacuten y el control del proyecto

Titeriacuteni = Maacuteximo (Titerfin de sus predecesores)

Titemn Titerini + Dur

c Dur del proyecto = Maacuteximo (Titerfin de sus actividades terminales)

Donde

Dur duracioacuten

Titerini tiempo temprano de iniciacioacuten

Titerfin tiempo temprano de finalizacioacuten

Titarini tiempo tardiacuteo de iniciacioacuten

Titarfin tiempo tardiacuteo de finalizacioacuten

Actividades terminales actividades que no tienen sucesores

2 Algoritmo del pase atraacutes

a Inicializar Titamn actividades terminales en la duracioacuten del proyecto

Titamn Titamn - Dur act

b Para todas las actividades en orden topoloacutegico reverso

Titarfin Maacuteximo (Titemn de sus sucesores)

Titarini Titamn - duro

A continuacioacuten una representacioacuten graacutefica de ruta criacutetica

H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD

TIEMPO TARDIO DE IICIACIO =ffiA~TIEMPO TARDiacuteo DE TERlI1INACIOacuteN

TlErIPO TEMPRANO DE INICIACION o 3 3 TIEMPO TEMPRANO DE TERMINAClON

t DURACION DE ACTMDAD

32~

Aspectos econoacuternicos de los proyectos del sector puacuteblico I Luis Diego Veacutelez Goacuternez

Actividades criacuteticas son aquellas que tienen una holgura igual a O La activishydad no criacutetica tiene una holgura diferente de O

113 Relaciones entre actividades

Para definir de forma adecuada las relaciones de tiempo y de sucesioacuten de acshytividades se definen los conceptos de presencia asiacute

Relacioacuten Finish lo Slar Enuncia que una actividad puede empezar solo cuando su predecesora haya terminado Graacuteficamente seriacutea

A FS Debe terrrinar A para que empiece B

B

Relacioacuten Slar lo Slar Enuncia que una actividad puede empezar cuando su predecesora haya empezado Graacuteficamente seriacutea

A

B I J SS Debe empezarar A

para que empiece B

cesora haya terminado la relacioacuten se hace en la fecha de terminacioacuten de las I Iactividades

FF A Y Bse relacionan en la fecha de terminacl6n con un lag

SS A Y Bse relacionan en la fema de iniciacioacuten con un lag

FS Ay Bse relacionan en l fecha de tenninaclOn de Bti

~18Q 1 --8---1 inldadoo de Acon un lagE

Relacioacuten Finish lo Finish Una aetividad puede terminar cuando su predeshy

I A

J

Capitulo 11 La ejecucioacuten y el control del proyecto

Existe un concepto que les da flexibilidad a las relaciones antes mencionadas se trata del lag o deslase y se refiere a un tiempo expresado en diacuteas semashynas o meses que puede haber entre una actividad y otra relacionada bajo una relacioacuten de precedencia como las expuestas anteriormente Ejemplos

FF A Y B se relacionan en laI A fecha de terminaci6n

I B

114 Estimacioacuten de duraciones

Como se mencionoacute anteriormente el CPM y el PERT se diferencian entre otras cosas porque en el primero las duraciones son determiniacutesticas y en el segundo las duraciones son aleatorias Para el caso del CPM con duraciones determiniacutesticas se tienen las siguientes capacidades

bull Disposicioacuten de una buena experiencia para estimar las duraciones

bull Capacidad para simplificar el proyecto su manejo y control

Cuando en el proyecto las fechas son muy importantes y deben ser exactas se acude a lo que en el medio se conoce como colchoacuten de seguridad que es un tiempo adicional que se le da a la duracioacuten del proyecto aplicando un factor de seguridad Para calcular las duraciones deben tenerse en cuenta los rendimientos

Duracioacuten = Rendimientos x cantidad total a ejecutarse

Los rendimientos pueden ser el resultado de mediciones empiacutericas que estaacuten sujetas a condiciones tales como

bull El clima

bull La precisioacuten de las mediciones

bull La calidad de la mano de obra

bull La escasez o abundancia de mano de obra

bull La ubicacioacuten geograacutefica

132gI

1

Aspectos econoacutemicos de 105 proyectos del sector puacuteblico I Luis Veacutelez Goacutemez

Los rendimientos pueden ser entendidos como rendimientos por productishyvidad para cada actividad En cuadrilla de mano de obra por ejemplo su productividad se mide en horas-hombreunidad de produccioacuten En cuadrilla de equipo la productividad se mide en horas-hombreunidad de produccioacuten o unidad de produccioacutenlhora de cuadrilla

