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J.C. Martí n/ Microeconomí a Superior I/Curso 2008-09

HOJA EJERCICIOS 2(*)

TEMA 2: TEORÍA DE LA DEMANDA

1) Un consumidor tiene la siguiente función indirecta de utilidad:

1 2

1 2

( , , )min[ , ]

mv p p m

p p=

¿cuál es la forma de la función de gasto de este consumidor?¿Y la de su función

de utilidad?¿Y la de la función de demanda del bien 1?

2) Considere la siguiente función indirecta de utilidad:

1 2

1 2

( , , ) m

v p p m p p

=+

a) ¿Cuáles son las funciones de demanda?

b) ¿Y la función de gasto?

c)

¿Y la función directa de utilidad?

3) Un consumidor tiene la siguiente función directa de utilidad:

1 2 1 2( , ) ( )U x x u x x= +

El bien 1 es un bien discreto; los únicos niveles posibles para el consumo de

dicho bien son1

0 x = y 1 1 x = . Supongamos para mayor comodidad que (0) 0u = y

21 p = .

a) ¿Qué tipo de preferencias tiene este consumidor?

b) ¿Cuál es el valor de1 p tal que si 1 p es estrictamente menor que ese valor el

consumidor elegirá decididamente1

1 x = ?

c) ¿Cuál es la forma algebraica de la función indirecta de utilidad

correspondiente a la función directa de utilidad?

4) Un consumidor tiene la siguiente función indirecta de utilidad: ( , ) ( )v p m A p m= .

a) ¿Qué tipo de preferencias tiene este consumidor?

b) ¿Cuál es la forma de su función de gasto?

c) ¿Cuál es la forma de la función indirecta de utilidad métrica monetaria,

( , , ) p q mμ ?

d) Suponga, por el contrario, que el consumidor tiene la función indirecta de

utilidad ( , ) ( ) bv p m A p m= , siendo b>1. ¿Cuál es ahora la forma de su función

indirecta de utilidad métrica monetaria?


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5) La función de gasto de Frank Fisher es ( , )e p u . Su función de demanda de chistes es

1( , ) x p m , donde p es un vector de precios y 0m es su renta. Demuestre que los

chistes son un bien normal para Frank, si y sólo si 2 / 0 je p u∂ ∂ ∂ > .

6) Calcule la matriz de demanda de sustitución del sistema de demanda Cobb-Douglascuando hay dos bienes. Verifique que los términos diagonales son negativos y los

efectos cruzados de los precios son simétricos.

7) Suponga que un consumidor tiene una función de demanda lineal x ap bm c= + + .

Formule la ecuación diferencial que necesitaría resolver para hallar la función de

utilidad métrica monetaria. Si puede, resuélvala.

8) Suponga que un consumidor tiene una función de demanda semilogarítmica

ln x ap bm c= + + . Formule la ecuación diferencial que necesitaría resolver para hallar

la función de utilidad métrica monetaria. Si puede, resuélvala.

9) Halle la cesta demandada por un consumidor cuya función de utilidad es3

21 2 1 2

( , )u x x x x= y su restricción presupuestaria 1 23 4 100 x x+ = .

10) Utilice la función de utilidad11

321 2 1 2

( , )u x x x x= y la restricción presupuestaria

1 1 2 2m p x p x= + para calcular ( , ) x p m , ( , )v p m , ( , )h p u y ( , )e p u .

11) Amplíe el ejercicio anterior al caso en el que 1 21 2 1 1 2 2

( , ) ( ) ( )u x x x x β β α α = − − y

compruebe la simetría de la matriz de términos de sustitución

( , )

( ) j

i

h p u

p

∂

∂ .

12) Repita el ejercicio anterior utilizando1 2 1 2

1 1*( , ) ln ln

2 3u x x x x= + y demuestre que

todas las fórmulas anteriores se cumplan siempre que se sustituya u por ue

13) Las preferencias están representadas por ( )u xφ = , y se calcula una función de

gasto, una función indirecta de utilidad y las demandas. Si ahora representamos las

mismas preferencias por medio de * ( ( ))u xψ φ = , siendo ( )ψ ⋅ una función creciente

monótona. Demuestre que ( , )e p u es sustituido por 1( , ( *))e p uψ − , ( , )v p m por

( ( , ))v p mψ , y ( , )h p u por 1( , ( *))h p uψ − . Demuestre también que las demandas

marshallianas ( , ) x p m no resultan afectadas.

