homeomorfismos
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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA
Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 1
Facultad de Ciencias e Ingeniería
Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz
Docente de introducción a la topología
HOMEOMORFISMOS
Homeomorfismos: Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección
continua :f M N cuya inversa 1 :f M N también es continua. En este caso
se dice que M y N son homeomorfos.
Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación
biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva
aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es
también un homeomorfismo.
Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya
construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el
fascinante mundo de la topología.
Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional
1; 1nns x xR . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte
constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano nR .
En efecto:
Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como
polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional 32 ; 1s x xR . Z
L
P
Y
X
R
La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se
aprecia y toca al plano en el punto R.
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Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:
: ( ) ;L P t PQ R t
R
Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como
(0,0,1) ( , , 1) ( , ,0)t a b c x y
( , ,1 ( 1)) ( , ,0)at bt t c x y
1 ( 1) 0t c
( 1) 1t c
1
1t
c
Por consiguiente ;1 1
a bx y
c c
De esta forma hemos construido la función
2 2:f S P R , definida por:
( , , ) ( , , ) ;1 1
a ba b c f a b c
c c
Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:
: ( ) ;L P t PR Q t
R
Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas
( , , ) (0,0,1) ( , , 1)a b c t x y
( , , ) ( , ,1 )a b c tx ty t ; ; 1a tx b ty c t
Como 2( , , )a b c S P tenemos
2 2 2( ) ( ) (1 ) 1tx ty t
2 2 2 2 21 2 1t x t y t t
2 2 2 0tx ty t
2 2
2
1t
x y
Por consiguiente 2 2 2 2 2 2
2 2 2; ; 1
1 1 1
x ya b c
x y x y x ylo cual nos
permite construir la función 1 22:f S PR definida como:
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2( , ) ( , ) ; ;1
1 1 1
x yx y f x y
x y x y x y
La cual constituye la función inversa de la función f .
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Ahora bien una breve inspección muestra que
1
1
( )( , ) ( , )
( )( , , ) ( , , )
f f x y x y
f f a b c a b c
Lo cual garantiza que f sea biyectiva.
F es continua
En efecto: Dado que 2( , , ) (0,0,1)a b c S se tienen las siguientes
desigualdades
1 1a
1 1b
1 1c
2 1 0c
0 1 2 1 0c c
Po lo tanto se deduce de ellas que la función ( , , ) ;1 1
a bf a b c
c cestá bien
definida en todo punto 2( , , ) (0,0,1)a b c S , entonces:
Si 2
0 0 0, ,a b c S P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado
0 0 0 0 0 00 0 0
, , , , , , , ,lim ( , , ) lim ; , ,
1 1a b c a b c a b c a b c
a bf a b c f a b c
c c , lo que
prueba que f es continua en 2 (0,0,1)S .Un argumento similar garantiza la
continuidad de 1f .
F es sobreyectiva ¡ejercicio!
Generalizando
Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria
n-dimensional 1; 1nns x xR menos el polo norte P y el espacio
euclidiano nR queda definido de la siguiente manera
: n nf S P R
11 1 1 1
1 1
( ,..., ) ( ,..., ) ;...;1 1
nn n
n n
x xx x f x x
x x
El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada
por 1 : n nf S PR la misma que queda definida de la siguiente manera:
1
2 2 2 2 2 2
11 1
1 1 1
2 2 2( ,..., ) ( ,..., ) ;....; ;1
1 ... 1 ... 1 ...n
n nn n n
x xx x f x x
x x x x x x
y que constituye también un homeomorfismo.
.
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BIBLIOGRAFÍA
ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto
Euclides 1983.
ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto
Euclides, CNPq, 1976.
ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro
Tecnico, Rio, 1970 JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,
Universitat de Valencia.
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