De todas formas la experiencia y el criterio son fundamentales para estimar adecuadamente la duracioacuten de un proyecto Algunas formas de estimacioacuten pueden ser

bull Registros histoacutericos individuales generados por cada firma

bull Cataacutelogos comerciales

bull Mediciones empiacutericas que auxilien a la persona a estimar duraciones

bull Simulacioacuten o modelacioacuten i

i

115 Control de programacioacuten

En el mundo de hoy la presioacuten del tiempo exige que las duraciones de los proyectos sean reducidas al miacutenimo El meacutetodo de la ruta criacutetica sugiere tres posibilidades para acortar la duracioacuten de un proyecto que son disminuir el alcance del proyecto suprimiendo actividades reducir la duracioacuten de activishydades en especial aquellas de la ruta criacutetica y cambiar las precedencias para lograr simultaneidad entre actividades Deberaacute hacerse entonces un control perioacutedico de la programacioacuten el cual depende de

bull Viabilidad que pueda haber para el control

bull Importancia del factor tiempo

bull Unidades de tiempo contables Ejemplo si se programoacute en semanas lo maacutes probable es que se hiciera un control de la programacioacuten en semanas Si en el control de la programacioacuten se van presentando desviaciones miacutenishymas con respecto a lo programado se puede tener una periodicidad mayor

Si en el control la programacioacuten presenta desviaciones altas debe hacerse un control maacutes estricto entonces debe tenerse una periodicidad de control mayor

Indicadores de Seguimiento de proyecto

Retraso de actividad Mide el retraso de cada actividad

Capiacutetulo 11 I La ejecucioacuten y el control del proyecto

R = Retraso

TC = Tiempo consumido

TF Tiempo faltante

TP = Tiempo programado

Retraso mide el retraso porcentual de cada actividad

RR=-xlOO

Tp

Iacutendice de avance actividad Mide el avance de cada actividad en teacuterminos de cantidad de obra

IAA = Iacutendice Avance Actividad

QE = Cantidad Obra Ejecutada

QP Cantidad de Obra Programada

Iacutendice de Avance Fiacutesico del Proyecto (IAFP) Mide el avance fisico del proshyyecto y se mide por la relacioacuten IAA ponderado por la relacioacuten entre el valor de la actividad (VA) respecto al valor del proyecto (VP)

IAFP= I QEi x i Qpi VP

Desfase relativo de costos (DRC) Compara el desfase de costos con respecshyto al valor inicial de la actividad

DRe = Desfase presupuestal Actividad X 100 P esupuesto inicial Actividad i

Iacutendice de Cumplimiento Costos (ICC) Mide el cumplimiento de costos del proyecto

Aspectos econoacutemicos de los proyectos del sector puacuteblico LUIS Diego Veacutelez Goacutemez

Pr uesto actividad lCC L

iacute Presupuesto inicial Actividad iacute

Iacutendice Avance Financiero (IAF) Mide el avance financiero del proyecto

IAF = Desembolso efectivo x] 00 Pr esup uesto inicial

116 Indicadores de evaluacioacuten ex-post

Una vez que el proyecto ha entrado en operacioacuten se procede a la evaluacioacuten ex-post Esta etapa comprende la verificacioacuten de que el proyecto va cumplienshydo con los objetivos fijados 10 cual supone un anaacutelisis de cualquier problema que pudiera haber surgido en etapas anteriores como exceso de costos demoshyras en la construccioacuten fallas teacutecnicas o debilidad organizacional informacioacuten eacutesta que puede ser valiosa para futuros proyectos A continuacioacuten se muestra el significado de algunos indicadores

bull Iacutendice de Costos

Establece la diferencia de costos entre la situacioacuten ex-ante y la ex-post

lC = Costos Re ales _ 1

Costos Pr evistos

re gt o -+ sobrecosto

re lt o-+ ahorro de costo

le = o -+ costos previstos

bull Iacutendice de Cumplimiento Temporal

Establece la diferencia de tiempo entre la situacioacuten ex-ante y la ex-post

JCT = Plazo Re al -1 Plazo Pr evisto

leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto

IeT c O -+ tiempo previsto

11 I

la tjeClCly y tl coltrol del proyecto

bull Iacutendice de Cobertura

Compara el nuacutemero de beneficiarios ex-ante y ex-po

n reales ICob I -1

i=O Beneficiarios Pr evistos

(Cobgt O ~ Mayor nuacutemero de beneficiarios

ICob lt O~ Menor nuacutemero de beneficiarios

ICob = O~ Beneficiarios previstos

bull Iacutendice de Deacuteficit

Muestra el aporte del proyecto para reducir el deacuteficit

ID = Personas sin atender(Deacuteficit)