14) Considere un modelo de dos periodos en el que la utilidad de Dave viene dada por

1 2( , )u x x donde 1 x representa su consumo correspondiente al primer período, y 2 x su

consumo correspondiente al segundo período. Dave tiene la dotación1 2

( , ) x x que podría

consumir en cada uno de los períodos, pudiendo también intercambiar consumo

presente por consumo futuro y viceversa. Por lo tanto su restricción presupuestaria es:

1 1 2 2 1 1 2 2 p x p x p x p x+ = + ,

donde1 p y 2 p son los precios correspondientes al primer y segundo período.


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a) Derive la ecuación de Slutsky en este modelo (observe que ahora la renta de

Dave depende del valor de su dotación, la cual depende, a su vez, de los precios

1 1 2 2m p x p x= + )

b) Suponga que la elección óptima de Dave es tal que1 1 x x< . Si baja 1 p .

¿Mejorará o empeorará el bienestar de Dave? ¿Y si baja2 p ?

c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento del bien de consumo?

15) Considere el caso de un consumidor que está demandando los bienes 1 y 2. Cuando

sus precios son (2,4), demanda (1,2). Cuando son (6,3) demanda (2,1). No se produce

ninguna otra alteración de importancia. ¿Está maximizando la utilidad este consumidor?

16) Suponga que la función indirecta de utilidad adopta la forma ( , ) ( )v p y f p y= . ¿Cuál

es la forma de la función de gasto?¿Y la de la función de compensación indirecta

( ; , ) p q yμ expresada con respecto a la función ( ) f ⋅ y a y ?

17) La función de utilidad es1 2 2 1 1 2

( , ) min( 2 , 2 )u x x x x x x= + +

a) Trace la curva de indiferencia correspondiente a1, 2

( ) 20u x x = , sombreee el

área en la que 1, 2( ) 20u x x ≥

b) ¿qué valores ha de adoptar 1

2

p

p para que

10 p = sea el único óptimo?

c) ¿qué valores ha de adoptar 1

2

p

p para que 2 0 p = sea el único óptimo?

d) Si ni 1 x ni 2 x son iguales a cero, y el óptimo es único ¿Qué valor debe

adoptar 1

2

x

x?

18). Suponga que según la legislación fiscal vigente, algunas personas pueden ahorrar

hasta 200000 pesetas al año con un plan de jubilación. Que es un sistema de ahorro querecibe un trato fiscal especialmente favorable. Considere el caso de una persona que en

un determinado momento tiene la renta Y, que quiere gastar en consumo C, en ahorro

destinado a un plan de jubilación 1S o en ahorro ordinario 2S .Suponga que la función

de utilidad en forma reducida es:

1 2 1 2( , , )U C S S S S C α β γ = (Se trata de una forma reducida porque los parámetros no son parámetros realmenteexógenos que representan las preferencias, sino que también comprenden el trato fiscal

de los activos, etc…) La restricción presupuestaria del consumidor viene dada por

1 2C S S Y + + =

y la cantidad máxima que puede destinar al plan de jubilación está representada por L.

a) Deduzca las funciones de demanda de1

S y2

S del consumidor para el que el

límite L no suponga una restricción activa.

b) Deduzca las funciones de demanda de 1S y 2S del consumidor para el que el

límite L sea una restricción activa.


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19) Si el ocio es un bien inferior, ¿Cuál es la pendiente de la función de oferta de ocio?

20) Un consumidor maximizador de la utilidad tiene unas preferencias estrictamente

convexas, y estrictamente monótonas y consume dos bienes 1 x y 2 x cuyo precio es 1 en

ambos casos. No puede consumir una cantidad negativa de ninguno de los dos bienes.

Tiene una renta anual de m , su nivel actual de consumo es * *1 2

( , ) x x , donde* *

1 20, 0 x x> > . Suponga que el próximo año recibirá una ayuda de*

1 1g x≤ , que debe

gastar enteramente en el bien 1, (si lo desea puede rechazar la ayuda).

a) ¿Verdadero o falso? Si el bien 1 es un bien normal, la influencia de la ayuda ensu consumo debe ser igual que la influencia de un ayuda de la misma cuantía,

que no estuviera sujeta a ninguna limitación. Si esta afirmación es verdadera,

demuéstrelo, si es falsa, demuestre que lo es. b) ¿Verdadero o falso? Si el bien 1 es un bien inferior para el consumidor anterior

en todos los niveles de renta * *1 2m x x> + , si recibe una ayuda de 1g que debe

gastarse en el bien 1, el efecto debe ser el mismo que el de una ayuda que no

esté sujeta a limitaciones. Si ésta afirmación es cierta, demuéstrelo. Si es falsa,muestre que hará si recibe la ayuda.