Personas atendidas por proyecto

IDgt O~ Proyecto cubrioacute parcialmente el deacuteficit

ID O~ Proyecto cubrioacute el deacuteficit

bull Iacutendice Eficiencia Financiera

Reclama la rentabilidad financiera ex-ante con la ex-post

IEF i VPN ex- post -1 iacute=O VPN ex-ante

IEFgt O ~ Eficiencia mayor a la prevista

IEF lt O~ Eficiencia menor a la prevista

IEF = O~ Eficiencia igual a [a prevista

bull Iacutendice de Eficiencia Econoacutemica

Relaciona la rentabilidad econoacutemica ex-ante con la ex-post

lEE =i VPN ex- post -1 iacute=O VPN ex - alte

lEEgt O~ EfIciencia mayor a la prevista

lEE lt O---t Eficiencia menor a la prevista

lEE () ---gt Eficiencia igual a la prevista

Ilota el 1EF Yel IEl Sl puede calcular considerando el VPN la TIR o el CE

1329

CAPiTULO 12

INTRODUCCiOacuteN AL SISTEMA NACIONAL DE GESTIOacuteN DE

PROGRAMAS Y PROYECTOS DE INVERSiOacuteN PUacuteBLICA

IObjetivo Este capiacutetulo estaacute referido al marco institucional del Banco de Proyectos del sector Puacuteblico el cual establece las reglas del juego y el marco legal del re istro de ro ectos a financiarse con recursos del Estado

En su primera parte este trabajo es resultado de una siacutentesis de la conferenshycia dictada por el director de la Unidad de Inversiones y Finanzas del DNP Osvaldo Enrique Rodriacuteguez en diciembre de 2004 en la CEPAL (Comisioacuten Econoacutemica para Ameacuterica Latina) En eacutel se presentan los elementos baacutesicos con los cuales se configura el esquema institucional del BPIN (Banco de Proshygramas y Proyectos de Inversioacuten) sus requerimientos resultados esperados y beneficios para los distintos niveles territoriales del Estado para las empreshysas puacuteblicas y para la inversioacuten puacutebliea que ejecuten las organizaciones del Estado en general Al final del capiacutetulo se presentan algunas lecciones sobre la implantacioacuten del banco e igualmente las limitaciones conceptuales que se presentan en su funcionamiento producto del anaacutelisis de esta exposicioacuten

En los uacuteltimos veinte antildeos se han presentado cambios sustanciales en la ecoshynomiacutea del paiacutes y en la organizacioacuten de los niveles territoriales del Estado coshylombiano A nivel econoacutemico el paiacutes ha tomado un nuevo modelo de desarroshyllo el cual se caracteriza por la apertura econoacutemica la modernizacioacuten de las instituciones y la competitividad de los sectores econoacutemicos El fundamento de este modelo es que los precios de mercado son los mejores paraacutemetros para lograr una asignacioacuten eficiente de los recursos y para encauzar los distintos sectores por la senda de un mayor crecimiento La inversioacuten puacuteblica ha deshybido enmarcarse en estc modelo y por 10 tanto le ha correspondido entrar en la senda de modernizacioacuten y competitividad con todos los instrumentos que posibiliten orientarse hacia esta direccioacuten

El Banco de Proyectos de Inversioacuten Nacional es uno de los instrumentos que se han desarrollado con el objetivo de racionalizar la inversioacuten y aumentar la

[331


productividad en el sector puacuteblico Es un sistema de informacioacuten orientado a proveer informacioacuten sobre programas y proyectos a 10 largo de su ciclo de vida (preinversioacuten inversioacuten y operacioacuten)

El punto de partida para el montaje de un hanco de proyectos de inversioacuten es el anaacutelisis del presupuesto y de los proyectos desarrollados por la organizashycioacuten estatal Esto permite conocer la cultura de proyectos existente y todas las actividades relacionadas con la gestioacuten de proyectos

121 Los oriacutegenes del banco de proyectos

La primera etapa del sistema (1985-2001) comprende dos grandes momentos 1) el proceso de implantacioacuten del hanco con apoyo del BID y dclILPES Y 2) la institucionalizacioacuten del BPIN en el DNP yen el sector puacuteblico

El primer momento se caracterizoacute por la conformacioacuten del equipo del proyecshyto con consultores nacionales e internacionales y por la integracioacuten de este equipo y el que venia trahajando desde finales de los 80 con financiacioacuten de la OEA Fue el periodo durante el cual se generaron la mayor parte de los insshytrumentos metodoloacutegicos tecnoloacutegicos legales y procedimentales del BPIN

Particularmente se hicieron desarrollos importantes tales como el disentildeo e implementacioacuten de la estrategia de capacitacioacuten y asistencia teacutecnica la exshypedicioacuten del estatuto orgaacutenico del presupuesto general de la Nacioacuten y los reshyglamentos operativos del banco asiacute como la implantacioacuten del software BPIN para la gestioacuten de la informacioacuten sobre proyectos en las entidades nacionales hecho que marcoacute un hito en Colombia al ser el primer sistema de informacioacuten de tal cobertura tanto en el sector puacutehlico como en el privado En este moshymento fue criacutetica la prueba de la versioacuten inicial del software BPIN que debioacute ser sustituida completamente por una versioacuten desarrollada en tiempo reacutecord

El segundo momento consistioacute en la ternlinacioacuten del proyecto y la contorshymacioacuten de los equipos baacutesicos de trabajo de las dos divisiones creadas en la estructura del DNP para institucionalizarlo lo cual produjo asimetriacuteas de inshyformacioacuten variaciones en el pertll de las acciones y una aparente disminucioacuten del ritmo de trabajo del BPIN

La institucionalizacioacuten buscaha darles continuidad a las acciones de capacishytacioacuten y asistencia teacutecnica mantener los procesos de soporte a usuarios del naciente software BPIN y la divulgacioacuten de los reglamentos operativos Solo a partir de 1990 se empezoacute a introducir un esquema diferente seguacuten el cual

j


En otras palabras 10 que nos interesa medir al hacer evaluacioacuten social de proshyyectos es el cambio en el bienestar social que se produce al cambiar en una unidad el consumo que agrega el proyecto Esto se puede ver volviendo a la funcioacuten de bienestar social

nrvvl

En que

W = bienestar social

W = bienestar del individuo i I

C iexcl = consumo del bien por el Individuo ii

Ahora bien si un proyecto o poliacutetica agrega una cantidad del bien Ciexcl el bienshyestar social se veraacute afectado de manera diferente dependiendo de eoacutemo se reparte ese bien e entre los distintos individuos Efectivamente lo que se

I

quiere medir es

dW dW dW dW2 dW dWnx +--X--+ +--x-shyde i drfiexcl dCI i dW2 dC2 dWn dCn

La ecuacioacuten anterior indica que el cambio en el bienestar social al cambiar en una unidad la disponibilidad del bien C depende de dos tipos de evaluaciones

i

diferentes

En primer lugar la valoracioacuten que cada individuo hace de su propio consumo

dWiexcl dCij

es decir la utilidad marginal del consumo del bien por el individuo iacute que indica en cuaacutento aumenta la utilidad del individuo i al aumentar en una unidad su consumo del bienj Esta utilidad marginal en general estaacute aproximadamenshyte bien medida por lo que se conoce por precio de la demanda el cual muestra la disposicioacuten a pagar del consumidor por cada bien Con todo el precio de la demanda obviamente depende de la cantidad de compra que el individuo haga El precio domeacutestico de mercados que los consumidores efectivamente pagan al hacer sus compras es una primera aproximacioacuten al valor de esta disposicioacuten a pagar Si se consideraran estos precios sin embargo como la

I 1 I 1





n niexcl











Donde


PT1


PT2






2

aij








f28q



2

bien comerciable T2




(2)


2 2



En que









2 lo


2


~811

2



















KI-E

En que






I bull (P ingreshy





f284




20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









f287








~88















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







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j

I 1 I 1





n niexcl











Donde


PT1


PT2






2

aij








f28q



2

bien comerciable T2




(2)


2 2



En que









2 lo


2


~811

2



















KI-E

En que






I bull (P ingreshy





f284




20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









f287








~88















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DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j







Donde


PT1


PT2






2

aij








f28q



2

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(2)


2 2



En que









2 lo


2


~811

2



















KI-E

En que






I bull (P ingreshy





f284




20 40 50 100 120 140 180 200 400

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5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









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DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


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DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




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ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




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j


n




























o 2 3 4






-- --------






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T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



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Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





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CAPIacuteTULO 11







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11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




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B


A


para que empiece B







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J




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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j



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bien comerciable T2




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En que









2 lo


2


~811

2



















KI-E

En que






I bull (P ingreshy





f284




20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









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DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

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l29~













[2941



j


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-- --------






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T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



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546 332300








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Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


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05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

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Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

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700

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0000000 N-rOooON-r



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Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





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CAPIacuteTULO 11







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11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




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B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























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CAPiTULO 12







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j

2



















KI-E

En que






I bull (P ingreshy





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20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








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CAPIacuteTULO 10









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DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