c) Suponga que éste consumidor tiene preferencias homotéticas y que

actualmente está consumiendo * *1 212; 36 x x= = . Trace un gráfico colocando

1g en el eje de abcisas y la cantidad del bien 1 en el de ordenadas. Utilícelo

para mostrar la cantidad del bien 1 que demandará el consumidor si su rnta

ordinaria es m=48 y si recibe una ayuda de1g que ha de gastar en el bien

1.¿En qué nivel de 1g tendrá este gráfico un vértice? (piénselo un minuto antes

de contestar y dé una respuesta numérica)

21) Suponga que las preferencias son nomotéticas, demuestre que:

( , )( , ) ji

j i

x p m x p m

p p

∂∂=

∂ ∂

22) La función de demanda de un determinado bien es x a bp= + . ¿Cuáles son las

funciones de utilidad directas e indirectas correspondientes?

23) La función de demanda de un determinado bien es x a bp cm= + + ¿Cuáles son las

funciones de utilidad directas e indirectas correspondientes? (Pista: Para resolver todo el

problema es necesario saber cómo se resuelve una ecuación diferencial, no homogénea

y lineal; Si el lector no lo recuerda, plantee simplemente la ecuación)

24) Las funciones de demanda de dos bienes son:

1 1 1 1 12 2 x a b p b p= + +

2 2 21 1 2 2 x a b p b p= + +

¿qué restricciones sobre los parámetros implica la teoría?¿Cuál es la función de utilidad

métrica monetaria correspondiente?

25) ¿Cuál es la función directa de utilidad del problema anterior?


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26) Sea ( , )q m , los precios y la renta y p=q/m. Utilice la identidad de Roy para deducir

la fórmula:

1

( )

( ) ( )i

i K

j

j j

v p

p

x p v p p

p=

∂

∂

= ∂

∂∑

27) Considere la función de utilidad1 2 3 1 2 3

( , , ) a b cu x z z x z z= . Es esta función de utilidad

débilmente separable en2 3

( , ) z z ?¿Cuál es la función de subutilidad del consumo del

bien z?¿Cuáles son las demandas condicionadas del bien z, dado el gasto en esos bienes

zm ?

28) Existen dos bienes, x e y. La función de demanda del bien x por parte del

consumidor viene dada por ln x a bp cm= − + , donde p es el precio del bien x en

relación con el y, y m es la renta monetaria dividida por el precio del bien y.

a)

¿qué ecuación resolvería para averiguar la función indirecta de utilidad

que generaría esta conducta de la demanda?

b)

¿cuál es la condición de contorno de esta ecuación diferencial?

29) Un consumidor tiene la función de utilidad ( , , ) min[ , ]u x y z x y z= + ,los precios de

los dos bienes son ( , , ) x y z p p p y el dinero que ha de gastar el consumidor m.

a) Esta función de utilidad puede expresarse en la forma: ( ( , ), )U V x y z . ¿Cuál es

la función ( , )V x y ?¿Cuál es la función ( , )U V z ?

b) ¿Cuáles son las funciones de demanda de los tres bienes?

c)¿Cuál es la función indirecta de utilidad?

30) Suponga que hay dos bienes,1 2, x x ,supongamos que el precio del bien 1 es

1 p y el

precio del bien 2 es igual a uno. Representemos la renta por medio de y . La demanda

del bien 1 por parte del consumidor es

1 110 x p= −

a) ¿Cuál es la función de demanda del bien 2?

b)

¿Qué ecuación resolvería para calcular la función de compensación de la

renta que generaría estas funciones de demanda?

c) ¿cuál es la función de compensación de la renta correspondiente a estas

funciones de demanda?

31) El consumidor 1 tiene la función de gasto1 1 2 1 1 1 2( , , )e p p u u p p= y el 2 tiene la

función de utilidad 32 1 2 1 2( , ) 43

au x x x x=

a) ¿Cuáles son las funciones de demanda (de mercado) marshallianas de cada

uno de los bienes por parte de cada uno de los consumidores? Represente la renta del

consumidor 1 por medio de 1m y la del consumidor 2 por medio de 2m .


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b) ¿qué valor(es) tendrá que tener el parámetro a para que exista una función de

demanda agregada independiente de la distribución de la renta?

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