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DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








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Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j














KI-E

En que






I bull (P ingreshy





f284




20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









f287








~88















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j




20 40 50 100 120 140 180 200 400

-E=-I E= -14 E=-2

5 1224 15 25 25 158 126 625 125 112 106 156 1 1 1 083 091 095 069 071 084 092 050 056 075 087 031 050 071 084 025 025 050 071 006








f28~

CAPIacuteTULO 10









f287








~88















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







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J




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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j

CAPIacuteTULO 10









f287








~88















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


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T

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01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j








~88















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j















29q










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






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T

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01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j










DEMANDA ANlJAL(W)

ANtildeOS


[2911




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j




DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD INSTALADA

ANtildeOS




~9~




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j




ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS



PROYECTOR

DEMANDA ANUAL (M3)

CAPACIDAD EXISTENTE

ANtildeOS




l29~













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j













[2941



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j



j


n




























o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j

















o 2 3 4






-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j

-- --------






c=

T

~- ~41--=-=-iexcl-----Jl8L shy3+__ _____ __ 400 __ __ _ _ 075 shy~4_[ 30_0 _ 068 204_







01



a valor presente

546 332300








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

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0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j








299





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j





Pregunta


Respuesta


Donde





Do (1 + 025) 20000 (125) = 25000 ldiacutea



25000 =20000 (11 Y i = log (232) log ( 11) = 009691 004139 234


[3oq





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j





05 1 15 2 25 3 35










cioacuten son

SOll

11


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j


Xl Trabajadores y

X~ = Equipos


Si t x f(Xiexcl X2

) = f(tXiexcl tX2









700

600

500

400

300

200

100

0000000 N-rOooON-r



130~














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j














Q Capacidad






lnversJOn


log C = log 13 + 0710g (800)

log C 01139 + 07 (29031) 21461

C = antilog (21461) = US $140000000


C = 13 (1100)deg7 US $ 175000000



1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


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p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j


1062 Ejemplo


Solucioacuten


Donde

L Lado

L = KI3


De esta forma

C = (Kll3f

C = K23

C KO66








pOS








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

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rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

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26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j








e VPcostos = L

n

-(1) i-) 1+ r



x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

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a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


f322





Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j

x


Donde

K = Constante







Donde por supuesto


a Factor de escala

r Tasa de descuento




30~




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j




Ahora si


dY u -=e xr dX

SiY=f(X)



a

x ()2 -OdX l_e-rX

de dX


rXa = axe- rxXxe-rx

rXa-axe- rxXxe-rlt



X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


26 f 12X=-xl-a gt1





03 22 17 05 15


130Q








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

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I


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p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


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para que empiece B







I A

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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


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RR=-xlOO

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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

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11 I




n reales ICob I -1
























1329

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[331










j


X=~X[_I-rX -1]r e

x=~x~-rx_l] r


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03 22 17 05 15


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164 8

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e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







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Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




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B


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para que empiece B







I A

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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j








B1q



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


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11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

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Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


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para que empiece B







I A

J




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bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


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RR=-xlOO

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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j



e K Da 1de = x x XA





164 8

ANtildeOS



e K x (4)065= 246

e = K x (8)065 386

e = K x (12)deg65 = 5028

e K x (16)deg65 606



Costos =246 =040 Costos (16) 606


Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







81~




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


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31





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CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

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B


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bull El clima





132gI

1








i










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Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

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11 I




n reales ICob I -1
























1329

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j


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Conclusiones






( j iexcl=o 1+ r







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1






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2







Es decir 1 + rl


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11133 Secuencia







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A

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H=O RUT ACRiTICA

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bull El clima





132gI

1








i










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RR=-xlOO

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Costos Pr evistos







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11 I




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1329

CAPiTULO 12







[331










j



( j iexcl=o 1+ r







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2







Es decir 1 + rl


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CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

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Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

ACTIDAD




32~







B


A


para que empiece B







I A

J




I B








bull El clima





132gI

1








i










R = Retraso


TF Tiempo faltante



RR=-xlOO

Tp




















Costos Pr evistos







leTgt O-+ atraso

IeT lt O-+ adelanto


11 I




n reales ICob I -1
























1329

CAPiTULO 12







[331










j




1






Veaacutemoslo i



2







Es decir 1 + rl


(r X t)3---------- + +

31





1315

CAPIacuteTULO 11







317































11133 Secuencia







132Q










A

e

I


flechas

p21














Titerfin O


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Donde

Dur duracioacuten













H=O RUT ACRiTICA

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B


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1








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i que hace realmente es equivalente a dar ponderaciones ...haciendo política económica. el...

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